Cüt funksiyalara misallar. Cüt və tək funksiyalar. Funksiya müddəti. Funksiya həddi. İntervaldakı funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiyməti

Geri irəli

Diqqət! Slayda baxış yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın tam həcmini əks etdirməyə bilər. Əgər bu işlə maraqlanırsınızsa, tam versiyanı yükləyin.

Məqsədlər:

cüt və tək funksiyalar haqqında anlayışı formalaşdırmaq, bu xassələri nə zaman müəyyən etmək və istifadə etmək bacarığını öyrətmək funksiya tədqiqatı, hiylə qurmaq;
tələbələrin yaradıcılıq fəaliyyətini inkişaf etdirmək; məntiqi təfəkkür, müqayisə etmək, ümumiləşdirmək bacarığı;
əməksevərliyi, riyazi mədəniyyəti tərbiyə etmək; ünsiyyət bacarıqlarını inkişaf etdirmək .

Avadanlıq: multimedia quraşdırılması, interaktiv lövhə, paylama materialları.

İş formaları: axtarış və tədqiqat fəaliyyəti elementləri ilə frontal və qrup.

Məlumat mənbələri:

1. Cəbr 9 sinif A.G.Mordkoviç. Dərs kitabı.
2. Cəbr 9-cu sinif A.G.Mordkoviç. Tapşırıq kitabı.
3. Cəbr 9 sinif. Şagirdlərin öyrənilməsi və inkişafı üçün tapşırıqlar. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DƏRSLƏR zamanı

1. Təşkilati məqam

Dərsin məqsəd və vəzifələrinin qoyulması.

2. Ev tapşırığını yoxlamaq

No 10.17 (Problemlər kitabı 9-cu sinif A.G. Mordkoviç).

Amma) saat = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 üçün X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funksiya ilə artır X € [– 2; + ∞)
6. Funksiya aşağıdan məhduddur.
7. saat işə götürmək = - 3, saat naib yoxdur
8. Funksiya davamlıdır.

(Xüsusiyyət kəşfiyyatı alqoritmindən istifadə etmisiniz?) Slayd.

2. Slaydda sizdən soruşulan cədvəli yoxlayaq.

Cədvəli doldurun
	domen	Funksiya sıfırları	Davamlılıq intervalları		Qrafikin Oy ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları
	domen	Funksiya sıfırları			Qrafikin Oy ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Bilik yeniləməsi

– Funksiyalar verilir.
– Hər bir funksiya üçün tərif sahəsini təyin edin.
– Hər bir arqument dəyəri cütü üçün hər bir funksiyanın dəyərini müqayisə edin: 1 və – 1; 2 və - 2.
– Tərif sahəsində verilmiş funksiyalardan hansı üçün bərabərliklərdir f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (məlumatları cədvələ qoyun) Slayd

		f(1) və f(– 1)	f(2) və f(– 2)	qrafiklər	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		və müəyyən edilməmişdir.

4. yeni material

- Uşaqlar, bu işi görərkən biz funksiyanın sizə tanış olmayan, lakin digərlərindən heç də az əhəmiyyət kəsb etməyən daha bir xüsusiyyətini aşkar etdik - bu, funksiyanın bərabərliyi və təkliyidir. Dərsin mövzusunu yazın: “Cüt və tək funksiyalar”, bizim vəzifəmiz cüt və tək funksiyaları necə təyin etməyi öyrənmək, funksiyaların öyrənilməsində və sxemlərin qurulmasında bu xassələrin əhəmiyyətini öyrənməkdir.
Beləliklə, dərslikdəki tərifləri tapıb oxuyaq (səh. 110) . Slayd

Def. bir Funksiya saat = f (X) X çoxluğunda müəyyən edilmiş adlanır hətta, əgər hər hansı bir dəyər üçün XЄ X davam edir f (–x) = f (x) bərabərliyi. Nümunələr verin.

Def. 2 Funksiya y = f(x), X çoxluğunda müəyyən edilmiş adlanır qəribə, əgər hər hansı bir dəyər üçün XЄ X f(–х)= –f(х) bərabərliyi təmin edilir. Nümunələr verin.

Biz "cüt" və "tək" terminlərinə harada rast gəldik?
Bu funksiyalardan hansı bərabər olacaq, sizcə? Niyə? Hansı qəribədir? Niyə?
Formanın istənilən funksiyası üçün saat= x n, harada n tam ədəddir, funksiyanın üçün tək olduğunu iddia etmək olar n təkdir və funksiya cütdür n- hətta.
- Funksiyalara baxın saat= və saat = 2X– 3 nə cüt, nə də tək deyil, çünki bərabərlik təmin edilmir f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Funksiyanın cüt və ya tək olması məsələsinin öyrənilməsi funksiyanın paritet üçün öyrənilməsi adlanır. Slayd

1 və 2 tərifləri x və - x-də funksiyanın qiymətləri ilə əlaqəli idi, beləliklə, funksiyanın da dəyərdə müəyyən edildiyi güman edilir. X, və - X.

ODA 3.Əgər ədəd çoxluğu onun hər bir elementi ilə birlikdə x əks elementi ehtiva edirsə, o zaman çoxluq X simmetrik çoxluq adlanır.

Nümunələr:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) simmetrik çoxluqlar, , [–5;4] isə qeyri-simmetrikdir.

– Ü hətta funksiyaları var tərif sahəsi simmetrik çoxluqdur? Qəribə olanlar?
- Əgər D( f) asimmetrik çoxluqdur, onda funksiya nədir?
– Beləliklə, əgər funksiya saat = f(X) cüt və ya təkdir, onda onun təyinetmə sahəsi D ( f) simmetrik çoxluqdur. Bəs bunun əksi doğrudurmu, əgər funksiyanın oblastı simmetrik çoxluqdursa, o, cüt və ya təkdir?
- Deməli, tərif sahəsinin simmetrik çoxluğunun olması zəruri şərtdir, lakin kafi deyil.
– Bəs paritet funksiyasını necə araşdıra bilərik? Gəlin bir alqoritm yazmağa çalışaq.

Slayd

Paritet üçün funksiyanın tədqiqi alqoritmi

1. Funksiya sahəsinin simmetrik olub olmadığını müəyyən edin. Əgər deyilsə, onda funksiya nə cüt, nə də tək deyil. Əgər belədirsə, alqoritmin 2-ci addımına keçin.

2. Üçün ifadə yazın f(–X).

3. Müqayisə edin f(–X).Və f(X):

əgər f(–X).= f(X), onda funksiya cütdür;
əgər f(–X).= – f(X), onda funksiya təkdir;
əgər f(–X) ≠ f(X) Və f(–X) ≠ –f(X), onda funksiya nə cüt, nə də tək deyil.

Nümunələr:

Paritet funksiyasını araşdırın a) saat= x 5 +; b) saat= ; in) saat= .

Həll.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simmetrik çoxluq.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funksiyası h(x)= x 5 + tək.

b) y =,

saat = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimmetrik çoxluq, buna görə də funksiya nə cüt, nə də tək deyil.

in) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Seçim 2

1. Verilmiş çoxluq simmetrikdirmi: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

Amma); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Paritet üçün funksiyanı yoxlayın:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Şek. hiylə qurdu saat = f(X), hamı üçün X, şərti təmin edir X? 0.
Funksiyanı tərtib edin saat = f(X), əgər saat = f(X) cüt funksiyadır.

3. Şek. hiylə qurdu saat = f(X), bütün x qane edən x üçün? 0.
Funksiyanı tərtib edin saat = f(X), əgər saat = f(X) qəribə funksiyadır.

Qarşılıqlı yoxlama sürüşdürün.

6. Ev tapşırığı: №11.11, 11.21,11.22;

Paritet xassəsinin həndəsi mənasının sübutu.

*** (USE variantının təyin edilməsi).

1. qəribə funksiya y = f(x) bütün real xətt üzrə müəyyən edilir. x dəyişəninin hər hansı qeyri-mənfi qiyməti üçün bu funksiyanın qiyməti g( funksiyasının qiyməti ilə üst-üstə düşür. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( funksiyasının qiymətini tapın. X) = at X = 3.

7. Xülasə

Funksiyanın bərabərliyi və təkliyi onun əsas xassələrindən biridir, bərabərlik isə təsiredici hissəni tutur. məktəb kursu riyaziyyat. O, əsasən funksiyanın davranışının xarakterini müəyyən edir və müvafiq qrafikin qurulmasını xeyli asanlaşdırır.

Funksiyanın paritetini təyin edək. Ümumiyyətlə, tədqiq olunan funksiya, tərif sahəsində yerləşən müstəqil dəyişənin (x) əks qiymətləri üçün y (funksiya) nın uyğun qiymətləri bərabər olsa belə nəzərə alınır.

Gəlin daha ciddi tərif verək. D sahəsində müəyyən edilmiş bəzi f (x) funksiyasını nəzərdən keçirək. Bu, müəyyənləşmə sahəsində yerləşən istənilən x nöqtəsi üçün belə olacaq:

-x (əks nöqtə) də verilmiş əhatə dairəsində yerləşir,

f(-x) = f(x).

Yuxarıdakı tərifdən belə bir funksiyanın təyin dairəsi üçün zəruri şərt, yəni koordinatların mənşəyi olan O nöqtəsinə münasibətdə simmetriya gəlir, çünki əgər hansısa b nöqtəsi bir funksiyanın təyini sahəsində olarsa. hətta funksiya, onda müvafiq nöqtə - b də bu sahədə yerləşir. Deməli, yuxarıda deyilənlərdən belə nəticə çıxır: cüt funksiya ordinat oxuna (Oy) nisbətən simmetrik formaya malikdir.

Praktikada funksiyanın paritetini necə təyin etmək olar?

h(x)=11^x+11^(-x) düsturu ilə verilsin. Birbaşa tərifdən irəli gələn alqoritmə əməl edərək, ilk növbədə onun tərif sahəsini öyrənirik. Aydındır ki, arqumentin bütün dəyərləri üçün müəyyən edilir, yəni birinci şərt təmin edilir.

Növbəti addım (x) arqumentini onun əks qiyməti (-x) ilə əvəz etməkdir.
Biz əldə edirik:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Toplama kommutativ (yerdəyişmə) qanununu ödədiyindən h(-x) = h(x) və verilmiş funksional asılılığın cüt olduğu aydındır.

h(x)=11^x-11^(-x) funksiyasının bərabərliyini yoxlayaq. Eyni alqoritmə əməl edərək h(-x) = 11^(-x) -11^x alırıq. Mənfi çıxararaq, nəticədə bizdə var
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Beləliklə, h(x) təkdir.

Yeri gəlmişkən, xatırlatmaq lazımdır ki, bu meyarlara görə təsnif edilə bilməyən funksiyalar var, onlar nə cüt, nə də tək adlanır.

Hətta funksiyalar bir sıra maraqlı xüsusiyyətlərə malikdir:

oxşar funksiyaların əlavə edilməsi nəticəsində bərabər bir alınır;
belə funksiyaların çıxılması nəticəsində bərabər bir alınır;
hətta, hətta;
iki belə funksiyanın çarpılması nəticəsində bərabər bir alınır;
tək və cüt funksiyaların vurulması nəticəsində tək bir ədəd alınır;
tək və cüt funksiyaların bölünməsi nəticəsində tək bir alınır;
belə funksiyanın törəməsi təkdir;
Tək funksiyanın kvadratını versək, cüt funksiyanı alarıq.

Tənliklərin həllində funksiyanın pariteti istifadə edilə bilər.

Tənliyin sol tərəfinin bərabər funksiya olduğu g(x) = 0 kimi bir tənliyi həll etmək üçün dəyişənin mənfi olmayan qiymətləri üçün onun həllərini tapmaq kifayətdir. Tənliyin nəticə kökləri əks ədədlərlə birləşdirilməlidir. Onlardan biri yoxlanılır.

Eyni parametr ilə qeyri-standart problemləri həll etmək üçün uğurla istifadə olunur.

Məsələn, a parametri üçün 2x^6-x^4-ax^2=1 tənliyini üç köklü edəcək hər hansı dəyər varmı?

Nəzərə alsaq ki, dəyişən tənliyə cüt dərəcələrdə daxil olur, onda aydın olur ki, x-i -x ilə əvəz etmək verilən tənliyi dəyişməyəcək. Buradan belə çıxır ki, əgər müəyyən ədəd onun köküdürsə, əks ədəd də belədir. Nəticə göz qabağındadır: tənliyin sıfırdan başqa kökləri onun həllər çoxluğuna “cüt-cüt” daxil edilir.

Aydındır ki, 0 rəqəminin özü deyil, yəni belə bir tənliyin köklərinin sayı yalnız cüt ola bilər və təbii olaraq, parametrin hər hansı bir dəyəri üçün onun üç kökü ola bilməz.

Lakin 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 tənliyinin köklərinin sayı tək ola bilər və parametrin istənilən qiyməti üçün. Həqiqətən, köklərin dəstini yoxlamaq asandır verilmiş tənlik"cüt" halında həllər ehtiva edir. 0-ın kök olub olmadığını yoxlayaq. Onu tənlikdə əvəz etdikdə 2=2 alırıq. Beləliklə, "qoşalaşmış" 0 ilə yanaşı, onların tək sayını sübut edən bir kökdür.

Geri irəli

Diqqət! Slayda baxış yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın tam həcmini əks etdirməyə bilər. Əgər bu işlə maraqlanırsınızsa, tam versiyanı yükləyin.

Məqsədlər:

cüt və tək funksiyalar haqqında anlayışı formalaşdırmaq, bu xassələri təyin etmək və funksiyaların öyrənilməsində, qrafiklərin tərtibində istifadə etmək bacarığını öyrətmək;
tələbələrin yaradıcılıq fəaliyyətini, məntiqi təfəkkürünü, müqayisə etmək, ümumiləşdirmək bacarığını inkişaf etdirmək;
əməksevərliyi, riyazi mədəniyyəti tərbiyə etmək; ünsiyyət bacarıqlarını inkişaf etdirmək .

Avadanlıq: multimedia quraşdırılması, interaktiv lövhə, paylama materialları.

İş formaları: axtarış və tədqiqat fəaliyyəti elementləri ilə frontal və qrup.

DƏRSLƏR zamanı

1. Təşkilati məqam

Dərsin məqsəd və vəzifələrinin qoyulması.

2. Ev tapşırığını yoxlamaq

No 10.17 (Problemlər kitabı 9-cu sinif A.G. Mordkoviç).

Amma) saat = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

(Xüsusiyyət kəşfiyyatı alqoritmindən istifadə etmisiniz?) Slayd.

2. Slaydda sizdən soruşulan cədvəli yoxlayaq.

Cədvəli doldurun
	domen	Funksiya sıfırları	Davamlılıq intervalları		Qrafikin Oy ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları
	domen	Funksiya sıfırları			Qrafikin Oy ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Bilik yeniləməsi

		f(1) və f(– 1)	f(2) və f(– 2)	qrafiklər	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		və müəyyən edilməmişdir.

4. Yeni material

Funksiyanın cüt və ya tək olması məsələsinin öyrənilməsi funksiyanın paritet üçün öyrənilməsi adlanır. Slayd

1 və 2 tərifləri x və - x-də funksiyanın qiymətləri ilə əlaqəli idi, beləliklə, funksiyanın da dəyərdə müəyyən edildiyi güman edilir. X, və - X.

ODA 3.Əgər ədəd çoxluğu onun hər bir elementi ilə birlikdə x əks elementi ehtiva edirsə, o zaman çoxluq X simmetrik çoxluq adlanır.

Nümunələr:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) simmetrik çoxluqlar, , [–5;4] isə qeyri-simmetrikdir.

- Hətta funksiyaların təyinetmə dairəsi - simmetrik çoxluq varmı? Qəribə olanlar?
- Əgər D( f) asimmetrik çoxluqdur, onda funksiya nədir?
– Beləliklə, əgər funksiya saat = f(X) cüt və ya təkdir, onda onun təyinetmə sahəsi D ( f) simmetrik çoxluqdur. Bəs bunun əksi doğrudurmu, əgər funksiyanın oblastı simmetrik çoxluqdursa, o, cüt və ya təkdir?
- Deməli, tərif sahəsinin simmetrik çoxluğunun olması zəruri şərtdir, lakin kafi deyil.
– Bəs paritet funksiyasını necə araşdıra bilərik? Gəlin bir alqoritm yazmağa çalışaq.

Slayd

Paritet üçün funksiyanın tədqiqi alqoritmi

1. Funksiya sahəsinin simmetrik olub olmadığını müəyyən edin. Əgər deyilsə, onda funksiya nə cüt, nə də tək deyil. Əgər belədirsə, alqoritmin 2-ci addımına keçin.

2. Üçün ifadə yazın f(–X).

3. Müqayisə edin f(–X).Və f(X):

əgər f(–X).= f(X), onda funksiya cütdür;
əgər f(–X).= – f(X), onda funksiya təkdir;
əgər f(–X) ≠ f(X) Və f(–X) ≠ –f(X), onda funksiya nə cüt, nə də tək deyil.

Nümunələr:

Paritet funksiyasını araşdırın a) saat= x 5 +; b) saat= ; in) saat= .

Həll.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simmetrik çoxluq.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funksiyası h(x)= x 5 + tək.

b) y =,

saat = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimmetrik çoxluq, buna görə də funksiya nə cüt, nə də tək deyil.

in) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Seçim 2

1. Verilmiş çoxluq simmetrikdirmi: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

Amma); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Paritet üçün funksiyanı yoxlayın:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Şek. hiylə qurdu saat = f(X), hamı üçün X, şərti təmin edir X? 0.
Funksiyanı tərtib edin saat = f(X), əgər saat = f(X) cüt funksiyadır.

3. Şek. hiylə qurdu saat = f(X), bütün x qane edən x üçün? 0.
Funksiyanı tərtib edin saat = f(X), əgər saat = f(X) qəribə funksiyadır.

Qarşılıqlı yoxlama sürüşdürün.

6. Ev tapşırığı: №11.11, 11.21,11.22;

Paritet xassəsinin həndəsi mənasının sübutu.

*** (USE variantının təyin edilməsi).

1. Tək funksiya y \u003d f (x) bütün real xəttdə müəyyən edilmişdir. x dəyişəninin hər hansı qeyri-mənfi qiyməti üçün bu funksiyanın qiyməti g( funksiyasının qiyməti ilə üst-üstə düşür. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( funksiyasının qiymətini tapın. X) = at X = 3.

7. Xülasə

Funksiya sıfırları
Funksiyanın sıfırı dəyərdir X, bu zaman funksiya 0 olur, yəni f(x)=0 olur.

Sıfırlar funksiyanın qrafikinin oxu ilə kəsişmə nöqtələridir Oh.

Funksiya pariteti
Hər hansı bir funksiya olsa belə çağırılır X tərif sahəsindən f(-x) = f(x) bərabərliyi

Cüt funksiya ox ətrafında simmetrikdir OU

Qəribə funksiya
Əgər varsa, funksiya tək adlanır X tərif sahəsindən f(-x) = -f(x) bərabərliyi təmin edilir.

Tək funksiya mənşəyə görə simmetrikdir.
Nə cüt, nə də tək olmayan funksiyaya ümumi funksiya deyilir.

Funksiya artımı
Arqumentin daha böyük dəyəri funksiyanın daha böyük dəyərinə uyğun gəlirsə, f(x) funksiyası artan adlanır, yəni. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Azalan funksiya
Arqumentin daha böyük qiyməti funksiyanın kiçik dəyərinə uyğundursa, f(x) funksiyası azalan adlanır, yəni. x 2 >x 1 → f(x 2)
Funksiyanın yalnız azaldığı və ya yalnız artdığı intervallar çağırılır monotonluq intervalları. f(x) funksiyasının 3 monotonluq intervalı var:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Xidmətdən istifadə edərək monotonluq intervallarını tapın Artan və azalan funksiyaların intervalları

Yerli maksimum
Nöqtə x 0 varsa lokal maksimum nöqtə adlanır X bir nöqtənin qonşuluğundan x 0 aşağıdakı bərabərsizlik yerinə yetirilir: f(x 0) > f(x)

Yerli minimum
Nöqtə x 0əgər varsa yerli minimum nöqtə adlanır X bir nöqtənin qonşuluğundan x 0 aşağıdakı bərabərsizlik yerinə yetirilir: f(x 0)< f(x).

Yerli maksimum nöqtələr və yerli minimum nöqtələr yerli ekstremal nöqtələr adlanır.

x 1 , x 2 - yerli ekstremal nöqtələr.

Funksiya dövriliyi
f(x) funksiyası dövri adlanır T, əgər varsa X f(x+T) = f(x) .

Davamlılıq intervalları
Funksiyanın yalnız müsbət və ya yalnız mənfi olduğu intervallara sabit işarəli intervallar deyilir.

x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x) üçün f(x)>0<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Funksiya davamlılığı
f(x) funksiyası x 0 nöqtəsində davamlı adlanırsa, x → x 0 kimi funksiyanın həddi bu nöqtədəki funksiyanın qiymətinə bərabərdirsə, yəni. .

qırılma nöqtələri
Davamlılıq şərtinin pozulduğu nöqtələrə funksiyanın kəsilmə nöqtələri deyilir.

x0- qırılma nöqtəsi.

Funksiyaların planlaşdırılmasının ümumi sxemi

1. D(y) funksiyasının təyin oblastını tapın.
2. Funksiyaların qrafikinin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapın.
3. Cüt və ya tək üçün funksiyanı araşdırın.
4. Dövrilik funksiyasını araşdırın.
5. Funksiyanın monotonluq intervallarını və ekstremum nöqtələrini tapın.
6. Funksiyanın qabarıqlıq və əyilmə nöqtələrinin intervallarını tapın.
7. Funksiyanın asimptotlarını tapın.
8. Tədqiqatın nəticələrinə əsasən qrafik qurun.

Misal: Funksiyanı araşdırın və onun qrafikini qurun: y = x 3 - 3x
8) Tədqiqatın nəticələrinə əsasən funksiyanın qrafikini quracağıq: