Ehitage piki külge võrdhaarne kolmnurk a. Võrdhaarsete kolmnurkade ülesanded

Võrdhaarsed on selline kolmnurk, mille kahe külje pikkus on sama.

Teemaülesannete lahendamisel "Võrdhaarne kolmnurk" on vaja kasutada järgmisi teadaolevaid omadused:

1. Võrdsete külgede vastas olevad nurgad on võrdsed.
2. Võrdsete nurkade alt tõmmatud poolitajad, mediaanid ja kõrgused on üksteisega võrdsed.
3. Võrdhaarse kolmnurga poolitaja, mediaan ja kõrgus langevad kokku.
4. Sissekirjutatud ringide keskpunkt ja piiritletud ringide keskpunkt asuvad kõrgusel ja seega mediaanil ja poolitajal, mis on tõmmatud alusele.
5. Võrdhaarses kolmnurgas võrdsed nurgad on alati teravad.

Kolmnurk on võrdhaarne, kui sellel on järgmised omadused märgid:

1. Kolmnurga kaks nurka on võrdsed.
2. Kõrgus on sama, mis mediaan.
3. Poolitaja on sama, mis mediaan.
4. Kõrgus ühtib poolitajaga.
5. Kolmnurga kaks kõrgust on võrdsed.
6. Kolmnurga kaks poolitajat on võrdsed.
7. Kolmnurga kaks mediaani on võrdsed.

Mõelge mõnele ülesandele sellel teemal "Võrdhaarne kolmnurk" ja anda üksikasjalik lahendus.

1. ülesanne.

Võrdhaarses kolmnurgas on aluse külge tõmmatud kõrgus 8 ja alus on küljega seotud kujul 6: 5. Leia, kui kaugel kolmnurga tipust on selle poolitajate lõikepunkt.

Lahendus.

Olgu võrdhaarne kolmnurk ABC (Joonis 1).

1) Kuna AC: BC = 6: 5, siis AC = 6x ja BC = 5x. BH on kolmnurga ABC aluse AC kõrgus.

Kuna punkt H on AC keskpunkt (võrdhaarse kolmnurga omaduse järgi), siis HC \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 6x \u003d 3x.

BC 2 \u003d VN 2 + HC 2;

(5x) 2 \u003d 8 2 + (3x) 2;

x = 2, siis

AC \u003d 6x \u003d 6 2 \u003d 12 ja

eKr \u003d 5x \u003d 5 2 \u003d 10.

3) Kuna kolmnurga poolitajate lõikepunkt on sellesse kantud ringi keskpunkt, siis
OH = r. Kolmnurka ABC kantud ringi raadius leitakse valemiga

4) S ABC = 1/2 (AC BH); S ABC = 1/2 (12 8) = 48;

p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 (10 + 10 + 12) = 16, siis OH = r = 48/16 = 3.

Seega VO \u003d VN - OH; VO \u003d 8 - 3 \u003d 5.

Vastus: 5.

2. ülesanne.

Poolitaja AD on joonestatud võrdhaarsesse kolmnurka ABC. Kolmnurkade ABD ja ADC pindalad on võrdsed 10 ja 12. Leidke selle kolmnurga kõrgusele ehitatud ruudu pindala, mis on tõmmatud AC alusele kolm korda.

Lahendus.

Vaatleme kolmnurka ABC – võrdkülgseid, AD – nurga A poolitajaid (joonis 2).

1) Kirjutame kolmnurkade BAD ja DAC pindalad:

S HALB = 1/2 AB AD sin α; S DAC = 1/2 AC AD sin α.

2) Leidke pindalade suhe:

S BAD /S DAC = (1/2 AB AD sin α) / (1/2 AC AD sin α) = AB/AC.

Kuna S BAD = 10, S DAC = 12, siis 10/12 = AB/AC;

AB/AC = 5/6, siis olgu AB = 5x ja AC = 6x.

AN \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 6x \u003d 3x.

3) Kolmnurgast ABN - ristkülikukujuline vastavalt Pythagorase teoreemile AB 2 \u003d AN 2 + VN 2;

25x 2 \u003d VN 2 + 9x 2;

4) S A BC = 1/2 AC HV; S A B C \u003d 1/2 6x 4x \u003d 12x 2.

Kuna S A BC \u003d S BAD + S DAC \u003d 10 + 12 \u003d 22, siis 22 = 12x 2;

x 2 \u003d 11/6; VN 2 \u003d 16x 2 \u003d 16 11/6 \u003d 1/3 8 11 \u003d 88/3.

5) Ruudu pindala on võrdne VN 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.

Vastus: 88.

3. ülesanne.

Võrdhaarse kolmnurga alus on 4 ja külg 8. Leidke küljele langenud kõrguse ruut.

Lahendus.

Kolmnurgas ABC - võrdkülgsed BC \u003d 8, AC \u003d 4 (joonis 3).

1) ВН - kolmnurga ABC põhja AC tõmmatud kõrgus.

Kuna punkt H on AC keskpunkt (võrdhaarse kolmnurga omaduse järgi), siis HC \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 4 \u003d 2.

2) VNS-i kolmnurgast - ristkülikukujuline vastavalt Pythagorase teoreemile VS 2 \u003d VN 2 + NS 2;

64 = HH2 + 4;

3) S ABC \u003d 1/2 (AC BH), samuti S ABC \u003d 1/2 (AM BC), siis võrdsustame valemite õiged osad, saame

1/2 AC BH = 1/2 AM eKr;

AM = (AC BH)/BC;

AM = (√60 4)/8 = (2√15 4)/8 = √15.

Vastus: 15.

4. ülesanne.

Võrdhaarses kolmnurgas on alus ja sellele langetatud kõrgus võrdne 16. Leia selle kolmnurga ümber piiratud ringjoone raadius.

Lahendus.

Kolmnurgas ABC - võrdhaarne alus AC \u003d 16, BH \u003d 16 - aluse AC kõrgus tõmmatud (Joonis 4).

1) AN \u003d HC \u003d 8 (võrdhaarse kolmnurga omaduse järgi).

2) VNS kolmnurgast - Pythagorase teoreemi järgi ristkülikukujuline

BC 2 \u003d VN 2 + HC 2;

BC 2 \u003d 8 2 + 16 2 \u003d (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;

3) Vaatleme kolmnurka ABC: siinuse teoreemi 2R = AB/sin C järgi, kus R on kolmnurga ABC ümbritsetud ringjoone raadius.

sin C \u003d BH / BC (VNS-i kolmnurgast siinuse määratluse järgi).

sin C = 16/(8√5) = 2/√5, siis 2R = 8√5/(2/√5);

2R = (8√5 √5)/2; R = 10.

Vastus: 10.

5. ülesanne.

Võrdhaarse kolmnurga põhjani tõmmatud kõrguse pikkus on 36 ja sisse kirjutatud ringi raadius 10. Leidke kolmnurga pindala.

Lahendus.

Las see antakse võrdhaarne kolmnurk ABC.

1) Kuna kolmnurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt on selle poolitajate lõikepunkt, siis O ϵ VN ja AO on nurga A poolitaja ja vool on OH \u003d r \u003d 10 (Joonis 5).

2) VO \u003d VN - OH; VO \u003d 36 - 10 \u003d 26.

3) Vaatleme kolmnurka ABH. Kolmnurga nurga poolitaja teoreemi järgi

AB/AN = BO/OH;

AB/AN = 26/10 = 13/5, siis olgu AB = 13x ja AH = 5x.

Pythagorase teoreemi kohaselt AB 2 \u003d AN 2 + VN 2;

(13x) 2 \u003d 36 2 + (5x) 2;

169x2 \u003d 25x2 + 36 2;

144x 2 \u003d (12 3) 2;

144x2 = 144 9;

x = 3, siis AC = 2 AN = 10x = 10 3 = 30.

4) S ABC = 1/2 (AC BH); S ABC = 1/2 (36 30) = 540;

Vastus: 540.

6. ülesanne.

Võrdhaarse kolmnurga kaks külge on võrdsed 5 ja 20. Leidke kolmnurga aluse nurga poolitaja.

Lahendus.

1) Oletame, et kolmnurga küljed on 5 ja alus on 20.

Siis 5+5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (joonis 6).

2) Olgu LC = x, siis BL = 20 – x. Kolmnurga nurga poolitaja teoreemi järgi

AB/AC = BL/LC;

20/5 \u003d (20 - x) / x,

siis 4x \u003d 20 - x;

Seega LC = 4; BL = 20 - 4 = 16.

3) Kasutame kolmnurga poolitaja valemit:

AL 2 \u003d AB AC - BL LC,

siis AL 2 = 20 5 - 4 16 = 36;

Vastus: 6.

Kas teil on küsimusi? Kas te ei tea, kuidas geomeetriaprobleeme lahendada?
Juhendaja abi saamiseks - registreeru.
Esimene tund on tasuta!

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Kuidas ehitada võrdhaarset kolmnurka? Seda on lihtne teha joonlaua, pliiatsi ja märkmiku lahtritega.

Alustame alusest võrdhaarse kolmnurga ehitamist. Et joonis oleks ühtlane, peab lahtrite arv põhjas olema paarisarv.

Jagame segmendi - kolmnurga aluse - pooleks.

Kolmnurga tipu saab valida mis tahes kõrgusel alusest, kuid alati täpselt keskkoha kohal.

Kuidas konstrueerida teravat võrdhaarset kolmnurka?

Võrdhaarse kolmnurga aluse nurgad saavad olla ainult teravad. Selleks, et võrdhaarne kolmnurk osutuks teravaks, peab ka tipus olev nurk olema terav.

Selleks valige kolmnurga ülaosa kõrgemal, alusest eemal.

Mida kõrgem on ülaosa, seda väiksem on nurk ülaosas. Samal ajal suurenevad nurgad aluses vastavalt.

Kuidas konstrueerida nüri võrdhaarset kolmnurka?

Kui võrdhaarse kolmnurga tipp läheneb alusele, suureneb tipus oleva nurga aste.

Seega valime võrdhaarse nürinurkse kolmnurga ehitamiseks madalama tipu.

Kuidas konstrueerida võrdhaarset täisnurkset kolmnurka?

Võrdhaarse täisnurkse kolmnurga ehitamiseks peate valima tipu, mille vahemaa on pool alust (see on tingitud võrdhaarse täisnurkse kolmnurga omadustest).

Näiteks kui aluse pikkus on 6 lahtrit, siis asetame kolmnurga tipu 3 lahtri kõrgusele aluse keskosast kõrgemale. Pange tähele: sel juhul on iga aluse nurkades olev lahter jagatud diagonaalselt.

Võrdhaarse täisnurkse kolmnurga ehitamist saab alustada ülalt.

Valime ülaosa, sellest täisnurga all eraldame võrdsed segmendid üles ja paremale. Need on kolmnurga küljed.

Ühendage need ja saage võrdhaarne täisnurkne kolmnurk.

Võrdhaarse kolmnurga ehitamist sirkli ja jaotusteta joonlaua abil käsitletakse teises teemas.

VIII . Ülesannete rühmad ülesehitamiseks.

    Ülesanderühmade lahendamine abikolmnurga abil.

Meetodi olemuseks on abikolmnurkade konstrueerimine ning nende omaduste ja äsja saadud elementide kasutamine ülesande lõplikuks lahendamiseks.

Ehitusanalüüs koosneb järgmistest etappidest:

    Otsige analüüsist abikolmnurka.

    Kui ilmuvad uued elemendid, mille abil on juba võimalik konstrueerida kolmnurk ABC, siis on eesmärk saavutatud.

    Kui seda ei juhtu, saab ehk veel ühe abikolmnurga konstrueerida, mis annab puuduvad elemendid.

Analüüsime meetodi olemust näidete abil.

Ülesanne 1. Koostage võrdhaarne kolmnurk ABC ( b= c) peal a, h b .

Otsime abikolmnurka. Ilmselgelt on mugav pidada kolmnurka CDB selliseks kolmnurgaks.

See annab nurga C, seega nurga ABC. Seega on olemas a, nurk B, nurk C, nii et saate ehitada kolmnurga ABC. Skemaatiliselt kirjutame selle järgmiselt:

    (a, h b) → Δ CDB →< C.

    (a,< B, < C) → Δ ABC.

Ülesanded jaoks sõltumatu lahendus:

Kasutades antud arutluskäiku, soovitame koostada võrdhaarne kolmnurk (b=c) järgmiste andmete alusel:

aga)< А, h b ;

b)< В, h с;

G)< В, h b ;

e)< С, h b .

Ülesanne 2. Koostage kolmnurk mööda sissekirjutatud ringi raadiust r, nurka A ja nurka B.

Olgu mina kolmnurga ABC sisse kirjutatud ringi keskpunkt.

    (r; ½< А) → Δ AID → |AD|;

    (r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;

    (|AD| + |ВD| = |AB|) → (s,< А, < В) → Δ ABC.

Iseseisva lahenduse ülesanded:

    Ehitage kolmnurk järgmiste elementide abil:

a) a, h c, hb; b) a, h a, h b; c) a, m a, m b;

G)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;

g) b, h b, m b (kus m on mediaanid, l on poolitajad, h on kõrgused).

Üksinda:

    konstrueerida romb ABCD piki diagonaali BD ja kõrgust BM. (∆BHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);

    ehitada trapets neljale küljele.

    1. Ülesannete rühmade lahendamine põhilise põhjal.

      1. Peamine ülesanne:

Koostage kolmnurk, millel on kaks külge ja nendevaheline nurk.

    Ehitage kahel jalal täisnurkne kolmnurk.

    Koostage romb piki kahte diagonaali.

    Koostage kahe ebavõrdse küljega ristkülik.

    Koostage rööpkülik, kui on antud kaks diagonaali ja nendevaheline nurk.

    Koostage ristkülik piki diagonaale ja nende vahelist nurka.

    1. Peamine ülesanne:

Ehitage kolmnurk, millel on külg ja kaks külgnevat nurka.

Iseseisva lahenduse ülesanded:

    Ehitage võrdhaarne kolmnurk, millel on alus ja kaasatud nurk.

    Ehitage täisnurkne kolmnurk, millel on jalg ja sellega külgnev teravnurk.

    Konstrueerige romb, mille nurk on antud, ja selle nurga tippu läbiv diagonaal.

    Koostage võrdhaarne kolmnurk tipu kõrguse ja nurga järgi.

    Ehitage ruut piki antud diagonaali.

    1. Peamine ülesanne:

Ehitage täisnurkne kolmnurk, arvestades hüpotenuusi ja teravnurka.

Iseseisva lahenduse ülesanded:

    Ehitage võrdhaarne kolmnurk piki külge ja nurga all.

    Ehitage võrdhaarne kolmnurk küljele ja nurk tipus.

    1. Peamine ülesanne:

Ehitage kolme küljega kolmnurk.

Iseseisva lahenduse ülesanded:

    Koostage aluse ja küljega võrdhaarne kolmnurk.

    Ehitage romb mööda külge ja diagonaali.

    Koostage rööpkülik, millel on kaks ebavõrdset külge ja diagonaal.

    Koostage rööpkülik, millel on külg ja kaks diagonaali.

    1. Peamine ülesanne:

Koostage täisnurkne kolmnurk, võttes arvesse jala ja hüpotenuusi.

Iseseisva lahenduse ülesanded:

    Ehitage võrdhaarne kolmnurk kõrguse ja külje poolest.

    Ehitage võrdhaarne kolmnurk, arvestades aluse ja aluse otsast küljele langetatud risti.

    Rööpküliku konstrueerimine aluse, kõrguse ja diagonaali järgi.

    Ehitage romb kõrguse ja diagonaaliga.

    Ehitage võrdhaarne kolmnurk, arvestades külgkülge ja sellest langetatud kõrgust.

    Ehitage kolmnurk, arvestades selle alust, kõrgust ja külge.

Kirjandus:

    B. I. Argunov, M. B. Balk “Geomeetrilised konstruktsioonid tasapinnal”, M, “Valgustus”, 1955

    Glazer G.I. “Matemaatika ajalugu koolis” IV - VI klass., M, “Valgustus”, 1981

    I. Goldenblat “Gomeetriliste konstrueerimisülesannete lahendamise kogemus” “Matemaatika koolis” nr 3, 1946

    I. A. Kushnir “Ühest ehitusülesannete lahendamise meetodist” “Matemaatika koolis” nr 2, 1984

    A. I. Mostovoy “Rakenda erinevaid ehitusülesannete lahendamise meetodeid” “Matemaatika koolis” nr 5, 1983

    A. A. Popova “Matemaatika” õpik. "Tšeljabinski osariik Pedagoogikaülikool“, 2005

    E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova “ Geomeetrilised konstruktsioonid I-V klassides Keskkool” Metoodilised arendused. Sverdlovsk, 1974

mob_info