Sündmused ja nende klassifitseerimise tõenäosusteooria. Tõenäosusteooria põhimõisted. Juhuslik muutuja ja sündmuse tõenäosus

Sündmuste liigitamine võimalikeks, tõenäolisteks ja juhuslikeks. Lihtsate ja keerukate elementaarsündmuste mõisted. Operatsioonid sündmustel. Juhusliku sündmuse tõenäosuse ja selle omaduste klassikaline määratlus. Kombinatoorika elemendid tõenäosusteoorias. geomeetriline tõenäosus. Tõenäosusteooria aksioomid.

Sündmuste klassifikatsioon

Tõenäosusteooria üks põhimõisteid on sündmuse mõiste. Under sündmus mõista kõiki fakte, mis võivad ilmneda kogemuse või katsumuse tulemusena. Under kogemusi, või katsetada, mõistetakse kui teatud tingimuste kogumi rakendamist.

Sündmuste näited:

Selliseid näiteid võiks tuua lugematul hulgal. Sündmused on tähistatud suured tähed Ladina tähestik jne.

Eristama ühisüritused ja Sobimatu. Sündmusi nimetatakse ühisteks, kui neist ühe toimumine ei välista teise toimumist. Vastasel juhul nimetatakse sündmusi kokkusobimatuks. Näiteks visatakse kaks täringut. Sündmus on kolme punkti viskamine esimesel täringul, sündmus on kolme punkti viskamine teisel täringul. ja – ühisüritused. Laske poodi saada partii sama stiili ja suurusega, kuid erinevat värvi kingi. Sündmus - juhuslikult võetud kast on mustade kingadega, sündmus - kast on pruunide kingadega ja - kokkusobimatud sündmused.

Üritus on nn usaldusväärne kui see antud katse tingimustes ilmtingimata esineb.

Sündmust nimetatakse võimatuks, kui see ei saa toimuda antud kogemuse tingimustes. Näiteks juhus, et standardosade partiist võetakse standardosa, on kindel, kuid mittestandardne osa on võimatu.

Üritus on nn võimalik, või juhuslik, kui kogemuse tulemusena võib see ilmneda või mitte. Juhusliku sündmuse näide on valmistoodete partii kontrollimisel toote defektide tuvastamine, töödeldud toote ja antud toote suuruse lahknevus, automaatjuhtimissüsteemi ühe lüli rike.

Sündmused on nn võrdselt võimalik kui testi tingimustes ei ole ükski neist sündmustest objektiivselt tõenäolisem kui teised. Oletame näiteks, et poodi tarnivad lambid (ja võrdses koguses) mitmelt tootjalt. Sündmused, mis seisnevad mõnest neist tehastest lambipirni ostmises, on võrdselt tõenäolised.

Oluline mõiste on kogu ürituste grupp. Mitu sündmust antud katses moodustavad tervikliku rühma, kui vähemalt üks neist ilmneb tingimata katse tulemusena. Näiteks urnis on kümme palli, millest kuus on punased ja neli valged, millest viis on nummerdatud. - ühe joonisega punase palli välimus, - valge palli välimus, - numbriga palli välimus. Üritused moodustavad tervikliku ühisürituste rühma.

Tutvustame vastupidise ehk lisasündmuse mõistet. Under vastupidine sündmus on sündmus, mis peab tingimata toimuma, kui mõnda sündmust ei toimu. Vastandlikud sündmused on kokkusobimatud ja ainsad võimalikud. Need moodustavad tervikliku sündmuste rühma. Näiteks kui toodetud toodete partii koosneb headest ja defektsetest toodetest, siis ühe toote eemaldamisel võib see osutuda kas hea sündmuseks või defektseks.

Operatsioonid sündmustel

Tõenäosusteoorias juhuslike sündmuste uurimise aparaadi ja metoodika väljatöötamisel on sündmuste summa ja korrutise mõiste väga oluline.

Mitme sündmuse summa või liit on sündmus, mis koosneb vähemalt ühe neist sündmustest.

Sündmuste summa on näidatud järgmiselt:

Näiteks kui sündmus on tabamus sihtmärgile esimese lasu ajal, sündmus - teisel, siis on sündmus üldiselt tabamus sihtmärgile, olenemata sellest, milline lask - esimene, teine või mõlemad koos.

Mitme sündmuse korrutis või ristumiskoht on sündmus, mis seisneb kõigi nende sündmuste ühises toimumises.

Sündmuste korrutis on tähistatud

Näiteks kui sündmus on tabamus märklauale esimesel lasul ja sündmus teisel, siis on sündmus see, et sihtmärk tabati mõlemal lasul.

Sündmuste summa ja korrutise mõistetel on selge geomeetriline tõlgendus. Olgu sündmus piirkonna punkti tabamises, sündmus - piirkonna tabamises, siis seisneb sündmus punkti tabamises joonisel fig. 1 ja sündmus – kui punkt tabab joonisel 1 varjutatud ala. 2.

Juhusliku sündmuse tõenäosuse klassikaline määratlus

Sündmuste kvantitatiivseks võrdlemiseks nende toimumise võimalikkuse astme järgi võetakse kasutusele numbriline mõõt, mida nimetatakse sündmuse tõenäosuseks.

Sündmuse tõenäosus on arv, mis väljendab sündmuse toimumise objektiivse võimalikkuse mõõdet.

Sündmuse tõenäosust tähistatakse sümboliga .

Sündmuse tõenäosus võrdub talle soodsate juhtumite arvu suhtega ainulaadsete, võrdselt võimalike ja mitteühilduvate juhtumite koguarvust st.

See on tõenäosuse klassikaline määratlus. Seega on sündmuse tõenäosuse leidmiseks vaja pärast testi erinevate tulemuste kaalumist leida ainuvõimalike, võrdselt võimalike ja mitteühilduvate juhtumite kogum, arvutada nende koguarv, seda soodsate juhtumite arv. sündmus ja seejärel sooritage arvutus valemi (1.1) järgi.

Valemist (1.1) järeldub, et sündmuse tõenäosus on mittenegatiivne arv ja võib varieeruda nullist üheni, olenevalt soodsa juhtumite arvu osakaalust juhtumite koguarvust:

Tõenäosuse omadused

Vara 1. Kui kõik juhtumid on antud sündmuse jaoks soodsad, siis see sündmus kindlasti toimub. Seetõttu on vaadeldav sündmus usaldusväärne ja selle toimumise tõenäosus on , kuna antud juhul

Vara 2. Kui antud sündmuse jaoks pole ühtegi soodsat juhtumit, siis see sündmus ei saa toimuda kogemuse tulemusena. Seetõttu on vaadeldav sündmus võimatu ja selle toimumise tõenäosus on , kuna antud juhul:

Vara 3. Täieliku rühma moodustavate sündmuste toimumise tõenäosus on võrdne ühega.

Vara 4. Vastupidise sündmuse toimumise tõenäosus on määratletud samamoodi nagu sündmuse toimumise tõenäosus:

kus on vastupidise sündmuse toimumist soodustavate juhtumite arv. Seega on vastupidise sündmuse toimumise tõenäosus võrdne ühtsuse ja sündmuse toimumise tõenäosuse erinevusega:

Sündmuse tõenäosuse klassikalise definitsiooni oluliseks eeliseks on see, et selle abil saab sündmuse tõenäosust määrata ilma kogemust kasutamata, vaid loogilise arutluskäigu alusel.

Näide 1. Telefoninumbrit valides unustas abonent ühe numbri ja valis selle juhuslikult. Leidke tõenäosus, et soovitud number valitakse.

Lahendus. Märgistame sündmust, mis seisneb selles, et valitakse vajalik number. Abonent võib valida ükskõik millise 10 numbrist, seega on võimalike tulemuste koguarv 10. Need tulemused on ainsad võimalikud (üks number on kohustuslik) ja võrdselt võimalikud (number valitakse juhuslikult). Sündmust soosib ainult üks tulemus (vajalik arv on ainult üks). Soovitud tõenäosus võrdub sündmust soodustavate tulemuste arvu ja kõigi tulemuste arvu suhtega:

Kombinatoorika elemendid

Tõenäosusteoorias kasutatakse sageli paigutusi, permutatsioone ja kombinatsioone. Kui komplekt on antud, siis paigutus (kombinatsioon) from elements by on hulga järjestatud (järjestamata) elementide alamhulk. Kui paigutust kutsutakse permutatsioon elementidest.

Olgu näiteks antud hulk . Selle hulga kolme elemendi paigutused kahekaupa on , , , , , ; kombinatsioonid - , , .

Kaks kombinatsiooni erinevad vähemalt ühe elemendi poolest ja paigutused erinevad kas elementide endi või järjestuse poolest. Elementide kombinatsioonide arv arvutatakse valemiga

on elementide paigutuste arv ; on elementide permutatsioonide arv.

Näide 2. 10-osalises partiis on 7 standardosa. Leidke tõenäosus, et 6 juhuslikult valitud osa hulgas on täpselt 4 standardset.

Lahendus. Võimalike testitulemuste koguarv on võrdne viiside arvuga, kuidas 10-st saab eraldada 6 osa, st see võrdub 10 elemendi kombinatsioonide arvuga 6 võrra. Sündmust soodustavate tulemuste arv (sealhulgas 6 võetud osa, täpselt 4 standardosa) määratakse järgmiselt: 7 standardosast saab võtta 4 standardosa; samas kui ülejäänud detailid peavad olema mittestandardsed; võite võtta 2 mittestandardset osa mittestandardsetest osadest viisil. Seetõttu on soodsate tulemuste arv . Algne tõenäosus võrdub sündmust soodustavate tulemuste arvu ja kõigi tulemuste arvu suhtega:

Tõenäosuse statistiline määratlus

Valemit (1.1) kasutatakse sündmuste tõenäosuste otseseks arvutamiseks ainult siis, kui kogemus taandatakse juhtumite skeemile. Praktikas on klassikaline tõenäosuse määratlus sageli rakendamatu kahel põhjusel: esiteks eeldab klassikaline tõenäosuse definitsioon, et sündmuste koguarv peab olema lõplik. Tegelikult pole see sageli piiratud. Teiseks on sageli võimatu esitada kogemuse tulemusi võrdselt võimalike ja kokkusobimatute sündmuste kujul.

Sündmuste esinemissagedus korduvates katsetes kipub stabiliseeruma mingi konstantse väärtuse ümber. Seega on vaadeldava sündmusega võimalik seostada teatud konstantne väärtus, mille ümber sagedused grupeeritakse ja mis on katsete läbiviimise tingimuste kogumi ja sündmuse objektiivse seose tunnuseks.

Juhusliku sündmuse tõenäosus on arv, mille ümber selle sündmuse sagedused katsete arvu suurenedes grupeeritakse.

Seda tõenäosuse määratlust nimetatakse statistiline.

Eelis statistiline meetod tõenäosuse määratlus seisneb selles, et see põhineb reaalsel eksperimendil. Selle oluliseks puuduseks on aga see, et tõenäosuse määramiseks on vaja sooritada suur number katsed, mis on väga sageli seotud materjalikuludega. Sündmuse tõenäosuse statistiline määratlus paljastab küll üsna täielikult selle mõiste sisu, kuid ei võimalda tegelikku tõenäosust arvutada.

Tõenäosuse klassikaline definitsioon käsitleb täielikku rühma, mis koosneb lõplikust arvust võrdselt tõenäolistest sündmustest. Praktikas on väga sageli katsete võimalike tulemuste arv lõpmatu. Sellistel juhtudel klassikaline tõenäosuse määratlus ei kehti. Kuid mõnikord võite sellistel juhtudel kasutada tõenäosuse arvutamiseks teist meetodit. Kindluse mõttes piirdume kahemõõtmelise juhtumiga.

Olgu tasapinnal antud mingi pindala pindala, mis sisaldab teist pindala (joonis 3). Alale visatakse juhuslikult täpp. Kui suur on tõenäosus, et punkt langeb piirkonda? Eeldatakse, et juhuslikult visatud punkt võib tabada piirkonna mis tahes punkti ja tõenäosus sattuda piirkonna mis tahes ossa on võrdeline selle osa pindalaga ega sõltu selle asukohast ja kujust. Sel juhul tõenäosus tabada ala juhuslikult punkti viskamisel piirkonda

Seega, kui teatud piirkonna sees oleva punkti juhusliku ilmumise võimaluse sirgjoonel, tasapinnal või ruumis ei määra üldjuhul mitte selle piirkonna asukoht ja piirid, vaid ainult selle suurus, st pikkus, pindala või maht, siis juhusliku punkti sattumise tõenäosus teatud ala sisse on määratletud kui selle ala suuruse suhe kogu selle ala suurusesse, milles see võib esineda antud punkt. see on geomeetriline määratlus tõenäosused.

Näide 3. Ümmargune sihtmärk pöörleb konstandiga nurkkiirus. Sihiku viies osa on värvitud roheliseks ja ülejäänud osa valgeks (joonis 4). Lask tehakse märklaua pihta, et sihtmärgi tabamine oleks usaldusväärne sündmus. On vaja kindlaks määrata rohelisega värvitud sihtsektori tabamise tõenäosus.

Lahendus. Märgistame - "võte on jõudnud roheliseks värvitud sektorisse". Siis . Tõenäosus saadakse sihtmärgi rohelise värvi osa pindala ja kogu sihtmärgi pindala suhtena, kuna sihtmärgi mis tahes osa tabamine on võrdselt võimalik.

Tõenäosusteooria aksioomid

Juhusliku sündmuse tõenäosuse statistilisest definitsioonist järeldub, et sündmuse tõenäosus on arv, mille ümber selle sündmuse eksperimentaalselt vaadeldud sagedused grupeeritakse. Seetõttu tuuakse tõenäosusteooria aksioomid sisse nii, et sündmuse tõenäosusel on sageduse põhiomadused.

Aksioom 1. Igale sündmusele vastab teatud arv, mis tingimust rahuldab ja mida nimetatakse selle tõenäosuseks.

Tõenäosusteooria üks põhimõisteid on sündmuse mõiste.

sündmus nimetatakse igat asjaolu, mis testi tulemusena võib ilmneda või mitte ilmneda.

Under katsetada (kogemusi, katse) see definitsioon viitab teatud tingimuste kogumi täitmisele, mille puhul üht või teist nähtust vaadeldakse, üht või teist tulemust fikseeritakse.

Näiteks laskur laseb sihtmärki. AT sel juhul löök on proovikivi, tabamus või möödalaskmine on sündmus. Veel üks näide: erinevat värvi palle sisaldavast urnist tõmmatakse üks pall. Sel juhul on palli urnist eemaldamine proovikivi. Teatud värvi palli ilmumine on sündmus.

Sündmusi tähistatakse tavaliselt ladina tähestiku suurtähtedega: A, B, C jne.

Üritus on nn usaldusväärne kui testi tulemusena peab see tingimata ilmnema. Üritus on nn juhuslik kui testi tulemusena võib see tekkida või mitte. Üritus on nn võimatu kui testi tulemusena ei saa see üldse tekkida.

Näiteks visatakse täringut. Sel juhul on täisarvu kadumine kindel sündmus, arvu 2 kadumine on juhuslik sündmus, arvu 8 kadumine on võimatu sündmus.

Sündmused on nn Sobimatu kui neist ühe esinemine välistab mõne teise esinemise. Vastasel juhul nimetatakse üritusi nn liigend .

Näiteks ühe eriala eksami hinde “suurepärane”, “hea” ja “rahuldav” saanud õpilane on ebaühtlane sündmus, samas kui kolmel erineval erialal samade hinnete saamine on ühisüritus.

Sündmused on nn ainuvõimalik kui neist ühe ja ainult ühe esinemine testi tulemusena on teatud sündmus.

Näiteks kaks õpilast tulid testi tegema. Kindlasti toimub üks järgmistest sündmustest: mõlemad õpilased sooritavad testi (sündmus AGA), sooritab testi ainult üks õpilane (sündmus AT), ükski õpilastest ei soorita testi (sündmus FROM). Arengud AGA, AT, FROM on ainsad võimalikud.

Sündmused on nn võrdselt võimalik , kui sümmeetriatingimuste kohaselt on põhjust arvata, et ükski neist sündmustest pole objektiivselt teistest võimalikum.

Näiteks vapi või saba ilmumine mündi viskamisel on sama tõenäoline sündmus. Tõepoolest, eeldatakse, et münt on valmistatud homogeensest materjalist, korrapärase silindrilise kujuga ja mündi olemasolu ei mõjuta mündi ühe või teise külje kadumist.

Moodustub mitu sündmust täisgrupp , kui need on ainsad võimalikud ja kokkusobimatud testitulemused. See tähendab, et testi tulemusena peab toimuma üks ja ainult üks neist sündmustest.

Näiteks vastab õpilane küsimustele eksamikaart. Pilet sisaldab kahte küsimust. Võimalikud on järgmised testi tulemused: õpilane vastab mõlemale küsimusele (sündmus AGA 1), vastab ühele küsimusele (sündmus AGA 2), ei vasta ühelegi küsimusele (sündmus AGA 3). Arengud AGA 1 , AGA 2 ja AGA 3 moodustavad tervikliku rühma.

Vastupidi nimeta kaks ainulaadselt võimalikku sündmust, mis moodustavad tervikliku rühma.

Näiteks sündmus, mis seisneb selles, et õpilane Sel hetkel on publikus ja väljaspool publikut olemise sündmus on vastandid.

Kui üks kahest vastandlikust sündmusest on tähistatud AGA, siis teist tähistatakse tavaliselt tähega .

Paljud, seistes silmitsi "tõenäosusteooria" mõistega, on hirmul, arvates, et see on midagi ülekaalukat, väga keerulist. Kuid tegelikult pole see kõik nii traagiline. Täna käsitleme tõenäosusteooria põhikontseptsiooni, õpime konkreetsete näidete abil probleeme lahendama.

Teadus

Mida uurib selline matemaatika haru nagu "tõenäosusteooria"? Ta märgib mustreid ja suurusi. Esimest korda hakkasid teadlased selle probleemi vastu huvi tundma kaheksateistkümnendal sajandil, kui nad uurisid hasartmänge. Tõenäosusteooria põhikontseptsioon on sündmus. See on igasugune fakt, mis tehakse kindlaks kogemuse või vaatluse kaudu. Aga mis on kogemus? Teine tõenäosusteooria põhikontseptsioon. See tähendab, et see asjaolude koosseis pole loodud juhuslikult, vaid kindlal eesmärgil. Mis puutub vaatlusse, siis siin uurija ise ei osale eksperimendis, vaid on lihtsalt nende sündmuste tunnistaja, ta ei mõjuta toimuvat kuidagi.

Arengud

Saime teada, et tõenäosusteooria põhikontseptsioon on sündmus, kuid ei arvestanud klassifikatsiooniga. Kõik need jagunevad järgmistesse kategooriatesse:

Usaldusväärne.
Võimatu.
Juhuslik.

Ükskõik, milliseid sündmusi kogemuse käigus vaadeldakse või luuakse, kuuluvad need kõik sellele klassifikatsioonile. Pakume tutvuda iga liigiga eraldi.

Usaldusväärne üritus

See on asjaolu, enne kui on võetud vajalikud meetmed. Olemuse paremaks mõistmiseks on parem tuua paar näidet. Selle seaduse alla kuuluvad füüsika, keemia, majandus ja kõrgem matemaatika. Tõenäosusteooria sisaldab sellist olulist mõistet nagu teatud sündmus. siin on mõned näidised:

Töötame ja saame tasu töötasu näol.
Läbisime eksamid hästi, läbisime konkursi, selle eest saame tasu sisseastumise näol haridusasutus.
Investeerisime raha panka, vajadusel saame tagasi.

Sellised sündmused on usaldusväärsed. Kui oleme kõik ära teinud vajalikud tingimused, siis saame oodatud tulemuse.

Võimatud sündmused

Nüüd käsitleme tõenäosusteooria elemente. Teeme ettepaneku liikuda edasi järgmist tüüpi sündmuste, nimelt võimatu selgituse juurde. Alustuseks ütleme kõige rohkem oluline reegel- võimatu sündmuse tõenäosus on null.

Probleemide lahendamisel on sellest sõnastusest võimatu kõrvale kalduda. Selguse huvides on siin näited sellistest sündmustest:

Vesi külmus temperatuuril pluss kümme (see on võimatu).
Elektripuudus ei mõjuta tootmist kuidagi (sama võimatu nagu eelmises näites).

Rohkem näiteid ei tohiks tuua, kuna ülalkirjeldatud näited peegeldavad väga selgelt selle kategooria olemust. Võimatu sündmus ei juhtu kogemuse ajal mitte mingil juhul.

juhuslikud sündmused

Elementide uurimisel tuleks seda konkreetset tüüpi sündmusele pöörata erilist tähelepanu. Seda uuribki teadus. Kogemuse tulemusena võib midagi juhtuda, aga ei pruugi. Lisaks saab testi korrata piiramatu arv kordi. Erksad näited saab teenindada:

Mündi viskamine on kogemus või test, pealkiri on sündmus.
Palli pimesi kotist välja tõmbamine on katse, punase palli kinnipüümine on sündmus jne.

Selliseid näiteid võib olla piiramatu arv, kuid üldiselt peaks olemus olema selge. Sündmuste kohta saadud teadmiste kokkuvõtmiseks ja süstematiseerimiseks on toodud tabel. Tõenäosusteooria uurib ainult viimast tüüpi kõigist esitatud.

pealkiri	määratlus
Usaldusväärne	Sündmused, mis toimuvad 100% garantiiga teatud tingimustel.	Vastuvõtt õppeasutusse sisseastumiseksami hea sooritamisega.
Võimatu	Sündmused, mis ei juhtu mitte mingil juhul.	Plusskolmekümne soojakraadi juures sajab lund.
Juhuslik	Sündmus, mis võib katse/testi ajal toimuda, kuid ei pruugi toimuda.	Löö või ei taba korvpalli rõngasse viskamisel.

Seadused

Tõenäosusteooria on teadus, mis uurib sündmuse toimumise võimalikkust. Nagu ka teistel, on sellel teatud reeglid. Tõenäosusteoorias kehtivad järgmised seadused:

Juhuslike muutujate jadade konvergents.
Suurte arvude seadus.

Kompleksi võimalikkuse arvutamisel saab kasutada lihtsate sündmuste kompleksi, et tulemus oleks lihtsam ja kiirem. Pange tähele, et tõenäosusteooria seadused on mõne teoreemi abil kergesti tõestatavad. Alustame esimese seadusega.

Juhuslike muutujate jadade konvergents

Pange tähele, et konvergentsi on mitut tüüpi:

Juhuslike muutujate jada on tõenäosuselt konvergentne.
Peaaegu võimatu.
RMS konvergents.
Jaotuse konvergents.

Nii et lennult on väga raske asja põhja saada. Siin on mõned määratlused, mis aitavad teil seda teemat mõista. Alustame esimesest pilgust. Jada nimetatakse koonduv tõenäosus, kui on täidetud järgmine tingimus: n kaldub lõpmatuseni, on arv, milleni jada kaldub, suurem kui null ja ühele lähedane.

Liigume edasi järgmise juurde, peaaegu kindlasti. Jada väidetavalt läheneb peaaegu kindlasti juhuslikule suurusele, kus n kaldub lõpmatuseni ja P kaldub ühtsusele lähedasele väärtusele.

Järgmine tüüp on RMS konvergents. SC-konvergentsi kasutamisel taandatakse vektorjuhuslike protsesside uurimine nende koordinaatjuhuslike protsesside uurimisele.

Jääb alles viimane tüüp, vaatame seda põgusalt, et asuda otse probleemide lahendamise juurde. Jaotuskonvergentsil on teine nimi - "nõrk", selgitame allpool, miks. Nõrk konvergents on jaotusfunktsioonide konvergents piirava jaotusfunktsiooni järjepidevuse kõigis punktides.

Täidame kindlasti lubaduse: nõrk konvergents erineb kõigest eelnevast selle poolest juhuslik väärtus ei ole tõenäosusruumis määratletud. See on võimalik, kuna tingimus moodustatakse ainult jaotusfunktsioone kasutades.

Suurte arvude seadus

Suurepärased abilised selle seaduse tõestamisel on tõenäosusteooria teoreemid, näiteks:

Tšebõševi ebavõrdsus.
Tšebõševi teoreem.
Tšebõševi üldistatud teoreem.
Markovi teoreem.

Kui arvestada kõiki neid teoreeme, võib see küsimus venida mitukümmend lehte. Meie põhiülesanne on tõenäosusteooria praktikas rakendamine. Kutsume teid seda kohe tegema. Kuid enne seda kaalume tõenäosusteooria aksioome, need on peamised abilised probleemide lahendamisel.

Aksioomid

Esimesega kohtusime juba siis, kui rääkisime võimatust sündmusest. Pidagem meeles: võimatu sündmuse tõenäosus on null. Tõime väga ilmeka ja meeldejääva näite: lund sadas maha kolmekümnekraadise õhutemperatuuri juures.

Teine on järgmine: teatud sündmus toimub ühega võrdse tõenäosusega. Nüüd näitame, kuidas seda matemaatilises keeles üles kirjutada: P(B)=1.

Kolmandaks: juhuslik sündmus võib toimuda või mitte, kuid võimalus on alati nullist üheni. Mida lähemal on väärtus ühele, seda suurem on võimalus; kui väärtus läheneb nullile, on tõenäosus väga väike. Kirjutame selle matemaatilises keeles: 0<Р(С)<1.

Mõelge viimasele, neljandale aksioomile, mis kõlab järgmiselt: kahe sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende tõenäosuste summaga. Kirjutame matemaatilises keeles: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Tõenäosusteooria aksioomid on kõige lihtsamad reeglid, mida on lihtne meeles pidada. Proovime lahendada mõned probleemid, tuginedes juba omandatud teadmistele.

Loteriipilet

Alustuseks kaaluge kõige lihtsamat näidet - loterii. Kujutage ette, et ostsite hea õnne nimel ühe loteriipileti. Kui suur on tõenäosus, et võidad vähemalt kakskümmend rubla? Kokku osaleb ringluses tuhat piletit, millest ühel on auhind viissada rubla, kümme sada rubla, viiskümmend kakskümmend rubla ja sada viis. Tõenäosusteooria probleemid põhinevad õnne võimaluse leidmisel. Vaatame koos ülaltoodud probleemi lahendust.

Kui tähistame tähega A viiesaja rubla suurust võitu, on A saamise tõenäosus 0,001. Kuidas me selle saime? Peate lihtsalt jagama "õnnelike" piletite arvu nende koguarvuga (antud juhul: 1/1000).

B on saja rubla võit, tõenäosus on 0,01. Nüüd tegutsesime samal põhimõttel nagu eelmises toimingus (10/1000)

C - võidud on kakskümmend rubla. Leiame tõenäosuse, see on 0,05.

Ülejäänud piletid meid ei huvita, kuna nende auhinnafond on väiksem kui tingimuses märgitud. Rakendame neljandat aksioomi: Tõenäosus võita vähemalt paarkümmend rubla on P(A)+P(B)+P(C). Täht P tähistab selle sündmuse toimumise tõenäosust, oleme need juba eelmistes sammudes leidnud. Jääb vaid lisada vajalikud andmed, vastuses saame 0,061. See number on vastus ülesande küsimusele.

kaardipakk

Tõenäosusteooria ülesanded on ka keerulisemad, näiteks võta järgmine ülesanne. Enne sind on kolmekümne kuue kaardi pakk. Sinu ülesandeks on tõmmata kaks kaarti järjest ilma hunnikut segamata, esimene ja teine kaart peavad olema ässad, mast ei oma tähtsust.

Alustuseks leiame tõenäosuse, et esimene kaart on äss, selleks jagame neli kolmekümne kuuega. Nad panid selle kõrvale. Me võtame välja teise kaardi, see on äss, mille tõenäosus on kolm kolmkümmend viiendikku. Teise sündmuse tõenäosus sõltub sellest, millise kaardi me esimesena tõmbasime, huvitab, kas see oli äss või mitte. Sellest järeldub, et sündmus B sõltub sündmusest A.

Järgmise sammuna tuleb leida samaaegse realiseerimise tõenäosus ehk korrutame A ja B. Nende korrutis leitakse järgmiselt: korrutame ühe sündmuse tõenäosuse teise tingimusliku tõenäosusega, mille arvutame, eeldades, et esimene juhtus sündmus ehk tõmbasime esimese kaardiga ässa.

Et kõik oleks arusaadav, anname sellisele elemendile tähistuse kui sündmused. See arvutatakse eeldusel, et sündmus A on toimunud. Arvutatakse järgmiselt: P(B/A).

Jätkame oma ülesande lahendamist: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) või P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Tõenäosus on (4/36) * ((3/35)/(4/36). Arvutage sajandikku ümardades. Meil on: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0, 82 = 0,09 Tõenäosus, et me tõmbab kaks ässa järjest on üheksa sajandikku.Väärtus on väga väike, sellest järeldub, et sündmuse toimumise tõenäosus on äärmiselt väike.

Unustatud number

Teeme ettepaneku analüüsida veel mõnda võimalust tõenäosusteooria abil uuritavate ülesannete jaoks. Selles artiklis olete juba näinud näiteid mõne lahendamise kohta, proovime lahendada järgmise probleemi: poiss unustas oma sõbra telefoninumbri viimase numbri, kuid kuna kõne oli väga oluline, hakkas ta kõike kordamööda valima. Peame arvutama tõenäosuse, et ta ei helista rohkem kui kolm korda. Ülesande lahendus on kõige lihtsam, kui on teada tõenäosusteooria reeglid, seadused ja aksioomid.

Enne lahenduse otsimist proovige see ise lahendada. Teame, et viimane number võib olla nullist üheksani, see tähendab, et väärtusi on kokku kümme. Tõenäosus õige hankida on 1/10.

Järgmiseks peame kaaluma sündmuse päritolu võimalusi, oletame, et poiss arvas õigesti ja sai kohe õige skoori, sellise sündmuse tõenäosus on 1/10. Teine võimalus: esimene kõne on möödalaskmine ja teine on sihtmärgil. Arvutame sellise sündmuse tõenäosuse: korrutame 9/10 1/9-ga, tulemuseks saame ka 1/10. Kolmas variant: esimene ja teine kõne osutusid valel aadressil, alles kolmandast jõudis poiss sinna, kuhu tahtis. Arvutame sellise sündmuse tõenäosuse: korrutame 9/10 8/9-ga ja 1/8-ga, saame tulemuseks 1/10. Vastavalt probleemi seisukorrale muud võimalused meid ei huvita, seega jääb meie teha tulemused kokku liita, tulemuseks on meil 3/10. Vastus: Tõenäosus, et poiss helistab mitte rohkem kui kolm korda, on 0,3.

Kaardid numbritega

Teie ees on üheksa kaarti, millest igaüks sisaldab numbrit ühest üheksani, numbrid ei kordu. Need pandi karpi ja segati põhjalikult. Peate arvutama selle tõenäosuse

tuleb paarisarv;
kahekohaline.

Enne lahenduse juurde asumist sätestame, et m on edukate juhtumite arv ja n on valikute koguarv. Leidke tõenäosus, et arv on paaris. Pole keeruline arvutada, et paarisarvu on neli, see on meie m, variante on kokku üheksa, see tähendab, et m = 9. Siis on tõenäosus 0,44 ehk 4/9.

Vaatleme teist juhtumit: valikute arv on üheksa ja edukaid tulemusi ei saa üldse olla, see tähendab, et m võrdub nulliga. Ka tõenäosus, et väljatõmmatud kaardil on kahekohaline arv, on null.

Tõenäosusteooria aine. Juhuslikud sündmused ja nende klassifikatsioon. Klassikaline tõenäosuse määratlus. Kombinatoorika üldpõhimõtted.

Tõenäosus on üks neist mõistetest, mida me igapäevaelus hea meelega kasutame, sellele üldse mõtlemata. Näiteks isegi meie kõnes on jälg spontaan-tõenäosuslikust lähenemisest meid ümbritsevale reaalsusele. Me kasutame sageli sõnu ilmselt", "ebatõenäoline", "uskumatu". Juba nendes sõnades püütakse hinnata ühe või teise sündmuse toimumise võimalikkust, s.o. katse seda võimalust kvantifitseerida. Mõte väljendada numbritega teatud sündmuste toimumise võimalikkuse astet tekkis pärast seda, kui inimesed püüdsid üldistada piisavalt suurt hulka vaatlusi nähtuste kohta, milles avaldub stabiilsuse omadus, s.t. võime üsna sageli korrata.

Näiteks on võimatu ette kindlaks määrata ühe mündiviske tulemust. Kui aga münti visata piisavalt palju kordi, siis võib peaaegu kindlasti väita, et umbes pooltel kordadel satub see pähe ja pooled sabadele. Selliste näidete arvu, milles konkreetse sündmuse tõenäosuse arvväärtuse intuitiivne ettekujutus võib tuua väga palju. Kõigi selliste näidetega kaasnevad aga ebamäärased mõisted nagu "õiglane" viskamine, "õige" münt jne. Tõenäosusteooria sai teaduseks alles siis, kui tuvastati tõenäosusteooria põhimõisted, sõnastati selgelt tõenäosuse mõiste ja ehitati üles tõenäosuslik aksiomaatiline mudel.

Iga teadus, mis töötab välja teatud nähtuste ringi üldteooria, sisaldab mitmeid põhikontseptsioone, millel see põhineb. Sellised on näiteks geomeetrias mõisted punkt, sirgjoon, tasapind, sirge, pind; matemaatilises analüüsis - funktsioonid, piir, diferentsiaal, integraal; mehaanikas - jõud, massid, kiirused, kiirendused. Loomulikult on sellised mõisted olemas ka tõenäosusteoorias. Üks neist põhimõistetest on mõiste juhuslik sündmus.

JUHUSLIKUD SÜNDMUSED JA NENDE TÕENÄOSUSED

Juhuslikud sündmused ja nende klassifikatsioon

Under sündmus me mõistame mis tahes nähtust, mis ilmneb teatud tingimuste kogumi rakendamise tulemusena. Selle tingimuste kogumi rakendamist nimetatakse katse (kogemus, test). Pange tähele, et uurija ise ei pea tingimata katses osalema. Eksperimenti saab seada vaimselt või see võib toimuda sellest sõltumatult; viimasel juhul tegutseb uurija vaatlejana.

Üritus on nn usaldusväärne kui see peab ilmtingimata ilmnema teatud tingimustel. Seega pole tavalise täringu viskamisel usaldusväärsed rohkem kui kuus punkti; väide, et vesi on tavatingimustes +20 0 C juures vedelas olekus jne. Üritus on nn võimatu välja arvatud juhul, kui on teada, et see esineb teatud tingimustel. Seega on võimatuks sündmuseks väide, et tavalisest kaardipakist on võimalik tõmmata rohkem kui neli ässa; või Münchauseni väide, et ta võiks end juustest üles tõsta jne. Sündmust nimetatakse juhuslikuks, kui see võib teatud tingimustel toimuda või mitte toimuda. Näiteks "kotka" kaotus mündi viskamisel; sihtmärgi tabamine ühe lasuga sihtmärki jne.

Tõenäosusteoorias peetakse mis tahes sündmust mõne katse tulemuseks. Seetõttu nimetatakse sündmusi sageli tulemusi. Sel juhul peaks katse tulemus sõltuma mitmest juhuslikust tegurist, s.t. mis tahes tulemus peab olema juhuslik sündmus; muidu peavad selliste sündmustega tegelema teised teadused. Eriti tuleb märkida, et tõenäosusteoorias käsitletakse ainult selliseid katseid, mida saab korrata (reprodutseerida) konstantse tingimuste kogumi korral suvalise arvu kordi (vähemalt teoreetiliselt). See tähendab, et tõenäosusteooria uurib ainult selliseid sündmusi, mille puhul pole mõtet mitte ainult väide nende juhuslikkuse kohta, vaid on võimalik ka objektiivselt hinnata nende esinemisjuhtude osakaalu. Sellega seoses rõhutame, et tõenäosusteooria ei uuri ainulaadseid sündmusi, ükskõik kui huvitavad need iseenesest ka poleks. Näiteks väide, et teatud kohas teatud ajahetkel toimub maavärin, on üks juhuslikest sündmustest. Sellised sündmused on aga ainulaadsed, kuna neid ei saa korrata.

Teise näitena on sündmus, et antud mehhanism töötab kauem kui aasta, juhuslik, kuid kordumatu. Muidugi on iga mehhanism oma omaduste poolest individuaalne, kuid paljusid neist mehhanismidest saab valmistada ja valmistada samadel tingimustel. Paljude sarnaste objektide testid annavad teavet, mis võimaldab hinnata vaadeldava juhusliku sündmuse esinemiste arvu murdosa. Sellel viisil, tõenäosusteoorias käsitletakse kahte tüüpi testide kordamist: 1) sama objekti katsete kordamine; 2) paljude sarnaste objektide testimine.

Järgnevalt jäetakse lühiduse huvides sõna "juhuslik" välja. Sündmused tähistatakse ladina tähestiku suurtähtedega: A, B, C jne.

Kutsutakse sündmusi A ja B Sobimatu kui neist ühe esinemine välistab teise ilmumise võimaluse. Näiteks mündi viskamisel võib juhtuda kaks sündmust: pead või sabad. Samas ei saa need sündmused ühe viskega ilmuda. Kui testi tulemusena on sündmuste A ja B samaaegne toimumine võimalik, siis selliseid sündmusi nn. liigend. Näiteks paarisarvu punktide kaotus täringu viskamisel (sündmus A) ja punktide arv, mis on kolmekordne (sündmus B), liidetakse, sest kuue punkti kaotus tähendab mõlema sündmuse toimumist. A ja sündmus B.