Graham dünyasında ən böyük rəqəm. Ağlasığmaz Graham nömrəsi. Mersenne hazırlaşır

epiqraf
Uzun müddət uçuruma baxsan,
yaxşı vaxt keçirə bilərsiniz.
Mexanik Ruh Mühəndisi

Uşaq (və bu, təxminən üç-dörd yaşında baş verir) bütün nömrələrin üç qrupa bölündüyünü başa düşən kimi "bir, iki və çox" dərhal öyrənməyə çalışır: nə qədər çoxdur, Necə çoxlu-dən fərqlənir çox, və ola bilər o qədər çoxdur ki, artıq yoxdur. Şübhəsiz ki, siz valideynlərinizlə maraqlı (o yaş üçün) bir oyun oynadınız, ən çox sayı kim adlandıracaq və əcdadınız olubsa 5-ci sinif şagirdindən daha axmaq deyil, sonra o, həmişə qazandı, hər "milyon" üçün "iki milyon", hər "milyar" üçün "iki milyard" və ya "milyar üstəgəl bir" cavabını verdi.

Artıq məktəbin birinci sinfinə qədər hamı bilir ki, sonsuz sayda ədəd var, onlar heç vaxt bitmir və ən böyük rəqəm yoxdur. Kiməsə milyon trilyon milyard hər zaman "plus bir" deyib qalib gələ bilərsiniz. Və bir az sonra gəlir (gəlməlidir!) Uzun ədədlərin özlüyündə heç bir məna kəsb etmədiyini başa düşmək. Bunlar hamısı trilyon milyardlarla yalnız bundan sonra onlar bir sıra obyektlərin təsviri kimi xidmət etdikdə və ya müəyyən bir hadisəni təsvir etdikdə məna kəsb edir. Uzun səsli nömrələr toplusundan başqa bir şey olmayan uzun nömrə icad etməkdə heç bir çətinlik yoxdur, ona görə də onlar sonsuz sayda. Elm, müəyyən dərəcədə məcazi mənada, bu sonsuz uçurumda tam spesifik rəqəm birləşmələrini axtarmaqla məşğul olur, bəzilərinə əlavə olaraq fiziki fenomen məsələn, işıq sürəti, Avoqadro ədədi və ya Plank sabiti.

Və dərhal sual yaranır, dünyada nəyisə ifadə edən ən böyük rəqəm nədir? Bu yazıda adlanan rəqəmsal canavar haqqında danışmağa çalışacağam Graham nömrəsi, ciddi desək, elm rəqəmləri və daha çoxunu bilir. Qrahamın nömrəsi ən çox açıqlanan nömrədir, geniş ictimaiyyət tərəfindən "eşitildi" deyə bilərsiniz, çünki izahat baxımından olduqca sadədir və başını çevirmək üçün kifayət qədər böyükdür. Ümumiyyətlə, burada kiçik bir imtina bildirmək lazımdır ( rus xəbərdarlıq). Bu zarafat kimi səslənə bilər, amma zarafat etmirəm. Mən kifayət qədər ciddi danışıram - belə riyazi dərinliklərdə vasvası seçmə, qavrayış sərhədlərinin qeyri-məhdud genişlənməsi ilə birləşərək, dünyagörüşünə, fərdin cəmiyyətdəki mövqeyinə və son nəticədə ciddi təsir göstərə bilər (və edəcək) , açıq ümumi psixoloji vəziyyət yığmaq, ya da kürək deyək - şizə yol açır. Aşağıdakı mətni çox diqqətlə oxumaq lazım deyil, orada təsvir olunan şeyləri çox canlı və canlı təsəvvür etmək lazım deyil. Və sonra demə ki, sənə xəbərdarlıq edilməyib!

Canavar nömrələrinə keçməzdən əvvəl əvvəlcə məşq edək pişiklər üzərində. Nəzərinizə çatdırım ki, böyük rəqəmləri (canavarlar deyil, sadəcə böyük rəqəmlər) təsvir etmək üçün elmi və ya sözdə istifadə etmək rahatdır. eksponensial qeyd üsulu.

Kainatdakı (Müşahidə olunan Kainatda) ulduzların sayı deyəndə, heç bir axmaq axırıncı ulduza qədər hərfi mənada onların neçəsinin olduğunu hesablamağa zəhmət çəkməz. Təxminən 10 21 ədəd olduğuna inanılır. Və bu daha aşağı təxmindir. Bu o deməkdir ki, ulduzların ümumi sayı birdən sonra 21 sıfır olan bir ədəd kimi ifadə edilə bilər, yəni. "1.000.000.000.000.000.000.000".

Onların kiçik bir hissəsi (təxminən 100.000) Omega Centauri kürə klasterində belə görünür.

Təbii ki, belə tərəzilərə gəlincə, həqiqi ədədlər sayda ciddi rol oynamır, hər şey çox şərti və təxminidir. Ola bilər faktiki olaraq Kainatdakı ulduzların sayı "1,564,861,615,140,168,357,973" və ya bəlkə də "9,384,684,643,798,468,483,745"dir. Və hətta "3 333 333 333 333 333 333 333", niyə də olmasın, əlbəttə ki, çətin olsa da. Bütövlükdə kainatın xassələri haqqında elm olan kosmologiyada belə xırda şeylər aldanmır. Əsas odur ki, təsəvvür edin haqqında bu rəqəm 22 rəqəmdən ibarətdir ki, ondan onu 21 sıfırlı vahid hesab edib 10 21 kimi yazmaq daha əlverişlidir. Qayda ümumi və çox sadədir. Dərəcənin yerində hansı rəqəm və ya rəqəm dayanır (burada 10-un üstündə kiçik çapla çap olunur), onu sadə şəkildə, simvollarla deyil, sıra ilə rəngləsəniz, birdən sonra neçə sıfır olacaq. elmi yoldur. Bəzi rəqəmlərin “insan adları” var, məsələn, 10 3-ə “min”, 10 6-ya “milyon”, 10 9-a isə “milyar” deyirik, bəzilərinə isə yoxdur. Tutaq ki, 1059-un ümumi adı yoxdur. Və 10 21, yeri gəlmişkən, var - bu, "sekstilyon"dur.

Bir milyona çatan hər şey, demək olar ki, hər bir insan üçün intuitiv olaraq başa düşüləndir, çünki kim milyonçu olmaq istəməz? Sonra bəzi problemlər başlayır. Baxmayaraq ki, bir milyard (10 9) da demək olar ki, hər kəsə məlumdur. Hətta bir milyarda qədər saya bilərsiniz. Əgər doğulduqdan sonra, sözün əsl mənasında, doğum anında, saniyədə bir dəfə "bir, iki, üç, dörd ..." saymağa başlasanız və yatmayın, içməyin, yemək yeməyin, ancaq sayın- gecə-gündüz yorulmadan sayın, sonra 32 il çatdıqda bir milyarda qədər saya bilərsiniz, çünki Yerin Günəş ətrafında 32 dövrəsi təxminən bir milyard saniyə çəkir.

7 milyard planetdəki insanların sayıdır. Yuxarıda deyilənlərə əsasən, insan həyatı boyu onların hamısını sıra ilə saymaq qətiyyən mümkün deyil, iki yüz ildən çox yaşamalı olacaqsınız.

100 milyard (10 11) - planetin tarixi boyu bu qədər insan yaşamışdır. McDonald's 50 illik mövcudluğu ərzində 1998-ci ilə qədər 100 milyard hamburger satdı. 100 milyard ulduz (yaxşı, bir az daha çox) bizim qalaktikamızdadır süd Yolu Günəş də onlardan biridir. Müşahidə edilə bilən kainatda eyni sayda qalaktika var. İnsan beynində 100 milyard neyron var. Və bağırsağındakı bu xətlərin hər bir oxucusunda eyni sayda anaerob bakteriya yaşayır.

Katrilyon (10 15, bir milyon milyard) planetdəki qarışqaların ümumi sayıdır. Bu söz normal insanlar bunu yüksək səslə demirlər, yaxşı, etiraf edin, söhbətdə sonuncu dəfə nə vaxt “katrilyonlarla bir şey” eşitmisiniz?

Kvintilyon (10 18, milyard milyard) - 3x3x3 Rubik Kubunu yığarkən çoxlu mümkün konfiqurasiyalar mövcuddur. Dünya okeanlarında kubmetr suyun sayı da belədir.

Sextillion (10 21) - bu rəqəmə artıq rast gəlmişik. Müşahidə olunan Kainatdakı ulduzların sayı. Yerin bütün səhralarında qum dənələrinin sayı. Bəşəriyyətin bütün mövcud elektron cihazlarında tranzistorların sayı, əgər Intel bizə yalan deməsəydi.

10 sekstilyon (10 22) bir qram sudakı molekulların sayıdır.

10 24 kiloqramla Yerin kütləsidir.

10 26 - Müşahidə olunan Kainatın diametri metrlə, lakin metrlə saymaq çox rahat deyil, Müşahidə olunan Kainatın ümumi qəbul edilmiş sərhədləri 93 milyard işıq ilidir.

Kosmik miqyasları vizuallaşdırmaq üçün bu şəkli tam ekrana qədər genişləndirərək öyrənmək faydalıdır.

Bununla belə, Müşahidə Olunan Kainatda belə, siz sayğaclardan daha çox şeyləri sıxışdıra bilərsiniz.

1051 atom Yer planetini təşkil edir.

Müşahidə oluna bilən kainatdakı elementar hissəciklərin təxmini sayı 10 80.

10 90 Müşahidə Olunan Kainatdakı fotonların təxmini sayıdır. Onların sayı elementar hissəciklərdən, elektronlardan və protonlardan təxminən 10 milyard dəfə çoxdur.

10 100 - googol. Bu rəqəm fiziki olaraq heç nə demək deyil, sadəcə yuvarlaq və gözəldir. Google bağlantılarını indeksləşdirməyi qarşısına məqsəd qoyan şirkət (zarafat, təbii ki, bu, kainatdakı elementar hissəciklərin sayından çoxdur!) 1998-ci ildə Google adını götürdü.

Müşahidə oluna bilən Kainatı göz bəbəklərinə, protondan protona, arxa arxaya doldurmaq üçün 10.122 proton lazım olacaq.

10,185 Plank cildləri Müşahidə olunan Kainat tərəfindən işğal edilir. Plankın həcmindən (10-35 metr uzunluğunda Plankın bir kubu) elmimiz bilmir. Şübhəsiz ki, Kainatda olduğu kimi, orada da daha kiçik bir şey var, lakin elm adamları hələ bu cür xırda şeylər üçün sağlam düsturlar tapmayıblar, yalnız açıq fərziyyələr.

Belə çıxır ki, 10,185 və ya daha çox, prinsipcə, nəyisə ifadə edə bilən ən böyük rəqəmdir müasir elm. Hiss edə və ölçə bilən elmdə. Bu, mövcud olan və ya mövcud ola biləcək bir şeydir, əgər baş vermişsə, biz kainat haqqında bilmək üçün hər şeyi bilirdik. Nömrə 186 rəqəmdən ibarətdir, burada:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Və ya sim nəzəriyyəsi haqqında eşitdim, buna görə simli vibrasiyaların təxminən 10.500 konfiqurasiyası ola bilər, bu da hər birinin öz qanunlarına malik eyni sayda potensial kainat deməkdir.

Mən yalnız tanınmışları qeyd edəcəm googolplex. Rəqəmlərin gooqoluna malik olan bir ədəd, bir qoqolun gücünə on (10 googol) və ya onluğun gücünə on (10 10 100).

10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Mən bunu rəqəmlərlə yazmayacağam. Googleplex tamamilə heç nə demək deyil. İnsan heç bir şeyin googolplexini təsəvvür edə bilməz, fiziki cəhətdən mümkün deyil. Belə bir rəqəmi yazmaq üçün, əgər "nano-qələm"lə birbaşa vakuumda, əslində kosmosun Plank hüceyrələrində yazsanız, bütün müşahidə olunan kainata ehtiyacınız olacaq. Gəlin bütün materiyanı mürəkkəbə çevirək və Kainatı bir möhkəm rəqəmlə dolduraq, onda biz googolplex alırıq. Amma riyaziyyatçılar qorxulu insanlar!) Onlar yalnız Googleprex ilə isinirlər, bu, onlar üçün əsl zalımların başladığı ən aşağı çubuqdur. Əgər siz düşünürsünüzsə ki, googolplex ölçüsündə googolplex haqqında danışdığımız şeydir, NECƏ səhv etdiyini bilmirsiniz.

Googolplex-in arxasında riyazi sübutlarda bu və ya digər rolu olan çoxlu maraqlı nömrələr var, nə qədər uzun və qısa, gəlin birbaşa riyaziyyatçı Ronald Grahamın adını daşıyan Qrem nömrəsinə keçək (yaxşı, əlbəttə). Əvvəlcə bunun nə olduğunu və nə üçün sizə lazım olduğunu söyləyəcəyəm, bundan sonra məcazi şəkildə və barmaqlarda™ Mən onun böyüklüyündə nə olduğunu təsvir edəcəyəm, sonra rəqəmin özünü yazacağam. Daha doğrusu, yazdıqlarımı izah etməyə çalışacam.

Bütün təpələri qırmızı və ya mavi rəngli iki rəngli xətt-seqmentlərlə birləşdirilən bir kub təsəvvür edin. Təsadüfi olaraq birləşdirilir və rənglənir. Bəziləri artıq riyaziyyatın kombinatorika adlı bir qolu haqqında danışacağımızı təxmin ediblər.

Rənglərin konfiqurasiyasını elə qura və seçə biləcəyikmi (və onlardan yalnız ikisi var - qırmızı və mavi), belə ki, bu seqmentləri rəngləyərkən eyni rəngin bütün seqmentlərinin bir-birinə bağlanması İŞLƏMƏYƏCƏK. dörd təpə eyni müstəvidə yerləşir? Bu halda, onlar belə bir rəqəmi təmsil etmirlər:

Özünüz düşünə bilərsiniz, xəyalınızdakı kubu gözlərinizin önündə bükə bilərsiniz, bunu etmək o qədər də çətin deyil. İki rəng var, kubun 8 təpəsi (küncləri) var, yəni onları birləşdirən 28 seqment var.Rəng konfiqurasiyasını elə seçə bilərsiniz ki, yuxarıdakı rəqəmi heç yerdə əldə etməyək, çoxrəngli xətlər olacaq. bütün mümkün təyyarələrdə.

Daha çox ölçülərimiz olsa nə olar? Nə olar ki, bir kub yox, amma dörd ölçülü kub, yəni. tesseract? 3D ilə eyni hiyləni çəkə bilərikmi?

Beş ölçüdə? Kubun penterakt və ya pentakub adlandırıldığı beş ölçülüdə də mümkündür.
Və altı ölçüdə.

Və sonra çətinliklər var. Qrem yeddi ölçülü hiperkubun belə bir əməliyyatı yerinə yetirə biləcəyini riyazi olaraq sübut edə bilmədi. Həm səkkiz ölçülü, həm də doqquz ölçülü və s. Ancaq bu "və s." belə çıxdı, sonsuzluğa getmir, amma bəziləri ilə bitir böyük rəqəm, bu Graham nömrəsi adlanır.

Yəni bəziləri var minimum ölçü hiperkub, onun altında şərt pozulur və rəngləmə seqmentlərinin birləşməsindən qaçmaq artıq mümkün deyil, beləliklə eyni rəngli dörd nöqtə eyni müstəvidə yatacaqdır. Və bu minimum ölçü altıdan tam böyükdür və Qrem rəqəmindən tam olaraq azdır, bu alimin riyazi sübutudur.

İndi bir neçə paraqrafda yuxarıda təsvir etdiklərimin tərifi quru və darıxdırıcı (lakin tutumlu) riyaziyyat dilində. Bunu başa düşmək lazım deyil, amma gətirə bilmərəm.

n ölçülü hiperkübü nəzərdən keçirin və 2n təpə ilə tam qrafik əldə etmək üçün bütün təpə cütlərini birləşdirin. Bu qrafikin hər kənarını qırmızı və ya mavi rənglə rəngləyin. Nə vaxt ən kiçik dəyər n hər bir belə rəngləmə mütləq dörd təpəsi olan bir rəngli tam subqrafı ehtiva edir, bunların hamısı eyni müstəvidə yerləşir?

70-ci illərdən uzun illər keçdi, tapıldı riyaziyyat problemləri hansı rəqəmlər və daha çox Graham görünür, lakin bu ilk canavar nömrəsi bunun nə miqyasda olduğunu başa düşən müasirlərini o qədər heyran etdi ki, 1980-ci ildə o, Ginnesin Rekordlar Kitabına "ciddi riyazi sübutda iştirak edən ən böyük rəqəm" kimi daxil edildi. an.

Gəlin onun nə qədər böyük olduğunu anlamağa çalışaq. Hər hansı bir ola biləcək ən böyük rəqəm fiziki məna 10 185 və bütün Müşahidə oluna bilən Kainat zahirən sonsuz kiçik ədədlər toplusu ilə doludursa, biz buna mütənasib bir şey əldə edirik. googolplex.

Bu icmanı təsəvvür edə bilərsinizmi? İrəli, geri, yuxarı, aşağı, gözün görə bildiyi qədər və gözün görə bildiyi qədər Hubble teleskopu, və hətta nə qədər kifayət deyil, ən uzaq qalaktikalara və onlardan kənara baxaraq - ədədlər, ədədlər, protondan çox kiçik ədədlər. Belə bir kainat, təbii ki, uzun müddət mövcud ola bilməyəcək, dərhal qara dəliyə çökəcək. Nə qədər məlumatın nəzəri olaraq kainata sığacağını xatırlayırsınızmı? Mən edirəm.

dochulion = 10 10 185

İdrakın qapılarını bir az da geniş açaq. Yadınızdadır? Kainatımızın çoxlu kainatdakı çoxlu baloncuklardan yalnız biri olduğunu. Və təsəvvür edirsinizsə dohulion belə baloncuklar? Mövcud olan hər şey olduğu müddətcə bir ədəd götürək və çoxlu kainatı hər biri göz bəbəklərinə qədər rəqəmlərlə dolu olan oxşar sayda kainatla təsəvvür edək - alırıq dochulion dochulion. Bunu təsəvvür edə bilərsinizmi? Skayar bir sahənin yoxluğunda necə üzürsən və hər tərəf kainatlar-kainatlar və onların içində ədədlər-rəqəmlər-rəqəmlərdir... Ümid edirəm ki, belə bir kabus (baxmayaraq ki, niyə kabus?) əzab çəkməyəcək (və niyə əzab verir?) gecələr həddindən artıq təsirlənən oxucu.

Mən nəyə nail oluram? Yavaşlamağa dəyərmi? Hadi, hoba, və daha bir çevirmək! İndi bizim kainatlarda rəqəmlər olduğu qədər kainatlarımız var, onların sayı Kainatımızı dolduran rəqəmlərin dokulyonuna bərabər idi. Və dərhal, dayanmadan, yenidən çevirin. Həm dördüncü, həm də beşinci. Onuncu, mininci. Fikirlə ayaqlaşın, hələ də şəkli təsəvvür edin?

dohouliard = flip flips

Gücümüz olduğu müddətcə dayanmırıq və dohuliardları fırlatmağa davam edirik. Gözlər qaralana qədər, qışqırmaq istəyənə qədər. Burada hər kəs özü üçün cəsur Pinocchio, dayanacaq sözü "brynza" olacaq.

Belə ki. Bütün bunlar nə ilə bağlıdır? Tam rəqəmlərdən ibarət kainatların nəhəng və sonsuz dokulyonları və dohouliardları Qrehemin sayına uyğun gəlmir. Onlar hətta səthi cızmırlar. Graham nömrəsi ənənəvi olaraq Müşahidə olunan Kainatda uzanan bir çubuq şəklində təqdim olunursa, onda biz sizinlə nəyik? çevrildi qalınlığında bir çentik olur ... yaxşı ... yumşaq desək, necə olardı ... qeyd etməyə layiq deyil. Burada bacardığım qədər yumşalddım.

g 1 sayı "üç, dörd ox, üç"ə bərabərdir. Bunun mənası nədi? Knuth ox notasiyası adlanan qeyd belə görünür.

Bir ox adi eksponentasiya deməkdir.

1010 = 10 10 = 10 000 000 000

İki ox başa düşülən şəkildə eksponentasiya deməkdir.

23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16

33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7,625,597,484,987 (7 trilyondan çox)

34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = təxminən 3 trilyon rəqəmi olan rəqəm

35 = 33333 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987 = 3 3 trilyon rəqəmin gücünə - googolplex artıq pisdir

5 5 5 5 5 5 5 5

Gəlin üç oxa keçək. Əgər qoşa ox dərəcə qülləsinin hündürlüyünü göstərirdisə, onda üçlü ox "qüllənin hündürlüyünün qülləsinin hündürlüyünü" göstərir? Nə var! Üçqat vəziyyətində, qüllənin hündürlüyünün qüllə hündürlüyünə sahibik (riyaziyyatda belə bir anlayış yoxdur, mən onu adlandırmaq qərarına gəldim " ehtiyatsız"). Bu kimi bir şey:

Yəni, 33 qülləsiz üçlüklər, 7 trilyon ədəd yüksəklik təşkil edir. Üst-üstə yığılmış və “qülləsiz” adlanan 7 trilyon üçlük nədir? Əgər bu mətni diqqətlə oxusanız və lap əvvəlində yuxuya getməmisinizsə, yəqin ki, Yerdən Saturna qədər 100 trilyon santimetr olduğunu xatırlayırsınız. On ikinci şriftdə ekranda göstərilən üçlük, bu - 3 - beş millimetr hündürlükdədir. Beləliklə, qülləsiz üçüzlər ekranınızdan uzanacaqlar... yaxşı, əlbəttə ki, Saturna deyil. Hətta Günəş də yaxşı havada Yerdən Marsa astronomik vahidin yalnız dörddə birinə çatmayacaq. Diqqətinizi çəkirəm (yatmayın!) qülləsiz Yerdən Marsa qədər olan rəqəm deyil, elədir belə yüksək dərəcə qülləsi. Xatırlayırıq ki, bu qüllədə beş üçlük googolplex-i əhatə edir, üçqatların ilk desimetrinin hesablanması planetin kompüterlərinin bütün qoruyucularını yandırır və qalan milyonlarla kilometr dərəcələr artıq faydasızdır, sadəcə olaraq oxucunu açıq şəkildə ələ salırlar, onları sayırlar. faydasız və qeyri-mümkündür.

İndi aydın olur ki, 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 qülləsiz, (qülləsizlik dərəcəsinə 3 deyil, "üç ox qülləsiz" (!)), o qalasız qalasızlıq nə uzunluğu, nə də hündürlüyü Müşahidə Olunan Kainata sığmayacaq və hətta təklif olunan Multiverseyə də sığmayacaq.

Sözlər 35 = 33333 ilə bitir, ünsiyələr isə 36 = 333333 ilə bitir, lakin maraqlanırsınızsa, məşq edə bilərsiniz.

Onu hesablamaq əbəsdir və nəticə verməyəcək. Buradakı dərəcələrin sayı mənalı mühasibatlığa uyğun gəlmir. Bu rəqəmi təsəvvür etmək, təsvir etmək mümkün deyil. Analoq yoxdur barmaqlarda™ tətbiq olunmur, nömrənin sadəcə müqayisə olunası heç nə yoxdur. Nəhəng olduğunu, möhtəşəm olduğunu, monumental olduğunu və hadisə üfüqündən kənara baxdığını deyə bilərik. Yəni ona bəzi şifahi epitetlər vermək. Ancaq vizuallaşdırma, hətta sərbəst və obrazlı da mümkün deyil. Əgər üç oxla hələ də heç olmasa nəsə demək, Yerdən Marsa qülləsiz çəkmək, birtəhər bir şeylə müqayisə etmək mümkün idisə, onda bənzətmə ola bilməz. Yerdən Marsa qədər üçlü nazik bir qüllə təsəvvür etməyə çalışın, onun yanında başqa biri demək olar ki, eyni, başqası və başqası ... Qüllələrin sonsuz sahəsi uzaqlara, sonsuzluğa uzanır, qüllələr hər yerdə, qüllələr hər yerdədir . Və ən təhqiredicisi odur ki, bu qüllələrin sayı ilə heç bir əlaqəsi belə yoxdur, onlar yalnız qüllələrin hündürlüyünü almaq, qüllələrin hündürlüyünü almaq üçün tikilməli olan digər qüllələrin hündürlüyünü təyin edirlər. ... ağlasığmaz miqdarda vaxt və təkrarlardan sonra nömrənin özünü əldə etmək üçün.

g 1 budur, 33 budur.

İstirahət etdiniz? İndi, g 1-dən, yenilənmiş güclə, Graham nömrəsinə hücuma qayıdırıq. Eskalasiyanın oxdan oxa necə böyüdüyünü görmüsünüzmü?

33 = 7 625 597 484 987

33 = qüllə, Yerdən Marsa.

33 = nə təsəvvür edilə, nə də təsvir edilə bilən rəqəm.

Təsəvvür edin ki, atıcı beş yaşında olanda rəqəmsal kabus nə baş verir? Nə vaxt altı var? Təsəvvür edə bilərsinizmi ki, atıcı yüz olacaq? Mümkünsə, icazə verin, g 2 rəqəmini diqqətinizə çatdırım ki, bu oxların sayı g 1-ə bərabərdir. g 1-in nə olduğunu xatırlayın, elə deyilmi?

Gizlətməyəcəyəm, g 2 oxlarını ehtiva edən g 3 də var. Yeri gəlmişkən, hələ də aydındırmı ki, g 3 g 2 "gücünə" g 2 deyil, hündürlüyü təyin edən qülləsiz qüllələrin hündürlüyünü təyin edən qülləsiz qüllələrin sayıdır ... və s. Kainatın istilik ölümünə qədər bütün zəncir? Burada ağlamağa başlayırsan.

Niyə ağlayırsan? Çünki tamamilə doğrudur. Üçlüklər arasında g 3 oxları ehtiva edən g 4 rəqəmi də var. g 5 də var , g 6 və g 7 və g 17 və g 43 var ...

Bir sözlə, bunlardan 64 g var. Hər bir əvvəlki rəqəm növbəti oxların sayına bərabərdir. Sonuncu g 64 Grahamın nömrəsidir, hər şey elə məsum bir şəkildə başlayırdı. Bu hiperkubun ölçülərinin sayıdır ki, bu da seqmentləri qırmızı və mavi rənglərdə düzgün rəngləndirmək üçün mütləq kifayət edəcəkdir. Bəlkə də az, bu, belə demək mümkünsə, yuxarı hədddir. Aşağıdakı kimi yazılır:

Və belə yazırlar:

Hər şey, indi vicdanla istirahət edə bilərsiniz. Artıq nəyisə təsəvvür etməyə və hesablamağa ehtiyac yoxdur. Bu nöqtəyə qədər oxumusunuzsa, hər şey artıq yerinə düşməlidir. Ya da qalxma. Ya da özbaşına deyil.

Bəli, qoruyucuları yanmış təcrübəli oxucu, danlamağa ehtiyac yoxdur, tamamilə haqlısınız. Grahamın nömrəsi çox uzaq və uydurma bir axmaqlıqdır. Bütün bu ölçüsiz hiperkublar və mücərrəd müstəvilər, şeytan onları parçalayır, kimə lazımdır? Kiloqramlar, elektronlar harada, ölçülə bilən bir şey haradadır? Nə boş söhbətdir? Razıyam. Bugünkü yazı deyə bilərik barmaqlarda™ mümkün olduğu qədər, real elmdən uzaq, demək olar ki, tamamilə bir növ cəfəng riyazi fantaziyalara qapılıb, elm adamlarının cihazlar üçün kifayət qədər pulları olmadığı bir vaxtda, dünya enerji problemi həll olunmayıb və kiminsə hələ də həyətində tualet var. Və kim və sahədə.

Ancaq bilirsiniz, belə bir nəzəriyyə var, həm də çox efemer və fəlsəfi, siz eşitmisiniz - insanın təsəvvür edə biləcəyi və ya təsəvvür edə biləcəyi hər şey bir gün mütləq gerçəkləşəcəkdir. Çünki sivilizasiyanın inkişafı onun keçmişin fantaziyalarını nə dərəcədə reallığa çevirə bildiyinə görə müəyyən edilir.

Gələcəyin bizi nə gözlədiyini heç kim bilmir. Bəşər sivilizasiyasının sona çatmağın min yolu var: nüvə müharibələri, ekoloji fəlakətlər, asteroidin uça biləcəyi ölümcül pandemiyalar, dinozavrlar sizə yalan danışmağa imkan verməyəcək. Bəşəriyyətin inkişafı öz-özünə dayana bilər, birdən elə bir qanun yaranır ki, müəyyən səviyyəyə çatanda inkişaf sadəcə dayanır və bu qədər. Yaxud qalaktikalararası birliyin nümayəndələri gəlib bu inkişafı zorla dayandıracaqlar.

Ancaq bəşəriyyətin inkişafının dayanmadan davam etməsi şansı hələ də az deyil. Son 100 ildəki kimi başgicəlləndirici sürətlə olmasa da, əsas odur ki, hərəkət irəli, əsas odur ki, mütərəqqi olsun.

Təbiətin ən qədim dövrlərdən bizə məlum olan bir sarsılmaz qanunu var. Nə olursa olsun, nə olursa olsun, özümüzə nə fikirləşsək də, vaxt heç yerə getməyəcək, keçəcək. İstəsək də, istəməsək də, bizimlə və ya bizsiz min 10 min il keçəcək.

200 il əvvəl uçan xalça (adi bir təyyarə), sehrli güzgü (Skype videosu) və ya uzaq bir səltənət (Mars planetinin səthi) boru nağılı kimi görünürdü, 2000 il əvvəl yalnız tanrılara arxalanırdılar, 20.000 il əvvəllər bunu heç təsəvvür edə bilmirdilər, təxəyyülləri çatmırdı. Deyə bilərsinizmi ki, 200 ildən sonra insan üçün nə olacaq? 2000-ci ildə, 20.000 ildən sonra?

Bəşəriyyət sağ qalacaqmı, ümumiyyətlə "insan-" prefiksi ilə bəşəriyyət olacaqmı və bəlkə o vaxta qədər Süni İntellektin mərhələsi başa çatacaq və xüsusi şüur kateqoriyasına aid bir növ efir enerjisi maddələrinə səbəb olacaq? Bəlkə bəli bəlkə də yox.

Bir milyon il keçsə nə olar? Amma getdiyi yerə gedəcək. Qrem rəqəmi və ümumiyyətlə insanın düşünə, təsəvvür edə bildiyi, yoxluqdan qoparıb çıxara bildiyi və maddi olmasa da, heç olmasa müəyyən məna kəsb edən varlıq edə bildiyi hər şey gec-tez təcəssüm etdiriləcək. Sadəcə ona görə ki, bu gün kifayət qədər gücümüz var idi həyata keçirmək bacarığını inkişaf etdirmək.

Bu gün, sabah, fürsət olanda - başını yenidən gecə səmasına at. Öz əhəmiyyətsizliyinizi hiss etdiyiniz anı xatırlayın? Bir insanın nə qədər kiçik olduğunu hiss edirsən? Bir toz zərrəsi, heç bir rəqəmi olmayan ulduzlarla dolu olan böyük kainatla müqayisədə bir atom, quyu və uçurum da kiçik deyil.

Növbəti dəfə başınızda baş verənlərlə müqayisədə Kainatın nə qədər qum dənəsi olduğunu hiss etməyə çalışın. Nə uçurum açır, hansı ölçüyəgəlməz məfhumlar doğulur, hansı dünyalar qurulur, Kainatın yalnız bir düşüncə hərəkəti ilə necə ters çevrildiyi, canlı, ağıllı maddənin ölü və ağılsızdan necə və nə qədər fərqləndiyi.

İnanıram ki, bir müddət sonra insan Grahamın nömrəsinə əlini uzadacaq, ona əli ilə toxunacaq və ya o vaxta qədər əli əvəzinə nə olacaqsa. Bu, əsaslandırılmış, elmi cəhətdən sübut edilmiş fikir deyil, bu, həqiqətən, sadəcə bir ümiddir, məni ruhlandıran bir şeydir. Böyük hərflə İnam deyil, dini ekstaz deyil, təlim deyil və mənəvi təcrübə deyil. İnsanlıqdan gözlədiyim budur. Çalışdığım işdə, bacardığım qədər kömək etməyə. Baxmayaraq ki, ehtiyatla özümü aqnostik kimi təsnif etməyə davam edirəm.

O qədər inanılmaz, inanılmaz dərəcədə böyük rəqəmlər var ki, onları yazmaq üçün bütün kainat lazım olacaq. Amma burada həqiqətən dəli olan budur... bu anlaşılmaz dərəcədə böyük rəqəmlərdən bəziləri dünyanı anlamaq üçün son dərəcə vacibdir.

"Kainatdakı ən böyük rəqəm" deyəndə, həqiqətən ən böyüyü nəzərdə tuturam mənalı sayı, müəyyən mənada faydalı olan maksimum mümkün ədəd. Bu titul üçün çoxlu iddiaçılar var, amma mən sizi dərhal xəbərdar edirəm: həqiqətən də bütün bunları başa düşməyə çalışmağın ağlınızı itirməsi riski var. Üstəlik, çox riyaziyyatla siz az əylənirsiniz.

Googol və googolplex

Edvard Kasner

Biz iki ilə başlaya bilərik, çox güman ki, indiyə qədər eşitdiyiniz ən böyük rəqəmlər və bunlar həqiqətən də ümumi qəbul edilmiş tərifləri olan iki ən böyük rəqəmdir. Ingilis dili. (İstədiyiniz qədər böyük ədədlər üçün kifayət qədər dəqiq nomenklatura istifadə olunur, lakin bu iki rəqəmə hal-hazırda lüğətlərdə rast gəlinmir.) Google, dünya şöhrəti qazandığı üçün (səhvlərlə də olsa, qeyd edin. əslində googoldur) Google forması, 1920-ci ildə uşaqları böyük rəqəmlərlə maraqlandırmaq üçün yaradılmışdır.

Bu məqsədlə Edvard Kasner (şəkildə) iki qardaşı oğlu Milton və Edvin Sirottu Nyu Cersi Palisades turuna apardı. Onları hər hansı bir ideya ilə çıxış etməyə dəvət etdi və sonra doqquz yaşlı Milton "googol" təklif etdi. Bu sözü haradan aldığı bilinmir, lakin Kasner buna qərar verdi və ya birdən sonra yüz sıfırın olduğu rəqəm bundan sonra quqol adlanacaq.

Lakin gənc Milton bununla kifayətlənmədi, o, daha da böyük bir rəqəmlə gəldi - googolplex. Bu, Miltona görə, yorulmadan əvvəl yaza biləcəyiniz qədər əvvəl 1, sonra isə sıfırları olan bir rəqəmdir. İdeya maraqlı olsa da, Kasner daha rəsmi tərifə ehtiyac olduğunu hiss etdi. 1940-cı ildə yazdığı “Riyaziyyat və Təxəyyül” kitabında izah etdiyi kimi, Miltonun tərifi təsadüfi bir camışın Albert Eynşteyndən daha üstün riyaziyyatçı ola biləcəyi təhlükəsi ilə bağlı təhlükəli ehtimalı açıq qoyur, çünki o, daha çox dözümlüdür.

Beləliklə, Kasner qərara gəldi ki, googolplex , və ya 1, sonra isə sıfırlardan ibarət googol olacaq. Əks təqdirdə və digər nömrələrlə məşğul olacağımıza bənzər bir qeyddə googolplex olduğunu söyləyəcəyik. Bunun nə qədər valehedici olduğunu göstərmək üçün Karl Saqan bir dəfə qeyd etdi ki, kainatda kifayət qədər yer olmadığı üçün googolplex-in bütün sıfırlarını yazmaq fiziki olaraq mümkün deyil. Müşahidə edilə bilən kainatın bütün həcmi təxminən 1,5 mikron ölçülü incə toz hissəcikləri ilə doludursa, bu hissəciklərin təşkil oluna biləcəyi müxtəlif yolların sayı təxminən bir googolplexə bərabər olacaqdır.

Dil baxımından googol və googolplex, ehtimal ki, iki ən böyük əhəmiyyətli rəqəmdir (ən azı ingilis dilində), lakin indi müəyyən edəcəyimiz kimi, “əhəmiyyəti” təyin etməyin sonsuz bir çox yolu var.

Real dünya

Ən böyük əhəmiyyətli rəqəmdən danışsaq, bunun həqiqətən dünyada həqiqətən mövcud olan ən böyük rəqəmi tapmaq lazım olduğunu ifadə edən ağlabatan bir arqument var. Hazırda 6920 milyon civarında olan hazırkı insan əhalisindən başlaya bilərik. 2010-cu ildə dünya ÜDM-in təxminən 61,960 milyard dollar olduğu təxmin edilirdi, lakin bu rəqəmlərin hər ikisi insan bədənini təşkil edən təxminən 100 trilyon hüceyrə ilə müqayisədə kiçikdir. Təbii ki, bu rəqəmlərin heç biri kainatdakı zərrələrin ümumi sayı ilə müqayisə oluna bilməz ki, bu da adətən təxminən -dir və bu rəqəm o qədər böyükdür ki, dilimizdə buna bir söz yoxdur.

Ölçmə sistemləri ilə bir az oynaya bilərik və rəqəmləri daha da böyüdə bilərik. Beləliklə, Günəşin tonla kütləsi funtdan az olacaq. Bunu etmək üçün əla bir yol, fizika qanunlarının hələ də qüvvədə olduğu ən kiçik ölçülər olan Plank vahidlərindən istifadə etməkdir. Məsələn, Plank zamanında kainatın yaşı təxminən . Sonra ilk Plank zaman vahidinə qayıtsaq böyük partlayış, Kainatın sıxlığının o zaman olduğunu görəcəyik. Getdikcə daha çox alırıq, amma hələ bir googol səviyyəsinə belə çatmamışıq.

İstənilən real dünya tətbiqi ilə ən böyük rəqəm - və ya bu halda real tətbiq aləmlərdə - yəqin ki, - çoxlu kainatdakı kainatların sayının ən son təxminlərindən biridir. Bu rəqəm o qədər böyükdür ki, insan beyni sözün əsl mənasında bütün bu müxtəlif kainatları dərk edə bilməyəcək, çünki beyin yalnız təxmini konfiqurasiyalara qadirdir. Əslində, bütövlükdə çoxlu kainat ideyasını nəzərə almasanız, bu rəqəm, ehtimal ki, hər hansı praktik mənası olan ən böyük rəqəmdir. Bununla belə, orada hələ də daha böyük rəqəmlər gizlənir. Lakin onları tapmaq üçün biz xalis riyaziyyat sahəsinə girməliyik və başlamaq üçün sadə ədədlərdən daha yaxşı yer yoxdur.

Mersenne hazırlaşır

Çətinliyin bir hissəsi "mənalı" rəqəmin nə olduğunu yaxşı tərifləməkdir. Bir yol, əsas və kompozitlər baxımından düşünməkdir. Baş rəqəm, yəqin ki, məktəb riyaziyyatından xatırladığınız kimi, hər hansıdır natural ədəd(qeyd birə bərabər deyil), yalnız özünə və özünə bölünən. Beləliklə, və sadə ədədlərdir, və və mürəkkəb ədədlərdir. Bu o deməkdir ki, hər hansı bir kompozit ədəd nəhayət özününkü ilə təmsil oluna bilər əsas bölənlər. Müəyyən mənada rəqəm, məsələn, ondan daha vacibdir, çünki onu daha kiçik ədədlərin hasili ilə ifadə etmək imkanı yoxdur.

Aydındır ki, bir az da irəli gedə bilərik. məsələn, əslində ədalətlidir, yəni rəqəmlər haqqında biliklərimizin məhdud olduğu hipotetik dünyada riyaziyyatçı hələ də ifadə edə bilər. Ancaq növbəti rəqəm artıq sadədir, yəni onu ifadə etməyin yeganə yolu onun mövcudluğu haqqında birbaşa bilməkdir. Bu o deməkdir ki, məlum olan ən böyük sadə ədədlər mühüm rol oynayır, lakin, deyək ki, googol - nəticədə sadəcə ədədlər toplusudur və birlikdə vurulur - əslində yoxdur. Sadə ədədlər əsasən təsadüfi olduğundan, inanılmaz dərəcədə böyük ədədin əslində sadə olacağını proqnozlaşdırmaq üçün heç bir məlum yol yoxdur. Bu günə qədər yeni sadə ədədləri kəşf etmək çətin işdir.

Riyaziyyatçılar Qədim Yunanıstanən azı eramızdan əvvəl 500-cü ildə sadə ədədlər anlayışına sahib idilər və 2000 il sonra insanlar hələ də yalnız təxminən 750-yə qədər sadə ədədlərin nə olduğunu bilirdilər. Evklidin mütəfəkkirləri sadələşdirmənin mümkünlüyünü görürdülər, lakin İntibah dövrünə qədər riyaziyyatçılar onu həqiqətən tətbiq edə bilmirdilər. təcrübə. Bu rəqəmlər Mersen rəqəmləri kimi tanınır və 17-ci əsrdə yaşamış fransız alimi Marina Mersennin şərəfinə adlandırılıb. Fikir olduqca sadədir: Mersenne nömrəsi formanın istənilən nömrəsidir. Beləliklə, məsələn, və bu ədəd sadədir, eyni şey .

Mersenne əsasları hər hansı digər növdən daha sürətli və daha asan müəyyən edilir və kompüterlər son altı onillikdə onları tapmaq üçün çox çalışıblar. 1952-ci ilə qədər məlum olan ən böyük sadə ədəd rəqəmlərdən ibarət idi. Elə həmin il kompüterdə rəqəmin sadə olduğu hesablandı və bu rəqəm rəqəmlərdən ibarətdir ki, bu da onu artıq googoldan xeyli böyük edir.

Kompüterlər o vaxtdan bəri ovdadır və Mersenne sayı hazırda bəşəriyyətə məlum olan ən böyük sadə ədəddir. 2008-ci ildə kəşf edilmiş, demək olar ki, milyonlarla rəqəmdən ibarət rəqəmdir. Bu, hər hansı daha kiçik rəqəmlərlə ifadə edilə bilməyən ən böyük məlum ədəddir və daha böyük Mersenne nömrəsini tapmaqda kömək etmək istəyirsinizsə, siz (və kompüteriniz) həmişə http://www.mersenne saytında axtarışa qoşula bilərsiniz. org/.

Skewes sayı

Stanley Skuse

Sadə ədədlərə qayıdaq. Daha əvvəl dediyim kimi, onlar özlərini kökündən səhv aparırlar, bu o deməkdir ki, növbəti sadə ədədin nə olacağını təxmin etmək mümkün deyil. Riyaziyyatçılar, hətta bəzi dumanlı şəkildə gələcək sadə rəqəmləri proqnozlaşdırmaq üçün bir yol tapmaq üçün bəzi olduqca fantastik ölçülərə müraciət etmək məcburiyyətində qaldılar. Bu cəhdlərin ən uğurlusu, yəqin ki, 18-ci əsrin sonlarında əfsanəvi riyaziyyatçı Karl Fridrix Qauss tərəfindən icad edilən sadə ədəd funksiyasıdır.

Mən sizə daha mürəkkəb riyaziyyatı bağışlayacağam - hər halda, qarşıda hələ çox şey var - lakin funksiyanın mahiyyəti belədir: istənilən tam ədəd üçün -dən neçə sadə ədədin olduğunu təxmin etmək olar. Məsələn, əgər varsa, funksiya sadə ədədlərin olması lazım olduğunu təxmin edir, əgər - -dən kiçik sadə ədədlər və əgər , onda sadə olan daha kiçik ədədlər var.

Sadə ədədlərin düzülüşü həqiqətən qeyri-müntəzəmdir və yalnız sadə ədədlərin faktiki sayının təxminisidir. Əslində, biz bilirik ki, -dən kiçik, -dən kiçik və -dən kiçik sadələr var. Əmin olmaq üçün əla təxmindir, lakin bu, həmişə sadəcə bir təxmindir... və daha dəqiq desək, yuxarıdan gələn təxmindir.

Bütünlüklə məlum hallar-ə, sadə ədədlərin sayını tapan funksiya, sadələrin faktiki sayını -dən az şişirdir. Riyaziyyatçılar bir vaxtlar düşünürdülər ki, bu, həmişə belə olacaq, ad infinitum və bu, şübhəsiz ki, bəzi ağlasığmaz dərəcədə böyük ədədlərə aiddir, lakin 1914-cü ildə Con Edensor Littlewood sübut etdi ki, bəzi naməlum, ağlasığmaz dərəcədə böyük rəqəmlər üçün bu funksiya daha az sadə ədədlər yaratmağa başlayacaq. və sonra sonsuz sayda həddindən artıq qiymətləndirmə və aşağı qiymətləndirmə arasında keçid edəcək.

Ov yarışların başlanğıc nöqtəsi üçün idi və Stenli Skuse məhz burada peyda oldu (şəkilə bax). 1933-cü ildə o, ilk dəfə sadələrin sayını təxmin edən funksiya daha kiçik qiymət verdikdə yuxarı həddin ədəd olduğunu sübut etdi. Bu rəqəmin əslində nə olduğunu hətta ən mücərrəd mənada belə başa düşmək çətindir və bu nöqteyi-nəzərdən ciddi riyazi sübutda istifadə edilən ən böyük rəqəm idi. O vaxtdan bəri, riyaziyyatçılar yuxarı həddi nisbətən kiçik bir rəqəmə endirə bildilər, lakin orijinal nömrə Skewes sayı kimi tanındı.

Beləliklə, hətta qüdrətli googolplex cırtdanı edən rəqəm nə qədər böyükdür? Devid Uells Maraqlı və Maraqlı Nömrələrin Pinqvin Lüğətində riyaziyyatçı Hardinin Skewes sayının ölçüsünü başa düşə bilməsinin bir yolunu təsvir edir:

"Hardy bunun "riyaziyyatda hər hansı xüsusi məqsədə xidmət edən ən böyük rəqəm" olduğunu düşündü və təklif etdi ki, əgər şahmat kainatın bütün hissəcikləri ilə parça kimi oynansa, bir hərəkət iki hissəciyi dəyişdirməkdən ibarət olacaq və oyun dayanacaq. Eyni mövqe üçüncü dəfə təkrarlanırsa, bütün mümkün oyunların sayı təxminən Skuse sayına bərabər olacaq''.

Davam etməzdən əvvəl son bir şey: iki Skewes rəqəmindən daha kiçik olanı haqqında danışdıq. Riyaziyyatçının 1955-ci ildə tapdığı başqa bir Skewes nömrəsi var. Birinci rəqəm, Riemann fərziyyəsi adlananın doğru olması əsasında əldə edilir - riyaziyyatda sübut olunmamış, əsas ədədlərə gəldikdə çox faydalı olan xüsusilə çətin bir fərziyyə. Bununla belə, Riemann hipotezi yanlışdırsa, Skewes sıçrayış başlanğıc nöqtəsinin -ə qədər artdığını tapdı.

Böyüklük problemi

Hətta Skewes'in sayını kiçik göstərən rəqəmə keçməzdən əvvəl miqyas haqqında bir az danışmalıyıq, çünki əks halda hara getdiyimizi təxmin etmək üçün heç bir yolumuz yoxdur. Əvvəlcə bir rəqəm götürək - bu kiçik bir rəqəmdir, o qədər kiçikdir ki, insanlar əslində onun nə demək olduğunu intuitiv şəkildə başa düşə bilərlər. Bu təsvirə uyğun gələn çox az sayda ədəd var, çünki altıdan böyük rəqəmlər ayrı-ayrı ədəd olmaqdan çıxır və “bir neçə”, “çox” və s. olur.

İndi götürək , yəni. . Biz, həqiqətən, intuitiv olaraq rəqəm üçün etdiyimiz kimi, nə olduğunu anlaya bilməsək də, bunun nə olduğunu təsəvvür edə bilməsək də, bu, çox asandır. Hələlik hər şey yaxşı gedir. Amma getsək nə olar? Bu, və ya bərabərdir. Biz hər hansı digər çox böyük dəyər kimi bu dəyəri təsəvvür etməkdən çox uzağıq - biz bir milyon ətrafında ayrı-ayrı hissələri dərk etmək qabiliyyətini itiririk. (Etiraf etmək lazımdır ki, hər hansı bir şeyi bir milyona qədər saymaq olduqca uzun vaxt aparacaq, amma məsələ ondadır ki, biz hələ də bu rəqəmi dərk edə bilirik.)

Ancaq təsəvvür edə bilməsək də, heç olmasa anlaya bilirik ümumi mənada, bu, 7600 milyarddır, bəlkə də onu ABŞ ÜDM kimi bir şeylə müqayisə edir. Biz intuisiyadan təmsilə, sadəcə anlayışa keçdik, lakin heç olmasa rəqəmin nə olduğunu anlamaqda hələ də müəyyən boşluq var. Nərdivanla daha bir pillə qalxdıqca bu, dəyişmək üzrədir.

Bunun üçün Donald Knutun təqdim etdiyi, ox notasiyası kimi tanınan nota keçməliyik. Bu qeydlər kimi yazıla bilər. Sonra getdiyimiz zaman alacağımız nömrə olacaq. Bu, üçlülərin cəminin olduğu yerə bərabərdir. Biz indi qeyd olunan bütün digər rəqəmləri böyük və həqiqətən də üstələmişik. Axı, hətta ən böyüyünün indeks seriyasında cəmi üç və ya dörd üzvü var idi. Məsələn, hətta Super Skewes sayı "yalnız"dır - həm əsas, həm də eksponentlərin -dən çox böyük olmasına baxmayaraq, milyardlarla üzvü olan nömrə qülləsinin ölçüsü ilə müqayisədə hələ də heç bir şey yoxdur.

Aydındır ki, bu qədər böyük rəqəmləri başa düşməyin heç bir yolu yoxdur... və bununla belə, onların yaranma prosesi hələ də başa düşülə bilər. Biz qüdrət qülləsinin verdiyi real rəqəmi başa düşə bilmədik, bu milyard üçlüdür, lakin biz əsasən çoxlu üzvləri olan belə bir qülləni təsəvvür edə bilərik və həqiqətən layiqli bir superkompüter belə qüllələri yaddaşda saxlaya biləcək onların real dəyərlərini hesablaya bilmirlər.

Getdikcə daha çox mücərrədləşir, amma daha da pisləşəcək. Güclər qülləsinin eksponent uzunluğu olduğunu düşünə bilərsiniz (əslində, bu yazının əvvəlki versiyasında mən məhz bu səhvə yol vermişəm), lakin bu, sadəcə . Başqa sözlə, təsəvvür edin ki, siz elementlərdən ibarət üçlü güc qülləsinin dəqiq dəyərini hesablaya bildiniz və sonra bu dəyəri götürdünüz və içində ... verən qədər çox olan yeni bir qüllə yaratdınız.

Bu prosesi hər bir ardıcıl nömrə ilə təkrarlayın ( Qeyd sağdan başlayaraq) bunu bir dəfə edənə qədər və nəhayət . Bu, sadəcə olaraq inanılmaz dərəcədə böyük bir rəqəmdir, lakin heç olmasa, hər şey çox yavaş aparılırsa, onu əldə etmək üçün addımlar aydın görünür. Biz artıq rəqəmləri başa düşə bilmirik və ya onların əldə edildiyi proseduru təsəvvür edə bilmirik, lakin ən azı əsas alqoritmi yalnız kifayət qədər uzun müddət ərzində başa düşə bilərik.

İndi gəlin onu həqiqətən partlatmaq üçün zehni hazırlayaq.

Grahamın (Graham) nömrəsi

Ronald Graham

Riyazi sübutda indiyə qədər istifadə edilən ən böyük rəqəm kimi Ginnesin Rekordlar Kitabında yer alan Grahamın nömrəsini belə əldə edirsiniz. Onun nə qədər böyük olduğunu təsəvvür etmək qətiyyən qeyri-mümkündür və onun nə olduğunu dəqiq izah etmək də bir o qədər çətindir. Əsasən, üçdən çox ölçüsü olan nəzəri həndəsi fiqurlar olan hiperkublarla işləyərkən Qrehemin nömrəsi işə düşür. Riyaziyyatçı Ronald Qrem (şəkilə bax) hiperkubun müəyyən xassələrini sabit saxlayan ölçülərin ən kiçik sayının nə olduğunu öyrənmək istəyirdi. (Bu qeyri-müəyyən izaha görə üzr istəyirəm, amma əminəm ki, hamımız ən azı iki almalıyıq dərəcə daha dəqiq etmək üçün riyaziyyatda.)

Hər halda, Graham sayı bu minimum ölçü sayının yuxarı təxminidir. Beləliklə, bu yuxarı sərhəd nə qədər böyükdür? Gəlin o qədər böyük rəqəmə qayıdaq ki, onu əldə etmək üçün alqoritmi kifayət qədər qeyri-müəyyən şəkildə başa düşək. İndi, sadəcə bir səviyyəyə qalxmaq əvəzinə, birinci və sonuncu üçlük arasında oxları olan nömrəni sayacağıq. İndi biz bu rəqəmin nə olduğunu və ya onu hesablamaq üçün nə etmək lazım olduğunu ən kiçik bir şəkildə başa düşməkdən çox uzaqdayıq.

İndi bu prosesi dəfələrlə təkrarlayın ( Qeyd hər növbəti addımda əvvəlki addımda əldə edilən rəqəmə bərabər olan oxların sayını yazırıq).

Bu, xanımlar və cənablar, Grahamın nömrəsidir, bu rəqəm təxminən nöqtədən daha yüksəkdir. insan anlayışı. Bu, təsəvvür edə biləcəyiniz hər hansı bir rəqəmdən çox böyük olan bir rəqəmdir - bu, təsəvvür edə biləcəyiniz hər hansı bir sonsuzluqdan daha böyükdür - sadəcə olaraq ən mücərrəd təsvirə belə ziddir.

Amma qəribəsi budur. Graham'ın sayı əsasən üçqatların bir-birinə vurulması olduğundan, biz onun bəzi xüsusiyyətlərini hesablamadan bilirik. Biz bütün kainatı yazmaq üçün istifadə etsək belə, tanış olduğumuz heç bir notasiyada Grahamın nömrəsini təmsil edə bilmərik, lakin mən sizə Qrehemin nömrəsinin son on iki rəqəmini indi verə bilərəm: . Və bu, hamısı deyil: biz Grahamın nömrəsinin ən azı son rəqəmlərini bilirik.

Əlbəttə ki, bu rəqəmin Grahamın orijinal problemində yalnız yuxarı hədd olduğunu xatırlamaq lazımdır. İstənilən əmlakı yerinə yetirmək üçün tələb olunan ölçmələrin faktiki sayının çox, daha az olması mümkündür. Əslində, 1980-ci illərdən bəri bu sahənin əksər mütəxəssisləri inanırdılar ki, əslində yalnız altı ölçü var - o qədər kiçik bir rəqəm ki, biz onu intuitiv səviyyədə başa düşə bilərik. Aşağı hədd o vaxtdan --ə qədər artırıldı, lakin hələ də çox yaxşı şans var ki, Qrehem probleminin həlli Qreheminki qədər böyük rəqəmin yaxınlığında deyil.

Sonsuzluğa

Yəni Qrehemin sayından daha böyük rəqəmlər var? Əlbəttə ki, yeni başlayanlar üçün Graham nömrəsi var. Əhəmiyyətli rəqəmə gəlincə... yaxşı, riyaziyyatın (xüsusən, kombinatorika kimi tanınan sahə) və kompüter elminin bəzi vəhşicəsinə çətin sahələri var ki, orada Grahamın sayından da böyük rəqəmlər var. Ancaq mən ümid edə biləcəyim şeyin əsaslı şəkildə izah edə biləcəyi həddi demək olar ki, çatdıq. Daha da irəli getmək üçün kifayət qədər ehtiyatsız olanlar üçün əlavə oxuma riski sizin üzərinizə təklif olunur.

Yaxşı, indi Duqlas Reyə aid edilən heyrətamiz sitat ( Qeyd Düzünü desəm, olduqca gülməli səslənir:

“Mən qaranlıqda, ağıl şamının verdiyi kiçik işıq nöqtəsinin arxasında gizlənən qeyri-müəyyən ədədlərin yığınlarını görürəm. Bir-birinə pıçıldayırlar; kimin nə bildiyini danışır. Ola bilsin ki, onların kiçik qardaşlarını ağlımızla ələ keçirdiyimiz üçün bizi çox da sevmirlər. Və ya bəlkə də onlar bizim anlayışımızdan kənarda birmənalı rəqəmsal həyat tərzi sürürlər.''

Ən böyük riyazi sabit
Əvvəlcə həqiqətən böyük rəqəmlər təqdim etmədən Sonsuzluğu düzgün təmsil etmək çətindir. Mən kainatdakı atomların sayı və ya Şekspirin əsərlərini köçürmək üçün meymunun neçə il çəkdiyi kimi sıfıra yaxın olan kiçik rəqəmləri demirəm. Sizi 1977-ci ildə ciddi riyazi sübutda istifadə edilən ən böyük rəqəmin nə olduğunu nəzərdən keçirməyə dəvət edirəm. Ronald Graham tərəfindən bu sübut, Ramsey nəzəriyyəsində müəyyən bir suala cavabların yuxarı həddi təmin edir. Sübutunu başa düşmək üçün Donald Knuthun "sonlu ədədlərin öyrənilməsi" əsərindən yeni bir konsepsiya təqdim etmək lazımdır. Bu anlayış adətən yuxarıya doğru yönəlmiş kiçik ox ilə işarələnir, biz onu burada ^ kimi işarələyəcəyik

3^3 = 3 * 3 * 3 = 27. Bu rəqəm təsəvvür etmək üçün kifayət qədər kiçikdir.

3^^3 = 3^(3^3) = 3^27 = 7.625.597.484.987. 27-dən çox, amma çap etmək üçün kifayət qədər kiçik. Heç kim yeddi trilyon təsəvvür edə bilməz, lakin biz bu rəqəmi asanlıqla başa düşə bilərik ki, bu da ardıcıl olaraq təxminən ÜDM-in həcminə uyğundur.

3^^^3 = 3^^(3^^3) = 3^(3^(3^(3^...^(3^3)...))). “...” intervalı 7,625,597,484,987 üçlükdən ibarətdir. Başqa sözlə, 3^^^3 və ya ox (3, 3, 3) 7.625.597.484.987 səviyyəli üçlü eksponensial qaladır. Bu rəqəm insan təsəvvüründən kənardadır, lakin onun yaradılması prosedurunu vizual olaraq görmək olar. götürək x=1. x-i 3^x-ə təyin edin. Bunu yeddi trilyon dəfə təkrarlayın. Bu ədədin ən erkən mərhələləri bütün kainatda yer almaq üçün çox böyük olsa da, "3^3^3^3...^3" kimi yazılmış eksponensial qüllənin özü müasir superkompüterdə yer almaq üçün kifayət qədər kiçikdir. .

3^^^^3 = 3^^^(3^^^3) = 3^^(3^^(3^^...^^(3^^3)...)). Həm say, həm də onun yaradılması proseduru indi insanın təmsil etmək qabiliyyətindən kənardır, baxmayaraq ki, prosedur başa düşülə bilər. x=1 götürün. X uzunluqlu eksponensial qüllənin dəyərini təyin edin. Bunu 3^^^3 dəfə təkrarlayın, bu da yeddi trilyon üçqat eksponensial qalaya bərabərdir.

Və nəticədə Martin Qardnerin sözləri ilə desək, “3^^^^3 3^^^3-dən ağlasığmaz dərəcədə böyükdür, lakin hələ də kiçikdir, çünki sonlu ədədlərin çoxu daha böyükdür.”

Və sonra Grahamın nömrəsi. X 3^^^^^3-ə bərabər olsun, yuxarıda təsvir edilən ağlasığmaz böyük rəqəm. Sonra x dəyərini 3^^^^^^^^(x ox)^^^^^^^3 təyin edin. Eyni şeyi yenidən edin, lakin (3^^^^^^^(x ox)^^^^^^^^3) yerinə x-i əvəz edin) İlkin ardıcıllığı 3^^ nəzərə alaraq bunu 63 dəfə və ya 64 dəfə təkrarlayın. ^^^3.

Graham nömrəsi mənim anlamaq qabiliyyətimdən çox uzaqdır. Mən bunu təsvir edə bilərəm, amma düzgün başa düşə bilmirəm. (Bəlkə Graham bunu qəbul edə bilər, çünki ondan istifadə edərək riyazi sübut yazmışdır.) Bu rəqəm əksər insanların sonsuzluq anlayışından çox böyükdür. Bilirəm ki, bu mənim təsəvvürümdən daha çox idi.

Bu rəqəmin yuxarı həddi olaraq yaranmasına səbəb olan Ramsey probleminin əsl cavabı, yəqin ki, 6 rəqəmi idi.

P.s Mövhumatçı dəhşətdən əlavə, bu rəqəm mənim üçün kiçik bir zarafat yaratdı: Onotole Wasserman bir neçə saniyə ərzində Grahamın nömrəsini asanlıqla kvadratlaşdırır.

Dünyada nəyisə ifadə edən ən böyük rəqəm hansıdır? Bu yazıda mən Graham nömrəsi adlı rəqəmsal canavar haqqında danışmağa çalışacağam.

sly2m.livejournal.com yazır

Mənbə:

Uzun müddət uçuruma baxsanız, yaxşı vaxt keçirə bilərsiniz.
Mexanik Ruh Mühəndisi

Graham Number on Fingers™

Uşaq (və bu, təxminən üç-dörd yaşında baş verir) bütün nömrələrin üç qrupa bölündüyünü başa düşən kimi "bir, iki və çox" dərhal öyrənməyə çalışır: nə qədər çoxdur, nə qədər fərqlidir. çoxdan və o qədər çox ola bilər ki, artıq yoxdur. Şübhəsiz ki, valideynlərinizlə maraqlı (o yaş üçün) bir oyun oynadınız, ən çox nömrəni adlandıracaq və əgər əcdad beşinci sinif şagirdindən daha axmaq deyildisə, o, "iki milyon" cavabını verən hər "milyon" üçün həmişə qalib gəlirdi. , və "milyar" üçün - "iki milyard" və ya "bir milyard üstəgəl bir".

Artıq məktəbin birinci sinfinə qədər hamı bilir ki, sonsuz sayda ədəd var, onlar heç vaxt bitmir və ən böyük rəqəm yoxdur. İstənilən milyon trilyon milyarda siz həmişə "bir əlavə" deyə və qalib gələ bilərsiniz. Və bir az sonra gəlir (gəlməlidir!) Uzun ədədlərin özlüyündə heç bir məna kəsb etmədiyini başa düşmək. Bütün bu trilyonlarla milyardlar yalnız müəyyən sayda obyektin təsviri kimi xidmət etdikdə və ya müəyyən bir hadisəni təsvir etdikdə məna kəsb edir. Uzun səslənən ədədlər toplusundan başqa bir şey olmayan uzun ədədi icad etməkdə heç bir çətinlik yoxdur, artıq onların sonsuz sayda var. Elm müəyyən dərəcədə məcazi mənada bu ucsuz-bucaqsız uçurumda çox spesifik rəqəm kombinasiyalarını axtarmaqla, işıq sürəti, Avoqadro ədədi və ya Plank sabiti kimi bəzi fiziki hadisəyə əlavə etməklə məşğuldur.

Və dərhal sual yaranır, dünyada nəyisə ifadə edən ən böyük rəqəm nədir? Bu yazıda mən Graham nömrəsi adlı rəqəmsal canavar haqqında danışmağa çalışacağam, baxmayaraq ki, elm daha çox rəqəm bilir. Qrahamın nömrəsi ən çox açıqlanan nömrədir, geniş ictimaiyyət tərəfindən "eşitildi" deyə bilərsiniz, çünki izahat baxımından olduqca sadədir və başını çevirmək üçün kifayət qədər böyükdür. Ümumiyyətlə, burada kiçik bir imtina (Rusiya xəbərdarlığı) elan etmək lazımdır. Bu zarafat kimi səslənə bilər, amma zarafat etmirəm. Mən kifayət qədər ciddi danışıram - belə riyazi dərinliklərdə vasvası seçmə, qavrayış sərhədlərinin qeyri-məhdud genişlənməsi ilə birləşərək, dünyagörüşünə, fərdin cəmiyyətdəki mövqeyinə və son nəticədə ciddi təsir göstərə bilər (və edəcək) , seçicinin ümumi psixoloji vəziyyətinə dair və ya, əşyaları öz adları ilə çağıracağıq - şizəyə yol açır. Aşağıdakı mətni çox diqqətlə oxumaq lazım deyil, orada təsvir olunan şeyləri çox canlı və canlı təsəvvür etmək lazım deyil. Və sonra demə ki, sənə xəbərdarlıq edilməyib!

Canavar nömrələrinə keçməzdən əvvəl gəlin əvvəlcə pişiklər üzərində məşq edək. Nəzərinizə çatdırım ki, böyük rəqəmləri (canavarlar deyil, sadəcə böyük rəqəmlər) təsvir etmək üçün elmi və ya sözdə istifadə etmək rahatdır. eksponensial qeyd.

Kainatdakı (Müşahidə olunan Kainatda) ulduzların sayı deyəndə, heç bir axmaq axırıncı ulduza qədər hərfi mənada onların neçəsinin olduğunu hesablamağa zəhmət çəkməz. Təxminən 10²¹ ədəd olduğuna inanılır. Və bu daha aşağı təxmindir. Bu o deməkdir ki, ulduzların ümumi sayı birdən sonra 21 sıfır olan bir ədəd kimi ifadə edilə bilər, yəni. "1.000.000.000.000.000.000.000".

Onların kiçik bir hissəsi (təxminən 100.000) Omega Centauri kürə klasterində belə görünür.

Təbii ki, belə tərəzilərə gəlincə, həqiqi ədədlər sayda ciddi rol oynamır, hər şey çox şərti və təxminidir. Bəlkə də kainatdakı ulduzların həqiqi sayı "1.564.861.615.140.168.357.973" və ya "9.384.684.643.798.468.483.745" ola bilər. Və hətta “3 333 333 333 333 333 333 333”, niyə də olmasın, əlbəttə ki, çətin olsa da. Bütövlükdə kainatın xassələri haqqında elm olan kosmologiyada belə xırda şeylər aldanmır. Əsas odur ki, bu rəqəm təxminən 22 rəqəmdən ibarətdir, ondan 21 sıfırdan ibarət vahid hesab etmək və 10²¹ kimi yazmaq daha rahatdır. Qayda ümumi və çox sadədir. Dərəcənin yerində hansı rəqəm və ya rəqəm dayanır (10-un üstündə kiçik çapda çap olunur), vahiddən sonra çoxlu sıfırlar bu nömrədə olacaq, əgər onu sadə şəkildə, bir sıra işarələrlə rəngləsəniz və deyil elmi şəkildə. Bəzi rəqəmlərin "insan adları" var, məsələn, 10³ biz "min", 10⁶ - "milyon" və 10⁹ - "milyar" deyirik, bəziləri isə yoxdur. Tutaq ki, 10⁵⁹-nin ümumi adı yoxdur. Və 10²¹, yeri gəlmişkən, var - bu, "sekstilyon"dur.

Bir milyona çatan hər şey demək olar ki, hər kəs üçün intuitiv olaraq başa düşüləndir, çünki kim milyonçu olmaq istəməz? Sonra bəzi problemlər başlayır. Baxmayaraq ki, bir milyard (10⁹) də demək olar ki, hər kəsə məlumdur. Hətta bir milyarda qədər saya bilərsiniz. Əgər doğulduqdan sonra, sözün əsl mənasında, doğum anında, saniyədə bir dəfə “bir, iki, üç, dörd ...” saymağa başlasanız və yatmayın, içməyin, yeməyin, ancaq sayın-sayın yorulmadan gecə-gündüz, sonra 32 il vurduqda, bir milyarda qədər saya bilərsiniz, çünki Yerin Günəş ətrafında 32 dövrəsi təxminən bir milyard saniyə çəkir.

100 milyard (10¹¹) - planetin tarixi boyu nə qədər insan yaşamışdır. McDonald's 50 illik mövcudluğu ərzində 1998-ci ilə qədər 100 milyard hamburger satdı. Süd Yolu qalaktikamızda 100 milyard ulduz (yaxşı, bir az daha çox) var və Günəş də onlardan biridir. Müşahidə edilə bilən kainatda eyni sayda qalaktika var. İnsan beynində 100 milyard neyron var. Və bağırsağındakı bu xətlərin hər bir oxucusunda eyni sayda anaerob bakteriya yaşayır.

Trilyon (10¹²) nadir hallarda istifadə olunan rəqəmdir. Bir trilyona qədər saymaq mümkün deyil, 32 min il çəkəcək. Bir trilyon saniyə əvvəl insanlar mağaralarda yaşayır və nizələrlə mamont ovlayırdılar. Bəli, bir trilyon saniyə əvvəl Yer kürəsində mamontlar yaşayırdı. Planetin okeanlarında təxminən bir trilyon balıq var. Qonşu Andromeda Qalaktikamızda bir trilyon ulduz var. İnsan 10 trilyon hüceyrədən ibarətdir. 2013-cü ildə Rusiyanın ÜDM-i 66 trilyon rubl (2013-cü ildə rubl) təşkil edib. Yerdən Saturna qədər indiyə qədər nəşr olunan bütün kitablarda 100 trilyon santimetr və eyni sayda hərf çap olunub.

Katrilyon (10¹⁵, milyon milyard) planetdəki qarışqaların sayıdır. Normal insanlar bu sözü yüksək səslə tələffüz etmirlər, etiraf edin, söhbətdə sonuncu dəfə nə vaxt “katrilyonlarla bir şey” eşitmisiniz?

Kvintilyon (10¹⁸, milyard milyard) - 3x3x3 Rubik Kubunu yığarkən neçə mümkün konfiqurasiya mövcuddur. Dünya okeanlarında kubmetr suyun sayı da belədir.

Sextillion (10²¹) - bu rəqəmə artıq rast gəlmişik. Müşahidə olunan Kainatdakı ulduzların sayı. Yerin bütün səhralarında qum dənələrinin sayı. Bəşəriyyətin bütün mövcud elektron cihazlarında tranzistorların sayı, əgər Intel bizə yalan deməsəydi.

10 sekstilyon (10²²) bir qram sudakı molekulların sayıdır.

10²⁴ kiloqramla Yerin kütləsidir.

10²⁶ Müşahidə olunan Kainatın metrlə diametridir, lakin metrlə saymaq çox rahat deyil, Müşahidə olunan Kainatın ümumi qəbul edilmiş sərhədləri 93 milyard işıq ilidir.

Kosmik miqyasın vizuallaşdırılması üçün bu şəkli tam ekrana qədər genişləndirərək öyrənmək faydalıdır.

Bununla belə, Müşahidə Olunan Kainatda belə, siz sayğaclardan daha çox şeyləri sıxışdıra bilərsiniz.

10⁵¹ atom Yer planetini təşkil edir.

10⁸⁰ Müşahidə olunan Kainatdakı elementar hissəciklərin təxmini sayıdır.

10⁹⁰ Müşahidə Olunan Kainatdakı fotonların təxmini sayıdır. Onların sayı elementar hissəciklərdən, elektronlardan və protonlardan təxminən 10 milyard dəfə çoxdur.

10¹⁰⁰ - googol. Bu rəqəm fiziki olaraq heç nə demək deyil, sadəcə yuvarlaq və gözəldir. 1998-ci ildə Google bağlantılarını indeksləşdirməyi qarşısına məqsəd qoyan şirkət (zarafat, əlbəttə ki, bu, kainatdakı elementar hissəciklərin sayından çoxdur!) Google adını götürdü.

Müşahidə oluna bilən Kainatı göz bəbəklərinə, protondan protona, arxa arxaya doldurmaq üçün 10¹²² proton lazım olacaq.

Müşahidə olunan Kainat 10¹⁸⁵ Plank cildlərini tutur. Plankın həcmindən (Plankın uzunluğu 10⁻³⁵ metr olan bir kub) elmimiz bilmir. Şübhəsiz ki, Kainatda olduğu kimi, orada da daha kiçik bir şey var, lakin elm adamları hələ bu cür xırda şeylər üçün sağlam düsturlar tapmayıblar, yalnız açıq fərziyyələr.

Belə çıxır ki, 10¹⁸⁵ və ya daha çox müasir elmdə hər hansı bir məna daşıya bilən ən böyük rəqəmdir. Hiss edə və ölçə bilən elmdə. Bu, mövcud olan və ya mövcud ola biləcək bir şeydir, əgər baş vermişsə, biz kainat haqqında bilmək üçün hər şeyi bilirdik. Nömrə 186 rəqəmdən ibarətdir, burada:

Və ya sim nəzəriyyəsi haqqında eşitdim, ona görə simli vibrasiyaların təxminən 10⁵⁰⁰ konfiqurasiyası ola bilər, bu da hər birinin öz qanunları olan eyni sayda potensial kainat deməkdir.

Mən yalnız çoxlarına məlum olan googolplex-i qeyd edəcəm. Rəqəmlərin quqoqollu rəqəm, bir goqolun gücünə on və ya onun gücünə yüzə bərabərdir.

Mən bunu rəqəmlərlə yazmayacağam. Googleplex tamamilə heç nə demək deyil. İnsan heç bir şeyin googolplexini təsəvvür edə bilməz, fiziki cəhətdən mümkün deyil. Belə bir rəqəmi yazmaq üçün, əgər "nano-qələm" ilə birbaşa vakuumda, əslində kosmosun Plank hüceyrələrində yazsanız, bütün müşahidə olunan kainata ehtiyacınız olacaq. Gəlin bütün materiyanı mürəkkəbə çevirək və Kainatı bir möhkəm rəqəmlə dolduraq, onda biz googolplex alırıq. Ancaq riyaziyyatçılar (dəhşətli insanlar!) yalnız googolprex ilə isinirlər, bu, onlar üçün əsl ləzzətlərin başladığı ən aşağı çubuqdur. Əgər siz düşünürsünüzsə ki, googolplex ölçüsündə googolplex haqqında danışdığımız şeydir, NECƏ səhv etdiyini bilmirsiniz.

Googolplex-in arxasında riyazi sübutlarda bu və ya digər rolu olan çoxlu maraqlı nömrələr var, nə qədər uzun və qısa, gəlin birbaşa riyaziyyatçı Ronald Grahamın adını daşıyan Qrem nömrəsinə keçək (yaxşı, əlbəttə). Əvvəlcə bunun nə olduğunu və nə üçün olduğunu söyləyəcəyəm, bundan sonra mən məcazi olaraq və barmaqlarımda ™ ölçüsündə nə olduğunu təsvir edəcəyəm, sonra rəqəmin özünü yazacağam. Daha doğrusu, yazdıqlarımı izah etməyə çalışacam.

Bütün təpələri qırmızı və ya mavi rəngli iki rəngli xətt-seqmentlərlə birləşdirilən bir kub təsəvvür edin. Təsadüfi olaraq birləşdirilir və rənglənir. Bəziləri artıq təxmin ediblər ki, söhbət riyaziyyatın kombinatorika adlı bir qolundan gedir.

Daha çox ölçülərimiz olsa nə olar? Bir kub deyil, dörd ölçülü bir kub götürsək, yəni. tesseract? 3D ilə eyni hiyləni çəkə bilərikmi?

Beş ölçüdə? Kubun penterakt və ya pentakub adlandırıldığı beş ölçülüdə də mümkündür.
Və altı ölçüdə.

Və sonra çətinliklər var. Qrem yeddi ölçülü hiperkubun belə bir əməliyyatı yerinə yetirə biləcəyini riyazi olaraq sübut edə bilmədi. Həm səkkiz ölçülü, həm də doqquz ölçülü və s. Ancaq verilən "və s." sonsuzluğa getmədi, lakin "Graham nömrəsi" adlanan çox böyük bir rəqəmlə bitir.

Yəni, hiperkubun bəzi minimum ölçüsü var, bunun altında şərt pozulur və eyni rəngli dörd nöqtənin eyni müstəvidə yerləşəcəyi rəngləmə seqmentlərinin birləşməsindən qaçınmaq artıq mümkün deyil. Və bu minimum ölçü altıdan tam böyükdür və Qrem rəqəmindən tam olaraq azdır, bu alimin riyazi sübutudur.

İndi bir neçə paraqrafda yuxarıda təsvir etdiklərimin tərifi quru və darıxdırıcı (lakin tutumlu) riyaziyyat dilində. Bunu başa düşmək lazım deyil, amma gətirə bilmərəm.

n ölçülü hiperkübü nəzərdən keçirin və 2n təpə ilə tam qrafik əldə etmək üçün bütün təpə cütlərini birləşdirin. Bu qrafikin hər kənarını qırmızı və ya mavi rənglə rəngləyin. Hər bir belə rəngləmə mütləq eyni müstəvidə yerləşən dörd təpəsi olan tək rəngli tam altqrafı ehtiva etdiyi n-nin ən kiçik dəyəri nədir?

70-ci illərdən uzun illər keçdi, hansı rəqəmlərin və daha çox Grahamın göründüyü riyazi problemlər tapıldı, lakin bu ilk canavar nömrəsi müasirlərini o qədər heyran etdi ki, 1980-ci ildə Ginnesin Rekordlar Kitabına "Ginnesin Rekordlar Kitabına" daxil edildi. o dövrdə ciddi riyazi sübutda iştirak edən ən böyük rəqəmdir.

Gəlin onun nə qədər böyük olduğunu anlamağa çalışaq. Fiziki məna daşıya bilən ən böyük rəqəm 10¹⁸⁵-dir və bütün Müşahidə olunan Kainat zahirən sonsuz sayda cüzi rəqəmlərlə doludursa, biz googolplex ilə mütənasib bir şey əldə edirik.

Bu icmanı təsəvvür edə bilərsinizmi? İrə, geri, yuxarı, aşağı, gözün görə bildiyi qədər və Hubble teleskopunun bacardığı qədər, hətta kifayət etmədiyi qədər, ən uzaq qalaktikalara və onlardan kənara baxaraq - ədədlər, rəqəmlər, rəqəmlər çox. protondan kiçikdir. Belə bir kainat, təbii ki, uzun müddət mövcud ola bilməyəcək, dərhal qara dəliyə çökəcək. Nə qədər məlumatın nəzəri olaraq kainata sığacağını xatırlayırsınızmı?

Sayı həqiqətən böyükdür, beyni pozur. Googolplex-ə tam bərabər deyil və onun adı yoxdur, ona görə də "dochulion" adlandıracağam. Sadəcə başa düşdüm ki, niyə olmasın. Müşahidə oluna bilən Kainatdakı Plank hüceyrələrinin sayı və hər hüceyrədə bir ədəd yazılır. Nömrə 10¹⁸⁵ rəqəmə malikdir və kimi təmsil oluna bilər

İdrakın qapılarını bir az da geniş açaq. İnflyasiya nəzəriyyəsini xatırlayın? Kainatımızın çoxlu kainatdakı çoxlu baloncuklardan yalnız biri olduğunu. Və bu cür baloncukların bir dochulionunu təsəvvür edirsinizsə? Mövcud olan hər şey olduğu müddətcə bir rəqəm götürək və hər biri göz bəbəklərinə qədər rəqəmlərlə dolu olan eyni sayda kainatla Multiverse təsəvvür edək - bir dokulyon dokulyonu alırıq. Bunu təsəvvür edə bilərsinizmi? Skayar bir sahənin yoxluğunda necə üzürsən və hər tərəf kainatlar-kainatlar və onların içində ədədlər-rəqəmlər-rəqəmlərdir... Ümid edirəm ki, belə bir kabus (baxmayaraq ki, niyə kabus?) əzab çəkməyəcək (və niyə əzab verir?) gecələr həddindən artıq təsirlənən oxucu.

Rahatlıq üçün belə bir əməliyyatı "flip" adlandırırıq. Elə mənasız ünsür, elə bil Kainatı alıb içini çölə çevirdilər, o zaman sayca içəridə idi, indi isə əksinə, bizim çöldə rəqəmlər qədər kainat var və hər qutu doludur, doludur. nömrələri. Narın qabığını soyan kimi qabığını belə bükürsən, dənlər içəridən çıxır, qumbaralar yenə dənələrdə olur. Bu da yolda çıxdı, niyə olmasın, çünki dohulion ilə işləyirdi.

Mən nəyə nail oluram? Yavaşlamağa dəyərmi? Hadi, hoba, və daha bir flip! İndi bizim kainatlarda rəqəmlər olduğu qədər kainatlarımız var, onların sayı Kainatımızı dolduran rəqəmlərin dokulyonuna bərabər idi. Və dərhal, dayanmadan, yenidən çevirin. Həm dördüncü, həm də beşinci. Onuncu, mininci. Fikirlə ayaqlaşın, hələ də şəkli təsəvvür edin?

Gəlin vaxtımızı xırda şeylərə sərf etməyək, təxəyyül qanadlarını açaq, maksimum sürətlənək və fırıldaqları çevirək. Əvvəlki flipdə Huliondan əvvəlki kainatlar olduğu kimi biz hər bir kainatı tərsinə çeviririk, onlar sonuncudan əvvəlkindən çevrilirdi, hansı ... uh ... yaxşı, izləyirsiniz? Belə bir yerdə. İndi sayımız, tutaq ki, "dochouliard" olsun.

Dohouliard = flip flips

Gücümüz olduğu müddətcə dayanmırıq və dohuliardları fırlatmağa davam edirik. Gözlər qaralana qədər, qışqırmaq istəyənə qədər. Burada hər igid Pinokkionun özü üçün dayanacaq sözü “brynza” olacaq.

Belə ki. Bütün bunlar nə ilə bağlıdır? Tam rəqəmlərdən ibarət kainatların nəhəng və sonsuz dokulyonları və dohouliardları Qrehemin sayına uyğun gəlmir. Onlar hətta səthi cızmırlar. Qrehemin nömrəsi ənənəvi olaraq bütün Gözlənilən Kainat boyunca uzanan bir çubuq şəklində təqdim edilirsə, onda bizim burada bir-birimizə yapışdığımız şey qalınlıqda bir çentik olacaq ... yaxşı ... bunu necə ifadə edə bilərəm , yumşaq desək... qeyd etməyə layiq deyil. Burada bacardığım qədər yumşalddım.

İndi bir az kənara çəkilək, fasilə verək. Oxuduq, saydıq, gözümüz yoruldu. Gəlin Grahamın nömrəsini unudaq, biz hələ də onun qarşısında sürünüb sürünməli, diqqətimizi cəmləməli, dincəlməli, g₁ adlandıracağımız daha kiçik, açıq-aydın miniatür nömrə üzərində düşünməli və onu cəmi altı simvolla yazmalıyıq:
g₁ = 33

g₁ rəqəmi "üç, dörd ox, üç"dür. Bunun mənası nədi? Bu, Knuth ox notasiyası adlanan qeyddir.

Bir ox adi eksponentasiya deməkdir.

44 = 4⁴ = 256

1010 = 10¹⁰ = 10.000.000.000

İki ox başa düşülən şəkildə eksponentasiya deməkdir.

Qısacası, “nömrə oxu ox başqa bir rəqəm” birinci nömrədən dərəcələrin (riyaziyyatçılar “qüllə” deyirlər) nə qədər yüksək olduğunu göstərir. Məsələn, 58 səkkiz beşlik bir qüllə deməkdir və o qədər böyükdür ki, onu heç bir superkompüterdə, hətta planetdəki bütün kompüterlərdə eyni vaxtda hesablamaq mümkün deyil.

Gəlin üç oxa keçək. Əgər qoşa ox dərəcə qülləsinin hündürlüyünü göstərirsə, onda üçlü ox, deyəsən, “qüllənin hündürlüyünün qülləsinin hündürlüyünü” göstərəcək? Nə var! Üçqat vəziyyətində, biz qüllənin hündürlüyünü qüllənin hündürlüyünü qüllənin hündürlüyünə (riyaziyyatda belə bir anlayış yoxdur, mən onu "qülləsiz" adlandırmaq qərarına gəldim). Bu kimi bir şey:

Yəni, 33 qülləsiz üçlüklər, 7 trilyon ədəd yüksəklik təşkil edir. Üst-üstə yığılmış və “qülləsiz” adlanan 7 trilyon üçlük nədir? Əgər bu mətni diqqətlə oxusanız və lap əvvəlində yuxuya getməmisinizsə, yəqin ki, Yerdən Saturna qədər 100 trilyon santimetr olduğunu xatırlayırsınız. On ikinci şriftdə ekranda göstərilən üçlük, bu - 3 - beş millimetr hündürlükdədir. Beləliklə, qülləsiz üçüzlər ekranınızdan uzanacaqlar... yaxşı, əlbəttə ki, Saturna deyil. Hətta Günəş də yaxşı havada Yerdən Marsa astronomik vahidin yalnız dörddə birinə çatmayacaq. Diqqətinizi çəkirəm (yatmayın!) qülləsiz Yerdən Marsa qədər bir rəqəm deyil, o, belə yüksəklikdə dərəcə qülləsidir. Xatırlayırıq ki, bu qüllədə beş üçlük googolplex-i əhatə edir, üçqatların birinci desimetrinin hesablanması planetin kompüterlərinin bütün qoruyucularını yandırır və qalan milyonlarla kilometr dərəcələr artıq faydasızdır, sadəcə olaraq oxucunu açıq şəkildə ələ salırlar, bu onları saymaq faydasızdır.

İndi aydın oldu ki, 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 qülləsiz, (qülləsizlik dərəcəsinə görə 3 deyil, “üç ox ox qalasızlıq” (!)), onun qalasız qalasızlığı nə uzunluğa, nə də hündürlüyə sığmayacaq. Müşahidə edilə bilən Kainata daxil olur və hətta ehtimal edilən çoxlu kainata sığmaz.

Sözlər 35 = 33333 ilə bitir, ünsiyələr isə 36 = 333333 ilə bitir, lakin maraqlanırsınızsa, məşq edə bilərsiniz.

Onu hesablamaq əbəsdir və nəticə verməyəcək. Buradakı dərəcələrin sayı mənalı mühasibatlığa uyğun gəlmir. Bu rəqəmi təsəvvür etmək, təsvir etmək mümkün deyil. Barmaqlar™ üzərində heç bir analogiya tətbiq olunmur, sadəcə olaraq rəqəmi müqayisə etmək üçün heç bir şey yoxdur. Nəhəng olduğunu, möhtəşəm olduğunu, monumental olduğunu və hadisə üfüqündən kənara baxdığını deyə bilərik. Yəni ona bəzi şifahi epitetlər vermək. Ancaq vizuallaşdırma, hətta sərbəst və obrazlı da mümkün deyil. Əgər üç oxla hələ də heç olmasa nəsə demək, Yerdən Marsa qülləsiz çəkmək, birtəhər bir şeylə müqayisə etmək mümkün idisə, onda bənzətmə ola bilməz. Yerdən Marsa qədər üçlü nazik bir qüllə təsəvvür etməyə çalışın, onun yanında başqa biri demək olar ki, eyni, başqası və başqası ... Qüllələrin sonsuz sahəsi uzaqlara, sonsuzluğa uzanır, qüllələr hər yerdə, qüllələr hər yerdədir . Və ən təhqiredicisi odur ki, bu qüllələrin sayı ilə heç bir əlaqəsi belə yoxdur, onlar yalnız qüllələrin hündürlüyünü almaq, qüllələrin hündürlüyünü almaq üçün tikilməli olan digər qüllələrin hündürlüyünü təyin edirlər. ... ağlasığmaz miqdarda vaxt və təkrarlardan sonra nömrənin özünü əldə etmək üçün.

g₁ budur, 33 də budur.

İstirahət etdiniz? İndi g₁-dən yeni qüvvələrlə Graham nömrəsinə hücuma qayıdırıq. Eskalasiyanın oxdan oxa necə böyüdüyünü görmüsünüzmü?

33 = 7 625 597 484 987

33 = qüllə, Yerdən Marsa.

33 = nə təsəvvür edilə, nə də təsvir edilə bilən rəqəm.

Təsəvvür edin ki, atıcı beş yaşında olanda rəqəmsal kabus nə baş verir? Nə vaxt altı var? Təsəvvür edə bilərsinizmi ki, atıcı yüz olacaq? Mümkünsə, bu oxların sayının g₁-ə bərabər olduğu g₂ rəqəmini diqqətinizə çatdırım. g₁-nin nə olduğunu xatırlayın, elə deyilmi?

İndiyə qədər yazılanların hamısı, bütün bu hesablamalar, çoxlu kainatlara sığmayan dərəcələr və qüllələr yalnız biri üçün lazım idi. g₂ rəqəmində OX SAYINI göstərmək üçün. Heç nəyi saymağa ehtiyac yoxdur, sadəcə gülüb əlinizi yelləyə bilərsiniz.

Gizlətməyəcəyəm, g₂ oxlarını ehtiva edən g₃ də var. Yeri gəlmişkən, hələ də aydındırmı ki, g₃ g₂ g₂-nin "gücünə" deyil, hündürlüyü təyin edən qülləsiz qüllələrin hündürlüyünü təyin edən qülləsiz qüllələrin sayıdır ... və s. Kainatın istilik ölümü? Burada ağlamağa başlayırsan.

Niyə ağlayırsan? Çünki tamamilə doğrudur. Üçlüklər arasında g₃ oxlarını ehtiva edən g₄ rəqəmi də var. g₅ də var, g₆ və g₇ və g₁₇ və g₄₃ var...

Bir sözlə, bunlardan 64 g var. Hər bir əvvəlki rəqəm növbəti oxların sayına bərabərdir. Sonuncu g₆₄ Grahamın nömrəsidir, hər şey elə məsum bir şəkildə başlayırdı. Bu hiperkubun ölçülərinin sayıdır ki, bu da seqmentləri qırmızı və mavi rənglərdə düzgün rəngləndirmək üçün mütləq kifayət edəcəkdir. Bəlkə də az, bu, belə demək mümkünsə, yuxarı hədddir. Aşağıdakı kimi yazılır:

və belə yaz.

Oğlan kimi utancaq bir qoca var idi
Sadə, qorxaq patriarx...
Təbiət naminə qılınc ustası kimdir?
Əlbəttə, odlu Lamark.
Osip Mandelstam

Graham nömrəsini və bir çox digər maraqlı rəqəmləri təsvir etməklə yanaşı, daha bir neçə rəqəmi müzakirə etməyi təklif edirəm. İndi insan genomu tələsik şəkildə deşifrə olunur. Fikrimcə, bunun çox az faydası olacaq, çünki ən azı bir nəzəriyyənin olduğu hər hansı bir eksperimental məlumatdan (əslində nəyin ölçüldüyü aydın deyil) Ancaq ən azı insan genomunun 3,1 milyard əsasdan ibarət olduğu məlum oldu ( guanin və digər urasillərlə hər növ timin) Hər bir canlı Darvinin təkamül nəzəriyyəsi nöqteyi-nəzərindən, verilmiş əsaslar kombinasiyasının sağ qalması üçün bir sınaq hesab edilir və dinin Darvinin nəzəriyyəsi ilə əsas toqquşması o zaman baş verir. Darvinin nəzəriyyəsi, daha doğrusu, müasir şərhi, bu sayımın təsadüfi baş verdiyini bildirir. Bu ifadənin xaricində, təkamül nəzəriyyəsi ilə, məsələn, Yəhudi-Xristian Yaradılış kitabında təsvir edilən mənzərə arasında, yaradılışçılar nə iddia edirsə etsinlər, heç bir ziddiyyət yoxdur.

Məsələn, əgər ilk DNT-dəki ilk canlının bu ilk varlıqdan müasir insana qədər bütün təkamülü proqramlaşdırdığını fərz etsək, o zaman Lamarkın təkamülünün müasir şərhi sayıla biləcək bu mənzərənin heç bir fərqi yoxdur. Yaradılış və bu düşüncə təcrübəsindəki ilk canlı məxluq Adam Brodski deyil, Lamarkın arxetipi adlandırılmalıdır. Sadəcə bu kontekstdə Yaradılışdan “Tanrı yaratdı” sözləri Tanrının Lamark arxetipinin proqramına yazdığı mənasını verir. Yeri gəlmişkən, bu proqramı və proqramlaşdırma metodunun özünü də O icad edib.

Fərz edək ki, bu ilk canlının əsas cütlərinin birləşməsi unikaldır, onda Darvinin təkamül sürətini aşağıdan təxmin edə bilərik. Gəlin ondan başlayaq ki, ən kiçik canlı məxluq bu yaxınlarda tapılıb (viruslar nəzəri olaraq daha kiçikdir, lakin onları tam canlı hesab etmək olmaz, çünki onların çoxalması üçün yad hüceyrə mexanizminə ehtiyacı var - hər cür mitoxondriya və s. .) Təsəvvür edək ki, bütün kainat (10-dan 26 metrə qədər) 0,009 kub mikron böyüklüyündə olan bu canlılarla doludur və hər biri özünəməxsus olan DNT birləşmələrini daim sınaqdan keçirir. test müxtəlif canlılar tərəfindən DNT testinin təkrarlanması istisna olmaqla və əgər uğurlu bir şey ortaya çıxsa, kainatın bütün canlıları dərhal bu barədə məlumat alır və sınaq tapşırığını dəyişdirir ki, uğursuz bir testə əsaslanan bütün birləşmələr sonrakı sınaqlardan rədd edilir. Gəlin Darvin sayını bu şəkildə yoxlanılması lazım olan genomların ümumi sayı adlandıraq və Darvin sayını sınaqdan keçirən canlının minimum ömür müddətinə - minimum zaman kvantı olan Plank vaxtına vursaq və ona bölün. belə canlıların ümumi sayı, o zaman biz Darvinin vaxtı adlandırmağı təklif etdiyim bu cür təkamülün müəyyən xarakterik vaxtını təyin edə bilərik. Əgər Darvinin vaxtını kainatımızın maksimum yaşına bölsəniz, bir nömrə alırsınız ki, mən onu William of Ockham-ın nömrəsi adlandırmağı təklif edirəm, çünki bunu ilk sübut edən o idi. elmi metodlar Sən Allahın varlığını sübut edə bilməzsən, lakin onun yoxluğunu da sübut edə bilməzsən. Həqiqətən də Okkamın sayı Darvinin nəzəriyyəsi çərçivəsində özünü göstərir maksimum məbləğ Kainatımızdakı Darvin təkamülünə girişlər, yəni canlı varlığın genomu ola bilən DNT birləşmələrini açıq-aşkar ölümcül olanlardan ayırır. Yəni bu rəqəm bizim kainatdakı həyat və ölüm arasındakı fərqi göstərir.

Təbii ki, mən Okham nömrəsinin Qrem nömrəsinə nisbətini Brodski nömrəsi adlandırmağı təklif edirəm və bütün bu proseduru Brodski paradoksu adlandırmağı təklif edirəm.

Əvvəlcə tərəfindən göndərilib lyubimica_mira Graham's Number on Fingers™-də

Orijinaldan götürülüb hiyləgər 2m Graham Number on Fingers™-də

epiqraf
Uzun müddət uçuruma baxsan,
yaxşı vaxt keçirə bilərsiniz.
Mexanik Ruh Mühəndisi

Artıq məktəbin birinci sinfinə qədər hamı bilir ki, sonsuz sayda ədəd var, onlar heç vaxt bitmir və ən böyük rəqəm yoxdur. Kiməsə milyon trilyon milyard hər zaman "plus bir" deyib qalib gələ bilərsiniz. Və bir az sonra gəlir (gəlməlidir!) Uzun ədədlərin özlüyündə heç bir məna kəsb etmədiyini başa düşmək. Bunlar hamısı trilyon milyardlarla yalnız bundan sonra onlar bir sıra obyektlərin təsviri kimi xidmət etdikdə və ya müəyyən bir hadisəni təsvir etdikdə məna kəsb edir. Uzun səsli nömrələr toplusundan başqa bir şey olmayan uzun nömrə icad etməkdə heç bir çətinlik yoxdur, ona görə də onlar sonsuz sayda. Elm müəyyən dərəcədə məcazi mənada bu ucsuz-bucaqsız uçurumda çox spesifik rəqəm kombinasiyalarını axtarmaqla, işıq sürəti, Avoqadro ədədi və ya Plank sabiti kimi bəzi fiziki hadisəyə əlavə etməklə məşğuldur.

Onların kiçik bir hissəsi (təxminən 100.000) Omega Centauri kürə klasterində belə görünür.

Təbii ki, belə tərəzilərə gəlincə, həqiqi ədədlər sayda ciddi rol oynamır, hər şey çox şərti və təxminidir. Ola bilər faktiki olaraq Kainatdakı ulduzların sayı "1,564,861,615,140,168,357,973" və ya bəlkə də "9,384,684,643,798,468,483,745"dir. Və hətta "3 333 333 333 333 333 333 333", niyə də olmasın, əlbəttə ki, çətin olsa da. Bütövlükdə kainatın xassələri haqqında elm olan kosmologiyada belə xırda şeylər aldanmır. Əsas odur ki, təsəvvür edin haqqında bu rəqəm 22 rəqəmdən ibarətdir ki, ondan onu 21 sıfırlı vahid hesab edib 10 21 kimi yazmaq daha əlverişlidir. Qayda ümumi və çox sadədir. Dərəcənin yerində hansı rəqəm və ya rəqəm dayanır (burada 10-un üstündə kiçik çapla çap olunur), onu sadə şəkildə, simvollarla deyil, sıra ilə rəngləsəniz, birdən sonra neçə sıfır olacaq. elmi yoldur. Bəzi rəqəmlərin “insan adları” var, məsələn, 10 3-ə “min”, 10 6-ya “milyon”, 10 9-a isə “milyar” deyirik, bəzilərinə isə yoxdur. Tutaq ki, 1059-un ümumi adı yoxdur. Və 10 21, yeri gəlmişkən, var - bu, "sekstilyon"dur.

100 milyard (10 11) - planetin tarixi boyu bu qədər insan yaşamışdır. McDonald's 50 illik mövcudluğu ərzində 1998-ci ilə qədər 100 milyard hamburger satdı. Süd Yolu qalaktikamızda 100 milyard ulduz (yaxşı, bir az daha çox) var və Günəş də onlardan biridir. Müşahidə edilə bilən kainatda eyni sayda qalaktika var. İnsan beynində 100 milyard neyron var. Və bağırsağındakı bu xətlərin hər bir oxucusunda eyni sayda anaerob bakteriya yaşayır.

Trilyon (10 12) nadir hallarda istifadə olunan rəqəmdir. Bir trilyona qədər saymaq mümkün deyil, 32 min il çəkəcək. Bir trilyon saniyə əvvəl insanlar mağaralarda yaşayır və nizələrlə mamont ovlayırdılar. Bəli, bir trilyon saniyə əvvəl Yer kürəsində mamontlar yaşayırdı. Planetin okeanlarında təxminən bir trilyon balıq var. Qonşu Andromeda Qalaktikamızda bir trilyon ulduz var. İnsan 10 trilyon hüceyrədən ibarətdir. 2013-cü ildə Rusiyanın ÜDM-i 66 trilyon rubl (2013-cü ildə rubl) təşkil edib. Yerdən Saturna qədər indiyə qədər nəşr olunan bütün kitablarda 100 trilyon santimetr və eyni sayda hərf çap olunub.
Katrilyon (10 15, bir milyon milyard) planetdəki qarışqaların ümumi sayıdır. Normal insanlar bu sözü ucadan tələffüz etmirlər, yaxşı, etiraf edin, söhbətdə axırıncı dəfə nə vaxt “katrilyonluq bir şey” eşitmisiniz?
Kvintilyon (10 18, milyard milyard) - 3x3x3 Rubik Kubunu yığarkən çoxlu mümkün konfiqurasiyalar mövcuddur. Dünya okeanlarında kubmetr suyun sayı da belədir.
Sextillion (10 21) - bu rəqəmə artıq rast gəlmişik. Müşahidə olunan Kainatdakı ulduzların sayı. Yerin bütün səhralarında qum dənələrinin sayı. Bəşəriyyətin bütün mövcud elektron cihazlarında tranzistorların sayı, əgər Intel bizə yalan deməsəydi.
10 sekstilyon (10 22) bir qram sudakı molekulların sayıdır.
10 24 kiloqramla Yerin kütləsidir.
10 26 - Müşahidə olunan Kainatın diametri metrlə, lakin metrlə saymaq çox rahat deyil, Müşahidə olunan Kainatın ümumi qəbul edilmiş sərhədləri 93 milyard işıq ilidir.

Elm Müşahidə olunan Kainatdan daha böyük ölçülərlə işləmir. Biz dəqiq bilirik ki, Müşahidə olunan Kainat bütöv-bütün Kainat deyil. Bu, ən azı nəzəri olaraq görə biləcəyimiz və müşahidə edə biləcəyimiz hissədir. Ya da keçmişdə görmüş ola bilər. Yaxud biz nə vaxtsa uzaq gələcəkdə müasir elm çərçivəsində qalaraq görə bilərik. Kainatın qalan hissəsindən hətta işıq sürətində belə siqnallar bizə çata bilməyəcək ki, bu da bu yerləri bizim nöqteyi-nəzərimizdən sanki mövcud olmayan edir. Bu böyük kainat nə qədər böyükdür faktiki olaraq heç kim bilmir. Bəlkə də gözləniləndən milyon dəfə çoxdur. Və ya bəlkə bir milyard. Və ya hətta sonsuz ola bilər. Deyirəm ki, bu, artıq elm deyil, qəhvə meydançasında təxminlərdir. Alimlərin bəzi təxminləri var, lakin bu, reallıqdan daha çox fantaziyadır.
Kosmik miqyasları vizuallaşdırmaq üçün bu şəkli tam ekrana qədər genişləndirərək öyrənmək faydalıdır.

Bununla belə, Müşahidə Olunan Kainatda belə, siz sayğaclardan daha çox şeyləri sıxışdıra bilərsiniz.
1051 atom Yer planetini təşkil edir.
Müşahidə oluna bilən kainatdakı elementar hissəciklərin təxmini sayı 10 80.
10 90 Müşahidə Olunan Kainatdakı fotonların təxmini sayıdır. Onların sayı elementar hissəciklərdən, elektronlardan və protonlardan təxminən 10 milyard dəfə çoxdur.
10 100 - googol. Bu rəqəm fiziki olaraq heç nə demək deyil, sadəcə yuvarlaq və gözəldir. Google bağlantılarını indeksləşdirməyi qarşısına məqsəd qoyan şirkət (zarafat, təbii ki, bu, kainatdakı elementar hissəciklərin sayından çoxdur!) 1998-ci ildə Google adını götürdü.
Müşahidə oluna bilən Kainatı göz bəbəklərinə, protondan protona, arxa arxaya doldurmaq üçün 10.122 proton lazım olacaq.
10,185 Plank cildləri Müşahidə olunan Kainat tərəfindən işğal edilir. Plankın həcmindən (10-35 metr uzunluğunda Plankın bir kubu) elmimiz bilmir. Şübhəsiz ki, Kainatda olduğu kimi, orada da daha kiçik bir şey var, lakin elm adamları hələ bu cür xırda şeylər üçün sağlam düsturlar tapmayıblar, yalnız açıq fərziyyələr.

Belə çıxır ki, 10,185 və ya daha çox, prinsipcə, müasir elmdə nəyisə ifadə edə bilən ən böyük rəqəmdir. Hiss edə və ölçə bilən elmdə. Bu, mövcud olan və ya mövcud ola biləcək bir şeydir, əgər baş vermişsə, biz kainat haqqında bilmək üçün hər şeyi bilirdik. Nömrə 186 rəqəmdən ibarətdir, burada:
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Təbii ki, elm burada bitmir, amma sonra sərbəst nəzəriyyələr, fərziyyələr və hətta sadəcə olaraq psevdoelmi şahmat və rut davam edir. Məsələn, yəqin ki, inflyasiya nəzəriyyəsi haqqında eşitmisiniz, ona görə, bəlkə də Kainatımız daha böyük Multiversenin yalnız bir hissəsidir və bu kainatlar şampan okeanındakı baloncuklar kimidir.

Və ya sim nəzəriyyəsi haqqında eşitdim, buna görə simli vibrasiyaların təxminən 10.500 konfiqurasiyası ola bilər, bu da hər birinin öz qanunlarına malik eyni sayda potensial kainat deməkdir.

Meşənin içinə doğru getdikcə daha az nəzəri fizika və elm bütövlükdə həcm qazanan rəqəmlərdə qalır və sıfır sütunlarının arxasında daha da saf, buludsuz elmlər kraliçası göz gəzdirməyə başlayır. Riyaziyyat fizika deyil, heç bir məhdudiyyət yoxdur və utanacaq bir şey yoxdur, gəzintiyə çıxın, canınız, düsturlarda sıfırlar yazın, hətta düşənə qədər.
Mən yalnız tanınmışları qeyd edəcəm googolplex. Rəqəmlərin gooqoluna malik olan bir ədəd, bir qoqolun gücünə on (10 googol) və ya onluğun gücünə on (10 10 100).
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Mən bunu rəqəmlərlə yazmayacağam. Googleplex tamamilə heç nə demək deyil. İnsan heç bir şeyin googolplexini təsəvvür edə bilməz, fiziki cəhətdən mümkün deyil. Belə bir rəqəmi yazmaq üçün, əgər "nano-qələm"lə birbaşa vakuumda, əslində kosmosun Plank hüceyrələrində yazsanız, bütün müşahidə olunan kainata ehtiyacınız olacaq. Gəlin bütün materiyanı mürəkkəbə çevirək və Kainatı bir möhkəm rəqəmlə dolduraq, onda biz googolplex alırıq. Ancaq riyaziyyatçılar (dəhşətli insanlar!) yalnız googolprex ilə isinirlər, bu, onlar üçün əsl alçaqların başladığı ən aşağı çubuqdur. Əgər siz düşünürsünüzsə ki, googolplex ölçüsündə googolplex haqqında danışdığımız şeydir, NECƏ səhv etdiyini bilmirsiniz.

Grahamın nömrəsi Ramsey nəzəriyyəsindəki problemlərdən birinin həllinə həsr olunmuş əsərdə ortaya çıxdı və burada "Ramsey" qüsursuz iştirakçı deyil, başqa bir riyaziyyatçı Frank Ramsinin soyadıdır. Tapşırıq, əlbəttə ki, çox çaşqın olmasa da, hətta asanlıqla başa düşülən bir filistin nöqteyi-nəzərindən olduqca uzaqdır.
Bütün təpələri qırmızı və ya mavi rəngli iki rəngli xətt-seqmentlərlə birləşdirilən bir kub təsəvvür edin. Təsadüfi olaraq birləşdirilir və rənglənir. Bəziləri artıq riyaziyyatın kombinatorika adlı bir qolu haqqında danışacağımızı təxmin ediblər.

Rənglərin konfiqurasiyasını elə qura və seçə biləcəyikmi (və onlardan yalnız ikisi var - qırmızı və mavi), belə ki, bu seqmentləri rəngləyərkən eyni rəngin bütün seqmentlərinin bir-birinə bağlanması İŞLƏMƏYƏCƏK. dörd təpə eyni müstəvidə yerləşir? Bu halda, onlar belə bir rəqəmi təmsil etmirlər:

Dörd ölçülü kubun nə olduğunu izah etməyə belə başlamayacağam, hamı bilir? Dörd ölçülü kubun 16 təpəsi var. Və beyninizi şişirtməyə və dörd ölçülü bir kub təsəvvür etməyə çalışmaq lazım deyil. Bu təmiz riyaziyyatdır. Ölçülərin sayına baxdım, onu formulda əvəz etdim, təpələrin, kənarların, üzlərin və s. sayını aldım. Yaxşı və ya düsturu xatırlamırsınızsa, Vikipediyaya baxdınız. Beləliklə, dörd ölçülü kubun 16 təpəsi və onları birləşdirən 120 seqmenti var. Dördölçülü halda rəngləmə birləşmələrinin sayı üçölçülü halda olduğundan qat-qat çoxdur, lakin hətta burada hesablamaq, bölmək, azaltmaq və s. çox çətin deyil. Bir sözlə, öyrənin ki, dördölçülü fəzada siz hiperkubun seqmentlərinin rənglənməsi ilə də o qədər fikirləşə bilərsiniz ki, 4 təpəni birləşdirən eyni rəngli bütün xətlər eyni müstəvidə yatmasın.
Beş ölçüdə? Kubun penterakt və ya pentakub adlandırıldığı beş ölçülüdə də mümkündür.
Və altı ölçüdə.
Və sonra çətinliklər var. Qrem yeddi ölçülü hiperkubun belə bir əməliyyatı yerinə yetirə biləcəyini riyazi olaraq sübut edə bilmədi. Həm səkkiz ölçülü, həm də doqquz ölçülü və s. Ancaq verilən "və s." sonsuzluğa getmir, ancaq "Graham nömrəsi" adlanan çox böyük bir rəqəmlə bitir.
Yəni bəziləri var minimum ölçü hiperkub, onun altında şərt pozulur və rəngləmə seqmentlərinin birləşməsindən qaçmaq artıq mümkün deyil, beləliklə eyni rəngli dörd nöqtə eyni müstəvidə yatacaqdır. Və bu minimum ölçü altıdan tam böyükdür və Qrem rəqəmindən tam olaraq azdır, bu alimin riyazi sübutudur.

İndi bir neçə paraqrafda yuxarıda təsvir etdiklərimin tərifi quru və darıxdırıcı (lakin tutumlu) riyaziyyat dilində. Bunu başa düşmək lazım deyil, amma gətirə bilmərəm.
n ölçülü hiperkübü nəzərdən keçirin və 2n təpə ilə tam qrafik əldə etmək üçün bütün təpə cütlərini birləşdirin. Bu qrafikin hər kənarını qırmızı və ya mavi rənglə rəngləyin. Hər bir belə rəngləmə mütləq eyni müstəvidə yerləşən dörd təpəsi olan tək rəngli tam altqrafı ehtiva etdiyi n-nin ən kiçik dəyəri nədir?

1971-ci ildə Graham sübut etdi ki, bu problemin həlli var və bu həll (ölçülərin sayı) 6 rəqəmi ilə daha sonra (müəllifin özü tərəfindən deyil) onun adını daşıyan daha böyük bir rəqəm arasındadır. 2008-ci ildə sübut təkmilləşdirildi, aşağı hədd qaldırıldı, indi istədiyiniz ölçü sayı artıq 13 rəqəmi ilə Graham nömrəsi arasındadır. Riyaziyyatçılar yatmır, iş gedir, əhatə dairəsi daralır.
70-ci illərdən uzun illər keçdi, hansı rəqəmlərin və daha çox Grahamın göründüyü riyazi problemlər tapıldı, lakin bu ilk canavar nömrəsi müasirlərini o qədər heyran etdi ki, 1980-ci ildə Ginnesin Rekordlar Kitabına "Ginnesin Rekordlar Kitabına" daxil edildi. o dövrdə ciddi riyazi sübutda iştirak edən ən böyük rəqəmdir.

Gəlin onun nə qədər böyük olduğunu anlamağa çalışaq. Fiziki məna daşıya bilən ən böyük rəqəm 10 185-dir və bütün Müşahidə oluna bilən Kainat zahirən sonsuz kiçik ədədlər toplusu ilə doludursa, biz buna mütənasib bir şey əldə edirik. googolplex.

Bu icmanı təsəvvür edə bilərsinizmi? İrə, geri, yuxarı, aşağı, gözün görə bildiyi qədər və Hubble teleskopunun bacardığı qədər, hətta kifayət etmədiyi qədər, ən uzaq qalaktikalara və onlardan kənara baxaraq - ədədlər, rəqəmlər, rəqəmlər çox. protondan kiçikdir. Belə bir kainat, təbii ki, uzun müddət mövcud ola bilməyəcək, dərhal qara dəliyə çökəcək. Nə qədər məlumatın nəzəri olaraq kainata sığacağını xatırlayırsınızmı? dedim.

Sayı həqiqətən böyükdür, beyni pozur. Bu, googolplex-ə tam bərabər deyil və onun adı yoxdur, ona görə də onu çağıracağam " dohulion". Niyə olmadığını anladım. Müşahidə olunan Kainatdakı Plank hüceyrələrinin sayı və hər bir hüceyrə bir nömrə ehtiva edir. Bu rəqəm 10.185 rəqəmdən ibarətdir, 10 10 185 kimi təmsil oluna bilər.
dochulion = 10 10 185
İdrakın qapılarını bir az da geniş açaq. İnflyasiya nəzəriyyəsini xatırlayın? Kainatımızın çoxlu kainatdakı çoxlu baloncuklardan yalnız biri olduğunu. Və təsəvvür edirsinizsə dohulion belə baloncuklar? Mövcud olan hər şey olduğu müddətcə bir ədəd götürək və çoxlu kainatı hər biri göz bəbəklərinə qədər rəqəmlərlə dolu olan oxşar sayda kainatla təsəvvür edək - alırıq dochulion dochulion. Bunu təsəvvür edə bilərsinizmi? Skayar bir sahənin yoxluğunda necə üzürsən və hər tərəf kainatlar-kainatlar və onların içində ədədlər-rəqəmlər-rəqəmlərdir... Ümid edirəm ki, belə bir kabus (baxmayaraq ki, niyə kabus?) əzab çəkməyəcək (və niyə əzab verir?) gecələr həddindən artıq təsirlənən oxucu.

Rahatlıq üçün belə bir əməliyyat çağırırıq " çevirmək". Belə mənasız bir ünsür, sanki Kainatı götürüb içini çölə çevirdilər, o zaman sayca içəri idi, indi isə əksinə, bizim çöldə rəqəmlər qədər kainat var və hər qutu doludur- dolu, hamısı sayda.Nar kimi təmizləyirsən, qabığını belə bükürsən, dənlər içəridən çıxır, qumbaralar yenə dənələrdə. dochulionçünki yuvarlandı.
Mən nəyə nail oluram? Yavaşlamağa dəyərmi? Hadi, hoba, və daha bir çevirmək! İndi bizim kainatlarda rəqəmlər olduğu qədər kainatlarımız var, onların sayı Kainatımızı dolduran rəqəmlərin dokulyonuna bərabər idi. Və dərhal, dayanmadan, yenidən çevirin. Həm dördüncü, həm də beşinci. Onuncu, mininci. Fikirlə ayaqlaşın, hələ də şəkli təsəvvür edin?

Xırda-xırda vaxt itirməyək, təxəyyül qanadlarını açaq, sonuna qədər sürətləndirək və fırlataq. flip flips. Əvvəlki flipdə Huliondan əvvəlki kainatlar olduğu kimi biz hər bir kainatı tərsinə çeviririk, onlar sonuncudan əvvəlkindən çevrilirdi, hansı ... uh ... yaxşı, izləyirsiniz? Belə bir yerdə. Tutaq ki, indi sayımız olsun" dochouliard".
dohouliard = flip flips
Gücümüz olduğu müddətcə dayanmırıq və dohuliardları fırlatmağa davam edirik. Gözlər qaralana qədər, qışqırmaq istəyənə qədər. Burada hər kəs özü üçün cəsur Pinocchio, dayanacaq sözü "brynza" olacaq.
Belə ki. Bütün bunlar nə ilə bağlıdır? Tam rəqəmlərdən ibarət kainatların nəhəng və sonsuz dokulyonları və dohouliardları Qrehemin sayına uyğun gəlmir. Onlar hətta səthi cızmırlar. Graham nömrəsi ənənəvi olaraq Müşahidə olunan Kainatda uzanan bir çubuq şəklində təqdim olunursa, onda biz sizinlə nəyik? çevrildi qalınlığında bir çentik olur ... yaxşı ... yumşaq desək, necə olardı ... qeyd etməyə layiq deyil. Burada bacardığım qədər yumşalddım.

İndi bir az kənara çəkilək, fasilə verək. Oxuduq, saydıq, gözümüz yoruldu. Gəlin Graham nömrəsini unudaq, biz hələ də onun qarşısında sürünüb sürünməli, diqqətimizi cəmləməli, dincəlməli, g 1 adlandıracağımız daha kiçik, açıq-aydın miniatür nömrə üzərində düşünməli və onu cəmi altı simvolla yazmalıyıq:
g1 = 33
g 1 sayı "üç, dörd ox, üç"ə bərabərdir. Bunun mənası nədi? Knuth ox notasiyası adlanan qeyd belə görünür.
Təfərrüatlar və təfərrüatlar üçün Vikipediya məqaləsini oxuya bilərsiniz, lakin düsturlar var, mən onu qısaca təkrarlayacağam sadə sözlərlə. Bir ox adi eksponentasiya deməkdir.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

İki ox başa düşülən şəkildə eksponentasiya deməkdir.
23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7,625,597,484,987 (7 trilyondan çox)
34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = təxminən 3 trilyon rəqəmi olan rəqəm

Qısacası, "rəqəm oxu oxu başqa bir rəqəm" dərəcələrin hündürlüyünün nə olduğunu göstərir (riyaziyyatçılar deyirlər " qala") birinci nömrədən qurulur. Məsələn, 58 səkkiz beşlik qüllə deməkdir və o qədər böyükdür ki, onu heç bir superkompüterdə, hətta planetdəki bütün kompüterlərdə eyni vaxtda hesablamaq mümkün deyil.
5 5 5 5 5 5 5 5
Gəlin üç oxa keçək. Əgər qoşa ox dərəcə qülləsinin hündürlüyünü göstərirdisə, onda üçlü ox "qüllənin hündürlüyünün qülləsinin hündürlüyünü" göstərir? Nə var! Üçqat vəziyyətində, qüllənin hündürlüyünün qüllə hündürlüyünə sahibik (riyaziyyatda belə bir anlayış yoxdur, mən onu adlandırmaq qərarına gəldim " ehtiyatsız"). Bu kimi bir şey:

Yəni, 33 qülləsiz üçlüklər, 7 trilyon ədəd yüksəklik təşkil edir. Üst-üstə yığılmış və “qülləsiz” adlanan 7 trilyon üçlük nədir? Əgər bu mətni diqqətlə oxusanız və lap əvvəlində yuxuya getməmisinizsə, yəqin ki, Yerdən Saturna qədər 100 trilyon santimetr olduğunu xatırlayırsınız. On ikinci şriftdə ekranda göstərilən üçlük, bu - 3 - beş millimetr hündürlükdədir. Beləliklə, qülləsiz üçüzlər ekranınızdan uzanacaqlar... yaxşı, əlbəttə ki, Saturna deyil. Hətta Günəş də yaxşı havada Yerdən Marsa astronomik vahidin yalnız dörddə birinə çatmayacaq. Diqqətinizi çəkirəm (yatmayın!) qülləsiz Yerdən Marsa qədər olan rəqəm deyil, elədir belə yüksək dərəcə qülləsi. Xatırlayırıq ki, bu qüllədə beş üçlük googolplex-i əhatə edir, üçqatların birinci desimetrinin hesablanması planetin kompüterlərinin bütün qoruyucularını yandırır və qalan milyonlarla kilometr dərəcələr artıq faydasızdır, sadəcə olaraq oxucunu açıq şəkildə ələ salırlar, bu onları saymaq faydasızdır.

Gəlin dörd oxa keçək. Təxmin etdiyiniz kimi, burada qüllə qüllənin üstündə oturur, qülləsiz hərəkət edir və hətta qülləsiz qüllə ilə belə, fərq etməz. Mən səssizcə dörd oxun hesablanması sxemini ortaya qoyan bir şəkil verəcəyəm, dərəcə qülləsinin hər növbəti nömrəsi dərəcə qülləsinin hündürlüyünü təyin edən dərəcə qülləsinin hündürlüyünü təyin edən zaman dərəcə qülləsi ... və s. özünü unutana qədər.

Onu hesablamaq əbəsdir və nəticə verməyəcək. Buradakı dərəcələrin sayı mənalı mühasibatlığa uyğun gəlmir. Bu rəqəmi təsəvvür etmək, təsvir etmək mümkün deyil. Analoq yoxdur barmaqlarda™ tətbiq olunmur, nömrənin sadəcə müqayisə olunası heç nə yoxdur. Nəhəng olduğunu, möhtəşəm olduğunu, monumental olduğunu və hadisə üfüqündən kənara baxdığını deyə bilərik. Yəni ona bəzi şifahi epitetlər vermək. Ancaq vizuallaşdırma, hətta sərbəst və obrazlı da mümkün deyil. Əgər üç oxla hələ də heç olmasa nəsə demək, Yerdən Marsa qülləsiz çəkmək, birtəhər bir şeylə müqayisə etmək mümkün idisə, onda bənzətmə ola bilməz.
İndi, g 1-dən, yenilənmiş güclə, Graham nömrəsinə hücuma qayıdırıq. Eskalasiyanın oxdan oxa necə böyüdüyünü görmüsünüzmü?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = qüllə, Yerdən Marsa.
33 = nə təsəvvür edilə, nə də təsvir edilə bilən rəqəm.

İndiyə qədər yazılanların hamısı, bütün bu hesablamalar, çoxlu kainatlara sığmayan dərəcələr və qüllələr yalnız biri üçün lazım idi. g 2 rəqəmində OX SAYINI göstərmək üçün. Heç nəyi saymağa ehtiyac yoxdur, sadəcə gülüb əlinizi yelləyə bilərsiniz.
Gizlətməyəcəyəm, g 2 oxlarını ehtiva edən g 3 də var. Yeri gəlmişkən, hələ də aydındırmı ki, g 3 g 2 "gücünə" g 2 deyil, hündürlüyü təyin edən qülləsiz qüllələrin hündürlüyünü təyin edən qülləsiz qüllələrin sayıdır ... və s. Kainatın istilik ölümünə qədər bütün zəncir? Burada ağlamağa başlayırsan.

Niyə ağlayırsan? Çünki tamamilə doğrudur. Üçlüklər arasında g 3 oxları ehtiva edən g 4 rəqəmi də var. g 5 də var , g 6 və g 7 və g 17 və g 43 var ...
Bir sözlə, bunlardan 64 g var. Hər bir əvvəlki rəqəm növbəti oxların sayına bərabərdir. Sonuncu g 64 Grahamın nömrəsidir, hər şey elə məsum bir şəkildə başlayırdı. Bu hiperkubun ölçülərinin sayıdır ki, bu da seqmentləri qırmızı və mavi rənglərdə düzgün rəngləndirmək üçün mütləq kifayət edəcəkdir. Bəlkə də az, bu, belə demək mümkünsə, yuxarı hədddir. Aşağıdakı kimi yazılır:
və bunu belə yazın:

Gələcəyin bizi nə gözlədiyini heç kim bilmir. Bəşər sivilizasiyasının sona çatmasının min yolu var: nüvə müharibələri, ekoloji fəlakətlər, ölümcül pandemiyalar, hansı asteroidin uça biləcəyi, dinozavrlar yalan danışmağa imkan verməyəcək. Ancaq təbiətin ən qədim dövrlərdən bizə məlum olan bir sarsılmaz qanunu var. Nə olursa olsun, nə olursa olsun, özümüzə nə fikirləşsək də, vaxt heç yerə getməyəcək, keçəcək. İstəsək də, istəməsək də, bizimlə və ya bizsiz min 10 min il keçəcək.

Bir milyon il keçsə nə olar? Amma getdiyi yerə gedəcək. Qrem rəqəmi və ümumiyyətlə insanın düşünə, təsəvvür edə bildiyi, yoxluqdan qoparıb çıxara bildiyi və maddi olmasa da, heç olmasa müəyyən məna kəsb edən varlıq edə bildiyi hər şey gec-tez təcəssüm etdiriləcək. Sadəcə ona görə ki, bu gün biz bunu həyata keçirmək qabiliyyətinə qədər inkişaf edəcək gücə malikik.