Polünoomide sõlmede ja sõlmede leidmine. Polünoomide suurim ühisjagaja. kaasalgpolünoomid. Labori valikud

Olgu antud nullist mittevastavad polünoomid f(x) ja φ(x). Kui f(x) φ(x)-ga jagamise jääk on null, siis nimetatakse polünoomi φ(x) polünoomi f(x) jagajaks. Kehtib järgmine väide: polünoom φ(x) on polünoomi f(x) jagaja siis ja ainult siis, kui on olemas polünoom ψ(x), mis rahuldab võrduse f(x)=φ(x)ψ(x) . Polünoomi φ(x) nimetatakse suvaliste polünoomide f(x) ja g(x) ühisjagajaks, kui see on kõigi nende polünoomide jagaja. Jaguvuse omaduste järgi hõlmab polünoomide f(x) ja g(x) ühisjagajate arv kõiki nullkraadipolünoome. Kui neil polünoomidel pole muid ühiseid jagajaid, siis nimetatakse neid koaprimeks ja kirjutatakse (f(x), g(x))=1. Üldjuhul võivad polünoomidel f(x) ja g(x) olla ühised jagajad sõltuvalt x-ist.

Täisarvude puhul võetakse polünoomide puhul kasutusele nende suurima ühise jagaja mõiste. Mittenullpolünoomide f(x) ja g(x) suurim ühisjagaja on nende ühisjagaja d(x), mis jagub nende polünoomide mis tahes ühisjagajaga. Polünoomide f(x) ja g(x) suurimat ühisjagajat tähistatakse gcd, d(x), (f(x), g(x)). Pange tähele, et see GCD definitsioon kehtib ka täisarvude puhul, kuigi sagedamini kasutatakse teist, kõigile õpilastele teadaolevat määratlust.

See määratlus tõstatab mitmeid küsimusi:

1. Kas suvaliste nullist erinevate polünoomide f(x) ja g(x) jaoks on olemas GCD?

2. Kuidas leida polünoomide f(x) ja g(x) GCD?

3. Mitu suurimat ühisjagajat on polünoomidel f(x) ja g(x)? Ja kuidas neid leida?

Täisarvude gcd leidmiseks on võimalus, mida nimetatakse järjestikuse jagamise algoritmiks või Eukleidese algoritmiks. See on rakendatav ka polünoomide puhul ja koosneb järgmisest.

Eukleidese algoritm. Olgu polünoomid f(x) ja g(x) antud, aste f(x) ≥ aste g(x). Jagame f(x) g(x)-ga, saame jäägiks r 1 (x). Jagame g(x) r 1 (x)-ga, saame jäägi r 2 (x). Jagame r 1 (x) r 2 (x). Seega jätkame jagamist, kuni jagamine on lõppenud. See jääk r k (x), mis jagab täielikult eelmise jäägi r k -1 (x) ja on polünoomide f (x) ja g (x) suurim ühisjagaja.

Teeme järgmise märkuse, mis on kasulik näidete lahendamisel. Rakendades gcd leidmiseks polünoomidele Eukleidilise algoritmi, saame murdosakoefitsientide vältimiseks korrutada dividendi või vähendada jagajat mis tahes arvuga, mis ei võrdu nulliga, ja mitte ainult alustades mis tahes järjestikustest jagamistest, vaid ka selle jagunemise protsess ise. See toob kaasa jagatise moonutamise, kuid meid huvitavad jäägid omandavad vaid teatud nullkraadise teguri, mis, nagu me teame, on jagajate otsimisel lubatud.

Näide 1 Leidke polünoomide GCD f(x)=x 3 –x 2 –5x–3,
g(x)=x 2 +x–12. Jagage f(x) g(x)-ga:

R 1 (x) esimene jääk pärast 9 võrra vähendamist on x-3. Jagame g(x) arvuga r 1 (x):

.

Jaotus oli täielik. Seetõttu on r 1 (x) \u003d x–3 polünoomide x 3 –x 2 –5x–3 ja x 2 +x–12 GCD.

Näide 2 Leidke polünoomide gcd f(x)=3x 3 +2x 2 –4x–1,
g(x)=5x3 –3x2 +2x-4. Korrutage f(x) 5-ga ja jagage 5f(x) g(x)-ga:

Esimene jääk r 1 (x) on 19x 2 -26x + 7. Jagage g(x) esimese jäägiga pärast g(x) korrutamist 19-ga:

Korrutage 19-ga ja jätkake jagamist:

Vähendame 1955. aasta võrra ja saame teise jäägi r 2 (x) = x-1. Jagame r 1 (x) r 2 (x):

.

Jagamine on lõppenud, seega r 2 (x)=x-1 on polünoomide f(x) ja g(x) GCD.

Näide 3 Leidke polünoomide gcd f(x)=3x 3 –x 2 +2x–4,
g(x)=x 3 -2x 2 +1.

. .

.

Vastus:(f(x), g(x))=х–1.

Selline gcd leidmise viis näitab, et kui polünoomidel f(x) ja g(x) on nii ratsionaal- kui ka reaalkoefitsiendid, siis on ka nende suurima ühisjagaja koefitsiendid ratsionaalsed või vastavalt reaalsed.

Polünoomid f(x), g(x) ja d(x) on seotud järgmise seosega, mida sageli kasutatakse erinevates küsimustes ja mida kirjeldab teoreem.

Kui d(x) on polünoomide f(x) ja g(x) suurim ühisjagaja, siis võib leida polünoomid u(x) ja v(x) nii, et f(x)u(x)+g( x)v (x)=d(x). Sel juhul võime eeldada, et kui polünoomide f(x) ja g(x) astmed on suuremad kui null, siis u(x) aste on väiksem kui g(x) aste ja aste v(x) on väiksem kui f(x) aste.

Näitame näite abil, kuidas leida polünoomid u(x) ja v(x) antud polünoomide f(x) ja g(x) jaoks.

Näide 4 Leia polünoomid u(x) ja v(x) nii, et f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), kui

A) f(x)=x4-3x3+1, g(x)=x3-3x2+1;

B) f (x) \u003d x 4 -x 3 + 3x 2 -5x + 2, g (x) \u003d x 3 + x-2.

A. Polünoomide f(x) ja g(x) GCD leiame Eukleidese algoritmi kasutades, ainult nüüd jagamise protsessis pole võimalik sobivate arvudega taandada ja korrutada, nagu tegime näidetes 1, 2, 3.

(1) (2)

Seega on polünoomide f(x) ja g(x) ühisjagaja –1.

Vastavalt tehtud jaotusele kirjutame võrdused:

f(x)=g(x)х+(–х+1) (1 *)

g (x) \u003d (-x + 1) (-x 2 + 2x + 2) -1. (2*)

Võrdusest (2 *) väljendame d(x)= –1=g(x)–(–x+1)(–x 2 +2x+2). Võrdusest (1 *) leiame –х+1=f(x)–g(x)х ja asendame selle väärtuse võrdusega (2*): d(x)= –1=g(x)–(f( x )–g(x)х)(–x 2 +2x+2).

Nüüd rühmitame terminid paremal pool f(x) ja g(x) suhtes:

d(x)= –1=g(x)–f(x)(–x2 +2x+2)+g(x)x(–x2 +2x+2)=f(x)(x2–) 2x-2)+g(x)(1-x 3 +2x 2 +2x)=f(x)(x 2-2x-2)+g(x)(-x 3 +2x 2 +2x+1) .

Seetõttu u(x)=x 2 –2x–2, v(x)= –x 3 +2x 2 +2x+1.

Polünoomide f(x) ja g(x) suurim ühisjagaja on 2x-2 polünoom. Väljendame seda võrratuste (1) ja (2) abil:

Vastus:

LABORITÖÖ VÕIMALUSED

valik 1

1. Leidke polünoomide GCD:

a) х 4 –2х 3 –х 2 –4х–6, 2х 4 –5х 3 +8х 2 –10х+8.

b) (x–1) 3 (x+2) 2 (2x+3), (x–1) 4 (x+2)x.

f (x) \u003d x 6 -4x 5 + 11x 4 -27x 3 + 37x 2 -35x + 35,

g(x)=x 5 -3x4 +7x3 -20x2 +10x-25.

2. variant

1. Leidke polünoomide GCD:

a) x 4 -3x 3 -3x 2 + 11x-6, x 4 -5x 3 + 6x 2 + x-3.

b) (2x+3) 3 (x-2) 2 (x+1) ja selle tuletis.

2. Leia polünoomid u(x) ja v(x) nii, et f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g (x)) kui

f(x)=3x7 +6x6 -3x5 +4x4 +14x3 -6x2 -4x+4, g(x)=3x6 -3x4 +7x3 -6x+2.

3. võimalus

1. Leidke polünoomide GCD:

a) 2x 4 + x 3 + 4x 2 -4x-3, 4x 4 -6x 3 -4x 2 + 2x + 1.

b) (x + 1) 2 (2x + 4) 3 (x + 5) 5, (x-2) 2 (x + 2) 4 (x-1).

2. Leia polünoomid u(x) ja v(x) nii, et f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g (x)) kui

f (x) \u003d 3x 3 -2x 2 + 2x + 2, g (x) \u003d x 2 -x + 1.

4. võimalus

1. Leidke polünoomide GCD:

a) 3x 4 -8 3 + 7x 2 -5x + 2, 3x 4 -2x 3 -3x 2 + 17x-10.

b) (x + 7) 2 (x-3) 3 (2x + 1) ja selle tuletis.

2. Leia polünoomid u(x) ja v(x) nii, et f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g (x)) kui

f (x) \u003d x 4 -x 3 -4x 2 + 4x + 1, g (x) \u003d x 2 -x-1.

5. võimalus

1. Leidke polünoomide GCD:

a) 2x 4 -3x 3 -x 2 + 3x-1, x 4 + x 3 -x-1.

b) x 4 (x-1) 2 (x + 1) 3, x 3 (x-1) 3 (x + 3).

2. Leia polünoomid u(x) ja v(x) nii, et f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g (x)) kui

f (x) \u003d 3x 5 + 5x 4 -16x 3 -6x 2 -5x-6, g (x) \u003d 3x 4 -4x 3 -x 2 -x-2.

6. võimalus

1. Leidke polünoomide GCD:

a) x 4 -2x 3 + 4x 2 -2x + 3, x 4 + 5x 3 + 8x 2 + 5x + 7.

b) x 3 (x + 1) 2 (x-1) ja selle tuletis.

2. Leia polünoomid u(x) ja v(x) nii, et f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g (x)) kui

f (x) \u003d x 5 -5x 4 -2x 3 + 12x 2 -2x + 12, g (x) \u003d x 3 -5x 2 -3x + 17.

7. valik

1. Leidke polünoomide GCD:

a) x 4 + 3x 3 -3x 2 + 3x-4, x 4 + 5x 3 + 5x 2 + 5x + 4.

b) (2x + 1) (x-8) (x + 1), (x 3 +1) (x-1) 2 x 3.

2. Leia polünoomid u(x) ja v(x) nii, et f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g (x)) kui

f(x)=4x4-2x3-16x2 +5x+9, g(x)=2x3-x2-5x+4.

8. valik

1. Leidke polünoomide GCD:

a) x 4 -3x 3 -2x 2 + 4x + 6, 2x 4 -6x 3 + 2x 2 -7x + 3.

b) (x 3 -1) (x 2 -1) (x 2 +1), (x 3 +1) (x-1) (x 2 +2).

2. Leia polünoomid u(x) ja v(x) nii, et f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g (x)) kui

f (x) \u003d 2x 4 + 3x 3 -3x 2 -5x + 2, g (x) \u003d 2x 3 + x 2 -x-1.

9. valik

1. Leidke polünoomide GCD:

a) 2x 4 + x 3 -5x 2 + 3x + 2, 3x 4 + 8x 3 + 3x 2 -3x-2.

b) (x 3 +1) (x + 1) 2 (2x + 3) ja selle tuletis.

2. Leia polünoomid u(x) ja v(x) nii, et f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g (x)) kui

f (x) \u003d 3x 4 -5x 3 + 4x 2 -2x + 1, g (x) \u003d 3x 3 -2x 2 + x-1.

10. valik

1. Leidke polünoomide GCD:

a) x 4 -5x 3 + 7x 2 -3x + 2, 2x 4 -x 3 -7x 2 + 3x-2.

b) (x + 1) (x 2 -1) (x 3 +1), (x 3 -1) (x 2 + x) x.

2. Leia polünoomid u(x) ja v(x) nii, et f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g (x)) kui

f (x) \u003d x 5 + 5x 4 + 9x 3 + 7x 2 + 5x + 3, g (x) \u003d x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x + 1.

2015-2020 lektsii.org -

Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, konstruktsioonide ehitamisel ja isegi spordis. Inimene on võrrandeid kasutanud juba iidsetest aegadest ja sellest ajast alates on nende kasutamine ainult suurenenud. Polünoom on arvude, muutujate ja nende astmete korrutiste algebraline summa. Polünoomteisendus hõlmab tavaliselt kahte tüüpi probleeme. Väljend peab olema kas lihtsustatud või faktoritud, s.t. kujutada seda kahe või enama polünoomi või monomi ja polünoomi korrutisena.

Polünoomi lihtsustamiseks tooge sarnased terminid. Näide. Lihtsusta avaldist \ Leia sama täheosaga monomialid. Pange need kokku. Kirjutage üles saadud avaldis: \ Olete polünoomi lihtsustanud.

Ülesannetes, mis nõuavad polünoomi faktoriseerimist, määrake antud avaldise ühistegur. Selleks eemaldage esmalt sulud need muutujad, mis on osa avaldise kõigist liikmetest. Pealegi peaks neil muutujatel olema väikseim näitaja. Seejärel arvutage polünoomi iga koefitsiendi suurim ühisjagaja. Saadud arvu moodul on ühisteguri koefitsient.

Näide. Teguriseeri polünoomi \ Sulgude \ sest muutuja m sisaldub selle avaldise igas liikmes ja selle väikseim eksponent on kaks. Arvutage välja ühine kordaja. See võrdub viiega. Seega on selle avaldise ühine tegur \ Seega: \

Kust saab võrgus polünoomvõrrandit lahendada?

Võrrandi saate lahendada meie veebisaidil https: //. Tasuta veebilahendaja võimaldab teil mõne sekundiga lahendada mis tahes keerukusega võrguvõrrandi. Kõik, mida pead tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendajasse. Samuti saate vaadata videojuhendit ja õppida võrrandit lahendama meie veebisaidil. Ja kui teil on küsimusi, võite neid küsida meie Vkontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liituge meie grupiga, aitame teid alati hea meelega.

1. Eukleidese algoritm

Kui kumbki kahest polünoomist jagub ilma jäägita kolmandaga, siis seda kolmandat polünoomi nimetatakse kahe esimese ühisjagajaks.

Kahe polünoomi suurim ühisjagaja (GCD) on nende suurima astme ühisjagaja.

Pange tähele, et iga arv, mis ei võrdu nulliga, on mis tahes kahe polünoomi ühine jagaja. Seetõttu nimetatakse iga nullist erinevat arvu nende polünoomide triviaalseks ühisjagajaks.

Eukleidese algoritm pakub toimingute jada, mis kas viib kahe antud polünoomi GCD leidmiseni või näitab, et sellist jagajat esimese või suurema astme polünoomi kujul ei eksisteeri.

Eukleidese algoritm on realiseeritud jaotuste jadana. Esimeses jaotuses loetakse suurema astme polünoomi dividendiks ja väiksema astme polünoomi jagajaks. Kui polünoomidel, mille jaoks GCD leitakse, on sama aste, siis valitakse dividend ja jagaja meelevaldselt.

Kui järgmise jagamise korral on jäägi polünoomi aste suurem kui 1 või sellega võrdne, siis jagaja muutub jagatavaks ja jääk jagajaks.

Kui polünoomide järgmisel jagamisel saadakse jääk, mis võrdub nulliga, siis leitakse nende polünoomide gcd. See on viimase jaotuse jagaja.

Kui polünoomide järgmisel jaotusel osutub jääk nullist erinevaks arvuks, siis nende polünoomide jaoks pole GCD-d peale triviaalsete.

Näide nr 1

Vähenda fraktsiooni.

2. GCD arvutuste lihtsustamise võimalused Eukleidese algoritmis

Dividendi korrutamisel nullist erineva arvuga korrutatakse jagatis ja jääk sama arvuga.

Tõestus

Olgu P dividend, F jagaja, Q jagatis, R jääk. Siis

Korrutades selle identiteedi arvuga 0, saame

kus polünoomi P võib pidada dividendiks ning polünoomid Q ja R jagatiseks ning jääk, mis saadakse polünoomi P jagamisel polünoomiga F. Seega on dividendi arvuga 0 korrutades jagatis ja jääk on samuti korrutatud, ht d

Tagajärg

Jagaja korrutamist 0-ga võib pidada dividendi korrutamiseks arvuga.

Seetõttu on jagaja arvuga korrutamisel 0 jagatis ja jääk korrutatakse arvuga.

Näide nr 2

Leia polünoomide jagamisel jagatis Q ja jääk R

jagamise polünoomialgoritm eukleides

Dividendi minekuks ja täisarvu koefitsientide jagamiseks korrutage dividend 6-ga, mis korrutab soovitud jagatise Q ja jäägi R 6-ga. Pärast seda korrutage jagaja 5-ga, mis korrutab jagatise 6Q ja jäägi 6R-ga. kõrval. Selle tulemusel erinevad täisarvu koefitsientidega polünoomide jagamisel saadud jagatis ja jääk teguri võrra jagatise Q soovitud väärtustest ja nende polünoomide jagamisel saadud jääk R.

Järelikult ;

Pange tähele, et kui nende polünoomide suurim ühisjagaja on leitud, siis korrutades selle mis tahes arvuga, mis ei ole võrdne nulliga, saame ka suurim jagaja need polünoomid. See asjaolu võimaldab lihtsustada arvutusi Eukleidese algoritmis. Nimelt saab enne järgmist jagamist dividendi ehk jagajat korrutada spetsiaalsel viisil valitud arvudega nii, et jagatis oleva esimese liikme koefitsient on täisarv. Nagu ülal näidatud, toob dividendi ja jagaja korrutamine kaasa vastava muutuse osajäägis, kuid selliselt, et selle tulemusena korrutatakse nende polünoomide GCD mõne arvuga, mis on võrdne nulliga, mis on vastuvõetav.

PÕHIANDMED TEOORIAST

Definitsioon 4.1.

P[x] polünoomi j(x) nimetatakse ühine jagaja polünoomid g(x) ja f(x) P[x]-st, kui f(x) ja g(x) jaguvad j(x)-ga ilma jäägita.

Näide 4.1. Antud on kaks polünoomi: (x) g(x)= x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 2х + 2 О R[x]. Nende polünoomide ühised jagajad: j 1 (x) = x 3 − 4x 2 + 2 = О R[x], j 2 (x) =(x 2 - 2x - 2) О R[x], j 3 (x) =(x − 1) О R[x], j 4 (x) = 1 О R[x]. (Kontrollima!)

Definitsioon 4.2.

Suurim ühine jagajanullist erinevate polünoomide f(x) ja g(x) P[x]-st on selline polünoom d(x) P[x]-st, mis on nende ühine jagaja ja ise jagub nende polünoomide mis tahes muu ühisjagajaga.

Näide 4.2. Näite 4.1 polünoomide jaoks. f(x)= x 4 - 4x 3 + 3x 2 + 2x - 6 О R[x], g(x)= x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 2х + 2 н R[x] suurim ühisjagaja on polünoom d(x) = j 1 (x) = x 3 − 4x 2 + 2 н R[x], kuna see polünoom d(x) jagub kõigi nende teiste ühiste jagajatega j 2 (x), j 3 (x),j 4 (x).

Suurimat ühisjagajat (GCD) tähistatakse sümboliga:

d(x) = (f(x), g(x)).

Suurim ühine jagaja eksisteerib mis tahes kahe polünoomi jaoks f(x),g(x) н P[x] (g(x)¹ 0). Selle olemasolu määrab Eukleidese algoritm, mis on järgmine.

Jaga f(x) peal g(x). Tähistame jagamisel saadud jääki ja jagatist r 1 (x) Ja q 1 (x). Siis kui r 1 (x)¹ 0, jaga g(x) peal r 1 (x), saame ülejäänu r 2 (x) ja privaatne q 2 (x) jne. Saadud jääkide astmed r 1 (x), r 2 (x),… väheneb. Kuid mittenegatiivsete täisarvude jada on altpoolt piiratud arvuga 0. Seetõttu on jagamisprotsess lõplik ja me jõuame jäägini rk(x), millega eelmine jääk on täielikult jagatud rk – 1 (x). Kogu jagamise protsessi saab kirjutada järgmiselt:

f(x)= g(x) × q 1 (x) + r 1 (x), deg r 1 (x)< deg g(x);

g(x)= r 1 (x)× q 2 (x) + r 2 (x), deg r 2 (x) < deg r1 (x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

r k – 2 (x)= r k – 1 (x)× q k (x) + rk(x), deg rk(x)< deg rk – 1 (x);

r k – 1 (x) = rk(x) × q k +1 (x).(*)

Tõestame seda rk(x) on polünoomide suurim ühisjagaja f(x) Ja g(x).

1) Näitame seda rk(x) on an ühine jagaja polünoomilised andmed.

Vaatame eelviimast võrrandit:

rk –-2 (x)= r k –-1 (x)× q k (x) + rk(x), või rk –-2 (x)= rk(x) × q k +1 (x) × q k (x) + rk(x).

Selle parem külg on jagatud rk(x). Seetõttu on ka vasak pool jagatav rk(x), need. rk –-2 (x) jagatuna rk(x).

rk --- 3 (x)= rk --- 2 (x)× q k – 1 (x) + r k -- 1 (x).

Siin r k -- 1 (x) Ja rk --- 2 (x) jagunevad rk(x), sellest järeldub, et võrdsuse paremal poolel olev summa on samuti jagatav rk(x). Nii et võrdsuse vasak pool on samuti jagatav rk(x), need. rk --- 3 (x) jagatuna rk(x). Sel viisil järjest üles liikudes saame, et polünoomid f(x) Ja g(x) jagunevad rk(x). Seega oleme seda näidanud rk(x) on an ühine jagaja polünoomilised andmed (Definitsioon 4.1.).

2) Näitame seda rk(x) jagatuna keegi teineühine jagaja j(x) polünoomid f(x) Ja g(x), ehk on suurim ühine jagaja need polünoomid .

Vaatame esimest võrrandit: f(x)=g(x) × q 1 (x) + r 1 (x).

Las olla d(x) on mingi ühine jagaja f(x) Ja g(x). Seejärel jaguvuse omaduste järgi erinevus f(x)–g(x) × q 1 (x) jagatud ka d(x), ehk võrrandi vasak pool f(x)–g(x) × q 1 (x)= r 1 (x) jagatuna d(x). Siis ja r 1 (x) jaguneb d(x). Sarnasel viisil arutluskäiku jätkates, laskudes järjest alla võrdsused, saame selle rk(x) jagatuna d(x). Siis vastavalt määratlus 4.2.rk(x) saab suurim ühine jagaja polünoomid f(x) Ja g(x): d(x) = (f(x), g(x)) = rk(x).

Polünoomide suurim ühine jagaja f(x) Ja g(x) on ainulaadne kuni tegurini – nullkraadi polünoomini või, võib öelda, kuni assotsiatsioonini(definitsioon 2.2.).

Seega oleme tõestanud teoreemi:

Teoreem 4.1. /Eukleidese algoritm/.

Kui polünoomide f(x),g(x) н P[x] (g(x)¹ 0) õige võrdsuse ja ebavõrdsuse süsteem(*), siis viimane nullist erinev jääk on nende polünoomide suurim ühisjagaja.

Näide 4.3. Leia polünoomide suurim ühisjagaja

f(x)= x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 ja g(x)\u003d x 3 -2x 2 + x -2.

Lahendus.

1 samm. 2 sammu.

x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1	x 3 –2x 2 + x –2		x 3 –2x 2 + x –2	7x2+7
–(x 4-2x 3 + x 2-2x)	x+3 = q 1 (x)	–(x 3 + x)	1/7x.–2/7 = q 2 (x)
3x 3 + x 2 + 3x + 1 – ( 3x 3 -6x 2 + 3x -6)		–2x 2 –2 –( -2x2-2)
7x 2 + 7 = r 1 (x)		0 = r 2 (x)

Jaotusastmed kirjutame võrduste ja ebavõrdsuse süsteemina, nagu (*) :

f(x)= g(x) × q1 (x) + r1 (x), kraad r 1 (x)< deg g(x);

g(x)= r 1 (x)× q 2 (x).

Vastavalt Teoreem 4.1./Eukleidese algoritm/ viimane nullist erinev jääk r 1 (x) = 7x 2 + 7 on suurim ühisjagaja d(x) need polünoomid :

(f(x), g(x)) = 7x 2 + 7.

Kuna jaguvus polünoomiringis on defineeritud kuni assotsiatsioonini ( Vara 2.11.) , siis 7x 2 + 7 asemel võime võtta GCD-na, kuid ( 7x2 + 7) = x2 + 1.

Definitsioon 4.3.

Kutsutakse välja suurim ühisjagaja juhtkoefitsiendiga 1 normaliseeritud suurim ühisjagaja.

Näide 4.4. Näites 4.2. leidis suurima ühise jagaja d(x) = (f(x), g(x)) = 7x 2 + 7 polünoomi f(x)= x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 ja g(x)\u003d x 3 -2x 2 + x -2. Selle asendamine sellega seotud polünoomiga d 1 (x)= x 2 + 1, saame nende polünoomide normaliseeritud suurima ühisjagaja ( f(x), g(x)) = x2 + 1.

kommenteerida. Kasutades kahe polünoomi suurima ühisjagaja leidmisel eukleidilist algoritmi, saame teha järgmise järelduse. Polünoomide suurim ühine jagaja f(x) Ja g(x) ei sõltu sellest, kas me kaalume f(x) Ja g(x)üle põllu P või üle selle laienduse P'.

Definitsioon 4.4.

Suurim ühine jagajapolünoomid f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x), ... f n (x) Î P[x] on selline polünoom d(x)Î P[x], mis on nende polünoomide ühine jagaja ja ise jagub kõigi nende polünoomide ühisjagajatega.

Kuna Eukleidese algoritm sobib ainult kahe polünoomi suurima ühisjagaja leidmiseks, siis n polünoomi suurima ühisjagaja leidmiseks on vaja tõestada järgmine teoreem.