Pythagorase teoreem: ajalugu, tõestus, praktilise rakenduse näited. Vanad teoreemid. Pythagorase teoreemi ajalugu Mida Pythagoras tõestas
Prividentsev Vladislav, Farafonova Jekaterina
Õpilaste projektitööd matemaatikakonverentsiks
Lae alla:
Eelvaade:
BOU TR OO "Trosnjanskaja keskkool"
Üliõpilaste matemaatikakonverents, mis on pühendatud suurele matemaatikule Pythagorasele
(kooli matemaatikanädala raames)
Pythagorase teoreemi ajalugu
(projekt)
Valmistatud
9. klassi õpilased
Farafonova Jekaterina ja Prividentsev Vladislav
Õpetaja Bilyk T.V.
jaanuar - 2016
Eesmärgid:
- 1. Laiendage oma teadmisi matemaatika ajaloost.
- 2.Saage tuttavaks eluloolised faktid teoreemiga seotud Pythagorase elust.
- 3. Uurige Pythagorase teoreemi ajalugu läbi antiikaja müütide ja legendide.
- 4. Vaatleme Pythagorase teoreemi rakendamist erinevate geomeetria harude ülesannete lahendamisel.
Plaan.
1. Sissejuhatus
2. Teoreemi ajaloost
3. Luuletused Pythagorasest
4. Kokkuvõte
5. Järeldus
Sissejuhatus.
Pythagorase teoreemi on pikka aega laialdaselt kasutatud erinevates teaduse, tehnoloogia ja praktiline elu. Rooma arhitekt ja insener Vitruvius, kreeka moralist kirjanik Plutarchos ja kreeka teadlane lll sajandil kirjutasid sellest oma töödes. Diogenes Laertius, 5. sajandi matemaatik Proclus ja paljud teised. Legend, et Pythagoras ohverdas oma avastuse auks härja või, nagu teised ütlevad, sada härga, oli kirjanike lugudes ja poeetide luuletustes huumoripõhjuseks.
Poeet Heinrich Heine (1797-1856), kes on tuntud oma religioonivastaste vaadete ja ebauskude kaustilise naeruvääristamise poolest, naeruvääristab ühes oma teoses hingede rände „õpetust” järgmiselt:
"Kes teab! Kes teab! Pythagorase hing leppis võib-olla vaese kandidaadiga, kes ei suutnud Pythagorase teoreeme tõestada ja kukkus seetõttu eksamil läbi, samas kui tema eksamineerijates elavad just nende härgade hinged, kelle Pythagoras kunagi surematutele jumalatele ohverdas, olles rõõmus avastamisest. tema teoreem." Lugu Pythagorase teoreem algab ammu enne Pythagorast. Sajandite jooksul on Pythagorase teoreemile antud arvukalt erinevaid tõestusi.
Teoreemi ajaloost
Alustame oma ajaloolist ülevaadet iidse Hiinaga. Siin äratab erilist tähelepanu matemaatiline raamat Chu-pei. See essee räägib sellest Pythagorase kolmnurk külgedega 3, 4 ja 5: "Kui täisnurk on jagatud selle komponentideks, siis on selle külgede otste ühendav joon 5, kui alus on 3 ja kõrgus on 4." Samas raamatus on välja pakutud joonis, mis langeb kokku ühe Bashara hinduistliku geomeetria joonisega.
- Kantor (Saksamaa juhtiv matemaatikaajaloolane) usub, et võrdsus 32 + 42 = 52 oli juba teada egiptlastele veel umbes 2300 eKr. e., kuninga ajal Amenemhet I (Berliini muuseumi papüüruse 6619 järgi). Cantori sõnul ehitasid harpedonaptid ehk "köietõmbajad" täisnurki, kasutades täisnurkseid kolmnurki külgedega 3, 4 ja 5. Nende ehitusmeetodit saab väga lihtsalt reprodutseerida. Võtame 12 m pikkuse köie ja seome selle külge 3 m kauguselt värvilise riba. ühest otsast ja 4 meetri kaugusel teisest. Täisnurk jääb 3–4 meetri pikkuste külgede vahele. Harpedonaptlastele võib vastu vaielda, et nende ehitusmeetod muutub üleliigseks, kui kasutada näiteks puidust ruutu, mida kasutavad kõik puusepad. Tõepoolest on teada Egiptuse joonised, millelt selline tööriist on leitud, näiteks puusepatöökoda kujutavad joonised.
- Pythagorase teoreemi kohta on teada veidi rohkem babüloonlased . Ühes ajaga seotud tekstis Hammurabi , st aastaks 2000 eKr. st on antud täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ligikaudne arvutus. Sellest võime järeldada, et Mesopotaamias suudeti vähemalt mõnel juhul teha arvutusi täisnurksete kolmnurkadega. Tuginedes ühelt poolt Egiptuse ja Babüloonia matemaatika teadmiste praegusele tasemele ning teiselt poolt Kreeka allikate kriitilisele uurimisele, jõudis Van der Waerden (Hollandi matemaatik) järgmisele järeldusele:"Esimeste kreeka matemaatikute, nagu Thalese, Pythagorase ja Pythagoreanide teene ei seisne matemaatika avastamises, vaid selle süstematiseerimises ja põhjendamises." Hindu geomeetria , nagu egiptlased ja babüloonlased, oli kultusega tihedalt seotud. On väga tõenäoline, et hüpotenuusi ruudu teoreem oli tuntud juba Indias umbes 18. sajandil eKr. e.
- Eukleidiliste elementide esimeses venekeelses tõlkes, mille tegi F. I. Petruševski, on Pythagorase teoreem öeldud järgmiselt:"IN täisnurkne kolmnurk x täisnurga vastaskülje ruut on võrdne täisnurka sisaldavate külgede ruutude summaga."Nüüdseks on teada, et seda teoreemi Pythagoras ei avastanud. Kuid mõned usuvad, et Pythagoras oli esimene, kes andis selle täieliku tõendi, samas kui teised eitavad talle seda teenet. Mõned omistavad Pythagorasele tõestuse, mille Euclid esitab oma elementide esimeses raamatus. Teisest küljest väidab Proclus, et tõestus elementides kuulub Eukleidesele endale. Nagu näeme, pole matemaatika ajalugu Pythagorase elu ja tema matemaatilise tegevuse kohta peaaegu mingeid usaldusväärseid andmeid säilitanud. Kuid legend räägib meile isegi teoreemi avastamisega kaasnenud vahetutest asjaoludest. Nad ütlevad, et selle avastuse auks ohverdas Pythagoras 100 pulli.
- Pikka aega arvati, et seda teoreemi enne Pythagorast ei tuntud ja seetõttu nimetati seda "Pythagorase teoreemiks". See nimi on säilinud tänapäevani. Nüüdseks on aga kindlaks tehtud, et see kõige olulisem teoreem on leitud Babüloonia tekstidest, mis on kirjutatud 1200 aastat enne Pythagorast.
- Seda, et kolmnurk külgedega 3, 4 ja 5 on ristkülik, teati 2000 eKr. egiptlased, kes arvatavasti kasutasid seda suhet hoonete ehitamisel täisnurkade ehitamiseks. Hiinas teati hüpotenuusi ruudu ettepanekut vähemalt 500 aastat enne Pythagorast. See teoreem oli tuntud ka Vana-Indias; Seda tõendavad suutrates sisalduvad laused.
Pythagoras tegi palju olulisi avastusi, kuid tema tõestatud teoreem, mis nüüd kannab tema nime, tõi teadlasele suurima kuulsuse. Tõepoolest, tänapäevastes õpikutes on teoreem sõnastatud järgmiselt: "Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga." - Kuidas kirjutada Pythagorase teoreem täisnurkse kolmnurga jaoks ABC jalgadega a, b ja hüpotenuus c.
a 2 + b 2 = c 2
Arvatakse, et Pythagorase ajal kõlas teoreem teisiti: "Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala on võrdne selle jalgadele ehitatud ruutude pindalade summaga." Tõesti, Koos 2 – hüpotenuusile rajatud ruudu pindala, a 2 ja b 2 – jalgadele ehitatud ruutude alad.
Tõenäoliselt tuvastati Pythagorase teoreemis väidetud fakt esmakordselt võrdhaarsete täisnurksete kolmnurkade puhul. Hüpotenuusile ehitatud ruut sisaldab nelja kolmnurka. Ja mõlemal küljel on ruut, mis sisaldab kahte kolmnurka. Jooniselt 9 on selgelt näha, et hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala on võrdne jalgadele ehitatud ruutude pindalade summaga.
Luuletused Pythagorasest.
Saksa romaanikirjanik A. Chamisso, kes 10. sajandi alguses. Ta osales ümbermaailmareisil Vene laeval “Rurik” ja kirjutas järgmised luuletused:
Tõde jääb igaveseks, niipea kui
Nõrk inimene saab sellest aru!
Ja nüüd Pythagorase teoreem
Tõsi, nagu tema kauge sajand.
Ohverdamine oli külluslik
Pythagorase jumalatele. Sada Bulli
Ta andis selle maha tapmiseks ja põletamiseks
Valguse taga on kiir, mis tuli pilvedest.
Seetõttu on sellest ajast peale
Tõde alles sünnib,
Härjad möirgavad, tunnetades teda, järgides teda.
Nad ei suuda valgust peatada,
Või suudavad nad ainult silmad sulgeda ja väriseda
Hirmust, mille Pythagoras neisse sisendas
Kokku võtma:
Kui meile antakse kolmnurk
Ja täisnurgaga,
See on hüpotenuusi ruut
Meil on alati lihtne leida:
Me teeme jalad sirgeks,
Leiame jõudude summa
Ja nii lihtsal viisil
Jõuame tulemuseni.
Lähenemas on geomeetria kontrolltöö ning kontrolltööde ja eksamite ajal tuleb mõnikord ette juhtumeid, kus õpilased, olles pileti välja tõmmanud, mäletavad teoreemi sõnastust, kuid unustavad, kust tõestust alustada. Et teiega seda ei juhtuks, pakun välja joonise – võrdlussignaali. Ma arvan, et ta jääb teie mällu veel kauaks.
Ivan Tsarevitš lõikas draakoni pea maha ja temast kasvas kaks uut. Matemaatilises keeles tähendab see: kulutatud Δ-s ABC kõrgus CD , ja moodustati kaks uut täisnurkset kolmnurka ADC ja BDC.
Järeldus.
Pärast konstrueeritud materjali uurimist võime järeldada, et Pythagorase teoreem on geomeetria üks olulisemaid teoreeme, kuna selle abil saate tõestada paljusid teisi teoreeme ja lahendada paljusid probleeme.
Lahendusmeetodite täiustamisel mängisid suurt rolli Pythagoras ja Pythagorase koolkond teaduslikud probleemid: seisukoht rangete tõestuste vajalikkuse kohta kinnistus matemaatikas kindlalt, mis andis sellele eriteaduse tähenduse.
Sissejuhatus
Raske on leida inimest, kes ei seostaks Pythagorase nime oma teoreemiga. Võib-olla säilitavad isegi need, kes on oma elus matemaatikaga igaveseks hüvasti jätnud, mälestusi "Pythagorase pükstest" - hüpotenuusil olevast ruudust, mille suurus võrdub kahe ruuduga külgedel.
Pythagorase teoreemi populaarsuse põhjus on kolmik: see
lihtsus – ilu – tähtsus. Tõepoolest, Pythagorase teoreem on lihtne, kuid mitte ilmne. See on kahe vastuolulise kombinatsioon
hakkas andma talle erilist külgetõmbejõudu, teeb ta ilusaks.
Lisaks on Pythagorase teoreemil suur tähtsus: seda kasutatakse geomeetrias sõna otseses mõttes igal sammul ning selle teoreemi hiiglaslikust arvust annab tunnistust asjaolu, et sellel teoreemil on umbes 500 erinevat tõestust (geomeetriline, algebraline, mehaaniline jne). selle konkreetsed teostused.
Kaasaegsetes õpikutes on teoreem sõnastatud järgmiselt: "Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga."
Pythagorase ajal kõlas see nii: "Tõesta, et täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile ehitatud ruut on võrdne selle jalgadele ehitatud ruutude summaga" või "Hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala täisnurkse kolmnurga suurus on võrdne selle jalgadele ehitatud ruutude pindalade summaga.
Eesmärgid
Töö põhieesmärk oli näidataPythagorase teoreemi tähtsus paljude teaduse ja tehnoloogia arengusmaailma riigid ja rahvad, aga ka kõige lihtsamad ja huvitavamadvorm teoreemi sisu õpetamiseks.
Peamine töös kasutatud meetod onon andmete korrastamise ja töötlemise meetod.
Meelitav infotehnoloogia, mitmekesinezili materjal erinevate värviliste illustratsioonidega.
PYTHAGORUSE "KULDSALMID".
Olge õiglane nii oma sõnades kui ka tegudes... Pythagoras (umbes 570-u 500 eKr)
Vana-Kreeka filosoof ja matemaatikarendas oma õpetusega kosmilisest harmooniast jahingede ränne. Traditsioon tunnustab Pythagorast tema nime kandva teoreemi tõestamise eest. Palju sissePlatoni õpetused ulatuvad Pythagorase ja tema järglasteni tel.
Mnesarchose poja Pythagorase Samose kohta pole kirjalikke dokumente alles ning hilisemate tõendite põhjal on raske rekonstrueerida tõelist pilti tema elust ja saavutustest.(Elektrooniline entsüklopeedia:TähtMaailm) On teada, et Pythagoras lahkus oma emakeelse Samose saarelt Egeuse meres kaldaleVäike-Aasia valitsus protestiks valitseja türannia vastu ja juba täiskasvanueasvanus (legendi järgi 40 aastat vana) ilmus Lõuna-Itaalias asuvasse Kreeka linna Crotone. Pythagoras ja tema järgijad - Pythagoreanid - moodustasid salaliidu, mis mängis elus olulist rolli Kreeka kolooniad ita keelesLii. Pythagoraslased tundsid üksteist ära tähekujulise viisnurga – pentagrammi järgi. Kuid Pythagoras pidi pensionile minema Metapontosesse, kus tasuri. Hiljem teisel poolajalVeKr e., tema tellimus hävitati.
Pythagorase õpetusi mõjutasid suuresti filosoofia ja religioongia idast. Ta reisis palju idamaades: ta oli seesEgiptus ja Babülon. Seal kohtus Pythagoras ka ida matemaatikaga tikoy.
Pythagoraslased uskusid, et saladused on peidetud numbrilistes mustrites.maailmas. Numbrite maailm elas Pythagorase jaoks erilist eluoma elu eriline tähendus. Nende jagajate summaga võrdseid numbreid peeti täiuslikeks (6, 28, 496, 8128); sõbraliknimetatud arvupaare, millest igaüks oli võrdne teise jagajate summagagogo (näiteks 220 ja 284). Pythagoras oli esimene, kes jagas arvud paaris- japaaritu, alg- ja liitarvude kontseptsiooni. Tema omaskool, uuriti üksikasjalikult Pythagorase naturaalarvude kolmikuid, milles ühe ruut oli võrdne kahe teise ruutude summaga ( suurepärane teoreem talu).
Pythagorasele omistatakse ütlusi: "Kõik on arv." Numbrite juurde(ja ta mõtles ainult täisarvud) tahtis ta kogu maailma kokku viia jamatemaatikat eriti. Kuid Pythagorase koolis endas tehti avastus, mis rikkus seda harmooniat. On tõestatud, et 2 juur ei oleon ratsionaalarv, st ei väljendu loomuliku kaudu numbrid.
Loomulikult oli Pythagorase geomeetria allutatud aritmeetikale.See väljendus selgelt teoreemis, mis tema nime kannab ja hiljem saikohaldamise alus numbrilised meetodid geomeetria. (Hiljem tõstis Eukleides taas esiplaanile geomeetria, allutades sellele algebra.) Ilmselt teadsid pütagoorlased õigeid tahkeid kehasid: tetraeedrit, kuubikut ja dodekaeedrit.
Pythagorasele omistatakse tõestuste süstemaatiline juurutamine geomeetriasse, sirgjooneliste kujundite planimeetria loomine, doktriini bii.
Pythagorase nimi on seotud aritmeetiliste, geomeetriliste ja harmooniliste proportsioonide õpetusega.
Tuleb märkida, et Pythagoras pidas Maad liikuvaks palliksümber päikese. Kui sisseXVIsajandil hakati kirikut ägedalt taga kiusamaKui võtame Koperniku õpetuse, siis seda õpetust kutsuti kangekaelselt Pythagorase’iks.(Noore matemaatiku entsüklopeediline sõnaraamat: E-68. A. P. Savin.- M.: Pedagoogika, 1989, lk. 28.)
Mõned põhimõisted kuuluvad kahtlemataPythagorasele endale. Esimene- idee ruumist kui matemaatikasttiliselt järjestatud tervik. Pythagoras jõudis temani pärast seda, kui avastas, et harmoonilised põhiintervallid, st oktav, täiuslik kvint ja perfektne kvarts, tekivad siis, kui vibreerivate keelpillide pikkused on omavahel seotud 2:1, 3:2 ja 4:3 (legend räägib, et avastus tehti millalPythagoras möödus sepikojast: erineva massiga alasidtekitas kokkupõrkel vastavad helisuhted). UsmotAvaldades analoogia muusika korrastatuse vahel, mida väljendavad selle avastatud suhted, ja materiaalse maailma korrastatuse vahel, Pythagorasjõudis järeldusele, et see on läbi imbunud matemaatilistest seostestkogu ruum. Katse rakendada Pythagorase matemaatilisi avastusi spekulatiivsetele füüsikalistele konstruktsioonidele viis huvitavate tagajärgedeni.tulemused. Seega eeldati, et iga planeet oma pöörde ajalMaa ümber kiirgab see läbi selge ülemise õhu ehk "eetri",teatud kõrgusega toon. Heli kõrgus muutub sõltuvalt kiirusestplaneedi liikumise kiirus, kiirus sõltub kaugusest Maast. PloomKui taevahelid ühinevad, moodustavad need nn "sfääride harmoonia" või "sfääride muusika", millele viidatakse Euroopa kirjanduses sageli.
Varased Pythagorased uskusid, et Maa on lame ja asub keskelruumi. Hiljem hakkasid nad uskuma, et Maa on sfäärilise kujuga ja koos teiste planeetidega (mille hulka kuulusid ka Päike)tiirleb ümber ruumi keskpunkti, st “kolde”.
Antiikajal oli Pythagoras enim tuntud kui jutlustajaeraldatud elustiil. Tema õpetamise keskmes oli ideerääkida reinkarnatsioonist (hingede rändamisest), mis muidugi eeldab hinge võimet keha surma üle elada ja seega ka surematust. Kuna uues kehastuses võib hing liikuda looma kehasse, oli Pythagoras loomade tapmise, nende liha söömise vastu ja teatas isegi, et ei tohi tegeleda nendega, kes tapavad loomi või lihutavad nende korjuseid. Niipalju kui Empedoclese kirjutistest võib otsustada, kes jagas religioossed vaated Pythagorase, verevalamist peeti siin pärispatuks, mille eest hing aetakse välja surelike maailma, kus ta eksleb, olles ühes või teises kehas vangis. Hing ihkab kirglikult vabanemist, kuid teadmatusest kordab ta alati patust tegu.
Võib päästa hinge lõputust reinkarnatsioonidestpuhastamine Lihtsaim puhastamine seisneb teatud jälgimiseskeelud (näiteks joobeseisundist või joomisest hoidumineubade söömine) ja käitumisreeglid (näiteks vanemate austamine, seaduskuulekus ja mitte vihastamine).
Pythagoraslased hindasid sõprust kõrgelt ja nende kontseptsioonide järgi peaks kogu sõprade vara olema ühine. Vähestele väljavalitutele pakuti puhastamise kõrgeimat vormi - filosoofiat, see tähendab armastust tarkuse vastu ja seega ka soovi selle järele (seda sõna kasutas Cicero sõnul esmakordselt Pythagoras, kes nimetas end mitte targaks, vaid armastajaks tarkusest). Nende vahenditega jõuab hing kontakti põhimõtetega kosmiline kord ja saab nendega kooskõlla, vabaneb ta kiindumusest kehasse, selle seadusetutest ja korratutest soovidest. Matemaatika on üks religiooni komponentePythagorealased, kes õpetasid, et Jumal pani arvu maailma alusekstellida.
Pythagorase vennaskonna mõju esimesel poolelVV. eKr e. Mittesuurenes pidevalt. Kuid tema soov anda võim "parimatele" sattus vastuollu demokraatliku meeleolu tõusuga Lõuna-Itaalia Kreeka linnades ja varsti pärast 450. aastat eKr. e. oli haiguspuhang Crotonesmäss pütagoorlaste vastu, mille tulemusena mõrvati ja saadeti välja paljud, kui mitte kõik vennaskonna liikmed. Siiski ikka seesIVV. eKr e. püthagoReichidel oli mõju Lõuna-Itaalias ja Tarentumis, kus elas Platoni sõber Archytas, püsis see veelgi kauem. Filosoofia ajaloo jaoks oli aga palju olulisem Pythagorase keskuste loomine Kreekas endas,näiteks Teebas, teisel poolelVV. eKr e. Sellest ka Pythagoraseideed tungisid Ateenasse, kus Platoni dialoogi järgiPhaedo,Sokrates võttis need omaks ja muutis laiaulatuslikuks ideoloogiliseks liikumiseks,alustasid Platon ja tema õpilane Aristoteles.
Järgnevatel sajanditel ümbritseti Pythagorase kuju ise
palju legende: teda peeti reinkarneerunud jumalaks Apolloks,
usuti, et tal on kuldne reie ja ta on võimeline õpetama
kahes kohas samal ajal. Varakristlikud kirikuisad vastavad
kas Pythagorasel on aukohal Moosese ja Platoni vahel. Samuti sisseXVIV[
Pythagorase autoriteedile viidati sageli mitte ainult teaduses |.:
aga ka maagiat.(Elektrooniline entsüklopeedia:TähtMaailm.).
Legendi taga on tõde
Pythagorase teoreemi avastamist ümbritseb halo ilusad legendid AProclus, kommenteerides viimast lausetIEukleidese raamatud "Elements",kirjutab: “Kui kuulata neid, kellele meeldib korrata iidseid legende, siispeame ütlema, et see teoreem ulatub tagasi Pythagorase juurde; nad ütlesidet ta ohverdas selle auks härja. See legend on kindlalt kokku kasvanudPythagorase teoreemiga ja 2000 aasta pärast tekitas jätkuvalt kuuma klikid. Nii kirjutas optimist Mihhailo Lomonosov: "Pythagoras ühe geomeetria leiutamise eestZeusi reegli kohaselt ohverdas ta sada härga.Aga kui nende jaoks, mis leiti uusajal alatesvaimukad matemaatikud valitsevad tema ebauskliku järgiarmukadedus tegutsema, siis vaevukui neid oleks kogu maailmas nii paljuveiseid on leitud."
Kuid irooniline Heinrich Heine nägi sama olukorra arengut mõnevõrra teisiti : « Kes teab ! Kes teab ! Võib olla , vaese kandidaadi sisse kolis mäe Pythuse hing , kes ei suutnud Pythagorase teoreemi tõestada ja kukkus läbi - selle eest eksamitel , samas kui tema eksamineerijates elavad nende härgade hinged , mis Pythagoras , rõõmustas oma teoreemi avastamise üle , ohverdati surematutele jumalatele ».
Teoreemi avastamise ajalugu
Pythagorase teoreemi avastamise põhjuseks on tavaliselt Vana-Kreeka filosoof ja matemaatik Pythagoras (VIV. eKr e.). Kuid Babüloonia kiilkirjatabelite ja iidsete Hiina käsikirjade (veelgi iidsemate käsikirjade koopiad) uurimine näitas, et see väide oli teada ammu enne Pythagorast, võib-olla aastatuhandeid enne teda. Pythagorase eelis seisnes selles, et ta avastas selle teoreemi tõestuse.
Alustame oma ajaloolist ülevaadet iidse Hiinaga. Siin on eriline märkusmaania köidab matemaatiline raamat Chu-pei. See töö räägib Pythagorase kolmnurgast külgedega 3, 4 ja 5:"Kui täisnurk jaotatakse selle komponentideks, siis on selle külgede otste ühendav joon 5, kui alus on 3 ja kõrgus on 4."
Samas raamatus on välja pakutud joonis, mis langeb kokku ühe Bashara hinduistliku geomeetria joonisega.
Samuti avastati Pythagorase teoreem iidses Hiina traktaadis "Zhou-bi suan jin" ("Matemaatiline traktaat"gnomoni kohta"), mille loomise aeg pole täpselt teada, kuid kus on märgitud, et inXVV. eKr e. hiinlased teadsid Egiptuse kolmnurga omadusi ja inXVIV. eKr e. - ja teoreemi üldvorm.
Cantor (suurim Saksa matemaatikaajaloolane) usub, et võrdsus 3 2 + 4 2 = 5 2 oli egiptlastele teada juba umbes 2300 eKr. e. kuningas Amenemheti ajalI(Berliini muuseumi papüüruse 6619 järgi).
Cantori sõnul ehitasid harpedonaptes ehk "köietõmbajad" täisnurgad, kui
kasutades täisnurkseid külgedega kolmnurki 3, 4 ja 5.
Nende meetodit on väga lihtne reprodutseeridaEhitus. Võtame 12 m pikkuse köie ja seome selle külge eemalt värvilise riba3 m ühest otsast ja 4 m teisest otsast. Täisnurksuletakse külgede vahele 3–4 m. Harpedonapte võib vastu vaielda, et nende ehitusmeetod muutub üleliigseks, kui kasutada näiteks puidust väljakut, mida kasutavad kõik puusepad. Tõepoolest, Egiptuse jooniseid, millelt selline tööriist on leitud, on teada, näiteks puusepatöökoda kujutavad joonised.Sellest teatakse veidi rohkemPythagorase teoreem babüloonlaste seas.Ühes tekstis, mis pärineb ajastMeni Hammurabi, st 2000. aastakseKr e., hüpotenuusi ligikaudne arvutus antakse otsekivisöe kolmnurk. Siitvõime järeldada, et Dvuraskes oskas arvutusi tehatäisnurksete kolmnurkadegamina, vähemalt mõnesjuhtudel. Ühe põhjalkülgedel, tänasel tasemelteadmisi Egiptuse ja Babüloonia kohtamatemaatikas ja teiselt poolt kriitikasKreeka allikate loogiline uurimine, Van der Waerden (hollandiVene matemaatik) tegi järgmise järelduse:
"Esimeste kreeka matemaatikute, nagu Thalese, teene Pythagoras ja Pythagoreans ei ole matemaatika avastus, vaid selle süstematiseerimine ja põhjendamine. Arvutusretsept on nende kätes sa oled ebamääraste ideede põhjal muutunud täpseks uus teadus."
Hindude, nagu ka egiptlaste ja babüloonlaste geomeetria oli tihedalt seotudseotud kultusega. Suure tõenäosusega on ruuduteoreem hüpotenuse tunti Indias umbesXVIIIsajandil eKr e., samutiseda tunti ka muistses India geomeetriasteoloogiline traktaatVII- Vsajandite jooksul eKr e. "Sulva Sutra" ("Reeglidköied").
Kuid hoolimata kõigist nendest tõenditest on Pythagorase nimi niikindlalt sulandunud Pythagorase teoreemiga, mis on nüüd lihtsalt võimatuvõib ette kujutada, et see fraas laguneb. Sama alatesviitab ka legendile Pythagorase härgade loitsu kohta. Ja see on ebatõenäolinevaja lahata ajaloolis-matemaatilise skalpelligasügavad muistsed legendid.
Meetodid teoreemi tõestamiseks
Pythagorase teoreemi tõestus keskaja õpilaste pooltpidas seda väga raskeks ja nimetas sedaDons asinorum - eesli sild võielefuga - "vaeste põgenemine", kuna mõned "vaesed" õpilased, kellel polnud tõsist matemaatikat, põgenesidkas geomeetriast. Nõrgad õpilased, kes on teoreemid pähe õppinudmõistmata ja seetõttu hüüdnimega "eeslid", ei suutnudvõime ületada Pythagorase teoreem, mis näis neid teenivatületatav sild. Teoreemiga kaasnevate jooniste tõttuPythagoras, õpilased nimetasid seda ka "tuulikuks", koosnad kirjutasid luuletusi nagu "Püthagorase püksid on igast küljest võrdsed" ja joonistasid koomikseid.
A). Lihtsaim tõestus
Tõenäoliselt oli Pythagorase teoreemis öeldud tõsiasi unenäguchala on määratud võrdhaarsete ristkülikute jaoks. Vaadake lihtsalt mustade ja heledate kolmnurkade mosaiiki,kolmnurkade teoreemi paikapidavuse kontrollimisekska ABC : hüpotenuusile ehitatud ruut sisaldab nelja kolmnurka ja mõlemale küljele on ehitatud ruut, mis sisaldabkaks kolmnurka (joon. 1, 2).
Tõestused kujundite võrdse suuruse mõiste kasutamisel.
Sel juhul võime kaaluda tõendeid, milles quadRath ehitatud antud ristkülikukujulise kolmnurga hüpotenuusileruut, mis on “koostatud” samadest kujunditest nagu külgedele ehitatud ruudud. Arvesse võib võtta ka järgmisi tõendeidva, milles liitarvude permutatsioon jaarvesse võetakse mitmeid uusi ideid.
Joonisel fig. 3 näitab kahte võrdset ruutu. Iga külgede pikkusvõrdne ruudugaa + b. Iga ruut on jagatud osadeks,mis koosneb ruutudest ja täisnurksetest kolmnurkadest. On selge, et kui lahutada ruudu pindalast neli korda jalgadega täisnurkse kolmnurga pindalaa, b, siis jäävad nad võrdseks halasta, st. Koos 2 = a 2 + b 2 . Muistsed hindud aga, kes kuulusidsee arutluskäik valetab, tavaliselt ei pannud nad seda kirja, vaid saatsidjoonistus vaid ühe sõnaga: "Vaata!" On täiesti võimalik, et taPythagoras pakkus ka mõningaid tõendeid.
b). Tõendid täitmise meetodil.
Selle meetodi olemus seisneb selles, et ruutudele konstrueerigejalgadel ja hüpotenuusile ehitatud ruudule, millelühendage võrdsed arvud nii, et need oleksid võrdseduued kujundid.
Joonisel fig. 4 näitab tavalist Pythagotrida joonis täisnurkne kolmnurkABCmille külgedele on ehitatud väljakud. Sellele joonisele on lisatud kolmruudud 1 ja 2, mis on võrdsed algse sirgegakivisöe kolmnurk.
Pythagorase teoreemi kehtivus tuleneb kuusnurkade võrdsest suurusestAEDFPB Ja ACBNMQ. Siin on otsene EP devalgustatud kuusnurkAEDFPBkaheks võrdseks nelinurgaks jagab sirge CM kuusnurgaACBNMQkaheks võrdseks nelinurgaks; tasapinna pööramine 90° ümber keskpunkti A kaardistab nelinurga AERB nelinurgaksACMQ.
(Selle tõendi esitas esmakordselt Leonard enne da Vincit.)
Pythagorase kujund valmisristkülikule, mille küljed on paralleelsedjoondatud kvadra vastavate külgedegacoms ehitatud jalgadele. Jagame selle ristküliku kolmnurkadeks ja sirgeksruudud. Saadud ristkülikustKõigepealt lahutame kõik hulknurgad 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, jättes hüpotenuusile ehitatud ruudu. Seejärel lahutame samast ristkülikust ristkülikud 5, 6, 7 ja varjutatud sirgeltruudud, saame jalgadele ehitatud ruudud.
Nüüd tõestame, et esimesel juhul lahutatud arvud onon suuruselt võrdsed teisel juhul lahutatud arvudega.
See illustreerib tõestust,andnud Nassir-ed-Din (1594). Siin: P.L.- sirge;
KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;
LGBO= SVMR = CBNQ = b 2 ;
AKGB = AKLO + LGBO= c2;
seega 2 = a 2 + b 2 .
Riis. 7 illustreerib tõestust,andnud Hoffmann (1821). SiinPythagorase kujund on konstrueeritud nii, etruudud asuvad ühel pool joontAB. Siin: 
OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;
CBML=CBNQ= A 2 ;
OVMR =ABMF= Koos 2 ;
OVMR = OCLP + CBML;
Seega c 2 = a 2 + b.
See illustreerib veel üht oripakutud tõendeidHoffman. Siin: kolmnurkABC sirgega pesunurk C; joonelõikB.F.ristiNE ja sellega võrdne, segmentOLEristiAB ja sellega võrdne segmentAD risti ren AC ja sellega võrdne; punktidF, KOOS, D kuulub lõikama ühel sirgel; nelinurgadADFBja ACVE on suuruselt võrdsed, kunaABF= ESV; kolmnurgadADF Ja ACE-d on võrdse suurusega;
lahutada mõlemast võrdsest nelinurgastnikkidel on ühine kolmnurkABC, saame ½ a* a + ½ b* b – ½ c* c
V). Algebraline tõestusmeetod.
Joonis illustreerib suure India matemaatiku Bhaskari (kuulus Li-lavati autor,XIIV.). Joonistusega kaasnes vaid üks sõna: VAATA! Pythagorase teoreemi tõestuste hulgas algebraline meetod esikoht (võimalik, et vanim) eestvõtab tõendeid allteksti abil mesilane.
Ajaloolased usuvad, et Bhaskara sündis nõelamisala 2-ga peale ehitatud väljakhüpotenuus, kui nelja kolmnurga pindala 4(ab/2) ja ruudu pindala summa, mille külg on võrdne jalgade vahega.
Esitagem nüüdisaegses esitluses üks järgmistest tõenditest:Pythagorasele kuulunud kehad.
I "
Joonisel fig. 10 ABC - ristkülikukujuline, C - täisnurk, ( C.M.L AB) b - jala projektsioon b hüpotenuusile, A - jalgade projektsioonA hüpotenuusil, h - joonistatud kolmnurga kõrgus merepinnast hüpotenuus. Sellest, et ABC sarnaneb AFM-iga, järeldub seeb 2 = cb; (1) sellest, et ABC on VSM-iga sarnane, järeldub, et 2 = CA (2) Liites võrrandid (1) ja (2) astme kaupa, saame a 2 + b 2 = cb + ca = = c (b + a) = c 2 .
Kui Pythagoras tegelikult sellise tõestuse pakkus,siis oli ta tuttav paljude oluliste geomeetriliste teoreemidega,mida tänapäeva matemaatikaajaloolased tavaliselt omistavad Euclid.
Möhli tõend manna. Pindala antud täisnurkne kolmnurknika on ühelt poolt võrdne 0,5 a* b, teiselt poolt 0,5* lk*g, kus lk - kolmnurga poolperimeeterr - sellesse kirjutatud raadius on u.ümbermõõt (r = 0,5 - (a + b - c)).Meil on: 0,5*a*b - 0,5*p*g - 0,5 (a + b + c) * 0,5-(a + b - c), kust sellest järeldub, et c 2 = a 2 + b 2 .
d) Garfieldi tõestus.
Joonisel 12 on kolm sirgetkolmnurgad moodustavad trapetsi. Sellepärast.selle figuuri pindala on võimalik.\ leida pindala valemi abilristkülikukujuline trapets,või pindalade summanakolm kolmnurka. RajalSel juhul on see ala võrdne0,5 võrra (a + b) (a + b), sekundis rumm - 0,5* a* b+ 0,5*a* b+ 0,5*s 2
Võrdsustades need avaldised, saame Pythagorase teoreemi.
Pythagorase teoreemi tõestusi on palju, läbi viidudkasutades mõlemat kirjeldatud meetodit ja kasutades kombinatsioonierinevate meetodite kasutamine. Erinevate dokkide näidete ülevaate lõpetuseksavaldused, siin on veel mõned kaheksat viisi illustreerivad joonisedbov, millele on viited Eukleidese “Elementides” (joon. 13 - 20).Nendel joonistel on Pythagorase kuju kujutatud pideva joonenatema ja lisakonstruktsioonid - punktiir.
Nagu eespool mainitud, muistsed egiptlased rohkem kui 2000 aastattagasi kasutasime konstrueerimiseks praktiliselt kolmnurga omadusi külgedega 3, 4, 5 täisnurk st tegelikult rakendasid nad teoreemi Pythagorase teoreemile pöördvõrdeliselt. Esitame selle teoreemi tõestuse, mis põhineb kolmnurkade võrdsuse kriteeriumil (st sellisel, mida saab juba koolis kasutusele võttauus tava). Nii et lase kolmnurga külgedelABC (Joonis 21) seotud 2 = a 2 + b 2 . (3)
Tõestame, et see kolmnurk on täisnurkne.
Ehitame täisnurkse kolmnurgaA B C kahelt poolt, mille pikkused on võrdsed pikkustegaA Ja b antud kolmnurga jalad. Olgu konstrueeritud kolmnurga hüpotenuusi pikkus peal c . Kuna konstrueeritud kolmnurk on täisnurkne, siis teoreetiliseltPythagorase reemis, mis meil onc = a + b (4)
Võrreldes seoseid (3) ja (4), saame selleKoos= koos või c = c Seega on kolmnurgad - antud ja konstrueeritud - võrdsed, kuna neil on vastavalt kolm võrdsed küljed. Nurk Con sirge, seega on ka selle kolmnurga nurk C õige.
Täiendavad tõendid.
Need tõestused põhinevad külgedele ehitatud ruutude lagunemisel kujunditeks, millest saab moodustada nelikuratth ehitatud hüpotenuusile.
Einsteini tõestus ( riis. 23) põhinevad lagunemiselhüpotenuusile ehitatud ruut 8 kolmnurgaks.
Siin: ABC- ristkülikukujuline kolmnurk täisnurgaga C;COMN; SK MN; P.O.|| MN; EF|| MN.
Tõesta seda isekolmnurkade võrdsus, poolarvutatakse ruutude jagamisel vastavaltehitatud jalgadele ja hüpotenuusile.
b) Al-Nayriziyah' tõestuse põhjal viidi läbi teine ruutude jaotamine paarikaupa võrdseteks arvudeks (siinABC - täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C).
Seda tõendit nimetatakse ka hingedega, kunaet siin muudavad oma asukohta ainult kaks algse kolmnurgaga võrdset osa ja need on justkui ülejäänud külge kinnitatudjoonis hingedel, mille ümber need pöörlevad (joonis 25).
c) Teine tõestus ruutude lahutamise meetodilvõrdsed osad, mida nimetatakse "teradega rattaks", on näidatud riis. 26. Siin: ABC - täisnurkne kolmnurk täisnurgaga jäägid S, O - suurele küljele ehitatud ruudu keskpunkt; punkti läbivad punktiirjoonedKOHTA, risti võiparalleelselt hüpotenuusiga.
See ruutude lagunemine on huvitav, kuna selle paarikaupa võrdseid nelinurki saab paralleeltõlke abil üksteisega vastendada.
"Pythagorase püksid" (Eukleidese tõestus).
Kaks tuhat aastatmuutis leiutatud tõenditEuclid, mis on pandud temakuulsad "põhimõtted". Eukleidese oopus cal kõrgus VN täisnurkse kolmnurga tipust hüpotenuusile ja tõestas, et selle jätk jagab hüpotenuusile konstrueeritud ruudu kaheks ristkülikuks, mille pindalad on võrdsed
külgedele ehitatud vastavate ruutude alad. Eukleidese tõestus võrreldes iidse Hiina või iidse Indiaga näeb välja sellineliiga keeruline. Sel põhjuselteda kutsuti sageli "siltitud" ja "väljamõeldud". Aga see arvamuspinnapealne. Teoreemi tõestamiseks kasutatud joonist nimetatakse naljaga pooleks "Pythagorase püksid". ajalpikka aega peeti seda üheks matemaatikateaduse sümboliks.
Vana-Hiina tõendid.
Vana-Hiina matemaatilised traktaadid on meieni jõudnud väljaannetenaIIV. eKr e. Fakt on see, et 213 eKr. e. hiina keiser
Shi Huangdi, püüdes varasemaid traditsioone kaotada, käskis kõik iidsed raamatud põletada. sisseIIV. eKr e. Hiinas leiutati paber ja samal ajal algas ka restaureerimineiidsed raamatud. Nii tekkis “Matemaatika üheksas raamatus” -peamised säilinud matemaatilised ja astronoomilised tööd ny.
"Matemaatika" 9. raamatus on joonistuskes tõestab Pythagorase teoreemi.Selle tõestuse võtit pole raske leida (joonis 27).
Tegelikult iidses hiina keelessamad neli võrdset ristkülikukujulist kolmnurkajalgadega ruuta, c ja hüpotenuus Koos asetatud nii, et nende välimine kontuur onon küljega ruuta + b, ja sisemine - hüpotenuusile ehitatud ruut küljega c (joon. 28).
Kui ruut küljegaKoos lõika ja ülejäänud 4 varjutatud kolmnurkakahte ristkülikusse paigutatuna on selge, et tulemuseks olev tühimik ühelt poolt
võrdne koos, ja teiselt poolt
a + b 2 , st. Koos 2 = a 2 + b
Teoreem on tõestatud.
Pange tähele, et sellise tõendiga
Konstruktsioonid ruudu sees hüpotenilme näeme
dim iidse Hiina joonisel ei kasutata (joon. 30). Ilmselt oli Vana-Hiina matemaatikutel varem midagi muudtõend, nimelt: kui ruudus
poolKoos
kaks varjutatud kolmnurkalõika ära sälg ja kinnita hüpotenuused külgekaks teist hüpotenuusi, siis on seda lihtne leidakinnitada, et saadud arv, mis
mõnikord nimetatakse "pruuttooliks", kooskoosneb kahest külgedega ruudustA
Jab,
st koos 2
=
A
2
+ b
2
.
Kuju reprodutseerib mustatraktaadist “Zhou-bi...”. SiinArvestatakse Pythagorase teoreemigaEgiptuse kolmnurk jalgadega3, 4 ja hüpotenuus 5 mõõtühikut.Hüpotenuusil olev ruut sisaldab 25lahtrid ja sellesse kantud ruut suuremale küljele on 16. On selge, et ülejäänud osa sisaldab 9 lahtrit. See javäiksemale küljele jääb ruut.
Pythagorase teoreem ütleb:
Täisnurkses kolmnurgas on jalgade ruutude summa võrdne hüpotenuusi ruuduga:
a 2 + b 2 = c 2,
- a Ja b– täisnurga moodustavad jalad.
- Koos- kolmnurga hüpotenuus.
Pythagorase teoreemi valemid
- a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
- b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
- c = \sqrt (a^(2) + b^(2))
Pythagorase teoreemi tõestus
Täisnurkse kolmnurga pindala arvutatakse järgmise valemiga:
S = \frac(1)(2) ab
Suvalise kolmnurga pindala arvutamiseks on pindala valem järgmine:
- lk- poolperimeeter. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
- r– sisse kirjutatud ringi raadius. Ristküliku jaoks r=\frac(1)(2)(a+b-c).
Seejärel võrdsustame kolmnurga pindala jaoks mõlema valemi paremad küljed:
\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)
2 ab = (a+b+c) (a+b-c)
2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \parem)
2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)
0=a^(2)+b^(2)-c^(2)
c^(2) = a^(2)+b^(2)
Pöördeteoreem Pythagoras:
Kui kolmnurga ühe külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, siis on kolmnurk täisnurkne. See tähendab mis tahes positiivsete arvude kolmiku korral a, b Ja c, selline, et
a 2 + b 2 = c 2,
on täisnurkne kolmnurk jalgadega a Ja b ja hüpotenuus c.
Pythagorase teoreem- üks eukleidilise geomeetria põhiteoreeme, mis loob seose täisnurkse kolmnurga külgede vahel. Seda tõestas õppinud matemaatik ja filosoof Pythagoras.
Teoreemi tähendus Asi on selles, et seda saab kasutada teiste teoreemide tõestamiseks ja probleemide lahendamiseks.
Lisamaterjal:
Ühes võite olla sada protsenti kindel, et kui küsida, milline on hüpotenuusi ruut, vastab iga täiskasvanu julgelt: "Jalgade ruutude summa." See teoreem on kõigi meelest kindlalt juurdunud. haritud inimene, aga tuleb vaid paluda kellelgi see tõestada ja siis võivad tekkida raskused. Nii et meenutagem ja mõelgem erinevatel viisidel Pythagorase teoreemi tõestus.
Lühike elulugu
Pythagorase teoreem on tuttav peaaegu kõigile, kuid millegipärast pole selle maailma toonud inimese elulugu nii populaarne. Seda saab parandada. Seetõttu peate enne Pythagorase teoreemi tõestamise erinevate viiside uurimist põgusalt tundma õppima tema isiksust.
Pythagoras – algselt pärit filosoof, matemaatik, mõtleja Tänapäeval on tema elulugu väga raske eristada legendidest, mis on selle suurmehe mälestuseks välja kujunenud. Kuid nagu tema järgijate töödest järeldub, sündis Samose saarel Pythagoras. Tema isa oli tavaline kiviraidur, ema aga pärines aadlisuguvõsast.
Legendi järgi otsustades ennustas Pythagorase sündi Pythia-nimeline naine, kelle auks poisile nimi pandi. Tema ennustuse kohaselt pidi sündinud poiss tooma inimkonnale palju kasu ja head. Mida ta täpselt tegigi.
Teoreemi sünd
Nooruses kolis Pythagoras Egiptusesse, et kohtuda seal kuulsate Egiptuse tarkadega. Pärast nendega kohtumist lubati tal õppida, kus ta õppis ära kõik Egiptuse filosoofia, matemaatika ja meditsiini suured saavutused.
Tõenäoliselt sai Pythagoras püramiidide majesteetlikkusest ja ilust inspiratsiooni Egiptuses ning lõi oma suurepärase teooria. See võib lugejaid šokeerida, kuid kaasaegsed ajaloolased usuvad, et Pythagoras ei tõestanud oma teooriat. Kuid ta andis oma teadmised edasi ainult oma järgijatele, kes tegid hiljem kõik vajalikud matemaatilised arvutused.
Olgu kuidas on, tänapäeval ei teata mitte üht selle teoreemi tõestamise meetodit, vaid mitut korraga. Täna võime vaid oletada, kuidas täpselt muistsed kreeklased oma arvutusi tegid, seega vaatleme siin erinevaid viise Pythagorase teoreemi tõestamiseks.
Pythagorase teoreem
Enne arvutuste alustamist peate välja mõtlema, millist teooriat soovite tõestada. Pythagorase teoreem kõlab järgmiselt: "Kolmnurgas, mille üks nurkadest on 90°, võrdub jalgade ruutude summa hüpotenuusi ruuduga."
Pythagorase teoreemi tõestamiseks on kokku 15 erinevat viisi. Sellest piisab suur number, seega pöörame tähelepanu kõige populaarsematele neist.
Meetod üks
Esiteks määratleme, mis meile on antud. Need andmed kehtivad ka muude Pythagorase teoreemi tõestamise meetodite puhul, seega tasub kõik olemasolevad tähistused kohe meeles pidada.
Oletame, et meile antakse täisnurkne kolmnurk, mille jalad a, b ja hüpotenuus on võrdne c-ga. Esimene tõestusmeetod põhineb asjaolul, et peate joonistama ruudu täisnurksest kolmnurgast.
Selleks peate a pikkusega jalale lisama lõigu, mis on võrdne jalaga b, ja vastupidi. Selle tulemuseks peaks olema ruudu kaks võrdset külge. Jääb vaid tõmmata kaks paralleelset joont ja ruut ongi valmis.
Saadud joonise sees peate joonistama teise ruudu, mille külg on võrdne algse kolmnurga hüpotenuusiga. Selleks tuleb tippudest ас ja св tõmmata kaks paralleelset segmenti, mis on võrdsed с-ga. Seega saame ruudu kolm külge, millest üks on algse täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Jääb vaid joonistada neljas segment.
Saadud joonise põhjal võime järeldada, et välimise ruudu pindala on (a + b) 2. Kui vaatate joonise sisse, näete, et lisaks sisemisele ruudule on seal neli täisnurkset kolmnurka. Iga pindala on 0,5 av.
Seetõttu on pindala võrdne: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2
Seega (a+c) 2 =2ab+c 2
Ja seetõttu c 2 =a 2 + b 2
Teoreem on tõestatud.
Teine meetod: sarnased kolmnurgad
See Pythagorase teoreemi tõestamise valem tuletati geomeetria lõigu väite põhjal sarnaste kolmnurkade kohta. Selles öeldakse, et täisnurkse kolmnurga jalg on keskmine võrdeline selle hüpotenuusi ja 90° nurga tipust lähtuva hüpotenuusi segmendiga.
Algandmed jäävad samaks, nii et alustame kohe tõestusega. Viime läbi küljega risti AB segmendi CD. Ülaltoodud väite põhjal on kolmnurkade küljed võrdsed:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
Et vastata küsimusele, kuidas Pythagorase teoreemi tõestada, tuleb tõestus lõpetada mõlema võrratuse ruudustamisel.
AC 2 = AB * AD ja CB 2 = AB * DV
Nüüd peame saadud ebavõrdsused kokku liitma.
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), kus AD + DV = AB
Selgub, et:
AC 2 + CB 2 =AB*AB
Ning seetõttu:
AC 2 + CB 2 = AB 2
Pythagorase teoreemi tõestamine ja selle lahendamise erinevad meetodid nõuavad selle probleemi mitmekülgset lähenemist. See valik on aga üks lihtsamaid.
Teine arvutusmeetod
Pythagorase teoreemi erinevate tõestamisviiside kirjeldused ei pruugi midagi tähendada enne, kui hakkate seda ise harjutama. Paljud meetodid hõlmavad mitte ainult matemaatilised arvutused, aga ka uute figuuride ehitamist algsest kolmnurgast.
IN sel juhul Küljelt BC on vaja täita veel üks täisnurkne kolmnurk VSD. Seega on nüüd kaks kolmnurka ühise jalaga BC.
Teades, et sarnaste kujundite pindaladel on nende sarnaste lineaarsete mõõtmete ruutude suhe, siis:
S avd * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs * (2–2) = a 2 * (S avd -S vsd)
2 kuni 2 =a 2
c 2 = a 2 + b 2
Kuna Pythagorase teoreemi 8. klassi erinevate tõestamismeetodite hulgast see valik vaevalt sobib, võite kasutada järgmist meetodit.
Lihtsaim viis Pythagorase teoreemi tõestamiseks. Arvustused
Ajaloolaste sõnul kasutati seda meetodit esmakordselt teoreemi tõestamiseks Vana-Kreeka. See on kõige lihtsam, kuna see ei nõua absoluutselt mingeid arvutusi. Kui joonistate pildi õigesti, on selgelt nähtav tõend väitele, et a 2 + b 2 = c 2.
Selle meetodi tingimused erinevad pisut eelmisest. Teoreemi tõestamiseks oletame, et ristkülikukujuline kolmnurk ABC- võrdhaarne.
Võtame hüpotenuusi AC ruudu küljeks ja joonistame selle kolm külge. Lisaks on vaja saadud ruudule tõmmata kaks diagonaaljoont. Nii et selle sees saate neli võrdkülgset kolmnurka.
Samuti tuleb jalgadele AB ja CB tõmmata ruut ning kummaski neist tõmmata üks diagonaalne sirgjoon. Esimese joone tõmbame tipust A, teise C.
Nüüd peate saadud joonist hoolikalt vaatama. Kuna hüpotenuusil AC on neli algse kolmnurka ja külgedel kaks, näitab see selle teoreemi õigsust.
Muide, tänu sellele Pythagorase teoreemi tõestamise meetodile sündis kuulus lause: "Pythagorase püksid on igas suunas võrdsed."
Tõestus J. Garfieldi poolt
James Garfield on Ameerika Ühendriikide kahekümnes president. Lisaks sellele, et ta jättis oma jälje ajalukku Ameerika Ühendriikide valitsejana, oli ta ka andekas autodidakt.
Oma karjääri alguses oli ta riigikoolis tavaline õpetaja, kuid sai peagi ühe kõrgema kooli direktoriks õppeasutused. Enesearengu soov võimaldas tal pakkuda uus teooria Pythagorase teoreemi tõestus. Teoreem ja selle lahenduse näide on järgmised.
Kõigepealt peate paberile joonistama kaks täisnurkset kolmnurka, nii et ühe jalg oleks teise jätk. Nende kolmnurkade tipud tuleb ühendada, et lõpuks moodustada trapets.
Nagu teate, on trapetsi pindala võrdne poole selle aluste ja kõrguse summa korrutisega.
S=a+b/2 * (a+b)
Kui vaadelda saadud trapetsi kolmest kolmnurgast koosneva joonisena, võib selle pindala leida järgmiselt:
S = av/2 *2 + s 2 /2
Nüüd peame kaks algset väljendit võrdsustama
2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2
c 2 = a 2 + b 2
Pythagorase teoreemist ja selle tõestamise meetoditest võiks kirjutada rohkem kui ühe köite. õppevahend. Kuid kas sellel on mõtet, kui neid teadmisi ei saa praktikas rakendada?
Pythagorase teoreemi praktiline rakendamine
Kahjuks tänapäevases kooliprogrammid See teoreem on mõeldud kasutamiseks ainult geomeetrilistes ülesannetes. Lõpetajad lahkuvad peagi koolist, teadmata, kuidas nad saavad oma teadmisi ja oskusi praktikas rakendada.
Tegelikult kasutage Pythagorase teoreemi Igapäevane elu igaüks saab. Ja mitte ainult sees ametialane tegevus, aga ka tavalistes majapidamistöödes. Vaatleme mitmeid juhtumeid, mil Pythagorase teoreem ja selle tõestamise meetodid võivad olla äärmiselt vajalikud.
Teoreemi seos astronoomiaga
Näib, kuidas saab paberil tähti ja kolmnurki ühendada. Tegelikult on astronoomia teadusvaldkond, milles Pythagorase teoreemi kasutatakse laialdaselt.
Mõelge näiteks valguskiire liikumisele ruumis. On teada, et valgus liigub mõlemas suunas sama kiirusega. Nimetame trajektoori AB, mida mööda valguskiir liigub l. Ja nimetagem pool ajast, mis kulub punktist A punkti B jõudmiseks valguseks t. Ja kiire kiirus - c. Selgub, et: c*t=l
Kui vaadata seda sama kiirt teiselt tasapinnalt, näiteks kosmosevoodrilt, mis liigub kiirusega v, siis sellisel viisil kehasid vaadeldes nende kiirus muutub. Sel juhul hakkavad isegi paigalseisvad elemendid liikuma kiirusega v vastassuunas.
Oletame, et koomiline lainer sõidab paremale. Seejärel hakkavad punktid A ja B, mille vahel kiir tormab, liikuma vasakule. Veelgi enam, kui kiir liigub punktist A punkti B, on punktil A aega liikuda ja vastavalt sellele saabub valgus juba uus punkt C. Et leida pool vahemaast, mille võrra punkt A on liikunud, tuleb voodri kiirus korrutada poole kiire liikumisajaga (t").
Ja selleks, et teada saada, kui kaugele valguskiir selle aja jooksul liikuda võib, tuleb pool teed tähistada uue tähega s ja saada järgmine avaldis:
Kui kujutame ette, et valguse punktid C ja B ning ka ruumivooder on tipud võrdhaarne kolmnurk, siis jagab lõik punktist A vooderduseni selle kaheks täisnurkseks kolmnurgaks. Seetõttu saate tänu Pythagorase teoreemile leida vahemaa, mille valguskiir võiks läbida.
See näide pole muidugi kõige edukam, sest ainult vähestel võib olla õnn seda praktikas proovida. Seetõttu kaalume selle teoreemi igapäevasemaid rakendusi.
Mobiilse signaali edastusulatus
Tänapäeva elu ei kujuta enam ette ilma nutitelefonide olemasoluta. Aga kui palju kasu neist oleks, kui nad ei saaks abonente mobiilside kaudu ühendada?!
Mobiilside kvaliteet sõltub otseselt mobiilsideoperaatori antenni asukoha kõrgusest. Selleks, et arvutada, kui kaugel mobiiltelefonitornist saab telefon signaali vastu võtta, saate rakendada Pythagorase teoreemi.
Oletame, et peate leidma seisva torni ligikaudse kõrguse, et see saaks signaali levitada 200 kilomeetri raadiuses.
AB (torni kõrgus) = x;
BC (signaali edastusraadius) = 200 km;
OS (raadius maakera) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Rakendades Pythagorase teoreemi, saame teada, et torni minimaalne kõrgus peaks olema 2,3 kilomeetrit.
Pythagorase teoreem igapäevaelus
Kummalisel kombel võib Pythagorase teoreem olla kasulik isegi igapäevastes asjades, näiteks garderoobi kõrguse määramisel. Esmapilgul pole sellist vajadust kasutada keerukad arvutused, sest saate lihtsalt mõõta mõõdulindi kasutades. Kuid paljud inimesed imestavad, miks tekivad monteerimisprotsessi ajal teatud probleemid, kui kõik mõõtmised tehti rohkem kui täpselt.
Fakt on see, et riidekapp pannakse kokku horisontaalasendis ja alles siis tõstetakse ja paigaldatakse vastu seina. Seetõttu peab konstruktsiooni tõstmise käigus kapi külg vabalt liikuma nii piki ruumi kõrgust kui ka diagonaalselt.
Oletame, et seal on 800 mm sügavusega riidekapp. Kaugus põrandast laeni - 2600 mm. Kogenud mööblimeister ütleb, et kapi kõrgus peaks olema 126 mm väiksem kui ruumi kõrgus. Aga miks just 126 mm? Vaatame näidet.
Ideaalsete kapimõõtmetega kontrollime Pythagorase teoreemi toimimist:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC = √2474 2 +800 2 =2600 mm - kõik sobib.
Oletame, et kapi kõrgus ei ole 2474 mm, vaid 2505 mm. Seejärel:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.
Seetõttu ei sobi see kapp sellesse ruumi paigaldamiseks. Kuna selle tõstmine vertikaalasendisse võib selle keha kahjustada.
Võib-olla, olles kaalunud erinevate teadlaste erinevaid viise Pythagorase teoreemi tõestamiseks, võime järeldada, et see on enam kui tõsi. Nüüd saate saadud teavet oma igapäevaelus kasutada ja olla täiesti kindel, et kõik arvutused pole mitte ainult kasulikud, vaid ka õiged.
Seda ei seostataks Pythagorase teoreemiga. Isegi need, kes on oma elus matemaatikast kaugel, säilitavad jätkuvalt mälestusi Pythagorase pükstest - hüpotenuusil olevast ruudust, mille suurus on võrdne kahe ruuduga külgedel. Pythagorase teoreemi populaarsuse põhjus on selge: see on lihtsus – ilu – tähtsus. Tõepoolest, Pythagorase teoreem on lihtne, kuid mitte ilmne. Kahe põhimõtte vastuolu annab talle erilise külgetõmbejõu ja teeb ta kauniks. Kuid lisaks on Pythagorase teoreemil suur tähtsus. Seda kasutatakse geomeetrias sõna otseses mõttes igal sammul. Sellel teoreemil on umbes viissada erinevat tõestust, mis näitab selle konkreetsete teostuste hiiglaslikku hulka.
Ajaloouuringud dateerivad Pythagorase sündi umbes aastasse 580 eKr. Õnnelik isa Mnesarchos ümbritseb poissi hoolega. Tal oli võimalus anda oma pojale hea kasvatus ja haridus.
Tulevane suur matemaatik ja filosoof näitas juba lapsepõlves suuri võimeid teaduse jaoks. Oma esimeselt õpetajalt Hermodamaselt õppis Pythagoras muusika ja maalikunsti põhitõdesid. Mälu harjutamiseks sundis Hermodamas teda õppima laule Odüsseiast ja Iliasest. Esimene õpetaja sisendas noorele Pythagorasele armastuse looduse ja selle saladuste vastu.
Möödunud on mitu aastat ja Pythagoras otsustab oma õpetaja nõuandel jätkata haridusteed Egiptuses. Oma õpetaja abiga õnnestub Pythagorasel Samose saarelt lahkuda. Kuid see on Egiptusest veel kaugel. Ta elab Lesbose saarel koos oma sugulase Zoiliga. Seal kohtub Pythagoras filosoof Pherecydesega, Miletose Thalese sõbraga. Pherecydesest õppis Pythagoras astroloogiat, varjutuste ennustamist, arvude saladusi, meditsiini ja muid selleks ajaks vajalikke teadusi.
Seejärel kuulab ta Miletoses Thalese ja oma noorema kolleegi ja õpilase Anaximanderi, väljapaistva geograafi ja astronoomi loenguid. Pythagoras omandas Mileesia koolis viibides palju olulisi teadmisi.
Enne Egiptust peatub ta mõneks ajaks Foiniikias, kus legendi järgi õpib kuulsate Siidoonia preestrite juures.
Vanade legendide järgi kohtus Pythagoras Babüloni vangistuses Pärsia mustkunstnikega, tutvus idamaade astroloogia ja müstikaga ning tutvus kaldea tarkade õpetustega. Kaldealased tutvustasid Pythagorasele idapoolsete rahvaste poolt paljude sajandite jooksul kogunenud teadmisi: astronoomiat ja astroloogiat, meditsiini ja aritmeetikat.
Pythagoras veetis kaksteist aastat Babüloonia vangistuses, kuni Pärsia kuningas Darius Hystaspes vabastas ta, kes oli kuulnud kuulsast kreeklasest. Pythagoras on juba kuuskümmend, ta otsustab naasta kodumaale, et tutvustada oma rahvale kogunenud teadmisi.
Pärast seda, kui Pythagoras Kreekast lahkus, on seal toimunud suured muutused. Pärsia ikke eest põgenedes kolisid parimad meeled Lõuna-Itaalia, mis kandis tollal nime Magna Graecia ja rajas sinna koloonialinnad Syracuse, Agrigentum ja Croton. Siin otsustas Pythagoras luua oma filosoofilise koolkonna.
Üsna kiiresti saavutab see elanike seas suure populaarsuse. Pythagoras kasutab oskuslikult ümbermaailmareisidel saadud teadmisi. Aja jooksul lõpetab teadlane kirikutes ja tänavatel esinemise. Juba oma kodus õpetas Pythagoras meditsiini, põhimõtteid poliitiline tegevus, astronoomia, matemaatika, muusika, eetika ja palju muud. Tema koolist pärinesid silmapaistvad poliitilised ja riigitegelased, ajaloolased, matemaatikud ja astronoomid. Ta polnud mitte ainult õpetaja, vaid ka teadlane. Tema õpilastest said ka teadlased. Pythagoras töötas välja muusika ja akustika teooria, luues kuulsa "Pythagorase skaala" ja viies läbi põhimõttelisi eksperimente muusikaliste toonide uurimisel: ta väljendas leitud seoseid matemaatika keeles. Pythagorase koolkond pakkus esmakordselt välja Maa sfäärilisuse. Idee, et liikumine taevakehad järgib teatud matemaatilisi seoseid, "maailma harmoonia" ja "sfääride muusika" ideed, mis viisid hiljem astronoomia revolutsioonini, ilmusid esmakordselt just Pythagorase koolis.
Teadlane tegi palju ka geomeetrias. Proclus hindas Kreeka teadlase panust geomeetriasse järgmiselt: „Pythagoras muutis geomeetriat, andes sellele vaba teaduse vormi, vaagides selle põhimõtteid puhtalt abstraktselt ja uurides teoreeme mittemateriaalsest, intellektuaalsest vaatepunktist see, kes leidis irratsionaalsete suuruste teooria ja kosmiliste kehade kujunduse.
Pythagorase koolkonnas vormistati geomeetria esimest korda iseseisvaks teaduslikuks distsipliiniks. Pythagoras ja tema õpilased olid esimesed, kes hakkasid geomeetriat süstemaatiliselt uurima – kui abstraktse omaduse teoreetilist õpetust. geomeetrilised kujundid, mitte aga maamõõtmise rakendusretseptide kogumikuna.
Pythagorase kõige olulisemaks teaduslikuks eeliseks peetakse tõestuse süstemaatilist juurutamist matemaatikasse ja ennekõike geomeetriasse. Rangelt võttes hakkab matemaatika alles sellest hetkest eksisteerima teadusena, mitte Vana-Egiptuse ja Vana-Babüloonia praktiliste retseptide kogumina. Matemaatika sünniga sündis teadus üldiselt, sest "mittegi inimuuringuid ei saa nimetada tõeliseks teaduseks, kui see pole läbinud matemaatilist tõestust" (Leonardo da Vinci).
Niisiis seisnes Pythagorase teene selles, et ta oli ilmselt esimene, kes jõudis järgmise mõtteni: geomeetrias tuleks esiteks arvestada abstraktsete ideaalobjektidega ja teiseks ei tohiks nende ideaalobjektide omadusi nende abil kindlaks teha. mõõtmised piiratud arvul objektidel, kuid kasutades arutluskäiku, mis kehtib lõpmatu arvu objektide puhul. See arutlusahel, mis loogikaseadusi kasutades taandab mitteilmsed väited teadaolevateks või ilmseteks tõdedeks, on matemaatiline tõestus.
Pythagorase teoreemi avastamist ümbritseb kaunite legendide aura. Proclus kirjutab 1. raamatu viimast lauset kommenteerides: „Kui kuulate neid, kellele meeldib korrata iidseid legende, peate ütlema, et see teoreem ulatub Pythagorase juurde, nad ütlevad seda selle avastuse auks ta ohverdas härja." Lahkemad jutuvestjad tegid aga ühest pullist ühe hekatoomi ja seda on juba terve sada. Ja kuigi Cicero märkis, et igasugune verevalamine on Pythagorase ordu põhikirjale võõras, sulandus see legend kindlalt Pythagorase teoreemiga ja tekitas kaks tuhat aastat hiljem jätkuvalt tulihingelisi vastuseid.
