Çoxhədlilərin qovşaqlarının və qovşaqlarının tapılması. Çoxhədlilərin ən böyük ortaq böləni. çoxhədli çoxhədlər. Laboratoriya Seçimləri

Sıfırdan fərqli f(x) və φ(x) çoxhədliləri verilsin. Əgər f(x)-in φ(x)-ə bölünməsinin qalığı sıfırdırsa, φ(x) çoxhədli f(x) çoxhədlinin böləni adlanır. Aşağıdakı müddəa yerinə yetirilir: φ(x) çoxhədli f(x) çoxhədlinin bölücü olacaq və yalnız f(x)=φ(x)ψ(x) bərabərliyini təmin edən ψ(x) polinomu mövcud olduqda. . φ(x) çoxhədli f(x) və g(x) bu çoxhədlərin hər birinin bölənidirsə, ixtiyari çoxhədlilərin ümumi bölücü adlanır. Bölünmə xüsusiyyətlərinə görə f(x) və g(x) çoxhədlilərinin ümumi bölənlərinin sayına bütün sıfır dərəcə çoxhədlilər daxildir. Əgər bu çoxhədlərin başqa ümumi bölənləri yoxdursa, o zaman onlar kobud adlanır və (f(x), g(x))=1 yazılır. Ümumi halda f(x) və g(x) çoxhədlilərinin x-dən asılı olaraq ümumi bölənləri ola bilər.

Tam ədədlərə gəlincə, çoxhədlər üçün onların ən böyük ortaq bölən anlayışı təqdim olunur. Sıfırdan fərqli f(x) və g(x) çoxhədlilərinin ən böyük ortaq bölməsi onların ümumi bölən d(x)-dir ki, bu da bu çoxhədlərin istənilən ortaq böləninə bölünür. f(x) və g(x) çoxhədlilərinin ən böyük ortaq bölməsi gcd, d(x), (f(x), g(x)) ilə işarələnir. Qeyd edək ki, GCD-nin bu tərifi tam ədədlər üçün də yerinə yetirilir, baxmayaraq ki, bütün tələbələrə məlum olan başqa biri daha çox istifadə olunur.

Bu tərif bir sıra suallar doğurur:

1. İxtiyari sıfırdan fərqli f(x) və g(x) polinomları üçün GCD varmı?

2. f(x) və g(x) çoxhədlilərinin GCD-ni necə tapmaq olar?

3. f(x) və g(x) çoxhədlilərinin neçə ən böyük ümumi bölənləri var? Və onları necə tapmaq olar?

Tam ədədlərin gcd-ni tapmaq üçün ardıcıl bölmə alqoritmi və ya Evklid alqoritmi adlanan bir üsul var. O, çoxhədlilərə də aiddir və aşağıdakılardan ibarətdir.

Evklid alqoritmi. f(x) və g(x) çoxhədliləri verilsin, f(x) ≥ dərəcəsi g(x). f(x)-i g(x)-ə bölürük, r 1 (x) qalığını alırıq. g(x)-i r 1 (x)-ə bölürük, r 2 (x) qalığını alırıq. r 1 (x)-i r 2 (x)-ə bölürük. Beləliklə, bölmə tamamlanana qədər bölməyə davam edirik. Əvvəlki r k -1 (x) qalığını tam bölən həmin qalıq r k (x) və f (x) və g (x) çoxhədlilərinin ən böyük ortaq böləni olacaq.

Nümunələrin həllində faydalı olan aşağıdakı qeydi edək. gcd-ni tapmaq üçün çoxhədlilərə Evklid alqoritmini tətbiq edərək, biz kəsr əmsallarından qaçmaq üçün dividendləri çoxalda və ya böləni sıfıra bərabər olmayan istənilən ədədə endirə bilərik və yalnız ardıcıl bölmələrdən hər hansı birini başlada bilməz, həm də bu bölgü prosesinin özü. Bu, hissənin təhrifinə səbəb olacaq, lakin bizi maraqlandıran qalıqlar yalnız müəyyən bir sıfır dərəcə amili əldə edəcək, bildiyimiz kimi, bölənləri axtararkən icazə verilir.

Misal 1 f(x)=x 3 –x 2 –5x–3 polinomlarının GCD-ni tapın,
g(x)=x 2 +x–12. f(x)-i g(x)-ə bölün:

9-a endirildikdən sonra r 1 (x)-in ilk qalığı x-3 olacaqdır. g(x)-i r 1 (x)-ə bölürük:

.

Bölmə tamamlandı. Buna görə də, r 1 (x) \u003d x–3 x 3 –x 2 –5x–3 və x 2 +x–12 polinomlarının GCD-sidir.

Misal 2 f(x)=3x 3 +2x 2 –4x–1 polinomlarının gcd-sini tapın,
g(x)=5x 3 –3x 2 +2x–4. f(x)-i 5-ə vurun və 5f(x)-i g(x)-ə bölün:

İlk qalıq r 1 (x) 19x 2 -26x + 7 olacaqdır. g(x)-i 19-a vurduqdan sonra g(x)-i birinci qalığa bölün:

19-a vurun və bölməyə davam edin:

1955-ci ilə qədər azaldırıq və ikinci qalığı alırıq r 2 (x) = x-1. r 1 (x)-i r 2 (x)-ə bölürük:

.

Bölmə tamamlandı, ona görə də r 2 (x)=x-1 f(x) və g(x) polinomlarının GCD-sidir.

Misal 3 f(x)=3x 3 –x 2 +2x–4 polinomlarının gcd-sini tapın,
g(x)=x 3 -2x 2 +1.

. .

.

Cavab:(f(x), g(x))=х–1.

gcd-nin tapılmasının bu üsulu göstərir ki, əgər f(x) və g(x) çoxhədlilərinin həm rasional, həm də həqiqi əmsalları varsa, onda onların ən böyük ortaq böləninin əmsalları da rasional və ya müvafiq olaraq həqiqi olacaqdır.

f(x), g(x) və d(x) çoxhədliləri müxtəlif suallarda tez-tez istifadə olunan və teoremlə təsvir olunan aşağıdakı əlaqə ilə əlaqələndirilir.

Əgər d(x) f(x) və g(x) çoxhədlilərinin ən böyük ortaq bölənidirsə, o zaman u(x) və v(x) çoxhədlilərini tapmaq olar ki, f(x)u(x)+g( x)v (x)=d(x). Bu halda, fərz edə bilərik ki, f(x) və g(x) çoxhədlilərinin dərəcələri sıfırdan böyükdürsə, u(x)-ın dərəcəsi g(x)-in dərəcəsindən kiçikdir və dərəcə. v(x)-in f(x) dərəcəsindən kiçikdir.

Verilmiş f(x) və g(x) polinomları üçün u(x) və v(x) çoxhədlilərinin necə tapılacağını misalla göstərək.

Misal 4 u(x) və v(x) çoxhədlilərini tapın ki, f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x) olarsa

A) f(x)=x 4 -3x 3 +1, g(x)=x 3 -3x 2 +1;

B) f (x) \u003d x 4 -x 3 + 3x 2 -5x + 2, g (x) \u003d x 3 + x-2.

A. Biz f(x) və g(x) çoxhədlilərinin GCD-ni Evklid alqoritmindən istifadə edərək tapırıq, yalnız indi bölmə prosesində 1, 2-ci misallarda etdiyimiz kimi uyğun ədədlərə azaltmaq və çoxaltmaq mümkün deyil, 3.

(1) (2)

Beləliklə, f(x) və g(x) çoxhədlilərinin ortaq bölməsi –1-dir.

Bölünməyə görə bərabərlikləri yazırıq:

f(x)=g(x)х+(–х+1) (1 *)

g (x) \u003d (-x + 1) (-x 2 + 2x + 2) -1. (2*)

(2 *) bərabərliyindən d(x)= –1=g(x)–(–x+1)(–x 2 +2x+2) ifadə edirik. (1 *) bərabərliyindən –х+1=f(x)–g(x)х tapırıq və onun qiymətini bərabərliyə (2*) əvəz edirik: d(x)= –1=g(x)–(f() x )–g(x)х)(–x 2 +2x+2).

İndi f(x) və g(x) ilə bağlı sağ tərəfdəki şərtləri qruplaşdırırıq:

d(x)= –1=g(x)–f(x)(–x 2 +2x+2)+g(x)x(–x 2 +2x+2)=f(x)(x 2 – 2x–2)+g(x)(1–x 3 +2x 2 +2x)=f(x)(x 2 –2x–2)+g(x)(–x 3 +2x 2 +2x+1) .

Deməli, u(x)=x 2 –2x–2, v(x)= –x 3 +2x 2 +2x+1.

f(x) və g(x) çoxhədlilərinin ən böyük ortaq bölməsi 2x-2 çoxhədlidir. Bunu (1) və (2) bərabərliklərindən istifadə edərək ifadə edirik:

Cavab:

LABORATORİYA İŞLƏRİNİN VARİANTLARI

Seçim 1

1. Çoxhədlilərin GCD-ni tapın:

a) х 4 –2х 3 –х 2 –4х–6, 2х 4 –5х 3 +8х 2 –10х+8.

b) (x–1) 3 (x+2) 2 (2x+3), (x–1) 4 (x+2)x.

f (x) \u003d x 6 -4x 5 + 11x 4 -27x 3 + 37x 2 -35x + 35,

g(x)=x 5 -3x 4 +7x 3 -20x 2 +10x-25.

Seçim 2

1. Çoxhədlilərin GCD-ni tapın:

a) x 4 -3x 3 -3x 2 + 11x-6, x 4 -5x 3 + 6x 2 + x-3.

b) (2x+3) 3 (x-2) 2 (x+1) və onun törəməsi.

2. u(x) və v(x) çoxhədlilərini tapın ki, f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g olsun. (x)) əgər

f(x)=3x 7 +6x 6 -3x 5 +4x 4 +14x 3 -6x 2 -4x+4, g(x)=3x 6 -3x 4 +7x 3 -6x+2.

Seçim 3

1. Çoxhədlilərin GCD-ni tapın:

a) 2x 4 + x 3 + 4x 2 -4x-3, 4x 4 -6x 3 -4x 2 + 2x + 1.

b) (x + 1) 2 (2x + 4) 3 (x + 5) 5, (x-2) 2 (x + 2) 4 (x-1).

2. u(x) və v(x) çoxhədlilərini tapın ki, f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g olsun. (x)) əgər

f (x) \u003d 3x 3 -2x 2 + 2x + 2, g (x) \u003d x 2 -x + 1.

Seçim 4

1. Çoxhədlilərin GCD-ni tapın:

a) 3x 4 -8 3 + 7x 2 -5x + 2, 3x 4 -2x 3 -3x 2 + 17x-10.

b) (x + 7) 2 (x-3) 3 (2x + 1) və onun törəməsi.

2. u(x) və v(x) çoxhədlilərini tapın ki, f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g olsun. (x)) əgər

f (x) \u003d x 4 -x 3 -4x 2 + 4x + 1, g (x) \u003d x 2 -x-1.

Seçim 5

1. Çoxhədlilərin GCD-ni tapın:

a) 2x 4 -3x 3 -x 2 + 3x-1, x 4 + x 3 -x-1.

b) x 4 (x-1) 2 (x + 1) 3, x 3 (x-1) 3 (x + 3).

2. u(x) və v(x) çoxhədlilərini tapın ki, f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g olsun. (x)) əgər

f (x) \u003d 3x 5 + 5x 4 -16x 3 -6x 2 -5x-6, g (x) \u003d 3x 4 -4x 3 -x 2 -x-2.

Variant 6

1. Çoxhədlilərin GCD-ni tapın:

a) x 4 -2x 3 + 4x 2 -2x + 3, x 4 + 5x 3 + 8x 2 + 5x + 7.

b) x 3 (x + 1) 2 (x-1) və onun törəməsi.

2. u(x) və v(x) çoxhədlilərini tapın ki, f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g olsun. (x)) əgər

f (x) \u003d x 5 -5x 4 -2x 3 + 12x 2 -2x + 12, g (x) \u003d x 3 -5x 2 -3x + 17.

Seçim 7

1. Çoxhədlilərin GCD-ni tapın:

a) x 4 + 3x 3 -3x 2 + 3x-4, x 4 + 5x 3 + 5x 2 + 5x + 4.

b) (2x + 1) (x-8) (x + 1), (x 3 +1) (x-1) 2 x 3.

2. u(x) və v(x) çoxhədlilərini tapın ki, f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g olsun. (x)) əgər

f(x)=4x 4 -2x 3 -16x 2 +5x+9, g(x)=2x 3 -x 2 -5x+4.

Variant 8

1. Çoxhədlilərin GCD-ni tapın:

a) x 4 -3x 3 -2x 2 + 4x + 6, 2x 4 -6x 3 + 2x 2 -7x + 3.

b) (x 3 -1) (x 2 -1) (x 2 +1), (x 3 +1) (x-1) (x 2 +2).

2. u(x) və v(x) çoxhədlilərini tapın ki, f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g olsun. (x)) əgər

f (x) \u003d 2x 4 + 3x 3 -3x 2 -5x + 2, g (x) \u003d 2x 3 + x 2 -x-1.

Seçim 9

1. Çoxhədlilərin GCD-ni tapın:

a) 2x 4 + x 3 -5x 2 + 3x + 2, 3x 4 + 8x 3 + 3x 2 -3x-2.

b) (x 3 +1) (x + 1) 2 (2x + 3) və onun törəməsi.

2. u(x) və v(x) çoxhədlilərini tapın ki, f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g olsun. (x)) əgər

f (x) \u003d 3x 4 -5x 3 + 4x 2 -2x + 1, g (x) \u003d 3x 3 -2x 2 + x-1.

Seçim 10

1. Çoxhədlilərin GCD-ni tapın:

a) x 4 -5x 3 + 7x 2 -3x + 2, 2x 4 -x 3 -7x 2 + 3x-2.

b) (x + 1) (x 2 -1) (x 3 +1), (x 3 -1) (x 2 + x) x.

2. u(x) və v(x) çoxhədlilərini tapın ki, f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g olsun. (x)) əgər

f (x) \u003d x 5 + 5x 4 + 9x 3 + 7x 2 + 5x + 3, g (x) \u003d x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x + 1.

2015-2020 lektsii.org -

Tənliklərdən istifadə həyatımızda geniş yayılmışdır. Onlar bir çox hesablamalarda, strukturların tikintisində və hətta idmanda istifadə olunur. Tənliklər insanlar tərəfindən qədim zamanlardan istifadə edilmişdir və o vaxtdan bəri onların istifadəsi yalnız artmışdır. Çoxhədli ədədlərin, dəyişənlərin və onların səlahiyyətlərinin hasillərinin cəbri cəmidir. Polinom çevrilməsi adətən iki növ problemi əhatə edir. İfadə ya sadələşdirilməli, ya da faktorlara bölünməlidir, yəni. onu iki və ya daha çox çoxhədlinin və ya monohəmin və çoxhədlinin hasili kimi təmsil edir.

Polinomu sadələşdirmək üçün oxşar şərtləri gətirin. Misal. İfadəsini sadələşdirin \ Eyni hərf hissəsi olan monomialları tapın. Onları yığın. Yaranan ifadəni yazın: \ Çoxhədli sadələşdirdiniz.

Çoxhədlinin faktorlara bölünməsini tələb edən məsələlərdə verilmiş ifadənin ümumi amilini təyin edin. Bunu etmək üçün əvvəlcə ifadənin bütün üzvlərinin bir hissəsi olan dəyişənləri mötərizədən çıxarın. Üstəlik, bu dəyişənlər ən kiçik göstəriciyə malik olmalıdır. Sonra polinomun əmsallarının hər birinin ən böyük ortaq bölənini hesablayın. Alınan ədədin modulu ümumi əmsalın əmsalı olacaqdır.

Misal. \ Mötərizədə \ çoxhəmilə ayırın, çünki m dəyişəni bu ifadənin hər bir üzvünə daxildir və onun ən kiçik göstəricisi ikidir. Ümumi çarpan amilini hesablayın. Beşə bərabərdir. Beləliklə, bu ifadənin ümumi amili \ Deməli: \

Polinom tənliyini onlayn olaraq harada həll edə bilərəm?

Tənliyi https: // saytımızda həll edə bilərsiniz. Pulsuz onlayn həlledici istənilən mürəkkəbliyin onlayn tənliyini saniyələr ərzində həll etməyə imkan verəcək. Etməli olduğunuz şey yalnız məlumatlarınızı həllediciyə daxil etməkdir. Siz həmçinin video təlimatına baxa və tənliyi həll etməyin yollarını veb saytımızda öyrənə bilərsiniz. Hər hansı bir sualınız varsa, onları Vkontakte qrupumuzda http://vk.com/pocketteacher verə bilərsiniz. Qrupumuza qoşulun, sizə kömək etməkdən hər zaman şad olarıq.

1. Evklid alqoritmi

Əgər iki çoxhədlinin hər biri üçüncüyə qalıqsız bölünürsə, onda bu üçüncü çoxhədli birinci ikinin ortaq bölməsi adlanır.

İki çoxhədlinin ən böyük ortaq böləni (GCD) onların ən böyük dərəcədə ortaq bölənidir.

Nəzərə alın ki, sıfıra bərabər olmayan istənilən ədəd hər hansı iki çoxhədlinin ümumi bölənidir. Buna görə də sıfırdan fərqli hər hansı ədədə bu çoxhədlərin trivial ümumi bölən deyilir.

Evklidin alqoritmi ya verilmiş iki çoxhədlinin GCD-nin tapılmasına səbəb olan hərəkətlər ardıcıllığını təklif edir, ya da birinci və ya daha böyük dərəcə çoxhədli şəklində belə bölücünün olmadığını göstərir.

Evklidin alqoritmi bölmələr ardıcıllığı kimi həyata keçirilir. Birinci bölgüdə böyük dərəcəyə malik çoxhədli dividend, kiçik dərəcə çoxhədli isə bölən hesab olunur. Əgər GCD-nin tapıldığı çoxhədlilər eyni dərəcəyə malikdirsə, onda dividend və bölən ixtiyari olaraq seçilir.

Əgər növbəti bölgüdə qalıqdakı çoxhədli 1-dən böyük və ya ona bərabər dərəcəyə malikdirsə, onda bölən bölünən olur, qalan isə bölən olur.

Çoxhədlilərin növbəti bölünməsində sıfıra bərabər qalıq alınarsa, bu çoxhədlərin gcd-si tapılır. Son bölgüdə böləndir.

Çoxhədlilərin növbəti bölgüsündə qalıq sıfıra bərabər olmayan ədəd olarsa, bu çoxhədlilər üçün əhəmiyyətsizlərdən başqa gcd yoxdur.

Nümunə №1

Fraksiyanı azaldın.

2. Evklid alqoritmində GCD hesablamalarının sadələşdirilməsi imkanları

Dividend sıfırdan fərqli bir ədədə vurulduqda bölmə və qalıq eyni ədədə vurulur.

Sübut

P dividend, F bölən, Q hissə, R qalıq olsun. Sonra,

Bu eyniliyi 0 rəqəminə vuraraq, əldə edirik

burada P çoxhədli dividend, Q və R çoxhədliləri bölünmə hesab edilə bilər və P çoxhədlini F çoxhədinə bölməklə əldə edilən qalıq. Beləliklə, dividend 0 ədədinə vurulduqda bölmə və qalıq da vurulur, h.t.d

Nəticə

Böləni 0-a vurmaq dividendləri ədədə vurmaq kimi qəbul edilə bilər.

Buna görə də, bölən bir ədədə vurulduqda, 0 bir hissədir, qalan isə vurulur.

Nümunə №2

Çoxhədliləri bölərkən Q əmsalını və R qalığını tapın

Bölmə çoxhədli alqoritmi evklid

Dividend və tam əmsalların bölücünə keçmək üçün dividendləri 6-ya vurun, bu, istədiyiniz hissəni Q və qalan R-ni 6-ya çarpacaq. Bundan sonra, bölücüyü 5-ə vurun, bu da 6Q və qalan 6R-ni çoxaldacaq. tərəfindən. Nəticədə, polinomların tam əmsallı bölünməsi ilə əldə edilən hissə və qalıq Q hissəsi və bu polinomların bölünməsi ilə əldə edilən R qalığının istənilən dəyərlərindən bir əmsalla fərqlənəcəkdir.

Beləliklə, ;

Qeyd edək ki, bu çoxhədlilərin ən böyük ortaq bölməsi tapılarsa, onu sıfıra bərabər olmayan istənilən ədədə vursaq, biz də alırıq. ən böyük bölən bu polinomlar. Bu hal Evklid alqoritmində hesablamaları sadələşdirməyə imkan verir. Məhz, növbəti bölgüdən əvvəl dividend və ya bölən xüsusi qaydada seçilmiş ədədlərə vurula bilər ki, bölmədəki birinci hədd əmsalı tam ədəd olsun. Yuxarıda göstərildiyi kimi, dividend və bölücünün vurulması özəl qalıqda müvafiq dəyişikliyə səbəb olacaq, lakin nəticədə bu çoxhədlilərin GCD-si sıfıra bərabər olan bəzi ədədə vurulacaq, bu məqbuldur.

NƏZƏRİYYƏDƏN ƏSAS MƏLUMAT

Tərif 4.1.

P[x]-dən j(x) polinomu adlanır ortaq bölənƏgər f(x) və g(x) j(x)-ə qalıqsız bölünürsə, P[x]-dən g(x) və f(x) çoxhədliləri.

Misal 4.1. İki çoxhədli verilmişdir: (x) g(x)= x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 2х + 2 О R[x]. Bu çoxhədlilərin ümumi bölənləri: j 1 (x) = x 3 − 4x 2 + 2 = О R[x], j 2 (x) =(x 2 − 2x − 2) О R[x], j 3 (x) =(x − 1) О R[x], j 4 (x) = 1 О R[x]. (Yoxlayın!)

Tərif 4.2.

Ən Böyük Ümumi BölənP[x]-dən sıfırdan fərqli f(x) və g(x) çoxhədlilərinin ümumi böləni P[x]-dən elə d(x) polinomudur və özü də bu çoxhədlərin hər hansı digər ortaq böləninə bölünür.

Misal 4.2. Nümunə 4.1-dən çoxhədlilər üçün. f(x)= x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 2x − 6 О R[x], g(x)= x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 2х + 2 н R[x] ən böyük ortaq bölən çoxhədlidir d(x) = j 1 (x) = x 3 − 4x 2 + 2 н R[x], çünki bu çoxhədli d(x) bütün digər ümumi bölənlərinə bölünür j 2 (x), j 3 (x),j 4 (x).

Ən böyük ortaq bölən (GCD) simvolu ilə işarələnir:

d(x) = (f(x), g(x)).

Hər iki çoxhədli üçün ən böyük ortaq bölən mövcuddur f(x),g(x) н P[x] (g(x)¹ 0). Onun mövcudluğu müəyyən edir Evklid alqoritmi, bu aşağıdakı kimidir.

Bölün f(x)üstündə g(x). Bölmə ilə alınan qalığı və hissəni işarə edək r 1 (x) və q 1 (x). Sonra əgər r 1 (x)¹ 0, bölün g(x)üstündə r 1 (x), qalanını alırıq r 2 (x) və özəl q 2 (x) və s. Yaranan qalıqların dərəcələri r 1 (x), r 2 (x),… azalacaq. Amma qeyri-mənfi tam ədədlərin ardıcıllığı aşağıdan 0 rəqəmi ilə məhdudlaşır. Buna görə də bölmə prosesi sonlu olacaq və biz qalana çatacağıq. rk(x),əvvəlki qalıq tamamilə bölünür rk – 1 (x). Bütün bölmə prosesi aşağıdakı kimi yazıla bilər:

f(x)= g(x) × q 1 (x) + r 1 (x), deq r 1 (x)< deg g(x);

g(x)= r 1 (x)× q 2 (x) + r 2 (x), deq r 2 (x) < deg r 1 (x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

r k – 2 (x)= r k – 1 (x)× q k (x) + rk(x), deq rk(x)< deg rk – 1 (x);

r k – 1 (x) = rk(x) × q k +1 (x).(*)

Gəlin bunu sübut edək rk(x)çoxhədlilərin ən böyük ortaq bölməsi olacaq f(x) və g(x).

1) Gəlin bunu göstərək rk(x) birdir ortaq bölən polinom məlumatları.

Sondan əvvəlki tənliyə baxaq:

rk –-2 (x)= r k –-1 (x)× q k (x) + rk(x), və ya rk –-2 (x)= rk(x) × q k +1 (x) × q k (x) + rk(x).

Onun sağ tərəfi bölünür rk(x). Buna görə də sol tərəf də bölünür rk(x), olanlar. rk –-2 (x) bölünür rk(x).

rk --- 3 (x)= rk --- 2 (x)× q k – 1 (x) + r k -- 1 (x).

Budur r k -- 1 (x) və rk --- 2 (x) bölünür rk(x), buradan belə nəticə çıxır ki, bərabərliyin sağ tərəfindəki cəmi də bölünür rk(x). Beləliklə, bərabərliyin sol tərəfi də bölünür rk(x), olanlar. rk --- 3 (x) bölünür rk(x). Bu şəkildə ardıcıl olaraq yuxarıya doğru hərəkət edərək, polinomları əldə edirik f(x) və g(x) bölünür rk(x). Beləliklə, biz bunu göstərdik rk(x) birdir ortaq bölən polinom məlumatları (Tərif 4.1.).

2) Gəlin bunu göstərək rk(x) bölünür hər hansı digər ortaq bölən j(x) polinomlar f(x) və g(x), yəni ən böyük ortaq bölən bu polinomlar .

Birinci tənliyə baxaq: f(x)=g(x) × q 1 (x) + r 1 (x).

Qoy olsun d(x) bəzi ümumi böləndir f(x) və g(x). Sonra bölünmə xüsusiyyətlərinə görə fərq f(x)–g(x) × q 1 (x) da bölünür d(x), yəni tənliyin sol tərəfi f(x)–g(x) × q 1 (x)= r 1 (x) bölünür d(x). Sonra və r 1 (x) bölünəcək d(x). Bənzər bir şəkildə mülahizəni davam etdirərək, bərabərlikləri ardıcıl olaraq aşağı enərək, əldə edirik ki, rk(x) bölünür d(x). Sonra, uyğun olaraq tərif 4.2.rk(x) olacaq ən böyük ortaq bölən polinomlar f(x) və g(x): d(x) = (f(x), g(x)) = rk(x).

Polinomların ən böyük ortaq bölgüsü f(x) və g(x) bir faktora qədər unikaldır - sıfır dərəcə polinomu və ya demək olar ki, assosiasiyaya qədər(tərif 2.2.).

Beləliklə, teoremi sübut etdik:

Teorem 4.1. /Evklid alqoritmi/.

Əgər f(x),g(x) polinomları üçün н P[x] (g(x)¹ 0) bərabərlik və bərabərsizliklərin düzgün sistemi(*), onda sonuncu sıfırdan fərqli qalıq bu çoxhədlilərin ən böyük ortaq bölməsi olacaqdır.

Misal 4.3. Çoxhədlilərin ən böyük ortaq bölənini tapın

f(x)= x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 və g(x)\u003d x 3 -2x 2 + x -2.

Qərar.

1 addım 2 addım.

x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1	x 3 –2x 2 + x –2		x 3 –2x 2 + x –2	7x2+7
–(x 4 -2x 3 + x 2 - 2x)	x+3 = q 1 (x)	–(x 3 + x)	1/7x.–2/7 = q 2 (x)
3x 3 + x 2 + 3x + 1 – ( 3x 3 -6x 2 + 3x -6)		–2x 2 –2 –( –2x2 –2)
7x 2 + 7 = r 1 (x)		0 = r 2 (x)

Bölmə addımlarını bərabərlik və bərabərsizliklər sistemi kimi yazırıq (*) :

f(x)= g(x) × q 1 (x) + r 1 (x), dərəcə r 1 (x)< deg g(x);

g(x)= r 1 (x)× q 2 (x).

görə Teorem 4.1./Evklid alqoritmi/ sonuncu sıfırdan fərqli qalıq r 1 (x) = 7x 2 + 7 ən böyük ortaq bölən olacaq d(x) bu polinomlar :

(f(x), g(x)) = 7x 2 + 7.

Çoxhədli halqada bölünmə assosiasiyaya qədər müəyyən edildiyi üçün ( Mülk 2.11.) , onda 7x 2 + 7 əvəzinə GCD kimi qəbul edə bilərik, lakin ( 7x2 + 7) = x2 + 1.

Tərif 4.3.

Qabaqcıl əmsalı 1 olan ən böyük ortaq bölən çağırılacaq normallaşdırılmış ən böyük ortaq bölən.

Misal 4.4. Məsələn 4.2. ən böyük ortaq bölən tapıldı d(x) = (f(x), g(x)) = 7x 2 + 7 çoxhədli f(x)= x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 və g(x)\u003d x 3 -2x 2 + x -2. Onun əlaqəli polinomu ilə əvəz edilməsi d 1 (x)= x 2 + 1, bu çoxhədlilərin normallaşdırılmış ən böyük ortaq bölənini alırıq ( f(x), g(x)) = x2 + 1.

Şərh.İki çoxhədlinin ən böyük ortaq bölənini tapmaqda Evklid alqoritmini tətbiq edərək, aşağıdakı nəticəyə gələ bilərik. Polinomların ən böyük ortaq bölgüsü f(x) və g(x) hesab edib etməməyimizdən asılı deyil f(x) və g(x) sahənin üstündə P və ya onun uzadılması üzərində P'.

Tərif 4.4.

Ən Böyük Ümumi Bölənçoxhədlilər f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x), ... f n (x) Î P[x] belə bir polinomdur d(x)Î P[x], onların ortaq bölənidir və özü də bu çoxhədlilərin hər hansı digər ümumi böləninə bölünür.

Evklid alqoritmi yalnız iki çoxhədlinin ən böyük ortaq bölənini tapmaq üçün uyğun olduğundan, n çoxhədlinin ən böyük ortaq bölənini tapmaq üçün aşağıdakı teoremi isbat etmək tələb olunur.