Bissektrisa üçün testi sübut edin. Üçbucaq elementləri. bisektor. Bucaq bissektrisasının əsas xassəsi

Bu dərsdə bucağın bissektrisasında yerləşən nöqtələrin və seqmentə perpendikulyar bissektrisa üzərində yerləşən nöqtələrin hansı xassələrə malik olduğunu ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Mövzu: Dairə

Dərs: Bucağın bissektrisasının və xətt seqmentinin perpendikulyar bissektrisasının xassələri

Bucaq bissektrisasında yerləşən nöqtənin xassələrini nəzərdən keçirək (şək. 1-ə baxın).

düyü. bir

Verilmiş bucaq, onun bissektrisa AL, M nöqtəsi bissektrisa üzərində yerləşir.

Teorem:

M nöqtəsi bucağın bissektorunda yerləşirsə, o zaman bucağın tərəflərindən bərabər məsafədədir, yəni M nöqtəsindən AC-yə və bucağın tərəflərinin BC-yə qədər olan məsafələri bərabərdir.

Sübut:

Üçbucaqları nəzərdən keçirin və . Bunlar düzbucaqlı üçbucaqlardır və bərabərdirlər, çünki. ümumi hipotenuzası AM və bucaqları bərabərdir, çünki AL bucağın bissektrisasıdır. Beləliklə, düzbucaqlı üçbucaqlar hipotenuza və iti bucaq baxımından bərabərdir, buna görə də sübut edilməsi lazım olan nəticə çıxır. Beləliklə, bucağın bissektrisasındakı nöqtə həmin bucağın tərəflərindən bərabər məsafədədir.

Əks teorem doğrudur.

Əgər nöqtə genişlənməmiş bucağın tərəflərindən bərabər məsafədədirsə, o, bissektrisasında yerləşir.

düyü. 2

Açılmış bir bucaq verilmişdir, M nöqtəsi, ondan bucağın tərəflərinə qədər olan məsafə eyni olsun (bax şək. 2).

M nöqtəsinin bucağın bissektrisasında olduğunu sübut edin.

Sübut:

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə perpendikulyarın uzunluğudur. M nöqtəsindən AB tərəfinə MK və AC tərəfinə MP perpendikulyarları çəkin.

Üçbucaqları nəzərdən keçirin və . Bunlar düzbucaqlı üçbucaqlardır və bərabərdirlər, çünki. ümumi hipotenuza AM var, ayaqları MK və MR şərti ilə bərabərdir. Beləliklə, düzbucaqlı üçbucaqlar hipotenuzda və ayaqda bərabərdir. Üçbucaqların bərabərliyindən müvafiq elementlərin bərabərliyi gəlir, bərabər bucaqlar bərabər ayaqlara qarşı uzanır, beləliklə, , buna görə də M nöqtəsi verilmiş bucağın bissektrisasında yerləşir.

Birbaşa və tərs teoremlər birləşdirilə bilər.

teorem

Genişlənməmiş bucağın bissektoru verilmiş bucağın tərəflərindən bərabər məsafədə olan nöqtələrin yeridir.

teorem

Üçbucağın AA 1, BB 1, CC 1 bissektrisaları bir O nöqtəsində kəsişir (şək. 3-ə baxın).

düyü. 3

Sübut:

İlk iki BB 1 və СС 1 bissektrisasını nəzərdən keçirək. Onlar kəsişir, kəsişmə nöqtəsi O mövcuddur. Bunu sübut etmək üçün əksini fərz edək - verilmiş bissektrisalar kəsişməsinlər, bu halda paraleldirlər. Onda BC xətti sekantdır və bucaqların cəmidir , bu, bütün üçbucaqda bucaqların cəminin olması faktına ziddir.

Beləliklə, iki bissektrisanın kəsişməsinin O nöqtəsi mövcuddur. Onun xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin:

O nöqtəsi bucağın bissektrisasında yerləşir, bu o deməkdir ki, o, BA və BC tərəflərindən bərabər məsafədədir. Əgər OK BC-yə perpendikulyardırsa, OL BA-ya perpendikulyardırsa, bu perpendikulyarların uzunluqları --ə bərabərdir. Həmçinin O nöqtəsi bucağın bissektrisasında yerləşir və onun CB və CA tərəflərindən bərabər məsafədə yerləşir, OM və OK perpendikulyarları bərabərdir.

Aşağıdakı bərabərlikləri əldə etdik:

, yəni O nöqtəsindən üçbucağın tərəflərinə atılan hər üç perpendikulyar bir-birinə bərabərdir.

Bizi OL və OM perpendikulyarlarının bərabərliyi maraqlandırır. Bu bərabərlik deyir ki, O nöqtəsi bucağın tərəflərindən bərabər məsafədədir, ona görə də o, AA 1 bissektrisasında yerləşir.

Beləliklə, üçbucağın hər üç bissektrisasının bir nöqtədə kəsişdiyini sübut etdik.

Seqmentin, onun perpendikulyar bissektrisasının və perpendikulyar bisektorun üzərində yerləşən nöqtənin xassələrinin nəzərdən keçirilməsinə keçək.

AB seqmenti verilmişdir, p perpendikulyar bisektordur. Bu o deməkdir ki, p xətti AB seqmentinin orta nöqtəsindən keçir və ona perpendikulyardır.

teorem

düyü. dörd

Perpendikulyar bissektrisa üzərində yerləşən istənilən nöqtə seqmentin uclarından bərabər məsafədə yerləşir (bax. şək. 4).

Bunu sübut et

Sübut:

Üçbucaqları nəzərdən keçirin və . Onlar düzbucaqlı və bərabərdir, çünki. ümumi OM ayağı var və AO və OB ayaqları şərtə görə bərabərdir, beləliklə, iki ayaqda bərabər olan iki düzbucaqlı üçbucağımız var. Buradan belə çıxır ki, üçbucaqların hipotenuzları da bərabərdir, yəni sübut edilməli idi.

Qeyd edək ki, AB seqmenti bir çox dairələr üçün ümumi akkorddur.

Məsələn, M nöqtəsində mərkəzləşdirilmiş birinci dairə və MA və MB radiusu; N nöqtəsində mərkəzləşdirilmiş ikinci dairə, radius NA və NB.

Beləliklə, biz sübut etdik ki, bir nöqtə seqmentə perpendikulyar bissektrisa üzərində yerləşirsə, o, seqmentin uclarından bərabər məsafədə yerləşir (bax şək. 5).

düyü. 5

Əks teorem doğrudur.

teorem

Əgər hansısa M nöqtəsi seqmentin uclarından bərabər məsafədədirsə, o, bu seqmentə perpendikulyar bisektor üzərində yerləşir.

AB seqmenti verilmişdir, ona perpendikulyar median p, seqmentin uclarından bərabər məsafədə yerləşən M nöqtəsi (bax. Şəkil 6).

M nöqtəsinin seqmentə perpendikulyar bissektrisa üzərində yerləşdiyini sübut edin.

düyü. 6

Sübut:

Gəlin üçbucağı nəzərdən keçirək. Şərt kimi ikitərəflidir. Üçbucağın medianasını nəzərdən keçirək: O nöqtəsi AB əsasının orta nöqtəsidir, OM medianıdır. İkitərəfli üçbucağın xassəsinə görə, onun əsasına çəkilən median həm hündürlük, həm də bissektrisadır. Buna görə də belə çıxır. Lakin p xətti də AB-yə perpendikulyardır. Biz bilirik ki, O nöqtəsinə AB seqmentinə tək perpendikulyar çəkilə bilər, bu o deməkdir ki, OM və p xətləri üst-üstə düşür, deməli, M nöqtəsi p xəttinə aiddir və bunun sübutu tələb olunurdu.

Birbaşa və tərs teoremlər ümumiləşdirilə bilər.

teorem

Seqmentin perpendikulyar bisektoru onun uclarından bərabər məsafədə yerləşən nöqtələrin yeridir.

Üçbucaq, bildiyiniz kimi, üç seqmentdən ibarətdir, yəni üç perpendikulyar bissektrisa çəkilə bilər. Belə çıxır ki, onlar bir nöqtədə kəsişir.

Üçbucağın perpendikulyar bisektorları bir nöqtədə kəsişir.

Üçbucaq verilir. Onun tərəflərinə perpendikulyar: P 1 BC tərəfinə, P 2 AC tərəfinə, P 3 AB tərəfinə (bax. Şəkil 7).

R 1 , Р 2 və Р 3 perpendikulyarlarının O nöqtəsində kəsişdiyini sübut edin.

Xəttin orta nöqtəsinin nə olduğunu bilirsinizmi? Əlbəttə ki. Və dairənin mərkəzi? çox.

Bucağın orta nöqtəsi nədir?

Deyə bilərsiniz ki, bu baş vermir. Bəs niyə seqment yarıya bölünə bilər, amma bucaq mümkün deyil? Bu olduqca mümkündür - sadəcə bir nöqtə deyil, amma .... xətt.

zarafatı xatırlayırsanmı: bissektrisa künclərdə qaçan və küncü ikiyə bölən siçovuldur. Beləliklə, bisektorun əsl tərifi bu zarafatla çox oxşardır:

Üçbucağın bissektrisa bu bucağın təpəsini qarşı tərəfdəki nöqtə ilə birləşdirən üçbucağın bucağının bissektrisasının seqmentidir.

Bir zamanlar qədim astronomlar və riyaziyyatçılar bisektorun çox maraqlı xüsusiyyətlərini kəşf etdilər. Bu bilik insanların həyatını çox asanlaşdırdı.

Bu işdə kömək edəcək ilk bilik ...

Yeri gəlmişkən, bütün bu terminləri xatırlayırsınız? Onların bir-birindən nə ilə fərqləndiyini xatırlayırsınız? yox? Qorxulu deyil. İndi gəlin bunu anlayaq.

İkitərəfli üçbucağın əsası- bu, heç biri ilə bərabər olmayan tərəfdir. Şəkilə baxın, sizcə bu hansı tərəfdir? Düzdür - bu bir tərəfdir.
Median üçbucağın təpəsindən çəkilmiş və qarşı tərəfi ikiyə bölən xəttdir (bu yenə də). Diqqət yetirin ki, biz “İkitərəfli üçbucağın medianı” demirik. Bilirsən niyə? Çünki üçbucağın təpəsindən çəkilmiş median HƏR üçbucağın əks tərəfini ikiyə bölür.
Hündürlük yuxarıdan çəkilmiş və bazaya perpendikulyar bir xəttdir. Diqqət etdiniz? Yenə hər hansı üçbucaqdan danışırıq, təkcə ikitərəfli üçbucaqdan deyil. HƏR üçbucağın hündürlüyü həmişə bazaya perpendikulyardır.

Yaxşı, başa düşdünüzmü? Təxminən.

Bisektorun, medianın və hündürlüyün nə olduğunu daha yaxşı başa düşmək və əbədi xatırlamaq üçün onlara lazımdır bir-biri ilə müqayisə edin və onların necə oxşar olduğunu və bir-birindən necə fərqləndiyini anlayın.

Eyni zamanda, daha yaxşı yadda saxlamaq üçün hər şeyi “insan dilində” təsvir etmək daha yaxşıdır.

Onda riyaziyyat dili ilə asanlıqla işləyəcəksən, amma əvvəlcə bu dili başa düşmürsən və hər şeyi dərk etməlisən. öz dilinizdə.

Beləliklə, onlar necə oxşardırlar?

Bissektrisa, median və hündürlük - onların hamısı üçbucağın təpəsindən "çıxıb" əks istiqamətdə dayanır və ya çıxdıqları bucaqla, ya da əks tərəflə "bir şey edir".

Məncə sadədir, hə?

Və onlar necə fərqlənirlər?

Bissektrisa çıxdığı bucağı ikiyə bölür.
Median əks tərəfi ikiyə bölür.
Hündürlük həmişə qarşı tərəfə perpendikulyardır.

Bu belədir. Anlamaq asandır. Anladıqdan sonra xatırlaya bilərsiniz.

İndi növbəti sual.

Bəs niyə ikitərəfli üçbucaq vəziyyətində bissektrisa eyni zamanda həm orta, həm də hündürlük olur?

Siz sadəcə şəklə baxa və medianın iki tamamilə bərabər üçbucağa bölündüyünə əmin ola bilərsiniz.

Hamısı budur! Amma riyaziyyatçılar gözlərinə inanmağı sevmirlər. Onlar hər şeyi sübut etməlidirlər.

Qorxulu söz?

Heç bir şey kimi deyil - hər şey sadədir! Baxın: və bərabər tərəfləri var və, onların ümumi tərəfi var və. (- bissektrisa!) Beləliklə, məlum oldu ki, iki üçbucağın iki bərabər tərəfi və aralarında bir bucağı var.

Üçbucaqların bərabərliyinin ilk əlamətini xatırlayırıq (xatırlamıram, mövzuya baxın) və nəticəyə gəlirik ki, = və deməkdir.

Bu, artıq yaxşıdır - bu, o deməkdir ki, median olduğu ortaya çıxdı.

Amma bu nədir?

Şəkilə baxaq -. Və biz bunu aldıq. Eləcə də! Nəhayət, hurra! və.

Bu sübut sizə çətin gəldi? Şəkilə baxın - iki eyni üçbucaq özləri üçün danışır.

Hər halda, unutmayın:

İndi daha çətindir: sayacağıq istənilən üçbucaqda bissektrisalar arasındakı bucaq! Qorxma, hər şey o qədər də çətin deyil. Şəkilə bax:

Gəlin hesablayaq. Yadınızdadırmı üçbucağın bucaqlarının cəmidir?

Gəlin bu heyrətamiz faktı tətbiq edək.

Bir tərəfdən:

Yəni.

İndi gəlin baxaq:

Ancaq bissektrisalar, bissektrisalar!

Haqqında xatırlayaq:

İndi məktublar vasitəsilə

Təəccüblü deyilmi?

Məlum oldu ki iki bucağın bissektrisaları arasındakı bucaq yalnız üçüncü bucaqdan asılıdır!

Yaxşı, iki bissektrisa baxdıq. Üç olsa nə olar?!!! Onların hamısı eyni nöqtədə kəsişəcəkmi?

Yoxsa olacaq?

Necə düşünürsünüz? Burada riyaziyyatçılar düşündülər, düşündülər və sübut etdilər:

Həqiqətən, əla?

Bunun niyə baş verdiyini bilmək istəyirsiniz?

Növbəti səviyyəyə keçin - bisektor haqqında biliklərin yeni zirvələrini fəth etməyə hazırsınız!

BISEKTOR. ORTA SƏVİYYƏ

Bissektrisin nə olduğunu xatırlayırsınız?

Bissektrisa bucağı ikiyə bölən xəttdir.

Problemdə bissektrisa ilə rastlaşdınızmı? Aşağıdakı heyrətamiz xüsusiyyətlərdən birini (və bəzən bir neçəsini də edə bilərsiniz) tətbiq etməyə çalışın.

1. İkitərəfli üçbucaqda bisektor.

“Teorem” sözündən qorxursunuz? Qorxursansa, o zaman - boş yerə. Riyaziyyatçılar başqa, daha sadə müddəalardan hansısa şəkildə çıxarıla bilən hər hansı ifadəni riyaziyyatın teoremi adlandırmağa adət etmişlər.

Beləliklə, diqqət, teorem!

sübut edək bu teorem, yəni bunun niyə baş verdiyini anlayacağıq? Izostellərə baxın.

Gəlin onlara diqqətlə baxaq. Və sonra biz bunu görəcəyik

- general.

Və bu (daha doğrusu, üçbucaqların bərabərliyinin ilk əlamətini xatırlayın!), Bu deməkdir.

Nə olsun? Siz belə demək istərdinizmi? Və bu üçbucaqların üçüncü tərəflərinə və qalan bucaqlarına hələ baxmamışıq.

İndi baxaq. Bir dəfə, sonra tamamilə dəqiq və hətta əlavə olaraq.

Beləliklə, belə oldu

tərəfi yarıya böldü, yəni mediana çıxdı
, yəni hər ikisi açıqdır, çünki (şəklə yenidən baxın).

Beləliklə, həm bissektrisa, həm də yüksəklik olduğu ortaya çıxdı!

Yaşasın! Teoremi sübut etdik. Ancaq təxmin et, hamısı bu deyil. Sadiq və tərs teorem:

Sübut? Maraqlanırsınızmı? Nəzəriyyənin növbəti səviyyəsini oxuyun!

Əgər maraqlanmırsınızsa, onda möhkəm xatırlayın:

Niyə xatırlamaq çətindir? Bu necə kömək edə bilər? Təsəvvür edin ki, bir vəzifəniz var:

Verildi: .

Tapın: .

Dərhal düşünürsən, bissektrisa və bax, o tərəfi yarıya böldü! (şərtlə...). Əgər bunun baş verdiyini möhkəm xatırlayırsınızsa yalnız isosceles üçbucağında, o zaman nəticə çıxarırsınız, yəni cavabı yazın:. Əladır, elə deyilmi? Əlbəttə ki, bütün tapşırıqlar o qədər də asan olmayacaq, amma bilik mütləq kömək edəcək!

İndi növbəti əmlak. Hazırsan?

2. Bucağın bissektoru bucağın tərəflərindən bərabər məsafədə olan nöqtələrin yeridir.

Qorxdun? Əslində, narahat olmağa dəyməz. Tənbəl riyaziyyatçılar iki sətirdə dörd gizlətdilər. Beləliklə, bu nə deməkdir, "bisektor - nöqtələrin yeri"? Bu isə o deməkdir ki, onlar dərhal edam olunurlar ikibəyanatlar:

Bir nöqtə bissektrisa üzərində yerləşirsə, ondan bucağın tərəflərinə olan məsafələr bərabərdir.
Əgər hansısa nöqtədə bucağın tərəflərinə olan məsafələr bərabərdirsə, onda bu nöqtə mütləq bissektrisa üzərində yerləşir.

1 və 2 ifadələri arasındakı fərqi görürsünüzmü? Əgər belə deyilsə, o zaman "Alisa möcüzələr ölkəsində" filmindəki Papaqçını xatırlayın: "Beləliklə, hələ də deyəcək yaxşı bir şeyiniz var, sanki "yediyimi görürəm" və "gördüklərimi yeyirəm" eyni şeydir!

Beləliklə, 1-ci və 2-ci ifadələri, sonra isə ifadəni sübut etməliyik: "bissektrisa bucağın tərəflərindən bərabər məsafədə olan nöqtələrin yeridir" sübut olunacaq!

Niyə 1 düzgündür?

Bisektorun istənilən nöqtəsini götürün və onu çağırın.

Bu nöqtədən bucağın tərəflərinə perpendikulyar salaq.

İndi isə... düzbucaqlı üçbucaqların bərabərlik əlamətlərini xatırlamağa hazırlaşın! Onları unutmusunuzsa, bölməyə baxın.

Beləliklə ... iki düzbucaqlı üçbucaq: və. Onların var:

ümumi hipotenuz.
(çünki - bissektrisa!)

Beləliklə - bucaq və hipotenuza görə. Buna görə də, bu üçbucaqların uyğun ayaqları bərabərdir! Yəni.

Sübut etdik ki, nöqtə bucağın tərəflərindən bərabər (və ya bərabər) çıxarılır. 1-ci bənd müzakirə edildi. İndi keçək 2-ci nöqtəyə.

Niyə 2 düzgündür?

Və nöqtələri birləşdirin.

Yəni, bissektrisa üzərində yatır!

Hamısı budur!

Bütün bunları problemin həllinə necə tətbiq etmək olar? Məsələn, tapşırıqlarda tez-tez belə bir ifadə var: "Dairə bucağın tərəflərinə toxunur ...". Yaxşı, bir şey tapmaq lazımdır.

Bunu tez başa düşürsən

Və bərabərlikdən istifadə edə bilərsiniz.

3. Üçbucağın üç bissektoru bir nöqtədə kəsişir

Bucağın tərəflərindən bərabər məsafədə olan nöqtələrin yeri olması bissektrisasının xassəsindən aşağıdakı ifadə belə olur:

Tam olaraq necə axır? Ancaq baxın: iki bissektrisa mütləq kəsişəcək, elə deyilmi?

Üçüncü bissektrisa belə gedə bilər:

Ancaq əslində hər şey daha yaxşıdır!

İki bissektrisin kəsişmə nöqtəsini nəzərdən keçirək. Gəlin ona zəng edək.

Hər iki dəfə burada nədən istifadə etdik? Bəli bənd 1, əlbəttə! Bir nöqtə bissektrisa üzərində yerləşirsə, o zaman bucağın tərəflərindən eyni dərəcədə uzaqdır.

Və belə də oldu.

Ancaq bu iki bərabərliyə diqqətlə baxın! Axı onlardan belə çıxır ki, və deməli, .

İndi işə gedəcək nöqtə 2: bucağın tərəflərinə olan məsafələr bərabərdirsə, onda nöqtə bissektrisa üzərində yerləşir ... hansı bucağın? Şəkilə yenidən baxın:

və bucağın tərəflərinə olan məsafələrdir və onlar bərabərdir, yəni nöqtə bucağın bissektrisasında yerləşir. Üçüncü bissektrisa eyni nöqtədən keçdi! Hər üç bissektrisa bir nöqtədə kəsişir! Və əlavə hədiyyə olaraq -

Radius yazılmışdır dairələr.

(Sədaqət üçün başqa mövzuya baxın).

Yaxşı, indi heç vaxt unutmayacaqsan:

Üçbucağın bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsi ona daxil edilmiş dairənin mərkəzidir.

Gəlin növbəti xassə keçək... Vay, və bissektrisa çoxlu xassələrə malikdir, elə deyilmi? Və bu əladır, çünki xassələr nə qədər çox olarsa, bissektrisa ilə bağlı məsələlərin həlli üçün bir o qədər çox alət olur.

4. Bissektrisa və paralellik, bitişik bucaqların bissektrisaları

Bisektorun bucağı ikiyə bölməsi bəzi hallarda tamamilə gözlənilməz nəticələrə gətirib çıxarır. Misal üçün,

İş 1

Əladır, elə deyilmi? Səbəbini anlayaq.

Bir tərəfdən biz bissektrisa çəkirik!

Lakin, digər tərəfdən, - çarpaz uzanan künclər kimi (mövzunu xatırlayın).

İndi belə çıxır ki; ortasını çölə at: ! - ikitərəfli!

Dava 2

Üçbucağı təsəvvür edin (və ya şəklə baxın)

Gəlin yan-yana davam edək. İndi iki künc var:

- daxili künc
- xarici künc - kənardadır, elə deyilmi?

Beləliklə, indi kimsə bir deyil, iki bissektrisa çəkmək istədi: həm üçün, həm də üçün. Nə olacaq?

Və çıxacaq düzbucaqlı!

Təəccüblüdür ki, məhz belədir.

Biz başa düşürük.

Sizcə məbləğ nə qədərdir?

Əlbəttə, çünki hamısı birlikdə elə bir bucaq düzəldirlər ki, düz xətt olur.

İndi biz bunu xatırlayırıq və bissektrisalardır və görəcəyik ki, bucaq içəridə dəqiqdir yarım bütün dörd bucağın cəmindən: və - - yəni dəqiq. Onu tənlik kimi də yazmaq olar:

Beləliklə, inanılmaz, lakin doğrudur:

Üçbucağın daxili və xarici bucaqlarının bissektrisaları arasındakı bucaq bərabərdir.

İş 3

Baxın, burada hər şey daxili və xarici künclərdə olduğu kimidir?

Yoxsa bunun niyə belə olduğunu bir daha düşünürük?

Yenə də, bitişik künclərə gəldikdə,

(paralel əsaslara uyğun olaraq).

Və yenə makiyaj edin tam yarısı məbləğindən

Nəticə: Problemdə bisektorlar varsa əlaqəli bucaqlar və ya bisektorlar əlaqədar paraleloqramın və ya trapezoidin açıları, onda bu problemdə əlbəttə düzbucaqlı üçbucaq və bəlkə də bütöv bir düzbucaq iştirak edir.

5. Bissektrisa və əks tərəf

Belə çıxır ki, üçbucağın bucağının bissektrisası qarşı tərəfi birtəhər deyil, xüsusi və çox maraqlı şəkildə bölür:

Yəni:

Təəccüblü fakt, elə deyilmi?

İndi biz bu faktı sübut edəcəyik, amma hazır olun: əvvəlkindən bir az daha çətin olacaq.

Yenə - "kosmosa" çıxış - əlavə bir bina!

Düz gedək.

Nə üçün? İndi baxarıq.

Bisektoru xəttlə kəsişməyə qədər davam etdiririk.

Tanış bir şəkil? Bəli, bəli, bəli, 4-cü bənddə olduğu kimi, 1-ci hal - belə çıxır ki, (- bissektrisa)

Çapraz uzanmaq kimi

Deməli, bu da.

İndi üçbucaqlara baxaq və.

Onlar haqqında nə demək olar?

Onlar oxşardırlar. Bəli, onların bucaqları şaquli qədər bərabərdir. Beləliklə, iki künc.

İndi bizim müvafiq tərəflərin münasibətlərini yazmaq hüququmuz var.

Və indi qısa qeyd:

vay! Mənə nəyisə xatırladır, elə deyilmi? Sübut etmək istədiyimiz bu deyildimi? Bəli, bəli, budur!

Görürsünüz ki, "kosmos gəzintisi" nə qədər möhtəşəm olduğunu sübut etdi - əlavə düz xəttin tikintisi - onsuz heç bir şey olmazdı! Beləliklə, biz bunu sübut etdik

İndi siz təhlükəsiz istifadə edə bilərsiniz! Üçbucağın bucaqlarının bissektrisalarının daha bir xüsusiyyətini təhlil edək - qorxma, indi ən çətin şey bitdi - daha asan olacaq.

Bunu anlayırıq

Teorem 1:

Teorem 2:

Teorem 3:

Teorem 4:

Teorem 5:

Teorem 6:

Yaxşı, mövzu bitdi. Əgər bu sətirləri oxuyursansa, deməli, çox gözəlsən.

Çünki insanların yalnız 5%-i nəyisə təkbaşına mənimsəməyi bacarır. Əgər sona qədər oxumusunuzsa, deməli siz 5%-dəsiniz!

İndi ən vacib şey.

Bu mövzuda nəzəriyyəni başa düşdünüz. Və təkrar edirəm, bu... sadəcə superdir! Onsuz da yaşıdlarınızın böyük əksəriyyətindən daha yaxşısınız.

Problem ondadır ki, bu kifayət olmaya bilər...

Nə üçün?

İmtahandan müvəffəqiyyətlə keçmək, büdcə ilə instituta qəbul olmaq və ən əsası ömürlük.

Sizi heç nəyə inandırmayacağam, sadəcə bir şey deyəcəm...

Yaxşı təhsil almış insanlar, almayanlardan qat-qat çox qazanırlar. Bu statistikadır.

Ancaq bu, əsas məsələ deyil.

Əsas odur ki, onlar DAHA XOŞBƏXTDİR (belə araşdırmalar var). Bəlkə ona görə ki, onların qarşısında daha çox imkanlar açılır və həyat daha parlaq olur? bilmirəm...

Amma özünüz düşünün...

İmtahanda başqalarından daha yaxşı olmaq və nəticədə ... daha xoşbəxt olmaq üçün nə lazımdır?

BU MÖVZUDA PROBLEMLƏRİ HƏLL EDƏN ƏLİNİZİ DOLDURUN.

İmtahanda sizdən nəzəriyyə soruşulmayacaq.

Sizə lazım olacaq problemləri vaxtında həll etmək.

Əgər onları həll etməmisinizsə (ÇOX!), Siz mütləq haradasa axmaq bir səhv edəcəksiniz və ya sadəcə vaxtında bunu etməyəcəksiniz.

İdmanda olduğu kimi - əmin olmaq üçün dəfələrlə təkrarlamaq lazımdır.

İstədiyiniz yerdə kolleksiya tapın mütləq həlləri, ətraflı təhlili ilə və qərar verin, qərar verin, qərar verin!

Siz bizim tapşırıqlarımızdan istifadə edə bilərsiniz (mütləq deyil) və biz onları mütləq tövsiyə edirik.

Tapşırıqlarımızın köməyi ilə kömək etmək üçün hazırda oxuduğunuz YouClever dərsliyinin ömrünü uzatmağa kömək etməlisiniz.

Necə? İki seçim var:

Bu məqalədəki bütün gizli tapşırıqlara girişi açın -
Dərsliyin bütün 99 məqaləsində bütün gizli tapşırıqlara girişi açın - Dərslik alın - 899 rubl

Bəli, dərslikdə 99 belə məqaləmiz var və bütün tapşırıqlara və onlarda olan bütün gizli mətnlərə giriş dərhal açıla bilər.

Bütün gizli tapşırıqlara giriş saytın bütün ömrü boyu təmin edilir.

Yekun olaraq...

Tapşırıqlarımızı bəyənmirsinizsə, başqalarını tapın. Yalnız nəzəriyyə ilə dayanmayın.

"Başa düşdüm" və "Mən necə həll edəcəyimi bilirəm" tamamilə fərqli bacarıqlardır. Hər ikisinə ehtiyacınız var.

Problemləri tapın və həll edin!

Bu dərsdə biz bucaq bissektrisa anlayışını xatırladacaq, bissektrisanın xassələrinə dair düz və tərs teoremləri tərtib edib isbat edəcəyik və ümumiləşdirəcəyik. Bissektrisa ilə bağlı faktlarla yanaşı, digər həndəsi faktları da tətbiq etdiyimiz məsələni həll edəcəyik.

Mövzu: Dairə

Dərs: Bucaq bissektrisasının xassələri. Tapşırıqlar

Üçbucaq bütün həndəsənin mərkəzi fiqurudur və zarafatla deyirlər ki, atom kimi tükənməzdir. Onun xassələri çoxsaylı, maraqlı, əyləncəlidir. Bu xüsusiyyətlərin bəzilərini nəzərdən keçiririk.

Hər hansı üçbucaq ilk növbədə üç bucaq və üç seqmentdir (bax. Şəkil 1).

düyü. bir

Təpəsi A və tərəfləri B və C olan bucağı nəzərdən keçirək - bucaq.

Hər hansı bir açıda, o cümlədən üçbucağın bucağı, bir bisektor çəkə bilərsiniz - yəni bucağı yarıya bölən düz bir xətt (bax. Şəkil 2).

düyü. 2

Bucağın bissektrisasında yerləşən nöqtənin xassələrini nəzərdən keçirək (şək. 3-ə baxın).

Bucağın bissektrisasında yerləşən M nöqtəsini nəzərdən keçirək.

Xatırladaq ki, bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə bu nöqtədən xəttə düşən perpendikulyarın uzunluğudur.

düyü. 3

Aydındır ki, bissektrisa üzərində yatmayan nöqtəni götürsək, bu nöqtədən bucağın tərəflərinə qədər olan məsafələr fərqli olacaq. M nöqtəsindən küncün kənarlarına qədər olan məsafə eynidir.

teorem

Genişlənməmiş bucağın bissektrisasının hər bir nöqtəsi bucağın tərəflərindən bərabər məsafədədir, yəni M nöqtəsindən AC-yə və bucağın tərəflərinin BC-yə qədər olan məsafələri bərabərdir.

Bucaq verilmişdir, onun bissektrisa AL, M nöqtəsi bissektrisa üzərində yerləşir (bax. şək. 4).

Bunu sübut et.

düyü. dörd

Sübut:

Üçbucaqları nəzərdən keçirin və . Bunlar düzbucaqlı üçbucaqlardır və bərabərdirlər, çünki onların ortaq hipotenuzası AM, bucaqları isə bərabərdir, çünki AL bucaq bisektorudur. Beləliklə, düzbucaqlı üçbucaqlar hipotenuza və iti bucaq baxımından bərabərdir, buna görə də sübut edilməsi lazım olan nəticə çıxır. Beləliklə, bucağın bissektrisasındakı nöqtə həmin bucağın tərəflərindən bərabər məsafədədir.

Əks teorem doğrudur.

teorem

Əgər nöqtə genişlənməmiş bucağın tərəflərindən bərabər məsafədədirsə, o, bissektrisasında yerləşir.

İnkişaf etməmiş bir bucaq verilir, M nöqtəsi, ondan bucağın tərəflərinə olan məsafə eyni olsun.

M nöqtəsinin bucağın bissektrisasında yerləşdiyini sübut edin (şək. 5-ə baxın).

düyü. 5

Sübut:

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə perpendikulyarın uzunluğudur. M nöqtəsindən AB tərəfinə MK və AC tərəfinə MP perpendikulyarları çəkin.

Üçbucaqları nəzərdən keçirin və . Bunlar düzbucaqlı üçbucaqlardır və onlar bərabərdir, çünki onların ümumi hipotenuzası AM olduğundan, MK və MR-nin ayaqları şərtlə bərabərdir. Beləliklə, düzbucaqlı üçbucaqlar hipotenuzda və ayaqda bərabərdir. Üçbucaqların bərabərliyindən müvafiq elementlərin bərabərliyi gəlir, bərabər bucaqlar bərabər ayaqlara qarşı uzanır, beləliklə, , buna görə də M nöqtəsi verilmiş bucağın bissektrisasında yerləşir.

Bəzən birbaşa və tərs teoremlər aşağıdakı kimi birləşdirilir:

teorem

Nöqtə bucağın tərəflərindən bərabər məsafədə olur, o halda ki, o bucağın bissektrisasında yerləşir.

Bucağın tərəflərindən bissektrisa nöqtələrinin bərabər məsafəsi müxtəlif məsələlərdə geniş istifadə olunur.

Məsələ № 674 Atanasyanın həndəsə dərsliyindən 7-9-cu siniflər:

Genişlənməmiş bucağın bissektrisasının M nöqtəsindən bu bucağın tərəflərinə MA və MB perpendikulyarları çəkilir (bax şək. 6). Bunu sübut et.

Verilmişdir: bucaq, bissektrisa OM, bucağın tərəflərinə MA və MB perpendikulyarları.

düyü. 6

Bunu sübut edin:

Sübut:

Birbaşa teoremə görə, M nöqtəsi bucağın tərəflərindən bərabər məsafədədir, çünki şərtlə o, bissektrisasında yerləşir. .

Düzgün üçbucaqları nəzərdən keçirin və (bax. Şəkil 7). Onların ümumi hipotenuzası OM var, MA və MB ayaqları əvvəllər sübut etdiyimiz kimi bərabərdir. Beləliklə, iki düzbucaqlı

düyü. 7

üçbucaqlar ayaq və hipotenuzda bərabərdir. Üçbucaqların bərabərliyindən onların uyğun elementlərinin bərabərliyi, deməli bucaqların bərabərliyi gəlir. və digər ayaqların bərabərliyi.

OA və OB ayaqlarının bərabərliyindən belə çıxır ki, üçbucaq ikitərəfli, AB isə onun əsasıdır. OM xətti üçbucağın bissektrisasıdır. İkitərəfli üçbucağın xassəsinə görə, bu bissektrisa da hündürlükdür, bu o deməkdir ki, OM və AB xətləri düzgün bucaq altında kəsişir, bu isbat edilməli idi.

Deməli, biz bucağın bissektorunda yerləşən nöqtənin xassəsinə dair düz və tərs teoremləri nəzərdən keçirdik, onları ümumiləşdirdik və müxtəlif həndəsi faktları, o cümlədən bu teoremi tətbiq etməklə məsələni həll etdik.

Biblioqrafiya

Aleksandrov A.D. və s. Həndəsə, 8-ci sinif. - M.: Təhsil, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Həndəsə 8 sinif. - M.: Təhsil, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Həndəsə 8 sinif. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Bymath.net().
Oldskola1.narod.ru ().

Ev tapşırığı

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. və başqaları Həndəsə, 7-9, № 676-678, bənd. 180.

Üçbucağın bissektrisa - üçbucağın təpəsi ilə ona əks tərəf arasında qapalı olan üçbucağın bucağının bisektorunun seqmenti.

Bisektor xassələri

1. Üçbucağın bissektrisa bucağı ikiyə bölür.

2. Üçbucağın bucağın bisektoru qarşı tərəfi iki bitişik tərəfin nisbətinə bərabər nisbətdə bölür ()

3. Üçbucağın bucağının bisektor nöqtələri həmin bucağın tərəflərindən bərabər məsafədədir.

4. Üçbucağın daxili bucaqlarının bissektrisaları bir nöqtədə - bu üçbucağın içərisinə daxil edilmiş dairənin mərkəzində kəsişir.

Üçbucağın bissektrisasına aid bəzi düsturlar

(düsturun sübutu -)
, harada
- yan tərəfə çəkilmiş bissektrisin uzunluğu,
- üçbucağın tərəfləri müvafiq olaraq təpələrə qarşı,
- bisektorun tərəfi ayırdığı seqmentlərin uzunluğu,

Sizi baxmağa dəvət edirəm video dərs, bu, bissektrisanın yuxarıdakı bütün xassələrinin tətbiqini nümayiş etdirir.

Videoda əhatə olunan tapşırıqlar:
1. Tərəfləri AB=2 sm, BC=3 sm, AC=3 sm olan ABC üçbucağında BM bissektrisa çəkilir. AM və MC seqmentlərinin uzunluqlarını tapın
2. ABC üçbucağının A təpəsindəki daxili bucağın və C təpəsindəki xarici bucağın bissektoru M nöqtəsində kəsişir. BMC bucağını tapın, əgər B bucağı 40 olarsa, C bucağı 80 dərəcədir.
3. Kvadrat hücrələrin tərəflərini 1-ə bərabər nəzərə alaraq üçbucağa daxil edilmiş dairənin radiusunu tapın.

Siz həmçinin bisektorun xassələrindən birinin tətbiq olunduğu qısa video dərsliyi ilə maraqlana bilərsiniz

Bu gün çox asan bir dərs olacaq. Biz yalnız bir obyekti - bucaq bissektrisasını nəzərdən keçirəcəyik və onun gələcəkdə bizim üçün çox faydalı olacaq ən vacib xüsusiyyətini sübut edəcəyik.

Sadəcə rahatlamayın: bəzən eyni OGE və ya İSTİFADƏ üzrə yüksək bal toplamaq istəyən tələbələr ilk dərsdə hətta bisektorun dəqiq tərifini belə tərtib edə bilmirlər.

Və həqiqətən maraqlı tapşırıqlar yerinə yetirmək əvəzinə, belə sadə şeylərə vaxt ayırırıq. Odur ki, oxuyun, baxın və övladlığa götürün. :)

Başlamaq üçün bir az qəribə sual: bucaq nədir? Düzdür: bucaq eyni nöqtədən çıxan iki şüadır. Misal üçün:

Bucaq nümunələri: iti, küt və sağ

Şəkildən göründüyü kimi, künclər kəskin, küt, düz ola bilər - indi fərq etməz. Tez-tez rahatlıq üçün hər bir şüada əlavə bir nöqtə qeyd olunur və deyirlər ki, bizdə $AOB$ bucağı var ($\angle AOB$ kimi yazılır).

Kapitan, deyəsən, $OA$ və $OB$ şüalarına əlavə olaraq, hər zaman $O$ nöqtəsindən bir dəstə şüa çəkə biləcəyinə işarə edir. Ancaq onların arasında bir xüsusi olacaq - ona bissektrisa deyilir.

Tərif. Bucağın bisektoru həmin bucağın təpəsindən çıxan və bucağı ikiyə bölən şüadır.

Yuxarıdakı bucaqlar üçün bissektrisalar belə görünəcək:

Kəskin, küt və düz bucaqlar üçün bissektrisa nümunələri

Həqiqi rəsmlərdə müəyyən bir şüanın (bizim vəziyyətimizdə bu, $OM$ şüasıdır) ilkin bucağı iki bərabərə bölməsi həmişə aydın olmadığından, həndəsədə bərabər bucaqları eyni sayda işarə ilə qeyd etmək adətdir. qövslər (rəsmimizdə bu, kəskin bucaq üçün 1 qövs, küt üçün iki, düz üçün üç).

Yaxşı, tərifi tapdıq. İndi bissektrisin hansı xassələrə malik olduğunu başa düşməlisiniz.

Bucaq bissektrisasının əsas xassəsi

Əslində, bissektrisa çoxlu xüsusiyyətlərə malikdir. Və biz onları növbəti dərsdə mütləq nəzərdən keçirəcəyik. Ancaq indi başa düşməli olduğunuz bir hiylə var:

teorem. Bucağın bissektoru verilmiş bucağın tərəflərindən bərabər məsafədə olan nöqtələrin yeridir.

Riyaziyyatdan rus dilinə tərcümə edilən bu, eyni anda iki fakt deməkdir:

Bucağın bissektrisasında yerləşən istənilən nöqtə həmin bucağın tərəflərindən eyni məsafədədir.
Və əksinə: əgər bir nöqtə verilmiş bucağın tərəflərindən eyni məsafədə yerləşirsə, onda bu bucağın bissektrisasında yatmağa zəmanət verilir.

Bu müddəaları sübut etməzdən əvvəl bir məqama aydınlıq gətirək: əslində nöqtədən bucağın tərəfinə qədər olan məsafə nə adlanır? Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafənin yaxşı köhnə tərifi burada bizə kömək edəcəkdir:

Tərif. Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə həmin nöqtədən həmin xəttə çəkilmiş perpendikulyarın uzunluğudur.

Məsələn, $l$ xəttini və bu xəttdə olmayan $A$ nöqtəsini nəzərdən keçirək. Perpendikulyar $AH$ çəkin, burada $H\ l$ ilə. Onda bu perpendikulyarın uzunluğu $A$ nöqtəsindən $l$ xəttinə qədər olan məsafə olacaqdır.

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafənin qrafik təsviri

Bucaq sadəcə iki şüa olduğundan və hər şüa xəttin bir parçası olduğundan, bir nöqtədən bucağın tərəflərinə qədər olan məsafəni təyin etmək asandır. Bu, sadəcə iki perpendikulyardır:

Bir nöqtədən bucağın tərəflərinə qədər olan məsafəni təyin edin

Hamısı budur! İndi biz məsafənin nə olduğunu və bissektrisin nə olduğunu bilirik. Beləliklə, biz əsas mülkü sübut edə bilərik.

Söz verdiyimiz kimi, sübutu iki hissəyə bölürük:

1. Bissektrisadakı nöqtədən bucağın tərəflərinə qədər olan məsafələr eynidir

$O$ təpəsi və $OM$ biseksektoru olan ixtiyari bucağı nəzərdən keçirək:

Sübut edək ki, eyni $M$ nöqtəsi bucağın tərəflərindən eyni məsafədədir.

Sübut. $M$ nöqtəsindən bucağın tərəflərinə perpendikulyarlar çəkək. Gəlin onları $M((H)_(1))$ və $M((H)_(2))$ adlandıraq:
Küncün yanlarına perpendikulyar çəkin
İki düzbucaqlı üçbucaq aldıq: $\vartriangle OM((H)_(1))$ və $\vartriangle OM((H)_(2))$. Onların ümumi hipotenuzası $OM$ və bərabər açılar var:

$\bucaq MO((H)_(1))=\bucaq MO((H)_(2))$ fərziyyə ilə (çünki $OM$ bissektrisadır);

$\bucaq M((H)_(1))O=\bucaq M((H)_(2))O=90()^\circ $ konstruksiyasına görə;

$\bucaq OM((H)_(1))=\bucaq OM((H)_(2))=90()^\circ -\bucaq MO((H)_(1))$ çünki cəmi Düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqları həmişə 90 dərəcəyə bərabərdir.

Buna görə də, üçbucaqlar yan və iki bitişik bucaq baxımından bərabərdir (üçbucaqların bərabərlik əlamətlərinə baxın). Buna görə də, xüsusilə, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, yəni. $O$ nöqtəsindən bucağın tərəflərinə qədər olan məsafələr həqiqətən bərabərdir. Q.E.D. :)

2. Məsafələr bərabərdirsə, onda nöqtə bissektrisa üzərində yerləşir

İndi vəziyyət əksinədir. $O$ bucağı və bu bucağın tərəflərindən bərabər məsafədə olan $M$ nöqtəsi verilsin:

$OM$ şüasının bissektrisa olduğunu sübut edək, yəni. $\bucaq MO((H)_(1))=\bucaq MO((H)_(2))$.

Sübut. Başlamaq üçün gəlin bu $OM$ şüasını çəkək, əks halda sübut ediləcək heç nə olmayacaq:
$OM$ şüasını küncün içərisinə sərf etdi
Yenə iki düzbucaqlı üçbucaq aldıq: $\vartriangle OM((H)_(1))$ və $\vartriangle OM((H)_(2))$. Aydındır ki, onlar bərabərdir, çünki:

$OM$ hipotenuzası ümumidir;

Ayaqları $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ şərtlə (çünki $M$ nöqtəsi küncün kənarlarından bərabər məsafədə yerləşir);

Qalan ayaqlar da bərabərdir, çünki Pifaqor teoremi ilə $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Buna görə də, üç tərəfdən $\vartriangle OM((H)_(1))$ və $\vartriangle OM((H)_(2))$ üçbucaqları. Xüsusilə, onların bucaqları bərabərdir: $\bucaq MO((H)_(1))=\bucaq MO((H)_(2))$. Və bu sadəcə o deməkdir ki, $OM$ bisektordur.

Sübutun sonunda qırmızı qövslərlə əmələ gələn bərabər bucaqları qeyd edirik:
Bisektor $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ bucağını iki bərabər hissəyə bölür.

Gördüyünüz kimi, mürəkkəb bir şey yoxdur. Sübut etdik ki, bucağın bissektoru bu bucağın tərəflərindən bərabər məsafədə olan nöqtələrin yeridir. :)

İndi az-çox terminologiyaya qərar verdiyimiz üçün yeni səviyyəyə keçməyin vaxtıdır. Növbəti dərsdə biz bissektrisasının daha mürəkkəb xassələrini təhlil edəcəyik və onları real məsələlərin həlli üçün necə tətbiq edəcəyimizi öyrənəcəyik.