Näited paarisfunktsioonidest. Paaris- ja paaritu funktsioonid. Funktsiooniperiood. Funktsiooni äärmused. Funktsiooni suurim ja väikseim väärtus intervallil

Tagasi edasi

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Eesmärgid:

moodustada paaris- ja paaritu funktsioonide mõiste, õpetada nende omaduste määramise ja kasutamise oskust millal funktsiooni uurimine, joonistamine;
arendada õpilaste loomingulist tegevust, loogiline mõtlemine, võrdlemis-, üldistusvõime;
kasvatada töökust, matemaatilist kultuuri; arendada suhtlemisoskusi .

Varustus: multimeedia installatsioon, interaktiivne tahvel, jaotusmaterjalid.

Töö vormid: frontaal ja rühm otsingu- ja uurimistegevuse elementidega.

Teabeallikad:

1. Algebra klass 9 A.G.Mordkovich. Õpik.
2. Algebra 9. klass A.G. Mordkovich. Ülesanderaamat.
3. Algebra hinne 9. Ülesanded õpilaste õppimiseks ja arendamiseks. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

TUNNIDE AJAL

1. Organisatsioonimoment

Tunni eesmärkide ja eesmärkide seadmine.

2. Kodutööde kontrollimine

Nr 10.17 (Probleemiraamat 9. klass A.G. Mordkovich).

a) juures = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 jaoks X ~ 0,4
4. f(X) >0 juures X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktsioon suureneb koos X € [– 2; + ∞)
6. Funktsioon on altpoolt piiratud.
7. juures rent = -3, juures naibi pole olemas
8. Funktsioon on pidev.

(Kas kasutasite funktsioonide uurimise algoritmi?) Libisema.

2. Kontrollime slaidil tabelit, mida teilt küsiti.

Täida tabel
	Domeen	Funktsiooni nullid	Püsivuse intervallid		Graafiku ja Oy lõikepunktide koordinaadid
	Domeen	Funktsiooni nullid			Graafiku ja Oy lõikepunktide koordinaadid
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Teadmiste värskendus

- Funktsioonid on antud.
– Määrake iga funktsiooni määratluspiirkond.
– Võrrelge iga funktsiooni väärtust iga argumendi väärtuste paari jaoks: 1 ja – 1; 2 ja -2.
– Milliste definitsioonipiirkonna antud funktsioonide jaoks on võrdsused f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pane andmed tabelisse) Libisema

		f(1) ja f(– 1)	f(2) ja f(– 2)	diagrammid	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		ja pole määratletud.

4. uus materjal

- Seda tööd tehes, poisid, paljastasime veel ühe funktsiooni omaduse, mis on teile võõras, kuid mitte vähem oluline kui teised - see on funktsiooni ühtlus ja veidrus. Kirjutage üles tunni teema: "Paaris- ja paaritu funktsioonid", meie ülesandeks on õppida paaris- ja paarituid funktsioone määrama, selgitada välja selle omaduse tähtsus funktsioonide uurimisel ja graafikul.
Niisiis, otsime õpikust definitsioonid ja loeme (lk 110) . Libisema

Def. üks Funktsioon juures = f (X) nimetatakse hulgal X määratletud isegi, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X pooleli võrdus f (–x) = f (x). Too näiteid.

Def. 2 Funktsioon y = f(x), defineeritud hulgal X kutsutakse kummaline, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X võrdus f(–х)= –f(х) on täidetud. Too näiteid.

Kus kohtasime mõisteid "paaris" ja "paaritu"?
Mis te arvate, milline neist funktsioonidest on paaris? Miks? Millised on veidrad? Miks?
Vormi mis tahes funktsiooni jaoks juures= x n, kus n on täisarv, võib väita, et funktsioon on paaritu jaoks n on paaritu ja funktsioon on paaris jaoks n- isegi.
– Funktsioonide vaatamine juures= ja juures = 2X– 3 pole paaris ega paaritu, sest võrdsust ei täideta f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Küsimuse uurimist, kas funktsioon on paaris või paaritu, nimetatakse pariteedi funktsiooni uurimiseks. Libisema

Definitsioonid 1 ja 2 käsitlesid funktsiooni väärtusi punktides x ja - x, seega eeldatakse, et funktsioon on defineeritud ka väärtuse juures X, ja kell - X.

ODA 3. Kui arvuhulk koos iga selle elemendiga x sisaldab vastaselementi x, siis hulk X nimetatakse sümmeetriliseks hulgaks.

Näited:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) on sümmeetrilised hulgad ja , [–5;4] on mittesümmeetrilised.

– U isegi funktsioone määratluspiirkond on sümmeetriline hulk? Imelikud?
- kui D( f) on asümmeetriline hulk, siis mis on funktsioon?
– Seega, kui funktsioon juures = f(X) on paaris või paaritu, siis on selle määratluspiirkond D( f) on sümmeetriline komplekt. Kuid kas vastupidine väide on tõene, kui funktsiooni domeeniks on sümmeetriline hulk, siis on see paaris või paaritu?
- Seega on definitsioonipiirkonna sümmeetrilise hulga olemasolu vajalik, kuid mitte piisav tingimus.
– Kuidas siis uurida pariteedi funktsiooni? Proovime kirjutada algoritmi.

Libisema

Pariteedi funktsiooni uurimise algoritm

1. Määrake, kas funktsiooni domeen on sümmeetriline. Kui ei, siis pole funktsioon paaris ega paaritu. Kui jah, siis minge algoritmi 2. sammu juurde.

2. Kirjutage avaldis jaoks f(–X).

3. Võrdle f(–X).ja f(X):

kui f(–X).= f(X), siis on funktsioon paaris;
kui f(–X).= – f(X), siis on funktsioon paaritu;
kui f(–X) ≠ f(X) ja f(–X) ≠ –f(X), siis pole funktsioon paaris ega paaritu.

Näited:

Uurige pariteedi funktsiooni a) juures= x 5 +; b) juures= ; sisse) juures= .

Otsus.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), sümmeetriline hulk.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funktsioon h(x)= x 5 + paaritu.

b) y =,

juures = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asümmeetriline hulk, seega pole funktsioon paaris ega paaritu.

sisse) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. variant

1. Kas antud hulk on sümmeetriline: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Uurige pariteedi funktsiooni:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi jaoks X, mis vastab tingimusele X? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), kui juures = f(X) on paarisfunktsioon.

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi x jaoks, mis rahuldavad x? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), kui juures = f(X) on paaritu funktsioon.

Vastastikune kontroll libisema.

6. Kodutöö: №11.11, 11.21,11.22;

Paarsusomaduse geomeetrilise tähenduse tõestus.

*** (Kasutamise valiku määramine).

1. paaritu funktsioon y = f(x) on defineeritud kogu reaalreal. Muutuja x mis tahes mittenegatiivse väärtuse korral kattub selle funktsiooni väärtus funktsiooni g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Leia funktsiooni h( X) = juures X = 3.

7. Kokkuvõtete tegemine

Funktsiooni ühtsus ja veidrus on selle üks peamisi omadusi ning ühtlus mängib muljetavaldavat osa koolikursus matemaatika. See määrab suuresti funktsiooni käitumise olemuse ja hõlbustab oluliselt vastava graafiku koostamist.

Määratleme funktsiooni paarsuse. Üldiselt vaadeldakse uuritavat funktsiooni isegi siis, kui selle domeenis asuva sõltumatu muutuja (x) vastandväärtuste korral on y (funktsiooni) vastavad väärtused võrdsed.

Anname rangema määratluse. Vaatleme mõnda funktsiooni f (x), mis on määratletud domeenis D. See on isegi siis, kui mis tahes punkti x puhul, mis asub definitsioonipiirkonnas:

-x (vastaspunkt) asub samuti antud ulatuses,

f(-x) = f(x).

Ülaltoodud definitsioonist tuleneb sellise funktsiooni määratluspiirkonna jaoks vajalik tingimus, nimelt sümmeetria punkti O suhtes, mis on koordinaatide alguspunkt, kuna kui mingi punkt b sisaldub definitsioonipiirkonnas. paarisfunktsioon, siis selles valdkonnas asub ka vastav punkt - b. Eelnevast järeldub seega järeldus: paarisfunktsioonil on vorm, mis on ordinaattelje (Oy) suhtes sümmeetriline.

Kuidas määrata funktsiooni paarsust praktikas?

Olgu see antud valemiga h(x)=11^x+11^(-x). Otseselt definitsioonist tulenevat algoritmi järgides uurime kõigepealt selle definitsioonivaldkonda. Ilmselt on see defineeritud kõigi argumendi väärtuste jaoks, see tähendab, et esimene tingimus on täidetud.

Järgmine samm on argumendi (x) asendamine selle vastupidise väärtusega (-x).
Saame:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Kuna liitmine rahuldab kommutatiivse (nihke) seaduse, siis on ilmne, et h(-x) = h(x) ja antud funktsionaalne sõltuvus on paaris.

Kontrollime funktsiooni h(x)=11^x-11^(-x) ühtlust. Sama algoritmi järgides saame h(-x) = 11^(-x) -11^x. Kui miinust välja võtta, siis selle tulemusena on meil
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Seega on h(x) paaritu.

Muide, tuleb meeles pidada, et on funktsioone, mida ei saa nende kriteeriumide järgi klassifitseerida, neid ei nimetata paaristeks ega paarituks.

Isegi funktsioonidel on mitmeid huvitavaid omadusi:

sarnaste funktsioonide lisamise tulemusena saadakse ühtlane;
selliste funktsioonide lahutamise tulemusena saadakse ühtlane;
ühtlane, ka ühtlane;
kahe sellise funktsiooni korrutamise tulemusena saadakse ühtlane;
paaritute ja paarisfunktsioonide korrutamise tulemusena saadakse paaritu;
paaritu ja paarisfunktsioonide jagamise tulemusena saadakse paaritu;
sellise funktsiooni tuletis on paaritu;
Kui paneme paaritu funktsiooni ruutu, saame paarisfunktsiooni.

Funktsiooni paarsust saab kasutada võrrandite lahendamisel.

Sellise võrrandi nagu g(x) = 0 lahendamiseks, kus võrrandi vasak pool on paarisfunktsioon, piisab muutuja mittenegatiivsete väärtuste lahenduste leidmisest. Saadud võrrandi juured tuleb kombineerida vastandarvudega. Üks neist kuulub kontrollimisele.

Sama kasutatakse edukalt parameetriga mittestandardsete probleemide lahendamiseks.

Näiteks, kas parameetril a on mõni väärtus, mis muudaks võrrandil 2x^6-x^4-ax^2=1 kolme juure?

Kui arvestada, et muutuja siseneb võrrandisse paarisastmetes, siis on selge, et x asendamine -x-ga antud võrrandit ei muuda. Sellest järeldub, et kui teatud arv on selle juur, siis on ka vastupidine arv. Järeldus on ilmne: võrrandi juured, välja arvatud null, sisalduvad selle lahendite komplektis "paarides".

On selge, et arv 0 ise ei ole, see tähendab, et sellise võrrandi juurte arv saab olla ainult paaris ja loomulikult ei saa see ühegi parameetri väärtuse korral olla kolme juurega.

Kuid võrrandi 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 juurte arv võib olla paaritu ja seda parameetri mis tahes väärtuse korral. Tõepoolest, juurte komplekti on lihtne kontrollida antud võrrand sisaldab lahendusi "paarides". Kontrollime, kas 0 on juur. Asendades selle võrrandisse, saame 2=2. Seega on 0 lisaks "paaritud" ka juur, mis tõestab nende paaritut arvu.

Tagasi edasi

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Eesmärgid:

kujundada paaris- ja paaritu funktsioonide mõiste, õpetada nende omaduste määramise ja kasutamise oskust funktsioonide uurimisel, graafikute koostamisel;
arendada õpilaste loovat aktiivsust, loogilist mõtlemist, võrdlemis-, üldistusvõimet;
kasvatada töökust, matemaatilist kultuuri; arendada suhtlemisoskusi .

Varustus: multimeedia installatsioon, interaktiivne tahvel, jaotusmaterjalid.

Töö vormid: frontaal ja rühm otsingu- ja uurimistegevuse elementidega.

TUNNIDE AJAL

1. Organisatsioonimoment

Tunni eesmärkide ja eesmärkide seadmine.

2. Kodutööde kontrollimine

Nr 10.17 (Probleemiraamat 9. klass A.G. Mordkovich).

a) juures = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

(Kas kasutasite funktsioonide uurimise algoritmi?) Libisema.

2. Kontrollime slaidil tabelit, mida teilt küsiti.

Täida tabel
	Domeen	Funktsiooni nullid	Püsivuse intervallid		Graafiku ja Oy lõikepunktide koordinaadid
	Domeen	Funktsiooni nullid			Graafiku ja Oy lõikepunktide koordinaadid
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Teadmiste värskendus

		f(1) ja f(– 1)	f(2) ja f(– 2)	diagrammid	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		ja pole määratletud.

4. Uus materjal

Def. üks Funktsioon juures = f (X) nimetatakse hulgal X määratletud isegi, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X pooleli võrdus f (–x) = f (x). Too näiteid.

Def. 2 Funktsioon y = f(x), defineeritud hulgal X kutsutakse kummaline, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X võrdus f(–х)= –f(х) on täidetud. Too näiteid.

Küsimuse uurimist, kas funktsioon on paaris või paaritu, nimetatakse pariteedi funktsiooni uurimiseks. Libisema

Definitsioonid 1 ja 2 käsitlesid funktsiooni väärtusi punktides x ja - x, seega eeldatakse, et funktsioon on defineeritud ka väärtuse juures X, ja kell - X.

ODA 3. Kui arvuhulk koos iga selle elemendiga x sisaldab vastaselementi x, siis hulk X nimetatakse sümmeetriliseks hulgaks.

Näited:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) on sümmeetrilised hulgad ja , [–5;4] on mittesümmeetrilised.

- Kas isegi funktsioonidel on määratluspiirkond – sümmeetriline hulk? Imelikud?
- kui D( f) on asümmeetriline hulk, siis mis on funktsioon?
– Seega, kui funktsioon juures = f(X) on paaris või paaritu, siis on selle määratluspiirkond D( f) on sümmeetriline komplekt. Kuid kas vastupidine väide on tõene, kui funktsiooni domeeniks on sümmeetriline hulk, siis on see paaris või paaritu?
- Seega on definitsioonipiirkonna sümmeetrilise hulga olemasolu vajalik, kuid mitte piisav tingimus.
– Kuidas siis uurida pariteedi funktsiooni? Proovime kirjutada algoritmi.

Libisema

Pariteedi funktsiooni uurimise algoritm

1. Määrake, kas funktsiooni domeen on sümmeetriline. Kui ei, siis pole funktsioon paaris ega paaritu. Kui jah, siis minge algoritmi 2. sammu juurde.

2. Kirjutage avaldis jaoks f(–X).

3. Võrdle f(–X).ja f(X):

kui f(–X).= f(X), siis on funktsioon paaris;
kui f(–X).= – f(X), siis on funktsioon paaritu;
kui f(–X) ≠ f(X) ja f(–X) ≠ –f(X), siis pole funktsioon paaris ega paaritu.

Näited:

Uurige pariteedi funktsiooni a) juures= x 5 +; b) juures= ; sisse) juures= .

Otsus.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), sümmeetriline hulk.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funktsioon h(x)= x 5 + paaritu.

b) y =,

juures = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asümmeetriline hulk, seega pole funktsioon paaris ega paaritu.

sisse) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. variant

1. Kas antud hulk on sümmeetriline: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Uurige pariteedi funktsiooni:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi jaoks X, mis vastab tingimusele X? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), kui juures = f(X) on paarisfunktsioon.

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi x jaoks, mis rahuldavad x? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), kui juures = f(X) on paaritu funktsioon.

Vastastikune kontroll libisema.

6. Kodutöö: №11.11, 11.21,11.22;

Paarsusomaduse geomeetrilise tähenduse tõestus.

*** (Kasutamise valiku määramine).

1. Paaritu funktsioon y \u003d f (x) on defineeritud kogu reaalreal. Muutuja x mis tahes mittenegatiivse väärtuse korral kattub selle funktsiooni väärtus funktsiooni g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Leia funktsiooni h( X) = juures X = 3.

7. Kokkuvõtete tegemine

Funktsiooni nullid
Funktsiooni null on väärtus X, mille juures funktsioon muutub 0-ks, st f(x)=0.

Nullid on funktsiooni graafiku ja telje lõikepunktid Oh.

Funktsiooni paarsus
Funktsiooni kutsutakse isegi siis, kui mis tahes jaoks X definitsioonipiirkonnast võrdus f(-x) = f(x)

Paarisfunktsioon on telje suhtes sümmeetriline OU

Veider funktsioon
Funktsiooni nimetatakse paarituks, kui see on ükskõik milline X definitsioonipiirkonnast on võrdus f(-x) = -f(x) täidetud.

Paaritu funktsioon on lähtekoha suhtes sümmeetriline.
Funktsiooni, mis pole paaris ega paaritu, nimetatakse üldfunktsiooniks.

Funktsiooni juurdekasv
Funktsiooni f(x) nimetatakse kasvavaks, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele, s.t. x 2 > x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Vähenev funktsioon
Funktsiooni f(x) nimetatakse kahanevaks, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele, s.t. x 2 > x 1 → f(x 2)
Kutsutakse välja intervallid, mille jooksul funktsioon kas ainult väheneb või ainult suureneb monotoonsuse intervallid. Funktsioonil f(x) on 3 monotoonsuse intervalli:
(-∞ x 1), (x 1, x 2), (x 3; +∞)

Leia monotoonsuse intervallid, kasutades teenust Kasvavate ja kahanevate funktsioonide intervallid

Kohalik maksimum
Punkt x 0 nimetatakse kohalikuks maksimumpunktiks, kui see on olemas X punkti naabrusest x 0 kehtib järgmine ebavõrdsus: f(x 0) > f(x)

Kohalik miinimum
Punkt x 0 nimetatakse kohalikuks miinimumpunktiks, kui see on olemas X punkti naabrusest x 0 kehtib järgmine ebavõrdsus: f(x 0)< f(x).

Kohalikke maksimumpunkte ja kohalikke miinimumpunkte nimetatakse kohalikeks ekstreemumipunktideks.

x 1 , x 2 - kohalikud ekstreemumipunktid.

Funktsiooni perioodilisus
Funktsiooni f(x) nimetatakse perioodiliseks, perioodiga T, kui üldse X f(x+T) = f(x) .

Püsivuse intervallid
Intervalle, mille puhul funktsioon on kas ainult positiivne või ainult negatiivne, nimetatakse konstantse märgi intervallideks.

f(x)>0 x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Funktsioonide järjepidevus
Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis x 0, kui funktsiooni piirväärtus x → x 0 on võrdne funktsiooni väärtusega selles punktis, s.t. .

murdepunktid
Punkte, kus järjepidevuse tingimust rikutakse, nimetatakse funktsiooni katkestuspunktideks.

x0- murdepunkt.

Funktsioonide joonistamise üldskeem

1. Leia funktsiooni D(y) domeen.
2. Leia funktsioonide graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega.
3. Uurige paaris või paaritu funktsiooni.
4. Uurige funktsiooni perioodilisuse jaoks.
5. Leia funktsiooni monotoonsuse intervallid ja äärmuspunktid.
6. Leia funktsiooni kumerus- ja käändepunktide intervallid.
7. Leia funktsiooni asümptoodid.
8. Koostage uuringu tulemuste põhjal graafik.

Näide: Uurige funktsiooni ja koostage selle graafik: y = x 3 - 3x
8) Koostame uuringu tulemuste põhjal funktsiooni graafiku: