Matemaatilise ootuse ja dispersiooni arvutamine. Oodatud väärtus. Pideva juhusliku suuruse matemaatiline ootus
Kogus
Juhuslikkuse peamised numbrilised omadused
Tihedusjaotuse seadus iseloomustab juhuslikku suurust. Kuid sageli on see teadmata ja inimene peab piirduma vähema teabega. Mõnikord on isegi kasulikum kasutada numbreid, mis kirjeldavad juhuslikku suurust summaarselt. Selliseid numbreid nimetatakse numbrilised omadused juhuslik muutuja. Vaatleme peamisi.
Definitsioon:Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus M(X) on selle muutuja kõigi võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutised:
Kui diskreetne juhuslik suurus X võtab siis loendatava hulga võimalikke väärtusi
Veelgi enam, matemaatiline ootus on olemas, kui antud jada läheneb absoluutselt.
Definitsioonist tuleneb, et M(X) diskreetne juhuslik muutuja on mittejuhuslik (konstantne) muutuja.
Näide: Las olla X– sündmuse esinemiste arv AGAühes testis P(A) = p. On vaja leida matemaatiline ootus X.
Otsus: Teeme tabelijaotuse seaduse X:
| X | 0 | 1 |
| P | 1-p | lk |
Leiame matemaatilise ootuse:
Seega matemaatiline ootus sündmuse esinemiste arvu kohta ühes katses on võrdne selle sündmuse tõenäosusega.
Mõiste päritolu oodatud väärtus seostatud tõenäosusteooria tekke algperioodiga (XVI-XVII sajand), mil selle ulatus piirdus hasartmängudega. Mängijat huvitas eeldatava väljamakse keskmine väärtus, s.o. matemaatiline võiduootus.
Kaaluge matemaatilise ootuse tõenäosuslik tähendus.
Lase toota n testid, milles juhuslik suurus X vastu võetud m 1 korda väärtus x 1, m2 korda väärtus x2 ja nii edasi ning lõpuks nõustus ta m k korda väärtus x k, enamgi veel m 1 + m 2 +…+ + m k = n.
Seejärel kõigi juhusliku suuruse poolt võetud väärtuste summa X, on võrdne x 1 m1 +x2 m 2 +…+x k m k.
Kõigi juhusliku suuruse poolt võetud väärtuste aritmeetiline keskmine X, võrdub:
kuna on väärtuse suhteline sagedus mis tahes väärtuse korral i = 1, …, k.
Nagu teada, kui katsete arv n on piisavalt suur, siis on suhteline sagedus ligikaudu võrdne sündmuse toimumise tõenäosusega, seega
Seega,.
Järeldus: Oodatud väärtus Diskreetse juhusliku suuruse väärtus on ligikaudu võrdne (mida täpsem, seda suurem on katsete arv) juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega.
Mõelge matemaatilise ootuse põhiomadustele.
Atribuut 1:Konstantse väärtuse matemaatiline ootus on võrdne konstantse väärtuse endaga:
M(S) = S.
Tõestus: püsiv Koos võib kaaluda, millel on üks võimalik tähendus Koos ja aktsepteerige seda tõenäosusega p = 1. Seega M(S)=S 1 = C.
Teeme kindlaks konstantse väärtuse C ja diskreetse juhusliku suuruse X korrutis diskreetse juhusliku suurusena SH, mille võimalikud väärtused on võrdsed konstandi korrutistega Koos võimalikele väärtustele X SH on võrdsed vastavate võimalike väärtuste tõenäosustega X:
| SH | C | C | … | C |
| X | … | |||
| R | … |
Atribuut 2:Konstantse teguri saab ootusmärgist välja võtta:
M(CX) = CM(X).
Tõestus: Olgu juhuslik suurus X tõenäosusjaotuse seadusega antud:
| X | … | |||
| P | … |
Kirjutame juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse seaduse CX:
| CX | C | C | … | C |
| P | … |
M(CX) = C +C =C + ) = C M(X).
Definitsioon:Kaht juhuslikku muutujat nimetatakse sõltumatuks, kui neist ühe jaotusseadus ei sõltu sellest, milliseid võimalikke väärtusi teine muutuja on võtnud. Vastasel juhul on juhuslikud suurused sõltuvad.
Definitsioon:Mitmeid juhuslikke muutujaid nimetatakse üksteisest sõltumatuteks, kui nende suvalise arvu jaotusseadused ei sõltu sellest, milliseid võimalikke väärtusi teised muutujad on võtnud.
Teeme kindlaks sõltumatute diskreetsete juhuslike suuruste X ja Y korrutis diskreetse juhusliku suurusena XY, mille võimalikud väärtused on võrdsed iga võimaliku väärtuse korrutistega X iga võimaliku väärtuse eest Y. Võimalike väärtuste tõenäosused XY on võrdsed tegurite võimalike väärtuste tõenäosuste korrutistega.
Olgu antud juhuslike muutujate jaotused X ja Y:
| X | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Seejärel juhusliku suuruse jaotus XY tundub, et:
| XY | … | |||
| P | … |
Mõned teosed võivad olla võrdsed. Sel juhul on toote võimaliku väärtuse tõenäosus võrdne vastavate tõenäosuste summaga. Näiteks kui = , siis väärtuse tõenäosus on
Atribuut 3:Kahe sõltumatu juhusliku muutuja korrutise matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega:
M(XY) = M(X) M(Y).
Tõestus: Olgu sõltumatud juhuslikud muutujad X ja Y antud nende endi tõenäosusjaotuse seadustega:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Arvutuste lihtsustamiseks piirdume väikese arvu võimalike väärtustega. Üldiselt on tõestus sarnane.
Koostage juhusliku suuruse jaotuse seadus XY:
| XY | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) M(Y).
Tagajärg:Mitme üksteisest sõltumatu juhusliku muutuja korrutise matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega.
Tõestus: Tõestame kolme teineteisest sõltumatut juhuslikku muutujat X,Y,Z. juhuslikud muutujad XY ja Z sõltumatu, siis saame:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) K(Y) M(Z).
Suvalise arvu vastastikku sõltumatute juhuslike muutujate puhul teostatakse tõestus matemaatilise induktsiooni meetodil.
Näide: Sõltumatud juhuslikud muutujad X ja Y
| X | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
Tahtis leida M(XY).
Otsus: Kuna juhuslikud muutujad X ja Y iseseisev siis M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
Teeme kindlaks diskreetsete juhuslike suuruste X ja Y summa diskreetse juhusliku suurusena X+Y, mille võimalikud väärtused on võrdsed iga võimaliku väärtuse summadega X iga võimaliku väärtusega Y. Võimalike väärtuste tõenäosused X+Y sõltumatute juhuslike muutujate jaoks X ja Y on võrdsed liikmete tõenäosuste korrutistega ning sõltuvate juhuslike muutujate korral - ühe liikme tõenäosuse ja teise tingimusliku tõenäosuse korrutistega.
Kui = ja nende väärtuste tõenäosused on vastavalt võrdsed , siis on tõenäosus (sama kui ) võrdne .
Atribuut 4:Kahe juhusliku suuruse (sõltuva või sõltumatu) summa matemaatiline ootus on võrdne terminite matemaatiliste ootuste summaga:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Tõestus: Olgu kaks juhuslikku muutujat X ja Y on antud järgmiste jaotusseadustega:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Tuletamise lihtsustamiseks piirdume iga suuruse kahe võimaliku väärtusega. Üldiselt on tõestus sarnane.
Koostage juhusliku suuruse kõik võimalikud väärtused X+Y(lihtsuse mõttes oletame, et need väärtused on erinevad; kui ei, siis on tõestus sarnane):
| X+Y | ||||
| P |
Leiame selle suuruse matemaatilise ootuse.
M(X+Y) = + + + +
Tõestame, et + = .
Sündmus X= ( selle tõenäosus P(X = ) hõlmab sündmust, kui juhuslik muutuja X+Y võtab väärtuse või (selle sündmuse tõenäosus liitmisteoreemi järgi on ) ja vastupidi. Siis = .
Võrdsed = = =
Asendades nende võrrandite õiged osad saadud matemaatilise ootuse valemisse, saame:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Tagajärg:Mitme juhusliku suuruse summa matemaatiline ootus on võrdne terminite matemaatiliste ootuste summaga.
Tõestus: Tõestame kolme juhuslikku muutujat X,Y,Z. Leiame juhuslike muutujate matemaatilise ootuse X+Y ja Z:
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
Suvalise arvu juhuslike muutujate puhul teostatakse tõestus matemaatilise induktsiooni meetodil.
Näide: Leia kahe täringu viskamisel langeda võiva punktide summa keskmine väärtus.
Otsus: Las olla X- punktide arv, mis võib langeda esimesele täringule, Y- Teisel. On ilmne, et juhuslikud suurused X ja Y neil on samad jaotused. Kirjutame jaotuste andmed X ja Yühte tabelisse:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Niisiis, kahe täringu viskamisel välja kukkuda võib punktide summa keskmine väärtus 7 .
Teoreem:Sündmuse A esinemiste arvu matemaatiline ootus M(X) n sõltumatus katses on võrdne katsete arvu ja sündmuse toimumise tõenäosuse korrutisega igas katses: M(X) = np.
Tõestus: Las olla X- sündmuse esinemiste arv A sisse n sõltumatud testid. Ilmselgelt kokku X sündmuste esinemised A nendes katsetes on sündmuste esinemiste arvu summa üksikutes katsetes. Seejärel, kui sündmuse esinemiste arv esimeses katses, teises ja nii edasi, on lõpuks sündmuse esinemiste arv n test, siis arvutatakse sündmuse esinemiste koguarv järgmise valemiga:
Kõrval ootuse omadus 4 meil on:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Kuna matemaatiline ootus sündmuse esinemiste arvu kohta ühes katses on võrdne sündmuse tõenäosusega, siis
M( ) = M( )= … = M( ) = lk.
Seega M(X) = np.
Näide: Relvast tulistades sihtmärgi tabamise tõenäosus on võrdne p = 0,6. Leidke keskmine tabamuste arv, kui see on olemas 10 lasud.
Otsus: Iga löögi tabamus ei sõltu teiste laskude tulemustest, seega on vaatlusalused sündmused sõltumatud ja seetõttu on soovitud matemaatiline ootus võrdne:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Seega on keskmine tabamuste arv 6.
Vaatleme nüüd pideva juhusliku muutuja matemaatilist ootust.
Definitsioon:Pideva juhusliku suuruse X matemaatiline ootus, mille võimalikud väärtused kuuluvad segmenti,nimetatakse kindlaks integraaliks:
kus f(x) on tõenäosusjaotuse tihedus.
Kui pideva juhusliku suuruse X võimalikud väärtused kuuluvad kogu Ox-teljele, siis
Eeldatakse, et see ebaõige integraal koondub absoluutselt, s.o. integraal koondub Kui see nõue ei oleks täidetud, siis sõltuks integraali väärtus alumise piiri kaldumise kiirusest (eraldi) väärtusele -∞ ja ülempiirile +∞.
Seda saab tõestada kõik diskreetse juhusliku suuruse matemaatilise ootuse omadused säilivad pideva juhusliku suuruse puhul. Tõestus põhineb kindlate ja ebaõigete integraalide omadustel.
Ilmselgelt ootus M(X) suurem kui juhusliku suuruse väikseim ja väiksem kui suurim võimalikest väärtustest X. Need. arvteljel paiknevad juhusliku suuruse võimalikud väärtused selle matemaatilisest ootusest vasakul ja paremal. Selles mõttes matemaatiline ootus M(X) iseloomustab leviku asukohta ja seetõttu nimetatakse seda sageli jaotuskeskus.
Peatükk 6
Juhuslike suuruste arvulised karakteristikud
Matemaatiline ootus ja selle omadused
Paljude praktiliste probleemide lahendamiseks ei ole alati vaja teada juhusliku suuruse kõiki võimalikke väärtusi ja nende tõenäosusi. Pealegi on mõnikord uuritava juhusliku suuruse jaotusseadus lihtsalt teadmata. Siiski tuleb esile tõsta selle juhusliku suuruse mõningaid tunnuseid, teisisõnu numbrilisi karakteristikuid.
Numbrilised omadused- need on mõned arvud, mis iseloomustavad juhusliku suuruse teatud omadusi, eristavaid tunnuseid.
Näiteks juhusliku suuruse keskmine väärtus, juhusliku suuruse kõigi väärtuste keskmine levik selle keskmise ümber jne. Arvtunnuste põhieesmärk on lühidalt väljendada uuritava juhusliku suuruse jaotuse olulisemad tunnused. Arvulised karakteristikud tõenäosusteoorias mängivad tohutut rolli. Need aitavad isegi jaotusseadusi tundmata lahendada palju olulisi praktilisi probleeme.
Kõigist numbrilistest omadustest toome kõigepealt välja asendi omadused. Need on karakteristikud, mis fikseerivad juhusliku suuruse asukoha arvuteljel, s.t. teatud keskmine väärtus, mille ümber rühmitatakse juhusliku suuruse ülejäänud väärtused.
Positsiooni tunnustest mängib tõenäosusteoorias suurimat rolli matemaatiline ootus.
Oodatud väärtus mõnikord nimetatakse seda lihtsalt juhusliku muutuja keskmiseks väärtuseks. See on omamoodi jaotuskeskus.
Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus
Mõelge esmalt diskreetse juhusliku muutuja matemaatilise ootuse kontseptsioonile.
Enne formaalse definitsiooni juurutamist lahendame järgmise lihtsa ülesande.
Näide 6.1. Laske laskuril 100 lasku märklauda. Selle tulemusena saadi järgmine pilt: 50 lasku - tabab "kaheksa", 20 lasku - tabab "üheksa" ja 30 - tabab "kümme". Mis on keskmine skoor ühe löögi kohta.
Otsus See probleem on ilmne ja taandub 100 numbri, nimelt punktide keskmise väärtuse leidmisele.
Teisendame murdosa, jagades lugeja nimetaja liikmega terminiga ja esitame keskmise väärtuse järgmise valemi kujul:
Oletame nüüd, et punktide arv ühes võttes on mõne diskreetse juhusliku muutuja väärtused X. Probleemi olukorrast on selge, et X 1 =8; X 2 =9; X 3 = 10. Nende väärtuste suhtelised esinemissagedused on teada, mis, nagu teada, kell suured numbrid testid on ligikaudu võrdsed vastavate väärtuste tõenäosustega, s.o. R 1 ≈0,5;R 2 ≈0,2; R 3 ≈0,3. Niisiis, . Paremal pool olev väärtus on diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus.
Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus X on kõigi selle võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutiste summa.
Olgu diskreetne juhuslik suurus X antud selle jaotussarja järgi:
| X | X 1 | X 2 | … | X n |
| R | R 1 | R 2 | … | R n |
Siis matemaatiline ootus M(X) diskreetse juhusliku suuruse määramiseks kasutatakse järgmist valemit:
Kui diskreetne juhuslik suurus omandab lõpmatu loendatava väärtuste hulga, siis väljendatakse matemaatilist ootust valemiga:
,
pealegi eksisteerib matemaatiline ootus siis, kui võrdsuse paremal pool olevad jadad lähenevad absoluutselt.
Näide 6.2 . Leidke matemaatiline võiduootus X näite 5.1 tingimustel.
Otsus . Tuletame meelde, et jaotusseeria X sellel on järgmine vorm:
| X | |||
| R | 0,7 | 0,2 | 0,1 |
Hangi M(X)=0∙0,7+10∙0,2+50∙0,1=7. Ilmselgelt on 7 rubla selle loterii pileti õiglane hind, ilma erinevate kuludeta, mis on seotud näiteks piletite levitamise või tootmisega. ■
Näide 6.3 . Olgu juhuslik suurus X on mõne sündmuse esinemiste arv AGAühes testis. Selle sündmuse tõenäosus on R. Leidma M(X).
Otsus. Ilmselgelt on juhusliku suuruse võimalikud väärtused: X 1 =0 – sündmus AGA ei ilmunud ja X 2 =1 – sündmus AGA ilmunud. Jaotussarja vorm on:
| X | ||
| R | 1−R | R |
Siis M(X) = 0∙(1−R)+1∙R= R. ■
Seega on matemaatiline ootus sündmuse esinemiste arvu kohta ühes testis võrdne selle sündmuse tõenäosusega.
Lõigu alguses oli konkreetne ülesanne, kus oli näidatud seos matemaatilise ootuse ja juhusliku suuruse keskmise väärtuse vahel. Selgitagem seda üldiselt.
Lase toota k testid, milles juhuslik suurus X vastu võetud k 1 aja väärtus X 1 ; k 2-kordne väärtus X 2 jne. ja lõpuks k n korda väärtus x n . See on ilmne k 1 +k 2 +…+k n = k. Leiame kõigi nende väärtuste aritmeetilise keskmise, meil on
Pange tähele, et murdosa on väärtuse suhteline esinemissagedus x i sisse k testid. Suure hulga testide korral on suhteline sagedus ligikaudu võrdne tõenäosusega, s.o. . Sellest järeldub
.
Seega on matemaatiline ootus ligikaudu võrdne juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega ja mida täpsem on, seda suurem on katsete arv – see on matemaatilise ootuse tõenäosuslik tähendus.
Mõnikord nimetatakse matemaatilist ootust Keskus juhusliku suuruse jaotus, kuna on ilmne, et juhusliku suuruse võimalikud väärtused asuvad arvteljel selle matemaatilisest ootusest vasakul ja paremal.
Pöördume nüüd pideva juhusliku muutuja matemaatilise ootuse kontseptsiooni juurde.
Seal on ka ülesandeid iseseisev otsus millele näete vastuseid.
Matemaatiline ootus ja dispersioon on juhusliku suuruse kõige sagedamini kasutatavad numbrilised karakteristikud. Need iseloomustavad jaotuse kõige olulisemaid tunnuseid: selle asukohta ja hajuvusastet. Matemaatilisele ootusele viidatakse sageli kui keskmisele. juhuslik muutuja. Juhusliku suuruse dispersioon - dispersiooni tunnus, juhusliku suuruse dispersioon oma matemaatilise ootuse ümber.
Paljude praktikaprobleemide puhul pole juhusliku muutuja - jaotusseaduse - täielikku ja ammendavat kirjeldust võimalik saada või pole seda üldse vaja. Nendel juhtudel piirduvad need juhusliku suuruse ligikaudse kirjeldusega, kasutades numbrilisi tunnuseid.
Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus
Tuleme matemaatilise ootuse mõiste juurde. Olgu mingi aine mass jaotunud x-telje punktide vahel x1 , x 2 , ..., x n. Pealegi on igal materiaalsel punktil sellele vastav mass tõenäosusega lk1 , lk 2 , ..., lk n. On vaja valida x-teljel üks punkt, mis iseloomustab kogu materiaalsete punktide süsteemi asukohta, võttes arvesse nende massi. Selliseks punktiks on loomulik võtta materiaalsete punktide süsteemi massikese. See on juhusliku suuruse kaalutud keskmine X, milles iga punkti abstsiss xi siseneb vastava tõenäosusega võrdse "kaaluga". Nii saadud juhusliku suuruse keskmine väärtus X nimetatakse selle matemaatiliseks ootuseks.
Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on kõigi selle võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutised:
Näide 1 Korraldati win-win loterii. Seal on 1000 võitu, millest 400 on igaüks 10 rubla. 300-20 rubla igaüks 200-100 rubla igaüks. ja igaüks 100-200 rubla. Kui suur on ühe pileti ostnud inimese keskmine võit?
Otsus. Leiame keskmise tasuvuse, kui kogu summa võidud, mis on võrdne 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50 000 rubla, jagatud 1000-ga (võitude kogusumma). Siis saame 50000/1000 = 50 rubla. Kuid keskmise võimenduse arvutamise avaldist saab esitada ka järgmisel kujul:
Teisest küljest on nendel tingimustel võitude suurus juhuslik suurus, mis võib olla 10, 20, 100 ja 200 rubla. tõenäosustega, mis on vastavalt 0,4; 0,3; 0,2; 0.1. Seetõttu on oodatav keskmine väljamakse võrdne väljamaksete suuruse ja nende saamise tõenäosuse korrutistega.
Näide 2 Kirjastus otsustas välja anda uue raamatu. Ta kavatseb raamatu müüa 280 rubla eest, millest 200 antakse talle, 50 raamatupoele ja 30 autorile. Tabel annab teavet raamatu väljaandmise maksumuse ja teatud arvu eksemplaride müügi tõenäosuse kohta.
Leidke väljaandja eeldatav kasum.
Otsus. Juhuslik suurus "kasum" võrdub müügitulu ja kulude maksumuse vahega. Näiteks kui raamatut müüakse 500 eksemplari, siis müügist saadav tulu on 200 * 500 = 100 000 ja kirjastamiskulu 225 000 rubla. Seega ootab kirjastust 125 000 rubla kahjum. Järgmine tabel võtab kokku juhusliku suuruse - kasumi - eeldatavad väärtused:
| Number | Kasum xi | Tõenäosus lki | xi lk i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Kokku: | 1,00 | 25000 |
Seega saame kirjastaja kasumi matemaatilise ootuse:
.
Näide 3 Võimalus lüüa ühe löögiga lk= 0,2. Määrake kestade tarbimine, mis annab matemaatilise ootuse, et tabamuste arv on 5.
Otsus. Samast ootusvalemist, mida oleme siiani kasutanud, väljendame x- kestade tarbimine:
.
Näide 4 Määrake juhusliku suuruse matemaatiline ootus x tabamuste arv kolme lasuga, kui iga löögiga tabamise tõenäosus lk = 0,4 .
Vihje: leidke juhusliku suuruse väärtuste tõenäosus järgmiselt Bernoulli valem .
Ootuste omadused
Mõelge matemaatilise ootuse omadustele.
Vara 1. Konstantse väärtuse matemaatiline ootus on võrdne selle konstandiga:
Vara 2. Konstantse teguri saab ootusmärgist välja võtta:
Vara 3. Juhuslike muutujate summa (erinevuse) matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste summaga (erinevus):
Vara 4. Juhuslike muutujate korrutise matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega:
Vara 5. Kui kõik juhusliku suuruse väärtused X vähenema (suurendada) sama arvu võrra Koos, siis selle matemaatiline ootus väheneb (suureneb) sama arvu võrra:
Kui te ei saa piirduda ainult matemaatiliste ootustega
Enamasti ei suuda ainult matemaatiline ootus juhuslikku muutujat adekvaatselt iseloomustada.
Olgu juhuslikud muutujad X ja Y on antud järgmiste jaotusseadustega:
| Tähendus X | Tõenäosus |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Tähendus Y | Tõenäosus |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Nende suuruste matemaatilised ootused on samad - võrdne nulliga:
Nende jaotus on aga erinev. Juhuslik väärtus X saab võtta ainult selliseid väärtusi, mis erinevad vähe matemaatilisest ootusest ja juhuslikust muutujast Y võib võtta väärtusi, mis erinevad oluliselt matemaatilisest ootusest. Sarnane näide: keskmine palk ei võimalda hinnata kõrge ja madalapalgaliste töötajate osakaalu. Teisisõnu, matemaatilise ootuse järgi ei saa hinnata, millised kõrvalekalded sellest, vähemalt keskmiselt, on võimalikud. Selleks tuleb leida juhusliku suuruse dispersioon.
Diskreetse juhusliku suuruse dispersioon
dispersioon diskreetne juhuslik suurus X nimetatakse matemaatiliseks ootuseks selle ruudu kõrvalekaldumisest matemaatilisest ootusest:
Juhusliku suuruse standardhälve X on selle dispersiooni ruutjuure aritmeetiline väärtus:
.
Näide 5 Arvutage juhuslike suuruste dispersioonid ja standardhälbed X ja Y, mille jaotusseadused on toodud ülaltoodud tabelites.
Otsus. Juhuslike suuruste matemaatilised ootused X ja Y, nagu ülalpool leiti, on võrdsed nulliga. Vastavalt dispersiooni valemile E(X)=E(y)=0 saame:
Seejärel juhuslike suuruste standardhälbed X ja Y moodustavad
.
Seega samade matemaatiliste ootuste korral juhusliku suuruse dispersioon X väga väike ja juhuslik Y- märkimisväärne. See on nende leviku erinevuse tagajärg.
Näide 6 Investoril on 4 alternatiivset investeerimisprojekti. Tabelis on kokku võetud andmed eeldatava kasumi kohta nendes projektides vastava tõenäosusega.
| Projekt 1 | Projekt 2 | Projekt 3 | Projekt 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Leidke iga alternatiivi jaoks matemaatiline ootus, dispersioon ja standardhälve.
Otsus. Näitame, kuidas need kogused arvutatakse 3. alternatiivi jaoks:
Tabel võtab kokku kõigi alternatiivide leitud väärtused.
Kõigil alternatiividel on samad matemaatilised ootused. See tähendab, et pikas perspektiivis on kõigil sama sissetulek. Standardhälvet võib tõlgendada kui riski mõõdikut – mida suurem see on, seda suurem on investeeringu risk. Investor, kes ei soovi suurt riski, valib projekti 1, kuna sellel on väikseim standardhälve (0). Kui investor eelistab riski ja kõrget tootlust lühikese perioodi jooksul, siis valib ta suurima standardhälbega projekti - projekt 4.
Dispersiooniomadused
Toome välja dispersiooni omadused.
Vara 1. Konstantse väärtuse dispersioon on null:
Vara 2. Konstantse teguri saab dispersioonimärgist välja võtta selle ruudustamisel:
.
Vara 3. Juhusliku suuruse dispersioon on võrdne selle väärtuse ruudu matemaatilise ootusega, millest lahutatakse väärtuse enda matemaatilise ootuse ruut:
,
kus 
.
Vara 4. Juhuslike suuruste summa (erinevuse) dispersioon on võrdne nende dispersioonide summaga (erinevus):
Näide 7 On teada, et diskreetne juhuslik suurus X võtab ainult kaks väärtust: −3 ja 7. Lisaks on teada matemaatiline ootus: E(X) = 4. Leia diskreetse juhusliku suuruse dispersioon.
Otsus. Tähistage lk tõenäosus, millega juhuslik suurus omandab väärtuse x1 = −3 . Siis väärtuse tõenäosus x2 = 7 saab olema 1 − lk. Tuletame matemaatilise ootuse võrrandi:
E(X) = x 1 lk + x 2 (1 − lk) = −3lk + 7(1 − lk) = 4 ,
kust saame tõenäosused: lk= 0,3 ja 1 − lk = 0,7 .
Juhusliku suuruse jaotuse seadus:
| X | −3 | 7 |
| lk | 0,3 | 0,7 |
Arvutame selle juhusliku suuruse dispersiooni, kasutades dispersiooni omaduse 3 valemit:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Leidke ise juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja seejärel vaadake lahendust
Näide 8 Diskreetne juhuslik suurus X võtab ainult kaks väärtust. See võtab suurema väärtuse 3 tõenäosusega 0,4. Lisaks on teada juhusliku suuruse dispersioon D(X) = 6. Leidke juhusliku suuruse matemaatiline ootus.
Näide 9 Urnis on 6 valget ja 4 musta palli. Urnist võetakse 3 palli. Valgete pallide arv väljatõmmatud pallide hulgas on diskreetne juhuslik suurus X. Leidke selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon.
Otsus. Juhuslik väärtus X võib võtta väärtused 0, 1, 2, 3. Vastavad tõenäosused saab arvutada tõenäosuste korrutamise reegel. Juhusliku suuruse jaotuse seadus:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| lk | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Siit ka selle juhusliku muutuja matemaatiline ootus:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Antud juhusliku suuruse dispersioon on:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Pideva juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon
Pideva juhusliku suuruse korral jääb matemaatilise ootuse mehaaniline tõlgendus sama tähendusega: massikese massikese jaoks, mis on jaotatud pidevalt x-teljel tihedusega. f(x). Erinevalt diskreetsest juhuslikust muutujast, mille jaoks funktsiooni argument xi muutub järsult, pideva juhusliku muutuja puhul muutub argument pidevalt. Kuid pideva juhusliku suuruse matemaatiline ootus on samuti seotud selle keskmise väärtusega.
Pideva juhusliku suuruse matemaatilise ootuse ja dispersiooni leidmiseks peate leidma kindlad integraalid . Kui on antud pideva juhusliku suuruse tihedusfunktsioon, siis see siseneb otse integrandi. Kui on antud tõenäosusjaotuse funktsioon, siis seda eristades tuleb leida tihedusfunktsioon.
Pideva juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste aritmeetilist keskmist nimetatakse selleks matemaatiline ootus, tähistatud või .
Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse tõenäosusjaotus
Matemaatiline ootus, definitsioon, diskreetsete ja pidevate juhuslike muutujate matemaatiline ootus, valikuline, tingimuslik ootus, arvutus, omadused, ülesanded, ootuse hindamine, dispersioon, jaotusfunktsioon, valemid, arvutusnäited
Laienda sisu
Ahenda sisu
Matemaatiline ootus on definitsioon
Üks olulisemaid mõisteid matemaatiline statistika ja tõenäosusteooria, mis iseloomustab juhusliku suuruse väärtuste või tõenäosuste jaotust. Tavaliselt väljendatakse kui kaalutud keskmine juhusliku suuruse kõik võimalikud parameetrid. Laialdaselt kasutatav tehnilises analüüsis, uurimistöös numbriseeria, pidevate ja pikkade protsesside uurimine. See on oluline riskide hindamisel, hinnanäitajate prognoosimisel finantsturgudel kaubeldes ning seda kasutatakse hasartmängude teoorias mängutaktika strateegiate ja meetodite väljatöötamisel.
Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse keskväärtust, tõenäosusteoorias vaadeldakse juhusliku suuruse tõenäosusjaotust.
Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse keskmise väärtuse mõõt tõenäosusteoorias. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus x tähistatud M(x).
Matemaatiline ootus on
Matemaatiline ootus on tõenäosusteoorias kõigi võimalike väärtuste kaalutud keskmine, mida see juhuslik suurus võib võtta.
Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste korrutiste summa nende väärtuste tõenäosuste järgi.
Matemaatiline ootus on keskmine kasu konkreetsest otsusest, eeldusel, et sellist otsust saab käsitleda suurte arvude ja pika vahemaa teooria raames.
Matemaatiline ootus on hasartmänguteoorias võitude summa, mille mängija saab iga panuse korral keskmiselt teenida või kaotada. Mängurite kõnepruugis nimetatakse seda mõnikord "mängija eeliseks" (kui see on mängija jaoks positiivne) või "maja eeliseks" (kui see on mängija jaoks negatiivne).
Matemaatiline ootus on Kasumi protsent võidu kohta korrutatuna keskmise kasumiga miinus kaotuse tõenäosus korrutatuna keskmise kahjumiga.
Juhusliku muutuja matemaatiline ootus matemaatiline teooria
Juhusliku muutuja üheks oluliseks numbriliseks tunnuseks on matemaatiline ootus. Tutvustame juhuslike muutujate süsteemi mõistet. Vaatleme juhuslike muutujate kogumit, mis on sama juhusliku katse tulemused. Kui on üks süsteemi võimalikest väärtustest, siis vastab sündmus teatud tõenäosusele, mis rahuldab Kolmogorovi aksioome. Funktsiooni, mis on määratletud juhuslike muutujate mis tahes võimalike väärtuste jaoks, nimetatakse ühisjaotusseaduseks. See funktsioon võimaldab teil arvutada mis tahes sündmuste tõenäosused. Eelkõige antakse tõenäosuste abil juhuslike muutujate jaotuse ühisseadus, mis võtavad väärtused hulgast ja.
Mõiste "ootus" võttis kasutusele Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) ja see pärines mõistest "väljamakse eeldatav väärtus", mis ilmus esmakordselt 17. sajandil hasartmängude teoorias Blaise Pascali ja Christian Huygensi teostes. . Esimese täieliku teoreetilise arusaama ja hinnangu sellele kontseptsioonile andis aga Pafnuti Lvovitš Tšebõšev (19. sajandi keskpaik).
juhusliku jaotuse seadus arvväärtusi(jaotusfunktsioon ja jaotusrida või tõenäosustihedus) kirjeldavad täielikult juhusliku suuruse käitumist. Kuid mitme ülesande puhul piisab, kui on teada uuritava suuruse mõningaid arvulisi omadusi (näiteks selle keskmist väärtust ja võimalikku kõrvalekallet sellest), et vastata püstitatud küsimusele. Juhuslike muutujate peamised numbrilised karakteristikud on matemaatiline ootus, dispersioon, moodus ja mediaan.
Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on selle võimalike väärtuste ja neile vastavate tõenäosuste korrutiste summa. Mõnikord nimetatakse matemaatilist ootust kaalutud keskmiseks, kuna see on ligikaudu võrdne suure arvu katsete jooksul juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega. Matemaatilise ootuse definitsioonist järeldub, et selle väärtus ei ole väiksem kui juhusliku suuruse väikseim võimalik väärtus ja mitte suurem kui suurim. Juhusliku muutuja matemaatiline ootus on mittejuhuslik (konstantne) muutuja.
Matemaatilisel ootusel on lihtne füüsiline tähendus: kui asetate ühikulise massi sirgjoonele, asetades teatud punktidesse massi (diskreetse jaotuse jaoks) või "määrides" selle teatud tihedusega (absoluutselt pidev levitamine), siis on matemaatilisele ootusele vastav punkt sirge "raskuskeskme" koordinaadiks.
Juhusliku muutuja keskmine väärtus on teatud arv, mis on justkui selle "esindaja" ja asendab selle ligikaudsetes arvutustes. Kui me ütleme: "lambi keskmine tööaeg on 100 tundi" või "keskmine löögipunkt on sihtmärgi suhtes nihutatud 2 m võrra paremale", osutame sellega juhusliku suuruse teatud arvulisele tunnusele, mis kirjeldab selle suurust. asukoht numbriteljel, s.o. positsiooni kirjeldus.
Positsiooni tunnustest tõenäosusteoorias on kõige olulisem roll juhusliku suuruse matemaatilisel ootusel, mida mõnikord nimetatakse lihtsalt juhusliku suuruse keskmiseks väärtuseks.
Vaatleme juhuslikku muutujat X, millel on võimalikud väärtused x1, x2, …, xn tõenäosustega p1, p2, …, pn. Peame iseloomustama mõne numbriga juhusliku suuruse väärtuste asukohta x-teljel, võttes arvesse asjaolu, et nendel väärtustel on erinev tõenäosus. Sel eesmärgil on loomulik kasutada väärtuste nn "kaalutud keskmist". xi, ja iga väärtust xi tuleks keskmistamise ajal arvesse võtta selle väärtuse tõenäosusega võrdelise "kaaluga". Seega arvutame juhusliku suuruse keskmise X, mida me tähistame M|X|:
Seda kaalutud keskmist nimetatakse juhusliku suuruse matemaatiliseks ootuseks. Seega võtsime vaatluse alla tõenäosusteooria ühe olulisema mõiste – matemaatilise ootuse. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutis.
X omamoodi sõltuvuse tõttu suure hulga katsetega juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega. See sõltuvus on sama tüüpi kui sageduse ja tõenäosuse vaheline sõltuvus, nimelt: suure arvu katsete korral läheneb juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine (tõenäosusega läheneb) oma matemaatilisele ootusele. Sageduse ja tõenäosuse vahelise seose olemasolust võib järeldada sarnase seose olemasolu aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vahel. Tõepoolest, kaaluge juhuslikku muutujat X, mida iseloomustab jaotuste seeria:
Las toodetakse N sõltumatud katsed, millest igaühes on väärtus X omandab teatud väärtuse. Oletame, et väärtus x1 ilmunud m1 korda, väärtust x2 ilmunud m2 korda, üldine tähendus xi ilmus mi korda. Arvutame X vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmise, mis erinevalt matemaatilisest ootusest M|X| me tähistame M*|X|:
Eksperimentide arvu suurenemisega N sagedused pi läheneb (tõenäosuses läheneb) vastavatele tõenäosustele. Seetõttu on juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine M|X| katsete arvu suurenemisega läheneb see (tõenäosus läheneb) oma matemaatilisele ootusele. Eelpool sõnastatud aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vaheline seos moodustab suurte arvude seaduse ühe vormi sisu.
Teame juba, et suurte arvude seaduse kõik vormid kinnitavad tõsiasja, et teatud keskmised on paljude katsete puhul stabiilsed. Siin räägime sama väärtusega vaatluste rea aritmeetilise keskmise stabiilsusest. Väikese arvu katsete korral on nende tulemuste aritmeetiline keskmine juhuslik; katsete arvu piisava suurenemisega muutub see "peaaegu mitte juhuslikuks" ja stabiliseerudes läheneb konstantsele väärtusele - matemaatilisele ootusele.
Paljude katsete keskmiste stabiilsuse omadust on lihtne katseliselt kontrollida. Näiteks laboris täpsetel kaaludel suvalist keha kaaludes saame kaalumise tulemusena iga kord uue väärtuse; vaatlusvea vähendamiseks kaalume keha mitu korda ja kasutame saadud väärtuste aritmeetilist keskmist. On hästi näha, et katsete (kaalumiste) arvu edasisel suurenemisel reageerib aritmeetiline keskmine sellele tõusule üha vähem ja piisavalt suure katsete arvu korral praktiliselt lakkab muutumast.
Tuleb märkida, et juhusliku suuruse asukoha kõige olulisem tunnus – matemaatiline ootus – ei eksisteeri kõigi juhuslike suuruste puhul. Võimalik on koostada näiteid sellistest juhuslikest suurustest, mille puhul matemaatilist ootust ei eksisteeri, kuna vastav summa või integraal lahkneb. Kuid praktika jaoks ei paku sellised juhtumid märkimisväärset huvi. Tavaliselt on juhuslikel muutujatel, millega me tegeleme, piiratud võimalike väärtuste vahemik ja loomulikult on neil ka ootus.
Lisaks kõige olulisematele juhusliku suuruse asukoha tunnustele - matemaatilisele ootusele, kasutatakse praktikas mõnikord ka muid positsioonitunnuseid, eelkõige juhusliku suuruse moodust ja mediaani.
Juhusliku muutuja moodus on selle kõige tõenäolisem väärtus. Mõiste "kõige tõenäolisem väärtus" kehtib rangelt võttes ainult katkendlike koguste kohta; pideva suuruse puhul on moodus väärtus, mille korral tõenäosustihedus on maksimaalne. Joonistel on näidatud vastavalt katkendlike ja pidevate juhuslike muutujate režiim.
Kui jaotuspolügoonil (jaotuskõveral) on rohkem kui üks maksimum, siis öeldakse, et jaotus on polümodaalne.
Mõnikord on distributsioone, mille keskel on mitte maksimum, vaid miinimum. Selliseid jaotusi nimetatakse "antimodaalseteks".
Üldjuhul juhusliku suuruse mood ja matemaatiline ootus ei lange kokku. Konkreetsel juhul, kui jaotus on sümmeetriline ja modaalne (st omab moodust) ja on olemas matemaatiline ootus, langeb see kokku jaotuse mooduse ja sümmeetriakeskmega.
Sageli kasutatakse teist positsiooni tunnust - juhusliku suuruse nn mediaani. Seda tunnust kasutatakse tavaliselt ainult pidevate juhuslike muutujate jaoks, kuigi seda saab formaalselt määratleda ka katkendliku muutuja jaoks. Geomeetriliselt on mediaan selle punkti abstsiss, kus jaotuskõveraga piiratud ala poolitatakse.
Sümmeetrilise modaaljaotuse korral langeb mediaan kokku keskmise ja moodusega.
Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse keskmine väärtus - numbriline tunnus juhusliku suuruse tõenäosusjaotus. Kõige üldisemalt juhusliku suuruse matemaatiline ootus X(w) on defineeritud kui Lebesgue'i integraal tõenäosusmõõdu suhtes R algses tõenäosusruumis:
Matemaatilise ootuse saab arvutada ka Lebesgue'i integraalina X tõenäosusjaotuse järgi px kogused X:
Loomulikul viisil saab defineerida lõpmatu matemaatilise ootusega juhusliku suuruse mõiste. Tüüpiline näide on tagasipöördumisajad mõnel juhuslikul jalutuskäigul.
Matemaatilise ootuse abil määratakse jaotuse paljud numbrilised ja funktsionaalsed karakteristikud (juhusliku suuruse vastavate funktsioonide matemaatilise ootusena), näiteks genereeriv funktsioon, karakteristikfunktsioon, mis tahes järku momendid, eelkõige dispersioon. , kovariatsioon.
Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse väärtuste asukoha tunnus (selle jaotuse keskmine väärtus). Selles funktsioonis toimib matemaatiline ootus mõne "tüüpilise" jaotusparameetrina ja selle roll on sarnane staatilise momendi - massijaotuse raskuskeskme koordinaadi - rolliga mehaanikas. Teistest asukoha tunnustest, mille abil jaotust üldsõnaliselt kirjeldatakse - mediaanid, moodused, erineb matemaatiline ootus selle suurema väärtuse poolest, mis sellel ja vastaval hajuvuskarakteristikul - dispersioonil - tõenäosusteooria piirteoreemides on. . Suurima täielikkusega paljastavad matemaatilise ootuse tähenduse suurte arvude seadus (Tšebõševi ebavõrdsus) ja tugevdatud suurte arvude seadus.
Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus
Olgu mõni juhuslik muutuja, mis võib võtta ühe mitmest arvväärtusest (näiteks võib täringuviske punktide arv olla 1, 2, 3, 4, 5 või 6). Sageli tekib praktikas sellise väärtuse puhul küsimus: millist väärtust see "keskmiselt" võtab suure hulga testide korral? Kui suur on meie keskmine tulu (või kahjum) igast riskantsest toimingust?
Oletame, et on mingi loterii. Tahame aru saada, kas selles osalemine (või isegi korduvalt, regulaarselt) on tulus või mitte. Oletame, et iga neljas pilet võidab, auhind on 300 rubla ja iga pileti hind on 100 rubla. Lõpmatu arvu osaluste puhul see juhtubki. Kolmel neljandikul juhtudest me kaotame, iga kolme kaotuse eest tuleb maksta 300 rubla. Igal neljandal juhul võidame 200 rubla. (auhind miinus maksumus), see tähendab, et nelja osalemise korral kaotame keskmiselt 100 rubla, ühe eest - keskmiselt 25 rubla. Kokku tuleb meie vareme keskmine hind 25 rubla pileti kohta.
Viskame täringut. Kui see pole petmine (ilma raskuskeset nihutamata jne), siis mitu punkti meil keskmiselt korraga on? Kuna iga variant on võrdselt tõenäoline, siis võtame lolli aritmeetilise keskmise ja saame 3,5. Kuna see on KESKMINE, siis ei maksa pahandada, et ükski konkreetne vise 3,5 punkti ei anna - no ei ole sellel kuubil sellise numbriga nägu!
Nüüd võtame oma näited kokku:
Vaatame üleval olevat pilti. Vasakul on juhusliku suuruse jaotuse tabel. X väärtus võib võtta ühe n võimalikust väärtusest (antud ülemises reas). Muid väärtusi ei saa olla. Iga võimaliku väärtuse all on allpool märgitud selle tõenäosus. Paremal on valem, kus M(X) nimetatakse matemaatiliseks ootuseks. Selle väärtuse tähendus seisneb selles, et suure arvu katsete korral (suure valimiga) kaldub keskmine väärtus sellele väga matemaatilisele ootusele.
Läheme tagasi sama mängukuubi juurde. Matemaatiline ootus viske punktide arvule on 3,5 (kui ei usu, arvuta ise valemiga). Oletame, et viskasid seda paar korda. Välja kukkusid 4 ja 6. Keskmiselt tuli välja 5 ehk kaugeltki mitte 3,5. Viskasid uuesti, 3 kukkus välja, ehk siis keskmiselt (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Kuidagi kaugel matemaatilisest ootusest. Tee nüüd hull katse – veereta kuubikut 1000 korda! Ja kui keskmine ei ole täpselt 3,5, siis see on selle lähedal.
Arvutame ülalkirjeldatud loterii matemaatilise ootuse. Tabel näeb välja selline:
Siis on matemaatiline ootus, nagu oleme eespool kindlaks teinud:
Teine asi on see, et see on ka "näppude peal", ilma valemita oleks raske, kui oleks rohkem võimalusi. Noh, oletame, et 75% kaotas pileteid, 20% võitis pileteid ja 5% võitis pileteid.
Nüüd mõned matemaatilise ootuse omadused.
Seda on lihtne tõestada:
Ootusmärgist võib välja võtta konstantse kordaja, see on:
See on matemaatilise ootuse lineaarsusomaduse erijuht.
Teine matemaatilise ootuse lineaarsuse tagajärg:
see tähendab, et juhuslike suuruste summa matemaatiline ootus on võrdne juhuslike suuruste matemaatiliste ootuste summaga.
Olgu X, Y sõltumatud juhuslikud muutujad, siis:
Seda on ka lihtne tõestada) XY ise on juhuslik muutuja, samas kui algväärtused võiksid võtta n ja m väärtused, siis XY võib võtta nm väärtusi. Iga väärtuse tõenäosus arvutatakse selle põhjal, et tõenäosused iseseisvad sündmused korrutada. Selle tulemusena saame selle:
Pideva juhusliku suuruse matemaatiline ootus
Pidevatel juhuslikel muutujatel on selline tunnus nagu jaotustihedus (tõenäosustihedus). Tegelikult iseloomustab olukorda see, et mõned väärtused komplektist pärinevad reaalarvud juhuslik muutuja võtab sagedamini, mõni - harvem. Näiteks vaadake seda diagrammi:
Siin X- tegelikult juhuslik suurus, f(x)- jaotustihedus. Selle graafiku järgi otsustades katsete ajal väärtus X on sageli nullilähedane arv. võimalusi ületada 3 või olla vähem -3 pigem puhtalt teoreetiline.
Olgu näiteks ühtlane jaotus:
See on üsna kooskõlas intuitiivse arusaamaga. Oletame, et kui saame palju ühtlase jaotusega juhuslikke reaalarve, siis iga segment |0; 1| , siis peaks aritmeetiline keskmine olema umbes 0,5.
Diskreetsete juhuslike suuruste puhul rakendatavad matemaatilise ootuse omadused – lineaarsus jne, on rakendatavad ka siin.
Matemaatilise ootuse seos teiste statistiliste näitajatega
Statistilises analüüsis eksisteerib koos matemaatilise ootusega vastastikku sõltuvate näitajate süsteem, mis peegeldab nähtuste homogeensust ja protsesside stabiilsust. Tihti ei ole variatsiooninäitajatel iseseisvat tähendust ja neid kasutatakse andmete edasiseks analüüsiks. Erandiks on andmete homogeensust iseloomustav variatsioonikordaja, mis on väärtuslik statistiline tunnus.
Protsesside varieeruvuse või stabiilsuse astet statistikateaduses saab mõõta mitme näitaja abil.
Kõige olulisem juhusliku suuruse muutlikkust iseloomustav näitaja on Dispersioon, mis on kõige tihedamalt ja otsesemalt seotud matemaatilise ootusega. Seda parameetrit kasutatakse aktiivselt muud tüüpi statistilises analüüsis (hüpoteeside testimine, põhjus-tagajärg seoste analüüs jne). Nagu keskmine lineaarne hälve, peegeldab dispersioon ka seda, mil määral andmed jaotuvad keskmise ümber.
Kasulik on tõlkida märkide keel sõnade keelde. Selgub, et dispersioon on hälvete keskmine ruut. See tähendab, et kõigepealt arvutatakse keskmine väärtus, seejärel võetakse iga algse ja keskmise väärtuse vahe, ruudustatakse, liidetakse ja jagatakse seejärel selle populatsiooni väärtuste arvuga. Individuaalse väärtuse ja keskmise erinevus peegeldab kõrvalekalde mõõtu. See on ruudus tagamaks, et kõik kõrvalekalded muutuksid eranditult positiivseteks arvudeks ja et vältida positiivsete ja negatiivsete kõrvalekallete vastastikust tühistamist nende summeerimisel. Seejärel arvutame ruudus hälbeid arvestades lihtsalt aritmeetilise keskmise. Keskmine – ruut – kõrvalekalded. Kõrvalekalded ruudustatakse ja võetakse arvesse keskmist. Vastus võlusõnale "dispersioon" on vaid kolm sõna.
Kuid puhtal kujul, nagu näiteks aritmeetiline keskmine või indeks, dispersiooni ei kasutata. See on pigem abi- ja vahenäitaja, mida kasutatakse muud tüüpi statistilise analüüsi jaoks. Tal pole isegi tavalist mõõtühikut. Valemi järgi otsustades on see algse andmeühiku ruut.
Mõõdame juhuslikku suurust N korda, näiteks mõõdame tuule kiirust kümme korda ja tahame leida keskmist väärtust. Kuidas on keskmine väärtus seotud jaotusfunktsiooniga?
Või viskame täringuid palju kordi. Punktide arv, mis täringule iga viske ajal langeb, on juhuslik suurus ja võib võtta mis tahes loomulikud väärtused vahemikus 1 kuni 6. N see kaldub väga konkreetsele numbrile – matemaatilisele ootusele Mx. AT sel juhul Mx = 3,5.
Kuidas see väärtus tekkis? Laske sisse N katsumused n1 kui 1 punkt langeb, n2 korda - 2 punkti ja nii edasi. Seejärel tulemuste arv, mille puhul üks punkt langes:
Samamoodi ka tulemuste puhul, kui välja langesid 2, 3, 4, 5 ja 6 punkti.
Oletame nüüd, et teame juhusliku suuruse x jaotusseadust, st teame, et juhuslik suurus x võib võtta väärtused x1, x2, ..., xk tõenäosustega p1, p2, ... , pk.
Juhusliku suuruse x matemaatiline ootus Mx on:
Matemaatiline ootus ei ole alati mõne juhusliku muutuja mõistlik hinnang. Seega on keskmise palga hindamiseks mõistlikum kasutada mediaani mõistet ehk sellist väärtust, et mediaanpalgast vähem ja rohkem palka saavate inimeste arv on sama.
Tõenäosus p1, et juhuslik suurus x on väiksem kui x1/2, ja tõenäosus p2, et juhuslik suurus x on suurem kui x1/2, on samad ja võrdne 1/2-ga. Mediaan ei ole kõigi jaotuste jaoks üheselt määratud.
Standard või standardhälve statistikas nimetatakse vaatlusandmete või kogumite kõrvalekalde astet KESKMISEST väärtusest. Tähistatakse s- või s-tähtedega. Väike standardhälve näitab, et andmed on rühmitatud keskmise ümber, ja suur standardhälve näitab, et algandmed on sellest kaugel. Standardhälve on ruutjuur suurus, mida nimetatakse dispersiooniks. See on keskmisest kõrvalekalduvate algandmete ruudu erinevuste summa keskmine. Juhusliku muutuja standardhälve on dispersiooni ruutjuur:
Näide. Katsetingimustes sihtmärki tulistades arvutage juhusliku suuruse dispersioon ja standardhälve:
Variatsioon- tunnuse väärtuse kõikumine, varieeruvus üldkogumi ühikutes. Uuritavas populatsioonis esinevaid tunnuse eraldiseisvaid arvväärtusi nimetatakse väärtuste variantideks. Keskmise väärtuse ebapiisav täielikud omadused koondnäitaja paneb meid keskmisi väärtusi täiendama näitajatega, mis võimaldavad hinnata nende keskmiste tüüpilisust, mõõtes uuritava tunnuse kõikumist (variatsiooni). Variatsioonikoefitsient arvutatakse järgmise valemiga:
Laiuse variatsioon(R) on erinevuse tunnuse maksimaalse ja minimaalse väärtuse vahel uuritud populatsioonis. See näitaja annab kõige rohkem üldine idee uuritava tunnuse kõikumise kohta, kuna see näitab erinevust ainult valikute piirväärtuste vahel. Sõltuvus atribuudi äärmuslikest väärtustest annab variatsioonivahemikule ebastabiilse juhusliku iseloomu.
Keskmine lineaarne hälve on analüüsitud populatsiooni kõigi väärtuste absoluutsete (moodulite) kõrvalekallete aritmeetiline keskmine nende keskmisest väärtusest:
Matemaatiline ootus hasartmängude teoorias
Matemaatiline ootus on keskmine rahasumma, mille mängur võib antud panusega võita või kaotada. See on mängija jaoks väga oluline kontseptsioon, kuna see on enamiku mänguolukordade hindamisel põhiline. Matemaatiline ootus on ka parim vahend põhiliste kaartide paigutuste ja mänguolukordade analüüsimiseks.
Oletame, et mängite sõbraga münti, tehes iga kord võrdse 1-dollarilise panuse, olenemata sellest, mis juhtub. Sabad – võidad, pead – kaotad. Tõenäosus, et see langeb, on üks ühele ja panustate $1 kuni $1. Seega on teie matemaatiline ootus null, sest matemaatiliselt öeldes ei saa sa teada, kas juhid või kaotad pärast kahte viset või pärast 200.
Teie tunnikasum on null. Tunni väljamakse on rahasumma, mille loodate ühe tunni jooksul võita. Saate ühe tunni jooksul münti visata 500 korda, kuid te ei võida ega kaota sellepärast teie koefitsiendid ei ole positiivsed ega negatiivsed. Kui vaadata, siis tõsise mängija seisukohalt pole selline panustamissüsteem halb. Aga see on lihtsalt aja raiskamine.
Kuid oletame, et keegi soovib samas mängus panustada 2 dollarit teie 1 dollari vastu. Siis on sul kohe positiivne ootus 50 senti igalt panuselt. Miks 50 senti? Keskmiselt võidad ühe panuse ja kaotad teise. Panusta esimesele dollarile ja kaota 1 dollar, panusta teisele ja võida 2 dollarit. Olete panustanud kaks korda 1 dollari ja olete 1 dollariga ees. Nii et iga teie ühe dollari panus andis teile 50 senti.
Kui münt kukub ühe tunni jooksul 500 korda, on teie tunnikasum juba 250 dollarit, sest. keskmiselt kaotasite 1250 dollarit ja võitsite 2250 korda. $500 miinus $250 võrdub $250, mis on koguvõit. Pange tähele, et eeldatav väärtus, mis on summa, mille ühe panusega keskmiselt võidate, on 50 senti. Võitsite 250 dollarit, panustades ühe dollari 500 korda, mis võrdub 50 sendiga teie panusest.
Matemaatilisel ootusel pole lühiajaliste tulemustega mingit pistmist. Teie vastane, kes otsustas teie vastu 2 dollarit panustada, võis teid võita esimesel kümnel viskel järjest, kuid teie 2-1 panustamise eelisega, kui kõik muu on võrdne, teete 50 senti iga 1-dollarise panuse eest mis tahes korral. asjaolud. Pole vahet, kas võidad või kaotad ühe panuse või mitu panust, vaid ainult tingimusel, et sul on piisavalt raha kulude hõlpsaks hüvitamiseks. Kui panustate samamoodi, ulatuvad teie võidud pikema aja jooksul üksikute visete puhul eeldatavate väärtuste summani.
Iga kord, kui teete parima panuse (panus, mis võib olla pikas perspektiivis kasumlik), kui koefitsiendid on teie kasuks, võidate sellel kindlasti midagi, olenemata sellest, kas kaotate selle antud jaotuses või mitte. Ja vastupidi, kui tegite halvema panuse (pikemas perspektiivis kahjumlik panus), kui koefitsiendid pole teie kasuks, kaotate midagi, olenemata sellest, kas võidate või kaotate käe.
Panustate parima tulemusega, kui teie ootused on positiivsed, ja see on positiivne, kui koefitsiendid on teie kasuks. Kui panustate halvima tulemusega, on teil negatiivne ootus, mis juhtub siis, kui koefitsiendid on teie vastu. Tõsised mängijad panustavad ainult parima tulemusega, halvima tulemusega – nad loobuvad. Mida tähendab koefitsient teie kasuks? Võite lõpuks võita rohkem, kui tegelik koefitsient toob. Tegelik saba tabamise koefitsient on 1:1, kuid panuste suhte tõttu saate 2:1. Sel juhul on tõenäosus teie kasuks. Parima tulemuse saate kindlasti positiivse ootusega 50 senti panuse kohta.
Siin on rohkem keeruline näide matemaatiline ootus. Sõber kirjutab üles numbrid ühest viieni ja panustab 5 dollarit teie 1 dollari vastu, et te ei vali numbrit. Kas olete sellise kihlveoga nõus? Mis on siin ootus?
Keskmiselt eksite neli korda. Selle põhjal on tõenäosus, et te arvu arvate 4:1. Tõenäosus on, et kaotate ühe dollari ühe katsega. Küll aga võidad 5:1, võimalusega kaotada 4:1. Seega on koefitsiendid sinu kasuks, võid võtta panuse ja loota parimale tulemusele. Kui teete selle panuse viis korda, kaotate keskmiselt neli korda 1 dollari ja võidate üks kord 5 dollarit. Selle põhjal teenite kõigi viie katse eest 1 dollari positiivse matemaatilise ootusega 20 senti panuse kohta.
Mängija, kes kavatseb võita rohkem, kui ta panustab, nagu ülaltoodud näites, püüab koefitsiente. Ja vastupidi, ta rikub võimalusi, kui loodab võita vähem, kui ta panustab. Panustajal võivad olla positiivsed või negatiivsed ootused olenevalt sellest, kas ta püüab kinni või rikub koefitsiente.
Kui panustate 50 dollariga, et võita 10 dollarit võiduvõimalusega 4:1, on teil negatiivne ootus 2 dollarit, sest keskmiselt võidate neli korda 10 dollarit ja kaotate ühe korra 50 dollarit, mis näitab, et kaotus panuse kohta on 10 dollarit. Aga kui panustate 30 dollariga, et võita 10 dollarit sama võidukoefitsiendiga 4:1, siis sel juhul on teil positiivne ootus 2 dollarit, sest võidate jälle neli korda 10 dollarit ja kaotate üks kord 30 dollarit, saades 10 dollari suuruse kasumi. Need näited näitavad, et esimene panus on halb ja teine hea.
Matemaatiline ootus on kõigi asjade keskpunkt mängu olukord. Kui kihlvedude vahendaja julgustab jalgpallifänne panustama 11 dollarile, et võita 10 dollarit, on neil positiivne ootus 50 senti iga 10 dollari kohta. Kui kasiino maksab Craps passi realt isegi raha välja, siis on maja positiivne ootus ligikaudu 1,40 $ iga 100 $ kohta; see mäng on üles ehitatud nii, et kõik, kes sellele reale panustavad, kaotavad keskmiselt 50,7% ja võidavad 49,3% ajast. Kahtlemata toob just see pealtnäha minimaalne positiivne ootus tohutut kasumit kasiinoomanikele üle maailma. Nagu Vegas Worldi kasiinoomanik Bob Stupak märkis: "Tuhandik protsendist negatiivsest tõenäosusest piisavalt pika vahemaa jooksul rikub rikkaim mees maailmas".
Matemaatiline ootus pokkerit mängides
Pokkerimäng on kõige illustreerivam ja illustreeriv näide matemaatilise ootuse teooria ja omaduste kasutamisest.
Oodatav väärtus pokkeris on keskmine kasu konkreetsest otsusest, eeldusel, et sellist otsust saab kaaluda suurte numbrite ja pika vahemaa teooria raames. Edukas pokker seisneb selles, et võetakse alati positiivse matemaatilise ootusega liigutused vastu.
Matemaatilise ootuse matemaatiline tähendus pokkerit mängides seisneb selles, et otsuse langetamisel puutume sageli kokku juhuslike muutujatega (me ei tea, millised kaardid on vastase käes, millised kaardid tulevad järgmistel panustamisvoorudel). Peame vaatlema iga lahendust suurte arvude teooria seisukohast, mis ütleb, et piisavalt suure valimi korral kaldub juhusliku suuruse keskmine väärtus oma matemaatilisele ootusele.
Matemaatilise ootuse arvutamise valemitest on pokkeris kõige enam kasutatav järgmine:
Pokkerit mängides saab matemaatilist ootust arvutada nii panuste kui ka kõnede puhul. Esimesel juhul tuleks arvesse võtta fold equity'i, teisel juhul panga enda koefitsiente. Konkreetse käigu matemaatilist ootust hinnates tuleb meeles pidada, et foldi matemaatiline ootus on alati null. Seega on kaartide äraviskamine alati tulusam otsus kui mis tahes negatiivne samm.
Ootus ütleb teile, mida võite oodata (kasum või kahjum) iga riskitava dollari kohta. Kasiinod teenivad raha, sest matemaatiline ootus kõikidele mängudele, mida neis harrastatakse, on kasiino kasuks. Piisavalt pika mänguseeria puhul võib eeldada, et klient jääb oma rahast ilma, kuna “tõenäosus” on kasiino kasuks. Professionaalsed kasiinomängijad aga piiravad oma mänge lühikeste perioodidega, suurendades seeläbi koefitsiente enda kasuks. Sama kehtib ka investeerimise kohta. Kui teie ootused on positiivsed, võite teenida rohkem raha, tehes lühikese aja jooksul palju tehinguid. Ootus on teie protsent võidu kohta korrutatud teie keskmise kasumi miinus teie kaotuse tõenäosus korrutatuna teie keskmine kahjum.
Pokkerit võib käsitleda ka matemaatilise ootuse seisukohalt. Võite eeldada, et teatud käik on tulus, kuid mõnel juhul ei pruugi see olla parim, sest mõni teine käik on tulusam. Oletame, et tabasite viie kaardi tõmbepokkeris täismaja. Sinu vastane panustab. Teate, et kui olete valmis, siis ta helistab. Seega tundub tõstmine olevat parim taktika. Kui aga tõstad, loobivad ülejäänud kaks mängijat kindlasti. Aga kui maksate panuse, olete täiesti kindel, et teised kaks mängijat pärast teid teevad sama. Panuse tõstmisel saate ühe ühiku ja lihtsalt helistades saate kaks. Seega annab helistamine teile suurema positiivse eeldatava väärtuse ja on parim taktika.
Matemaatiline ootus võib anda aimu ka sellest, millised pokkeritaktikad on vähem tulusad ja millised tulusamad. Näiteks kui mängite kindlat kätt ja arvate, et teie keskmine kaotus on 75 senti koos antega, siis peaksite seda jaotust mängima, sest see on parem kui voltimine, kui ante on $1.
Teine oluline põhjus eeldatava väärtuse mõistmiseks on see, et see annab teile meelerahu, kas võidate panuse või mitte: kui tegite hea panuse või loobusite õigel ajal, teate, et olete teeninud või säästnud teatud summa raha, mida nõrgem mängija ei suutnud säästa. Märksa raskem on loobuda, kui oled pettunud, et vastasel on loosimisel parem käsi. See tähendab, et raha, mille säästate, kui panustate, lisatakse teie üleöö- või igakuistele võitudele.
Pidage meeles, et kui vahetate kätt, helistab vastane teile ja nagu näete pokkeri alusteoreemi artiklist, on see vaid üks teie eelistest. Peaksite rõõmustama, kui see juhtub. Võite isegi õppida nautima käe kaotamist, sest teate, et teised teie kingades olevad mängijad kaotaksid palju rohkem.
Nagu alguses mündimängu näites räägitud, on tunnitasuvus seotud matemaatilise ootusega ning see kontseptsioon on eriti oluline professionaalsete mängijate jaoks. Kui kavatsete pokkerit mängida, peate vaimselt hindama, kui palju võite mängutunni jooksul võita. Enamikul juhtudel peate tuginema oma intuitsioonile ja kogemustele, kuid võite kasutada ka matemaatilisi arvutusi. Näiteks kui mängite lowballi loosimist ja näete, et kolm mängijat panustavad 10 dollarit ja tõmbavad seejärel kaks kaarti, mis on väga halb taktika, saate ise arvutada, et iga kord, kui nad panustavad 10 dollarit, kaotavad nad umbes 2 dollarit. Igaüks neist teeb seda kaheksa korda tunnis, mis tähendab, et kõik kolm kaotavad umbes 48 dollarit tunnis. Olete üks ülejäänud neljast mängijast, kes on ligikaudu võrdsed, seega peavad need neli mängijat (ja teie nende seas) jagama 48 dollarit ja igaüks teenib 12 dollarit tunnis. Teie tunnitasu on sel juhul lihtsalt teie osa kolme halva mängija tunnis kaotatud rahasummast.
Pika aja jooksul on mängija koguvõidud tema matemaatiliste ootuste summa eraldi jaotustes. Mida rohkem sa mängid positiivsete ootustega, seda rohkem sa võidad ja vastupidi, mida rohkem käsi mängid negatiivse ootusega, seda rohkem sa kaotad. Selle tulemusena peaksite eelistama mängu, mis võib teie positiivseid ootusi maksimeerida või negatiivseid ootusi ümber lükata, et saaksite oma tunnikasumit maksimeerida.
Positiivne matemaatiline ootus mängustrateegias
Kui tead, kuidas kaarte lugeda, võib sul olla kasiino ees eelis, kui nad ei märka ja sind välja ei löö. Kasiinod armastavad purjus mängureid ega kannata kaartide lugemist. Eelis võimaldab teil aja jooksul võita rohkem korda kui kaotada. Hea rahahaldus ootuste arvutuste abil aitab teil oma eelist ära kasutada ja kahjumit vähendada. Ilma eeliseta on parem raha heategevuseks anda. Mängus börsil annab eelise mängu süsteem, mis loob rohkem kasumit kui kahjumit, hinnavahesid ja komisjonitasusid. Ükski rahahaldus ei päästa halba mängusüsteemi.
Positiivne ootus on defineeritud nullist suurema väärtusega. Mida suurem see arv, seda tugevam on statistiline ootus. Kui väärtus on väiksem kui null, on ka matemaatiline ootus negatiivne. Mida suurem on negatiivse väärtuse moodul, seda hullem on olukord. Kui tulemus on null, siis on ootus nullist. Võita saab ainult siis, kui sul on positiivne matemaatiline ootus, mõistlik mängusüsteem. Intuitsioonile mängimine viib katastroofini.
Matemaatiline ootus ja aktsiakauplemine
Matemaatiline ootus on finantsturgude börsil kauplemisel üsna laialt nõutud ja populaarne statistiline näitaja. Esiteks kasutatakse seda parameetrit kauplemise edukuse analüüsimiseks. Pole raske arvata, et mida suurem on see väärtus, seda rohkem on põhjust pidada uuritavat tehingut edukaks. Loomulikult ei saa kaupleja töö analüüsi teha ainult selle parameetri abil. Arvutatud väärtus koos teiste töökvaliteedi hindamismeetoditega võib aga analüüsi täpsust oluliselt tõsta.
Kauplemiskonto monitooringu teenustes arvutatakse sageli matemaatiline ootus, mis võimaldab kiiresti hinnata hoiuse kallal tehtud tööd. Erandina võime nimetada strateegiaid, mis kasutavad kaotavate tehingute "ülejäämist". Kauplejal võib mõnda aega vedada ja seetõttu ei pruugi tema töös kahjusid tekkida. Sel juhul ei saa orienteeruda ainult ootuse järgi, sest töös kasutatavaid riske ei võeta arvesse.
Turul kauplemisel kasutatakse kõige sagedamini matemaatilist ootust mis tahes kasumlikkuse ennustamisel kauplemisstrateegia või kaupleja sissetuleku ennustamisel tema varasemate tehingute statistika põhjal.
Raha haldamise osas on väga oluline mõista, et negatiivse ootusega tehingute tegemisel puudub rahahaldusskeem, mis võiks kindlasti tuua kõrget kasumit. Kui jätkate börsi mängimist nendel tingimustel, siis olenemata sellest, kuidas te oma raha haldate, kaotate kogu oma konto, olenemata sellest, kui suur see alguses oli.
See aksioom ei kehti mitte ainult negatiivsete ootustega mängude või tehingute puhul, vaid ka paariskoefitsientidega mängude puhul. Seetõttu on ainus juhtum, kus teil on võimalus pikemas perspektiivis kasu saada, kui sõlmite tehinguid positiivse matemaatilise ootusega.
Erinevus negatiivse ootuse ja positiivse ootuse vahel on erinevus elu ja surma vahel. Pole tähtis, kui positiivne või negatiivne ootus on; oluline on see, kas see on positiivne või negatiivne. Seetõttu peate enne rahahalduse kaalumist leidma positiivse ootusega mängu.
Kui teil seda mängu pole, ei päästa teid ükski rahahaldus maailmas. Teisest küljest, kui teil on positiivne ootus, siis on õige rahahalduse abil võimalik muuta see eksponentsiaalseks kasvufunktsiooniks. Pole tähtis, kui väike on positiivne ootus! Ehk siis pole vahet, kui tulus on ühel lepingul põhinev kauplemissüsteem. Kui teil on süsteem, mis võidab ühe tehingu pealt 10 dollarit lepingu kohta (pärast tasusid ja libisemist), saate kasutada rahahaldustehnikaid, et muuta see tulusamaks kui süsteem, mille keskmine kasum on 1000 dollarit tehingu kohta (pärast vahendustasude ja kulude mahaarvamist). libisemine).
Tähtis pole see, kui kasumlik süsteem oli, vaid see, kui kindlalt saab väita, et süsteem näitab tulevikus vähemalt minimaalset kasumit. Seetõttu on kõige olulisem ettevalmistus, mida kaupleja teha saab, veenduda, et süsteem näitaks tulevikus positiivset oodatavat väärtust.
Et omada tulevikus positiivset eeldatavat väärtust, on väga oluline mitte piirata oma süsteemi vabadusastmeid. See saavutatakse mitte ainult optimeeritavate parameetrite kõrvaldamise või vähendamisega, vaid ka võimalikult paljude süsteemireeglite vähendamisega. Iga lisatav parameeter, iga tehtud reegel, iga väike muudatus süsteemis vähendab vabadusastmete arvu. Ideaalis soovite ehitada üsna primitiivse ja lihtne süsteem, mis toob pidevalt väikest kasumit peaaegu igal turul. Jällegi on oluline mõista, et süsteemi kasumlikkusel pole vahet, kui see on kasumlik. Kauplemisel teenitud raha teenitakse tõhusa rahahalduse kaudu.
Kauplemissüsteem on lihtsalt tööriist, mis annab teile positiivse matemaatilise ootuse, et rahahaldust saaks kasutada. Süsteemid, mis töötavad (näitavad vähemalt minimaalset kasumit) ainult ühel või mõnel turul või millel on erinevate turgude jaoks erinevad reeglid või parameetrid, ei tööta suure tõenäosusega kaua reaalajas. Enamiku tehniliste kauplejate probleem seisneb selles, et nad kulutavad liiga palju aega ja jõupingutusi kauplemissüsteemi erinevate reeglite ja parameetrite optimeerimisele. See annab täiesti vastupidised tulemused. Selle asemel, et raisata energiat ja arvutiaega kauplemissüsteemi kasumi suurendamisele, suunake oma energia minimaalse kasumi saamise usaldusväärsuse taseme tõstmisele.
Teades, et rahahaldus on vaid numbrimäng, mis eeldab positiivsete ootuste kasutamist, võib kaupleja lõpetada aktsiakaubanduse "püha graali" otsimise. Selle asemel võib ta hakata oma kauplemismeetodit testima, uurida, kuidas see meetod loogiliselt põhjendatud on, kas see annab positiivseid ootusi. Kõigi, isegi väga keskpäraste kauplemismeetodite puhul rakendatavad õiged rahahaldusmeetodid teevad ülejäänud töö ära.
Iga kaupleja peab oma töös edu saavutamiseks lahendama kolm kõige olulisemat ülesannet: . Tagada, et edukate tehingute arv ületaks vältimatuid vigu ja valearvestusi; Seadistage oma kauplemissüsteem nii, et raha teenimise võimalus oleks võimalikult sageli; Saavutage oma operatsioonide stabiilne positiivne tulemus.
Ja siin võib meile, töötavatele kauplejatele, head abi pakkuda matemaatiline ootus. See termin tõenäosusteoorias on üks võtmetähtsusega. Selle abil saate anda mõne juhusliku väärtuse keskmise hinnangu. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on nagu raskuskese, kui kujutada kõiki võimalikke tõenäosusi erineva massiga punktidena.
Seoses kauplemisstrateegiaga kasutatakse selle tõhususe hindamiseks kõige sagedamini kasumi (või kahjumi) matemaatilist ootust. See parameeter on määratletud kui antud kasumi- ja kahjumitasemete produktide ja nende esinemise tõenäosuse summa. Näiteks eeldatakse väljatöötatud kauplemisstrateegias, et 37% kõigist tehingutest toob kasumit ja ülejäänud osa - 63% - on kahjumlik. Samal ajal on eduka tehingu keskmine tulu 7 dollarit ja keskmine kahjum 1,4 dollarit. Arvutame kauplemise matemaatilise ootuse järgmise süsteemi abil:
Mida see number tähendab? Seal on kirjas, et selle süsteemi reegleid järgides saame igalt suletud tehingult keskmiselt 1,708 dollarit. Kuna saadud efektiivsusskoor on suurem kui null, saab sellist süsteemi kasutada reaalseks tööks. Kui arvutuse tulemusel osutub matemaatiline ootus negatiivseks, siis see viitab juba keskmisele kahjumile ja selline kauplemine toob kaasa hävingu.
Kasumi suurust tehingu kohta saab väljendada ka suhtelise väärtusena kujul%. Näiteks:
– tulu protsent 1 tehingu kohta - 5%;
– edukate kauplemistehingute osakaal - 62%;
– kahjuprotsent 1 tehingu kohta - 3%;
- ebaõnnestunud tehingute osakaal - 38%;
See tähendab, et keskmine tehing toob 1,96%.
Võimalik on välja töötada süsteem, mis hoolimata kaotavate tehingute ülekaalust annab positiivse tulemuse, kuna selle MO>0.
Siiski ei piisa ainult ootamisest. Raha on raske teenida, kui süsteem annab väga vähe kauplemissignaale. Sel juhul on selle kasumlikkus võrreldav pangaintressiga. Oletame, et iga tehing on keskmiselt vaid 0,5 dollarit, aga mis siis, kui süsteem eeldab 1000 tehingut aastas? See on suhteliselt lühikese aja jooksul väga tõsine summa. Sellest järeldub loogiliselt, et hea kauplemissüsteemi teiseks tunnuseks võib pidada lühikest hoidmisperioodi.
Allikad ja lingid
dic.academic.ru - akadeemiline veebisõnastik
mathematics.ru - matemaatikat käsitlev haridussait
nsu.ru on Novosibirski hariduslik veebisait riigiülikool
webmath.ru haridusportaalüliõpilastele, taotlejatele ja koolilastele.
exponenta.ru hariduslik matemaatiline sait
en.tradimo.com – tasuta võrgukool kauplemine
crypto.hut2.ru - multidistsiplinaarne teabeallikas
poker-wiki.ru - tasuta pokkeri entsüklopeedia
sernam.ru Teaduslik raamatukogu valitud loodusteaduslikke väljaandeid
reshim.su – veebisait SOLVE ülesanded, mis kontrollivad kursuste tööd
unfx.ru – Forex UNFX-is: haridus, kauplemissignaalid, usalduse haldamine
slovopedia.com – suur entsüklopeediline sõnaraamat Slovakkia
pokermansion.3dn.ru – teie teejuht pokkerimaailma
statanaliz.info – teabeblogi « Statistiline analüüs andmed"
forex-trader.rf – portaal Forex-Trader
megafx.ru – ajakohane Forexi analüüs
fx-by.com – kõik kaupleja jaoks
2. Tõenäosusteooria alused
Oodatud väärtus
Vaatleme arvväärtustega juhuslikku muutujat. Sageli on kasulik seostada selle funktsiooniga arv - selle "keskmine väärtus" või, nagu öeldakse, "keskmine väärtus", "keskse tendentsi näitaja". Mitmel põhjusel, millest osa selgub järgnevas, on "keskmine" tavaliselt keskmine.
3. määratlus. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus X helistas numbrile
need. juhusliku suuruse matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kaalutud väärtuste summa, mille kaalud on võrdsed vastavate elementaarsündmuste tõenäosustega.
Näide 6 Arvutame välja täringu ülaosale langenud arvu matemaatilise ootuse. Definitsioonist 3 tuleneb otseselt, et
2. väide. Olgu juhuslik suurus X võtab väärtusi x 1, x 2, ..., xm. Siis võrdsus
(5)
need. Juhusliku muutuja matemaatiline ootus on juhusliku suuruse väärtuste kaalutud summa, mille kaalud on võrdsed tõenäosusega, et juhuslik suurus võtab teatud väärtused.
Erinevalt punktist (4), kus summeerimine toimub otse elementaarsündmuste üle, võib juhuslik sündmus koosneda mitmest elementaarsündmusest.
Mõnikord võetakse seost (5) kui matemaatilise ootuse määratlust. Kuid kasutades definitsiooni 3, nagu allpool näidatud, on lihtsam määrata reaalsete nähtuste tõenäosusmudelite koostamiseks vajalike matemaatiliste ootuste omadusi kui kasutada seost (5).
Seose (5) tõestamiseks rühmitame (4) terminitesse juhusliku suuruse samade väärtustega:
Kuna konstantse teguri saab summa märgist välja võtta, siis
Sündmuse tõenäosuse määratluse järgi
Kahe viimase seose abil saame soovitud:
Matemaatilise ootuse mõiste tõenäosus-statistilises teoorias vastab mehaanika raskuskeskme mõistele. Paneme selle punktidesse x 1, x 2, ..., xm massi arvteljel P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) vastavalt. Siis näitab võrdsus (5), et selle materiaalsete punktide süsteemi raskuskese langeb kokku matemaatilise ootusega, mis näitab definitsiooni 3 loomulikkust.
3. väide. Las olla X- juhuslik väärtus, M(X) on selle matemaatiline ootus, a- mingi number. Siis
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3 miljonit [(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .
Selle tõestamiseks käsitleme esmalt juhuslikku suurust, mis on konstantne, s.t. funktsioon kaardistab elementaarsündmuste ruumi ühte punkti a. Kuna konstantse teguri saab summa märgist välja võtta, siis
Kui summa iga liige jagada kaheks liikmeks, siis jagatakse ka kogu summa kaheks summaks, millest esimene koosneb esimestest ja teine teisest liikmest. Seetõttu on kahe juhusliku suuruse summa matemaatiline ootus X+Y, defineeritud samal elementaarsündmuste ruumil, on võrdne matemaatiliste ootuste summaga M(X) ja M(U) need juhuslikud muutujad:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Ning seetõttu M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Nagu ülal näidatud, M(M(X)) = M(X). Seega M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Niivõrd kui (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , siis M[(X - a) 2] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Lihtsustame viimast võrdsust. Nagu on näidatud lause 3 tõestuse alguses, on konstandi ootus konstant ise ja seetõttu M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Kuna konstantse teguri saab summa märgist välja võtta, siis M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Viimase võrrandi parem pool on 0, sest nagu ülal näidatud, M(X-M(X))=0. Seega M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , mida tuli tõestada.
Öeldust järeldub, et M[(X- a) 2 ] jõuab miinimumini a võrdne M[(X- M(X)) 2 ], juures a = M(X), kuna võrdsuse 3) teine liige on alati mittenegatiivne ja võrdub 0-ga ainult määratud väärtuse puhul a.
4. väide. Olgu juhuslik suurus X võtab väärtusi x 1, x 2, ..., xm, ja f on mingi arvargumendi funktsioon. Siis
Selle tõestamiseks rühmitame matemaatilise ootuse määrava võrdsuse (4) paremale poolele samade väärtustega terminid:
Kasutades seda, et summa märgist saab välja võtta konstantse teguri ja määrates juhusliku sündmuse tõenäosuse (2), saame
Q.E.D.
5. väide. Las olla X ja Kell on juhuslikud muutujad, mis on määratletud samas elementaarsündmuste ruumis, a ja b- mõned numbrid. Siis M(aX+ kõrval)= olen(X)+ bM(Y).
Kasutades matemaatilise ootuse definitsiooni ja liitmissümboli omadusi, saame võrdsuste ahela:
Nõutav on tõestatud.
Eelnev näitab, kuidas matemaatiline ootus sõltub üleminekust teisele võrdluspunktile ja teisele mõõtühikule (üleminek Y=aX+b), samuti juhuslike muutujate funktsioonidele. Saadud tulemusi kasutatakse pidevalt tehnilises ja majanduslikus analüüsis, ettevõtte finants- ja majandustegevuse hindamisel, ühelt valuutalt teisele üleminekul välismajanduslikel arveldustel, regulatiivses ja tehnilises dokumentatsioonis jne. Vaatlusalused tulemused võimaldavad seda teha võimalik rakendada samu arvutusvalemeid erinevate parameetrite skaala ja nihke jaoks.
| Eelmine |
