Grahami suurim arv maailmas. Kujutamatu Grahami number. Mersenne esinumbrid

epigraaf
Kui vaatad kaua kuristikku,
saad mõnusalt aega veeta.
Mehaaniline hingeinsener

Niipea kui laps (ja see juhtub kuskil kolme-neljaaastaselt) saab aru, et kõik numbrid on jagatud kolme rühma "üks, kaks ja mitu", püüab ta kohe välja selgitada: kui palju on liiga palju, kuidas palju erineb nii palju, ja kas see võib olla nii palju, et rohkem pole. Kindlasti mängisite oma vanematega huvitavat (selle vanuse kohta) mängu, kes nimetab suurima arvu ja kas esivanem oli pole lollim kui 5. klassi õpilane, siis võitis ta alati, vastates "kaks miljonit" iga "miljoni" kohta ja "kaks miljardit" või "miljard pluss üks" iga "miljardi" kohta.

Juba esimeses kooliastmes teavad kõik, et numbreid on lõpmatult palju, need ei lõpe kunagi ja pole ka suurimat arvu. Igaühele miljonit triljonit miljardit võite alati öelda "pluss üks" ja võita. Ja veidi hiljem tuleb (peaks tulema!) arusaam, et pikad numbrijadad iseenesest ei tähenda midagi. Kõik need triljoneid miljardeid alles siis on neil mõtet, kui nad kujutavad mitut objekti või kirjeldavad teatud nähtust. Pole raske välja mõelda pikka numbrit, mis pole midagi muud kui pika kõlaga numbrite komplekt, nii et nad lõpmatu arv. Teadus tegeleb teatud määral piltlikult öeldes täiesti konkreetsete arvukombinatsioonide otsimisega selles piiritus kuristikus, lisades mõnele füüsiline nähtus, nagu valguse kiirus, Avogadro arv või Plancki konstant.

Ja kohe tekib küsimus, mis on maailma suurim number, mis midagi tähendab? Selles artiklis proovin rääkida digitaalsest koletisest nimega Grahami number, kuigi rangelt võttes teab teadus numbreid ja palju muud. Grahami number on enim avalikustatud, üldsus võib öelda, et "kuulnud", sest see on üsna lihtsalt seletatav ja siiski piisavalt suur, et pöörata tähelepanu. Üldiselt on siin vaja kuulutada väike lahtiütlus ( vene keel hoiatus). See võib tunduda naljana, aga ma ei tee nalja. Ma räägin päris tõsiselt – niisugustes matemaatilistes sügavustes pedantne nokitsemine koos tajupiiride ohjeldamatu avardumisega võib (ja hakkabki) avaldama tõsist mõju maailmavaatele, indiviidi positsioneerimisele ühiskonnas ja lõppkokkuvõttes. , peal üldine psühholoogiline seisund korjamine või, nimetame asju õigete nimedega – avab tee shizile. Järgmist teksti ei maksa liiga tähelepanelikult lugeda, ei tasu selles kirjeldatud asju liiga elavalt ja ilmekalt ette kujutada. Ja ära ütle hiljem, et sind ei hoiatatud!

Enne koletiste numbrite juurde asumist harjutame kõigepealt kasside peal. Tuletan meelde, et suurte arvude (mitte koletiste, vaid lihtsalt suurte arvude) kirjeldamiseks on mugav kasutada teaduslikku või nn. eksponentsiaalne salvestusmeetod.

Kui nad ütlevad näiteks tähtede arvu kohta universumis (vaadatavas universumis), ei vaevu ükski idioot arvutama, kui palju neid on otseses mõttes, kuni viimase täheni välja. Arvatakse, et ligikaudu 10 21 tükki. Ja see on madalam hinnang. See tähendab, et tähtede koguarvu saab väljendada arvuna, mille ühe järel on 21 nulli, s.o. "1 000 000 000 000 000 000 000".

Selline näeb välja väike osa neist (umbes 100 000) kerasparves Omega Centauri.

Loomulikult, kui rääkida sellistest skaaladest, siis tegelikud numbrid arvus olulist rolli ei mängi, kõik on väga tinglik ja ligikaudne. Võib olla tegelikult tähtede arv universumis on "1 564 861 615 140 168 357 973" või "9 384 684 643 798 468 483 745". Ja isegi "3 333 333 333 333 333 333 333", miks mitte, kuigi see on muidugi ebatõenäoline. Kosmoloogias, universumi kui terviku omaduste teaduses, selliseid pisiasju ei petta. Peaasi on ette kujutada umbes see arv koosneb 22 numbrist, millest alates on mugavam pidada seda 21 nulliga ühikuks ja kirjutada see 10 21-ks. Reegel on üldine ja väga lihtne. Mis kujund või arv on kraadi asemel (siin on trükitud väikeses kirjas 10 peale), mitu nulli on pärast ühte selles numbris, kui värvite selle lihtsal viisil, märgid reas, mitte teaduslik viis. Mõnel numbril on "inimnimi", näiteks 10 3 nimetame "tuhandeks", 10 6 - "miljoniks" ja 10 9 - "miljardiks" ja mõnel mitte. Oletame, et 1059-l pole üldnimetust. Ja 10 21, muide, on see - see on "sekstiljon".

Kõik, mis ulatub miljonini, on intuitiivselt arusaadav peaaegu igale inimesele, sest kes ei taha olla miljonär? Siis algavad mõned probleemid. Kuigi miljard (10 9) on samuti peaaegu kõigile teada. Võite isegi lugeda kuni miljardini. Kui alles pärast sündi, sõna otseses mõttes sünnihetkel, hakkate lugema kord sekundis "üks, kaks, kolm, neli ..." ja ärge magage, ärge jooge, ärge sööge, vaid ainult loendama-loendama - Loendage väsimatult päeval ja öösel, siis kui saabub 32 aastat, võite lugeda kuni miljardini, sest Maa 32 pööret ümber Päikese võtab aega umbes miljard sekundit.

7 miljardit on inimeste arv planeedil. Eeltoodu põhjal on täiesti võimatu neid kõiki inimelu jooksul järjestikku üles lugeda, peate elama üle kahesaja aasta.

100 miljardit (10 11) – nii palju inimesi on planeedil kogu selle ajaloo jooksul elanud. McDonald's müüs 1998. aastaks oma 50-aastase eksisteerimise jooksul 100 miljardit hamburgerit. Meie galaktikas on 100 miljardit tähte (noh, natuke rohkem). Linnutee ja Päike on üks neist. Vaadeldav universum sisaldab sama palju galaktikaid. Inimese ajus on 100 miljardit neuronit. Ja igas nende ridade lugejas pimesooles elab sama palju anaeroobseid baktereid.

Kvadriljon (10 15, miljon miljardit) on sipelgate koguarv planeedil. See sõna normaalsed inimesed nad ei ütle seda valjult, noh, tunnistage seda, millal te viimati kuulsite vestluses "kvadriljonit midagi"?

Kvintiljon (10 18 miljardit miljardit) – 3x3x3 Rubiku kuubiku kokkupanemisel on nii palju võimalikke konfiguratsioone. Nii on ka vee kuupmeetrite arv maailmameres.

Sextillion (10 21) – oleme seda numbrit juba kohanud. Tähtede arv vaadeldavas universumis. Liivaterade arv kõigis Maa kõrbetes. Transistoride arv kõigis inimkonna olemasolevates elektroonikaseadmetes, kui Intel meile ei valetaks.

10 sektiljonit (10 22) on molekulide arv grammis vees.

10 24 on Maa mass kilogrammides.

10 26 - vaadeldava universumi läbimõõt meetrites, kuid meetrites pole eriti mugav lugeda, vaadeldava universumi üldtunnustatud piirid on 93 miljardit valgusaastat.

Kosmiliste mastaapide visualiseerimiseks on kasulik seda pilti uurida, laiendades seda täisekraanile.

Kuid isegi vaadeldavas universumis saate toppida palju rohkem midagi muud kui meetrid.

Planeet Maa koosneb 1051 aatomist.

10 80 ligikaudne elementaarosakeste arv vaadeldavas universumis.

10 90 on vaadeldavas universumis olevate footonite ligikaudne arv. Neid on peaaegu 10 miljardit korda rohkem kui elementaarosakesi, elektrone ja prootoneid.

10 100 - googol. See number ei tähenda füüsiliselt midagi, lihtsalt ümar ja ilus. Ettevõte, kes seadis endale 1998. aastal eesmärgiks linkide googoli indekseerimise (nali, seda on muidugi rohkem kui elementaarosakesi universumis!) võttis endale 1998. aastal nime Google.

Vaadeldava universumi täitmiseks kuni silmamunadeni on vaja 10 122 prootonit, tihedalt niimoodi, prootoni prootoni, selja vastas.

Vaadeldav universum võtab enda alla 10 185 Plancki ruumala. Vähem kui Plancki maht (10–35 meetri pikkune Plancki kuup) meie teadus ei tea. Kindlasti, nagu universumi puhul, on midagi veelgi väiksemat, kuid teadlased ei ole selliste tühiste asjade jaoks veel mõistlikke valemeid välja mõelnud, lihtsalt spekulatsioon.

Selgub, et umbes 10 185 on suurim arv, mis võib põhimõtteliselt midagi tähendada kaasaegne teadus. Teaduses, mis suudab tunnetada ja mõõta. See on midagi, mis on olemas või võiks eksisteerida, kui juhtuks nii, et me teadsime universumi kohta kõike, mida oli vaja teada. Number koosneb 186 numbrist, siin see on:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Või kuulnud stringiteooriast, mille järgi võib olla umbes 10 500 stringide vibratsiooni konfiguratsiooni, mis tähendab sama palju potentsiaalseid universumeid, millest igaühel on oma seadused.

Mainin vaid tuntud googolplex. Arv, mille googoli astmes on kümme googoli astmel (10 googoli) või kümme kümne astmel saja astmel (10 10 100).

10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Ma ei hakka seda numbritega kirja panema. Googleplex ei tähenda absoluutselt mitte midagi. Inimene ei kujuta ette millegi googolplexi, see on füüsiliselt võimatu. Sellise arvu üleskirjutamiseks vajate kogu vaadeldavat universumit, kui kirjutate "nanopliiatsiga" otse vaakumis, tegelikult kosmose Plancki rakkudes. Tõlgime kogu aine tindiks ja täidame universumi ühe tahke arvuga, siis saame googolplexi. Aga matemaatikud hirmutavad inimesed!) Soojendavad nad ainult Googleprexiga, see on madalaim latt, millest nende jaoks tõelised pätid alguse saavad. Ja kui te arvate, et googolplex on see, millest me räägime, siis pole teil aimugi, KUI valesti see on.

Googolplexi taga on palju huvitavaid numbreid, millel on matemaatilistes tõestustes üks või teine roll, kui pikad ja lühikesed, läheme kohe Grahami numbri juurde, mis on saanud nime (no muidugi) matemaatik Ronald Grahami järgi. Esiteks ütlen teile, mis see on ja miks te seda vajate, pärast mida piltlikult öeldes ja sõrmedel™ Kirjeldan, mis see suurusjärgus on, ja siis kirjutan numbri ise. Täpsemalt püüan ma kirjutatut lahti seletada.

Kujutage ette kuubikut, mille kõik tipud on ühendatud kahe värvi, punase või sinise joonte-lõikudega. Ühendatud ja juhuslikult värvitud. Mõned on juba arvanud, et räägime matemaatika harust, mida nimetatakse kombinatoorikaks.

Kas me suudame välja mõelda ja valida värvide konfiguratsiooni sellisel viisil (ja neid on ainult kaks - punane ja sinine), nii et nende segmentide värvimisel EI õnnestu, et kõik sama värvi segmendid ühenduvad neli tippu asuvad samal tasapinnal? Sel juhul EI kujuta need sellist arvu:

Mis siis, kui meil on rohkem mõõtmeid? Mis siis, kui me ei võta kuubi, vaid neljamõõtmeline kuubik, st. tesserakt? Kas saame teha sama triki, mis 3D puhul?

Viies dimensioonis? Ja viiemõõtmelises, kus kuubikut nimetatakse penteraktiks või pentakubiks, on see ka võimalik.
Ja seda kuues mõõtmes.

Ja siis tekivad raskused. Graham ei suutnud matemaatiliselt tõestada, et seitsmemõõtmeline hüperkuub suudab sellist operatsiooni sooritada. Nii kaheksa- kui üheksamõõtmeline jne. Aga see "ja nii edasi", selgus, ei lähe lõpmatuseni, vaid lõpeb mõne vägaga suur hulk, mida nimetatakse Grahami numbriks.

See tähendab, et on olemas minimaalne mõõde hüperkuubik, mille puhul tingimust rikutakse, ja enam ei ole võimalik vältida värvisegmentide kombinatsiooni, nii et neli sama värvi punkti asuvad samal tasapinnal. Ja see minimaalne mõõde on täpselt suurem kui kuus ja täpselt väiksem kui Grahami arv, see on teadlase matemaatiline tõestus.

Ja nüüd definitsioon sellest, mida ma eespool paari lõiguna kirjeldasin, kuivas ja igavas (kuid mahukas) matemaatikakeeles. Sellest pole vaja aru saada, aga ma ei saa seda mitte tuua.

Vaatleme n-mõõtmelist hüperkuubikut ja ühendame kõik tippude paarid, et saada täielik graaf 2n tipuga. Värvige selle graafiku iga serv punaseks või siniseks. Mille juures väikseim väärtus n iga selline värvimine sisaldab tingimata ühevärvilist täielikku alamgraafi nelja tipuga, mis kõik asuvad samal tasapinnal?

70ndatest on möödunud palju aastaid, leiti matemaatika ülesandeid milles esinevad arvud ja rohkem Grahamit, kuid see esimene koletisarv avaldas kaasaegsetele, kes mõistsid, mis ulatusega see oli, niivõrd muljet, et 1980. aastal kanti see Guinnessi rekordite raamatusse kui "suurim arv, kes on kunagi seotud range matemaatilise tõestusega". hetk.

Proovime välja mõelda, kui suur see on. Suurim arv, mis võib olla füüsiline tähendus 10 185 , ja kui kogu vaadeldav universum on täidetud näiliselt lõputu pisikeste arvude komplektiga, saame midagi, mis vastab googolplex.

Kas kujutate ette seda kogukonda? Edasi, tagasi, üles, alla, nii kaugele kui silm näeb ja nii kaugele kui silm näeb Hubble'i teleskoop, ja isegi kui palju sellest ei piisa, kõige kaugematesse galaktikatesse ja neist kaugemale vaadates – numbrid, numbrid, prootonist palju väiksemad arvud. Selline universum ei saa muidugi kaua eksisteerida, see kukub kohe kokku mustaks auguks. Kas mäletate, kui palju teavet teoreetiliselt universumisse mahub? Mina küll.

dochulion = 10 10 185

Avame taju uksed veidi laiemalt. Mäletad? Et meie universum on vaid üks paljudest multiversumi mullidest. Ja kui kujutate ette dohulion sellised mullid? Võtame nii pika arvu kui kõik olemasolev ja kujutame ette Multiversumit sarnase arvu universumitega, millest igaüks on täidetud numbritega kuni silmamunadeni – saame dochulion dochulion. Kas te kujutate seda ette? Kuidas sa hõljud skalaarvälja olematuses ja ümberringi on universumid-universumid ja numbrid-arvud-arvud neis... Loodan, et selline õudusunenägu (aga miks õudusunenägu?) ei piina (ja milleks piinata?) öösiti liiga muljetavaldav lugeja.

Millega ma tegelen? Kas tasub aeglustada? Ole nüüd, hoba ja veel üks klapp! Ja nüüd on meil nii palju universumeid, kui oli universumites numbreid, mille arv oli võrdne meie universumit täitnud numbrite dochulioniga. Ja kohe, peatumata, keerake uuesti. Nii neljas kui ka viies. Kümnes, tuhandes. Hoia end mõttega kursis, pildista ikka pilti?

dohouliard = flip flips

Me ei peatu ja muudame dohouliardide dohulionide lehvitamist seni, kuni meil jõudu jätkub. Kuni silmis pimedaks läheb, kuni karjuda tahad. Siin on igaüks julge Pinocchio enda jaoks, peatussõnaks saab "brynza".

Niisiis. Milles see on? Hiiglaslikud ja lõpmatud dochuliendid ja täisnumbritega universumite dohuliarid ei vasta Grahami numbrile. Nad isegi ei kriimusta pinda. Kui Grahami number esitatakse pulga kujul, mis on traditsiooniliselt kogu vaadeldavas universumis venitatud, siis mis me siin teiega oleme ümber pööratud osutub paksuse sälguks ... noh ... kuidas see pehmelt öeldes oleks ... mainimist vääriv. Siin ma pehmendasin seda nii hästi kui suutsin.

Arv g 1 on võrdne "kolm, neli noolt, kolm". Mida see tähendab? Selline näeb välja tähistus, mida nimetatakse Knuthi noolemärgistuseks.

Üks nool tähendab tavalist astendamist.

1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Kaks noolt tähendavad arusaadavalt eksponentsimist.

23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16

33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (rohkem kui 7 triljonit)

34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = umbes 3 triljoni numbriga arv

35 = 33333 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987 = 3 3 triljoni numbri astmes – googolplex on juba nõme

5 5 5 5 5 5 5 5

Liigume edasi kolme noole juurde. Kui topeltnool näitaks torni kõrgust kraadides, siis kolmiknool näitaks justkui "torni kõrguse torni kõrgust"? Mida-seal! Kolmiku puhul on meil torni kõrgus torni kõrgus torni kõrgus (matemaatikas pole sellist mõistet, otsustasin seda nimetada " hooletu"). Midagi sellist:

See tähendab, et 33 moodustab tornideta kolmikud, mille kõrgus on 7 triljonit tükki. Mis on 7 triljonit kolmikut, mis on üksteise peale laotud ja mida nimetatakse "tornita"? Kui lugesite seda teksti hoolikalt läbi ega jäänud kohe alguses magama, siis ilmselt mäletate, et Maast Saturnini on 100 triljonit sentimeetrit. Ekraanil kuvatav kolmik kaheteistkümnenda kirjatüübiga, see üks – 3 – on viie millimeetri kõrgune. Nii et tornideta kolmikud ulatuvad teie ekraanilt ... noh, muidugi mitte Saturnini. Isegi Päike ei jõua, ainult veerand astronoomilisest ühikust, umbes sama palju kui hea ilmaga Maalt Marsile. Juhin teie tähelepanu (ärge magage!), et tornideta ei ole arv Maast Marsini, vaid see on nii kõrge kraadide torn. Mäletame, et viis kolmikut selles tornis katavad googolplexi, kolmikute esimese detsimeetri arvutamine põletab kõik planeedi arvutite kaitsmed ja ülejäänud miljonid kilomeetrid kraadid on juba kasutud, lihtsalt mõnitavad avalikult lugejat, loendavad neid. on kasutu ja võimatu.

Nüüd on selge, et 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 tornita, (mitte 3 tornideta, vaid "kolme noolega tornita" (!)), ta tornitu tornitus ei pikkuselt ega kõrguselt ei mahu vaadeldavasse universumisse ega mahu isegi kavandatavasse multiversumisse.

Sõnad lõpevad 35 = 33333 ja vahelehüüded 36 = 333333, kuid huvi korral võite harjutada.

Seda on mõttetu arvutada ja see ei tööta. Siinne kraadide arv ei sobi sisukaks arvestuseks. Seda numbrit ei saa ette kujutada, seda ei saa kirjeldada. Analoogiat pole sõrmedel™ ei ole kohaldatavad, pole numbril lihtsalt millegagi võrrelda. Võib öelda, et see on tohutu, et see on suurejooneline, et see on monumentaalne ja vaatab sündmuste horisondi taha. See tähendab, et anda sellele mõned sõnalised epiteetid. Kuid visualiseerimine, isegi vaba ja kujundlik, on võimatu. Kui kolme noolega oli veel võimalik vähemalt midagi öelda, joonistada tornita Maalt Marsile, kuidagi millegagi võrrelda, siis analoogiaid lihtsalt olla ei saa. Proovige ette kujutada õhukest kolmest torni Maalt Marsini, selle kõrval veel üks peaaegu samasugune ja teine ja veel üks ... Tornide lõputu väli ulatub kaugusesse, lõpmatusse, igal pool on tornid, igal pool on tornid . Ja mis kõige solvavam, nendel tornidel pole isegi numbriga midagi pistmist, nad määravad ainult teiste tornide kõrgused, mis tuleb ehitada tornide kõrguse saamiseks, tornide kõrguse saamiseks ... et saada arv ise pärast mõeldamatut aega ja iteratsioone.

See on g 1, see on 33.

Puhanud? Nüüd, alates g 1, pöördume uue jõuga tagasi Grahami numbri rünnaku juurde. Kas olete märganud, kuidas eskalatsioon noolt noolele kasvab?

33 = 7 625 597 484 987

33 = torn, Maalt Marsini.

33 = arv, mida ei saa ette kujutada ega kirjeldada.

Ja kujutage ette, milline digitaalne õudusunenägu toimub, kui tulistaja on viieaastane? Millal on kuus? Kas kujutate ette arvu, kui tulistaja saab sajaks? Kui saate, juhin teie tähelepanu arvule g 2 , milles nende noolte arv on võrdne g 1 -ga. Pea meeles, mis on g 1, eks?

Ma ei varja, on ka g 3 , mis sisaldab g 2 noolt. Muide, kas on ikka selge, et g 3 ei ole g 2 "astmeni" g 2, vaid tornideta tornide arv, mis määrab kõrguse määravate tornideta tornide kõrguse ... ja nii edasi allapoole terve kett kuni universumi kuumasurmani? See on koht, kus sa hakkad nutma.

Miks nutta? Sest täiesti tõsi. Samuti on arv g 4 , mis sisaldab kolmikute vahel g 3 nooli. On ka g 5 , on g 6 ja g 7 ning g 17 ja g 43 ...

Ühesõnaga on neid 64 g. Iga eelmine on numbriliselt võrdne järgmise noolte arvuga. Viimane g 64 on Grahami number, millest kõik tundus nii süütult alguse saanud. See on hüperkuubi mõõtmete arv, millest kindlasti piisab segmentide punaseks ja siniseks värvimiseks. Võib-olla vähem, see on nii-öelda ülempiir. See on kirjutatud järgmiselt:

Ja nad kirjutavad seda nii:

Kõik, nüüd saate ausalt lõõgastuda. Pole vaja enam midagi ette kujutada ja arvutada. Kui olete selle punktini lugenud, peaks kõik juba paika loksuma. Või ära tõuse. Või mitte omaette.

Jah, läbipõlenud kaitsmetega kogenud lugeja, etteheiteid pole vaja, sul on täiesti õigus. Grahami number on kauge ja väljamõeldud jama. Kõik need mõõtmeteta hüperkuubikud ja abstraktsed tasandid, kurat rebib need laiali, kellele neid vaja on? Kus on kilogrammid, kus on elektronid, kus on midagi, mida saab mõõta? Mis tühi jutt mitte millestki? Ma nõustun. Võime öelda, et tänane postitus sõrmedel™ võimaluste piires kaugel reaalteadusest, hõljudes peaaegu täielikult mingites absurdsetes matemaatilistes fantaasiates, samal ajal kui teadlastel ei jätku aparaatide jaoks raha, maailma energiaprobleem on lahendamata ja kellelgi on endiselt sisehoovis tualett. Ja kes ja valdkonnas.

Aga mine tea, on selline teooria, ka väga efemeerne ja filosoofiline, võib-olla olete kuulnud – kõik, mida inimene võiks ette kujutada või ette kujutada, saab kunagi kindlasti teoks. Sest tsivilisatsiooni arengu määrab see, kui palju ta suutis minevikufantaasiaid reaalsuseks tõlkida.

Keegi ei tea, mida tulevik meile toob. Inimtsivilisatsioonil on tuhat võimalust lõpetada: tuumasõjad, ökoloogilised katastroofid, surmavad pandeemiad, millesse asteroid võib lennata, dinosaurused ei lase sul valetada. Inimkonna areng võib iseenesest seiskuda, järsku on selline seaduspärasus, et mingi taseme saavutamisel lihtsalt areng seiskub ja kõik. Või saabuvad galaktikatevahelise liidu esindajad ja peatavad selle arengu jõuga.

Kuid siiski on, ja mitte väike, võimalus, et inimkonna areng jätkub peatumata. Isegi kui mitte nii peadpööritavalt kiiresti kui viimase 100 aasta jooksul, peaasi, et liikumine oleks edasi, peaasi, et see oleks progressiivne.

Loodusel on üks vankumatu seadus, mis on meile teada kõige iidsemast antiikajast. Mis juhtub, mis juhtub, mida me endamisi mõtleme, aga aeg ei kao kuhugi, see läheb mööda. Tahame seda või mitte, meiega või ilma, möödub tuhat ja 10 tuhat aastat.

200 aastat tagasi tundus lendav vaip (tavaline lennuk), võlupeegel (Skype video) või kauge kuningriik (planeedi Marsi pind) torumuinasjutt, 2000 aastat tagasi tugineti ainult jumalatele, 20 000 aastat tagasi ei osanud nad seda üldse ette kujutada, kujutlusvõimest ei piisanud. Kas oskate öelda, mis on inimesele kättesaadav 200 aasta pärast? Aastal 2000, 20 000 aasta pärast?

Kas inimkond jääb ellu, kas see on üldse inimkond eesliitega "inimene-" ja võib-olla selleks ajaks lõpeb tehisintellekti staadium, millest tekivad mingid erilise teadlikkuse kategooria eeterlikud energiaained? Võibolla jah võibolla ei.

Mis siis, kui miljon aastat möödub? Aga ta läheb sinna, kuhu läheb. Grahami number ja üleüldse kõik see, mille üle inimene suudab mõelda, ette kujutada, olematusest välja tõmmata ja kui mitte käegakatsutavaks, aga vähemalt mingi tähendusega entiteediks teha, kehastub varem või hiljem. Lihtsalt sellepärast, et täna oli meil piisavalt jõudu areneda võimeks sellist realiseerida.

Täna, homme, kui on võimalus – viska pea tagasi öötaevasse. Kas mäletate seda hetke, mil tundsite oma tühisust? Kas sa tunned, kui pisike inimene on? Tolmukübe, aatom võrreldes tohutu universumiga, mis on täis tähti, mille numbreid pole, noh, ja vastavalt ka kuristik pole väike.

Järgmisel korral proovige tunnetada, kui palju on Universum liivatera võrreldes sellega, mis teie peas toimub. Milline kuristik avaneb, millised mõõtmatud mõisted sünnivad, milliseid maailmu ehitatakse, kuidas Universum ühe mõtteliigutusega pahupidi pöörab, kuidas ja kui palju erineb elav, intelligentne aine surnud ja ebamõistlikust.

Usun, et mõne aja pärast sirutab inimene käe Grahami numbri järele, puudutab seda käega või mis iganes tal selleks ajaks käe asemel on. See ei ole põhjendatud, teaduslikult tõestatud mõte, see on tõesti lihtsalt lootus, miski, mis mind inspireerib. Mitte usk suure algustähega, mitte religioosne ekstaas, mitte õpetus ega vaimne praktika. Seda ma inimkonnalt ootan. Selles, mida ma oma võimaluste piires püüan aidata. Kuigi ettevaatusest liigitan end jätkuvalt agnostikuks.

On numbreid, mis on nii uskumatult, uskumatult suured, et nende üleskirjutamiseks kuluks kogu universumil. Aga siin on see, mis tõesti hulluks ajab... mõned neist arusaamatult suurtest numbritest on maailma mõistmiseks ülimalt olulised.

Kui ma ütlen "universumi suurim arv", mõtlen ma tõesti suurimat tähendusrikas number, maksimaalne võimalik arv, mis on mingil moel kasulik. Sellele tiitlile on palju pretendeerijaid, kuid hoiatan kohe: on tõepoolest oht, et püüdes seda kõike mõista ajab pähe. Ja pealegi, liiga palju matemaatikat tehes on sul vähe nalja.

Googol ja googolplex

Edward Kasner

Võiksime alustada kahest, väga tõenäoliselt suurimast numbrist, millest olete kunagi kuulnud, ja need on tõepoolest kaks suurimat numbrit, millel on üldiselt aktsepteeritud määratlused inglise keel. (Nii suurte numbrite jaoks, kui soovite, on üsna täpne nomenklatuur, kuid neid kahte numbrit praegu sõnaraamatutest ei leia.) Google, kuna see sai maailmakuulsaks (ehkki vigadega, pange tähele. tegelikult on see googol) aastal Google'i vorm sündis 1920. aastal, et tekitada lastes huvi suurte numbrite vastu.

Selleks viis Edward Kasner (pildil) oma kaks õepoega, Miltoni ja Edwin Sirotti, New Jersey Palisades'i ringreisile. Ta kutsus neid välja igasuguseid ideid välja pakkuma ja siis pakkus üheksa-aastane Milton välja "googoli". Kust ta selle sõna sai, pole teada, kuid Kasner otsustas nii või arvu, milles ühele järgneb sada nulli, nimetatakse edaspidi googoliks.

Kuid noor Milton ei piirdunud sellega, ta mõtles välja veelgi suurema numbri, googolplexi. Miltoni sõnul on see arv, mille alguses on 1 ja seejärel nii palju nulle, kui jõuate enne väsimist kirjutada. Kuigi idee on põnev, tundis Kasner, et vaja on formaalsemat määratlust. Nagu ta selgitas oma 1940. aasta raamatus Mathematics and the Imagination, jätab Miltoni definitsioon avatuks ohtliku võimaluse, et aeg-ajalt pätt võib saada Albert Einsteinist parem matemaatik lihtsalt seetõttu, et tal on rohkem vastupidavust.

Seega otsustas Kasner, et googolplex on , või 1, millele järgneb nullidest koosnev googol. Vastasel juhul ja sarnases tähises, millega käsitleme teisi numbreid, ütleme, et googolplex on . Et näidata, kui põnev see on, märkis Carl Sagan kord, et kõiki googolplexi nulle oli füüsiliselt võimatu üles kirjutada, kuna universumis lihtsalt ei olnud piisavalt ruumi. Kui kogu vaadeldava universumi ruumala on täidetud umbes 1,5 mikroni suuruste peente tolmuosakestega, on nende osakeste paigutamise viiside arv ligikaudu võrdne ühe googolpleksiga.

Keeleliselt on googol ja googolplex tõenäoliselt kaks suurimat olulist numbrit (vähemalt inglise keeles), kuid nagu me nüüd tuvastame, on "olulisuse" defineerimiseks lõpmatult palju võimalusi.

Päris maailm

Kui me räägime suurimast olulisest numbrist, siis on mõistlik argument, et see tähendab tõesti seda, et peate leidma suurima väärtusega arvu, mis maailmas tegelikult eksisteerib. Võime alustada praegusest inimpopulatsioonist, mis on praegu umbes 6920 miljonit. Maailma SKT 2010. aastal oli hinnanguliselt umbes 61 960 miljardit dollarit, kuid mõlemad arvud on inimkeha moodustava ligikaudu 100 triljoni rakuga võrreldes väikesed. Loomulikult ei saa ükski neist arvudest võrrelda universumi osakeste koguarvuga, milleks tavaliselt peetakse umbes , ja see arv on nii suur, et meie keeles pole selle kohta sõnagi.

Saame natuke mõõtesüsteemidega mängida, muutes numbreid aina suuremaks. Seega on Päikese mass tonnides väiksem kui naelades. Suurepärane võimalus selleks on kasutada Plancki ühikuid, mis on väikseimad võimalikud mõõdud, mille kohta füüsikaseadused veel kehtivad. Näiteks universumi vanus Plancki aja järgi on umbes . Kui pöördume tagasi esimese Plancki ajaühiku juurde pärast seda suur pauk, näeme, et Universumi tihedus oli siis . Meid tuleb aina juurde, aga me pole veel isegi googolini jõudnud.

Suurim arv ühegi pärismaailma rakendusega – või antud juhul tõeline rakendus maailmades - tõenäoliselt , - üks viimaseid hinnanguid universumite arvu kohta multiversumis. See arv on nii suur, et inimaju ei suuda sõna otseses mõttes kõiki neid erinevaid universumeid tajuda, kuna aju on võimeline tegema vaid umbkaudu konfiguratsioone. Tegelikult on see arv tõenäoliselt suurim arv, millel on praktiline tähendus, kui te ei võta arvesse multiversumi kui terviku ideed. Siiski varitseb seal ikka palju suuremaid numbreid. Kuid nende leidmiseks peame minema puhta matemaatika valdkonda ja pole paremat kohta alustamiseks kui algarvud.

Mersenne esinumbrid

Osa raskustest on "tähendusliku" arvu hea määratluse leidmine. Üks võimalus on mõelda algarvude ja liitarvude alusel. Algarv, nagu te ilmselt koolimatemaatikast mäletate, on suvaline naturaalarv(märkus ei võrdu ühega), mis on jagatav ainult iseendaga. Niisiis, ja on algarvud ja ja on liitarvud. See tähendab, et mis tahes liitarvu saab lõpuks esitada oma numbriga algjagajad. Teatud mõttes on arv olulisem kui näiteks seepärast, et seda ei saa kuidagi väljendada väiksemate arvude korrutisega.

Ilmselgelt saame natuke kaugemale minna. Näiteks on tegelikult lihtsalt , mis tähendab, et hüpoteetilises maailmas, kus meie teadmised arvudest piirduvad , suudab matemaatik siiski väljendada . Kuid järgmine arv on juba algarv, mis tähendab, et ainus viis selle väljendamiseks on selle olemasolust otse teada saada. See tähendab, et suurimad teadaolevad algarvud mängivad olulist rolli, aga näiteks googol – mis on lõppkokkuvõttes vaid arvude kogum ja , korrutatuna – tegelikult mitte. Ja kuna algarvud on enamasti juhuslikud, pole teada, kuidas ennustada, et uskumatult suur arv on tegelikult algarv. Tänaseni on uute algarvude avastamine keeruline ülesanne.

Matemaatikud Vana-Kreeka oli algarvude kontseptsioon juba vähemalt 500 eKr ja 2000 aastat hiljem teadsid inimesed, mis on algarvud, alles kuni umbes aastani 750. Eukleidese mõtlejad nägid lihtsustamise võimalust, kuid kuni renessansi ajani ei osanud matemaatikud seda tegelikult arvesse võtta. harjutama. Neid numbreid tuntakse Mersenne'i numbritena ja need on nimetatud 17. sajandi prantsuse teadlase Marina Mersenne'i järgi. Idee on üsna lihtne: Mersenne'i arv on suvaline arv kujul . Näiteks ja see arv on algarv, kehtib sama ka .

Mersenne'i algarvud on palju kiiremad ja hõlpsamini määratavad kui mis tahes muud tüüpi algarvud ning arvutid on nende leidmisega viimase kuue aastakümne jooksul kõvasti tööd teinud. Kuni 1952. aastani oli suurim teadaolev algarv arv – numbritega arv. Samal aastal arvutati arvutis välja, et arv on algnumber ja see arv koosneb numbritest, mis teeb selle juba palju suuremaks kui googolist.

Arvutid on sellest ajast peale jahtinud ja Mersenne'i arv on praegu suurim inimkonnale teadaolev algarv. See avastati 2008. aastal ja see on peaaegu miljonitest numbritest koosnev arv. See on suurim teadaolev arv, mida ei saa väljendada ühegi väiksema arvuga, ja kui soovite aidata leida veelgi suuremat Mersenne'i numbrit, võite (ja teie arvuti) alati liituda otsinguga aadressil http://www.mersenne. org/.

Skewes number

Stanley Skuse

Läheme tagasi algarvude juurde. Nagu ma varem ütlesin, käituvad nad põhimõtteliselt valesti, mis tähendab, et pole võimalik ennustada, milline saab olema järgmine algarv. Matemaatikud on olnud sunnitud kasutama mõningaid üsna fantastilisi mõõtmisi, et tulla välja mingigi viis tuleviku algarvude ennustamiseks, isegi mingil hägusel viisil. Kõige edukam neist katsetest on tõenäoliselt algarvude funktsioon, mille leiutas 18. sajandi lõpus legendaarne matemaatik Carl Friedrich Gauss.

Ma säästan teid keerulisemast matemaatikast - igatahes on meil veel palju ees -, kuid funktsiooni olemus on järgmine: iga täisarvu korral on võimalik hinnata, mitu algarvu on väiksemad kui . Näiteks kui , ennustab funktsioon, et algarvud peaksid olema, if - algarvud väiksemad kui , ja kui , siis on väiksemaid algarve.

Algarvude paigutus on tõepoolest ebaregulaarne ja see on vaid algarvude tegeliku arvu ligikaudne väärtus. Tegelikult teame, et algarvud on väiksemad kui , algarvud väiksemad kui , ja algarvud väiksemad kui . See on kindlasti suurepärane hinnang, kuid see on alati ainult hinnang... ja täpsemalt, hinnang ülalt.

Kõik teadaolevad juhtumid kuni , funktsioon, mis leiab algarvude arvu, liialdab veidi tegelikku algarvude arvu, mis on väiksemad kui . Matemaatikud arvasid kunagi, et see on alati nii, ad infinitum, ja et see kehtib kindlasti mõne kujuteldamatult tohutu arvu kohta, kuid 1914. aastal tõestas John Edensor Littlewood, et mõne tundmatu, kujuteldamatult tohutu arvu korral hakkab see funktsioon tootma vähem algarvu. ja siis lülitub see lõpmatu arv kordi üle- ja alahindamise vahel.

Jaht oli sõitude stardipunktile ja sinna ilmus Stanley Skuse (vt fotot). 1933. aastal tõestas ta, et ülempiir, kui algarvude arvule esimest korda ligikaudne funktsioon annab väiksema väärtuse, on arv. Raske on isegi kõige abstraktsemas mõttes tõeliselt mõista, mis see arv tegelikult on, ja sellest vaatenurgast oli see suurim arv, mida kunagi tõsises matemaatilises tõestuses kasutatud. Sellest ajast peale on matemaatikud suutnud ülemist piiri vähendada suhteliselt väikese arvuni, kuid algne arv on jäänud tuntuks Skewesi arvuna.

Niisiis, kui suur on number, mis teeb isegi võimsa googolplexi kääbuseks? David Wells kirjeldab raamatus The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers ühte viisi, kuidas matemaatik Hardy suutis Skewesi numbri suurusest aru saada:

"Hardy arvas, et see on "suurim arv, mis kunagi matemaatikas mingit konkreetset eesmärki teeninud" ja tegi ettepaneku, et kui malet mängitakse kõigi universumi osakestega nuppudena, seisneks üks käik kahe osakese vahetamises ja mäng peatuks, kui sama seisu korrati ka kolmandat korda, siis oleks kõigi võimalike mängude arv võrdne umbes Skuse'' arvuga.

Viimane asi enne edasiliikumist: me rääkisime kahest Skewesi numbrist väiksemast. On veel üks Skewesi arv, mille matemaatik leidis 1955. aastal. Esimene arv tuletatakse põhjendusega, et niinimetatud Riemanni hüpotees vastab tõele – matemaatikas on eriti raske hüpotees, mis jääb tõestamata ja on algarvude puhul väga kasulik. Kui aga Riemanni hüpotees on vale, leidis Skewes, et hüppe alguspunkt suureneb väärtuseni.

Suuruse probleem

Enne kui jõuame numbrini, mis muudab isegi Skuse numbri väikeseks, peame rääkima pisut mastaabist, sest muidu ei saa me kuidagi hinnata, kuhu me liigume. Võtame kõigepealt numbri – see on väike arv, nii väike, et inimestel on tegelikult intuitiivne arusaam selle tähendusest. Sellele kirjeldusele vastavaid numbreid on väga vähe, kuna kuuest suuremad arvud lakkavad olemast eraldi numbrid ja muutuvad "mituteks", "paljudeks" jne.

Nüüd võtame , st. . Kuigi me ei saa tegelikult intuitiivselt, nagu numbri puhul, aru saada, mis see on, kujutage ette, mis see on, on see väga lihtne. Siiani läheb kõik hästi. Aga mis juhtub, kui me läheme? See on võrdne , või . Me oleme väga kaugel sellest, et suudaksime seda väärtust ette kujutada, nagu iga teist väga suurt – me kaotame võime üksikutest osadest aru saada kuskil miljoni kandis. (Tõsi küll, kuluks meeletult kaua aega, et midagi reaalselt miljonini lugeda, aga asi on selles, et me suudame seda numbrit siiski tajuda.)

Ent kuigi me ei kujuta ette, suudame me vähemalt mõista üldiselt, mis on 7600 miljardit, võib-olla võrrelda seda USA SKT-ga. Oleme intuitsioonilt esituseni jõudnud pelgalt mõistmiseni, kuid vähemalt arusaamises sellest, mis arv on, on ikka veel lünk. See on muutumas, kui liigume redelil veel ühe astme võrra ülespoole.

Selleks peame lülituma Donald Knuthi kasutusele võetud tähistusele, mida tuntakse noolemärgistusena. Neid tähiseid saab kirjutada kui . Kui me siis läheme , saame numbriks . See on võrdne sellega, kus on kolmikute koguarv. Oleme nüüdseks tunduvalt ja tõeliselt ületanud kõik teised juba mainitud numbrid. Oli ju ka suurimal neist indeksisarjas vaid kolm-neli liiget. Näiteks isegi Super Skewesi arv on "ainult" - isegi kui nii alus kui ka eksponendid on palju suuremad kui , pole see miljardite liikmetega numbritorni suurusega võrreldes ikkagi absoluutselt mitte midagi.

Ilmselgelt pole nii suuri numbreid kuidagi võimalik mõista... ja ometi on nende loomise protsessist siiski võimalik aru saada. Me ei saanud aru jõudude torni poolt antud tegelikust numbrist, mis on miljard kolmekordne, kuid põhimõtteliselt võime sellist paljude liikmetega torni ette kujutada ja päris korralik superarvuti suudab selliseid torne mällu salvestada, isegi kui ei saa arvutada nende tegelikke väärtusi.

See muutub üha abstraktsemaks, kuid see läheb ainult hullemaks. Võib arvata, et astmete torn, mille eksponendi pikkus on (pealegi tegin selle postituse eelmises versioonis täpselt selle vea), kuid see on lihtsalt . Teisisõnu kujutage ette, et suutsite arvutada kolmekordse elektritorni täpse väärtuse, mis koosneb elementidest, ja siis võtsite selle väärtuse ja lõite uue torni, milles on nii palju kui ... mis annab .

Korrake seda protsessi iga järjestikuse numbriga ( Märge alustades paremalt), kuni teete seda üks kord, ja siis lõpuks saate . See arv on lihtsalt uskumatult suur, kuid vähemalt selle saamiseks näivad sammud olevat selged, kui kõike tehakse väga aeglaselt. Me ei saa enam aru numbritest ega kujuta ette protseduuri, mille abil need saadakse, kuid vähemalt põhialgoritmi saame aru, alles piisavalt pika aja pärast.

Nüüd valmistame mõistuse ette, et see tegelikult õhku lasta.

Grahami (Grahami) number

Ronald Graham

Nii saate Grahami numbri, mis on Guinnessi rekordite raamatus suurim arv, mida kunagi matemaatilises tõestuses kasutatud. Täiesti võimatu on ette kujutada, kui suur see on, ja täpselt sama raske on selgitada, mis see täpselt on. Põhimõtteliselt tuleb Grahami number mängu hüperkuubikutega tegelemisel, mis on teoreetilised geomeetrilised kujundid, millel on rohkem kui kolm mõõdet. Matemaatik Ronald Graham (vt fotot) soovis välja selgitada, milline on väikseim mõõtmete arv, mis hoiab hüperkuubi teatud omadused stabiilsena. (Vabandage selle ebamäärase selgituse pärast, kuid ma olen kindel, et me kõik peame saama vähemalt kaks kraadid matemaatikas, et see oleks täpsem.)

Igal juhul on Grahami arv selle minimaalse mõõtmete arvu ülemine hinnang. Kui suur see ülemine piir siis on? Tuleme tagasi nii suure arvu juurde, et saame selle saamise algoritmist üsna ähmaselt aru. Nüüd, selle asemel, et hüpata veel ühe taseme võrra üles, loeme arvu, mille esimese ja viimase kolmiku vahel on nooled. Nüüd oleme kaugelt üle vähimagi arusaama selle arvu kohta või isegi sellest, mida selle arvutamiseks teha tuleb.

Nüüd korrake seda protsessi korda ( Märge igas järgmises etapis kirjutame noolte arvu, mis on võrdne eelmises etapis saadud arvuga).

Daamid ja härrad, see on Grahami arv, mis on umbes suurusjärgu võrra suurem punktist inimlik arusaam. See on arv, mis on palju suurem kui ükski arv, mida võite ette kujutada – see on palju suurem kui ükski lõpmatus, mida võiksite kunagi ette kujutada – see lihtsalt trotsib isegi kõige abstraktsemat kirjeldust.

Aga siin on imelik asi. Kuna Grahami arv on põhimõtteliselt lihtsalt kolmikud, mis on korrutatud, teame mõningaid selle omadusi ilma seda arvutamata. Me ei saa kujutada Grahami arvu üheski meile tuttavas tähises, isegi kui kasutasime selle üleskirjutamiseks kogu universumit, kuid ma võin teile anda praegu Grahami numbri kaksteist viimast numbrit: . Ja see pole veel kõik: me teame vähemalt Grahami numbri viimaseid numbreid.

Muidugi tasub meeles pidada, et see arv on Grahami algse probleemi ülempiir. Võimalik, et soovitud omaduse täitmiseks vajalik tegelik mõõtmiste arv on palju, palju väiksem. Tegelikult on enamik selle valdkonna eksperte alates 1980. aastatest uskunud, et tegelikult on ainult kuus mõõdet – see arv on nii väike, et saame sellest aru ka intuitiivsel tasandil. Alumine piir on vahepeal tõstetud väärtusele , kuid siiski on väga suur võimalus, et Grahami probleemi lahendus ei ole nii suure arvu lähedal kui Grahami oma.

Lõpmatuseni

Nii et seal on Grahami numbrist suuremaid numbreid? Alustuseks on muidugi Grahami number. Mis puudutab märkimisväärset arvu... noh, matemaatikas (eriti kombinatoorika nime all tuntud valdkond) ja arvutiteaduses on mõned kuradima rasked valdkonnad, milles on isegi Grahami arvust suuremaid numbreid. Kuid me oleme peaaegu jõudnud piirini, mida ma loodan, et suudan kunagi mõistlikult seletada. Neile, kes on piisavalt hoolimatud, et veelgi kaugemale minna, pakutakse lisalugemist omal vastutusel.

Noh, nüüd üks hämmastav tsitaat, mis omistatakse Douglas Rayle ( Märge Ausalt öeldes kõlab see päris naljakalt:

"Ma näen hägusate numbrite tükke varitsemas seal pimeduses, väikese valguslaigu taga, mille mõtteküünal annab. Nad sosistavad üksteisele; räägime kes teab millest. Võib-olla ei meeldi neile väga, et me oma väikeseid vendi mõistusega püüdsime. Või äkki nad lihtsalt juhivad üheselt mõistetavat numbrilist eluviisi, väljaspool meie arusaama.

Suurim matemaatiline konstant
Infinityt on raske õigesti kujutada, ilma et esiteks väga suuri numbreid tutvustataks. Ma ei räägi pisikestest numbritest, mis on nullilähedased, nagu aatomite arv universumis või aastate arv, mis kulub ahvil Shakespeare’i teoste kopeerimiseks. Kutsun teid üles mõtlema, mis oli 1977. aasta paiku suurim arv, mida kunagi tõsises matemaatilises tõestuses kasutatud. See Ronald Grahami tõestus annab Ramsey teooria teatud küsimusele vastuste ülemise piiri. Tõestuse mõistmiseks tuleb kasutusele võtta uus kontseptsioon Donald Knuthi teosest "lõplike arvude uurimine". Seda mõistet tähistatakse tavaliselt väikese ülespoole suunatud noolega, mida tähistame siin kui ^

3^3 = 3 * 3 * 3 = 27. See arv on piisavalt väike, et seda ette kujutada.

3^^3 = 3^(3^3) = 3^27 = 7.625.597.484.987. Rohkem kui 27, kuid piisavalt väike, et saaksin printida. Keegi ei kujuta ette seitset triljonit, kuid me saame kergesti aru sellest numbrist, mis järjekorras vastab ligikaudu SKT mahule.

3^^^3 = 3^^(3^^3) = 3^(3^(3^(3^...^(3^3)...)))). Intervall "..." koosneb 7 625 597 484 987 kolmikust. Teisisõnu, 3^^^3 ehk nool (3, 3, 3) on 7 625 597 484 987 taseme kõrgune kolmiktorn. See arv on väljaspool inimese kontseptsiooni, kuid selle loomise protseduuri saab visualiseerida. Võtame x=1. Määra x väärtuseks 3^x. Korrake seda seitse triljonit korda. Kuigi selle arvu varaseimad astmed on liiga suured, et mahutada kogu universumisse, on eksponentsiaalne torn ise, mis on kirjutatud kui "3^3^3^3...^3", piisavalt väike, et mahutada kaasaegsesse superarvutisse. .

3^^^^3 = 3^^^(3^^^3) = 3^^(3^^(3^^...^^(3^^3)...)). Nii arv kui ka selle loomise protseduur on praegu üle inimese esindusvõime, kuigi protseduurist võib aru saada. Võtke x=1. Määrake x x-pikkuse eksponentsiaalse torni väärtus. Korrake seda 3^^^3 korda, mis võrdub seitsme triljoni kolmekordse eksponentsiaalse torniga.

Ja selle tulemusena on Martin Gardneri sõnade kohaselt "3^^^^3 kujuteldamatult suurem kui 3^^^3, kuid see on siiski väike, kuna enamik lõplikke arve on suuremad."

Ja siis Grahami number. Olgu x võrdne 3^^^^^3-ga, ülalkirjeldatud kujuteldamatult suure arvuga. Seejärel määrake x-le väärtus 3^^^^^^^(x nool)^^^^^^^3. Korrake sama asja uuesti, kuid asendage x tekstiga (3^^^^^^^(x nool)^^^^^^^^3) Korrake seda 63 korda või 64 korda, võttes arvesse esialgset jada 3^ ^^^^3.

Grahami number ületab minu mõistmise. Ma võin seda kirjeldada, kuid ma ei saa sellest õigesti aru. (Võib-olla saab Graham sellest aru, kuna ta kirjutas seda kasutades matemaatilise tõestuse.) See arv on palju suurem kui enamiku inimeste arusaam lõpmatusest. Ma tean, et see oli rohkem kui mu kujutlusvõime.

Tõeline vastus Ramsey probleemile, mis andis selle arvu ülempiiriks, oli tõenäoliselt number 6.

P.s Lisaks ebausklikule õudusele tekitas see number minu jaoks väikese nalja: Onotole Wasserman paneb Grahami numbri lihtsalt paari sekundiga ruutudesse.

Mis on suurim arv maailmas, mis midagi tähendab? Selles artiklis proovin rääkida digitaalsest koletisest, mida nimetatakse Grahami numbriks,

Kirjutab sly2m.livejournal.com

Allikas:

Kui piilud pikalt kuristikku, saad mõnusalt aega veeta.
Mehaaniline hingeinsener

Grahami number sõrmedel™

Niipea kui laps (ja see juhtub kuskil kolme-neljaaastaselt) mõistab, et kõik numbrid on jagatud kolme rühma "üks, kaks ja mitu", püüab ta kohe välja selgitada: kui palju on palju, kui palju erineb. paljust ja kas neid võib nii palju olla, et enam pole. Kindlasti mängisite oma vanematega huvitavat (selle vanuse kohta) mängu, kes nimetab kõige suurema arvu ja kui esivanem ei olnud rumalam kui viienda klassi laps, siis võitis ta alati, iga "miljoni" vastusega "kaks miljonit" , ja "miljardi" puhul - "kaks miljardit" või "miljard pluss üks".

Juba esimeses kooliastmes teavad kõik, et numbreid on lõpmatult palju, need ei lõpe kunagi ja pole ka suurimat arvu. Miljoni triljoni miljardi kohta võite alati öelda "pluss üks" ja võita. Ja veidi hiljem tuleb (peaks tulema!) arusaam, et pikad numbrijadad iseenesest ei tähenda midagi. Kõik need triljonid miljardid on mõttekad ainult siis, kui need kujutavad endast teatud arvu objekte või kirjeldavad teatud nähtust. Pikka numbrit, mis pole muud kui pikalt kõlavate arvude hulk, väljamõtlemine ei valmista raskusi, neid on juba lõpmatult palju. Teadus tegeleb teatud määral piltlikult öeldes väga konkreetsete arvukombinatsioonide otsimisega selles piiritus kuristikus, lisades mõnele füüsikalisele nähtusele, nagu valguse kiirus, Avogadro arv või Plancki konstant.

Ja kohe tekib küsimus, mis on maailma suurim number, mis midagi tähendab? Selles artiklis püüan rääkida digitaalsest koletisest nimega Graham number, kuigi rangelt võttes teab teadus veelgi rohkem numbreid. Grahami number on enim avalikustatud, üldsus võib öelda, et "kuulnud", sest see on üsna lihtsalt seletatav ja siiski piisavalt suur, et pöörata tähelepanu. Üldiselt on siin vaja deklareerida väike lahtiütlus (vene hoiatus). See võib tunduda naljana, aga ma ei tee nalja. Ma räägin päris tõsiselt – niisugustes matemaatilistes sügavustes pedantne nokitsemine koos tajupiiride ohjeldamatu avardumisega võib (ja hakkabki) avaldama tõsist mõju maailmavaatele, indiviidi positsioneerimisele ühiskonnas ja lõppkokkuvõttes. , valija üldise psühholoogilise seisundi kohta või, nimetame asju õigete nimedega – avab tee shizile. Järgmist teksti ei maksa liiga tähelepanelikult lugeda, ei tasu selles kirjeldatud asju liiga elavalt ja ilmekalt ette kujutada. Ja ära ütle hiljem, et sind ei hoiatatud!

Enne koletiste numbrite juurde asumist harjutame kõigepealt kasside peal. Tuletan meelde, et suurte arvude (mitte koletiste, vaid lihtsalt suurte arvude) kirjeldamiseks on mugav kasutada teaduslikku või nn. eksponentsiaalne tähistus.

Kui nad ütlevad näiteks tähtede arvu kohta universumis (vaadatavas universumis), ei vaevu ükski idioot arvutama, kui palju neid on otseses mõttes, kuni viimase täheni välja. Arvatakse, et umbes 10²¹ tükki. Ja see on madalam hinnang. See tähendab, et tähtede koguarvu saab väljendada arvuna, mille ühe järel on 21 nulli, s.o. "1 000 000 000 000 000 000 000".

Selline näeb välja väike osa neist (umbes 100 000) kerasparves Omega Centauri.

Loomulikult, kui rääkida sellistest skaaladest, siis tegelikud numbrid arvus olulist rolli ei mängi, kõik on väga tinglik ja ligikaudne. Võib-olla on tähtede tegelik arv universumis "1 564 861 615 140 168 357 973" või "9 384 684 643 798 468 483 745". Ja isegi “3 333 333 333 333 333 333 333”, miks mitte, kuigi see on muidugi ebatõenäoline. Kosmoloogias, universumi kui terviku omaduste teaduses, selliseid pisiasju ei petta. Peaasi on ette kujutada, et see arv koosneb ligikaudu 22 numbrist, millest alates on mugavam pidada seda 21 nulliga ühikuks ja kirjutada see 10²¹. Reegel on üldine ja väga lihtne. Mis kujund või number on kraadi asemel (prinditud väikeses kirjas 10 peale), nii palju nulle pärast ühikut on selles numbris, kui värvite selle lihtsal viisil, märgid reas ja mitte teaduslikul viisil. Mõnel numbril on "inimnimi", näiteks 10³ kutsume "tuhandeks", 10⁶ - "miljoniks" ja 10⁹ - "miljardiks" ja mõnel mitte. Oletame, et 10⁵⁹-l pole üldnimetust. Ja 10²¹, muide, on see olemas – see on "sekstiljon".

Kõik, mis ulatub miljonini, on peaaegu igaühele intuitiivselt arusaadav, sest kes ei tahaks saada miljonäriks? Siis algavad mõned probleemid. Kuigi miljard (10⁹) on samuti peaaegu kõigile teada. Võite isegi lugeda kuni miljardini. Kui alles pärast sündi, sõna otseses mõttes sünnihetkel, hakkate lugema kord sekundis "üks, kaks, kolm, neli ..." ja mitte magama, ei joo, ei söö, vaid ainult loendama-loendama-loendama väsimatult päeval ja öösel, siis kui saabub 32 aastat, võite lugeda kuni miljardini, sest Maa 32 pööret ümber Päikese võtab aega umbes miljard sekundit.

7 miljardit on inimeste arv planeedil. Eeltoodu põhjal on täiesti võimatu neid kõiki inimelu jooksul järjestikku üles lugeda, peate elama üle kahesaja aasta.

100 miljardit (10¹¹) – kui palju inimesi on planeedil selle ajaloo jooksul elanud. McDonald's müüs 1998. aastaks oma 50-aastase eksisteerimise jooksul 100 miljardit hamburgerit. Meie Linnutee galaktikas on 100 miljardit tähte (noh, natuke rohkem) ja Päike on üks neist. Vaadeldav universum sisaldab sama palju galaktikaid. Inimese ajus on 100 miljardit neuronit. Ja igas nende ridade lugejas pimesooles elab sama palju anaeroobseid baktereid.

Triljon (10¹²) on harva kasutatav arv. Triljonini on võimatu lugeda, selleks kulub 32 tuhat aastat. Triljon sekundit tagasi elasid inimesed koobastes ja jahtisid odadega mammuteid. Jah, triljon sekundit tagasi elasid Maal mammutid. Planeedi ookeanides on umbes triljon kala. Meie naabruses asuv Andromeeda galaktika sisaldab umbes triljonit tähte. Inimene koosneb 10 triljonist rakust. Venemaa SKT ulatus 2013. aastal 66 triljoni rublani (2013. aastal rubla). Maast Saturnini on kõigis kunagi avaldatud raamatutes trükitud 100 triljonit sentimeetrit ja kokku sama palju tähti.

Kvadriljon (10¹⁵, miljonit miljardit) on sipelgate arv planeedil. Tavalised inimesed ei häälda seda sõna valjult, noh, tunnistage seda, millal te viimati kuulsite vestluses "kvadriljonit midagi"?

Kvintiljon (10¹⁸, miljardit miljardit) – mitu võimalikku konfiguratsiooni on 3x3x3 Rubiku kuubiku kokkupanemisel. Nii on ka vee kuupmeetrite arv maailmameres.

Sextillion (10²¹) – oleme selle arvu juba täitnud. Tähtede arv vaadeldavas universumis. Liivaterade arv kõigis Maa kõrbetes. Transistoride arv kõigis inimkonna olemasolevates elektroonikaseadmetes, kui Intel meile ei valetaks.

10 sektiljonit (10²²) on molekulide arv grammis vees.

10²⁴ on Maa mass kilogrammides.

10²⁶ on vaadeldava universumi läbimõõt meetrites, kuid meetrites lugeda pole eriti mugav, vaadeldava universumi üldtunnustatud piirid on 93 miljardit valgusaastat.

Kosmilise skaala visualiseerimiseks on kasulik seda pilti uurida, laiendades seda täisekraanile.

Kuid isegi vaadeldavas universumis saate toppida palju rohkem midagi muud kui meetrid.

10⁵¹ aatomit moodustavad planeedi Maa.

10⁸⁰ on vaadeldavas universumis olevate elementaarosakeste ligikaudne arv.

10⁹⁰ on vaadeldavas universumis olevate footonite ligikaudne arv. Neid on peaaegu 10 miljardit korda rohkem kui elementaarosakesi, elektrone ja prootoneid.

10¹⁰⁰ - googol. See number ei tähenda füüsiliselt midagi, lihtsalt ümar ja ilus. Firma, mis seadis endale eesmärgiks linkide Google’i indekseerimise (nali, seda on muidugi rohkem kui universumi elementaarosakesi on!) võttis 1998. aastal endale Google’i nime.

Vaadeldava universumi täitmiseks kuni silmamunadeni on vaja 10¹²² prootoneid, niimoodi tihedalt, prootoni prootoni ja selja vastas.

Vaadeldav universum võtab enda alla 10¹⁸⁵ Plancki ruumala. Vähem kui Plancki maht (10⁻³⁵ meetri pikkune Plancki kuup) meie teadus ei tea. Kindlasti, nagu universumi puhul, on midagi veelgi väiksemat, kuid teadlased ei ole selliste tühiste asjade jaoks veel mõistlikke valemeid välja mõelnud, lihtsalt spekulatsioon.

Selgub, et umbes 10¹8⁵ on suurim arv, mis võib tänapäeva teaduses midagi tähendada. Teaduses, mis suudab tunnetada ja mõõta. See on midagi, mis on olemas või võiks eksisteerida, kui juhtuks nii, et me teadsime universumi kohta kõike, mida oli vaja teada. Number koosneb 186 numbrist, siin see on:

Või kuulnud stringiteooriast, mille kohaselt võib olla umbes 10⁵⁰⁰ stringide vibratsiooni konfiguratsioone, mis tähendab sama palju potentsiaalseid universumeid, millest igaühel on oma seadused.

Mainin vaid paljudele tuntud googolplexi. Arv, mille googoli astmes on kümme googoli astmel või kümme kümne astmel saja astmel

Ma ei hakka seda numbritega kirja panema. Googleplex ei tähenda absoluutselt mitte midagi. Inimene ei kujuta ette millegi googolplexi, see on füüsiliselt võimatu. Sellise numbri üleskirjutamiseks vajate kogu vaadeldavat universumit, kui kirjutate "nanopliiatsiga" otse vaakumis, tegelikult kosmose Plancki rakkudes. Tõlgime kogu aine tindiks ja täidame universumi ühe tahke arvuga, siis saame googolplexi. Matemaatikud (kohutavad inimesed!) aga ainult soojendavad end googolprexiga, see on madalaim latt, millest algab nende jaoks tõeline maiuspala. Ja kui te arvate, et googolplex on see, millest me räägime, siis pole teil aimugi, KUI valesti see on.

Googolplexi taga on palju huvitavaid numbreid, millel on matemaatilistes tõestustes üks või teine roll, kui pikad ja lühikesed, läheme kohe Grahami numbri juurde, mis on saanud nime (no muidugi) matemaatik Ronald Grahami järgi. Kõigepealt ütlen teile, mis see on ja milleks see on mõeldud, pärast mida kirjeldan piltlikult ja sõrmedel ™, mis see suurus on, ja siis kirjutan numbri ise. Täpsemalt püüan ma kirjutatut lahti seletada.

Grahami number ilmus teoses, mis oli pühendatud ühe Ramsey teooria ülesande lahendamisele ja "Ramsey" pole siin mitte ebatäiuslik osastav, vaid teise matemaatiku Frank Ramsey perekonnanimi. Ülesanne on muidugi vilistide vaatevinklist üsna kaugel, kuigi mitte väga segane, isegi kergesti mõistetav.

Kujutage ette kuubikut, mille kõik tipud on ühendatud kahe värvi, punase või sinise joonte-lõikudega. Ühendatud ja juhuslikult värvitud. Mõned on juba arvanud, et me räägime matemaatika harust, mida nimetatakse kombinatoorikaks.

Mis siis, kui meil on rohkem mõõtmeid? Mis siis, kui me võtame mitte kuubi, vaid neljamõõtmelise kuubi, s.t. tesserakt? Kas saame teha sama triki, mis 3D puhul?

Viies dimensioonis? Ja viiemõõtmelises, kus kuubikut nimetatakse penteraktiks või pentakubiks, on see ka võimalik.
Ja seda kuues mõõtmes.

Ja siis tekivad raskused. Graham ei suutnud matemaatiliselt tõestada, et seitsmemõõtmeline hüperkuub suudab sellist operatsiooni sooritada. Nii kaheksa- kui üheksamõõtmeline jne. Kuid antud “ja nii edasi” osutus mitte lõpmatuseni ulatuvaks, vaid lõppes mõne väga suure numbriga, mida kutsuti “Grahami numbriks”.

See tähendab, et hüperkuubil on mingi minimaalne mõõde, mille puhul tingimust rikutakse, ja enam ei ole võimalik vältida segmentide värvimise kombinatsiooni, et neli sama värvi punkti asuvad samal tasapinnal. Ja see minimaalne mõõde on täpselt suurem kui kuus ja täpselt väiksem kui Grahami arv, see on teadlase matemaatiline tõestus.

Ja nüüd definitsioon sellest, mida ma eespool paari lõiguna kirjeldasin, kuivas ja igavas (kuid mahukas) matemaatikakeeles. Sellest pole vaja aru saada, aga ma ei saa seda mitte tuua.

Vaatleme n-mõõtmelist hüperkuubikut ja ühendame kõik tippude paarid, et saada täielik graaf 2n tipuga. Värvige selle graafiku iga serv punaseks või siniseks. Mis on n väikseim väärtus, mille puhul iga selline värvimine sisaldab tingimata ühevärvilist täielikku alamgraafi nelja tipuga, mis kõik asuvad samal tasapinnal?

70ndatest on möödunud palju aastaid, leiti matemaatilisi probleeme, milles esinevad arvud ja rohkem Grahamit, kuid see esimene koletisarv avaldas kaasaegsetele muljet, kes mõistsid, mis mastaapsus see on, et 1980. aastal kanti see Guinnessi rekordite raamatusse kui " kõige suurem arv, kes on kunagi osalenud ranges matemaatilises tõestuses" sel ajal.

Proovime välja mõelda, kui suur see on. Suurim arv, millel võib olla mingisugune füüsiline tähendus, on 10¹⁸⁵ ja kui kogu vaadeldav universum on täidetud näiliselt lõputu hulga nappide arvudega, saame midagi, mis vastab googolplexile.

Kas kujutate ette seda kogukonda? Edasi, tagasi, üles, alla, nii kaugele kui silm näeb ja nii kaugele kui Hubble'i teleskoop suudab, ja isegi nii kaugele kui sellest ei piisa, kõige kaugematesse galaktikatesse ja nendest kaugemale vaadates - numbreid, numbreid, numbreid palju väiksem kui prooton. Selline universum ei saa muidugi kaua eksisteerida, see kukub kohe kokku mustaks auguks. Kas mäletate, kui palju teavet teoreetiliselt universumisse mahub?

Number on tõesti tohutu, murrab aju. See ei ole täpselt võrdne googolplexiga ja sellel pole nime, nii et ma nimetan seda "dochulioniks". Sain just aru, miks mitte. Plancki rakkude arv vaadeldavas universumis ja igasse lahtrisse kirjutatakse arv. Arv koosneb 10¹85 numbrist ja seda saab esitada kui

Avame taju uksed veidi laiemalt. Kas mäletate inflatsiooniteooriat? Et meie universum on vaid üks paljudest multiversumi mullidest. Ja kui kujutate ette dochulioni sellistest mullidest? Võtame nii pika arvu kui kõik olemasolev ja kujutame Multiversumit ette sarnase arvu universumitega, millest igaüks on kuni silmamunadeni numbritega täidetud – saame dochulioni dochulione. Kas te kujutate seda ette? Kuidas sa hõljud skalaarvälja olematuses ja ümberringi on universumid-universumid ja numbrid-arvud-arvud neis... Loodan, et selline õudusunenägu (aga miks õudusunenägu?) ei piina (ja milleks piinata?) öösiti liiga muljetavaldav lugeja.

Mugavuse huvides nimetame sellist toimingut "flip". Selline kergemeelne vahelesegamine, nagu nad võtsid Universumi ja pöörasid selle pahupidi, siis oli see numbrites sees ja nüüd, vastupidi, meil on väljas sama palju universumeid, kui oli numbreid ja iga kast on täis, täis numbrid. Granaatõuna koorides painutate koort niimoodi, terad tulevad seest välja ja granaadid on jälle terades. See tuli ka liikvel olles, miks mitte, sest see töötas koos dohulioniga.

Millega ma tegelen? Kas tasub aeglustada? Ole nüüd, hoba, ja veel üks pööre! Ja nüüd on meil nii palju universumeid, kui oli universumites numbreid, mille arv oli võrdne meie universumit täitnud numbrite dochulioniga. Ja kohe, peatumata, keerake uuesti. Nii neljas kui ka viies. Kümnes, tuhandes. Hoia end mõttega kursis, pildista ikka pilti?

Ärgem raiskagem aega pisiasjadele, sirutagem kujutlusvõime tiibu, kiirendagem täiega ja keerakem flips. Me pöörame iga universumi pahupidi nii palju kordi, kui oli Hulioni-eelseid universumeid eelmises pöördes, mis läks ümber üle-eelmisest aastast, mida ... uh ... noh, kas te järgite? Kuskil niisama. Olgem nüüd meie numbriks "dochouliard".

Dohouliard = flip flips

Me ei peatu ja muudame dohouliardide dohulionide lehvitamist seni, kuni meil jõudu jätkub. Kuni silmis pimedaks läheb, kuni karjuda tahad. Siin on iga vapper Pinocchio enda jaoks peatussõnaks “brynza”.

Niisiis. Milles see on? Hiiglaslikud ja lõpmatud dochuliendid ja täisnumbritega universumite dohuliarid ei vasta Grahami numbrile. Nad isegi ei kriimusta pinda. Kui Grahami number on kujutatud pulga kujul, mis on traditsiooniliselt venitatud üle kogu ettenähtava universumi, siis see, mis me siin oleme kokku kleepunud, osutub jämeduse pügalaks ... noh ... kuidas ma saan selle nii sõnastada , pehmelt öeldes ... mainimist vääriv. Siin ma pehmendasin seda nii hästi kui suutsin.

Nüüd kaldume veidi kõrvale, teeme pausi. Lugesime, lugesime, silmad väsisid. Unustagem Grahami number, me peame selle ees ikkagi roomama ja roomama, oma silmad lahti fokuseerima, lõdvestuma, mõtisklema palju väiksemal, lausa miniatuursel numbril, mida me nimetame g₁, ja kirjutama see üles vaid kuue tähemärgiga:
g₁ = 33

Arv g₁ on "kolm, neli noolt, kolm". Mida see tähendab? Seda tähistust nimetatakse Knuthi noolemärgistuseks.

Üks nool tähendab tavalist astendamist.

44 = 4⁴ = 256

1010 = 10¹⁰ = 10 000 000 000

Kaks noolt tähendavad arusaadavalt eksponentsimist.

Lühidalt, "numbrinool nool teine number" näitab, kui kõrged kraadid (matemaatikud ütlevad "torn") on ehitatud esimesest numbrist. Näiteks 58 tähendab kaheksast viiest koosnevat torni ja on nii suur, et seda ei saa arvutada ühelgi superarvutil, isegi kõigil planeedi arvutitel korraga.

Liigume edasi kolme noole juurde. Kui topeltnool näitaks torni kõrgust kraadides, siis näib, et kolmiknool näitaks "torni kõrguse torni kõrgust"? Mida-seal! Kolmiku puhul on meil torni kõrgus torni kõrgus torni kõrgus (matemaatikas sellist mõistet pole, otsustasin nimetada “tornita”). Midagi sellist:

See tähendab, et 33 moodustab tornideta kolmikud, mille kõrgus on 7 triljonit tükki. Mis on 7 triljonit kolmikut, mis on üksteise peale laotud ja mida nimetatakse "tornita"? Kui lugesite seda teksti hoolikalt läbi ega jäänud kohe alguses magama, siis ilmselt mäletate, et Maast Saturnini on 100 triljonit sentimeetrit. Ekraanil kuvatav kolmik kaheteistkümnenda kirjatüübiga, see üks – 3 – on viie millimeetri kõrgune. Nii et tornideta kolmikud ulatuvad teie ekraanilt ... noh, muidugi mitte Saturnini. Isegi Päike ei jõua, ainult veerand astronoomilisest ühikust, umbes sama palju kui hea ilmaga Maalt Marsile. Juhin teie tähelepanu (ärge magage!), et tornita ei ole arv Maast Marsini, see on sellise kõrgusega kraadide torn. Mäletame, et viis kolmikut selles tornis katavad googolplexi, kolmikute esimese detsimeetri arvutamine põletab kõik planeedi arvutite kaitsmed ja ülejäänud miljonid kilomeetrid kraadid on juba kasutud, lihtsalt mõnitavad avalikult lugejat, see on mõttetu neid kokku lugeda.

Nüüd on selge, et 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 tornita, (mitte 3 tornideta, vaid "kolme noole noolega tornitus" (!)), tema tornideta tornitus ei mahu ei pikkuse ega kõrgusega. vaadeldav universum ja ei mahu isegi oletatavasse multiversumi.

Sõnad lõpevad 35 = 33333 ja vahelehüüded 36 = 333333, kuid huvi korral võite harjutada.

Seda on mõttetu arvutada ja see ei tööta. Siinne kraadide arv ei sobi sisukaks arvestuseks. Seda numbrit ei saa ette kujutada, seda ei saa kirjeldada. Ükski sõrmede™ analoogia ei kehti, numbrit pole lihtsalt millegagi võrrelda. Võib öelda, et see on tohutu, et see on suurejooneline, et see on monumentaalne ja vaatab sündmuste horisondi taha. See tähendab, et anda sellele mõned sõnalised epiteetid. Kuid visualiseerimine, isegi vaba ja kujundlik, on võimatu. Kui kolme noolega oli veel võimalik vähemalt midagi öelda, joonistada tornita Maalt Marsile, kuidagi millegagi võrrelda, siis analoogiaid lihtsalt olla ei saa. Proovige ette kujutada õhukest kolmest torni Maalt Marsini, selle kõrval veel üks peaaegu samasugune ja teine ja veel üks ... Tornide lõputu väli ulatub kaugusesse, lõpmatusse, igal pool on tornid, igal pool on tornid . Ja mis kõige solvavam, nendel tornidel pole isegi numbriga midagi pistmist, nad määravad ainult teiste tornide kõrgused, mis tuleb ehitada tornide kõrguse saamiseks, tornide kõrguse saamiseks ... et saada arv ise pärast mõeldamatut aega ja iteratsioone.

See on g₁, see on 33.

Puhanud? Nüüd alates g₁ uute jõududega pöördume tagasi Grahami numbri rünnaku juurde. Kas olete märganud, kuidas eskalatsioon noolt noolele kasvab?

33 = 7 625 597 484 987

33 = torn, Maalt Marsini.

33 = arv, mida ei saa ette kujutada ega kirjeldada.

Ja kujutage ette, milline digitaalne õudusunenägu toimub, kui tulistaja on viieaastane? Millal on kuus? Kas kujutate ette arvu, kui tulistaja saab sajaks? Kui saate, juhin teie tähelepanu arvule g₂, milles nende noolte arv on võrdne g₁-ga. Pea meeles, mis on g₁, eks?

Ma ei varja, on ka g₃, mis sisaldab g₂ nooli. Muide, kas on ikka selge, et g₃ ei ole g₂ g₂ "astmeni", vaid tornideta tornide arv, mis määravad tornideta tornide kõrguse, mis määravad kõrguse ... ja nii edasi kogu ahela ulatuses kuni universumi kuumasurm? See on koht, kus sa hakkad nutma.

Miks nutta? Sest täiesti tõsi. Samuti on arv g4, mis sisaldab kolmikute vahel g₃ nooli. On ka g5, on g₆ ja g₇ ja g₁7 ja g43...

Ühesõnaga on neid 64 g. Iga eelmine on numbriliselt võrdne järgmise noolte arvuga. Viimane g₆4 on Grahami number, millest kõik tundus nii süütult alguse saavat. See on hüperkuubi mõõtmete arv, millest kindlasti piisab segmentide punaseks ja siniseks värvimiseks. Võib-olla vähem, see on nii-öelda ülempiir. See on kirjutatud järgmiselt:

ja kirjuta niimoodi.

Seal oli üks vana mees, häbelik nagu poiss,
Kohmakas, arglik patriarh...
Kes on looduse auks vehkleja?
No muidugi, tuline Lamarck.
Osip Mandelstam

Lisaks Grahami numbri ja paljude muude huvitavate numbrite kirjeldamisele teen ettepaneku arutada veel paari numbrit. Nüüd dešifreeritakse kiiruga inimese genoomi. Minu arvates on sellest vähe kasu, nagu kõigist eksperimentaalsetest andmetest, mille kohta on vähemalt mingi teooria (pole selge, mida tegelikult mõõdetakse), kuid vähemalt sai teada, et inimese genoom koosneb 3,1 miljardist alusest ( igat liiki tümiin guaniini ja muude uratsiilidega) Darwini evolutsiooniteooria seisukohalt peetakse igat elusolendit teatud aluste kombinatsiooni ellujäämise proovikiviks ja peamine religiooni kokkupõrge Darwini teooriaga toimub siis, kui Darwini teooria või õigemini selle kaasaegne tõlgendus väidab, et see loendus toimub juhuslikult. Väljaspool seda väidet ei ole vastuolu evolutsiooniteooria ja näiteks juudi-kristliku 1. Moosese raamatus kirjeldatud pildi vahel, hoolimata sellest, mida kreatsionistid väidavad.

Näiteks kui eeldada, et kõige esimeses DNA-s olevale kõige esimesele elusolendile oli programmeeritud kogu evolutsioon sellest kõige esimesest olendist tänapäeva inimeseni, siis see pilt, mida võib pidada Lamarcki evolutsiooni kaasaegseks tõlgenduseks, ei erine kuidagi sellest. Genesis ja selle mõtteeksperimendi esimene elusolend ei tohiks olla Adam Brodsky, vaid Lamarcki arhetüübiks. Ainuüksi sõnad "Jumal lõi" 1. Moosese raamatust tähendavad selles kontekstis, et Jumal kirjutas Lamarcki arhetüübi programmi. Muide, ka selle programmi ja programmeerimismeetodi enda leiutas Tema.

Oletame, et selle kõige esimese elusolendi aluspaaride kombinatsioon on ainulaadne, siis saame hinnata Darwini evolutsiooni kiirust madalamalt. Alustame sellest, et hiljuti leiti väikseim elusolend (viirused on teoreetiliselt veelgi väiksemad, kuid neid ei saa pidada täisväärtuslikeks elusolenditeks, kuna nad vajavad paljunemiseks võõrast rakumehhanismi - igasuguseid mitokondreid jne. jne) Kujutagem ette, et kogu universum (10 kuni 26 meetrit) on tipuni täidetud nende 0,009 kuupmikroni suuruste elusolenditega, kes katsetavad pidevalt DNA kombinatsioone, millest igaühel on oma unikaalne. katsetada välistades DNA testimise dubleerimise erinevate elusolendite poolt ja kui midagi edukat ilmneb, saavad kõik universumi elusolendid sellest hetkega teada ja muudavad oma testimisülesannet, nii et kõik ebaõnnestunud testil põhinevad kombinatsioonid lükatakse edasisest testimisest kõrvale. Nimetame Darwini arvuks sel viisil testimist vajavate genoomide koguarvu ja kui korrutame Darwini arvu testitava olendi minimaalse elueaga – Plancki ajaga, mis on minimaalne ajakvant – ja jagame selliste olendite koguarvust, siis saame määrata sellise evolutsiooni teatud iseloomuliku aja, mida teen ettepaneku nimetada Darwini ajaks. Ja kui jagada Darwini aeg meie universumi maksimaalse vanusega, saate numbri, mida ma teen ettepaneku nimetada Ockhami Williami numbriks, kuna ta oli esimene, kes tõestas, et teaduslikud meetodid Sa ei saa tõestada Jumala olemasolu, aga sa ei saa tõestada ka tema puudumist. Tõepoolest, Occami arv näitab Darwini teooria raamistikku maksimaalne summa sissepääsud Darwini evolutsiooni meie universumis, see tähendab, et see eraldab need DNA kombinatsioonid, mis võivad olla elusolendi genoomiks, neist, mis on ilmselgelt saatuslikud. See tähendab, et see arv näitab erinevust elu ja surma vahel meie universumis.

Loomulikult teen ettepaneku nimetada Ockhami numbri ja Grahami numbri suhet Brodsky numbriks ja kogu seda protseduuri teen ettepaneku nimetada Brodski paradoksiks.

Algselt postitas lyubimica_mira Graham's Number on Fingers™

Originaal võetud kaval2m Graham Number on Fingers™

epigraaf
Kui vaatad kaua kuristikku,
saad mõnusalt aega veeta.
Mehaaniline hingeinsener

Juba esimeses kooliastmes teavad kõik, et numbreid on lõpmatult palju, need ei lõpe kunagi ja pole ka suurimat arvu. Igaühele miljonit triljonit miljardit võite alati öelda "pluss üks" ja võita. Ja veidi hiljem tuleb (peaks tulema!) arusaam, et pikad numbrijadad iseenesest ei tähenda midagi. Kõik need triljoneid miljardeid alles siis on neil mõtet, kui nad kujutavad mitut objekti või kirjeldavad teatud nähtust. Pole raske välja mõelda pikka numbrit, mis pole midagi muud kui pika kõlaga numbrite komplekt, nii et nad lõpmatu arv. Teadus tegeleb teatud määral piltlikult öeldes väga konkreetsete arvukombinatsioonide otsimisega selles piiritus kuristikus, lisades mõnele füüsikalisele nähtusele, nagu valguse kiirus, Avogadro arv või Plancki konstant.

Selline näeb välja väike osa neist (umbes 100 000) kerasparves Omega Centauri.

Loomulikult, kui rääkida sellistest skaaladest, siis tegelikud numbrid arvus olulist rolli ei mängi, kõik on väga tinglik ja ligikaudne. Võib olla tegelikult tähtede arv universumis on "1 564 861 615 140 168 357 973" või "9 384 684 643 798 468 483 745". Ja isegi "3 333 333 333 333 333 333 333", miks mitte, kuigi see on muidugi ebatõenäoline. Kosmoloogias, universumi kui terviku omaduste teaduses, selliseid pisiasju ei petta. Peaasi on ette kujutada umbes see arv koosneb 22 numbrist, millest alates on mugavam pidada seda 21 nulliga ühikuks ja kirjutada see 10 21-ks. Reegel on üldine ja väga lihtne. Mis kujund või arv on kraadi asemel (siin on trükitud väikeses kirjas 10 peale), mitu nulli on pärast ühte selles numbris, kui värvite selle lihtsal viisil, märgid reas, mitte teaduslik viis. Mõnel numbril on "inimnimi", näiteks 10 3 nimetame "tuhandeks", 10 6 - "miljoniks" ja 10 9 - "miljardiks" ja mõnel mitte. Oletame, et 1059-l pole üldnimetust. Ja 10 21, muide, on see - see on "sekstiljon".

7 miljardit on inimeste arv planeedil. Eeltoodu põhjal on täiesti võimatu neid kõiki inimelu jooksul järjestikku üles lugeda, peate elama üle kahesaja aasta.

100 miljardit (10 11) – nii palju inimesi on planeedil kogu selle ajaloo jooksul elanud. McDonald's müüs 1998. aastaks oma 50-aastase eksisteerimise jooksul 100 miljardit hamburgerit. Meie Linnutee galaktikas on 100 miljardit tähte (noh, natuke rohkem) ja Päike on üks neist. Vaadeldav universum sisaldab sama palju galaktikaid. Inimese ajus on 100 miljardit neuronit. Ja igas nende ridade lugejas pimesooles elab sama palju anaeroobseid baktereid.

Triljon (10 12) on arv, mida kasutatakse harva. Triljonini on võimatu lugeda, selleks kulub 32 tuhat aastat. Triljon sekundit tagasi elasid inimesed koobastes ja jahtisid odadega mammuteid. Jah, triljon sekundit tagasi elasid Maal mammutid. Planeedi ookeanides on umbes triljon kala. Meie naabruses asuv Andromeeda galaktika sisaldab umbes triljonit tähte. Inimene koosneb 10 triljonist rakust. Venemaa SKT ulatus 2013. aastal 66 triljoni rublani (2013. aastal rubla). Maast Saturnini on kõigis kunagi avaldatud raamatutes trükitud 100 triljonit sentimeetrit ja kokku sama palju tähti.
Kvadriljon (10 15, miljon miljardit) on sipelgate koguarv planeedil. Normaalsed inimesed ei häälda seda sõna valjusti, noh, tunnistage, millal te viimati "kvadriljonit midagi" ühes vestluses kuulsite?
Kvintiljon (10 18 miljardit miljardit) – 3x3x3 Rubiku kuubiku kokkupanemisel on nii palju võimalikke konfiguratsioone. Nii on ka vee kuupmeetrite arv maailmameres.
Sextillion (10 21) – oleme seda numbrit juba kohanud. Tähtede arv vaadeldavas universumis. Liivaterade arv kõigis Maa kõrbetes. Transistoride arv kõigis inimkonna olemasolevates elektroonikaseadmetes, kui Intel meile ei valetaks.
10 sektiljonit (10 22) on molekulide arv grammis vees.
10 24 on Maa mass kilogrammides.
10 26 - vaadeldava universumi läbimõõt meetrites, kuid meetrites pole eriti mugav lugeda, vaadeldava universumi üldtunnustatud piirid on 93 miljardit valgusaastat.

Teadus ei tööta vaadeldavast universumist suuremate mõõtmetega. Teame kindlalt, et vaadeldav universum ei ole tervik-kõik-tervikuniversum. See on osa, mida me vähemalt teoreetiliselt näeme ja jälgime. Või on seda varem näinud. Või näeme millalgi kauges tulevikus, jäädes kaasaegse teaduse raamidesse. Ülejäänud universumist ei jõua signaalid meieni isegi valguse kiirusel, mis muudab need kohad meie vaatenurgast justkui olematuks. Kui suur see suur universum on tegelikult keegi ei tea. Võib-olla miljon korda rohkem kui Foreseeable. Või äkki miljard. Või võib-olla isegi lõputu. Ma ütlen, et see pole enam teadus, vaid oletus kohvipaksu kohta. Teadlastel on mõned oletused, kuid see on rohkem fantaasia kui tegelikkus.
Kosmiliste mastaapide visualiseerimiseks on kasulik seda pilti uurida, laiendades seda täisekraanile.

Kuid isegi vaadeldavas universumis saate toppida palju rohkem midagi muud kui meetrid.
Planeet Maa koosneb 1051 aatomist.
10 80 ligikaudne elementaarosakeste arv vaadeldavas universumis.
10 90 on vaadeldavas universumis olevate footonite ligikaudne arv. Neid on peaaegu 10 miljardit korda rohkem kui elementaarosakesi, elektrone ja prootoneid.
10 100 - googol. See number ei tähenda füüsiliselt midagi, lihtsalt ümar ja ilus. Ettevõte, kes seadis endale 1998. aastal eesmärgiks linkide googoli indekseerimise (nali, seda on muidugi rohkem kui elementaarosakesi universumis!) võttis endale 1998. aastal nime Google.
Vaadeldava universumi täitmiseks kuni silmamunadeni on vaja 10 122 prootonit, tihedalt niimoodi, prootoni prootoni, selja vastas.
Vaadeldav universum võtab enda alla 10 185 Plancki ruumala. Vähem kui Plancki maht (10–35 meetri pikkune Plancki kuup) meie teadus ei tea. Kindlasti, nagu universumi puhul, on midagi veelgi väiksemat, kuid teadlased ei ole selliste tühiste asjade jaoks veel mõistlikke valemeid välja mõelnud, lihtsalt spekulatsioon.

Selgub, et umbes 10 185 on suurim arv, mis põhimõtteliselt võib tänapäeva teaduses midagi tähendada. Teaduses, mis suudab tunnetada ja mõõta. See on midagi, mis on olemas või võiks eksisteerida, kui juhtuks nii, et me teadsime universumi kohta kõike, mida oli vaja teada. Number koosneb 186 numbrist, siin see on:
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Teadus siin muidugi ei lõpe, aga siis jätkuvad vabad teooriad, oletused ja isegi lihtsalt pseudoteaduslik male ja rutt. Näiteks olete ilmselt kuulnud inflatsiooniteooriast, mille kohaselt võib-olla on meie Universum vaid osa suuremast Multiversumist, milles need universumid on nagu mullid šampanjaookeanis.

Või kuulnud stringiteooriast, mille järgi võib olla umbes 10 500 stringide vibratsiooni konfiguratsiooni, mis tähendab sama palju potentsiaalseid universumeid, millest igaühel on oma seadused.

Mida kaugemale metsa, seda vähem jääb kogunevatesse numbritesse teoreetilist füüsikat ja teadust laiemalt ning nullide tulpade tagant hakkab läbi piiluma üha puhtam, pilvitu teaduste kuninganna. Matemaatika ei ole füüsika, piiranguid pole ja häbeneda pole midagi, kõnni, hing, kirjuta valemitesse nullid kasvõi kukutamiseni.
Mainin vaid tuntud googolplex. Arv, mille googoli astmes on kümme googoli astmel (10 googoli) või kümme kümne astmel saja astmel (10 10 100).
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Ma ei hakka seda numbritega kirja panema. Googleplex ei tähenda absoluutselt mitte midagi. Inimene ei kujuta ette millegi googolplexi, see on füüsiliselt võimatu. Sellise arvu üleskirjutamiseks vajate kogu vaadeldavat universumit, kui kirjutate "nanopliiatsiga" otse vaakumis, tegelikult kosmose Plancki rakkudes. Tõlgime kogu aine tindiks ja täidame universumi ühe tahke arvuga, siis saame googolplexi. Aga matemaatikud (kohutavad inimesed!) teevad ainult soojendust googolprexiga, see on madalaim latt, millest nende jaoks tõelised pätid alguse saavad. Ja kui te arvate, et googolplex on see, millest me räägime, siis pole teil aimugi, KUI valesti see on.

Grahami number ilmus teoses, mis oli pühendatud ühe Ramsey teooria ülesande lahendamisele, ja "Ramsey" pole siin mitte ebatäiuslik osasõna, vaid teise matemaatiku Frank Ramsey perekonnanimi. Ülesanne on muidugi vilistide vaatevinklist üsna kaugel, kuigi mitte väga segane, isegi kergesti mõistetav.
Kujutage ette kuubikut, mille kõik tipud on ühendatud kahe värvi, punase või sinise joonte-lõikudega. Ühendatud ja juhuslikult värvitud. Mõned on juba arvanud, et räägime matemaatika harust, mida nimetatakse kombinatoorikaks.

Kas me suudame välja mõelda ja valida värvide konfiguratsiooni sellisel viisil (ja neid on ainult kaks - punane ja sinine), nii et nende segmentide värvimisel EI õnnestu, et kõik sama värvi segmendid ühenduvad neli tippu asuvad samal tasapinnal? Sel juhul EI kujuta need sellist arvu:

Võite ise mõelda, väänata oma kujutlusvõimes kuubikut silme ees, selle tegemine pole nii keeruline. Värve on kaks, kuubil on 8 tippu (nurka), mis tähendab, et neid ühendavaid segmente on 28. Värvimise konfiguratsiooni saab valida nii, et me ülaltoodud joonist kuskile ei satuks, seal on mitmevärvilised jooned kõigil võimalikel tasanditel.
Mis siis, kui meil on rohkem mõõtmeid? Mis siis, kui me võtame mitte kuubi, vaid neljamõõtmelise kuubi, s.t. tesserakt? Kas saame teha sama triki, mis 3D puhul?

Ma isegi ei hakka selgitama, mis on neljamõõtmeline kuup, kas kõik teavad? Neljamõõtmelisel kuubil on 16 tippu. Ja pole vaja aju pahvida ja püüda ette kujutada neljamõõtmelist kuubikut. See on puhas matemaatika. Vaatasin mõõtmete arvu, asendasin selle valemisse, sain tippude, servade, tahkude arvu jne. Noh, või piilus Vikipeediast, kui valemit ei mäleta. Seega on neljamõõtmelisel kuubil 16 tippu ja 120 neid ühendavat segmenti. Värvikombinatsioonide arv neljamõõtmelisel juhul on palju suurem kui kolmemõõtmelise puhul, kuid ka siin pole eriti keeruline arvutada, jagada, taandada jms. Lühidalt, saate teada, et neljamõõtmelises ruumis saate ka hüperkuubi segmentide värvimisega nii palju välja mõelda, et kõik 4 tippu ühendavad sama värvi jooned ei asu samal tasapinnal.
Viies dimensioonis? Ja viiemõõtmelises, kus kuubikut nimetatakse penteraktiks või pentakubiks, on see ka võimalik.
Ja seda kuues mõõtmes.
Ja siis tekivad raskused. Graham ei suutnud matemaatiliselt tõestada, et seitsmemõõtmeline hüperkuub suudab sellist operatsiooni sooritada. Nii kaheksa- kui üheksamõõtmeline jne. Kuid antud "ja nii edasi" osutus mitte lõpmatuseni minevaks, vaid lõpeb mingi väga suure numbriga, mida kutsuti "Grahami numbriks".
See tähendab, et on olemas minimaalne mõõde hüperkuubik, mille puhul tingimust rikutakse, ja enam ei ole võimalik vältida värvisegmentide kombinatsiooni, nii et neli sama värvi punkti asuvad samal tasapinnal. Ja see minimaalne mõõde on täpselt suurem kui kuus ja täpselt väiksem kui Grahami arv, see on teadlase matemaatiline tõestus.

Ja nüüd definitsioon sellest, mida ma eespool paari lõiguna kirjeldasin, kuivas ja igavas (kuid mahukas) matemaatikakeeles. Sellest pole vaja aru saada, aga ma ei saa seda mitte tuua.
Vaatleme n-mõõtmelist hüperkuubikut ja ühendame kõik tippude paarid, et saada täielik graaf 2n tipuga. Värvige selle graafiku iga serv punaseks või siniseks. Mis on n väikseim väärtus, mille puhul iga selline värvimine sisaldab tingimata ühevärvilist täielikku alamgraafi nelja tipuga, mis kõik asuvad samal tasapinnal?

1971. aastal tõestas Graham, et sellel probleemil on lahendus ja see lahendus (mõõtmete arv) jääb numbri 6 ja mõne suurema arvu vahele, mis hiljem (mitte autor ise) tema järgi nimetati. 2008. aastal parandati tõestust, tõsteti alumist piiri, nüüd jääb soovitud mõõtmete arv juba numbri 13 ja Grahami numbri vahele. Matemaatikud ei maga, töö käib, haare kitseneb.
70ndatest on möödunud palju aastaid, leiti matemaatilisi probleeme, milles esinevad arvud ja rohkem Grahamit, kuid see esimene koletisarv avaldas kaasaegsetele muljet, kes mõistsid, mis ulatusega see tegu on, et 1980. aastal kanti see Guinnessi rekordite raamatusse kui " kõige suurem arv, mis kunagi ranges matemaatilises tõestuses osales"

Proovime välja mõelda, kui suur see on. Suurim arv, millel võib olla füüsiline tähendus, on 10 185 ja kui kogu vaadeldav universum on täidetud näiliselt lõputu pisikeste numbrite komplektiga, saame midagi, mis on sellega võrreldav. googolplex.

Kas kujutate ette seda kogukonda? Edasi, tagasi, üles, alla, nii kaugele kui silm näeb ja nii kaugele kui Hubble'i teleskoop suudab, ja isegi nii kaugele kui sellest ei piisa, kõige kaugematesse galaktikatesse ja nendest kaugemale vaadates - numbreid, numbreid, numbreid palju väiksem kui prooton. Selline universum ei saa muidugi kaua eksisteerida, see kukub kohe kokku mustaks auguks. Kas mäletate, kui palju teavet teoreetiliselt universumisse mahub? Ma rääkisin.

Number on tõesti tohutu, murrab aju. See ei ole täpselt võrdne googolplexiga ja sellel pole nime, nii et ma kutsun seda " dohulion". Sain just aru, miks mitte. Plancki rakkude arv vaadeldavas universumis ja iga rakk sisaldab numbrit. Arv sisaldab 10 185 numbrit, seda saab esitada kui 10 10 185.
dochulion = 10 10 185
Avame taju uksed veidi laiemalt. Kas mäletate inflatsiooniteooriat? Et meie universum on vaid üks paljudest multiversumi mullidest. Ja kui kujutate ette dohulion sellised mullid? Võtame nii pika arvu kui kõik olemasolev ja kujutame ette Multiversumit sarnase arvu universumitega, millest igaüks on täidetud numbritega kuni silmamunadeni – saame dochulion dochulion. Kas te kujutate seda ette? Kuidas sa hõljud skalaarvälja olematuses ja ümberringi on universumid-universumid ja numbrid-arvud-arvud neis... Loodan, et selline õudusunenägu (aga miks õudusunenägu?) ei piina (ja milleks piinata?) öösiti liiga muljetavaldav lugeja.

Mugavuse huvides nimetame sellist toimingut " klapp". Selline kergemeelne vahelehüüe, nagu nad võtsid universumi ja pöörasid selle pahupidi, siis oli see arvudes sees ja nüüd, vastupidi, on meil väljas sama palju universumeid, kui oli numbreid ja iga kast on täis. täis, kõik arvuliselt.Nagu granaatõun, puhastad, painutad koore nii, terad tulevad seest välja ja granaadid on jälle terades. dochulion sest see veeres.
Millega ma tegelen? Kas tasub aeglustada? Ole nüüd, hoba ja veel üks klapp! Ja nüüd on meil nii palju universumeid, kui oli universumites numbreid, mille arv oli võrdne meie universumit täitnud numbrite dochulioniga. Ja kohe, peatumata, keerake uuesti. Nii neljas kui ka viies. Kümnes, tuhandes. Hoia end mõttega kursis, pildista ikka pilti?

Ärgem raiskagem aega pisiasjadele, sirutagem kujutlusvõime tiivad, kiirendagem täiega ja keerakem klapid. Me pöörame iga universumi pahupidi nii palju kordi, kui oli Hulioni-eelseid universumeid eelmises pöördes, mis läks ümber üle-eelmisest aastast, mida ... uh ... noh, kas te järgite? Kuskil niisama. Olgu nüüd meie numbriks, " dochouliard".
dohouliard = flip flips
Me ei peatu ja muudame dohouliardide dohulionide lehvitamist seni, kuni meil jõudu jätkub. Kuni silmis pimedaks läheb, kuni karjuda tahad. Siin on igaüks julge Pinocchio enda jaoks, peatussõnaks saab "brynza".
Niisiis. Milles see on? Hiiglaslikud ja lõpmatud dochuliendid ja täisnumbritega universumite dohuliarid ei vasta Grahami numbrile. Nad isegi ei kriimusta pinda. Kui Grahami number esitatakse pulga kujul, mis on traditsiooniliselt kogu vaadeldavas universumis venitatud, siis mis me siin teiega oleme ümber pööratud osutub paksuse sälguks ... noh ... kuidas see pehmelt öeldes oleks ... mainimist vääriv. Siin ma pehmendasin seda nii hästi kui suutsin.

Nüüd kaldume veidi kõrvale, teeme pausi. Lugesime, lugesime, silmad väsisid. Unustagem Grahami number, me peame selle ees veel roomama ja roomama, oma silmad fookuse kaotama, lõdvestuma, mõtisklema palju väiksemal, lausa miniatuursel numbril, mida hakkame nimetama g 1 , ja kirjutama selle üles ainult kuue tähemärgiga:
g1 = 33
Arv g 1 on võrdne "kolm, neli noolt, kolm". Mida see tähendab? Selline näeb välja tähistus, mida nimetatakse Knuthi noolemärgistuseks.
Üksikasjade ja üksikasjade jaoks võite lugeda Vikipeedia artiklit, kuid seal on valemid, ma räägin selle lühidalt ümber lihtsate sõnadega. Üks nool tähendab tavalist astendamist.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Kaks noolt tähendavad arusaadavalt eksponentsimist.
23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (rohkem kui 7 triljonit)
34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = umbes 3 triljoni numbriga arv

Lühidalt öeldes näitab "numbrinool nool teine number" kraadide kõrgust (matemaatikud ütlevad " torni") on ehitatud esimesest numbrist. Näiteks 58 tähendab kaheksast viiest koosnevat torni ja on nii suur, et seda ei saa arvutada üheski superarvutis, isegi kõigis planeedi arvutites korraga.
5 5 5 5 5 5 5 5
Liigume edasi kolme noole juurde. Kui topeltnool näitaks torni kõrgust kraadides, siis kolmiknool näitaks justkui "torni kõrguse torni kõrgust"? Mida-seal! Kolmiku puhul on meil torni kõrgus torni kõrgus torni kõrgus (matemaatikas pole sellist mõistet, otsustasin seda nimetada " hooletu"). Midagi sellist:

Liigume edasi nelja noole juurde. Nagu arvata võis, istub siin torn torni peal, sõidab ilma tornita ja isegi sellise torniga, mis ilma tornita pole oluline. Ma annan lihtsalt vaikselt pildi, mis paljastab nelja noole arvutamise skeemi, kui iga järgmine kraaditorni number määrab kraadide torni kõrguse, mis määrab kraadide torni kõrguse, määrab torni kõrguse. kraadide torn ... ja nii kuni eneseunustuseni.

Seda on mõttetu arvutada ja see ei tööta. Siinne kraadide arv ei sobi sisukaks arvestuseks. Seda numbrit ei saa ette kujutada, seda ei saa kirjeldada. Analoogiat pole sõrmedel™ ei ole kohaldatavad, pole numbril lihtsalt millegagi võrrelda. Võib öelda, et see on tohutu, et see on suurejooneline, et see on monumentaalne ja vaatab sündmuste horisondi taha. See tähendab, et anda sellele mõned sõnalised epiteetid. Kuid visualiseerimine, isegi vaba ja kujundlik, on võimatu. Kui kolme noolega oli veel võimalik vähemalt midagi öelda, joonistada tornita Maalt Marsile, kuidagi millegagi võrrelda, siis analoogiaid lihtsalt olla ei saa.
Nüüd, alates g 1, pöördume uue jõuga tagasi Grahami numbri rünnaku juurde. Kas olete märganud, kuidas eskalatsioon noolt noolele kasvab?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = torn, Maalt Marsini.
33 = arv, mida ei saa ette kujutada ega kirjeldada.

Kõike, mis seni kirjutatud, kõiki neid arvutusi, kraadisid ja torne, mis multiversumite multiversumitesse ei mahu, läks vaja ainult ühe jaoks. NOOLTE ARV näitamiseks numbris g 2 . Pole vaja midagi kokku lugeda, saab lihtsalt naerda ja käega vehkida.
Ma ei varja, on ka g 3 , mis sisaldab g 2 noolt. Muide, kas on ikka selge, et g 3 ei ole g 2 "astmeni" g 2, vaid tornideta tornide arv, mis määrab kõrguse määravate tornideta tornide kõrguse ... ja nii edasi allapoole terve kett kuni universumi kuumasurmani? See on koht, kus sa hakkad nutma.

Miks nutta? Sest täiesti tõsi. Samuti on arv g 4 , mis sisaldab kolmikute vahel g 3 nooli. On ka g 5 , on g 6 ja g 7 ning g 17 ja g 43 ...
Ühesõnaga on neid 64 g. Iga eelmine on numbriliselt võrdne järgmise noolte arvuga. Viimane g 64 on Grahami number, millest kõik tundus nii süütult alguse saanud. See on hüperkuubi mõõtmete arv, millest kindlasti piisab segmentide punaseks ja siniseks värvimiseks. Võib-olla vähem, see on nii-öelda ülempiir. See on kirjutatud järgmiselt:
ja kirjuta see nii:

Kõik, nüüd saate ausalt lõõgastuda. Pole vaja enam midagi ette kujutada ja arvutada. Kui olete selle punktini lugenud, peaks kõik juba paika loksuma. Või ära tõuse. Või mitte omaette.

Keegi ei tea, mida tulevik meile toob. Inimtsivilisatsioonil on tuhat võimalust lõpetada: tuumasõjad, keskkonnakatastroofid, surmavad pandeemiad, milline asteroid võib sisse lennata, dinosaurused ei lase sul valetada. Kuid loodusel on üks vankumatu seadus, mis on meile teada kõige iidsemast antiikajast. Mis juhtub, mis juhtub, mida me endamisi mõtleme, aga aeg ei kao kuhugi, see läheb mööda. Tahame seda või mitte, meiega või ilma, möödub tuhat ja 10 tuhat aastat.

Mis siis, kui miljon aastat möödub? Aga ta läheb sinna, kuhu läheb. Grahami number ja üleüldse kõik see, mille üle inimene suudab mõelda, ette kujutada, olematusest välja tõmmata ja kui mitte käegakatsutavaks, aga vähemalt mingi tähendusega entiteediks teha, kehastub varem või hiljem. Lihtsalt sellepärast, et täna on meil olnud jõudu areneda võimeks seda realiseerida.