Əsas tədqiqat. Kimə tarlalar basmır Təsərrüfat teoreminin mahiyyəti

2016-cı ilin Abel Mükafatı Yarımsabit elliptik əyrilər üçün Taniyama-Şimura zənninin sübutu və bu fərziyyədən irəli gələn Fermatın Son Teoreminin sübutu üçün Andrew Wiles-ə veriləcək. Hazırda mükafat 6 milyon Norveç kronu, yəni təxminən 50 milyon rubl təşkil edir. Uilsin sözlərinə görə, mükafat onun üçün “tam sürpriz” olub.

20 ildən çox əvvəl sübut edilmiş Fermat teoremi hələ də riyaziyyatçıların diqqətini cəlb edir. Qismən, bu, hətta məktəbli üçün də başa düşülən onun tərtibi ilə bağlıdır: sübut edin ki, n>2 natural ədədləri üçün a n + b n = c n sıfırdan fərqli tam ədədlərin elə üçlüyü yoxdur. Pierre de Fermat bu ifadəni Diofantın “Arifmetika” kitabının kənarlarında “Mən bunun üçün [bu iddianın] həqiqətən gözəl bir sübutunu tapdım, lakin kitabın kənarları bunun üçün çox dardır” başlığı ilə qeyd etdi. Əksər riyaziyyat nağıllarından fərqli olaraq bu, realdır.

Mükafatın təqdimatı Fermat teoremi ilə bağlı on əyləncəli hekayəni xatırlamaq üçün əla fürsətdir.

1.

Endryu Uayls Fermat teoremini isbatlamazdan qabaq daha doğrusu konyuktura, yəni Fermatın fərziyyəsi adlanırdı. Fakt budur ki, teorem tərifinə görə artıq sübut edilmiş bir ifadədir. Ancaq nədənsə bu ifadəyə məhz belə bir ad yapışdı.

2.

Fermat teoreminə n = 2 qoysaq, belə bir tənliyin sonsuz sayda həlli var. Bu həllər "Pifaqor üçlüyü" adlanır. Onlar bu adı aldılar, çünki onlar düzbucaqlı üçbucaqlara uyğundur, tərəfləri məhz belə ədədlər dəsti ilə ifadə olunur. Bu üç düsturdan (m 2 - n 2, 2mn, m 2 + n 2) istifadə edərək Pifaqor üçlüyü yarada bilərsiniz. Bu düsturlara m və n-nin müxtəlif qiymətlərini əvəz etmək lazımdır və nəticədə bizə lazım olan üçlükləri alacağıq. Ancaq burada əsas şey, nəticədə çıxan ədədlərin sıfırdan böyük olacağına əmin olmaqdır - uzunluqlar mənfi ədədlərlə ifadə edilə bilməz.

Yeri gəlmişkən, asanlıqla görmək olar ki, Pifaqor üçlüyünün bütün ədədləri sıfırdan fərqli hansısa ədədə vurularsa, yeni Pifaqor üçlüyü alınacaq. Buna görə də, məcmudakı üç ədədin ortaq böləninin olmadığı üçlükləri öyrənmək məqsədəuyğundur. Təsvir etdiyimiz sxem bütün bu üçlüləri əldə etməyə imkan verir - bu heç də sadə bir nəticə deyil.

3.

1847-ci il martın 1-də Paris Elmlər Akademiyasının iclasında eyni anda iki riyaziyyatçı - Qabriel Lame və Augustin Koşi əlamətdar teoremi sübut etmək ərəfəsində olduqlarını elan etdilər. Onlar sübut parçaları dərc etmək üçün yarışa çıxdılar. Əksər akademiklər Lameni alqışladılar, çünki Koşi özünü saleh, dözümsüz dini fanatik (və əlbəttə ki, tamamilə parlaq part-time riyaziyyatçı) idi. Bununla belə, matç başa çatmaq üçün nəzərdə tutulmadı - dostu Cozef Liouville vasitəsilə alman riyaziyyatçısı Ernst Kummer akademiklərə Koşi və Lamenin sübutlarında bir və eyni səhv olduğunu bildirdi.

Məktəbdə sübut edilmişdir ki, bir sıra əsas amillərə parçalanma unikaldır. Hər iki riyaziyyatçı hesab edirdi ki, əgər siz artıq mürəkkəb halda tam ədədlərin parçalanmasına baxsanız, onda bu xassə - unikallıq qorunub saxlanılacaq. Lakin, belə deyil.

Maraqlıdır ki, yalnız m + i n nəzərə alsaq, parçalanma unikaldır. Belə ədədlərə Qauss deyilir. Lakin Lame və Koşinin işi siklotomik sahələrdə faktorinq tələb edirdi. Bunlar, məsələn, m və n-nin rasional olduğu və i i^k = 1 xassəsini təmin edən ədədlərdir.

4.

n = 3 üçün Fermat teoremi aydın həndəsi məna daşıyır. Təsəvvür edək ki, çoxlu kiçik kublarımız var. Tutaq ki, onlardan iki böyük kub topladıq. Bu halda, təbii ki, tərəflər tam ədədlər olacaqdır. İki belə böyük kub tapmaq mümkündürmü ki, onları kiçik kublara ayıraraq onlardan bir böyük kub yığa bilək? Fermat teoremi deyir ki, bu heç vaxt edilə bilməz. Gülməli odur ki, üç kub üçün eyni sualı versəniz, cavab bəli olacaq. Məsələn, gözəl riyaziyyatçı Srinivas Ramanujan tərəfindən kəşf edilmiş belə bir dördlü ədəd var:

3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3

5.

Fermat teoreminin tarixində Leonhard Euler qeyd edilmişdir. O, ifadəni sübut etməkdə (hətta sübuta yaxınlaşmaqda) həqiqətən müvəffəq olmadı, lakin o, fərziyyəni formalaşdırdı ki, tənliyin

x 4 + y 4 + z 4 = u 4

tam ədədlərdə həlli yoxdur. Belə bir tənliyin birbaşa həllini tapmaq üçün edilən bütün cəhdlər nəticəsiz qaldı. Yalnız 1988-ci ilə qədər Harvarddan Nahum Elkies əks nümunə tapa bildi. Bu belə görünür:

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .

Adətən bu düstur ədədi təcrübə kontekstində yadda qalır. Bir qayda olaraq, riyaziyyatda belə görünür: hansısa düstur var. Riyaziyyatçı bu düsturu sadə hallarda yoxlayır, özünü həqiqətə inandırır və hansısa fərziyyə irəli sürür. Sonra o (daha tez-tez onun bəzi aspirantları və ya tələbələri olsa da) düsturun kifayət qədər düzgün olduğunu yoxlamaq üçün proqram yazır. böyük rəqəmlər, bunu əllərlə hesablamaq mümkün deyil (biz sadə ədədlərlə belə bir təcrübədən danışırıq). Bu, əlbəttə ki, sübut deyil, fərziyyə elan etmək üçün əla səbəbdir. Bütün bu konstruksiyalar ağlabatan fərziyyəyə əsaslanır ki, əgər hansısa ağlabatan formulun əks nümunəsi varsa, onda biz onu kifayət qədər tez tapacağıq.

Eylerin fərziyyəsi bizə həyatın fantaziyalarımızdan qat-qat müxtəlif olduğunu xatırladır: birinci əks nümunə özbaşına böyük ola bilər.

6.

Əslində, əlbəttə ki, Endryu Uayls Fermat teoremini sübut etməyə çalışmırdı - o, Taniyama-Şimura konjekturası adlanan daha çətin məsələni həll edirdi. Riyaziyyatda obyektlərin iki əlamətdar sinfi var. Birincisi modul formalar adlanır və mahiyyətcə Lobaçevski fəzasında funksiyadır. Bu müstəvinin hərəkətləri zamanı bu funksiyalar dəyişmir. İkincisi "elliptik əyrilər" adlanır və kompleks müstəvidə üçüncü dərəcə tənliyi ilə verilən əyrilərdir. Hər iki obyekt ədədlər nəzəriyyəsində çox populyardır.

1950-ci illərdə iki istedadlı riyaziyyatçı Yutaka Taniyama və Qoro Şimura Tokio Universitetinin kitabxanasında tanış olurlar. O vaxt universitetdə xüsusi riyaziyyat yox idi: sadəcə olaraq müharibədən sonra özünü bərpa etməyə vaxtı yox idi. Nəticədə alimlər köhnə dərsliklərdən istifadə edərək öyrəndilər və seminarlarda Avropa və ABŞ-da həll edilmiş hesab edilən və xüsusilə aktual olmayan problemləri müzakirə etdilər. Modul formalar və elliptik funksiyalar arasında uyğunluq olduğunu kəşf edən Taniyama və Şimura idi.

Onlar öz fərziyyələrini bəzi sadə əyri siniflər üzərində sınaqdan keçirdilər. Məlum oldu ki, işləyir. Ona görə də təklif etdilər ki, bu əlaqə həmişə var. Taniyama-Şimura fərziyyəsi belə ortaya çıxdı və üç ildən sonra Taniyama intihar etdi. 1984-cü ildə alman riyaziyyatçısı Gerhard Frey göstərdi ki, əgər Fermat teoremi səhvdirsə, deməli Taniyama-Şimura zənni də səhvdir. Buradan belə nəticə çıxırdı ki, bu ehtimalı sübut edən teoremi də sübut edəcək. Və bu, Uilsin etdiyi şeydir - çox ümumi şəkildə olmasa da.

7.

Wiles fərziyyəni sübut etmək üçün səkkiz il sərf etdi. Yoxlama zamanı rəyçilər, sübutların çoxunu "öldürən", bütün iş illərini ləğv edən bir səhv tapdılar. Richard Taylor adlı rəyçilərdən biri Wiles ilə dəliyi təmir etməyi öhdəsinə götürdü. Onlar işləyərkən belə bir mesaj ortaya çıxdı ki, Eylerin zənninə əks-nümunə tapan Elkies də Fermat teoreminə əks-nümunə tapıb (sonradan məlum oldu ki, bu, bir aprel zarafatıdır). Wiles depressiyaya düşdü və davam etmək istəmədi - dəlildəki dəliyi heç bir şəkildə bağlamaq mümkün olmadı. Taylor daha bir ay Uaylsı güləşlə danışdırdı.

Möcüzə baş verdi və yayın sonunda riyaziyyatçılar bir irəliləyiş əldə edə bildilər - Andrew Wiles tərəfindən "Modul elliptik əyrilər və Fermatın Son Teoremi" (pdf) və Riçardın "Bəzi Hekke cəbrlərinin halqa-nəzəri xüsusiyyətləri" əsərləri belədir. Taylor və Andrew Wiles anadan olub. Bu düzgün sübut idi. 1995-ci ildə nəşr edilmişdir.

8.

1908-ci ildə riyaziyyatçı Pol Volfskel Darmstadtda vəfat etdi. Özündən sonra o, Fermatın Son Teoreminin sübutunu tapmaq üçün riyaziyyat ictimaiyyətinə 99 il verdiyi vəsiyyətnamə buraxdı. Sübut müəllifi 100 min marka almalı idi (yeri gəlmişkən, əks nümunənin müəllifi heç nə almazdı). Məşhur bir əfsanəyə görə, Volfskell riyaziyyatçılarını belə bir hədiyyə etməyə vadar edən sevgi idi. Simon Singh Fermatın Son Teoremi kitabında əfsanəni belə təsvir edir:

Hekayə Wolfskehl-in şəxsiyyəti heç vaxt müəyyən edilməmiş gözəl bir qadına aşiq olması ilə başlayır. Wolfskel çox təəssüfləndi, sirli qadın onu rədd etdi. O, o qədər ümidsizliyə qapılıb ki, intihar etmək qərarına gəlib. Wolfskel ehtiraslı bir insan idi, lakin impulsiv deyildi və buna görə də ölümünü hər detalda işlətməyə başladı. O, intiharı üçün tarix təyin edib və düz gecə yarısı saatın ilk zərbəsi ilə başına atəş açmaq qərarına gəlib. Qalan günlərdə Volfskel gözəl gedən işlərini qaydasına salmaq qərarına gəldi və son gün vəsiyyət edib yaxın dost və qohumlarına məktublar yazdı.

Wolfskehl elə həvəslə işləyirdi ki, bütün işlərini gecə yarısına qədər bitirdi və qalan saatları birtəhər doldurmaq üçün kitabxanaya getdi və orada riyazi jurnallara baxmağa başladı. Tezliklə o, Kummerin Koşi və Lamenin niyə uğursuz olduğunu izah edən klassik kağızı ilə rastlaşdı. Kummerin işi əsrinin ən əhəmiyyətli riyazi nəşrlərindən biri idi və intiharı düşünən bir riyaziyyatçı üçün ən yaxşı oxu idi. Volfskel diqqətlə, sətir-sətir Kummerin hesablamalarını izlədi. Gözlənilmədən Volfskelə elə gəldi ki, o, boşluq kəşf edib: müəllif müəyyən fərziyyə irəli sürüb və öz mülahizələrində bu addımı əsaslandırmadı. Wolfskehl həqiqətən ciddi boşluq tapıb, yoxsa Kummerin fərziyyəsinin özünü doğrultması ilə maraqlandı. Əgər boşluq tapılarsa, Fermatın Son Teoreminin çoxlarının düşündüyündən daha asan sübut oluna bilməsi şansı var idi.

Wolfskehl masa arxasında oturdu, Kummerin mülahizəsinin "qüsurlu" hissəsini diqqətlə təhlil etdi və ya Kummerin işini dəstəkləməli və ya onun irəli sürdüyü fərziyyənin yanlışlığını nümayiş etdirməli olan mini-sübut hazırlamağa başladı və nəticədə, onun bütün arqumentlərini təkzib et. Səhərə qədər Volfskehl hesablamalarını bitirmişdi. Pis (riyazi) xəbər o idi ki, Kummerin sübutu sağaldı və Fermatın Son Teoremi hələ də əlçatmaz idi. Ancaq yaxşı xəbər var idi: intihar vaxtı keçmişdi və Volfskehl o qədər fəxr edirdi ki, böyük Ernest Kummerin yaradıcılığında bir boşluğu tapıb doldurmağı bacardı ki, onun ümidsizliyi və kədəri özünü dağıtdı. Riyaziyyat ona həyat susuzluğunu qaytardı.

Bununla belə, alternativ bir versiya var. Onun sözlərinə görə, Volfskel riyaziyyatı (və əslində, Fermat teoremini) mütərəqqi dağınıq skleroz səbəbindən götürüb və bu, onun sevdiyi işlə - həkim olmaqla məşğul olmasına mane olub. Və o, ömrünün sonuna kimi sadəcə olaraq nifrət etdiyi arvadını tərk etməmək üçün pulu riyaziyyatçıların ixtiyarına verib.

9.

Fermat teoremini elementar üsullarla sübut etmək cəhdləri “fermatistlər” adlanan bütün qəribə insanlar sinfinin meydana çıxmasına səbəb oldu. Onlar çoxlu dəlil gətirməklə məşğul idilər və bu dəlillərdə bir səhv aşkar etdikdə heç ümidlərini itirmədilər.

Moskva Dövlət Universitetinin mexanika-riyaziyyat fakültəsində Dobretsov adlı əfsanəvi bir personaj var idi. O, müxtəlif idarələrdən arayışlar toplayıb, onlardan istifadə edərək, Mehmətə nüfuz edib. Bu, yalnız qurbanı tapmaq üçün edilib. Nə isə, gənc aspirantla (gələcək akademik Novikov) rast gəldi. O, sadəlövhlüyündə Dobretsovun ona sırıdığı sözlərlə kağız yığınını diqqətlə öyrənməyə başladı, deyirlər, sübut budur. Daha sonra "burda bir səhv var ..." Dobretsov yığını götürdü və portfelinə doldurdu. İkinci portfeldən (bəli, o, iki portfellə mehmətin ətrafında dolandı) ikinci yığını çıxarıb ah çəkdi və dedi: “Yaxşı, onda 7-ci B variantına baxaq”.

Yeri gəlmişkən, bu sübutların çoxu “Tərminlərdən birini bərabərliyin sağ tərəfinə keçirək və faktorlara ayıraq” ifadəsi ilə başlayır.

10.

“Riyaziyyatçı və İblis” gözəl filmi olmasaydı, teorem haqqında hekayə yarımçıq olardı.

Dəyişiklik

Bu məqalənin 7-ci bölməsində əvvəlcə Naum Elkiesin Fermat teoreminə əks nümunə tapdığını, sonradan səhv olduğu ortaya çıxdı. Bu doğru deyil: əks nümunə ilə bağlı mesaj bir aprel zarafat idi. Qeyri-dəqiqliyə görə üzr istəyirik.

Andrey Konyaev

İvliyev Yu.A.

Məqalə 20-ci əsrin sonunda Fermatın Son Teoreminin sübutu zamanı buraxılmış fundamental riyazi səhvin təsvirinə həsr edilmişdir. Aşkar edilmiş xəta teoremin həqiqi mənasını təhrif etməklə yanaşı, ədədlərin səlahiyyətlərinin və ədədlərin natural sıralarının öyrənilməsinə yeni aksiomatik yanaşmanın inkişafına mane olur.

1995-ci ildə, ölçüsünə görə kitaba bənzəyən və məşhur Fermatın Böyük (Son) Teoreminin (WTF) sübutu haqqında məlumat verən məqalə dərc olundu (teoremin tarixi və onu sübut etmək cəhdləri üçün, məsələn, bax: ). Bu hadisədən sonra bu sübutu təbliğ edən çoxlu elmi məqalələr və elmi-populyar kitablar meydana çıxdı, lakin bu işlərin heç birində müəllifin günahı ucbatından deyil, bəzi qəribə nikbinlik nəticəsində ortaya çıxan fundamental riyazi səhv aşkar edilmədi. bu problem və əlaqəli suallarla məşğul olan ağıl riyaziyyatçıları. Bu fenomenin psixoloji aspektləri araşdırıldı. O, həmçinin xüsusi xarakter daşımayan, lakin tam ədədlərin səlahiyyətlərinin xassələrinin düzgün başa düşülməməsinin nəticəsi olan baş vermiş nəzarətin ətraflı təhlilini verir. Şəkildə göstərildiyi kimi, Fermat probleminin kökündə bu xassələrin öyrənilməsinə yeni aksiomatik yanaşma dayanır. müasir elm tətbiq edilməmişdir. Lakin səhv bir sübut onun yolunda dayandı, say nəzəriyyəçilərinə yalançı göstərişlər verdi və Fermat probleminin aparıcı tədqiqatçılarını birbaşa və adekvat həllindən uzaqlaşdırdı. Bu iş bu maneənin aradan qaldırılmasına həsr olunub.

1. WTF-nin sübutu zamanı edilən səhvin anatomiyası

Çox uzun və yorucu mülahizə prosesində Fermatın ilkin ifadəsi p-ci dərəcəli Diofant tənliyi ilə 3-cü dərəcəli elliptik əyrilər arasında uyğunluq baxımından yenidən formalaşdırıldı (bax: 0.4 və 0.5-də teoremlər). Belə bir müqayisə faktiki kollektiv sübutun müəlliflərini elan etməyə məcbur etdi ki, onların metodu və əsaslandırması Fermat probleminin yekun həllinə gətirib çıxarır (xatırlayın ki, WTF 1990-cı illərə qədər tam ədədlərin ixtiyari tam səlahiyyətləri üçün sübutları qəbul etmirdi. keçən əsr). Bu mülahizənin məqsədi yuxarıda göstərilən müqayisənin riyazi yanlışlığını müəyyən etmək və təhlil nəticəsində --də təqdim olunan sübutda əsas xətanı tapmaqdır.

a) Harada və nə səhvdir?

Beləliklə, mətni nəzərdən keçirək, burada s.448-də deyilir ki, Q.Frey (Q.Frey) “zahirbaz ideyasından” sonra WTF-ni sübut etmək imkanları açılıb. 1984-cü ildə G. Frey təklif etdi və

K.Ribet sonra sübut etdi ki, Ferma tənliyinin hipotetik tam həllini təmsil edən ehtimal olunan elliptik əyri,

y 2 = x(x + u p)(x - v p) (1)

modul ola bilməz. Bununla belə, A.Wiles və R.Taylor sübut etdilər ki, rasional ədədlər sahəsi üzərində müəyyən edilmiş istənilən yarımsabit elliptik əyri moduldur. Bu, Ferma tənliyinin tam həllərinin qeyri-mümkünlüyü və nəticədə A. Uilsin qeydində Teorem 0,5 kimi yazılmış Fermat müddəasının etibarlılığı haqqında nəticəyə gətirib çıxardı: bərabərlik olsun.

u p+ v p+ w p = 0 (2)

harada sən, v, w- rasional ədədlər, tam göstərici p ≥ 3; onda (2) yalnız o halda ödənilir uvw = 0 .

İndi, görünür, biz geriyə qayıdıb (1) əyrinin niyə aprior elliptik kimi qəbul edildiyini və onun Fermat tənliyi ilə real əlaqəsinin nə olduğunu tənqidi şəkildə nəzərdən keçirməliyik. Bu sualı gözləyərək, A. Wiles Y. Hellegouarch-ın işinə istinad edir ki, o, Fermat tənliyini (ehtimal ki, tam ədədlərlə həll olunur) hipotetik 3-cü dərəcəli əyri ilə əlaqələndirməyin yolunu tapdı. Q.Freydən fərqli olaraq, İ.Alleguches öz əyrisini modul formalarla əlaqələndirməmişdir, lakin onun (1) tənliyini əldə etmək üsulu A.Uilsin sübutunu daha da irəli aparmaq üçün istifadə edilmişdir.

Gəlin işə daha yaxından nəzər salaq. Müəllif mülahizələrini proyektiv həndəsə baxımından aparır. Onun bəzi qeydlərini sadələşdirib onları -yə uyğunlaşdırsaq, Abel əyrisinin olduğunu görürük

Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

Diofant tənliyi müqayisə edilir

x p+ y p+ z p = 0 (4)

harada x, y, z naməlum tam ədədlərdir, p (2)-dən alınan tam göstəricidir və Abel əyrisini (3) yazmaq üçün Diofant tənliyinin (4) α p, β p, γ p həllərindən istifadə olunur.

İndi bunun 3-cü dərəcəli elliptik əyri olduğuna əmin olmaq üçün (3)-də X və Y dəyişənlərini Evklid müstəvisində nəzərdən keçirmək lazımdır. Bunun üçün elliptik əyrilər üçün məlum hesab qaydasından istifadə edirik: əgər kub cəbri əyrisində iki rasional nöqtə varsa və bu nöqtələrdən keçən xətt bu əyrini daha bir nöqtədə kəsirsə, onda sonuncu da rasionaldır. nöqtə. Hipotetik tənlik (4) formal olaraq düz xətt üzərində nöqtələrin toplanması qanununu təmsil edir. Dəyişənlərdə dəyişiklik etsək x p = A, y p=B, z p = C və beləliklə alınan düz xətti (3) X oxu boyunca istiqamətləndirin, onda o, 3-cü dərəcə əyrisini üç nöqtədə kəsəcək: (X = 0, Y = 0), (X = β p , Y = 0) ), (X = - γ p , Y = 0), bu Abel əyrisinin qeydində (3) və oxşar qeyddə (1) əks olunur. Bununla belə, əyri (3) və ya (1) həqiqətən elliptikdir? Aydındır ki, yox, çünki Evklid xəttinin seqmentləri, üzərinə nöqtələr əlavə edilərkən, qeyri-xətti miqyasda götürülür.

Evklid fəzasının xətti koordinat sistemlərinə qayıdaraq (1) və (3) əvəzinə elliptik əyrilər üçün düsturlardan çox fərqli düsturlar alırıq. Məsələn, (1) aşağıdakı formada ola bilər:

η 2p = ξ p (ξ p + u p)(ξ p - v p) (5)

burada ξ p = x, η p = y və bu halda WTF-nin çıxarılması üçün (1) müraciəti qeyri-qanuni görünür. (1)-in elliptik əyrilər sinfinin bəzi kriteriyalarına cavab verməsinə baxmayaraq, xətti koordinat sistemində 3-cü dərəcəli tənlik olmaq kimi ən mühüm kriteriyaya cavab vermir.

b) Səhvlərin təsnifatı

Beləliklə, bir daha mülahizənin əvvəlinə qayıdırıq və WTF-nin həqiqəti ilə bağlı nəticənin necə edildiyini izləyirik. Birincisi, müsbət tam ədədlərdə Fermat tənliyinin həllinin olduğu güman edilir. İkincisi, bu həll ixtiyari olaraq məlum formanın (3-cü dərəcəli müstəvi əyri) cəbri formasına, beləliklə əldə edilmiş elliptik əyrilərin mövcud olduğu fərziyyəsi ilə daxil edilir (ikinci yoxlanılmamış fərziyyə). Üçüncüsü, qurulan beton əyrinin modul olmayan olması başqa üsullarla sübut olunduğu üçün onun mövcud olmaması deməkdir. Buradan nəticə çıxır: Fermat tənliyinin tam həlli yoxdur və buna görə də WTF doğrudur.

Bu arqumentlərdə bir zəif halqa var ki, ətraflı yoxlamadan sonra səhv olduğu ortaya çıxır. Bu səhv sübut prosesinin ikinci mərhələsində, Fermat tənliyinin hipotetik həllinin həm də məlum formalı elliptik əyrini təsvir edən üçüncü dərəcəli cəbr tənliyinin həlli olduğu fərz edilərkən edilir. Özlüyündə, göstərilən əyri həqiqətən elliptik olsaydı, belə bir fərziyyə özünü doğruldacaqdır. Bununla belə, 1a) bəndindən göründüyü kimi, bu əyri qeyri-xətti koordinatlarda təqdim olunur, bu da onu "xəyal" edir, yəni. xətti topoloji fəzada həqiqətən mövcud deyil.

İndi aşkar edilmiş səhvi aydın şəkildə təsnif etməliyik. Bu, sübuta ehtiyacı olanın sübutun dəlili kimi verilməsindədir. Klassik məntiqdə bu xəta “pis dairə” kimi tanınır. IN bu məsələ Fermat tənliyinin tam ədədi həlli (görünür, ehtimal ki, unikaldır) uydurma, mövcud olmayan elliptik əyri ilə müqayisə edilir və sonra sonrakı mülahizələrin bütün pafosları Fermatın hipotetik həllərindən əldə edilən bu formanın xüsusi elliptik əyrisinin sübuta yetirildiyini sübut edir. tənliyi, mövcud deyil.

Necə oldu ki, ciddi bir riyazi işdə belə elementar səhv buraxıldı? Yəqin ki, bu, bu tip "illüziya" həndəsi fiqurların əvvəllər riyaziyyatda öyrənilməməsi ilə əlaqədar baş verdi. Doğrudan da, məsələn, x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C dəyişənlərinin dəyişdirilməsi ilə Ferma tənliyindən əldə edilən uydurma çevrə ilə kim maraqlana bilər? Axı onun C 2 = A 2 + B 2 tənliyinin x, y, z və n ≥ 3 tam ədədləri üçün tam həlli yoxdur. X və Y qeyri-xətti koordinat oxlarında belə bir dairə tənliklə təsvir ediləcək görünüş standart formaya çox oxşardır:

Y 2 \u003d - (X - A) (X + B),

burada A və B artıq dəyişənlər deyil, yuxarıdakı əvəzetmə ilə müəyyən edilən konkret ədədlərdir. Amma A və B ədədlərinə güc xarakterindən ibarət orijinal forması verilirsə, onda tənliyin sağ tərəfindəki amillərdə qeydin heterojenliyi dərhal diqqəti cəlb edir. Bu işarə illüziyanı reallıqdan ayırmağa və qeyri-xətti koordinatlardan xətti koordinatlara keçməyə kömək edir. Digər tərəfdən, əgər ədədləri dəyişənlərlə müqayisə edərkən operator kimi qəbul etsək, məsələn (1)-də olduğu kimi, onda hər ikisi bircins kəmiyyətlər olmalıdır, yəni. eyni dərəcəyə malik olmalıdır.

Ədədlərin operatorlar kimi səlahiyyətlərinin belə başa düşülməsi həm də Fermat tənliyinin illüziya elliptik əyri ilə müqayisəsinin birmənalı olmadığını görməyə imkan verir. Məsələn, (5)-in sağ tərəfindəki amillərdən birini götürün və r p = 1 olan kompleks r ədədini daxil etməklə onu p xətti amillərə genişləndirin (məsələn, bax):

ξ p + u p = (ξ + u)(ξ + r u)(ξ + r 2 u)...(ξ + r p-1 u) (6)

Sonra (5) forması cəbri eyniliyin (6) növünə görə mürəkkəb ədədlərin sadə amillərinə parçalanma kimi təqdim edilə bilər, lakin ümumi vəziyyətdə belə bir parçalanmanın unikallığı şübhəlidir, bunu bir dəfə Kummer göstərmişdir. .

2. Nəticələr

Əvvəlki təhlildən belə çıxır ki, elliptik əyrilərin arifmetikası deyilən şey WTF-nin sübutunu harada axtarmaq lazım olduğuna işıq salmaq iqtidarında deyil. Əsərdən sonra, yeri gəlmişkən, bu məqalənin epiqrafı kimi götürülən Fermatın ifadəsi tarixi zarafat və ya praktiki zarafat kimi qəbul olunmağa başladı. Lakin reallıqda belə çıxır ki, zarafat edən Ferma yox, 1984-cü ildə Almaniyanın Obervolfax şəhərində keçirilən riyaziyyat simpoziumunda Q.Freyin hazırcavab fikrini səsləndirdiyi riyaziyyat simpoziumuna toplaşan ekspertlər olub. Bu cür ehtiyatsız bəyanatın nəticələri bütövlükdə riyaziyyatı öz ictimai etimadını itirmək ərəfəsinə gətirdi ki, bu da təfərrüatları ilə izah edilir və elmi müəssisələrin elm qarşısında cəmiyyət qarşısında məsuliyyətini mütləq gündəmə gətirir. Fermat tənliyinin Frey əyrisinə (1) uyğunlaşdırılması Fermat teoreminə görə Wilesin bütün sübutunun “kilididir” və əgər Fermat əyrisi ilə modul elliptik əyrilər arasında uyğunluq yoxdursa, o zaman sübut da yoxdur.

Son vaxtlar internetdə müxtəlif tanınmış riyaziyyatçılar nəhayət ki, Uilsin Fermat teoreminin sübutunu tapıblar və ona Evklid fəzasındakı tam ədədlərin “minimal” yenidən hesablanması şəklində bəhanə veriblər. Bununla belə, heç bir yenilik bəşəriyyətin riyaziyyatda artıq əldə etdiyi klassik nəticələri ləğv edə bilməz, xüsusən də hər hansı bir sıra ədədi kəmiyyət qarşılığı ilə üst-üstə düşsə də, ədədlərin bir-biri ilə müqayisəsi əməliyyatlarında onun əvəzedicisi ola bilməz və deməli, ilə istər-istəməz belə nəticə çıxır ki, Frey əyrisi (1) əvvəlcə elliptik deyil, yəni. tərifinə görə deyil.

BİBLİOQRAFİYA:

İvliyev Yu.A. Fermatın Son Teoreminin yerli sübutunun yenidən qurulması - United Scientific Journal ("Riyaziyyat" bölməsi). Aprel 2006 No 7 (167) s.3-9, həmçinin Beynəlxalq İnformasiyalaşdırma Akademiyasının Luqansk filialının Pratsisinə baxın. Ukrayna Təhsil və Elm Nazirliyi. adına Şidnukrayna Milli Universiteti. V. Dahl. 2006 No 2 (13) səh.19-25.
İvliyev Yu.A. 20-ci əsrin ən böyük elmi fırıldaqları: Fermatın Son Teoreminin "sübutları" - Təbiət və texniki elmlər ("Riyaziyyatın tarixi və metodologiyası" bölməsi). avqust 2007-ci il, № 4 (30) səh.34-48.
Edvards G. (Edvards H.M.) Fermatın sonuncu teoremi. Cəbri ədədlər nəzəriyyəsinə genetik giriş. Per. ingilis dilindən. red. B.F.Skubenko. M.: Mir 1980, 484 s.
Hellegouarch Y. Points d'ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI s.253-263.
Wiles A. Modul elliptik əyrilər və Fermatın Son Teoremi - Riyaziyyat Salnamələri. May 1995 v.141 İkinci seriya No 3 s.443-551.

Biblioqrafik keçid

İvliyev Yu.A. UİLESİN FERMATIN BÖYÜK TEOREMİNİN SƏHVLI SÜBUTU // Fundamental Tədqiqatlar. - 2008. - No 3. - S. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (giriş tarixi: 03.03.2020). “Akademiya Təbiət Tarixi” nəşriyyatında çap olunan jurnalları diqqətinizə çatdırırıq.

Deməli, 1637-ci ildə parlaq fransız riyaziyyatçısı Pyer Ferma tərəfindən tərtib edilmiş Fermatın Son Teoremi (çox vaxt Fermatın sonuncu teoremi adlanır) mahiyyətinə görə çox sadədir və orta təhsilli hər bir şəxs üçün başa düşüləndir. Burada deyilir ki, a n + b qüvvəsinə n \u003d c gücünə n gücünə düsturun n > 2 üçün təbii (yəni kəsr olmayan) həlli yoxdur. Hər şey sadə və aydın görünür. , lakin ən yaxşı riyaziyyatçılar və sadə həvəskarlar üç yarım əsrdən çox bir həll yolu axtarmaq uğrunda mübarizə apardılar.

O niyə belə məşhurdur? İndi gəlin öyrənək...

Sübut edilmiş, sübut olunmamış və hələ də sübut olunmamış teoremlər azdırmı? Məsələ burasındadır ki, Fermatın Son Teoremi tərtibin sadəliyi ilə sübutun mürəkkəbliyi arasında ən böyük ziddiyyətdir. Fermatın Son Teoremi inanılmaz dərəcədə çətin bir işdir, lakin onun tərtibi 5-ci sinifdə olan hər kəs tərəfindən başa düşülə bilər. Ali məktəb, lakin sübut heç bir peşəkar riyaziyyatçı deyil. Nə fizikada, nə kimyada, nə biologiyada, nə də eyni riyaziyyatda bu qədər sadə formada qurulacaq, lakin bu qədər uzun müddət həll edilməmiş bir problem yoxdur. 2. Nədən ibarətdir?

Pifaqor şalvarları ilə başlayaq Sözlər həqiqətən sadədir - ilk baxışdan. Uşaqlıqdan bildiyimiz kimi, "Pifaqor şalvarları hər tərəfdən bərabərdir". Problem o qədər sadə görünür ki, o, hamının bildiyi riyazi ifadəyə - Pifaqor teoreminə əsaslanırdı: istənilən düzbucaqlıda hipotenuzanın üzərində qurulmuş kvadrat ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların cəminə bərabərdir.

Eramızdan əvvəl V əsrdə. Pifaqor Pifaqor qardaşlığını qurdu. Pifaqorçular, başqa şeylərlə yanaşı, x²+y²=z² tənliyini təmin edən tam üçlükləri öyrəndilər. Onlar sonsuz sayda Pifaqor üçlüyünün olduğunu sübut etdilər və onları tapmaq üçün ümumi düsturlar əldə etdilər. Onlar üç və ya daha çox axtarmağa çalışmışlar. yüksək dərəcələr. Bunun nəticə vermədiyinə əmin olan Pifaqorçular boş cəhdlərindən əl çəkdilər. Qardaşlığın üzvləri riyaziyyatçılardan daha çox filosof və estetikalıdırlar.

Yəni x² + y² = z² bərabərliyini mükəmməl şəkildə təmin edən bir sıra ədədləri seçmək asandır.

3, 4, 5-dən başlayaraq - həqiqətən, ibtidai sinif şagirdi 9 + 16 = 25 olduğunu başa düşür.

Və ya 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Əla.

Yaxşı, və s. Bənzər x³+y³=z³ tənliyini götürsək necə olar? Bəlkə belə rəqəmlər də var?

Və s. (Şəkil 1).

Yaxşı, belə çıxır ki, onlar yoxdur. Bu hiylənin başladığı yerdir. Sadəlik göz qabağındadır, çünki bir şeyin varlığını deyil, əksinə, yoxluğunu sübut etmək çətindir. Həll yolunun olduğunu sübut etmək lazım gəldikdə, bu həlli sadəcə olaraq təqdim etmək olar və lazımdır.

Yoxluğu sübut etmək daha çətindir: məsələn, kimsə deyir: filan tənliyin həlli yoxdur. Onu gölməçəyə qoyun? asan: bam - və budur, həll! (həllini verin). Və budur, rəqib məğlub oldu. Yoxluğu necə sübut etmək olar?

"Mən belə həllər tapmadım" demək? Yoxsa yaxşı axtarmamısınız? Bəs əgər onlar çox böyükdürsə, o qədər böyükdürsə ki, hətta super güclü kompüter də hələ kifayət qədər gücə malik deyildir? Çətin olan da budur.

Vizual formada bunu aşağıdakı kimi göstərmək olar: uyğun ölçülü iki kvadrat götürsək və onları vahid kvadratlara söksək, bu vahid kvadratlar dəstəsindən üçüncü kvadrat alınır (şəkil 2):

Və üçüncü ölçü ilə də eyni şeyi edək (şəkil 3) - işləmir. Kifayət qədər kublar yoxdur və ya əlavələr qalır:

Lakin 17-ci əsrin riyaziyyatçısı, fransız Pierre de Ferma, x ümumi tənliyini həvəslə öyrəndi. n+yn=zn . Və nəhayət, o nəticəyə gəldi: n>2 üçün tam həllər mövcud deyil. Fermatın sübutu geri qaytarıla bilməyəcək şəkildə itirilir. Əlyazmalar yanır! Yalnız onun Diofantın “Arifmetika”sındakı qeydi qalır: “Mən bu müddəanın həqiqətən heyrətamiz sübutunu tapdım, lakin buradakı kənarlar onu ehtiva etmək üçün çox dardır”.

Əslində sübutu olmayan teoremə fərziyyə deyilir. Ancaq Fermat heç vaxt yanılmadığı üçün bir şöhrətə sahibdir. O, heç bir ifadəyə dair sübut buraxmasa da, sonradan təsdiqini tapıb. Bundan əlavə, Fermat tezisini n=4 üçün sübut etdi. Beləliklə, fransız riyaziyyatçısının fərziyyəsi tarixə Fermanın Son Teoremi kimi düşdü.

Fermatdan sonra Leonhard Euler kimi böyük ağıllar sübut tapmaq üzərində işlədilər (1770-ci ildə o, n = 3 üçün bir həll təklif etdi),

Adrien Legendre və Johann Dirichlet (bu elm adamları birlikdə 1825-ci ildə n = 5 üçün bir sübut tapdılar), Gabriel Lame (n = 7 üçün sübut tapdı) və bir çox başqaları. 1980-ci illərin ortalarında məlum oldu ki akademiya Fermatın Son Teoreminin son həlli yolundadır, lakin riyaziyyatçılar yalnız 1993-cü ilə qədər Fermatın Son Teoreminin sübutunu tapmaq üçün üç əsrlik dastanı görüb inandılar.

Fermat teoremini yalnız n sadə n üçün sübut etməyin yetərli olduğunu göstərmək asandır: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Mürəkkəb n üçün sübut etibarlı qalır. Amma sonsuz sayda sadə ədədlər var...

1825-ci ildə Sofi Germenin metodundan istifadə edərək qadın riyaziyyatçılar Dirixlet və Legendre müstəqil olaraq n=5 üçün teoremi sübut etdilər. 1839-cu ildə fransız Qabriel Lame eyni üsulla n=7 üçün teoremin doğruluğunu göstərdi. Tədricən teorem yüzdən az olan bütün n-lər üçün sübut olundu.

Nəhayət, alman riyaziyyatçısı Ernst Kummer parlaq araşdırmasında göstərdi ki, 19-cu əsrdə riyaziyyatın metodları teoremi ümumi şəkildə sübut edə bilməz. Fransa Elmlər Akademiyasının 1847-ci ildə Fermat teoreminin sübutu üçün təsis edilmiş mükafatı təyin olunmamış qaldı.

1907-ci ildə varlı alman sənayeçisi Pol Volfskel qarşılıqsız məhəbbət üzündən öz həyatına son qoymaq qərarına gəlir. Əsl alman kimi o, intiharın tarixini və vaxtını təyin etdi: məhz gecə yarısı. Son gün vəsiyyət edib, dostlarına, qohumlarına məktublar yazıb. İş gecə yarısından əvvəl bitdi. Deməliyəm ki, Paul riyaziyyatla maraqlanırdı. İşi olmayandan kitabxanaya getdi və Kummerin məşhur məqaləsini oxumağa başladı. Birdən ona elə gəldi ki, Kummer mülahizələrində səhv edib. Volfskehl əlində karandaşla məqalənin bu hissəsini təhlil etməyə başladı. Gecə yarısı keçdi, səhər gəldi. Sübutdakı boşluq dolduruldu. Və intiharın səbəbi indi tamamilə gülünc görünürdü. Paul vida məktublarını cırıb vəsiyyətnaməni yenidən yazdı.

Tezliklə təbii səbəblərdən öldü. Varislər olduqca təəccübləndilər: 100.000 marka (1.000.000-dan çox cari funt sterlinq) eyni ildə Wolfskel mükafatı üçün müsabiqə elan edən Göttingen Kral Elmi Cəmiyyətinin hesabına köçürüldü. 100.000 marka Fermat teoreminin sübutuna əsaslanırdı. Teoremin təkzibi üçün bir pfenniq ödənilməməli idi ...

Peşəkar riyaziyyatçıların əksəriyyəti Fermatın Son Teoreminin sübutunun axtarışını itirilmiş bir səbəb hesab etdilər və belə bir mənasız məşqə vaxt itirməkdən qətiyyətlə imtina etdilər. Ancaq həvəskarlar şöhrət üçün əylənirlər. Açıqlamadan bir neçə həftə sonra Göttingen Universitetinə "dəlil" uçqunu düşdü. Göndərilmiş sübutları təhlil etmək vəzifəsi olan professor E. M. Landau tələbələrinə kartları payladı:

Hörmətli (s). . . . . . . .

Fermatın Son Teoreminin sübutu ilə göndərdiyiniz əlyazma üçün təşəkkür edirik. Birinci səhv səhifədə ... sətirdə ... . Ona görə də bütün dəlil öz qüvvəsini itirir.
Professor E. M. Landau

1963-cü ildə Pol Koen Gödelin tapıntılarına əsaslanaraq, Hilbertin iyirmi üç problemindən birinin, kontinuum fərziyyəsinin həll edilməzliyini sübut etdi. Fermatın Son Teoremi də həll olunmaz olsa nə olar?! Lakin Böyük Teoremin əsl fanatikləri heç də məyus etmədilər. Kompüterlərin meydana gəlməsi riyaziyyatçılara gözlənilmədən bəxş etdi yeni üsul sübut. İkinci Dünya Müharibəsindən sonra proqramçılar və riyaziyyatçılar qrupları Fermatın Son Teoremini n-nin 500-ə qədər, sonra 1000-ə qədər və daha sonra 10.000-ə qədər olan bütün dəyərləri üçün sübut etdilər.

80-ci illərdə Samuel Wagstaff limiti 25.000-ə qaldırdı və 90-cı illərdə riyaziyyatçılar Fermatın Son Teoreminin n-in 4 milyona qədər olan bütün dəyərləri üçün doğru olduğunu bəyan etdilər. Ancaq sonsuzluqdan bir trilyon trilyon belə çıxsa, kiçilməz. Riyaziyyatçılar statistikaya inanmırlar. Böyük Teoremin isbatlanması onu BÜTÜN n sonsuzluğa qədər sübut etmək demək idi.

1954-cü ildə iki gənc yapon riyaziyyatçı dostu modul formaları öyrənməyə başladılar. Bu formalar nömrələr seriyasını yaradır, hər biri öz seriyasını yaradır. Təsadüfən Taniyama bu seriyaları elliptik tənliklərin yaratdığı sıralarla müqayisə etdi. Uyğunlaşdılar! Lakin modul formalar həndəsi cisimlərdir, elliptik tənliklər isə cəbridir. Bu cür müxtəlif obyektlər arasında heç vaxt əlaqə tapılmadı.

Buna baxmayaraq, diqqətlə sınaqdan keçirdikdən sonra dostlar bir fərziyyə irəli sürdülər: hər bir elliptik tənliyin əkiz - modul forması var və əksinə. Məhz bu fərziyyə riyaziyyatda bütöv bir tendensiyanın əsasına çevrildi, lakin Taniyama-Şimura fərziyyəsi sübuta yetirilənə qədər bütün bina hər an çökə bilərdi.

1984-cü ildə Gerhard Frey göstərdi ki, Fermat tənliyinin həlli, əgər varsa, bəzi elliptik tənliyə daxil edilə bilər. İki il sonra professor Ken Ribet sübut etdi ki, bu hipotetik tənliyin modul dünyada analoqu ola bilməz. Bundan sonra Fermatın Son Teoremi Taniyama-Şimura zənnilə ayrılmaz şəkildə əlaqələndirildi. İstənilən elliptik əyrinin modul olduğunu sübut etdikdən sonra belə nəticəyə gəlirik ki, Fermat tənliyinin həlli ilə heç bir elliptik tənlik yoxdur və Fermatın Son Teoremi dərhal sübuta yetiriləcəkdir. Lakin otuz il ərzində Taniyama-Şimura zənnini sübut etmək mümkün olmadı və uğura ümidlər getdikcə azaldı.

1963-cü ildə, cəmi on yaşı olanda, Endryu Uayls artıq riyaziyyata heyran idi. Böyük Teoremlə tanış olanda ondan kənara çıxa bilməyəcəyini anladı. O, məktəbli, tələbə, aspirant kimi özünü bu işə hazırlamışdı.

Ken Ribetin tapıntılarını öyrənən Uayls özünü Taniyama-Şimura zənnini sübut etməyə atdı. O, tam təcrid və gizli işləməyə qərar verdi. "Mən başa düşdüm ki, Fermatın Son Teoremi ilə əlaqəsi olan hər şey çox maraq doğurur ... Həddindən artıq izləyici məqsədə çatmağa qəsdən müdaxilə edir." Yeddi illik zəhmət öz bəhrəsini verdi, Uayls nəhayət Taniyama-Şimura zənninin sübutunu tamamladı.

1993-cü ildə ingilis riyaziyyatçısı Endryu Uayls Fermatın Son Teoreminin sübutunu dünyaya təqdim etdi (Wiles Kembricdəki Ser İsaak Nyuton İnstitutunda keçirilən konfransda sensasion hesabatını oxudu).

Mətbuatda şırınga davam edərkən, sübutların yoxlanılması istiqamətində ciddi iş başladı. Sübut ciddi və dəqiq hesab edilməzdən əvvəl hər bir sübut diqqətlə araşdırılmalıdır. Wiles, rəyçilərin rəyini gözləyərək, onların razılığını qazana biləcəyinə ümid edərək həyəcanlı bir yayı keçirdi. Avqustun sonunda ekspertlər kifayət qədər əsaslandırılmamış hökm tapdılar.

Məlum oldu ki, bu qərarda kobud səhv var, baxmayaraq ki, bu, ümumilikdə doğrudur. Wiles təslim olmadı, ədədlər nəzəriyyəsi üzrə tanınmış mütəxəssis Riçard Taylorun köməyinə müraciət etdi və artıq 1994-cü ildə teoremin düzəldilmiş və əlavə edilmiş sübutunu dərc etdilər. Ən heyrətləndiricisi odur ki, bu əsər Annals of Mathematics riyaziyyat jurnalında 130 (!) səhifə tutmuşdur. Ancaq hekayə bununla da bitmədi - son nöqtə yalnız növbəti ildə, 1995-ci ildə, riyazi nöqteyi-nəzərdən sübutun yekun və "ideal" versiyası dərc edildikdə edildi.

“...onun ad günü münasibətilə təşkil edilən ziyafət yeməyinin başlamasından yarım dəqiqə sonra mən Nadiyaya tam sübutun əlyazmasını verdim” (Endryu Uels). Riyaziyyatçıların qəribə insanlar olduğunu qeyd etdimmi?

Bu dəfə sübuta şübhə yox idi. İki məqalə ən diqqətli təhlilə məruz qaldı və 1995-ci ilin mayında Annals of Mathematics jurnalında dərc olundu.

Həmin andan çox vaxt keçib, amma cəmiyyətdə Fermatın Son Teoreminin həll olunmazlığı haqqında hələ də fikir var. Ancaq tapılan sübutdan xəbəri olanlar belə bu istiqamətdə işləməyə davam edirlər - Böyük Teorem 130 səhifəlik bir həll tələb etdiyindən çox az adam razıdır!

Buna görə də, indi bir çox riyaziyyatçının (əsasən həvəskarların, peşəkar alimlərin deyil) qüvvələri sadə və qısa bir sübut axtarışına atılır, lakin bu yol, çox güman ki, heç bir yerə aparmayacaq ...

Sorğunun populyarlığına görə "Fermat teoremi - qısa sübut, bu riyazi problemçox insan həqiqətən maraqlanır. Bu teorem ilk dəfə 1637-ci ildə Pierre de Fermat tərəfindən Arifmetikanın bir nüsxəsinin kənarında ifadə edildi və burada o, kənarına sığmayacaq qədər böyük bir həll olduğunu iddia etdi.

İlk uğurlu sübut 1995-ci ildə Endryu Uils tərəfindən Fermat Teoreminin tam sübutu nəşr olundu. Bu, "heyrətləndirici irəliləyiş" kimi təsvir edildi və Wiles-in 2016-cı ildə Abel mükafatını almasına səbəb oldu. Nisbətən qısa təsvir olunsa da, Fermat teoreminin sübutu modulluq teoreminin çox hissəsini sübut etdi və çoxsaylı digər problemlərə yeni yanaşmalar açdı. təsirli üsullar modulluğun yüksəlişi. Bu nailiyyətlər riyaziyyatı 100 il gələcəkdə inkişaf etdirdi. Fermatın kiçik teoreminin sübutu bu gün qeyri-adi bir şey deyil.

Həll edilməmiş problem 19-cu əsrdə cəbri ədədlər nəzəriyyəsinin inkişafına və 20-ci əsrdə modulluq teoreminin sübutunun axtarışına təkan verdi. Bu, riyaziyyat tarixində ən diqqətəlayiq teoremlərdən biridir və Fermatın Son Teoreminin bölmə ilə tam sübuta yetirilməsinə qədər o, Ginnesin Rekordlar Kitabında “ən çətin riyazi problem” kimi yer alırdı. ən çox uğursuz sübuta sahib olduğunu göstərir.

Tarixə istinad

Pifaqor tənliyi x 2 + y 2 = z 2 x, y və z üçün sonsuz sayda müsbət tam həllərə malikdir. Bu həllər Pifaqor üçlüyü kimi tanınır. Təxminən 1637-ci ildə Fermat kitabın kənarında yazırdı ki, daha ümumi an + bn = cn tənliyinin natural ədədlərdə həlli yoxdur, əgər n 2-dən böyük tam ədəddirsə. Fermatın özü probleminin həlli olduğunu iddia etsə də, o, bunu etdi. onun sübutu haqqında heç bir təfərrüat buraxmır. Fermat teoreminin yaradıcısı tərəfindən iddia edilən elementar sübutu daha çox onun öyünən ixtirası idi. Böyük fransız riyaziyyatçısının kitabı onun ölümündən 30 il sonra kəşf edilib. Fermatın Son Teoremi adlanan bu tənlik üç əsr yarım riyaziyyatda həll olunmamış qaldı.

Teorem nəhayət, riyaziyyatda ən diqqətəlayiq həll edilməmiş problemlərdən birinə çevrildi. Bunu sübut etmək cəhdləri ədədlər nəzəriyyəsində əhəmiyyətli inkişafa səbəb oldu və zaman keçdikcə Fermanın sonuncu teoremi riyaziyyatda həll olunmamış problem kimi tanındı.

Sübutların Qısa Tarixi

Fermanın özünün sübut etdiyi kimi n = 4 olarsa, sadə ədədlər olan n indeksləri üçün teoremi sübut etmək kifayətdir. Sonrakı iki əsrdə (1637-1839) fərziyyə yalnız 3, 5 və 7-ci sadələr üçün sübut olundu, baxmayaraq ki, Sofi Germain bütün sadələr sinfinə aid olan yanaşmanı yenilədi və sübut etdi. 19-cu əsrin ortalarında Ernst Kummer bunu genişləndirdi və nizamsız sadə ədədlərin ayrı-ayrılıqda təhlil edildiyi bütün müntəzəm sadələr üçün teoremi sübut etdi. Kummerin işinə əsaslanaraq və mürəkkəb kompüter tədqiqatlarından istifadə edərək, digər riyaziyyatçılar bütün əsas göstəriciləri dörd milyona qədər əhatə etmək məqsədi ilə teoremin həllini genişləndirə bildilər, lakin bütün göstəricilər üçün sübut hələ də mövcud deyildi (yani riyaziyyatçılar teoremin həlli adətən qeyri-mümkün, son dərəcə çətin və ya mövcud biliklərlə əldə edilə bilməz hesab olunur).

Şimura və Taniyamanın işi

1955-ci ildə yapon riyaziyyatçıları Qoro Şimura və Yutaka Taniyama riyaziyyatın iki çox fərqli qolu olan elliptik əyrilərlə modul formalar arasında əlaqə olduğundan şübhələnirdilər. O dövrdə Taniyama-Şimura-Veyl fərziyyəsi və (son nəticədə) modulluq teoremi kimi tanınan o, Fermatın sonuncu teoremi ilə açıq-aşkar əlaqəsi olmayan tək başına mövcud idi. Özü də geniş şəkildə mühüm riyazi teorem kimi qəbul edilirdi, lakin onu (Fermat teoremi kimi) sübut etmək qeyri-mümkün hesab olunurdu. Eyni zamanda Fermatın Son Teoreminin (mürəkkəb riyazi düsturların bölünməsi və tətbiqi ilə) sübutu yarım əsr sonra tamamlanmadı.

1984-cü ildə Gerhard Frey əvvəllər bir-biri ilə əlaqəsi olmayan və həll olunmamış bu iki problem arasında açıq əlaqə olduğunu gördü. İki teoremin bir-biri ilə sıx əlaqəli olduğunun tam təsdiqi 1986-cı ildə Ken Ribet tərəfindən nəşr olundu, o, Jan-Pier Serranın qismən sübutuna əsaslanaraq, "epsilon hipotezi" kimi tanınan bir hissədən başqa hamısını sübut etdi. Sadə dillə desək, Frey, Serra və Ribenin bu işləri göstərdi ki, modulluq teoremi ən azı yarımsabit elliptik əyrilər sinfi üçün sübut oluna bilsəydi, o zaman Fermatın sonuncu teoreminin sübutu da gec-tez kəşf ediləcək. Fermatın sonuncu teoreminə zidd ola biləcək istənilən həll modulluq teoreminə zidd olmaq üçün də istifadə edilə bilər. Buna görə də, əgər modulluq teoremi doğrudursa, onda tərifə görə Fermatın sonuncu teoreminə zidd olan bir həll ola bilməz, yəni tezliklə sübut edilməli idi.

Hər iki teorem riyaziyyatda çətin problemlər olsa da, həlli mümkünsüz hesab edilsə də, iki yaponun işi Fermatın son teoreminin bəziləri üçün deyil, bütün ədədlər üçün necə genişləndirilə və sübut oluna biləcəyinə dair ilk təklif idi. Tədqiqat mövzusunu seçən tədqiqatçılar üçün vacib olan odur ki, Fermatın sonuncu teoremindən fərqli olaraq modulluq teoreminin sübutun işlənib hazırlandığı əsas aktiv tədqiqat sahəsi olub, təkcə tarixi qəribəlik deyil, ona görə də bu mövzuya sərf olunan vaxt onun işinə peşəkar nöqteyi-nəzərdən haqq qazandırmaq olardı. Bununla belə, ümumi konsensus bu idi ki, Taniyama-Şimura fərziyyəsinin həlli məqsədəuyğun deyildi.

Fermatın son teoremi: Wiles sübutu

Ribetin Frey nəzəriyyəsinin doğruluğunu sübut etdiyini öyrənən ingilis riyaziyyatçısı, uşaqlıqdan Fermatın Son Teoremi ilə maraqlanan və elliptik əyrilər və bitişik domenlərlə təcrübəyə malik olan Endryu Uayls sübut etmək üçün Taniyama-Şimura zənnini sübut etməyə çalışmaq qərarına gəldi. Fermatın son teoremi. 1993-cü ildə, məqsədini elan etdikdən altı il sonra, teoremin həlli problemi üzərində gizli işləyərkən, Wiles əlaqəli bir fərziyyəni sübut etməyə müvəffəq oldu ki, bu da öz növbəsində ona Fermatın sonuncu teoremini sübut etməyə kömək edəcəkdi. Wiles'in sənədi ölçü və əhatə dairəsinə görə çox böyük idi.

Tədqiqat zamanı onun orijinal məqaləsinin bir hissəsində qüsur aşkar edildi və teoremi birgə həll etmək üçün Richard Taylor ilə daha bir il əməkdaşlıq tələb olundu. Nəticədə Fermatın Son Teoreminin Wiles tərəfindən son sübutu özünü çox gözlətmədi. 1995-ci ildə o, Uilsin əvvəlki riyazi işindən çox daha kiçik miqyasda nəşr olundu və bu, onun teoremin sübutunun mümkünlüyü ilə bağlı əvvəlki qənaətlərində yanılmadığını nümayiş etdirdi. Wiles-in nailiyyətləri məşhur mətbuatda geniş şəkildə işıqlandırıldı və kitablarda və televiziya proqramlarında populyarlaşdı. Taniyama-Şimura-Veyl fərziyyəsinin indi sübut edilmiş və modulluq teoremi kimi tanınan qalan hissələri daha sonra 1996-2001-ci illər arasında Wiles-in işləri üzərində qurulmuş digər riyaziyyatçılar tərəfindən sübut edilmişdir. Nailiyyətinə görə, Wiles 2016-cı ildə Abel Mükafatı da daxil olmaqla çoxsaylı mükafatlara layiq görülmüş və almışdır.

Wiles tərəfindən Fermatın sonuncu teoreminin sübutu elliptik əyrilər üçün modulluq teoreminin həllinin xüsusi halıdır. Bununla belə, bu, belə genişmiqyaslı riyazi əməliyyatın ən məşhur halıdır. İngilis riyaziyyatçısı Ribe teoreminin həlli ilə yanaşı, Fermatın sonuncu teoreminin sübutunu da əldə etmişdir. Fermatın Son Teoremi və Modulyarlıq Teoremi müasir riyaziyyatçılar tərəfindən demək olar ki, hamı tərəfindən sübut olunmaz hesab edilirdi, lakin Endryu Uayls hər şeyi sübut edə bildi. elmi dünya ki, hətta ekspertlər də səhv edə bilər.

Wiles kəşfini ilk dəfə 23 iyun 1993-cü il Çərşənbə günü Kembricdə keçirilən "Modul formaları, elliptik əyrilər və Qalua təmsilləri" adlı mühazirədə elan etdi. Lakin 1993-cü ilin sentyabrında onun hesablamalarında xəta olduğu məlum oldu. Bir il sonra, 19 sentyabr 1994-cü ildə, "iş həyatının ən vacib anı" adlandırdığı bir vaxtda, Wiles, problemin həllini riyazi tələbləri qane edə biləcək nöqtəyə çatdırmağa imkan verən bir vəhy ilə qarşılaşdı. icma.

İşin təsviri

Endryu Uilsin Fermat teoreminin sübutu cəbri həndəsə və ədədlər nəzəriyyəsindən bir çox metoddan istifadə edir və riyaziyyatın bu sahələrində çoxlu şaxələrə malikdir. O, həmçinin sxemlər kateqoriyası və İvasava nəzəriyyəsi kimi müasir cəbr həndəsəsinin standart konstruksiyalarından, həmçinin Pierre de Fermat üçün mümkün olmayan 20-ci əsrin digər üsullarından istifadə edir.

Sübutları ehtiva edən iki sənəd 129 səhifədən ibarətdir və yeddi il ərzində yazılmışdır. Con Kouts bu kəşfi ədədlər nəzəriyyəsinin ən böyük nailiyyətlərindən biri, Con Konvey isə 20-ci əsrin ən böyük riyazi nailiyyəti adlandırdı. Wiles, yarımsabit elliptik əyrilərin xüsusi halı üçün modulluq teoremini sübut etməklə Fermatın sonuncu teoremini sübut etmək üçün modulluğu qaldırmaq üçün güclü üsullar inkişaf etdirdi və bir çox başqa problemlərə yeni yanaşmalar açdı. Fermatın son teoremini həll etdiyinə görə o, cəngavər oldu və başqa mükafatlar aldı. Wiles Abel mükafatını qazandığı məlum olanda, Norveç Elmlər Akademiyası onun nailiyyətini "Fermatın Son Teoreminin ləzzətli və elementar sübutu" kimi xarakterizə etdi.

Necə oldu

Wiles-in teoremin həlli ilə orijinal əlyazmasını nəzərdən keçirən insanlardan biri Nik Katz idi. İcmal zamanı o, britaniyalıya bir sıra aydınlaşdırıcı suallar verdi ki, bu da Uilsin işində boşluq olduğunu etiraf etməyə vadar etdi. Sübutun kritik hissəsində, müəyyən bir qrupun sırası üçün təxmin verən bir səhvə yol verildi: Kolyvagin və Flach metodunu genişləndirmək üçün istifadə edilən Eyler sistemi natamam idi. Bununla belə, səhv onun işini faydasız etmədi - Wiles-in işinin hər bir hissəsi, onun işi zamanı yaratdığı və işin yalnız bir hissəsinə təsir edən bir çox inkişaf və üsullar kimi, özlüyündə çox əhəmiyyətli və yenilikçi idi. əlyazma. Ancaq 1993-cü ildə nəşr olunan bu orijinal əsərdə Fermatın Son Teoreminin sübutu yox idi.

Wiles əvvəlcə təkbaşına, sonra isə keçmiş tələbəsi Richard Taylor ilə əməkdaşlıq edərək teoremin həllini yenidən kəşf etmək üçün təxminən bir il sərf etdi, lakin hamısı boşa çıxdı. 1993-cü ilin sonunda Wiles-in sübutunun sınaqda uğursuz olduğuna dair şayiələr yayıldı, lakin bu uğursuzluğun nə qədər ciddi olduğu bilinmirdi. Riyaziyyatçılar Uilsə təzyiq göstərməyə başladılar ki, onun işinin olub-olmadığını təfərrüatlarını açıqlasınlar ki, daha geniş riyaziyyatçılar ictimaiyyəti onun əldə edə bildiyi hər şeyi araşdırıb istifadə edə bilsin. Wiles səhvini tez bir zamanda düzəltmək əvəzinə Fermatın Son Teoreminin isbatında yalnız əlavə çətin cəhətləri kəşf etdi və nəhayət bunun nə qədər çətin olduğunu başa düşdü.

Wiles bildirir ki, 1994-cü il sentyabrın 19-da səhər o, təslim olmaq və təslim olmaq ərəfəsində idi və uğursuzluğa düçar olmaq üçün az qala istefa verdi. O, yarımçıq qalmış əsərini dərc etməyə hazır idi ki, başqaları onun üzərində qura bilsin və harada səhv etdiyini tapsın. İngilis riyaziyyatçısı özünə son şans vermək qərarına gəldi və birdən Kolyvagin-Flak yanaşmasının daha çox əlaqə qurana qədər işləməyəcəyini başa düşdükdə onun yanaşmasının nəticə verməməsinin əsas səbəblərini anlamağa çalışmaq üçün teoremi sonuncu dəfə təhlil etdi. sübut prosesinə daha çox İvasavanın nəzəriyyəsini işə salaraq.

Oktyabrın 6-da Wiles üç həmkarından (Fultins də daxil olmaqla) onu nəzərdən keçirməyi xahiş etdi yeni iş, və 24 oktyabr 1994-cü ildə o, iki əlyazma təqdim etdi - "Modul elliptik əyrilər və Fermatın sonuncu teoremi" və "Bəzi Hekke cəbrlərinin halqasının nəzəri xassələri", ikincisini Uayls Taylorla birlikdə yazdı və müəyyən şərtlərin zəruri olduğunu sübut etdi. əsas məqalədə düzəldilmiş addımı əsaslandırmaq üçün.

Bu iki məqalə nəzərdən keçirildi və nəhayət, 1995-ci ilin mayında Riyaziyyat İlnaməsində tam mətn nəşri kimi nəşr olundu. Andrew-un yeni hesablamaları geniş şəkildə təhlil edildi və nəticədə elmi ictimaiyyət tərəfindən qəbul edildi. Bu əsərlərdə yarımsabit elliptik əyrilər üçün modulluq teoremi yaradılmışdır - Fermatın sonuncu teoreminin yaradılmasından 358 il sonra onun sübut edilməsi istiqamətində son addımdır.

Böyük Problemin Tarixi

Bu teoremin həlli uzun əsrlər boyu riyaziyyatda ən böyük problem hesab olunur. 1816 və 1850-ci illərdə Fransa Elmlər Akademiyası Fermatın Son Teoreminin ümumi sübutuna görə mükafat təklif etdi. 1857-ci ildə Akademiya 3000 frank və qızıl medal Kummer mükafata müraciət etməsə də, ideal rəqəmlər üzərində apardığı araşdırmaya görə. 1883-cü ildə Brüssel Akademiyası ona başqa bir mükafat təklif etdi.

Wolfskel mükafatı

1908-ci ildə alman sənayeçisi və həvəskar riyaziyyatçısı Paul Volfskehl Fermatın Son Teoreminin tam sübutu üçün mükafat olaraq Göttingen Elmlər Akademiyasına 100.000 qızıl marka (o vaxt üçün böyük məbləğ) vəsiyyət etdi. 27 iyun 1908-ci ildə Akademiya doqquz mükafat qaydasını dərc etdi. Digər şeylər arasında, bu qaydalar sübutun nəzərdən keçirilən jurnalda dərc olunmasını tələb edirdi. Mükafat nəşrdən cəmi iki il sonra verilməli idi. Müsabiqənin müddəti 2007-ci il sentyabrın 13-də - başlanmasından təxminən bir əsr sonra başa çatmalı idi. 27 iyun 1997-ci ildə Wiles Wolfschel-in pul mükafatını və daha sonra 50.000 dollar aldı. 2016-cı ilin mart ayında o, Abel Mükafatının bir hissəsi olaraq Norveç hökumətindən "yarımsabit elliptik əyrilər üçün modulyarlıq fərziyyəsinin köməyi ilə Fermatın son teoreminin heyrətamiz sübutu və ədədlər nəzəriyyəsində yeni bir dövr açdığı üçün" 600.000 avro aldı. Bu, təvazökar ingilisin dünya zəfəri idi.

Wiles sübut etməmişdən əvvəl, Fermat teoremi, əvvəllər qeyd edildiyi kimi, əsrlər boyu tamamilə həll olunmaz hesab olunurdu. Minlərlə yalançı sübut fərqli vaxt təxminən 10 fut (3 metr) yazışma təşkil edən Wolfskell komitəsinə təqdim edildi. Mükafatın mövcud olduğu ilk ildə (1907-1908) teoremi həll etmək üçün 621 ərizə təqdim edildi, baxmayaraq ki, 1970-ci illərdə onların sayı ayda təxminən 3-4 müraciətə qədər azaldı. Wolfschel-in rəyçisi F. Schlichtingə görə, sübutların əksəriyyəti məktəblərdə tədris olunan elementar metodlara əsaslanırdı və çox vaxt "texniki bilikləri olan, lakin uğursuz karyerası olan insanlar" kimi təqdim olunurdu. Riyaziyyat tarixçisi Hovard Avesin fikrincə, Fermanın sonuncu teoremi bir növ rekord vurdu - bu, ən yanlış sübutları olan teoremdir.

Fermatın uğurları yaponlara çatdı

Daha əvvəl müzakirə edildiyi kimi, təxminən 1955-ci ildə yapon riyaziyyatçıları Qoro Şimura və Yutaka Taniyama riyaziyyatın iki yəqin ki, tamamilə fərqli qolu - elliptik əyrilər və modul formalar arasında mümkün əlaqəni kəşf etdilər. Yaranan modulluq teoremi (o zamanlar Taniyama-Şimura konjekturası kimi tanınırdı) hər bir elliptik əyrinin modul olduğunu bildirir, yəni onun unikal modul forması ilə əlaqələndirilə bilər.

Nəzəriyyə əvvəlcə qeyri-mümkün və ya yüksək spekulyativ olaraq rədd edildi, lakin rəqəmlər nəzəriyyəçisi André Weil Yapon nəticələrini dəstəkləmək üçün dəlil tapdıqda daha ciddi qəbul edildi. Nəticədə bu fərziyyə tez-tez Taniyama-Şimura-Veyl fərziyyəsi adlandırılır. O, gələcəkdə sübuta yetirilməli olan mühüm fərziyyələrin siyahısı olan Langlands proqramının bir hissəsi oldu.

Ciddi araşdırmalardan sonra belə, bu fərziyyə müasir riyaziyyatçılar tərəfindən son dərəcə çətin və ya bəlkə də sübut etmək üçün əlçatmaz hesab edilmişdir. İndi məhz bu teorem öz həlli ilə bütün dünyanı təəccübləndirə biləcək Endryu Uaylsı gözləyir.

Fermat teoremi: Perelmanın sübutu

Ümumi mifə baxmayaraq, rus riyaziyyatçısı Qriqori Perelmanın bütün dühasına baxmayaraq, Fermat teoremi ilə heç bir əlaqəsi yoxdur. Bununla belə, bu, onun elmi ictimaiyyət qarşısındakı çoxsaylı xidmətlərindən məhrum etmir.