Proportsionaalsete lõikude teoreemi tõestus täisnurkses kolmnurgas. Õppetund "Proportsionaalsed lõigud täisnurkses kolmnurgas". V. kahe segmendi keskmise proportsionaalse kontseptsiooni assimilatsioon

Õppetund 40 C. b. a. h. C. eKr. H. ac. A. V. Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus jagab kolmnurga 2 sarnaseks täisnurkseks kolmnurgaks, millest igaüks on sarnane antud kolmnurgaga. Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märk. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui mõlemal on sama teravnurk. Lõigu XY nimetatakse lõikude AB ja CD keskmiseks proportsionaalseks (geomeetriliseks keskmiseks), kui omadus 1. Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus on keskmine võrdeline jalgade projektsioonide vahel hüpotenuusile. Omadus 2. Täisnurkse kolmnurga jalg on hüpotenuusi ja selle jala hüpotenuusile projektsiooni vaheline keskmine.

Slaid 28 esitlusest "Geomeetria "Sarnased kolmnurgad"". Arhiivi suurus koos esitlusega on 232 KB.

Geomeetria 8. klass

muude ettekannete kokkuvõte

"Pythagorase teoreemi ülesannete lahendus" - võrdhaarne kolmnurk ABC. Pythagorase teoreemi praktiline rakendamine. ABCD on nelinurk. Ruudukujuline ala. Otsige päikest. Tõestus. Võrdhaarse trapetsi alused. Mõelge Pythagorase teoreemile. Nelinurga pindala. Ristkülikukujulised kolmnurgad. Pythagorase teoreem. Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga.

"Rööpküliku pindala leidmine" - sihtasutus. Kõrgus. Rööpküliku kõrguse määramine. Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid. Rööpküliku pindala. Leidke kolmnurga pindala. Piirkonna omadused. suulised harjutused. Leidke rööpküliku pindala. Parallelogrammi kõrgused. Leidke ruudu ümbermõõt. Kolmnurga pindala. Leidke ruudu pindala. Leidke ristküliku pindala. Ruudukujuline ala.

“Kvadrat 8. klass” - Must ruut. Ülesanded suuliseks tööks ümber väljaku perimeetri. Ruudukujuline ala. Ruudukujulised sildid. Väljak on meie seas. Ruut on ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed. Ruut. Kott kandilise põhjaga. suulised ülesanded. Mitu ruutu on pildil näidatud. Ruudu omadused. Rikas kaupmees. Ülesanded suuliseks tööks väljaku alal. Ruudu ümbermõõt.

"Aksiaalse sümmeetria definitsioon" – punktid, mis asuvad samal ristil. Joonista kaks joont. Ehitus. Krundi punktid. Vihje. Figuurid, millel puudub teljesuunaline sümmeetria. Joonelõik. Koordinaadid puuduvad. Joonis. Kujundid, millel on rohkem kui kaks sümmeetriatelge. Sümmeetria. Sümmeetria luules. Ehitage kolmnurgad. Sümmeetriateljed. Segmendi ehitamine. Punkti ehitamine. Kahe sümmeetriateljega figuurid. Rahvad. Kolmnurgad. Proportsionaalsus.

"Sarnaste kolmnurkade määratlemine" - hulknurgad. proportsionaalsed lõiked. Sarnaste kolmnurkade pindalade suhe. Kaht kolmnurka nimetatakse sarnasteks. Tingimused. Koostage kolmnurk, millel on kaks nurka ja poolitaja tipus. Oletame, et peame määrama kauguse poolusest. Kolmnurkade sarnasuse kolmas märk. Ehitame kolmnurga. ABC. Kolmnurkadel ABC ja ABC on kolm võrdset külge. Objekti kõrguse määramine.

"Pythagorase teoreemi lahendus" - Akende osad. Lihtsaim tõestus. Hammurabi. Diagonaal. Täielik tõestus. Tõestus lahutamise teel. Pythagoraslased. Tõestus lagundamise meetodil. Teoreemi ajalugu. Läbimõõt. Tõestus komplemendimeetodil. Epsteini tõestus. Kantor. Kolmnurgad. järgijaid. Pythagorase teoreemi rakendused. Pythagorase teoreem. Teoreemi väide. Perigali tõend. Teoreemi rakendamine.

Täna kutsutakse teie tähelepanu järjekordsele ettekandele hämmastaval ja salapärasel teemal - geomeetria. Selles esitluses tutvustame teile geomeetriliste kujundite uut omadust, eelkõige proportsionaalsete lõikude kontseptsiooni täisnurksetes kolmnurkades.

Kõigepealt peate meeles pidama, mis on kolmnurk? See on kõige lihtsam hulknurk, mis koosneb kolmest tipust, mis on ühendatud kolme segmendiga. Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurkadest on 90 kraadi. Olete nendega juba lähemalt tutvunud meie eelmistes teile esitatud koolitusmaterjalides.

Niisiis, naastes meie tänase teema juurde, tähistame järjekorras, et täisnurkse kolmnurga kõrgus, mis on tõmmatud 90 kraadise nurga all, jagab selle kaheks kolmnurgaks, mis on nii üksteise kui ka algse kolmnurgaga sarnased. Kõik teid huvitavad joonised ja graafikud on esitatud pakutud esitluses ning soovitame neile viidata koos kirjeldatud selgitusega.

Ülaltoodud lõputöö graafiline näide on näha teisel slaidil. Kolmnurgad on sarnased, kuna neil on kaks identset nurka. Kui täpsustada täpsemalt, siis hüpotenuusile langetatud kõrgus moodustab sellega täisnurga, see tähendab, et seal on juba identsed nurgad ja igal moodustatud nurgal on originaalina ka üks ühine nurk. Tulemuseks on kaks üksteisega võrdset nurka. See tähendab, et kolmnurgad on sarnased.

Tähistagem ka, mida tähendab mõiste "proportsionaalne keskmine" või "geomeetriline keskmine" iseenesest? See on segmentide AB ja CD teatud XY segment, kui see on võrdne nende pikkuste korrutise ruutjuurega.

Millest järeldub ka, et täisnurkse kolmnurga jalg on geomeetriline keskmine hüpotenuusi ja selle jala hüpotenuusile, see tähendab teisele jalale, projektsiooni vahel.

Täisnurkse kolmnurga teine omadus on see, et selle kõrgus 90 o nurga all tõmmatuna on keskmine võrdeline jalgade projektsioonide vahel hüpotenuusile. Kui viidate esitlusele ja teistele teie tähelepanu juhitud materjalidele, näete, et selle lõputöö kohta on tõestus väga lihtsal ja kättesaadaval kujul. Oleme juba varem tõestanud, et saadud kolmnurgad on sarnased nii üksteisega kui ka algse kolmnurgaga. Seejärel, kasutades nende geomeetriliste kujundite jalgade suhet, jõuame järeldusele, et täisnurkse kolmnurga kõrgus on võrdeline nende segmentide korrutise ruutjuurega, mis tekkisid kõrguse alandamise tulemusena. algse kolmnurga täisnurk.

Esitluse viimane asi on see, et täisnurkse kolmnurga jalg on hüpotenuusi ja selle lõigu geomeetriline keskmine, mis asub jala ja kõrguse vahel, mis on tõmmatud 90-kraadise nurga all. Seda juhtumit tuleks vaadelda küljelt, et need kolmnurgad on üksteisega sarnased ja neist ühe jalg saadakse teise hüpotenuusiga. Kuid seda saate üksikasjalikumalt teada pakutud materjale uurides.

Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märk

Tutvustame esmalt täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märki.

1. teoreem

Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märk: kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui mõlemal on üks võrdne teravnurk (joonis 1).

Joonis 1. Sarnased täisnurksed kolmnurgad

Tõestus.

Olgu meile antud, et $\angle B=\angle B_1$. Kuna kolmnurgad on täisnurksed, siis $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Seetõttu on need kolmnurkade esimese sarnasuse märgi järgi sarnased.

Teoreem on tõestatud.

Kõrgusteoreem täisnurkses kolmnurgas

2. teoreem

Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus jagab kolmnurga kaheks sarnaseks täisnurkseks kolmnurgaks, millest igaüks on antud kolmnurgaga sarnane.

Tõestus.

Olgu meile antud täisnurkne kolmnurk $ABC$ täisnurgaga $C$. Joonistage kõrgus $CD$ (joonis 2).

Joonis 2. 2. teoreemi illustratsioon

Tõestame, et kolmnurgad $ACD$ ja $BCD$ on sarnased kolmnurgaga $ABC$ ning kolmnurgad $ACD$ ja $BCD$ on sarnased.

Kuna $\angle ADC=(90)^0$, on kolmnurk $ACD$ täisnurkne. Kolmnurkadel $ACD$ ja $ABC$ on ühine nurk $A$, seetõttu on teoreemi 1 järgi kolmnurgad $ACD$ ja $ABC$ sarnased.

Kuna $\angle BDC=(90)^0$, on kolmnurk $BCD$ täisnurkne. Kolmnurkadel $BCD$ ja $ABC$ on ühine nurk $B$, seetõttu on teoreemi 1 järgi kolmnurgad $BCD$ ja $ABC$ sarnased.

Vaatleme nüüd kolmnurki $ACD$ ja $BCD$

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]

Seetõttu on teoreemi 1 kohaselt kolmnurgad $ACD$ ja $BCD$ sarnased.

Teoreem on tõestatud.

Keskmine proportsionaalne

3. teoreem

Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus on keskmine proportsionaalne nende lõikude jaoks, milleks kõrgus selle kolmnurga hüpotenuusi jagab.

Tõestus.

Lause 2 järgi on kolmnurgad $ACD$ ja $BCD$ sarnased

Teoreem on tõestatud.

4. teoreem

Täisnurkse kolmnurga jalg on keskmine, mis on võrdeline hüpotenuusi ja jala vahele jääva hüpotenuusi segmendi ning nurga tipust tõmmatud kõrguse vahel.

Tõestus.

Teoreemi tõestuses kasutame joonise 2 tähistust.

Lause 2 järgi on kolmnurgad $ACD$ ja $ABC$ sarnased, seega

Teoreem on tõestatud.

Tunni eesmärgid:

tutvustada kahe lõigu keskmise proportsionaalse (geomeetrilise keskmise) mõistet;
vaatleme täisnurkse kolmnurga võrdeliste lõikude ülesannet: täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrguse omadus;
kujundada õpilaste oskused õpitava teema kasutamisel probleemide lahendamise protsessis.

Tunni tüüp: uue materjali õppimine.

Plaan:

Korralduslik hetk.
Teadmiste värskendus.
Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrguse omaduse uurimine:
- ettevalmistav etapp;
– tutvustus;
- assimilatsioon.
Kahe segmendiga võrdelise keskmise mõiste kasutuselevõtt.
Kahe segmendi keskmise proportsionaalse kontseptsiooni assimilatsioon.
Tagajärgede tõendid:
- täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus on keskmine proportsionaalne nende lõikude vahel, milleks hüpotenuus on selle kõrgusega jagatud;
- täisnurkse kolmnurga jalg on hüpotenuusi ja jala ja kõrguse vahele jääva hüpotenuusi segmendi keskmine proportsionaalne väärtus.
Probleemi lahendamine.
Kokkuvõtteid tehes.
Kodutöö seadmine.

Tundide ajal

I. KORRALDUS

Tere, poisid, istuge. Kas kõik on tunniks valmis?

Alustame tööd.

II. TEADMISTE VÄRSKENDUS

Millise olulise matemaatilise mõiste õppisite eelmistes tundides? ( kolmnurga sarnasuse mõistega)

- Tuletame meelde, milliseid kahte kolmnurka nimetatakse sarnasteks? (kaks kolmnurka nimetatakse sarnasteks kui nende nurgad on vastavalt võrdsed ja ühe kolmnurga küljed on võrdelised teise kolmnurga sarnaste külgedega)

Millega tõestame kahe kolmnurga sarnasust? (

- Loetlege need märgid. (sõnasta kolmnurkade sarnasuse kolm märki)

III. TÄISNURGA TIPULT TEHTUD ristkülikukujulise KOLMNURGA KÕRGUSE OMADUSTE UURIMINE

a) ettevalmistav etapp

- Poisid, palun vaadake esimest slaidi. ( Rakendus) Siin on kaks täisnurkset kolmnurka - ja . ja on vastavalt kõrgused ja. .

Ülesanne 1. a) Tehke kindlaks, kas ja on sarnased.

Millega tõestame kolmnurkade sarnasust? ( kolmnurkade sarnasuse märgid)

(esimene märk, kuna ülesande kolmnurkade külgede kohta pole midagi teada)

. (Kaks paari: 1. ∟B= ∟B1 (sirged), 2. ∟A= ∟A 1)

- Tee järeldus. ( kolmnurkade esimese sarnasuse märgi järgi ~)

Ülesanne 1. b) Tehke kindlaks, kas ja on sarnased.

Millist sarnasuse kriteeriumi me kasutame ja miks? (esimene märk, sest ülesandes pole kolmnurkade külgede kohta midagi teada)

Mitu paari võrdseid nurki peame leidma? Otsige need paarid üles (kuna kolmnurgad on täisnurksed, siis piisab ühest paarist võrdsetest nurkadest: ∟A= ∟A 1)

- Tehke järeldus. (Esimese kolmnurkade sarnasuse märgi põhjal järeldame, et need kolmnurgad on sarnased).

Vestluse tulemusena näeb slaid 1 välja selline:

b) teoreemi avastamine

2. ülesanne.

Tehke kindlaks, kas ja , ja on sarnased. Vestluse tulemusena ehitatakse üles vastused, mis kajastuvad slaidil.

- Joonis näitas, et . Kas kasutasime ülesannete küsimustele vastamisel seda kraadimõõtu? ( Ei, pole kasutatud)

- Poisid, tehke järeldus: millisteks kolmnurkadeks jagab täisnurga tipust tõmmatud kõrgus täisnurkse kolmnurga? (tehke järeldus)

- Tekib küsimus: kas need kaks täisnurkset kolmnurka, milleks kõrgus jagab täisnurkse kolmnurga, on üksteisega sarnased? Proovime leida võrdsete nurkade paare.

Vestluse tulemusena valmib rekord:

- Ja nüüd teeme täieliku järelduse. ( KOKKUVÕTE: täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus jagab kolmnurga kaheks sarnased

- Seda. oleme sõnastanud ja tõestanud teoreemi täisnurkse kolmnurga kõrguse omaduse kohta.

Paneme paika teoreemi struktuuri ja koostame joonise. Mida on teoreemis antud ja mida on vaja tõestada? Õpilased kirjutavad vihikusse:

Tõestame uue joonise teoreemi esimest punkti. Millist sarnasuse kriteeriumi me kasutame ja miks? (Esiteks, kuna teoreemi kolmnurkade külgede kohta pole midagi teada)

Mitu paari võrdseid nurki peame leidma? Otsige need paarid üles. (Sellisel juhul piisab ühest paarist: ∟A-üldine)

- Tee järeldus. Kolmnurgad on sarnased. Selle tulemusena on näidatud teoreemi sõnastuse näide

- Kirjutage teine ja kolmas punkt kodus ise.

c) teoreemi assimilatsioon

- Niisiis, sõnasta teoreem uuesti (Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus jagab kolmnurga kaheks sarnased täisnurksed kolmnurgad, millest igaüks on selle kolmnurgaga sarnane)

- Mitu paari sarnaseid kolmnurki konstruktsioonis "täisnurga kolmnurga kõrgus täisnurga tipust" võib selle teoreemiga leida? ( Kolm paari)

Õpilastele antakse järgmine ülesanne:

IV. KAHE REA KESKMISE PROPORTSIOONI MÕISTE SISSEJUHATUS

Nüüd hakkame õppima uut kontseptsiooni.

Tähelepanu!

Definitsioon. Joonelõik XY helistas keskmine proportsionaalne (geomeetriline keskmine) segmentide vahel AB ja CD, kui

(kirjutage vihikusse).

V. KAHE REA KESKMISE PROPORTSIOONI MÕISTE SEOS

Liigume nüüd järgmise slaidi juurde.

1. harjutus. Leidke keskmiste proportsionaalsete lõikude MN ja KP pikkus, kui MN = 9 cm, KP = 16 cm.

- Mis on ülesandes antud? ( Kaks segmenti ja nende pikkused: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

- Mida sa pead leidma? ( Nende segmentide proportsionaalse keskmise pikkus)

- Mis on keskmise proportsionaalse valem ja kuidas me seda leiame?

(Asendame andmed valemis ja leiame keskmise propi pikkuse.)

Ülesanne number 2. Leia lõigu AB pikkus, kui lõikude AB ja CD keskmine võrdeline väärtus on 90 cm ja CD = 100 cm

- Mis on ülesandes antud? (lõigu CD pikkus = 100 cm ja segmentide AB ja CD keskmine proportsionaalne on 90 cm)

Mida tuleks probleemist leida? ( Lõigu AB pikkus)

- Kuidas me probleemi lahendame? (Kirjutame üles keskmiste proportsionaalsete lõikude AB ja CD valem, väljendame sellest AB pikkuse ja asendame ülesande andmed.)

VI. KOKKUVÕTE

- Hästi tehtud poisid. Ja nüüd pöördume tagasi kolmnurkade sarnasuse juurde, mille oleme teoreemiga tõestanud. Korda teoreem. ( Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus jagab kolmnurga kaheks sarnased täisnurksed kolmnurgad, millest igaüks on antud ühega sarnane)

- Kasutame esmalt kolmnurkade ja sarnasust. Mis sellest järeldub? ( Sarnasuse määratluse järgi on küljed võrdelised sarnaste külgedega)

- Milline võrdsus saadakse proportsiooni põhiomaduse kasutamisel? ()

– Väljendage CD-d ja tehke järeldus (;.

Järeldus: täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus on keskmine proportsionaalne nende lõikude vahel, milleks hüpotenuus on jagatud selle kõrgusega)

- Ja nüüd tõestage ise, et täisnurkse kolmnurga jalg on keskmine proportsionaalne hüpotenuusi ja jala ja kõrguse vahele jääva hüpotenuusi segmendi vahel. see kõrgus )

Täisnurkse kolmnurga jalg on keskmine proportsionaalne vahemikus ... (- ... selle jala ja kõrguse vahele jääv hüpotenuus ja hüpotenuusi segment )

– Kus me õpitud väiteid rakendame? ( Probleemide lahendamisel)

IX. KODUTÖÖDE SÄTEMINE

d/z: Nr 571, nr 572 (a, e), iseseisev töö vihikus, teooria.

Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märk

Tutvustame esmalt täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märki.

1. teoreem

Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märk: kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui mõlemal on üks võrdne teravnurk (joonis 1).

Joonis 1. Sarnased täisnurksed kolmnurgad

Tõestus.

Olgu meile antud, et $\angle B=\angle B_1$. Kuna kolmnurgad on täisnurksed, siis $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Seetõttu on need kolmnurkade esimese sarnasuse märgi järgi sarnased.

Teoreem on tõestatud.

Kõrgusteoreem täisnurkses kolmnurgas

2. teoreem

Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus jagab kolmnurga kaheks sarnaseks täisnurkseks kolmnurgaks, millest igaüks on antud kolmnurgaga sarnane.

Tõestus.

Olgu meile antud täisnurkne kolmnurk $ABC$ täisnurgaga $C$. Joonistage kõrgus $CD$ (joonis 2).

Joonis 2. 2. teoreemi illustratsioon

Tõestame, et kolmnurgad $ACD$ ja $BCD$ on sarnased kolmnurgaga $ABC$ ning kolmnurgad $ACD$ ja $BCD$ on sarnased.

Kuna $\angle ADC=(90)^0$, on kolmnurk $ACD$ täisnurkne. Kolmnurkadel $ACD$ ja $ABC$ on ühine nurk $A$, seetõttu on teoreemi 1 järgi kolmnurgad $ACD$ ja $ABC$ sarnased.

Kuna $\angle BDC=(90)^0$, on kolmnurk $BCD$ täisnurkne. Kolmnurkadel $BCD$ ja $ABC$ on ühine nurk $B$, seetõttu on teoreemi 1 järgi kolmnurgad $BCD$ ja $ABC$ sarnased.

Vaatleme nüüd kolmnurki $ACD$ ja $BCD$

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]

Seetõttu on teoreemi 1 kohaselt kolmnurgad $ACD$ ja $BCD$ sarnased.

Teoreem on tõestatud.

Keskmine proportsionaalne

3. teoreem

Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus on keskmine proportsionaalne nende lõikude jaoks, milleks kõrgus selle kolmnurga hüpotenuusi jagab.

Tõestus.

Lause 2 järgi on kolmnurgad $ACD$ ja $BCD$ sarnased

Teoreem on tõestatud.

4. teoreem

Täisnurkse kolmnurga jalg on keskmine, mis on võrdeline hüpotenuusi ja jala vahele jääva hüpotenuusi segmendi ning nurga tipust tõmmatud kõrguse vahel.

Tõestus.

Teoreemi tõestuses kasutame joonise 2 tähistust.

Lause 2 järgi on kolmnurgad $ACD$ ja $ABC$ sarnased, seega

Teoreem on tõestatud.