Tõesta poolitaja test. Kolmnurga elemendid. Poolitaja. Nurgapoolitaja põhiomadus

Selles õppetükis vaatleme üksikasjalikult, millised omadused on punktidel, mis asuvad nurga poolitajal ja punktidel, mis asuvad lõiguga risti poolitajatel.

Teema: Ring

Õppetund: sirglõigu nurgapoolitaja ja risti poolitaja omadused

Vaatleme nurgapoolitajal asuva punkti omadusi (vt joonis 1).

Riis. üks

Arvestades nurk , Selle bisector AL, punkt M asub poolitaja.

Teoreem:

Kui punkt M asub nurga poolitajal, siis on see nurga külgedest võrdsel kaugusel, see tähendab, et nurga külgede kaugused punktist M punktist AC ja punkti BC on võrdsed.

Tõestus:

Mõtle kolmnurgad ja . Need on täisnurksed kolmnurgad ja need on võrdsed, sest. neil on ühine hüpotenuus AM ja nurgad ja on võrdsed, kuna AL on nurga poolitaja. Seega on täisnurksed kolmnurgad hüpotenuusis ja teravnurgas võrdsed, seega järeldub, et , mis tuli tõestada. Seega on nurga poolitaja punkt selle nurga külgedest võrdsel kaugusel.

Vastupidine teoreem on tõene.

Kui punkt on võrdsel kaugusel laiendamata nurga külgedest, asub see poolitajal.

Riis. 2

Antakse voldimata nurk, punkt M, nii et kaugus sellest nurga külgedeni on sama (vt joonis 2).

Tõesta, et punkt M asub nurga poolitajal.

Tõestus:

Kaugus punktist sirgeni on risti pikkus. Joonistage punktist M ristid MK küljele AB ja MP küljele AC.

Mõtle kolmnurgad ja . Need on täisnurksed kolmnurgad ja need on võrdsed, sest. neil on ühine hüpotenuus AM, jalad MK ja MR on seisundi järgi võrdsed. Seega on täisnurksed kolmnurgad hüpotenuusis ja jalas võrdsed. Kolmnurkade võrdsusest tuleneb vastavate elementide võrdsus, võrdsed nurgad asetsevad võrdsete jalgade vastu, seega , seega asub punkt M antud nurga poolitajal.

otsene ja vastupidine teoreem saab kombineerida.

Teoreem

Laiendamata nurga poolitaja on antud nurga külgedest võrdsel kaugusel olevate punktide asukoht.

Teoreem

Kolmnurga poolitajad AA 1 , BB 1 , CC 1 lõikuvad ühes punktis O (vt joonis 3).

Riis. 3

Tõestus:

Vaatleme kahte esimest poolitajat BB 1 ja СС 1 . Nad ristuvad, ristumispunkt O on olemas. Selle tõestamiseks oletame vastupidist – antud poolitajad ei ristu, sel juhul on need paralleelsed. Siis sirge BC on sekant ja nurkade summa , see on vastuolus asjaoluga, et kogu kolmnurga nurkade summa on .

Seega on kahe poolitaja lõikepunkt O olemas. Mõelge selle omadustele:

Punkt O asub nurga poolitajal, mis tähendab, et see on oma külgedest BA ja BC võrdsel kaugusel. Kui OK on risti BC-ga, OL on risti BA-ga, siis on nende ristide pikkused võrdsed -. Samuti asub punkt O nurga poolitajal ja on selle külgedest CB ja CA võrdsel kaugusel, ristnurgad OM ja OK on võrdsed.

Saime järgmised võrdsused:

, see tähendab, et kõik kolm punktist O kolmnurga külgedele langetatud risti on üksteisega võrdsed.

Oleme huvitatud ristide OL ja OM võrdsusest. See võrdsus ütleb, et punkt O on nurga külgedest võrdsel kaugusel, seega asub see poolitajal AA 1.

Seega oleme tõestanud, et kolmnurga kõik kolm poolitajat lõikuvad ühes punktis.

Pöördume lõigu, selle risti poolitaja ja risti poolitaja punkti omaduste käsitlemise juurde.

Lõik AB on antud, p on risti poolitaja. See tähendab, et sirge p läbib lõigu AB keskpunkti ja on sellega risti.

Teoreem

Riis. neli

Iga punkt, mis asub risti poolitajal, on lõigu otstest võrdsel kaugusel (vt joonis 4).

Tõesta seda

Tõestus:

Mõtle kolmnurgad ja . Need on ristkülikukujulised ja võrdsed, sest. neil on ühine jalg OM ning jalad AO ja OB on tingimuse järgi võrdsed, seega on meil kaks täisnurkne kolmnurk, võrdne kahes jalas. Sellest järeldub, et kolmnurkade hüpotenuusid on samuti võrdsed, see tähendab, mida tuli tõestada.

Pange tähele, et lõik AB on paljude ringide ühine akord.

Näiteks esimene ring, mille keskpunkt on punkt M ja raadius MA ja MB; teine ​​ring, mille keskpunkt on punkt N, raadius NA ja NB.

Seega oleme tõestanud, et kui punkt asub lõiguga risti poolitajal, on see lõigu otstest võrdsel kaugusel (vt joonis 5).

Riis. 5

Vastupidine teoreem on tõene.

Teoreem

Kui mõni punkt M on lõigu otstest võrdsel kaugusel, siis asub see selle lõiguga risti poolitajal.

Antud on lõik AB, selle mediaan p, punkt M, mis on lõigu otstest võrdsel kaugusel (vt joonis 6).

Tõesta, et punkt M asub lõiguga risti poolitajal.

Riis. 6

Tõestus:

Vaatleme kolmnurka. See on tingimuste kohaselt võrdhaarne. Vaatleme kolmnurga mediaani: punkt O on aluse AB keskpunkt, OM on mediaan. Vastavalt varale võrdhaarne kolmnurk, on selle alusele tõmmatud mediaan nii kõrgus kui ka poolitaja. Sellest järeldub, et. Kuid sirge p on ka risti AB-ga. Teame, et punktiga O saab tõmmata ühe lõigu AB risti, mis tähendab, et sirged OM ja p langevad kokku, millest järeldub, et punkt M kuulub sirgele p, mida oli vaja tõestada.

Otsese ja pöördteoreemi saab üldistada.

Teoreem

Lõigu risti poolitaja on selle otstest võrdsel kaugusel olevate punktide asukoht.

Kolmnurk, nagu teate, koosneb kolmest segmendist, mis tähendab, et sellesse saab tõmmata kolm risti poolitajat. Selgub, et nad ristuvad ühes punktis.

Kolmnurga risti poolitajad lõikuvad ühes punktis.

Kolmnurk on antud. Risti selle külgedega: P 1 küljele BC, P 2 küljele AC, P 3 küljele AB (vt joonis 7).

Tõesta, et ristid Р 1 , Р 2 ja Р 3 lõikuvad punktis O.

Kas sa tead, mis on sirge keskpunkt? Muidugi teete. Ja ringi keskpunkt? Ka.

Mis on nurga keskpunkt?

Võib öelda, et seda ei juhtu. Aga miks, segmenti saab jagada pooleks, aga nurka mitte? See on täiesti võimalik - lihtsalt mitte täpp, vaid .... rida.

Kas mäletate nalja: poolitaja on rott, kes jookseb ümber nurkade ja jagab nurga pooleks. Seega on poolitaja tegelik määratlus selle naljaga väga sarnane:

Kolmnurga poolitaja on kolmnurga nurga poolitaja segment, mis ühendab selle nurga tipu vastasküljel asuva punktiga.

Kunagi avastasid iidsed astronoomid ja matemaatikud poolitaja palju huvitavaid omadusi. Need teadmised on inimeste elu oluliselt lihtsustanud.

Esimesed teadmised, mis selles aitavad, on ...

Muide, kas mäletate kõiki neid termineid? Kas mäletate, kuidas need üksteisest erinevad? Mitte? Pole hirmutav. Nüüd mõtleme selle välja.

• Võrdhaarse kolmnurga alus- see on pool, mis ei võrdu ühegi teisega. Vaata pilti, mis pool see sinu arvates on? Täpselt nii – see on külg.
• Mediaan on kolmnurga tipust tõmmatud ja jagav joon vastaspool(see jälle) pooleks. Pange tähele, et me ei ütle: "Võrdhaarse kolmnurga mediaan". Kas sa tead, miks? Sest kolmnurga tipust tõmmatud mediaan poolitab SUGU kolmnurga vastaskülje.
• Kõrgus on ülalt tõmmatud joon, mis on risti alusega. Kas märkasid? Me räägime jälle mis tahes kolmnurgast, mitte ainult võrdhaarsest. KÕRGUS IGAS kolmnurgas on alati alusega risti.

Niisiis, kas olete sellest aru saanud? Peaaegu.

Selleks, et paremini mõista ja igavesti meeles pidada, mis on poolitaja, mediaan ja kõrgus, on neil vaja võrrelda omavahel ja mõista, kuidas need on sarnased ja kuidas nad üksteisest erinevad.

Samas, et paremini meeles pidada, on parem kõike kirjeldada “inimkeeles”.

Siis opereerite hõlpsalt matemaatika keelega, kuid alguses ei saa te sellest keelest aru ja peate kõigest aru saama oma keeles.

Kuidas nad siis sarnased on?

Poolitaja, mediaan ja kõrgus – need kõik "lähevad välja" kolmnurga tipust ja toetuvad vastassuunas ning "teevad midagi" kas nurgaga, kust nad välja tulevad, või vastasküljega.

Ma arvan, et see on lihtne, kas pole?

Ja kuidas need erinevad?

• Poolitaja poolitab nurga, millest see väljub.
• Mediaan poolitab vastaskülje.
• Kõrgus on alati vastasküljega risti.

See on kõik. Mõista on lihtne. Kui olete aru saanud, võite meeles pidada.

Nüüd järgmine küsimus.

Miks osutub siis võrdhaarse kolmnurga puhul poolitaja samaaegselt nii mediaaniks kui ka kõrguseks?

Võite lihtsalt vaadata joonist ja veenduda, et mediaan jaguneb kaheks absoluutselt võrdseks kolmnurgaks.

See on kõik! Kuid matemaatikutele ei meeldi oma silmi uskuda. Nad peavad kõike tõestama.

Õudne sõna?

Mitte midagi sarnast – kõik on lihtne! Vaata: ja neil on võrdsed küljed ja neil on ühine pool ja. (- poolitaja!) Ja nii, selgus, et kahel kolmnurgal on kaks võrdset külge ja nendevaheline nurk.

Meenutame esimest kolmnurkade võrdsuse märki (te ei mäleta, vaadake teemat) ja järeldame, et see tähendab = ja.

See on juba hea – see tähendab, et see osutus mediaaniks.

Aga mis see on?

Vaatame pilti -. Ja me saime selle. Nii ka! Lõpuks, hurraa! ja.

Kas see tõestus oli teile raske? Vaata pilti – kaks ühesugust kolmnurka räägivad enda eest.

Igal juhul pidage meeles:

Nüüd on raskem: me loeme poolitajate vaheline nurk mis tahes kolmnurgas!Ärge kartke, see pole nii keeruline. Vaata pilti:

Loeme kokku. Kas mäletate seda kolmnurga nurkade summa on?

Rakendame seda hämmastavat fakti.

Ühelt poolt alates:

See on.

Nüüd vaatame:

Aga poolitajad, poolitajad!

Tuletagem meelde:

Nüüd läbi tähtede

Kas pole üllatav?

Selgus, et kahe nurga poolitajate vaheline nurk sõltub ainult kolmandast nurgast!

Noh, me vaatasime kahte poolitajat. Aga kui neid on kolm??!! Kas nad kõik ristuvad samas punktis?

Või saab olema?

Kuidas sa arvad? Siin matemaatikud mõtlesid ja mõtlesid ning tõestasid:

Tõesti, suurepärane?

Kas soovite teada, miks see juhtub?

Minge järgmisele tasemele - olete valmis vallutama uusi teadmiste kõrgusi poolitaja kohta!

BISEKTOR. KESKMINE TASE

Kas mäletate, mis on poolitaja?

Poolitaja on sirge, mis poolitab nurga.

Kas kohtusite probleemis poolitajaga? Proovige rakendada ühte (ja mõnikord võite ka mitut) järgmistest hämmastavatest omadustest.

1. Poolitaja võrdhaarses kolmnurgas.

Kas sa kardad sõna "teoreem"? Kui kardad, siis - asjata. Matemaatikud on harjunud nimetama matemaatika teoreemiks iga väidet, mida saab kuidagi tuletada teistest, lihtsamatest väidetest.

Niisiis, tähelepanu, teoreem!

Tõestame see teoreem, st saame aru, miks see juhtub? Vaadake võrdkülgseid.

Vaatame neid hoolikalt. Ja siis me näeme seda

1. - üldine.

Ja see tähendab (pigem pidage meeles esimest kolmnurkade võrdsuse märki!), Seda.

Mis siis? Kas sa tahaksid nii öelda? Ja see, et me pole veel vaadanud nende kolmnurkade kolmandaid külgi ja ülejäänud nurki.

Ja nüüd vaatame. Kord, siis absoluutselt täpselt ja isegi lisaks,.

Nii juhtuski

1. jagas külje pooleks ehk osutus mediaaniks
2. , mis tähendab, et mõlemad on sisse lülitatud, kuna (vaadake uuesti joonist).

Nii et see osutus poolitajaks ja kõrguseks ka!

Hurraa! Oleme teoreemi tõestanud. Aga arvake ära, see pole veel kõik. Ustav ja vastupidine teoreem:

Tõestus? Oled sa huvitatud? Lugege teooria järgmist taset!

Ja kui sa ei ole huvitatud, siis pea kindlalt meeles:

Miks on raske meeles pidada? Kuidas see aidata saab? Kujutage ette, et teil on ülesanne:

Arvestades: .

Leia: .

Mõtled kohe, poolitaja ja ennäe, ta jagas külje pooleks! (tingimuse järgi...). Kui mäletate kindlalt, et see juhtub ainult võrdhaarses kolmnurgas, siis järeldate, mis tähendab, kirjutage vastus:. See on suurepärane, eks? Muidugi ei saa kõik ülesanded nii lihtsad olema, kuid teadmised aitavad kindlasti!

Ja nüüd järgmine vara. Valmis?

2. Nurga poolitaja on nurga külgedest võrdsel kaugusel asuvate punktide asukoht.

Hirmunud? Tegelikult pole selle pärast muretsemiseks põhjust. Laisad matemaatikud peitsid nelja kahes reas. Niisiis, mida see tähendab "poolitaja - punktide asukoht"? Ja see tähendab, et nad hukatakse kohe kaksavaldused:

1. Kui punkt asub poolitajal, on kaugused sellest nurga külgedeni võrdsed.
2. Kui mingil hetkel on nurga külgede kaugused võrdsed, siis see punkt tingimata asub poolitajal.

Kas näete erinevust väidete 1 ja 2 vahel? Kui ei, siis pidage meeles Kübarseppa filmist "Alice Imedemaal": "Nii et teil on ikka midagi head öelda, justkui "ma näen, mida ma söön" ja "ma söön, mida ma näen" on sama asi!

Seega peame tõestama väiteid 1 ja 2 ning seejärel väidet: "poolitaja on nurga külgedest võrdsel kaugusel olevate punktide asukoht" tõestatakse!

Miks on 1 õige?

Võtke poolitaja suvaline punkt ja nimetage see .

Kujutagem sellest punktist risti nurga külgedele.

Ja nüüd ... olge valmis meeles pidama täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märke! Kui olete need unustanud, vaadake jaotist.

Niisiis ... kaks täisnurkset kolmnurka: ja. Neil on:

• tavaline hüpotenuus.
• (sest - poolitaja!)

Niisiis - nurga ja hüpotenuusi järgi. Seetõttu on nende kolmnurkade vastavad jalad võrdsed! See on.

Tõestasime, et punkt on võrdselt (või võrdselt) eemaldatud nurga külgedest. Punkt 1 on käsitletud. Liigume nüüd punkti 2 juurde.

Miks on 2 õige?

Ja ühendage punktid.

Niisiis, see asub poolitaja peal!

See on kõik!

Kuidas saab seda kõike probleemide lahendamisel rakendada? Näiteks ülesannetes on sageli selline fraas: "Ring puudutab nurga külgi ...". Noh, sa pead midagi leidma.

Saate sellest kiiresti aru

Ja võite kasutada võrdsust.

3. Kolmnurga kolm poolitajat ristuvad ühes punktis

Poolitaja omadusest olla nurga külgedest võrdsel kaugusel asuvate punktide asukoht, järgneb järgmine väide:

Kuidas see täpselt voolab? Aga vaata: kaks poolitajat ristuvad kindlasti, eks?

Ja kolmas poolitaja võiks olla järgmine:

Aga tegelikult on kõik palju parem!

Vaatleme kahe poolitaja lõikepunkti. Helistame talle.

Mida me siin mõlemal korral kasutasime? Jah lõige 1, muidugi! Kui punkt asub poolitajal, siis on see nurga külgedest võrdsel kaugusel.

Ja nii see juhtuski.

Kuid vaadake hoolikalt neid kahte võrdsust! Neist ju järeldub, et ja seega .

Ja nüüd hakkab see tööle punkt 2: kui nurga külgede kaugused on võrdsed, siis asub punkt ... mis nurga poolitaja? Vaata pilti uuesti:

ja on kaugused nurga külgede vahel ja need on võrdsed, mis tähendab, et punkt asub nurga poolitajal. Kolmas poolitaja läbis sama punkti! Kõik kolm poolitajat lõikuvad ühes punktis! Ja lisakingitusena -

Raadii sisse kirjutatud ringid.

(Truuduse huvides vaadake mõnda teist teemat).

Noh, nüüd ei unusta te kunagi:

Kolmnurga poolitajate lõikepunkt on sellesse kantud ringi keskpunkt.

Liigume edasi järgmise omaduse juurde... Vau, ja poolitajal on palju omadusi, eks? Ja see on suurepärane, sest mida rohkem omadusi, seda rohkem tööriistu poolitaja probleemide lahendamiseks.

4. Poolitaja ja paralleelsus, külgnevate nurkade poolitajad

Asjaolu, et poolitaja poolitab nurga mõnel juhul, viib täiesti ootamatute tulemusteni. Näiteks,

Juhtum 1

See on suurepärane, eks? Saame aru, miks.

Ühest küljest joonistame poolitaja!

Aga teisest küljest - nagu risti-rästi lamavad nurgad (teemat meeles pidada).

Ja nüüd selgub, et; visake keskelt välja: ! - võrdhaarne!

Juhtum 2

Kujutage ette kolmnurka (või vaadake pilti)

Jätkame punktide kaupa. Nüüd on kaks nurka:

• - sisenurk
• - välisnurk - see on väljas, eks?

Niisiis, ja nüüd tahtis keegi joonistada mitte ühe, vaid kaks poolitajat korraga: nii eest kui ka poolt. Mis juhtub?

Ja see selgub ristkülikukujuline!

Üllataval kombel just nii see on.

Me mõistame.

Mis summa teie arvates on?

Muidugi, sest nad kõik kokku moodustavad sellise nurga, et see osutub sirgjooneks.

Ja nüüd tuletame meelde, et ja on poolitajad ja me näeme, et sisemine nurk on täpselt pool kõigi nelja nurga summast: ja - - see tähendab täpselt. Selle saab kirjutada ka võrrandina:

Niisiis, uskumatu, kuid tõsi:

Kolmnurga sise- ja välisnurga poolitajate vaheline nurk on võrdne.

Juhtum 3

Kas näete, et siin on kõik sama, mis sise- ja välisnurgas?

Või mõtleme uuesti, miks see nii on?

Jällegi, mis puudutab külgnevaid nurki,

(vastavalt paralleelsetele alustele).

Ja jälle meik täpselt pool summast

Järeldus: Kui ülesandes on poolitajad seotud nurgad või poolitajad vastavad rööpküliku või trapetsi nurgad, siis selles ülesandes kindlasti kaasatud on täisnurkne kolmnurk ja võib-olla isegi terve ristkülik.

5. Poolitaja ja vastaskülg

Selgub, et kolmnurga nurga poolitaja jagab vastaskülje mitte kuidagi, vaid erilisel ja väga huvitaval viisil:

See on:

Hämmastav fakt, kas pole?

Nüüd me tõestame seda fakti, kuid olge valmis: see saab olema veidi keerulisem kui varem.

Jällegi - väljapääs "kosmosesse" - lisahoone!

Lähme otse.

Milleks? Nüüd näeme.

Jätkame poolitajat joonega ristumiskohani.

Tuttav pilt? Jah, jah, jah, täpselt sama, mis lõikes 4, juhtum 1 - selgub, et (- poolitaja)

Nagu risti lamades

Niisiis, see on ka.

Nüüd vaatame kolmnurki ja.

Mida saab nende kohta öelda?

Nad on sarnased. Noh, jah, nende nurgad on võrdsed vertikaalsete nurgadega. Seega kaks nurka.

Nüüd on meil õigus kirjutada vastavate osapoolte suhted.

Ja nüüd lühidalt:

Oeh! Meenutab mulle midagi, eks? Kas me ei tahtnud seda tõestada? Jah, jah, see on kõik!

Näete, kui suurepäraseks osutus "kosmosekõnd" - täiendava sirge rajamine - ilma selleta poleks midagi juhtunud! Ja nii, me tõestasime seda

Nüüd saate seda ohutult kasutada! Analüüsime veel üht kolmnurga nurkade poolitajate omadust - ärge kartke, nüüd on kõige raskem läbi - see läheb lihtsamaks.

Me saame sellest aru

1. teoreem:

2. teoreem:

3. teoreem:

4. teoreem:

5. teoreem:

6. teoreem:

Noh, teema on läbi. Kui loed neid ridu, siis oled väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui oled lõpuni lugenud, siis oled 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooria välja mõelnud. Ja ma kordan, see on ... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Edukaks eksami sooritamine, instituuti eelarve eest vastuvõtmiseks ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena teid milleski, ütlen lihtsalt ühte ...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes pole seda saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla eksamil teistest parem ja lõpuks ... õnnelikum?

TÄIDA KÄSI, LAHENDAGE SELLEL TEEMAL PROBLEEMID.

Eksamil ei küsita teilt teooriat.

Sa vajad lahendada probleemid õigel ajal.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), siis teete kindlasti kuskil rumala vea või lihtsalt ei tee seda õigeks ajaks.

See on nagu spordis – kindla võidu saamiseks tuleb mitu korda korrata.

Leidke kollektsioon kõikjal, kus soovite tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (pole vajalik) ja kindlasti soovitame neid.

Selleks, et meie ülesannete abil abi saada, peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage juurdepääs kõigile selles artiklis peidetud ülesannetele -
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpetuse 99 artiklis - Osta õpik - 899 rubla

Jah, meil on õpikus 99 sellist artiklit ja juurdepääs kõigile ülesannetele ja kõigile peidetud tekstid neid saab kohe avada.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud kogu saidi eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt lõpetage teooriaga.

“Arusaadav” ja “Ma tean, kuidas lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda!

Selles õppetükis tuletame meelde nurgapoolitaja mõistet, sõnastame ja tõestame poolitaja omaduste kohta otseseid ja pöördteoreeme ning üldistame neid. Lahendame ülesande, milles lisaks poolitaja faktidele rakendame ka muid geomeetrilisi fakte.

Teema: Ring

Õppetund: Nurgapoolitaja omadused. Ülesanded

Kolmnurk on kogu geomeetria keskne kuju ja naljatamisi öeldakse, et see on ammendamatu, nagu aatom. Selle omadused on arvukad, huvitavad, meelelahutuslikud. Vaatleme mõnda neist omadustest.

Iga kolmnurk koosneb peamiselt kolmest nurgast ja kolmest lõigust (vt joonis 1).

Riis. üks

Vaatleme nurka tipuga A ja külgedega B ja C - nurk.

Mis tahes nurga all, sealhulgas kolmnurga nurga all, saate joonistada poolitaja - see tähendab sirge, mis jagab nurga pooleks (vt joonis 2).

Riis. 2

Vaatleme nurga poolitajal asuva punkti omadusi (vt joonis 3).

Vaatleme punkti M, mis asub nurga poolitajal.

Tuletame meelde, et kaugus punktist sirgeni on sellest punktist joonele langenud risti pikkus.

Riis. 3

Ilmselgelt, kui võtta punkt, mis ei asu poolitajale, on kaugused sellest punktist nurga külgedeni erinevad. Kaugus punktist M nurga külgedeni on sama.

Teoreem

Laiendamata nurga poolitaja iga punkt on nurga külgedest võrdsel kaugusel, see tähendab, et nurga külgede kaugused punktist M punktist AC ja punkti BC on võrdsed.

Nurk on antud, selle poolitaja on AL, punkt M asub poolitajal (vt joonis 4).

Tõesta seda .

Riis. neli

Tõestus:

Mõtle kolmnurgad ja . Need on täisnurksed kolmnurgad ja need on võrdsed, kuna neil on ühine hüpotenuus AM ning nurgad ja on võrdsed, kuna AL on nurgapoolitaja. Seega on täisnurksed kolmnurgad hüpotenuusis ja teravnurgas võrdsed, seega järeldub, et , mis tuli tõestada. Seega on nurga poolitaja punkt selle nurga külgedest võrdsel kaugusel.

Vastupidine teoreem on tõene.

Teoreem

Kui punkt on võrdsel kaugusel laiendamata nurga külgedest, asub see poolitajal.

Antud on punkt M arendamata nurk, mille kaugus sellest nurga külgedeni on sama.

Tõesta, et punkt M asub nurga poolitajal (vt joonis 5).

Riis. 5

Tõestus:

Kaugus punktist sirgeni on risti pikkus. Joonistage punktist M ristid MK küljele AB ja MP küljele AC.

Mõtle kolmnurgad ja . Need on täisnurksed kolmnurgad ja need on võrdsed, kuna neil on ühine hüpotenuus AM, MK ja MR jalad on tingimuselt võrdsed. Seega on täisnurksed kolmnurgad hüpotenuusis ja jalas võrdsed. Kolmnurkade võrdsusest tuleneb vastavate elementide võrdsus, võrdsed nurgad asetsevad võrdsete jalgade vastu, seega , seega asub punkt M antud nurga poolitajal.

Mõnikord kombineeritakse otsene ja pöördteoreem järgmiselt:

Teoreem

Punkt on nurga külgedest võrdsel kaugusel siis ja ainult siis, kui see asub selle nurga poolitajal.

Poolitajapunktide võrdset kaugust nurga külgedest kasutatakse laialdaselt erinevates ülesannetes.

Probleem nr 674 Atanasjani õpikust, geomeetria, 7.–9. klass:

Laiendamata nurga poolitaja punktist M tõmmatakse selle nurga külgedele ristid MA ja MB (vt joonis 6). Tõesta seda .

Antud on: nurk, poolitaja OM, ristid MA ja MB nurga külgedele.

Riis. 6

Tõesta seda:

Tõestus:

Otsese teoreemi kohaselt on punkt M nurga külgedest võrdsel kaugusel, kuna tingimuse kohaselt asub see poolitajal. .

Vaatleme täisnurkseid kolmnurki ja (vt joon. 7). Neil on ühine hüpotenuus OM, jalad MA ja MB on võrdsed, nagu me varem tõestasime. Nii et kaks ristkülikukujulist

Riis. 7

kolmnurgad on jala ja hüpotenuusiga võrdsed. Kolmnurkade võrdsusest tuleneb neile vastavate elementide võrdsus, siit ka nurkade võrdsus ja teiste jalgade võrdsus.

Jalgade OA ja OB võrdsusest järeldub, et kolmnurk on võrdhaarne ja AB on selle alus. Sirge OM on kolmnurga poolitaja. Võrdhaarse kolmnurga omaduse järgi on see poolitaja ka kõrgus, mis tähendab, et sirged OM ja AB lõikuvad täisnurga all, mida tuli tõestada.

Niisiis oleme vaatlenud nurga poolitajal asuva punkti omaduse otseseid ja pöördteoreeme, üldistanud need ja lahendanud ülesande erinevate geomeetriliste faktide, sealhulgas selle teoreemi rakendamisega.

Bibliograafia

1. Aleksandrov A.D. jne Geomeetria, 8. klass. - M.: Haridus, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geomeetria, 8. klass. - M.: Haridus, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geomeetria, 8. klass. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Bymath.net().
2. Oldskola1.narod.ru ().

Kodutöö

1. Atanasjan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al., Geometry, 7-9, nr 676-678, art. 180.

Kolmnurga poolitaja - kolmnurga nurga poolitaja segment, mis jääb kolmnurga tipu ja selle vastaskülje vahele.

Poolitaja omadused

1. Kolmnurga poolitaja poolitab nurga.

2. Kolmnurga nurgapoolitaja jagab vastaskülje suhtega, mis on võrdne kahe külgneva külje suhtega ()

3. Kolmnurga nurga poolitajapunktid on selle nurga külgedest võrdsel kaugusel.

4. Kolmnurga sisenurkade poolitajad lõikuvad ühes punktis - sellesse kolmnurka kirjutatud ringi keskpunktis.

Mõned kolmnurga poolitajaga seotud valemid

(valemi tõend - )
, kus
- küljele tõmmatud poolitaja pikkus,
- vastavalt kolmnurga küljed tippude vastas,
- nende segmentide pikkus, milleks poolitaja külje jagab,

Kutsun teid vaatama videotund, mis näitab kõigi ülaltoodud poolitajaomaduste rakendamist.

Videos käsitletavad ülesanded:
1. Kolmnurgas ABC külgedega AB=2 cm, BC=3 cm, AC=3 cm on joonestatud poolitaja BM. Leia lõikude AM ja MC pikkused
2. Sisenurga poolitaja tipus A ja välisnurga poolitaja tipus C kolmnurk ABC ristuvad punktis M. Leidke nurk BMC, kui nurk B on 40, siis nurk C on 80 kraadi
3. Leidke kolmnurka kantud ringi raadius, võttes arvesse ruudukujuliste lahtrite külgi 1

Samuti võite olla huvitatud lühikesest videoõpetusest, kus rakendatakse üht poolitaja omadust

Täna tuleb väga lihtne õppetund. Vaatleme ainult ühte objekti - nurgapoolitajat - ja tõestame selle kõige olulisemat omadust, mis on meile tulevikus väga kasulik.

Lihtsalt ärge lõõgastuge: mõnikord õpilased, kes tahavad saada kõrgeim punktisumma samas OGE-s või USE-s ei oska nad esimeses tunnis isegi poolitaja täpset definitsiooni sõnastada.

Ja selle asemel, et teha tõeliselt huvitavaid ülesandeid, kulutame aega sellistele lihtsatele asjadele. Nii et lugege, vaadake - ja adopteerige. :)

Alustuseks veidi kummaline küsimus: mis on nurk? See on õige: nurk on vaid kaks kiirt, mis väljuvad samast punktist. Näiteks:

Nurkade näited: terav, nüri ja paremnurk

Nagu pildilt näha, võivad nurgad olla teravad, nürid, sirged - see pole praegu oluline. Sageli märgitakse mugavuse huvides igale kiirele lisapunkt ja öeldakse, et meil on nurk $AOB$ (kirjutatud kujul $\angle AOB$).

Kapten justkui vihjab, et lisaks kiirtele $OA$ ja $OB$ saab punktist $O$ alati tõmmata hunniku kiiri. Kuid nende hulgas on üks eriline - seda nimetatakse poolitajaks.

Definitsioon. Nurga poolitaja on kiir, mis väljub selle nurga tipust ja poolitab nurga.

Ülaltoodud nurkade puhul näevad poolitajad välja järgmised:

Terav-, nüri- ja täisnurga poolitajate näited

Kuna reaalsetel joonistel pole kaugeltki alati ilmne, et teatud kiir (meie puhul on see $OM$ kiir) jagab algnurga kaheks võrdseks, on geomeetrias tavaks tähistada võrdsed nurgad sama arvuga. kaared (meie joonisel on see 1 kaar teravnurga jaoks, kaks nüri jaoks, kolm sirge jaoks).

Olgu, me leidsime definitsiooni. Nüüd peate mõistma, millised omadused on poolitajal.

Nurgapoolitaja põhiomadus

Tegelikult on poolitajal palju omadusi. Ja kindlasti kaalume neid järgmises õppetükis. Kuid on üks nipp, millest peate kohe aru saama:

Teoreem. Nurga poolitaja on antud nurga külgedest võrdsel kaugusel olevate punktide asukoht.

Matemaatikast vene keelde tõlgituna tähendab see kahte fakti korraga:

1. Iga nurga poolitaja punkt on selle nurga külgedest samal kaugusel.
2. Ja vastupidi: kui punkt asub antud nurga külgedest samal kaugusel, siis on see tagatud selle nurga poolitajale.

Enne nende väidete tõestamist teeme selgeks ühe punkti: mida tegelikult nimetatakse kauguseks punktist nurga küljeni? Siin aitab meid vana hea punkti ja joone kauguse määratlus:

Definitsioon. Kaugus punktist sirgeni on sellest punktist selle sirgeni tõmmatud risti pikkus.

Näiteks joon $l$ ja punkt $A$, mis sellel sirgel ei asu. Joonistage risti $AH$, kus $H\in l$. Siis on selle risti pikkuseks kaugus punktist $A$ sirgeni $l$.

Punkti ja joone vahelise kauguse graafiline esitus

Kuna nurk on vaid kaks kiirt ja iga kiir on joontükk, on lihtne määrata kaugust punktist nurga külgedeni. See on ainult kaks risti:

Määrake kaugus punktist nurga külgedeni

See on kõik! Nüüd teame, mis on kaugus ja mis on poolitaja. Seetõttu saame tõestada peamist omadust.

Nagu lubatud, jagame tõestuse kaheks osaks:

1. Kaugused poolitaja punktist nurga külgedeni on samad

Vaatleme suvalist nurka tipuga $O$ ja poolitajaga $OM$:

Tõestame, et see sama punkt $M$ on nurga külgedest samal kaugusel.

Tõestus. Joonistame punktist $M$ nurga külgedele ristid. Nimetagem neid $M((H)_(1))$ ja $M((H)_(2))$:

Joonistage nurga külgedele risti

Saime kaks täisnurkset kolmnurka: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ja $\vartriangle OM((H)_(2))$. Neil on ühine hüpotenuus $OM$ ja võrdsed nurgad:

1. $\angle MO((H)_(1))=\nurk MO((H)_(2))$ eeldusel (kuna $OM$ on poolitaja);
2. $\nurk M((H)_(1))O=\nurk M((H)_(2))O=90()^\circ $ konstruktsiooni järgi;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ kuna summa teravad nurgad täisnurkse kolmnurga nurk on alati 90 kraadi.

Seetõttu on kolmnurgad külg- ja kahe külgneva nurga poolest võrdsed (vt kolmnurkade võrdsuse märke). Seetõttu eelkõige $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, s.o. kaugused punktist $O$ nurga külgedeni on tõepoolest võrdsed. K.E.D. :)

2. Kui kaugused on võrdsed, siis asub punkt poolitajal

Nüüd on olukord vastupidine. Olgu antud nurk $O$ ja punkt $M$, mis on selle nurga külgedest võrdsel kaugusel:

Tõestame, et kiir $OM$ on poolitaja, s.o. $\angle MO((H)_(1))=\nurk MO((H)_(2))$.

Tõestus. Alustuseks joonistagem see kiir $OM$, muidu pole midagi tõestada:

Kulutas kiire $OM$ nurga sees

Saime jälle kaks täisnurkset kolmnurka: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ja $\vartriangle OM((H)_(2))$. Ilmselgelt on need võrdsed, sest:

1. Hüpotenuus $OM$ on levinud;
2. Jalad $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ tingimuse järgi (kuna punkt $M$ on nurga külgedest võrdsel kaugusel);
3. Ülejäänud jalad on samuti võrdsed, sest Pythagorase teoreemi järgi $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Seetõttu kolmnurgad $\vartriangle OM((H)_(1))$ ja $\vartriangle OM((H)_(2))$ kolmel küljel. Eelkõige on nende nurgad võrdsed: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Ja see tähendab lihtsalt seda, et $OM$ on poolitaja.

Tõestuse lõpetuseks märgime moodustunud võrdsed nurgad punaste kaaredega:

Poolitaja jagab nurga $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ kaheks võrdseks

Nagu näete, pole midagi keerulist. Oleme tõestanud, et nurga poolitaja on selle nurga külgedest võrdsel kaugusel olevate punktide asukoht. :)

Nüüd, mil oleme terminoloogia osas enam-vähem otsustanud, on aeg liikuda uuele tasemele. Järgmises tunnis analüüsime poolitaja keerukamaid omadusi ja õpime neid rakendama reaalsete probleemide lahendamisel.