matemaatiline ootus diskreetset juhuslikku muutujat nimetatakse kõigi selle võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutiste summaks

Kommenteeri. Definitsioonist järeldub, et diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on mittejuhuslik (konstantne) muutuja.

Oodatud väärtus pidevat juhuslikku muutujat saab arvutada valemiga

M(X) =
.

Matemaatiline ootus on ligikaudu võrdne(mida täpsem, seda suurem on katsete arv) juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine.

Matemaatilise ootuse omadused.

Vara 1. Konstantse väärtuse matemaatiline ootus on võrdne konstandi endaga:

Vara 2. Konstantse teguri saab ootusmärgist välja võtta:

Vara 3. Kahe sõltumatu juhusliku muutuja korrutise matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega:

M(XY) =M(X) *M(Y).

Vara 4. Kahe summa matemaatiline ootus juhuslikud muutujad on võrdne terminite matemaatiliste ootuste summaga:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

12.1. Juhusliku suuruse dispersioon ja selle omadused.

Praktikas on sageli vaja välja selgitada juhusliku suuruse hajumine selle keskmise väärtuse ümber. Näiteks suurtükiväes on oluline teada, kui lähedalt mürsud tabatava sihtmärgi lähedale langevad.

Esmapilgul võib tunduda, et kõige lihtsam viis hajumist hinnata on arvutada kõik võimalikud juhusliku suuruse hälbe väärtused ja seejärel leida nende keskmine väärtus. See tee ei anna aga midagi, kuna mis tahes juhusliku muutuja hälbe keskmine väärtus, st M, on võrdne nulliga.

Seetõttu lähevad nad enamasti teist teed – kasutavad arvutamiseks dispersiooni.

dispersioon juhusliku suuruse (hajumine) on matemaatiline ootus juhusliku suuruse ruudus kõrvalekaldumise kohta selle matemaatilisest ootusest:

D(X) = M2.

Dispersiooni arvutamiseks on sageli mugav kasutada järgmist teoreemi.

Teoreem. Dispersioon on võrdne juhusliku suuruse X ruudu matemaatilise ootuse ja selle matemaatilise ootuse ruudu vahega.

D (X) \u003d M (X 2) - 2.

Dispersiooniomadused.

Vara 1. DispersioonikonstantCvõrdub nulliga:

Vara 2. Konstantse teguri saab dispersiooni märgist kõrgemale tõsta, kui see ruudustatakse:

D(CX)=C2D(X).

Vara 3. Kahe sõltumatu juhusliku muutuja summa dispersioon on võrdne nende muutujate dispersioonide summaga:

D(X+Y) =D(X) +D(Y).

Vara 4. Kahe sõltumatu juhusliku muutuja erinevuse dispersioon on võrdne nende dispersioonide summaga:

D(X-Y) =D(X) +D(Y).

13.1. Normaliseeritud juhuslikud muutujad.

dispersioon on 1 ja ootus 0.

Normaliseeritud juhuslik suurus V on antud juhusliku suuruse X suhe selle standardhälbesse σ

Standardhälve on dispersiooni ruutjuur

Normaliseeritud juhusliku suuruse V matemaatilist ootust ja dispersiooni väljendatakse X karakteristikute kaudu järgmiselt:

kus v on algse juhusliku suuruse X variatsioonikoefitsient.

Jaotusfunktsiooni F V (x) ja jaotustiheduse f V (x) jaoks on meil:

F V (x) = F(σx), f V (x) = σf(σx),

kus F(x) on algse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon X, a f(x) on selle tõenäosustihedus.

HAJUTAMISE OMADUSED

Asukoha tunnustelt - matemaatiline ootus, mediaan, moodus - liigume edasi juhusliku suuruse leviku tunnuste juurde x. dispersioon D(X)= a 2 , standardhälve a ja variatsioonikordaja v. Diskreetsete juhuslike suuruste dispersiooni määratlust ja omadusi käsitleti eelmises peatükis. Pidevate juhuslike muutujate jaoks

Standardhälve on mittenegatiivne väärtus ruutjuur dispersioonist:

Variatsioonikordaja on standardhälbe ja matemaatilise ootuse suhe:

Variatsioonikoefitsient – ​​rakendatakse siis, kui M(X)> O - mõõdab vahet suhtelistes ühikutes, standardhälve aga absoluutses ühikutes.

Näide 6. Ühtlaselt jaotatud juhusliku suuruse jaoks X leida dispersioon, standardhälve ja variatsioonikordaja. Dispersioon on:

Muutuv asendus võimaldab kirjutada:

kus Koos = f - aU2.

Seetõttu on standardhälve ja variatsioonikoefitsient on:

JUHUSLIKUTE VÄÄRTUSTE MUUDMISED

Iga juhusliku muutuja jaoks X defineerige veel kolm suurust – tsentreeritud ja normaliseeritud V ja antud U. Tsentreeritud juhuslik muutuja Y on erinevus antud juhusliku suuruse vahel X ja selle matemaatiline ootus M(X), need. Y=X - M(X). Tsentreeritud juhusliku suuruse matemaatiline ootus Y on võrdne 0-ga ja dispersioon on antud juhusliku suuruse dispersioon:

jaotusfunktsioon Fy(x) tsentreeritud juhuslik muutuja Y seotud jaotusfunktsiooniga F(x) algsest juhuslikust suurusest X suhe:

Nende juhuslike suuruste tiheduse korral võrdsus

Normaliseeritud juhuslik suurus V on antud juhusliku suuruse suhe X selle standardhälbele a, s.o. V = XIo. Normaliseeritud juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon V väljendub tunnuste kaudu X Niisiis:

kus v on algse juhusliku suuruse variatsioonikordaja x. Jaotusfunktsiooni jaoks Fv(x) ja tihedus fv(x) normaliseeritud juhuslik suurus V meil on:

kus F(x)- algse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon x; paranda) on selle tõenäosustihedus.

Vähendatud juhuslik suurus U on tsentreeritud ja normaliseeritud juhuslik suurus:

Vähendatud juhusliku suuruse jaoks

Normaliseeritud, tsentreeritud ja redutseeritud juhuslikke suurusi kasutatakse pidevalt nii teoreetilises uurimistöös kui ka algoritmides, tarkvaratoodetes, regulatiivses ja tehnilises ning õpetlikus ja metoodilises dokumentatsioonis. Eelkõige seetõttu, et võrdsused M(U) = 0, D(lf) = 1 võimaldavad lihtsustada meetodite põhjendamist, teoreemide sõnastamist ja arvutusvalemeid.

Kasutatakse juhuslike suuruste teisendusi ja palju muud üldplaneering. Seega, kui U = aX + b, kus a ja b siis on mõned numbrid

Näide 7. Kui a= 1/G, b = -M(X)/G, siis Y on redutseeritud juhuslik suurus ja valemid (8) teisendatakse valemiteks (7).

Iga juhusliku muutujaga X on võimalik ühendada valemiga Y = antud juhuslike suuruste hulk Y Oh + b erinevatel a > 0 ja b. Seda komplekti nimetatakse katlakivi lõikamise perekond, genereeritud juhusliku muutujaga x. Jaotusfunktsioonid Fy(x) moodustavad jaotusfunktsiooni poolt genereeritud mastaabinihke jaotuste perekonna F(x). Y= asemel aX + b sageli kasutatav märge

Number Koos nimetatakse nihkeparameetriks ja numbriks d- skaala parameeter. Valem (9) näitab seda X- teatud väärtuse mõõtmise tulemus - läheb K - sama väärtuse mõõtmise tulemus, kui mõõtmise algus nihutatakse punkti koos, ja seejärel kasutage uut mõõtühikut in d korda suurem kui vana.

Skaalanihke perekonna (9) puhul jaotus X nimetatakse standardiks. Tõenäosus-statistilistes otsustusmeetodites ja muudes rakendusuuringutes kasutatakse standardset normaaljaotust, Weibull-Gnedenko standardjaotust, standardset gamma jaotust.

levitamine jne (vt allpool).

Kasutatakse ka muid juhuslike suuruste teisendusi. Näiteks positiivse juhusliku muutuja puhul X kaaluma Y = IgX, kus IgX- arvu kümnendlogaritm x. Võrdsuse ahel

seostab jaotusfunktsioone X ja Y.

Lisaks positsiooniomadustele - juhusliku suuruse keskmistele, tüüpilistele väärtustele - kasutatakse mitmeid tunnuseid, millest igaüks kirjeldab jaotuse üht või teist omadust. Selliste tunnustena kasutatakse kõige sagedamini nn momente.

Momendi mõistet kasutatakse mehaanikas laialdaselt masside (staatilised momendid, inertsimomendid jne) jaotuse kirjeldamiseks. Täpselt samu meetodeid kasutatakse ka tõenäosusteoorias juhusliku suuruse jaotuse põhiomaduste kirjeldamiseks. Kõige sagedamini kasutatakse praktikas kahte tüüpi momente: esialgne ja keskne.

Katkendliku juhusliku suuruse järjekorra algushetk on vormi summa:

. (5.7.1)

Ilmselgelt langeb see definitsioon kokku mehaanika järjekorra s algmomendi definitsiooniga, kui massid on koondunud x-telje punktidesse.

Pideva juhusliku suuruse X korral on s-nda järgu algmoment integraal

. (5.7.2)

On lihtne näha, et eelmises n°-s toodud positsiooni põhitunnus – matemaatiline ootus – pole midagi muud kui juhusliku suuruse esimene alghetk.

Ootusmärki kasutades saame ühendada kaks valemit (5.7.1) ja (5.7.2) üheks. Tõepoolest, valemid (5.7.1) ja (5.7.2) on struktuurilt täiesti sarnased valemitega (5.6.1) ja (5.6.2), selle erinevusega, et ja asemel on vastavalt ja . Seetõttu saame kirjutada -nda järgu algmomendi üldise definitsiooni, mis kehtib nii katkendlike kui ka pidevate suuruste puhul:

, (5.7.3)

need. juhusliku suuruse järgu alghetk on selle juhusliku suuruse astme matemaatiline ootus.

Enne keskse momendi määratluse andmist tutvustame uut "keskse juhusliku muutuja" mõistet.

Olgu juhuslik suurus matemaatilise ootusega . Väärtusele vastav tsentreeritud juhuslik suurus on juhusliku suuruse kõrvalekalle selle matemaatilisest ootusest:

Järgnevalt lepime kokku, et tähistame antud juhuslikule suurusele vastavat tsentreeritud juhuslikku suurust sama tähega, mille ülaosas on ikoon.

Lihtne on kontrollida, kas tsentreeritud juhusliku suuruse matemaatiline ootus on võrdne nulliga. Tõepoolest, katkendliku koguse jaoks

samamoodi pideva koguse puhul.

Juhusliku muutuja tsentreerimine on ilmselgelt samaväärne lähtepunkti viimisega keskmisesse "keskpunkti", mille abstsiss on võrdne matemaatilise ootusega.

Tsentreeritud juhusliku suuruse momente nimetatakse keskmomentideks. Need on analoogsed mehaanika raskuskeskme hetkedega.

Seega on juhusliku suuruse järgu s keskseks momendiks vastava tsentreeritud juhusliku suuruse astme matemaatiline ootus:

, (5.7.6)

ja pideva jaoks - integraal

. (5.7.8)

Järgnevalt kirjutame juhtudel, kui pole kahtlust, millisesse juhuslikku suurusse antud hetk kuulub, lühiduse huvides lihtsalt ja asemel ja .

Ilmselgelt on iga juhusliku muutuja puhul esimest järku keskmoment võrdne nulliga:

, (5.7.9)

kuna tsentreeritud juhusliku suuruse matemaatiline ootus on alati null.

Tuletagem seosed, mis ühendavad erinevate järjestuste kesk- ja algmomente. Tuletamist teostame ainult katkendlike koguste puhul; Seda, et pidevate suuruste puhul kehtivad täpselt samad seosed, on lihtne kontrollida, kui asendada lõplikud summad integraalidega ja tõenäosused tõenäosuselementidega.

Mõelge teisele kesksele punktile:

Samamoodi saame kolmanda keskse hetke jaoks:

Väljendid jne. saab sarnasel viisil.

Seega kehtivad mis tahes juhusliku muutuja kesksete hetkede jaoks järgmised valemid:

(5.7.10)

Üldiselt võib momente käsitleda mitte ainult päritolu (alghetked) või matemaatilise ootuse (keskmomendid), vaid ka suvalise punkti suhtes:

. (5.7.11)

Keskmomentidel on aga eelis kõigi teiste ees: esimene keskmoment, nagu nägime, on alati võrdne nulliga ja sellele järgnev teine ​​keskmoment on selle võrdlusraamistiku jaoks minimaalse väärtusega. Tõestame seda. Katkendliku juhusliku muutuja puhul kohas , on valem (5.7.11) järgmine:

. (5.7.12)

Teisendame selle väljendi:

Ilmselgelt jõuab see väärtus miinimumini siis, kui s.t. kui hetk võetakse punkti suhtes .

Kõigist hetkedest kasutatakse juhusliku suuruse tunnustena kõige sagedamini esimest algmomenti (ootust) ja teist keskmomenti.

Teist keskmomenti nimetatakse juhusliku suuruse dispersiooniks. Pidades silmas selle omaduse ülimat tähtsust, võtame muu hulgas kasutusele selle erinimetuse:

Keskmomendi definitsiooni järgi

, (5.7.13)

need. juhusliku suuruse X dispersioon on vastava tsentreeritud muutuja ruudu matemaatiline ootus.

Asendades avaldises (5.7.13) selle avaldise väärtuse, saame ka:

. (5.7.14)

Dispersiooni otseseks arvutamiseks kasutatakse järgmisi valemeid:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Vastavalt katkendlike ja pidevate koguste puhul.

Juhusliku suuruse dispersioon on dispersiooni tunnus, juhusliku suuruse väärtuste hajumine selle matemaatilise ootuse ümber. Sõna "dispersioon" ise tähendab "hajutamist".

Kui pöörduda jaotuse mehaanilise tõlgendamise poole, siis pole dispersioon midagi muud kui antud massijaotuse inertsmoment raskuskeskme suhtes (matemaatiline ootus).

Juhusliku suuruse dispersioonil on juhusliku suuruse ruudu mõõde; Hajuvuse visuaalseks iseloomustamiseks on mugavam kasutada suurust, mille mõõde langeb kokku juhusliku suuruse omaga. Selleks võtke dispersiooni ruutjuur. Saadud väärtust nimetatakse juhusliku suuruse standardhälbeks (muidu - "standardiks"). Keskmine ruuthälve tähistatakse järgmiselt:

, (5.7.17)

Kirjete lihtsustamiseks kasutame sageli standardhälbe ja dispersiooni lühendatud tähistusi: ja . Juhul, kui pole kahtlust, millisele juhuslikule suurusele need tunnused viitavad, jätame mõnikord märgi x y ja ja kirjutamata lihtsalt ja . Sõnu "standardhälve" lühendatakse mõnikord tähtedega s.c.o.

Praktikas kasutatakse sageli valemit, mis väljendab juhusliku suuruse dispersiooni selle teise algmomendi (valemitest (5.7.10) teisena). Uues tähistuses näeb see välja järgmine:

Matemaatiline ootus ja dispersioon (või standardhälve) on juhusliku suuruse kõige sagedamini kasutatavad tunnused. Need iseloomustavad jaotuse kõige olulisemaid tunnuseid: selle asukohta ja hajutatuse astet. Jaotuse täpsemaks kirjeldamiseks kasutatakse kõrgemat järku momente.

Kolmas keskne moment on mõeldud jaotuse asümmeetria (või "viltuse") iseloomustamiseks. Kui jaotus on matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline (või mehaanilises tõlgenduses jaotub mass sümmeetriliselt raskuskeskme suhtes), siis on kõik paaritu järjestusega momendid (kui need on olemas) võrdsed nulliga. Tõepoolest, kokku

jaotusega, mis on jaotusseaduse suhtes sümmeetriline ja paaritu, vastab iga positiivne liige temaga absoluutväärtuses võrdsele negatiivsele liikmele, nii et kogu summa on võrdne nulliga. Ilmselgelt kehtib sama ka integraali kohta

,

mis on paaritu funktsiooni sümmeetrilistes piirides võrdne nulliga.

Seetõttu on loomulik valida jaotuse asümmeetria tunnuseks mis tahes paaritu moment. Lihtsaim neist on kolmas keskne hetk. Sellel on juhusliku suuruse kuubi mõõde: mõõtmeteta tunnuse saamiseks jagatakse kolmas moment standardhälbe kuubiga. Saadud väärtust nimetatakse "asümmeetria koefitsiendiks" või lihtsalt "asümmeetriaks"; märgistame selle:

Joonisel fig. 5.7.1 näitab kahte viltu jaotust; üks neist (kõver I) on positiivse asümmeetriaga (); teine ​​(kõver II) on negatiivne ().

Neljas keskne moment toimib nn "jaheduse" iseloomustamiseks, s.o. tipp- või lameda tipuga jaotus. Neid jaotusomadusi kirjeldatakse nn kurtoosi abil. Juhusliku muutuja kurtoos on suurus

Suhtarvust lahutatakse arv 3, sest väga olulise ja looduses laialt levinud normaaljaotuse seaduse jaoks (millega me hiljem täpsemalt tutvume). Seega normaaljaotuse korral on kurtoos null; kõveratel, mis on tavalisest teravamad, on positiivne kurtoos; kõverad on lamedamad – negatiivse kurtoosiga.

Joonisel fig. 5.7.2 näitab: normaaljaotus (kõver I), jaotus positiivse kurtoosiga (kõver II) ja jaotus negatiivse kurtoosiga (kõver III).

Lisaks eelpool käsitletud alg- ja keskmomentidele kasutatakse praktikas mõnikord valemitega määratletud nn absoluutmomente (algus- ja keskmomente).

Ilmselgelt langevad paaristellimuste absoluutsed hetked kokku tavaliste hetkedega.

Absoluutsetest hetkedest kasutatakse kõige sagedamini esimest absoluutset keskmomenti.

, (5.7.21)

nimetatakse aritmeetiliseks keskmiseks hälbeks. Koos dispersiooni ja standardhälbega kasutatakse mõnikord dispersioonikarakteristikuna ka aritmeetilist keskmist hälvet.

Matemaatiline ootus, moodus, mediaan, alg- ja keskmomendid ning eelkõige dispersioon, standardhälve, kaldus ja kurtoos on juhuslike suuruste kõige sagedamini kasutatavad numbrilised karakteristikud. Paljudes praktilistes ülesannetes täielik omadus juhuslikku muutujat - jaotusseadust - pole vaja või ei saa seda saada. Nendel juhtudel piirduvad need juhusliku suuruse ligikaudse kirjeldusega abiga. Numbrilised tunnused, millest igaüks väljendab mõnda jaotuse iseloomulikku omadust.

Väga sageli kasutatakse arvulisi karakteristikuid ühe jaotuse asendamise ligikaudseks määramiseks teisega ja tavaliselt püütakse see asendus teha nii, et mitmed olulised punktid jäävad muutumatuks.

Näide 1. Tehakse üks katse, mille tulemusena võib, aga ei pruugi ilmneda sündmus, mille tõenäosus on võrdne . Käsitletakse juhuslikku muutujat - sündmuse esinemiste arvu (sündmuse iseloomulik juhuslik muutuja ). Määrake selle omadused: matemaatiline ootus, dispersioon, standardhälve.

Lahendus. Koguste jaotuse seeria kuju on järgmine:

kus on tõenäosus, et sündmust ei toimu.

Valemi (5.6.1) järgi leiame väärtuse matemaatilise ootuse:

Väärtuse dispersioon määratakse valemiga (5.7.15):

(Kutsume lugejat saama sama tulemuse, väljendades dispersiooni teise algmomendi kaudu).

Näide 2. Sihtmärgi pihta lastakse kolm iseseisvat lasku; iga lasu tabamise tõenäosus on 0,4. juhuslik muutuja on tabamuste arv. Määrake suuruse tunnused - matemaatiline ootus, dispersioon, s.c.o., asümmeetria.

Lahendus. Koguste jaotuse seeria kuju on järgmine:

Arvutame koguse numbrilised omadused:

Pange tähele, et samu karakteristikuid saab palju lihtsamalt arvutada, kasutades funktsioonide arvkarakteristikuid käsitlevaid teoreeme (vt 10. peatükk).

Mat. Ootusrežiim Mediaan

Kõige olulisem omadus oodatud väärtus , mis näitab juhusliku suuruse keskmist väärtust.

Oodatud väärtus X väärtust tähistatakse M[X] või m x .

Diskreetsete juhuslike muutujate jaoks oodatud väärtus :

Vastava väärtuse väärtuste summa juhuslike muutujate tõenäosuse järgi.

Mood Juhusliku suuruse X (Mod) nimetatakse selle kõige tõenäolisemaks väärtuseks.

Diskreetse juhusliku suuruse jaoks. Pideva juhusliku suuruse jaoks.

Unimodaalne jaotus

Multimodaalne levitamine

Üldiselt Mod ja oodatud väärtus mitte

vaste.

mediaan Juhusliku suuruse X (Med) on selline väärtus, mille puhul on tõenäosus, et P(X Med). Igal Med distributsioonil võib olla ainult üks.

Med jagab kõvera aluse 2 võrdseks osaks. Unimodaalse ja sümmeetrilise jaotuse korral

Hetked.

Kõige sagedamini kasutatakse praktikas kahte tüüpi momente: esialgne ja keskne.

Algushetk. Diskreetse juhusliku suuruse X järk on summa kujul:

Pideva juhusliku suuruse X korral on järjekorra alghetk integraal , on ilmne, et juhusliku suuruse matemaatiline ootus on esimene alghetk.

Märgi (operaatorit) M kasutades saab -nda järgu algusmomenti esitada matina. mõne juhusliku suuruse astme ootus.

Tsentreeritud vastava juhusliku suuruse X juhuslik suurus on juhusliku suuruse X kõrvalekalle selle matemaatilisest ootusest:

Tsentreeritud juhusliku suuruse matemaatiline ootus on 0.

Diskreetsete juhuslike muutujate jaoks on meil:

Nimetatakse tsentreeritud juhusliku suuruse momente Kesksed hetked

Keskne tellimuse hetk juhuslikku suurust X nimetatakse vastava tsentreeritud juhusliku suuruse th astme matemaatiliseks ootuseks.

Diskreetsete juhuslike muutujate jaoks:

Pidevate juhuslike muutujate jaoks:

Erinevate tellimuste kesk- ja algmomentide suhe

Kõigist hetkedest kasutatakse juhusliku suuruse tunnusena kõige sagedamini esimest momenti (matem. ootus) ja teist keskmomenti.

Teist keskset momenti nimetatakse dispersioon juhuslik muutuja. Sellel on tähis:

Definitsiooni järgi

Diskreetse juhusliku muutuja jaoks:

Pideva juhusliku muutuja jaoks:

Juhusliku suuruse dispersioon on juhuslike suuruste X hajumise (hajumise) tunnus selle matemaatilise ootuse ümber.

Dispersioon tähendab hajumist. Dispersioonil on juhusliku suuruse ruudu mõõde.

Dispersiooni visuaalseks iseloomustamiseks on mugavam kasutada väärtust m y, mis on sama kui juhusliku suuruse mõõde. Selleks võetakse dispersioonist juur ja saadakse väärtus, mida nimetatakse - standardhälve (RMS) juhuslik muutuja X, lisades samas nimetuse:

Standardhälvet nimetatakse mõnikord juhusliku suuruse X "standardiks".

Juhuslike suuruste teisendused

Iga juhusliku muutuja jaoks X määrake veel kolm kogust – tsentreeritud Y, normaliseeritud V ja antud U. Tsentreeritud juhuslik muutuja Y on erinevus antud juhusliku suuruse vahel X ja selle matemaatiline ootus M(X), need. Y = X - M(X). Tsentreeritud juhusliku suuruse matemaatiline ootus Y on võrdne 0-ga ja dispersioon on antud juhusliku suuruse dispersioon: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). jaotusfunktsioon FY(x) tsentreeritud juhuslik muutuja Y seotud jaotusfunktsiooniga F(x) esialgne juhuslik suurus X suhe:

FY(x) = F(x + M(X)).

Nende juhuslike suuruste tiheduse korral võrdsus

fY(x) = f(x + M(X)).

Normaliseeritud juhuslik suurus V on selle juhusliku suuruse suhe X selle standardhälbele , s.o. . Normaliseeritud juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon V väljendub tunnuste kaudu X Niisiis:

,

kus v on algse juhusliku suuruse variatsioonikordaja X. Jaotusfunktsiooni jaoks F V(x) ja tihedus f V(x) normaliseeritud juhuslik suurus V meil on:

kus F(x) on algse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon X, a f(x) on selle tõenäosustihedus.

Vähendatud juhuslik suurus U on tsentreeritud ja normaliseeritud juhuslik suurus:

.

Vähendatud juhusliku suuruse jaoks

Normaliseeritud, tsentreeritud ja redutseeritud juhuslikke suurusi kasutatakse pidevalt nii teoreetilises uurimistöös kui ka algoritmides, tarkvaratoodetes, regulatiivses ja tehnilises ning õpetlikus ja metoodilises dokumentatsioonis. Eelkõige seetõttu, et võrdsused võimaldavad lihtsustada meetodite põhjendamist, teoreemide sõnastamist ja arvutusvalemeid.

Kasutatakse juhuslike suuruste teisendusi ja üldisemat plaani. Nii et kui Y = aX + b, kus a ja b siis on mõned numbrid

Näide 7 Kui siis Y on redutseeritud juhuslik suurus ja valemid (8) teisendatakse valemiteks (7).

Iga juhusliku muutujaga X saate ühendada palju juhuslikke muutujaid Y antud valemiga Y = aX + b erinevatel a> 0 ja b. Seda komplekti nimetatakse skaala nihke perekond, mis on genereeritud juhusliku suuruse abil X. Jaotusfunktsioonid FY(x) moodustavad jaotusfunktsiooni poolt genereeritud skaala nihke jaotuste perekonna F(x). Selle asemel Y = aX + b sageli kasutatav märge

Number Koos nimetatakse nihkeparameetriks ja numbriks d- skaala parameeter. Valem (9) näitab seda X- teatud koguse mõõtmise tulemus - läheb sisse Kell- sama väärtuse mõõtmise tulemus, kui mõõtmise algus nihutatakse punkti Koos ja seejärel kasutage uut mõõtühikut in d korda suurem kui vana.

Skaalanihke perekonna (9) puhul nimetatakse jaotust X standardseks. Tõenäosus-statistilistes otsustusmeetodites ja muudes rakendusuuringutes kasutatakse standardset normaaljaotust, Weibull-Gnedenko standardjaotust, standardset gamma jaotust jne (vt allpool).

Kasutatakse ka muid juhuslike suuruste teisendusi. Näiteks positiivse juhusliku muutuja puhul X kaaluma Y= log X, kus lg X on arvu kümnendlogaritm X. Võrdsuse ahel

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

seostab jaotusfunktsioone X ja Y.