Teoreem on vastupidine Pythagorase teoreemi formuleeringule. Õppetund "teoreem on Pythagorase teoreemi pöördväärtus". II. Kodutööde kontrollimine
Tunni eesmärgid:
Hariduslik: sõnastada ja tõestada Pythagorase teoreem ja Pythagorase teoreemi vastand. Näidake nende ajaloolist ja praktilist tähtsust.
Arendav: arendada õpilaste tähelepanu, mälu, loogilist mõtlemist, oskust arutleda, võrrelda, teha järeldusi.
Hariduslik: kasvatada huvi ja armastust aine vastu, täpsust, oskust kuulata kaaslasi ja õpetajaid.
Varustus: Pythagorase portree, plakatid kinnistamisülesannetega, õpik "Geomeetria" klass 7-9 (I.F. Sharygin).
Tunniplaan:
I. Korraldusmoment - 1 min.
II. Kodutööde kontrollimine - 7 min.
III. Õpetaja sissejuhatav kõne, ajalooline taust - 4-5 min.
IV. Pythagorase teoreemi sõnastamine ja tõestamine - 7 min.
V. Pythagorase teoreemi vastupidise teoreemi formuleerimine ja tõestamine - 5 min.
Uue materjali kinnitamine:
a) suu kaudu - 5-6 minutit.
b) kirjalik - 7-10 min.
VII. Kodutöö - 1 min.
VIII. Tunni kokkuvõte - 3 min.
Tundide ajal
I. Organisatsioonimoment.
II. Kodutööde kontrollimine.
p.7.1, nr 3 (valminud joonise järgi tahvli juures).
Seisukord: Täisnurkse kolmnurga kõrgus jagab hüpotenuusi segmentideks pikkusega 1 ja 2. Leidke selle kolmnurga jalad.
BC = a; CA=b; BA=c; BD = a1; DA = b1; CD = hC
Lisaküsimus: kirjutage suhtarvud täisnurksesse kolmnurka.
punkt 7.1, nr 5. Lõika täisnurkne kolmnurk kolmeks üksteisega sarnaseks kolmnurgaks.
Seletama.
ASN ~ ABC ~ SVN
(juhib õpilaste tähelepanu sarnaste kolmnurkade vastavate tippude õigele salvestamisele)
III. Õpetaja sissejuhatav kõne, ajalooline taust.
Tõde jääb igaveseks, niipea kui nõrk inimene seda teab!
Ja nüüd on Pythagorase teoreem tõsi, nagu tema kaugel ajastul.
Pole juhus, et alustasin oma õppetundi saksa romaanikirjaniku Chamisso sõnadega. Meie tänane õppetund käsitleb Pythagorase teoreemi. Kirjutame tunni teema.
Teie ees on suure Pythagorase portree. Sündis 576 eKr. Elanud 80 aastat, suri ta aastal 496 eKr. Tuntud Vana-Kreeka filosoofi ja õpetajana. Ta oli kaupmees Mnesarchuse poeg, kes võttis teda sageli reisidele kaasa, tänu millele tekkis poisil uudishimu ja soov uusi asju õppida. Pythagoras on hüüdnimi, mis on talle antud tema kõneosavuse tõttu ("Pythagoras" tähendab "veenvat kõnet"). Ise ta midagi ei kirjutanud. Kõik tema mõtted salvestasid tema õpilased. Esimese loengu tulemusena omandas Pythagoras 2000 õpilast, kes moodustasid koos oma naiste ja lastega hiiglasliku kooli ning lõid riigi nimega “Suur Kreeka”, mis põhineb Pythagorase seadustel ja reeglitel. jumalike käskudena. Ta oli esimene, kes nimetas oma mõttekäike elu mõtte kohta filosoofiaks (filosoofia). Ta oli altid müstifikatsioonile ja demonstratiivsele käitumisele. Kunagi peitis Pythagoras end maa alla ja sai oma emalt kõigest toimuvast teada. Siis, närbunud nagu luustik, teatas ta avalikul koosolekul, et on viibinud Hadeses, ja näitas hämmastavat teadlikkust maistest sündmustest. Selle eest tunnistasid puudutatud elanikud ta Jumalaks. Pythagoras ei nutnud kunagi ning oli üldiselt kirgede ja põnevuse jaoks kättesaamatu. Ta uskus, et on pärit seemnest, mis on inimesega võrreldes parem. Kogu Pythagorase elu on legend, mis on jõudnud meie ajani ja rääkis meile iidse maailma andekaimast mehest.
IV. Pythagorase teoreemi sõnastamine ja tõestamine.
Pythagorase teoreemi sõnastus on teile teada algebra käigust. Pidagem teda meeles.
Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga.
Seda teoreemi teati aga palju aastaid enne Pythagorast. 1500 aastat enne Pythagorast teadsid muistsed egiptlased, et kolmnurk, mille küljed on 3, 4 ja 5, on ristkülikukujuline ja kasutasid seda kinnistut maa planeerimisel ja hoonete ehitamisel täisnurkade ehitamiseks. Meieni jõudnud Hiina vanimas matemaatilises ja astronoomilises teoses “Zhiu-bi”, mis on kirjutatud 600 aastat enne Pythagorast, sisaldab muude täisnurkse kolmnurgaga seotud lausete hulgas ka Pythagorase teoreem. Juba varem oli see teoreem hindudele teada. Seega ei avastanud Pythagoras seda täisnurkse kolmnurga omadust, tõenäoliselt oli ta esimene, kes selle üldistas ja tõestas, praktikavaldkonnast teaduse valdkonda üle kandis.
Alates iidsetest aegadest on matemaatikud leidnud Pythagorase teoreemile üha rohkem tõestusi. Neid on teada üle saja viiekümne. Meenutagem meile algebra käigust tuntud Pythagorase teoreemi algebralist tõestust. (“Matemaatika. Algebra. Funktsioonid. Andmeanalüüs” G.V. Dorofejev, M., “Mullipea”, 2000).
Paluge õpilastel meelde jätta joonise tõestus ja kirjutada see tahvlile.
(a + b) 2 \u003d 4 1/2 a * b + c 2 b a
a 2 + 2a * b + b 2 \u003d 2a * b + c 2
a 2 + b 2 = c 2 a a b
Muistsed hindud, kellele see arutluskäik kuulub, ei kirjutanud seda tavaliselt üles, vaid saatsid joonistust ainult ühe sõnaga: "Vaata."
Vaatleme nüüdisaegses esitluses üht Pythagorasele kuuluvat tõestust. Tunni alguses tuli meile meelde teoreem suhtarvude kohta täisnurkses kolmnurgas:
h 2 \u003d a 1 * b 1 a 2 \u003d a 1 * c b 2 \u003d b 1 * c
Lisame kaks viimast võrdsust termini kaupa:
b 2 + a 2 \u003d b 1 * c + a 1 * c \u003d (b 1 + a 1) * c 1 \u003d c * c \u003d c 2; a 2 + b 2 = c 2
Vaatamata selle tõestuse näilisele lihtsusele pole see kaugeltki kõige lihtsam. Lõppude lõpuks oli selleks vaja täisnurksesse kolmnurka joonistada kõrgus ja arvestada sarnaste kolmnurkadega. Palun kirjutage see tõend oma vihikusse.
V. Lause väide ja tõestus vastupidine Pythagorase teoreemile.
Mis on selle teoreemi pöördväärtus? (... kui tingimus ja järeldus on vastupidised.)
Proovime nüüd sõnastada teoreemi, mis on Pythagorase teoreemi pöörd.
Kui kolmnurgas külgedega a, b ja c on võrdus 2 \u003d a 2 + b 2, siis on see kolmnurk täisnurkne ja täisnurk on külje c vastas.
(Pöördteoreemi tõestus plakatil)
ABC, BC = a,
AC = b, BA = c.
a 2 + b 2 = c 2
Tõesta:
ABC - ristkülikukujuline,
Tõestus:
Vaatleme täisnurkset kolmnurka A 1 B 1 C 1,
kus C 1 \u003d 90 °, A 1 C 1 \u003d a, A 1 C 1 \u003d b.
Seejärel on Pythagorase teoreemi kohaselt B 1 A 1 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d c 2.
See tähendab, et B 1 A 1 \u003d c A 1 B 1 C 1 \u003d ABC ABC kolmel küljel - ristkülikukujuline
C = 90°, mida tuli tõestada.
VI. Õpitava materjali kinnistamine (suuline).
1. Plakati järgi koos valmisjoonistega.
|
|
|
Joonis 1: leidke AD, kui BD = 8, BDA = 30°.
Joonis 2: leidke CD, kui BE = 5, BAE = 45°.
Joonis 3: leidke BD, kui BC = 17, AD = 16.
2. Kas kolmnurk on täisnurkne, kui selle küljed on väljendatud arvudega:
5 2 + 6 2 ? 7 2 (ei) |
9 2 + 12 2 = 15 2 (jah) |
15 2 + 20 2 = 25 2 (jah) |
Kuidas nimetatakse arvude kolmikuid kahel viimasel juhul? (Pythagorase).
VI. Probleemide lahendamine (kirjalikult).
Nr 9. Võrdkülgse kolmnurga külg on võrdne a-ga. Leidke selle kolmnurga kõrgus, piiritletud ringi raadius, sisse kirjutatud ringi raadius.
№ 14. Tõesta, et täisnurkses kolmnurgas on piiritletud ringi raadius võrdne hüpotenuusile tõmmatud mediaaniga ja võrdne hüpotenuusi poolega.
VII. Kodutöö.
Punkt 7.1, lk 175-177, analüüsida teoreemi 7.4 (üldistatud Pythagorase teoreem), nr 1 (suuline), nr 2, nr 4.
VIII. Tunni tulemused.
Mida uut sa täna tunnis õppisid? …………
Pythagoras oli ennekõike filosoof. Nüüd tahan teile lugeda mõningaid tema ütlusi, mis on meie ajal teie ja minu jaoks asjakohased.
- Ärge tõstke eluteel tolmu.
- Tehke ainult seda, mis teid tulevikus ei häiri ega sunni meelt parandama.
- Ärge kunagi tehke seda, mida te ei tea, vaid õppige kõike, mida peate teadma, ja siis elate vaikset elu.
- Ärge sulgege silmi, kui soovite magada, mõistmata kõiki oma tegevusi eelmisel päeval.
- Õppige elama lihtsalt ja ilma luksuseta.
Teema: Teoreem vastupidine Pythagorase teoreemile.
Tunni eesmärgid: 1) käsitleb Pythagorase teoreemile vastupidist teoreemi; selle rakendamine probleemide lahendamise protsessis; kinnistada Pythagorase teoreemi ja parandada probleemide lahendamise oskusi selle rakendamiseks;
2) arendab loogilist mõtlemist, loovat otsingut, tunnetuslikku huvi;
3) kasvatada õpilastes vastutustundlikku suhtumist õppimisse, matemaatilise kõnekultuuri.
Tunni tüüp. Õppetund uute teadmiste õppimiseks.
Tundide ajal
І. Aja organiseerimine
ІІ. Värskenda teadmisi
Õppetund mulleolekstahtisalusta kaatriinist.
Jah, teadmiste tee ei ole sujuv
Aga me teame kooliaastatest
Rohkem mõistatusi kui mõistatusi
Ja otsingul pole piire!
Nii et viimases õppetunnis õppisite Pythagorase teoreemi. Küsimused:
Millise kujundi puhul kehtib Pythagorase teoreem?
Millist kolmnurka nimetatakse täisnurkseks kolmnurgaks?
Sõnastage Pythagorase teoreem.
Kuidas kirjutatakse iga kolmnurga jaoks Pythagorase teoreem?
Milliseid kolmnurki nimetatakse võrdseteks?
Sõnastada kolmnurkade võrdsuse märgid?
Ja nüüd teeme väikese iseseisva töö:
Ülesannete lahendamine jooniste järgi.
№1
(1 b.) Leia: AB.
№2
(1 b.) Leid: eKr.
№3
( 2 b.)Leia: AC
№4
(1 b.)Leia: AC
№5 Antud: ABCDromb
(2 b.) AB \u003d 13 cm
AC = 10 cm
Otsi sisseD
Enesekontroll nr 1. 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. Õping uus materjalist.
Vanad egiptlased ehitasid maapinnale täisnurgad nii: nad jagasid köie sõlmedega 12 võrdseks osaks, sidusid selle otsad kinni, misjärel nöör venitati maapinnale nii, et tekkis kolmnurk, mille küljed olid 3, 4 ja 5 jaotust. Kolmnurga nurk, mis asus 5 jaotusega külje vastas, oli õige.
Kas saate selgitada selle otsuse õigsust?
Küsimusele vastuse otsimise tulemusena peaksid õpilased aru saama, et matemaatilisest vaatenurgast on küsimus: kas kolmnurk on täisnurkne.
Esitame probleemi: kuidas ilma mõõtmisi tegemata kindlaks teha, kas antud külgedega kolmnurk on täisnurkne. Selle ülesande lahendamine on tunni eesmärk.
Kirjutage tunni teema üles.
Teoreem. Kui kolmnurga kahe külje ruutude summa on võrdne kolmanda külje ruuduga, siis on kolmnurk täisnurkne kolmnurk.
Tõestama iseseisvalt teoreemi (koostama õpiku järgi tõestuskava).
Sellest teoreemist järeldub, et kolmnurk külgedega 3, 4, 5 on täisnurkne (Egiptuse).
Üldiselt numbrid, mille puhul kehtib võrdsus nimetatakse Pythagorase kolmikuteks. Ja kolmnurgad, mille külgede pikkus on väljendatud Pythagorase kolmikutega (6, 8, 10), on Pythagorase kolmnurgad.
Konsolideerimine.
Sest , siis kolmnurk külgedega 12, 13, 5 ei ole täisnurkne kolmnurk.
Sest , siis kolmnurk külgedega 1, 5, 6 on täisnurkne.
№ 430 (a, b, c)
( - ei ole)
Pythagorase teoreem ütleb:
Täisnurkses kolmnurgas on jalgade ruutude summa võrdne hüpotenuusi ruuduga:
a 2 + b 2 = c 2,
- a ja b- täisnurga moodustavad jalad.
- Koos on kolmnurga hüpotenuus.
Pythagorase teoreemi valemid
- a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
- b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
- c = \sqrt (a^(2) + b^(2))
Pythagorase teoreemi tõestus
Täisnurkse kolmnurga pindala arvutatakse järgmise valemiga:
S = \frac(1)(2)ab
Suvalise kolmnurga pindala arvutamiseks on pindala valem järgmine:
- lk- poolperimeeter. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
- r on sisse kirjutatud ringi raadius. Ristküliku jaoks r=\frac(1)(2)(a+b-c).
Seejärel võrdsustame kolmnurga pindala jaoks mõlema valemi paremad küljed:
\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)
2 ab = (a+b+c) (a+b-c)
2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \parem)
2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)
0=a^(2)+b^(2)-c^(2)
c^(2) = a^(2)+b^(2)
Pythagorase pöördteoreem:
Kui kolmnurga ühe külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, siis on kolmnurk täisnurkne kolmnurk. See tähendab mis tahes positiivsete arvude kolmiku korral a, b ja c, selline, et
a 2 + b 2 = c 2,
on täisnurkne kolmnurk jalgadega a ja b ja hüpotenuus c.
Pythagorase teoreem- üks eukleidilise geomeetria põhiteoreeme, mis loob seose täisnurkse kolmnurga külgede vahel. Seda tõestas teadlane matemaatik ja filosoof Pythagoras.
Teoreemi tähendus selles, et seda saab kasutada teiste teoreemide tõestamiseks ja ülesannete lahendamiseks.
Lisamaterjal:
Kooli õppekava teemade läbimõtlemine videotundide abil on mugav viis materjali õppimiseks ja assimileerimiseks. Video aitab suunata õpilaste tähelepanu peamistele teoreetilistele punktidele ja mitte jätta tähelepanuta olulisi detaile. Vajadusel saavad õpilased alati videotundi uuesti kuulata või mõne teemaga tagasi minna.
See 8. klassile mõeldud videoõpetus aitab õpilastel õppida uut geomeetria teemat.
Eelmises teemas uurisime Pythagorase teoreemi ja analüüsisime selle tõestust.
Samuti on olemas teoreem, mida tuntakse Pythagorase pöördteoreemina. Vaatleme seda üksikasjalikumalt.
Teoreem. Kolmnurk on täisnurkne, kui see rahuldab võrdsust: kolmnurga ühe külje väärtus ruudus on sama, mis ülejäänud kahe külje ruudu summa.
Tõestus. Oletame, et meile on antud kolmnurk ABC, milles on tõene võrdus AB 2 = CA 2 + CB 2. Peame tõestama, et nurk C on 90 kraadi. Vaatleme kolmnurka A 1 B 1 C 1, mille nurk C 1 on 90 kraadi, külg C 1 A 1 on võrdne CA ja külg B 1 C 1 võrdub BC.
Rakendades Pythagorase teoreemi, kirjutame kolmnurga külgede suhte A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Asendades avaldise võrdsete külgedega, saame A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2.
Teoreemi tingimustest teame, et AB 2 = CA 2 + CB 2 . Siis saame kirjutada A 1 B 1 2 = AB 2, mis tähendab, et A 1 B 1 = AB.
Oleme leidnud, et kolmnurkade ABC ja A 1 B 1 C 1 kolm külge on võrdsed: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Nii et need kolmnurgad on kongruentsed. Kolmnurkade võrdsusest järeldub, et nurk C võrdub nurgaga C 1 ja võrdub vastavalt 90 kraadiga. Oleme kindlaks teinud, et kolmnurk ABC on täisnurkne kolmnurk ja selle nurk C on 90 kraadi. Oleme selle teoreemi tõestanud.
Seejärel toob autor näite. Oletame, et meile antakse suvaline kolmnurk. Selle külgede mõõtmed on teada: 5, 4 ja 3 ühikut. Kontrollime väidet Pythagorase teoreemile vastupidisest teoreemist: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Kui väide on õige, siis antud kolmnurk on täisnurkne kolmnurk.
Järgmistes näidetes on kolmnurgad samuti täisnurksed, kui nende küljed on võrdsed:
5, 12, 13 ühikut; võrdus 13 2 = 5 2 + 12 2 on tõene;
8, 15, 17 ühikut; võrrand 17 2 = 8 2 + 15 2 on tõene;
7, 24, 25 ühikut; võrrand 25 2 = 7 2 + 24 2 on tõene.
Pythagorase kolmnurga mõiste on teada. See on täisnurkne kolmnurk, mille külgmised väärtused on täisarvud. Kui Pythagorase kolmnurga jalad on tähistatud a ja c ning hüpotenuusiga b, saab selle kolmnurga külgede väärtused kirjutada järgmiste valemite abil:
b \u003d k x (m 2 - n 2)
c \u003d k x (m 2 + n 2)
kus m, n, k on naturaalarvud ja m väärtus on suurem kui n.
Huvitav fakt: kolmnurka külgedega 5, 4 ja 3 nimetatakse ka Egiptuse kolmnurgaks, sellist kolmnurka tunti Vana-Egiptuses.
Selles videoõpetuses tutvusime Pythagorase teoreemi vastupidise teoreemiga. Kaaluge tõendit üksikasjalikult. Samuti said õpilased teada, milliseid kolmnurki nimetatakse Pythagorase kolmnurkadeks.
Õpilased saavad selle videotunni abil hõlpsasti iseseisvalt tutvuda teemaga "Teoreem, Pythagorase teoreemi pöördväärtus".
