Nömrələri. Həqiqi rəqəmlər. Ədədlər: natural, tam, rasional, irrasional, real İstənilən rasional ədəd həqiqidir

Bu məqalə haqqında əsas məlumatlar var real ədədlər. Əvvəlcə həqiqi ədədlərin tərifi verilir və misallar verilir. Həqiqi ədədlərin koordinat xəttindəki mövqeyi sonra göstərilir. Və yekunda həqiqi ədədlərin ədədi ifadələr şəklində necə verildiyi təhlil edilir.

Səhifə naviqasiyası.

Həqiqi ədədlərin tərifi və nümunələri

Həqiqi ədədlər ifadələr kimi

Həqiqi ədədlərin tərifindən aydın olur ki, həqiqi ədədlər:

• istənilən natural ədəd;
• istənilən tam ədəd;
• hər hansı adi fraksiya (həm müsbət, həm də mənfi);
• istənilən qarışıq nömrə;
• istənilən onluq kəsr (müsbət, mənfi, sonlu, sonsuz dövri, sonsuz qeyri-dövri).

Ancaq çox vaxt həqiqi ədədlər şəklində görünə bilər və s. Bundan əlavə, həqiqi ədədlərin cəmi, fərqi, hasili və hissəsi də həqiqi ədədlərdir (bax real ədədlərlə əməliyyatlar). Məsələn, bunlar real rəqəmlərdir.

Daha da irəli getsəniz, arifmetik işarələrdən, kök işarələrindən, dərəcələrdən, loqarifmiklərdən istifadə edərək həqiqi ədədlərdən, triqonometrik funksiyalar və s. hər cür ədədi ifadələr tərtib edə bilərsiniz, onların dəyərləri də həqiqi ədədlərdir. Məsələn, ifadə dəyərləri Və həqiqi ədədlərdir.

Bu məqalənin sonunda qeyd edirik ki, ədəd anlayışının genişləndirilməsində növbəti addım həqiqi ədədlərdən keçiddir. mürəkkəb ədədlər.

Biblioqrafiya.

• Vilenkin N.Ya. s. Riyaziyyat. 6-cı sinif: təhsil müəssisələri üçün dərslik.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cəbr: 8 hüceyrə üçün dərslik. təhsil müəssisələri.
• Qusev V.A., Mordkoviç A.G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə abituriyentlər üçün dərslik).

Ağıllı tələbələrin müəllif hüquqları

Bütün hüquqlar qorunur.
Müəllif hüquqları qanunu ilə qorunur. Saytın heç bir hissəsi, o cümlədən daxili materiallar və xarici dizayn, müəllif hüquqları sahibinin əvvəlcədən yazılı icazəsi olmadan hər hansı formada təkrar istehsal edilə və ya istifadə edilə bilməz.

Bu məqalə "Rasional ədədlər" mövzusunun öyrənilməsinə həsr edilmişdir. Aşağıda rasional ədədlərin tərifləri, misallar verilmiş və ədədin rasional olub-olmadığını necə müəyyən etmək olar.

Rasional ədədlər. Təriflər

Rasional ədədlərin tərifini verməzdən əvvəl, digər ədəd çoxluqlarının nə olduğunu və onların bir-biri ilə necə əlaqəli olduğunu xatırlayaq.

Natural ədədlər əksləri və sıfır rəqəmi ilə birlikdə tam ədədlər toplusunu təşkil edir. Öz növbəsində, tam ədədlər dəsti kəsr ədədlər rasional ədədlər çoxluğunu əmələ gətirir.

Tərif 1. Rasional ədədlər

Rasional ədədlər müsbət kimi göstərilə bilən ədədlərdir ümumi kəsr a b , mənfi ümumi kəsr - a b və ya sıfır ədədi.

Beləliklə, rasional ədədlərin bir sıra xassələrini tərk edə bilərik:

1. İstənilən natural ədəd rasional ədəddir. Aydındır ki, hər bir natural ədəd n 1 n kəsr kimi təqdim edilə bilər.
2. 0 rəqəmi də daxil olmaqla istənilən tam ədəd rasional ədəddir. Həqiqətən də, istənilən müsbət tam və mənfi tam ədəd asanlıqla müvafiq olaraq müsbət və ya mənfi ümumi kəsr kimi təqdim edilə bilər. Məsələn, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
3. Hər hansı müsbət və ya mənfi ümumi kəsr a b rasional ədəddir. Bu, birbaşa yuxarıdakı tərifdən irəli gəlir.
4. İstənilən qarışıq ədəd rasionaldır. Həqiqətən də, qarışıq bir ədəd adi düzgün olmayan kəsr kimi təqdim edilə bilər.
5. İstənilən sonlu və ya dövri onluq kəsr adi kəsr kimi göstərilə bilər. Buna görə də, hər bir dövri və ya son onluq rasional ədəddir.
6. Sonsuz və təkrar olunmayan onluqlar rasional ədədlər deyil. Onlar adi kəsrlər şəklində təqdim edilə bilməz.

Rasional ədədlərə misallar verək. 5 , 105 , 358 , 1100055 ədədləri təbii, müsbət və tam ədəddir. Axı bunlar rasional rəqəmlərdir. - 2 , - 358 , - 936 ədədləri mənfi tam ədədlərdir və onlar da tərifinə görə rasionaldır. 3 5 , 8 7 , - 35 8 sadə kəsrləri də rasional ədədlərə misaldır.

Rasional ədədlərin yuxarıdakı tərifini daha yığcam formalaşdırmaq olar. Gəlin bir daha suala cavab verək, rasional ədəd nədir.

Tərif 2. Rasional ədədlər

Rasional ədədlər ± z n kəsr kimi göstərilə bilən ədədlərdir, burada z tam, n natural ədəddir.

Bunu göstərmək olar bu tərif rasional ədədlərin əvvəlki tərifinə bərabərdir. Bunu etmək üçün, kəsrin zolağının bölmə işarəsi ilə eyni olduğunu unutmayın. Tam ədədlərin bölünməsi qaydalarını və xassələrini nəzərə alaraq, aşağıdakı ədalətli bərabərsizlikləri yaza bilərik:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Beləliklə, yaza bilərsiniz:

z n = z n , p p və z > 0 0 , p p və z = 0 - z n , p p və z< 0

Əslində bu rekord sübutdur. İkinci tərif əsasında rasional ədədlərə misallar veririk. Rəqəmləri nəzərdən keçirin - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 və - 1 3 5. Bütün bu ədədlər rasionaldır, çünki onlar tam ədədin paylayıcısı və natural məxrəci ilə kəsr kimi yazıla bilər: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Rasional ədədlərin tərifinin daha bir ekvivalent formasını təqdim edirik.

Tərif 3. Rasional ədədlər

Rasional ədəd sonlu və ya sonsuz dövri onluq kəsr kimi yazıla bilən ədəddir.

Bu tərif birbaşa bu paraqrafın ilk tərifindən irəli gəlir.

Bu maddə üzrə ümumiləşdirmə və xülasə formalaşdırmaq üçün:

1. Müsbət və mənfi kəsr və tam ədədlər rasional ədədlər çoxluğunu təşkil edir.
2. Hər bir rasional ədəd kəsr kimi göstərilə bilər, onun payı tam, məxrəci isə natural ədəddir.
3. Hər bir rasional ədədi onluq kəsr kimi də göstərmək olar: sonlu və ya sonsuz dövri.

Hansı rəqəm rasionaldır?

Artıq aşkar etdiyimiz kimi, istənilən natural ədəd, tam ədəd, düzgün və düzgün olmayan adi kəsr, dövri və son onluq kəsr rasional ədədlərdir. Bu biliklərlə silahlanmış bir rəqəmin rasional olub olmadığını asanlıqla müəyyən edə bilərsiniz.

Bununla belə, praktikada çox vaxt rəqəmlərlə deyil, kökləri, gücləri və loqarifmlərini ehtiva edən ədədi ifadələrlə məşğul olmaq lazımdır. Bəzi hallarda “Rəqəm rasionaldırmı?” sualına cavab verilir. aydın görünməkdən uzaqdır. Gəlin bu suala necə cavab verəcəyimizə nəzər salaq.

Əgər ədəd yalnız rasional ədədlər və onların arasında hesab əməlləri olan ifadə kimi verilirsə, onda ifadənin nəticəsi rasional ədəd olur.

Məsələn, 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) ifadəsinin qiyməti rasional ədəddir və 18-ə bərabərdir.

Beləliklə, mürəkkəb ədədi ifadənin sadələşdirilməsi onun verdiyi ədədin rasional olub olmadığını müəyyən etməyə imkan verir.

İndi kökün işarəsi ilə məşğul olaq.

Belə çıxır ki, m ədədinin n dərəcəsinin kökü kimi verilən m n ədədi yalnız o zaman rasional olur ki, m hansısa natural ədədin n-ci dərəcəsidir.

Bir nümunəyə baxaq. 2 rəqəmi məntiqli deyil. Halbuki 9, 81 rasional ədədlərdir. 9 və 81 müvafiq olaraq 3 və 9 rəqəmlərinin mükəmməl kvadratlarıdır. 199 , 28 , 15 1 ədədləri rasional ədədlər deyil, çünki kök işarəsi altında olan ədədlər heç bir natural ədədin mükəmməl kvadratları deyil.

İndi daha mürəkkəb bir işi götürək. 243 5 rəqəmi rasionaldırmı? 3-ü beşinci dərəcəyə qaldırsanız, 243 alırsınız, buna görə də orijinal ifadəni belə yenidən yazmaq olar: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Buna görə də bu rəqəm rasionaldır. İndi 121 5 rəqəmini götürək. Bu rəqəm rasional deyil, çünki 121-i vermək üçün beşinci dərəcəyə qaldırıla bilən natural ədəd yoxdur.

Bəzi a ədədinin b əsasına olan loqarifminin rasional ədəd olub-olmadığını öyrənmək üçün ziddiyyət üsulunu tətbiq etmək lazımdır. Məsələn, log 2 5 rəqəminin rasional olub olmadığını öyrənək. Tutaq ki, bu rəqəm rasionaldır. Əgər belədirsə, onda onu adi kəsr log 2 5 = m n kimi yazmaq olar.Loqarifmin xassələrinə və dərəcənin xassələrinə görə aşağıdakı bərabərliklər doğrudur:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Aydındır ki, sonuncu bərabərlik mümkün deyil, çünki sol və sağ tərəflər müvafiq olaraq tək və cüt ədədlərdən ibarətdir. Buna görə də irəli sürülən fərziyyə səhvdir və log 2 5 rəqəmi rasional ədəd deyil.

Qeyd etmək lazımdır ki, rəqəmlərin rasionallığını və irrasionallığını təyin edərkən qəfil qərarlar qəbul etmək olmaz. Məsələn, irrasional ədədlərin hasilinin nəticəsi həmişə irrasional ədəd olmur. İllüstrativ nümunə: 2 · 2 = 2 .

Elə irrasional ədədlər də var ki, onların irrasional gücə yüksəldilməsi rasional ədəd verir. 2 log 2 3 formasının gücündə əsas və göstərici irrasional ədədlərdir. Bununla belə, ədədin özü rasionaldır: 2 log 2 3 = 3 .

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Natural ədədlər müsbət tam ədədlər kimi müəyyən edilir. Natural ədədlər cisimləri saymaq üçün və bir çox başqa məqsədlər üçün istifadə olunur. Budur rəqəmlər:

Bu təbii nömrələr seriyasıdır.
Sıfır natural ədəddir? Xeyr, sıfır natural ədəd deyil.
Neçə natural ədəd var? Sonsuz natural ədədlər toplusu var.
Ən kiçik natural ədəd nədir? Biri ən kiçik natural ədəddir.
Ən böyük natural ədəd hansıdır? Onu dəqiqləşdirmək mümkün deyil, çünki təbii ədədlərin sonsuz çoxluğu var.

Natural ədədlərin cəmi natural ədəddir. Beləliklə, a və b natural ədədlərinin toplanması:

Natural ədədlərin hasili natural ədəddir. Beləliklə, a və b natural ədədlərinin hasili:

c həmişə natural ədəddir.

Natural ədədlərin fərqi Həmişə natural ədəd olmur. Əgər minuend çıxarışdan böyükdürsə, natural ədədlərin fərqi natural ədəddir, əks halda belə deyil.

Natural ədədlərin nisbəti Həmişə natural ədəd olmur. a və b natural ədədləri üçün

burada c natural ədəddir, bu o deməkdir ki, a b-yə bərabər bölünür. Bu misalda a dividend, b bölən, c bölmədir.

Natural ədədin bölməsi birinci ədədin bərabər bölündüyü natural ədəddir.

Hər bir natural ədəd 1-ə və özünə bölünür.

Sadə natural ədədlər yalnız 1-ə və özlərinə bölünür. Burada tamamilə bölünməyi nəzərdə tuturuq. Məsələn, rəqəmlər 2; 3; beş; 7 yalnız 1-ə və özünə bölünür. Bunlar sadə natural ədədlərdir.

Biri sadə ədəd hesab edilmir.

Birdən böyük olan və sadə olmayan ədədlərə mürəkkəb ədədlər deyilir. Kompozit ədədlərə nümunələr:

Biri kompozit nömrə hesab edilmir.

Natural ədədlər çoxluğu birdir, sadə ədədlər və mürəkkəb ədədlər.

Natural ədədlər çoxluğu latın hərfi N ilə işarələnir.

Natural ədədlərin toplanması və vurulmasının xassələri:

əlavənin kommutativ xassəsi

əlavənin assosiativ xassəsi

(a + b) + c = a + (b + c);

vurmanın kommutativ xassəsi

vurmanın assosiativ xassəsi

(ab)c = a(bc);

vurmanın paylayıcı xassəsi

a (b + c) = ab + ac;

Tam ədədlər

Tam ədədlər natural ədədlər, sıfır və natural ədədlərin əksidir.

Natural ədədlərin əksi olan ədədlər mənfi tam ədədlərdir, məsələn:

1; -2; -3; -4;…

Tam ədədlər çoxluğu latın Z hərfi ilə işarələnir.

Rasional ədədlər

Rasional ədədlər tam ədədlər və kəsrlərdir.

İstənilən rasional ədəd dövri kəsr kimi təqdim edilə bilər. Nümunələr:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

Nümunələrdən görmək olar ki, istənilən tam ədəd dövrü sıfır olan dövri kəsrdir.

İstənilən rasional ədəd m/n kəsr kimi göstərilə bilər, burada m tam, n isə natural ədəddir. Əvvəlki misaldakı 3,(6) rəqəmini kəsr kimi təqdim edək:

Başqa bir misal: rasional ədəd 9 sadə kəsr kimi 18/2 və ya 36/4 kimi göstərilə bilər.

Başqa bir misal: -9 rasional ədədi sadə kəsr kimi -18/2 və ya -72/8 kimi göstərilə bilər.