Kes rakendab elus suurte arvude seadusi. Suurte arvude seadus Tšebõševi kujul. Suurte arvude seadus Tšebõševi kujul: täiendus

Funktsioon F(x) mõnikord kutsutakse lahutamatu funktsioon levitamine või terviklik jaotusseadus.

Jaotusfunktsiooni omadused:

1. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on mittenegatiivne funktsioon, mis jääb nulli ja ühe vahele:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on mittekahanev funktsioon täisarvu teljel.

3. Miinuslõpmatuse korral on jaotusfunktsioon võrdne nulliga, pluss lõpmatuse korral ühega, st: F(-∞)= , F(+∞)= .

4. Tõenäosus, et juhuslik suurus langeb intervalli [x1,x2) (sh x1) on võrdne tema jaotusfunktsiooni juurdekasvuga sellel intervallil, s.o. P(x 1 ≤ X< х 2) = F(x 2) - F(x 1).

Markovi ja Tšebõševi ebavõrdsus

Markovi ebavõrdsus

Teoreem: Kui juhuslik muutuja X võtab ainult mittenegatiivseid väärtusi ja sellel on matemaatiline ootus, siis iga positiivse arvu A korral on võrdsus tõene: P(x>A) ≤ .

Kuna sündmused X > A ja X ≤ A on vastandlikud, siis P(X > A) asendades väljendame 1 - P (X ≤ A), jõuame Markovi ebavõrdsuse teise vormini: P(X ≥ A) ≥1 - .

Markovi võrratus k on rakendatav mis tahes mittenegatiivsete juhuslike muutujate suhtes.

Tšebõševi ebavõrdsus

Teoreem: Iga matemaatilise ootuse ja dispersiooniga juhusliku muutuja puhul kehtib Tšebõševi ebavõrdsus:

P (|X - a| > ε) ≤ D(X) / ε 2 või P (|X - a| ≤ ε) ≥ 1 - DX / ε 2, kus a \u003d M (X), ε>0.

Seadus suured numbrid Tšebõševi teoreemi "kujul".

Tšebõševi teoreem: Kui erinevused n sõltumatud juhuslikud suurused X1, X2,…. X n on piiratud sama konstandiga, siis arvu piiramatu suurenemisega n juhuslike suuruste aritmeetiline keskmine läheneb tõenäosuselt nende aritmeetilisele keskmisele matemaatilised ootused a 1, a 2 ...., a n , st. .

Suurte arvude seaduse tähendus on see, et juhuslike muutujate keskmised väärtused kalduvad nende matemaatilisele ootusele, kui n→ ∞ tõenäosusega. Keskmiste väärtuste kõrvalekalle matemaatilisest ootusest muutub ühele lähedase tõenäosusega meelevaldselt väikeseks, kui n on piisavalt suur. Teisisõnu, vahendite mis tahes kõrvalekaldumise tõenäosus a kasvuga meelevaldselt väike n.

30. Bernoulli teoreem.

Bernoulli teoreem: Sündmuste sagedus sisse n korduvad sõltumatud katsed, millest igaühes võib see esineda sama tõenäosusega p, arvu piiramatu suurenemisega n koonduge tõenäosuse osas selle sündmuse tõenäosusele p eraldi katses: \

Bernoulli teoreem on Tšebõševi teoreemi tagajärg, kuna sündmuse sagedust saab esitada n sõltumatu alternatiivse juhusliku muutuja aritmeetilise keskmisena, millel on sama jaotusseadus.

18. Diskreetse ja pideva juhusliku suuruse ja nende omaduste matemaatiline ootus.

matemaatiline ootus on kõigi selle väärtuste ja neile vastavate tõenäosuste korrutiste summa

Diskreetse juhusliku muutuja jaoks:

Pideva juhusliku muutuja jaoks:

Matemaatilise ootuse omadused:

1. Konstantse väärtuse matemaatiline ootus on võrdne konstandi endaga: M(S)=S

2. Ootusmärgist võib välja võtta konstantse faktori, s.t. M(kX)=kM(X).

3. Lõpliku arvu juhuslike suuruste algebralise summa matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste sama summaga, s.t. M(X±Y)=M(X)±M(Y).

4. Lõpliku arvu sõltumatute juhuslike muutujate korrutise matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega: M(XY)=M(X)*M(Y).

5. Kui juhusliku suuruse kõiki väärtusi suurendatakse (vähendatakse) konstantse C võrra, siis selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus suureneb (väheneb) sama konstandi C võrra: M(X±C)=M(X)±C.

6. Juhusliku muutuja matemaatilisest ootusest kõrvalekaldumise matemaatiline ootus on null: M = 0.

Sõnad suurte arvude kohta viitavad testide arvule - arvestatakse juhusliku suuruse suurt hulka väärtusi või suure hulga juhuslike suuruste kumulatiivset toimet. Selle seaduse olemus on järgmine: kuigi on võimatu ennustada, millise väärtuse üks juhuslik suurus ühes eksperimendis omandab, kaotab suure hulga sõltumatute juhuslike muutujate tegevuse kogutulemus oma juhusliku iseloomu ja võib ennustada peaaegu usaldusväärselt (st suure tõenäosusega). Näiteks on võimatu ennustada, kummale küljele münt kukub. Kui aga visata 2 tonni münte, siis võib suure kindlusega väita, et vapiga üleval kukkunud müntide kaal on 1 tonn.

Esiteks viitab nn Tšebõševi ebavõrdsus suurte arvude seadusele, mis hindab eraldi testis tõenäosust aktsepteerida väärtust juhusliku suuruse järgi, mis erineb keskmisest väärtusest mitte rohkem kui etteantud väärtuse võrra.

Tšebõševi ebavõrdsus. Las olla X on suvaline juhuslik suurus, a=M(X) , a D(X) on selle dispersioon. Siis

Näide. Masinale töödeldud hülsi läbimõõdu nimiväärtus (st nõutav) on 5 mm, ja dispersioon ei ole enam 0.01 (see on masina täpsustolerants). Hinnake tõenäosust, et ühe puksi valmistamisel on selle läbimõõdu kõrvalekalle nimiväärtusest väiksem kui 0,5 mm .

Otsus. Laske r.v. X- valmistatud puksi läbimõõt. Tingimuse järgi on selle matemaatiline ootus võrdne nimiläbimõõduga (kui masina seadistamisel pole süstemaatilist tõrget): a=M(X)=5 ja dispersioon D(X)≤0,01. Tšebõševi ebavõrdsuse rakendamine ε = 0,5, saame:

Seega on sellise kõrvalekalde tõenäosus üsna suur ja seetõttu võime järeldada, et detaili ühekordse valmistamise korral ei ületa diameetri hälve nominaalsest peaaegu kindlasti 0,5 mm .

Põhimõtteliselt standardhälve σ iseloomustab keskmine juhusliku suuruse kõrvalekaldumine selle keskpunktist (st tema matemaatilisest ootusest). Sest see keskmine kõrvalekalle, siis on testimise ajal võimalikud suured kõrvalekalded (rõhuasetus o-le). Kui suured kõrvalekalded on praktiliselt võimalikud? Normaalse jaotusega juhuslike muutujate uurimisel tuletasime "kolme sigma" reegli: normaalse jaotusega juhuslik muutuja X ühes testis praktiliselt ei erine oma keskmisest rohkem kui 3σ, kus σ = σ(X) on r.v. standardhälve. X. Sellise reegli tuletasime sellest, et saime ebavõrdsuse

.

Hindame nüüd tõenäosust meelevaldne juhuslik muutuja X aktsepteerima väärtust, mis erineb keskmisest standardhälbest mitte rohkem kui kolm korda. Tšebõševi ebavõrdsuse rakendamine ε = 3σ ja seda arvestades D(X) = σ 2 , saame:

.

Seega üldiselt me saame hinnata tõenäosust, et juhuslik suurus kaldub oma keskmisest kõrvale mitte rohkem kui kolme standardhälbe võrra arvu järgi 0.89 , samas kui normaaljaotuse puhul saab seda garanteerida tõenäosusega 0.997 .

Tšebõševi ebavõrdsust saab üldistada sõltumatute identselt jaotatud juhuslike muutujate süsteemiks.

Üldistas Tšebõševi ebavõrdsust. Kui sõltumatud juhuslikud muutujad X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= a ja dispersioonid D(X i )= D, siis

Kell n=1 see ebavõrdsus läheb üle eespool sõnastatud Tšebõševi ebavõrdsusse.

Tšebõševi ebavõrdsust, millel on iseseisev tähendus vastavate ülesannete lahendamisel, kasutatakse nn Tšebõševi teoreemi tõestamiseks. Esmalt kirjeldame selle teoreemi olemust ja seejärel esitame selle formaalse sõnastuse.

Las olla X 1 , X 2 , … , X n– suur hulk sõltumatuid matemaatiliste ootustega juhuslikke muutujaid M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Kuigi igaüks neist võib katse tulemusel võtta oma keskmisest (st matemaatilisest ootusest) kaugel oleva väärtuse, on juhuslik muutuja
, mis on võrdne nende aritmeetilise keskmisega, võtab suure tõenäosusega väärtuse, mis on lähedane fikseeritud arvule
(see on kõigi matemaatiliste ootuste keskmine). See tähendab järgmist. Olgu testi tulemusena sõltumatud juhuslikud suurused X 1 , X 2 , … , X n(neid on palju!) on võtnud väärtused vastavalt X 1 , X 2 , … , X n vastavalt. Kui need väärtused ise võivad osutuda vastavate juhuslike suuruste keskmistest väärtustest kaugel, siis nende keskmine väärtus
on tõenäoliselt lähedal
. Seega kaotab suure hulga juhuslike suuruste aritmeetiline keskmine juba oma juhuslikkuse ja on suure täpsusega ennustatav. Seda saab seletada asjaoluga, et väärtuste juhuslikud kõrvalekalded X i alates a i võivad olla erineva märgiga ja seetõttu kokkuvõttes need kõrvalekalded kompenseeritakse suure tõenäosusega.

Terema Tšebõševa (suurte arvude seadus Tšebõševi kujul). Las olla X 1 , X 2 , … , X n … on paarikaupa sõltumatute juhuslike muutujate jada, mille dispersioon on piiratud sama arvuga. Siis, ükskõik kui väikese arvu ε me võtame, ebavõrdsuse tõenäosus

on suvaliselt ühtsusele lähedal, kui arv n juhuslikud muutujad, et need oleksid piisavalt suured. Formaalselt tähendab see seda, et teoreemi tingimustel

Seda tüüpi lähenemist nimetatakse tõenäosuse konvergentsiks ja seda tähistatakse järgmiselt:

Seega ütleb Tšebõševi teoreem, et kui sõltumatuid juhuslikke muutujaid on piisavalt palju, saab nende aritmeetiline keskmine ühes testis peaaegu kindlasti nende matemaatiliste ootuste keskmise lähedase väärtuse.

Kõige sagedamini rakendatakse Tšebõševi teoreemi olukorras, kus juhuslikud suurused X 1 , X 2 , … , X n … neil on sama jaotus (st sama jaotusseadus või sama tõenäosustihedus). Tegelikult on see vaid suur hulk sama juhusliku muutuja juhtumeid.

Tagajärg(üldistatud Tšebõševi ebavõrdsusest). Kui sõltumatud juhuslikud muutujad X 1 , X 2 , … , X n … on sama jaotus matemaatiliste ootustega M(X i )= a ja dispersioonid D(X i )= D, siis

, st.
.

Tõestus tuleneb üldistatud Tšebõševi ebavõrdsusest, minnes piirini as n→∞ .

Märgime veel kord, et ülalkirjeldatud võrdsused ei garanteeri koguse väärtust
kipub a juures n→∞. See väärtus on endiselt juhuslik muutuja ja selle individuaalsed väärtused võivad olla üsna kaugel a. Kuid sellise tõenäosus (kaugelt mitte a) väärtused kasvavad n kipub 0.

kommenteerida. Järeldus kehtib ilmselt ka üldisemal juhul, kui sõltumatud juhuslikud suurused X 1 , X 2 , … , X n … neil on erinev jaotus, kuid samad matemaatilised ootused (võrdne a) ja koondnäitajad on piiratud. See võimaldab ennustada teatud suuruse mõõtmise täpsust, isegi kui need mõõtmised tehakse erinevate instrumentidega.

Vaatleme üksikasjalikumalt selle tagajärje rakendamist suuruste mõõtmisel. Kasutame mõnda seadet n sama suuruse mõõtmised, mille tegelik väärtus on a ja me ei tea. Selliste mõõtmiste tulemused X 1 , X 2 , … , X n võivad üksteisest (ja tegelikust väärtusest) oluliselt erineda a) erinevate juhuslike tegurite (rõhulangused, temperatuurid, juhuslik vibratsioon jne) tõttu. Mõelge r.v. X- mõõteriista näit koguse ühekordseks mõõtmiseks, samuti r.v komplekti. X 1 , X 2 , … , X n- instrumendi näit esimesel, teisel, ..., viimasel mõõtmisel. Seega iga kogus X 1 , X 2 , … , X n on vaid üks juhtudest, kus r.v. X ja seetõttu on neil kõigil sama jaotus nagu r.v. X. Kuna mõõtmistulemused on üksteisest sõltumatud, on r.v. X 1 , X 2 , … , X n võib pidada iseseisvaks. Kui seade ei anna süstemaatilist viga (näiteks null ei ole skaalal “alla löödud”, vedru ei venita vms), siis võib eeldada, et matemaatiline ootus M(X) = a, ning seetõttu M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Seega on ülaltoodud järelduse tingimused täidetud ja seega ka koguse ligikaudse väärtusena a võime võtta juhusliku suuruse "rakendamise".
meie katses (mis koosneb reast n mõõdud), st.

.

Kell suured numbrid mõõtmised, on selle valemi järgi arvutamise hea täpsus praktiliselt usaldusväärne. Sellest lähtub praktiline põhimõte, et suure arvu mõõtmiste korral ei erine nende aritmeetiline keskmine praktiliselt kuigi palju mõõdetava suuruse tegelikust väärtusest.

Matemaatilises statistikas laialdaselt kasutatav “valimise” meetod põhineb suurte arvude seadusel, mis võimaldab saada selle objektiivsed omadused vastuvõetava täpsusega suhteliselt väikesest juhusliku suuruse väärtuste valimi põhjal. Kuid sellest tuleb juttu järgmises osas.

Näide. Mõõteseadmel, mis ei tekita süstemaatilisi moonutusi, mõõdetakse teatud suurust aüks kord (saadud väärtus X 1 ) ja seejärel veel 99 korda (saadud väärtused X 2 , … , X 100 ). Mõõtmise tegeliku väärtuse jaoks a esmalt võtke esimese mõõtmise tulemus
ja seejärel kõigi mõõtmiste aritmeetiline keskmine
. Seadme mõõtetäpsus on selline, et mõõtmise standardhälve σ ei ole suurem kui 1 (sest dispersioon D=σ 2 samuti ei ületa 1). Hinnake iga mõõtmismeetodi puhul tõenäosust, et mõõtmisviga ei ületa 2.

Otsus. Laske r.v. X- instrumendi näit ühe mõõtmise jaoks. Siis tingimuste järgi M(X)=a. Esitatud küsimustele vastamiseks rakendame üldistatud Tšebõševi ebavõrdsust

ε jaoks =2 kõigepealt jaoks n=1 ja siis eest n=100 . Esimesel juhul saame
, ja teises. Seega teine ​​juhtum praktiliselt garanteerib antud mõõtmise täpsuse, esimene aga jätab selles mõttes tõsiseid kahtlusi.

Rakendame ülaltoodud väiteid juhuslike muutujate kohta, mis tekivad Bernoulli skeemis. Tuletagem meelde selle skeemi olemust. Las toodetakse n sõltumatud testid, millest igaühes on mõni sündmus AGA võib ilmneda sama tõenäosusega R, a q=1–r(tähenduslikult on see vastupidise sündmuse tõenäosus - mitte sündmuse toimumine AGA) . Kulutame mõne numbri n sellised testid. Mõelge juhuslikele muutujatele: X 1 – sündmuse esinemiste arv AGA sisse 1 test, ..., X n– sündmuse esinemiste arv AGA sisse n th test. Kõik tutvustati r.v. võib võtta väärtusi 0 või 1 (sündmus AGA võib testis ilmuda või mitte) ja väärtus 1 tinglikult aktsepteeritud igas katses tõenäosusega lk(sündmuse toimumise tõenäosus AGA igas testis) ja väärtus 0 tõenäosusega q= 1 – lk. Seetõttu on nendel suurustel samad jaotusseadused:

Seetõttu on ka nende koguste ja nende dispersioonide keskmised väärtused samad: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p = p, …, M(X n )= lk ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ lk)− lk 2 = lk∙(1− lk)= lk ∙ q, … , D(X n )= lk ∙ q . Asendades need väärtused üldistatud Tšebõševi ebavõrdsusega, saame

.

On selge, et r.v. X=X 1 +…+X n on sündmuse esinemiste arv AGA kõik n katsed (nagu öeldakse - "edumiste arv"). n testid). Laske sisse n testüritus AGA ilmus sisse k nendest. Siis saab eelmise võrratuse kirjutada kujul

.

Aga suurusjärk
, võrdub sündmuse esinemiste arvu suhtega AGA sisse n sõltumatutest katsetest katsete koguarvuni, mida varem nimetati suhteliseks sündmuste määraks AGA sisse n testid. Seetõttu on ebavõrdsus

.

Möödutakse nüüd piiranguni kell n→∞, saame
, st.
(tõenäosuse järgi). See on suurte arvude seaduse sisu Bernoulli kujul. Sellest järeldub, et piisavalt suure hulga katsete puhul n suhtelise sageduse meelevaldselt väikesed kõrvalekalded
sündmusi selle tõenäosusest R on peaaegu kindlad sündmused ja suured kõrvalekalded on peaaegu võimatud. Sellest tulenev järeldus suhteliste sageduste stabiilsuse kohta (mida me varem nimetasime eksperimentaalne fakt) põhjendab varem tutvustatud statistilist definitsiooni sündmuse tõenäosusest kui arvust, mille ümber sündmuse suhteline sagedus kõigub.

Arvestades, et väljend lk∙ q= lk∙(1− lk)= lk− lk 2 ei ületa vahetusintervalli
(seda on lihtne kontrollida, leides sellel lõigul selle funktsiooni miinimumi), ülaltoodud ebavõrdsusest
lihtne seda saada

,

mida kasutatakse vastavate ülesannete lahendamisel (üks neist on toodud allpool).

Näide. Münti visati ümber 1000 korda. Hinnake tõenäosust, et vapi ilmumise suhtelise sageduse hälve selle tõenäosusest on väiksem kui 0,1.

Otsus. Ebavõrdsuse rakendamine
juures lk= q=1/2 , n=1000 , ε = 0,1, saame .

Näide. Hinnake tõenäosust, et eelmise näite tingimustes on arv k langenud vappidest jääb vahemikku 400 enne 600 .

Otsus. Seisund 400< k<600 tähendab seda 400/1000< k/ n<600/1000 , st. 0.4< W n (A)<0.6 või
. Nagu just eelmisest näitest nägime, on sellise sündmuse tõenäosus vähemalt 0.975 .

Näide. Mõne sündmuse tõenäosuse arvutamiseks AGA Viidi läbi 1000 katset, milles sündmus AGA ilmunud 300 korda. Hinnake tõenäosust, et suhteline sagedus (võrdne 300/1000=0,3) erineb tegelikust tõenäosusest R mitte rohkem kui 0,1.

Otsus. Ülaltoodud ebavõrdsuse rakendamine
kui n=1000, ε=0,1 , saame .

Juhuslike nähtuste uurimise praktika näitab, et kuigi üksikute, isegi samades tingimustes läbiviidud vaatluste tulemused võivad oluliselt erineda, on samal ajal keskmised tulemused piisavalt suure hulga vaatluste puhul stabiilsed ja sõltuvad nõrgalt vaatlustulemustest. üksikute vaatluste tulemused.

Selle juhuslike nähtuste märkimisväärse omaduse teoreetiline põhjendus on suurte arvude seadus. Nimetus "suurte arvude seadus" ühendab rühma teoreeme, mis määravad kindlaks suure hulga juhuslike nähtuste keskmiste tulemuste stabiilsuse ja selgitavad selle stabiilsuse põhjust.

Suurte arvude seaduse lihtsaim vorm ja ajalooliselt selle jaotise esimene teoreem on Bernoulli teoreem väites, et kui sündmuse tõenäosus on kõigis katsetes sama, siis katsete arvu suurenemisega kaldub sündmuse sagedus sündmuse tõenäosusele ja lakkab olemast juhuslik.

Poissoni teoreem väidab, et sündmuse sagedus sõltumatute katsete seerias kaldub selle tõenäosuste aritmeetilisele keskmisele ja lakkab olemast juhuslik.

Tõenäosusteooria piirteoreemid, teoreemid Moivre-Laplace selgitada sündmuse esinemissageduse stabiilsuse olemust. See olemus seisneb selles, et katsete arvu piiramatu kasvuga sündmuse esinemiste arvu piirav jaotus (kui sündmuse tõenäosus kõigis katsetes on sama) on normaaljaotus.

Keskne piirteoreem selgitab laialdast kasutamist tavaline seadus levitamine. Teoreem ütleb, et kui juhuslik suurus moodustub suure hulga sõltumatute lõplike dispersioonidega juhuslike suuruste liitmise tulemusena, osutub selle juhusliku suuruse jaotusseadus praktiliselt normaalne seaduse järgi.

Allolev teoreem pealkirjaga " Suurte arvude seadus" kinnitab, et teatud, üsna üldistes tingimustes, juhuslike muutujate arvu suurenemisega, kaldub nende aritmeetiline keskmine matemaatiliste ootuste aritmeetilisele keskmisele ja lakkab olemast juhuslik.

Ljapunovi teoreem selgitab laialt levinud tavaline seadus levikut ja selgitab selle tekkemehhanismi. Teoreem võimaldab väita, et kui suure hulga sõltumatute juhuslike suuruste liitmise tulemusena moodustub juhuslik suurus, mille dispersioonid on summa dispersiooniga võrreldes väikesed, selgub selle juhusliku suuruse jaotusseadus olla praktiliselt normaalne seaduse järgi. Ja kuna juhuslikke muutujaid genereerib alati lõpmatu arv põhjuseid ja enamasti pole ühelgi neist dispersioon, mis oleks võrreldav juhusliku suuruse enda dispersiooniga, allub enamik praktikas esinevatest juhuslikest muutujatest normaaljaotuse seadusele.

Suurte arvude seaduse kvalitatiivsed ja kvantitatiivsed väited põhinevad Tšebõševi ebavõrdsus. See määrab ülemise piiri tõenäosusele, et juhusliku suuruse kõrvalekalle selle matemaatilisest ootusest on suurem kui mõni antud arv. Tähelepanuväärne on see, et Tšebõševi ebavõrdsus annab hinnangu sündmuse tõenäosusele juhusliku muutuja puhul, mille jaotus on teadmata, on teada ainult selle matemaatiline ootus ja dispersioon.

Tšebõševi ebavõrdsus. Kui juhuslikul suurusel x on dispersioon, siis iga e > 0 korral on ebavõrdsus , kus M x ja D x - juhusliku suuruse x matemaatiline ootus ja dispersioon.

Bernoulli teoreem. Olgu m n n Bernoulli katse õnnestumiste arv ja p ühe katse õnnestumise tõenäosus. Siis mis tahes e > 0 puhul, mis meil on .

Keskpiiri teoreem. Kui juhuslikud suurused x 1 , x 2 , …, x n , … on paaride kaupa sõltumatud, võrdselt jaotunud ja neil on lõplik dispersioon, siis punktis n ® ühtlaselt x (- ,)

Kui jätkusuutlikkuse fenomen keskmine toimub siis tegelikkuses matemaatiline mudel, mille abil uurime juhuslikke nähtusi, peab olema seda fakti kajastav teoreem.
Selle teoreemi tingimustes kehtestame juhuslikele suurustele piirangud X 1 , X 2 , …, X n:

a) iga juhuslik suurus Х i on matemaatiline ootus

M(Х i) = a;

b) iga juhusliku suuruse dispersioon on lõplik või võib öelda, et dispersioon on ülalt piiratud sama arvuga, näiteks Koos, st.

D(Х i) < C, i = 1, 2, …, n;

c) juhuslikud suurused on paaride kaupa sõltumatud, st suvalised kaks X i ja Xj juures i¹ j sõltumatu.

Siis ilmselgelt

D(X 1 + X 2 + … + X n)=D(X 1) + D(X 2) + ... + D(X n).

Sõnastame suurte arvude seaduse Tšebõševi kujul.

Tšebõševi teoreem: arvu piiramatu kasvuga n sõltumatud testid" juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine läheneb tõenäosusega selle matemaatilisele ootusele ”, st iga positiivse jaoks ε

R(| –a| < ε ) = 1. (4.1.1)

Väljendi tähendus "aritmeetiline keskmine = koondub tõenäosusega a" kas see on tõenäosus, et erineb suvaliselt vähe a, läheneb arvuna 1-le määramatult n.

Tõestus. Lõpliku arvu jaoks n sõltumatute testide korral rakendame juhusliku suuruse jaoks Tšebõševi võrratust = :

R(|–M()| < ε ) ≥ 1 – . (4.1.2)

Võttes arvesse piiranguid a - b, arvutame M( ) ja D( ):

M( ) = = = = = = a;

D( ) = = = = = = .

Asendamine M( ) ja D( ) ebavõrdsusse (4.1.2), saame

R(| –a| < ε )≥1 – .

Kui ebavõrdsuses (4.1.2) võtame suvaliselt väikese ε >0ja n® ¥, siis saame

mis tõestab Tšebõševi teoreemi.

Vaadeldavast teoreemist järeldub oluline praktiline järeldus: meil on õigus asendada juhusliku suuruse matemaatilise ootuse tundmatu väärtus piisavalt suure arvu katsete tulemusel saadud aritmeetilise keskmise väärtusega. Samal ajal, mida rohkem arvutuskatseid, seda tõenäolisem (usaldusväärsus) võib eeldada, et selle asendamisega seotud viga ( - a) ei ületa antud väärtust ε .

Lisaks saab lahendada muid praktilisi probleeme. Näiteks tõenäosuse (usaldusväärsuse) väärtuste järgi R=R(| – a|< ε ) ja suurim lubatud viga ε määrata vajalik arv katseid n; peal R ja P määratleda ε; peal ε ja P määrata sündmuse tõenäosus | – a |< ε.

erijuhtum. Laske kl n täheldatud katseid n juhusliku suuruse väärtused x, matemaatilise ootusega M(X) ja dispersioon D(X). Saadud väärtusi võib pidada juhuslikeks muutujateks X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,X n,. Seda tuleks mõista järgmiselt: seeria P katseid tehakse korduvalt, nii et selle tulemusena i test, i= l, 2, 3, ..., P, igas testiseerias ilmub juhusliku suuruse üks või teine ​​väärtus X, pole ette teada. Seega i-e väärtus x i aastal saadud juhuslik muutuja i test, muutub juhuslikult, kui liigute ühelt testiseerialt teisele. Nii et iga väärtus x i võib pidada juhuslikuks X i .

Oletame, et testid vastavad järgmistele nõuetele:

1. Testid on sõltumatud. See tähendab, et tulemused X 1 , X 2 ,
X 3 , ..., X n testid on sõltumatud juhuslikud muutujad.

2. Testid viiakse läbi samadel tingimustel – see tähendab tõenäosusteooria seisukohalt, et kõik juhuslikud suurused X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,X n on algväärtusega sama jaotusseadus X, Sellepärast M(X i) =M(X) ja D(X i) = D(X), i = 1, 2, .... P.

Arvestades ülaltoodud tingimusi, saame

R(| –a| < ε )≥1 – . (4.1.3)

Näide 4.1.1. X on võrdne 4. Mitu sõltumatut katset on vaja selleks, et vähemalt 0,9 tõenäosusega võib eeldada, et selle juhusliku suuruse aritmeetiline keskmine erineks matemaatilisest ootusest vähem kui 0,5?

Otsus.Vastavalt probleemi seisukorrale ε = 0,5; R(| – a|< 0,5) ≥ 0.9. Valemi (4.1.3) rakendamine juhuslikule suurusele X, saame

P(|–M(X)| < ε ) ≥ 1 – .

Suhtest

1 – = 0,9

määratleda

P= = = 160.

Vastus: on vaja teha 160 sõltumatut katset.

Eeldusel, et aritmeetiline keskmine tavaliselt jaotatud, saame:

R(| – a|< ε )= 2Φ () ≥ 0,9.

Kust, kasutades Laplace'i funktsiooni tabelit, saame ≥
≥ 1,645 või ≥ 6,58, st. n ≥49.

Näide 4.1.2. Juhusliku suuruse dispersioon X on võrdne D( X) = 5. Viidi läbi 100 sõltumatut katset, mille järgi . Matemaatilise ootuse tundmatu väärtuse asemel a vastu võetud . Määrake sel juhul lubatud maksimaalne vea suurus tõenäosusega vähemalt 0,8.

Otsus. Vastavalt ülesandele n= 100, R(| –a|< ε ) ≥0,8. Rakendame valemit (4.1.3)

R(| –a|< ε ) ≥1 – .

Suhtest

1 – = 0,8

määratleda ε :

ε 2 = = = 0,25.

Seega ε = 0,5.

Vastus: maksimaalne vea väärtus ε = 0,5.

4.2. Suurte arvude seadus Bernoulli kujul

Kuigi tõenäosuse mõiste on igasuguse statistilise järelduse aluseks, saame sündmuse tõenäosust vahetult määrata vaid üksikutel juhtudel. Mõnikord saab selle tõenäosuse kindlaks teha sümmeetria, võrdsete võimaluste jms kaalutlustest, kuid pole universaalset meetodit, mis võimaldaks näidata selle tõenäosust suvalise sündmuse korral. Bernoulli teoreem võimaldab ligikaudselt hinnata meid huvitava sündmuse tõenäosust AGA korduvad sõltumatud testid. Lase toota P sõltumatud testid, millest igaühes on mõne sündmuse toimumise tõenäosus AGA konstantne ja võrdne R.

Bernoulli teoreem. Sõltumatute katsete arvu piiramatu kasvuga P sündmuse toimumise suhteline sagedus AGA koondub tõenäosuselt tõenäosusele lk sündmuse toimumine AGA,t. e.

P(½ - lk½≤ ε) = 1, (4.2.1)

kus ε on suvaliselt väike positiivne arv.

Finaali jaoks n eeldusel, et Tšebõševi ebavõrdsus juhusliku muutuja jaoks on kujul:

P(| –p|< ε ) ≥ 1 – .(4.2.2)

Tõestus. Rakendame Tšebõševi teoreemi. Las olla X i– sündmuse esinemiste arv AGA sisse i test, i= 1, 2, . . . , n. Iga kogus X i võib võtta ainult kaks väärtust:

X i= 1 (sündmus AGA juhtus) suure tõenäosusega lk,

X i= 0 (sündmus AGA ei toimunud) tõenäosusega q= 1–lk.

Las olla Y n= . Summa X 1 + X 2 + … + X n on võrdne arvuga m sündmuste esinemised AGA sisse n testid (0 m n), mis tähendab Y n= – sündmuse suhteline esinemissagedus AGA sisse n testid. Matemaatiline ootus ja dispersioon X i on vastavalt võrdsed:

M( ) = 1∙lk + 0∙q = lk,

Näide 4.2.1. Defektsete toodete protsendi määramiseks testiti 1000 ühikut tagastusproovi võtmise skeemi järgi. Kui suur on tõenäosus, et selle valimiga määratud tagasilükkamise määra absoluutväärtus erineb kogu partii tagasilükkamise määrast mitte rohkem kui 0,01, kui on teada, et iga 10 000 kauba kohta on keskmiselt 500 defektset toodet ?

Otsus. Vastavalt probleemi seisukorrale sõltumatute katsete arv n= 1000;

lk= = 0,05; q= 1 – lk= 0,95; ε = 0,01.

Rakendades valemit (4.2.2), saame

P(| –p|< 0,01) ≥ 1 – = 1 – = 0,527.

Vastus: tõenäosusega vähemalt 0,527 võib eeldada, et defektide proovifraktsioon (defektide esinemise suhteline sagedus) erineb kõigi toodete defektide osakaalust (defektide tõenäosusest) mitte rohkem kui 0,01 .

Näide 4.2.2. Osade tembeldamisel on abiellumise tõenäosus 0,05. Mitu osa tuleb kontrollida, et vähemalt 0,95 tõenäosusega võib eeldada, et defektsete toodete suhteline sagedus erineks abiellumise tõenäosusest vähem kui 0,01?

Otsus. Vastavalt ülesandele R= 0,05; q= 0,95; ε = 0,01;

P(| – p|<0,01) ≥ 0,95.

Võrdsusest 1 – = 0,95 leid n:

n= = =9500.

Vastus: 9500 eset tuleb kontrollida.

kommenteerida. Bernoulli (või Tšebõševi) teoreemi rakendamisel saadud vaatluste vajaliku arvu hinnangud on tugevalt liialdatud. Bernsteini ja Khinchini pakutud on täpsemaid hinnanguid, kuid need nõuavad keerukamat matemaatilist aparaati. Hinnangutega liialdamise vältimiseks kasutatakse mõnikord Laplace'i valemit

P(| – p|< ε ) ≈ 2Φ .

Selle valemi puuduseks on lubatava vea hinnangu puudumine.

Juhuslike sündmuste esinemissageduse stabiliseerumise nähtus, mis avastati suurel ja mitmekülgsel materjalil, ei omanud algul mingit õigustust ja seda tajuti puhtalt empiirilise faktina. Esimene teoreetiline tulemus selles vallas oli 1713. aastal avaldatud kuulus Bernoulli teoreem, mis pani aluse suurte arvude seadustele.

Bernoulli teoreem on oma sisult piirteoreem, st asümptootilise tähendusega väide, mis ütleb, mis juhtub tõenäosuslike parameetritega suure hulga vaatluste korral. Kõigi kaasaegsete arvukate seda tüüpi väidete eelkäija on täpselt Bernoulli teoreem.

Tänapäeval tundub, et suurte arvude matemaatiline seadus peegeldab paljude reaalsete protsesside ühist omadust.

Soovides anda suurte arvude seadusele võimalikult palju ulatust, mis vastaks selle seaduse rakendamise kaugeltki ammendatud potentsiaalsetele võimalustele, sõnastas meie sajandi üks suurimaid matemaatikuid A. N. Kolmogorov selle olemuse järgmiselt: suurte arvude seadus. on “üldprintsiip, mille tõttu suure hulga juhuslike tegurite toime viib juhusest peaaegu sõltumatu tulemuseni.

Seega on suurte arvude seadusel justkui kaks tõlgendust. Üks on matemaatiline, mis on seotud konkreetsete matemaatiliste mudelite, formulatsioonide, teooriatega ja teine ​​on üldisem, väljudes sellest raamistikust. Teist tõlgendust seostatakse praktikas sageli täheldatud nähtusega, mille käigus tekib ühel või teisel määral suunatud tegevus suure hulga peidetud või nähtavate mõjutegurite taustal, millel pole väliselt sellist järjepidevust. Teise tõlgendusega seotud näiteks on hinnakujundus vabal turul, avaliku arvamuse kujundamine konkreetses küsimuses.

Olles märkinud seda suurte arvude seaduse üldist tõlgendust, pöördugem selle seaduse konkreetsete matemaatiliste formulatsioonide poole.

Nagu me eespool ütlesime, on tõenäosusteooria jaoks esimene ja põhimõtteliselt kõige olulisem Bernoulli teoreem. Selle matemaatilise fakti, mis peegeldab ümbritseva maailma üht olulisemat seaduspärasust, sisu taandatakse järgmiseks.

Mõelge mitteseotud (st sõltumatute) testide jadale, mille tingimusi korratakse alati katsest testi. Iga testi tulemuseks on meid huvitava sündmuse ilmumine või mitteilmumine. AGA.

Seda protseduuri (Bernoulli skeem) võib ilmselt tunnistada tüüpiliseks paljudele praktilistele valdkondadele: "poiss-tüdruk" vastsündinute järjestuses, igapäevased meteoroloogilised vaatlused ("vihma sadas - ei olnud"), toodetud toodete voolu kontroll. ("normaalne - defektne") jne.

Sündmuse esinemise sagedus AGA juures P katsed ( t A -

sündmuste sagedus AGA sisse P testid) on kasvuga P kalduvus oma väärtust stabiliseerida, on see empiiriline fakt.

Bernoulli teoreem. Valime suvaliselt väikese positiivse arvu e. Siis

Rõhutame, et Bernoulli poolt teatud matemaatilises mudelis (Bernoulli skeemis) kehtestatud matemaatilist fakti ei tohiks segi ajada empiiriliselt kindlaks tehtud sageduse stabiilsuse seaduspärasusega. Bernoulli ei rahuldunud ainult valemi (9.1) väitega, vaid praktika vajadusi arvestades andis ta hinnangu selles valemis esinevale ebavõrdsusele. Selle tõlgenduse juurde tuleme allpool tagasi.

Bernoulli suurte arvude seadust on uurinud suur hulk matemaatikuid, kes on püüdnud seda täpsustada. Ühe sellise täpsustuse sai inglise matemaatik Moivre ja seda nimetatakse praegu Moivre-Laplace’i teoreemiks. Bernoulli skeemis võtke arvesse normaliseeritud suuruste jada:

Moivre - Laplace'i integraalteoreem. Valige kaks numbrit X ( ja x 2 . Sel juhul x, x 7, siis millal P -» °°

Kui valemi (9.3) paremal küljel muutuja x x kipuvad lõpmatuseni, siis on saadud piir, mis sõltub ainult x 2-st (sel juhul saab indeksi 2 eemaldada), jaotusfunktsioon, mida nimetatakse standardne normaaljaotus, või Gaussi seadus.

Valemi (9.3) parem pool on võrdne y = F(x 2) – F(x x). F(x2)-> 1 kl x 2-> °° ja F(x,) -> 0 x jaoks, -> Valides piisavalt suure

X] > 0 ja piisavalt suur absoluutväärtuses X] n, saame ebavõrdsuse:

Võttes arvesse valemit (9.2), saame praktiliselt usaldusväärsed hinnangud:

Kui y = 0,95 usaldusväärsus (st veatõenäosus 0,05) võib kellelegi tunduda ebapiisav, saate ülalmainitud kolme sigma reeglit kasutades "turvaliselt mängida" ja luua veidi laiema usaldusvahemiku:

See intervall vastab väga kõrge tase usaldusväärsus y = 0,997 (vt normaaljaotuse tabeleid).

Mõelge mündi viskamise näitele. Viskame mündi n = 100 korda. Kas võib juhtuda, et sagedus R on tõenäosusest väga erinev R= 0,5 (oletades näiteks mündi sümmeetriat), kas see võrdub nulliga? Selleks on vaja, et vapp ei kukuks välja isegi üks kord. Selline sündmus on teoreetiliselt võimalik, kuid me oleme sellised tõenäosused juba välja arvutanud, selle sündmuse jaoks on see võrdne See väärtus

on äärmiselt väike, selle järjekord on 30 kümnendkohaga arv. Sellise tõenäosusega sündmust võib julgelt pidada praktiliselt võimatuks. Millised sageduse kõrvalekalded tõenäosusest suure arvu katsete korral on praktiliselt võimalikud? Moivre-Laplace'i teoreemi kasutades vastame sellele küsimusele järgmiselt: tõenäosusega juures= 0,95 vapi sagedus R sobib usaldusvahemikku:

Kui viga 0,05 ei tundu väike, on vaja katsete arvu suurendada (mündi viskamine). Suurendusega P usaldusvahemiku laius väheneb (kahjuks mitte nii kiiresti kui tahaksime, vaid pöördvõrdeliselt -Jn). Näiteks millal P= 10 000 saame selle R asub usaldusvahemikus usalduse tõenäosusega juures= 0,95: 0,5 ± 0,01.

Seega oleme kvantitatiivselt käsitlenud sageduse ja tõenäosuse lähendamise küsimust.

Nüüd leiame sündmuse tõenäosuse selle sagedusest ja hindame selle lähenduse viga.

Teeme suure hulga katseid P(viskas mündi), leidis sündmuse sageduse AGA ja tahan hinnata selle tõenäosust R.

Suurte arvude seadusest P sellest järgneb:

Hindame nüüd ligikaudse võrrandi (9.7) praktiliselt võimalikku viga. Selleks kasutame ebavõrdsust (9.5) kujul:

Leidmise eest R peal R on vaja lahendada ebavõrdsus (9,8), selleks on vaja see ruutu teha ja lahendada vastav ruutvõrrand. Selle tulemusena saame:

kus

Ligikaudseks hinnanguks R peal R võib olla valemis (9.8) R paremal asendage tekstiga R või valemites (9.10), (9.11) arvestama sellega

Siis saame:

Laske sisse P= 400 katset sai sageduse väärtuse R= 0,25, siis usaldustasemel y = 0,95 leiame:

Aga mis siis, kui me peame teadma tõenäosust täpsemalt, näiteks veaga mitte rohkem kui 0,01? Selleks peate suurendama katsete arvu.

Eeldades valemis (9.12) tõenäosust R= 0,25, võrdsustame vea väärtuse antud väärtusega 0,01 ja saame võrrandi P:

Selle võrrandi lahendamisel saame n~ 7500.

Mõelgem nüüd veel ühele küsimusele: kas katsetes saadud sageduse hälvet tõenäosusest saab seletada juhuslike põhjustega või näitab see hälve, et tõenäosus pole see, mida me eeldasime? Teisisõnu, kas kogemus kinnitab aktsepteeritud statistilist hüpoteesi või, vastupidi, nõuab selle ümberlükkamist?

Olgu näiteks mündi viskamine P= 800 korda, saame harisageduse R= 0,52. Kahtlustasime, et münt pole sümmeetriline. Kas see kahtlus on põhjendatud? Sellele küsimusele vastamiseks lähtume eeldusest, et münt on sümmeetriline (p = 0,5). Leiame usaldusvahemiku (usaldustõenäosusega juures= 0,95) vapi ilmumissageduse kohta. Kui katses saadud väärtus R= 0,52 sobib sellesse intervalli - kõik on normaalne, aktsepteeritud hüpotees mündi sümmeetria kohta ei ole vastuolus katseandmetega. Valem (9.12) jaoks R= 0,5 annab intervalliks 0,5 ± 0,035; saadud väärtus p = Sellesse intervalli mahub 0,52, mis tähendab, et münt tuleb asümmeetriakahtlustest "puhastada".

Sarnaste meetoditega otsustatakse, kas juhuslike nähtuste puhul täheldatud erinevad kõrvalekalded matemaatilisest ootusest on juhuslikud või "olulised". Näiteks kas mitmel pakendatud kauba näidisel oli kogemata alakaal või viitab see ostjate süstemaatilisele petmisele? Kas uut ravimit kasutanud patsientidel suurenes taastumise määr juhuslikult või on see tingitud ravimi toimest?

Tavaseadus mängib eriti olulist rolli tõenäosusteoorias ja selle praktilistes rakendustes. Eespool juba nägime, et juhuslik suurus - mõne sündmuse esinemiste arv Bernoulli skeemis - kui P-» °° taandub tavaseadusele. Siiski on tulemus palju üldisem.

Keskpiiri teoreem. Suure hulga sõltumatute (või nõrgalt sõltuvate) juhuslike suuruste summa, mis on omavahel võrreldavad nende dispersioonide järjekorras, jaotatakse normaalseaduse järgi, sõltumata sellest, millised olid terminite jaotusseadused. Ülaltoodud väide on keskse piiriteooria umbkaudne kvalitatiivne sõnastus. Sellel teoreemil on palju vorme, mis erinevad üksteisest tingimuste poolest, millele juhuslikud suurused peavad vastama, et nende summa "normaliseeritaks" koos liikmete arvu suurenemisega.

Normaaljaotuse tihedus Dx) väljendatakse valemiga:

kus a - juhusliku suuruse matemaatiline ootus X s= V7) on selle standardhälve.

Intervalli (x 1? x 2) sattumise tõenäosuse arvutamiseks kasutatakse integraali:

Kuna integraali (9.14) tiheduse (9.13) juures ei väljendata elementaarfunktsioonides (“ei võeta”), kasutatakse (9.14) arvutamiseks standardse normaaljaotuse integraaljaotuse funktsiooni tabeleid, kui a = 0, a = 1 (sellised tabelid on saadaval igas tõenäosusteooria õpikus):

Tõenäosus (9.14) võrrandit (10.15) kasutades väljendatakse valemiga:

Näide. Leidke tõenäosus, et juhuslik suurus x, millel on parameetritega normaaljaotus a, a, kaldub kõrvale oma matemaatilisest ootuse moodulist mitte rohkem kui 3a.

Kasutades valemit (9.16) ja normaalseaduse jaotusfunktsiooni tabelit, saame:

Näide. Igas 700 sõltumatus kogemuses on sündmus AGA toimub pideva tõenäosusega R= 0,35. Leidke tõenäosus, et sündmus AGA juhtub:

• 1) täpselt 270 korda;
• 2) vähem kui 270 ja rohkem kui 230 korda;
• 3) rohkem kui 270 korda.

Matemaatilise ootuse leidmine a = jne ja standardhälve:

juhuslik muutuja – sündmuse esinemiste arv AGA:

Tsentreeritud ja normaliseeritud väärtuse leidmine X:

Normaaljaotuse tihedustabelite järgi leiame f(x):

Otsime nüüd üles R w (x,> 270) = P 700 (270 F(1,98) == 1–0,97615 = 0,02385.

Tõsise sammu suurte arvude probleemide uurimisel tegi 1867. aastal P. L. Tšebõšev. Ta käsitles väga üldist juhtumit, kus sõltumatutelt juhuslikult muutujatelt ei nõuta midagi peale matemaatiliste ootuste ja dispersioonide olemasolu.

Tšebõševi ebavõrdsus. Suvaliselt väikese positiivse arvu e korral kehtib järgmine ebavõrdsus:

Tšebõševi teoreem. Kui a x x, x 2, ..., x n - paarikaupa sõltumatud juhuslikud muutujad, millest igaühel on matemaatiline ootus E(Xj) = ci ja dispersioon D(x,) =), ja dispersioonid on ühtlaselt piiratud, st. 1,2 ..., siis suvaliselt väikese positiivse arvu korral e seos on täidetud:

Tagajärg. Kui a a,= aio, -o 2, i= 1,2 ..., siis

Ülesanne. Mitu korda tuleb münti visata, et vähemalt tõenäosus y - 0,997, kas võiks väita, et vapi sagedus oleks vahemikus (0,499; 0,501)?

Oletame, et münt on sümmeetriline, p - q - 0.5. Juhuslikule suurusele rakendame Tšebõševi teoreemi valemis (9.19). X- aastal vapi ilmumise sagedus P mündiviskamine. Oleme seda juba eespool näidanud X = X x + X 2 + ... +Х„, kus X t - juhuslik suurus, mis saab vapi väljalangemisel väärtuse 1 ja sabade väljalangemise korral väärtuse 0. Niisiis:

Tõenäosusmärgi all märgitud sündmusele vastupidise sündmuse kohta kirjutame ebavõrdsuse (9,19):

Meie puhul on [e \u003d 0,001, cj 2 \u003d /? -p)] t vappide arv riigis P viskamine. Asendades need suurused viimase võrratusega ja võttes arvesse, et vastavalt ülesande tingimusele peab ebavõrdsus olema täidetud, saame:

Antud näide illustreerib võimalust kasutada Tšebõševi võrratust juhuslike suuruste teatud hälvete tõenäosuste hindamiseks (nagu ka selle näitega sarnaseid probleeme, mis on seotud nende tõenäosuste arvutamisega). Tšebõševi ebavõrdsuse eeliseks on see, et see ei nõua juhuslike suuruste jaotuste seaduste tundmist. Muidugi, kui selline seadus on teada, siis Tšebõševi ebavõrdsus annab liiga umbkaudsed hinnangud.

Vaatleme sama näidet, kuid kasutades tõsiasja, et mündiviskamine on Bernoulli skeemi erijuhtum. Õnnestuste arv (näites - vappide arv) järgib binoomseadust ja suure P seda seadust saab esitada Moivre'i integraalteoreemiga - Laplace'i kui tavaseadust koos matemaatilise ootusega a = pr = n? 0,5 ja standardhälbega a = yfnpq- 25=0,5l/l. Juhusliku suuruse - vapi sageduse - matemaatiline ootus = 0,5 ja standardhälve

Siis on meil:

Viimasest ebavõrdsusest saame:

Normaaljaotuse tabelitest leiame:

Näeme, et normaallähendus annab mündiviskamiste arvu, mis annab vapi tõenäosuse hindamisel antud vea, mis on 37 korda väiksem kui Tšebõševi võrratuse abil saadud hinnang (aga Tšebõševi võrratus võimaldab teostame sarnaseid arvutusi ka juhul, kui meil pole teavet uuritava juhusliku suuruse jaotusseaduse kohta).

Vaatleme nüüd valemi (9.16) abil lahendatud rakenduslikku ülesannet.

Konkurentsi probleem. Kahel konkureerival raudtee-ettevõttel on mõlemal üks rong, mis sõidab Moskva ja Peterburi vahel. Need rongid on varustatud ligikaudu ühtemoodi, samuti väljuvad ja saabuvad ligikaudu samal ajal. Teeskleme seda P= 1000 reisijat valivad iseseisvalt ja juhuslikult endale rongi, seetõttu kasutame reisijate poolt rongi valimise matemaatilise mudelina Bernoulli skeemi koos P katsumused ja eduvõimalused R= 0,5. Ettevõte peab otsustama, kui palju istekohti rongis varustada, võttes arvesse kahte vastastikku vastuolulist tingimust: ühelt poolt ei taheta, et istekohad oleksid tühjad, teisalt ei taheta näida rahulolematuna. kohtade puudumine (järgmisel korral eelistavad nad konkureerivaid ettevõtteid). Muidugi saate rongis pakkuda P= 1000 kohta, aga siis on kindlasti vabu kohti. Juhuslik suurus - reisijate arv rongis - aktsepteeritud matemaatilise mudeli raames, kasutades Moivre'i integraaliteooriat - Laplace järgib tavaseadust koos matemaatilise ootusega a = pr = n/2 ja dispersioon a 2 = npq = p/4 järjestikku. Tõenäosus, et rong tuleb rohkem kui s reisijate arv määratakse suhtega:

Määrake riskitase a, ehk tõenäosus, et rohkem kui s reisijad:

Siit:

Kui a a- viimase võrrandi riskijuur, mis on leitud normaalseaduse jaotusfunktsiooni tabelites, saame:

Kui näiteks P = 1000, a= 0,01 (see riskitase tähendab, et kohtade arv s piisab 99 juhul 100-st), siis x a ~ 2.33 ja s= 537 kohta. Veelgi enam, kui mõlemad ettevõtted aktsepteerivad sama riskitaset a= 0,01, siis on kahes rongis kokku 1074 istekohta, millest 74 on tühjad. Samamoodi võib välja arvutada, et 80% juhtudest piisaks 514 istekohast ja 1000-st 999-l 549 istekohast.

Sarnased kaalutlused kehtivad ka muude konkurentsiteenustega seotud probleemide puhul. Näiteks kui t kinod võistlevad sama eest P pealtvaatajad, tuleks sellega leppida R= -. Saame

et kohtade arv s kinos tuleks määrata suhtega:

Tühjade kohtade koguarv on võrdne:

Sest a = 0,01, P= 1000 ja t= 2, 3, 4 on selle arvu väärtused ligikaudu võrdsed vastavalt 74, 126, 147.

Vaatleme veel ühte näidet. Las rong olla P - 100 vagunit. Iga vaguni kaal on matemaatilise ootusega juhuslik suurus a - 65 tonni ja keskmine ruut ootus o = 9 tonni Vedur suudab vedada rongi, kui selle mass ei ületa 6600 tonni; vastasel juhul peate ühendama teise veduri. Peame leidma tõenäosuse, et see pole vajalik.

üksikute vagunite massid: kellel on samad matemaatilised ootused a - 65 ja sama dispersioon d- o 2 \u003d 81. Vastavalt matemaatiliste ootuste reeglile: E(x) – 100 * 65 = 6500. Vastavalt dispersioonide liitmise reeglile: D(x) \u003d 100 x 81 \u003d 8100. Võttes juure, leiame standardhälbe. Selleks, et üks vedur saaks rongi vedada, on vaja, et rongi kaal X osutus piiravaks, s.t jäi intervalli (0; 6600) piiridesse. Juhuslikku suurust x – 100 liikme summat – võib pidada normaaljaotuseks. Valemiga (9.16) saame:

Sellest järeldub, et vedur hakkab rongiga "käitlema" ligikaudu 0,864 tõenäosusega. Vähendame nüüd autode arvu rongis kahe võrra, s.t võtame P= 98. Arvutades nüüd tõenäosuse, et vedur hakkab rongi “käitlema”, saame väärtuseks suurusjärgus 0,99, st praktiliselt kindel sündmus, kuigi selleks tuli eemaldada vaid kaks vagunit.

Seega, kui tegemist on suure hulga juhuslike muutujate summadega, siis saame kasutada tavaseadust. See tõstatab loomulikult küsimuse: mitu juhuslikku suurust tuleb lisada, et summa jaotusseadus oleks juba “normaliseeritud”? See sõltub sellest, millised on terminite jaotuse seadused. Seal on nii keerulised seadused, et normaliseerimine toimub ainult väga paljude terminite puhul. Kuid need seadused mõtlevad välja matemaatikud, samas kui loodus reeglina selliseid probleeme konkreetselt ei korralda. Tavaliselt piisab tavaseaduse kasutamiseks praktikas viiest või kuuest terminist.

Kiirust, millega identse jaotusega juhuslike suuruste summa jaotusseadus "normaliseerub", saab illustreerida intervallil (0, 1) ühtlase jaotusega juhuslike suuruste näitega. Sellise jaotuse kõver on ristküliku kujuga, mis on juba erinevalt tavaseadusest. Lisame kaks sellist sõltumatut suurust - saame nn Simpsoni seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse, mille graafiline esitus on kujul võrdhaarne kolmnurk. See ei tundu ka tavaline seadus, aga parem. Ja kui lisada kolm sellist ühtlaselt jaotatud juhuslikku muutujat, saate kõvera, mis koosneb kolmest parabooli segmendist, mis on väga sarnane tavalise kõveraga. Kui liita kuus sellist juhuslikku muutujat, saate kõvera, mis ei erine tavalisest. See on laialt levinud normaaljaotusega juhusliku suuruse saamise meetodi aluseks, samas kui kõik kaasaegsed arvutid on varustatud ühtlaselt jaotatud (0, 1) juhuslike arvude anduritega.

Selle kontrollimiseks on soovitatav kasutada järgmist meetodit. Koostame sündmuse sageduse usaldusvahemiku tasemega juures= 0,997 kolme sigma reegli järgi:

ja kui selle mõlemad otsad ei välju lõigust (0, 1), siis võib kasutada tavaseadust. Kui mõni usaldusvahemiku piir on väljaspool lõiku (0, 1), siis tavaseadust kasutada ei saa. Kuid teatud tingimustel võib mõne juhusliku sündmuse sageduse binoomseadus, kui see ei kaldu normaalsele, kalduda teisele seadusele.

Paljudes rakendustes kasutatakse Bernoulli skeemi juhusliku katse matemaatilise mudelina, milles katsete arv P suurepärane, juhuslik sündmusüsna harva, st. R = jne mitte väike, kuid mitte suur (kõikub vahemikus O -5 - 20). Sel juhul kehtib järgmine seos:

Valemit (9.20) nimetatakse binoomseaduse Poissoni lähenduseks, kuna selle parempoolset tõenäosusjaotust nimetatakse Poissoni seaduseks. Poissoni jaotus on haruldaste sündmuste tõenäosusjaotus, kuna see ilmneb siis, kui piirid on täidetud: P -»°°, R-»0, aga X = pro oo.

Näide. Sünnipäevad. Mis on tõenäosus Rt (k) et 500 inimesega ühiskonnas juurde inimesed, kes on sündinud uusaastapäeval? Kui need 500 inimest valitakse juhuslikult, saab Bernoulli skeemi rakendada suure tõenäosusega P = 1/365. Siis

Tõenäosusarvutused erinevatele juurde andke järgmised väärtused: RU = 0,3484...; R 2 = 0,2388...; R 3 = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; R 5 = 0,0101...; R 6= 0,0023... Vastavad lähendused Poissoni valemiga X= 500 1/365 = 1,37

andke järgmised väärtused: Ru = 0,3481...; R 2 = 0,2385...; Р b = 0,1089; R 4 = 0,0373...; P 5 = 0,0102...; P 6 = 0,0023... Kõik vead on ainult neljandas kümnendkohas.

Toome näiteid olukordadest, kus saab kasutada haruldaste sündmuste Poissoni seadust.

Telefonijaamas on ebatõenäoline, et vale ühendus tekib. R, tavaliselt R~ 0,005. Seejärel võimaldab Poissoni valem leida valede ühenduste tõenäosuse antud ühenduste koguarvu korral n~ 1000 kui X = pr =1000 0,005 = 5.

Kuklite küpsetamisel pannakse tainasse rosinad. Tuleks eeldada, et segamise tõttu järgib rosinarullide sagedus ligikaudu Poissoni jaotust P n (k, X), kus X- rosinate tihedus tainas.

Radioaktiivne aine eraldab n-osakesi. Sündmus, milleni d-osakeste arv aja jooksul jõuab t antud ruumi pindala, võtab fikseeritud väärtuse selleks, järgib Poissoni seadust.

Röntgenikiirguse mõjul muutunud kromosoomidega elusrakkude arv järgib Poissoni jaotust.

Niisiis võimaldavad suurte arvude seadused lahendada matemaatilise statistika probleemi, mis on seotud juhusliku katse elementaarsete tulemuste tundmatute tõenäosuste hindamisega. Tänu nendele teadmistele muudame tõenäosusteooria meetodid praktiliselt sisukaks ja kasulikuks. Suurte arvude seadused võimaldavad lahendada ka tundmatute elementaartõenäosuste kohta teabe hankimise probleemi teisel kujul - statistiliste hüpoteeside kontrollimise vormis.

Vaatleme üksikasjalikumalt statistiliste hüpoteeside kontrollimise ülesannete sõnastust ja tõenäosuslikku mehhanismi.