Mis on võrdhaarse kolmnurga kolmas nurk? Võrdhaarne kolmnurk. Üksikasjalik teooria koos näidetega. Võrdhaarse kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius

Kõigi kolmnurkade hulgas on kaks eritüüpi: täisnurksed kolmnurgad ja võrdhaarsed kolmnurgad. Miks on seda tüüpi kolmnurgad nii erilised? Noh, esiteks, sellised kolmnurgad osutuvad väga sageli esimese osa ühtse riigieksami probleemide peategelasteks. Ja teiseks, täis- ja võrdhaarsete kolmnurkade ülesandeid on palju lihtsam lahendada kui teisi geomeetriaülesandeid. Peate lihtsalt teadma mõnda reeglit ja omadust. Kõiki huvitavamaid asju käsitletakse vastavas teemas, kuid nüüd vaatame võrdkülgseid kolmnurki. Ja kõigepealt, mis on võrdhaarne kolmnurk? Või nagu matemaatikud ütlevad, mis on võrdhaarse kolmnurga määratlus?

Vaadake, kuidas see välja näeb:

Nagu täisnurksel kolmnurgal, on ka võrdhaarsel kolmnurgal külgedele erilised nimed. Nimetatakse kahte võrdset külge küljed ja kolmas osapool - alus.

Ja jälle pöörake tähelepanu pildile:

See võib muidugi olla selline:

Nii et olge ettevaatlik: külgmine külg - üks kahest võrdsest küljest võrdhaarses kolmnurgas ja aluseks on kolmas isik.

Miks on võrdhaarne kolmnurk nii hea? Selle mõistmiseks joonistame aluse kõrguse. Kas mäletate, mis on kõrgus?

Mis juhtus? Ühest võrdhaarsest kolmnurgast saame kaks ristkülikukujulist.

See on juba hea, kuid see juhtub igas, isegi kõige "kaldumas" kolmnurgas.

Mille poolest erineb pilt võrdhaarse kolmnurga puhul? Vaata uuesti:

Noh, esiteks muidugi ei piisa, kui need kummalised matemaatikud lihtsalt näevad – nad peavad kindlasti tõestama. Vastasel juhul on need kolmnurgad äkki veidi erinevad, kuid me peame neid samaks.

Kuid ärge muretsege: sel juhul tõestamine on peaaegu sama lihtne kui nägemine.

Kas alustame? Vaadake tähelepanelikult, meil on:

Ja see tähendab! Miks? Jah, me lihtsalt leiame ja Pythagorase teoreemist (samal ajal meeles pidades)

Oled sa kindel? Noh, nüüd on meil

Ja kolmel küljel - kõige lihtsam (kolmas) kolmnurkade võrdsuse märk.

Noh, meie võrdhaarne kolmnurk on jagatud kaheks identseks ristkülikukujuliseks.

Vaadake, kui huvitav see on? Selgus, et:

Kuidas matemaatikud sellest tavaliselt räägivad? Läheme järjekorras:

(Pidage meeles, et mediaan on joon, mis on tõmmatud tipust, mis jagab külje pooleks, ja poolitaja on nurk.)

Noh, siin arutasime, mida head on näha, kui anda võrdhaarne kolmnurk. Järeldasime, et võrdhaarses kolmnurgas on nurgad aluse juures võrdsed ning aluse külge tõmmatud kõrgus, poolitaja ja mediaan langevad kokku.

Ja nüüd tekib veel üks küsimus: kuidas võrdhaarset kolmnurka ära tunda? See tähendab, nagu matemaatikud ütlevad, mis on võrdhaarse kolmnurga märke?

Ja selgub, et peate lihtsalt kõik väited teistpidi "pöörama". Seda muidugi alati ei juhtu, aga võrdhaarne kolmnurk on ikka suurepärane asi! Mis saab pärast “käivet”?

No vaata:
Kui kõrgus ja mediaan langevad kokku, siis:

Kui kõrgus ja poolitaja langevad kokku, siis:


Kui poolitaja ja mediaan langevad kokku, siis:

Noh, ärge unustage ja kasutage:

• Kui teile on antud võrdhaarne kolmnurkne kolmnurk, tõmmake julgelt kõrgus, hankige kaks täisnurkset kolmnurka ja lahendage ülesanne täisnurkse kolmnurga kohta.
• Kui seda antakse kaks nurka on võrdsed, siis kolmnurk täpselt võrdhaarne ja saate joonistada kõrguse ja….(Maja, mille Jack ehitas...).
• Kui selgub, et kõrgus jagatakse pooleks, siis on kolmnurk võrdhaarne koos kõigi sellest tulenevate boonustega.
• Kui selgub, et kõrgus jagab nurga korruste vahel - see on ka võrdhaarne!
• Kui poolitaja jagab külje pooleks või mediaan nurga, siis juhtub ka see ainult võrdhaarses kolmnurgas

Vaatame, kuidas see ülesannetes välja näeb.

Probleem 1(kõige lihtsam)

Kolmnurga küljed ja on võrdsed, a. Otsi.

Otsustame:

Kõigepealt joonistus.

Mis on siin aluseks? Kindlasti,.

Tuletame meelde, mis siis, kui, siis ja.

Uuendatud joonis:

Tähistagem. Mis on kolmnurga nurkade summa? ?

Me kasutame:

See on vastus: .

Pole raske, eks? Ma ei pidanud isegi kõrgust reguleerima.

Probleem 2(Samuti pole väga keeruline, kuid peame teemat kordama)

Kolmnurgas,. Otsi.

Otsustame:

Kolmnurk on võrdhaarne! Joonistame kõrguse (see on nipp, millega nüüd kõik otsustatakse).

Teeme nüüd elust maha, vaatame seda lihtsalt.

Niisiis, meil on:

Meenutagem koosinuste tabeliväärtusi (noh, või vaadake petulehte...)

Jääb üle vaid leida: .

Vastus: .

Pange tähele, et oleme siin Väga nõutavad teadmised täisnurksete kolmnurkade ning "tabeli" siinuste ja koosinuste kohta. Väga sageli juhtub seda: teemad "Võrdhaarne kolmnurk" ja ülesanded käivad koos, kuid ei ole teiste teemadega eriti sõbralikud.

Võrdhaarne kolmnurk. Keskmine tase.

Need kaks võrdset külge kutsutakse küljed, A kolmas külg on võrdhaarse kolmnurga alus.

Vaadake pilti: ja - võrdhaarse kolmnurga küljed, - alus.

Kasutame ühte pilti, et mõista, miks see nii juhtub. Joonistame punktist kõrguse.

See tähendab, et kõik vastavad elemendid on võrdsed.

Kõik! Ühe hoobiga (kõrgusega) tõestasid nad kõik väited korraga.

Ja pidage meeles: võrdhaarse kolmnurga ülesande lahendamiseks on sageli väga kasulik langetada kõrgus võrdhaarse kolmnurga põhja ja jagada see kaheks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks.

Võrdhaarse kolmnurga märgid

Tõsi on ka vastupidised väited:

Peaaegu kõiki neid väiteid saab taas tõestada "ühe hoobiga".

1. Niisiis, sisselaskmine osutus võrdseks ja.

Kontrollime kõrgust. Siis

2. a) Nüüd lase sisse mingi kolmnurk kõrgus ja poolitaja langevad kokku.

2. b) Ja kui kõrgus ja mediaan langevad kokku? Kõik on peaaegu sama, mitte keerulisem!

- kahel küljel

2. c) Aga kui kõrgust pole, mis on langetatud võrdhaarse kolmnurga alusele, siis algselt täisnurkseid kolmnurki ei ole. Halvasti!

Kuid on väljapääs - lugege seda teooria järgmisel tasemel, kuna siin on tõestus keerulisem, kuid pidage meeles, et kui mediaan ja poolitaja langevad kokku, osutub kolmnurk ka võrdhaarseks ja kõrgus langeb ikkagi kokku nende poolitajate ja mediaanidega.

Teeme kokkuvõtte:

1. Kui kolmnurk on võrdhaarne, on nurgad aluse juures võrdsed ning aluse külge tõmmatud kõrgus, poolitaja ja mediaan langevad kokku.
2. Kui mõnes kolmnurgas on kaks võrdset nurka või mingid kaks kolmest sirgest (poolitaja, mediaan, kõrgus) langevad kokku, siis on selline kolmnurk võrdhaarne.

Võrdhaarne kolmnurk. Lühikirjeldus ja põhivalemid

Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, millel on kaks võrdset külge.

Võrdhaarse kolmnurga märgid:

1. Kui teatud kolmnurga kaks nurka on võrdsed, siis on see võrdhaarne.
2. Kui need mõnes kolmnurgas langevad kokku:
   A) kõrgus ja poolitaja või
   b) kõrgus ja mediaan või
   V) mediaan ja poolitaja,
   tõmmatud ühele küljele, siis on selline kolmnurk võrdhaarne.

Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Oled niigi parem kui valdav enamus oma eakaaslastest.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Edukaks ühtse riigieksami sooritamine, eelarvega kolledžisse sissesaamiseks ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...

Inimesed, kes said hea haridus, teenivad palju rohkem kui need, kes seda ei saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?

SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.

Eksami ajal teooriat ei küsita.

Sa vajad lahendada probleeme ajaga.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.

See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.

Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.

Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage kõik selles artiklis peidetud toimingud -
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - Osta õpik - 899 RUR

Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja juurdepääs kõigile ülesannetele ja kõigile peidetud tekstid neid saab kohe avada.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud saidi KOGU eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Lihtsalt ärge piirduge teooriaga.

“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Otsige üles probleemid ja lahendage need!

Geomeetria pole koolis lihtsalt õppeaine, milles peate saama suurepärase hinde. See on ka teadmine, mida elus sageli nõutakse. Näiteks kõrge katusega maja ehitamisel on vaja arvutada palkide paksus ja nende arv. See pole keeruline, kui tead, kuidas võrdhaarse kolmnurga kõrgust leida. Arhitektuuristruktuurid põhinevad teadmistel omadustest geomeetrilised kujundid. Hoonete kuju meenutab neid sageli visuaalselt. Egiptuse püramiidid, piimakotid, kunstilised tikandid, põhjamaalingud ja isegi pirukad – need kõik on inimest ümbritsevad kolmnurgad. Nagu Platon ütles, põhineb kogu maailm kolmnurkadel.

Võrdhaarne kolmnurk

Kolmnurk on võrdhaarne, kui sellel on kaks võrdset külge. Neid nimetatakse alati küljeks. Külge, mille mõõtmed erinevad, nimetatakse aluseks.

Põhimõisted

Nagu igal teadusel, on ka geomeetrial oma põhireeglid ja mõisted. Neid on päris palju. Vaatleme ainult neid, ilma milleta jääb meie teema mõnevõrra arusaamatuks.

Kõrgus on vastasküljega risti tõmmatud sirgjoon.

Mediaan on segment, mis on suunatud kolmnurga mis tahes tipust eranditult vastaskülje keskele.

Nurgapoolitaja on kiir, mis poolitab nurga.

Kolmnurga poolitaja on sirgjoon või õigemini segment, mis ühendab tippu vastasküljega.

Väga oluline on meeles pidada, et nurga poolitaja on tingimata kiir ja kolmnurga poolitaja on sellise kiire osa.

Nurgad põhjas

Teoreem väidab, et iga võrdhaarse kolmnurga aluse nurgad on alati võrdsed. Selle teoreemi tõestamine on väga lihtne. Mõelge illustreeritud võrdhaarsetele kolmnurk ABC, mille puhul AB = BC. Nurgast ABC on vaja joonestada poolitaja VD. Nüüd peaksime kaaluma kahte saadud kolmnurka. Tingimuse AB = BC järgi on kolmnurkade külg WD ühine ning nurgad AVD ja SVD on võrdsed, kuna WD on poolitaja. Meenutades esimest võrdsuse märki, võime julgelt järeldada, et kõnealused kolmnurgad on võrdsed. Seetõttu on kõik vastavad nurgad võrdsed. Ja muidugi küljed, kuid me tuleme selle punkti juurde hiljem tagasi.

Võrdhaarse kolmnurga kõrgus

Peamine teoreem, millel peaaegu kõigi ülesannete lahendamine põhineb, on järgmine: kõrgus võrdhaarses kolmnurgas on poolitaja ja mediaan. Selle praktilise tähenduse (või olemuse) mõistmiseks peaksite koostama abikäsiraamatu. Selleks tuleb paberist välja lõigata võrdhaarne kolmnurk. Lihtsaim viis seda teha on tavalisest märkmikulehest kastis.

Painutage saadud kolmnurk pooleks, joondades küljed. Mis juhtus? Kaks võrdset kolmnurka. Nüüd peaksite oma oletusi kontrollima. Avage saadud origami. Joonista voltimisjoon. Kontrollige nurgamõõturi abil tõmmatud joone ja kolmnurga aluse vahelist nurka. Mida tähendab 90 kraadine nurk? Et tõmmatud joon on risti. Definitsiooni järgi - kõrgus. Mõtlesime välja, kuidas võrdhaarse kolmnurga kõrgust leida. Nüüd käsitleme tipunurki. Kontrollige sama kraadiklaasi nurki, mille moodustab nüüd kõrgus. Nad on võrdsed. See tähendab, et kõrgus on ka poolitaja. Mõõtke joonlauaga relvastatud segmendid, milleks aluse kõrgus on jagatud. Nad on võrdsed. Seetõttu poolitab kõrgus võrdhaarses kolmnurgas aluse ja on mediaan.

Teoreemi tõestus

Visuaalne abivahend näitab selgelt teoreemi tõesust. Kuid geomeetria on üsna täpne teadus, nii et see nõuab tõestust.

Arvestades nurkade võrdsust aluses, tõestati kolmnurkade võrdsust. Tuletame meelde, et WD on poolitaja ning kolmnurgad AVD ja SVD on võrdsed. Järeldus oli järgmine: kolmnurga vastavad küljed ja loomulikult nurgad on võrdsed. Niisiis, BP = DM. Seetõttu on VD mediaan. Jääb üle tõestada, et VD on kõrgus. Vaadeldavate kolmnurkade võrdsuse põhjal selgub, et nurk ADV on võrdne nurgaga DDV. Kuid need kaks nurka on kõrvuti ja, nagu teate, on kokku kuni 180 kraadi. Seega, millega nad on võrdsed? Muidugi 90 kraadi. Seega on VD aluse külge tõmmatud võrdhaarse kolmnurga kõrgus. Q.E.D.

Põhijooned

• Ülesannete edukaks lahendamiseks peaksite meeles pidama võrdhaarsete kolmnurkade põhijooni. Need on justkui teoreemide vastandid.
• Kui ülesande lahendamisel leitakse, et kaks nurka on võrdsed, siis on tegemist võrdhaarse kolmnurgaga.
• Kui suudate tõestada, et mediaan on ka kolmnurga kõrgus, järeldage julgelt, et kolmnurk on võrdhaarne.
• Kui poolitaja on ühtlasi kõrgus, siis põhitunnuste põhjal liigitatakse kolmnurk võrdhaarseks.
• Ja muidugi, kui mediaan toimib ka kõrgusena, siis on selline kolmnurk võrdhaarne.

Kõrgus vormel 1

Enamik probleeme nõuab aga kõrguse aritmeetilise väärtuse leidmist. Seetõttu kaalume, kuidas leida kõrgust võrdhaarses kolmnurgas.

Pöördume tagasi ülaltoodud ABC joonise juurde, kus a on küljed, b on alus. VD on selle kolmnurga kõrgus, see on tähistatud h.

Mis on AED kolmnurk? Kuna VD on kõrgus, siis kolmnurk ABC on täisnurkne kolmnurk, mille jalg tuleb leida. Pythagorase valemit kasutades saame:

AB² = AD² + VD²

Määrates avaldise põhjal VD ja asendades varem aktsepteeritud tähistused, saame:

Н² = а² - (в/2)².

Peate juure ekstraheerima:

Н = √а² - в²/4.

Kui eemaldate ¼ juurmärgi alt, näeb valem välja järgmine:

H = ½ √4a² - b².

Nii leiate võrdhaarse kolmnurga kõrguse. Valem tuleneb Pythagorase teoreemist. Isegi kui unustate selle sümboolse tähise, saate leidmismeetodit teades alati selle tuletada.

Kõrgus vormel 2

Ülalkirjeldatud valem on põhivalem ja seda kasutatakse kõige sagedamini enamiku geomeetriliste ülesannete lahendamisel. Kuid ta pole ainuke. Mõnikord annab tingimus aluse asemel nurga väärtuse. Kuidas selliseid andmeid arvestades leida võrdhaarse kolmnurga kõrgust? Selliste probleemide lahendamiseks on soovitatav kasutada teist valemit:

kus H on aluse poole suunatud kõrgus,

a - külg,

α - nurk aluses.

Kui ülesandele on antud tipunurga väärtus, siis võrdhaarse kolmnurga kõrgus leitakse järgmiselt:

Н = а/cos (β/2),

kus H on aluse kõrgus,

β - tipu nurk,

a - pool.

Täisnurkne võrdhaarne kolmnurk

Kolmnurgal, mille tipp on 90 kraadi, on väga huvitav omadus. Mõelge ABC-le. Nagu eelmistel juhtudel, on HP kõrgus, mis on suunatud aluse poole.

Aluse nurgad on võrdsed. Nende arvutamine pole keeruline:

α = (180 - 90)/2.

Seega on nurgad aluse juures alati 45 kraadi. Nüüd kaaluge kolmnurka ADV. See on ka ristkülikukujuline. Leiame nurga AVD. Lihtsate arvutustega saame 45 kraadi. Ja seetõttu pole see kolmnurk mitte ainult täisnurkne, vaid ka võrdhaarne. Küljed AD ja HP ​​on külgmised küljed ja on üksteisega võrdsed.

Kuid pool AD ​​on samal ajal pool küljest AC. Selgub, et võrdhaarse kolmnurga kõrgus on võrdne poolega alusest ja kui see on kirjutatud valemi kujul, saame järgmise avaldise:

Seda ei tohiks unustada see valem on äärmiselt eriline juhtum ja seda saab kasutada ainult parempoolsete võrdhaarsete kolmnurkade jaoks.

Kuldsed kolmnurgad

Kuldne kolmnurk on väga huvitav. Sellel joonisel on külje ja aluse suhe võrdne väärtusega, mida nimetatakse Phidiase arvuks. Ülaosas asuv nurk on 36 kraadi, põhjas - 72 kraadi. Pythagoraslased imetlesid seda kolmnurka. Kuldse kolmnurga põhimõtted on paljude surematute meistriteoste aluseks. Tuntud on ehitatud võrdhaarsete kolmnurkade ristumiskohale. Leonardo da Vinci kasutas paljude oma loomingute puhul "kuldse kolmnurga" põhimõtet. “La Gioconda” kompositsioon põhineb just figuuridel, mis loovad korrapärase tähekujulise viisnurga.

Maal “Kubism”, üks Pablo Picasso loomingust, köidab pilku oma võrdhaarsete kolmnurkadega.

Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kahe külje pikkused on üksteisega võrdsed.

Märge. Võrdhaarse kolmnurga definitsioonist järeldub, et ka korrapärane kolmnurk on võrdhaarne. Siiski tuleb meeles pidada, et vastupidine väide ei vasta tõele.

Võrdhaarse kolmnurga omadused

Allpool toodud omadusi kasutatakse ülesannete lahendamisel. Kuna need on laialt tuntud, mõistetakse, et need ei vaja selgitusi. Seetõttu on ülesannete tekstides neile viitamine välja jäetud.

• Nurgad võrdne omavahel.
• Poolitajad, mediaanid ja kõrgused tõmmatud kolmnurga võrdsete külgede vastas asuvatest nurkadest, võrdne omavahel.
• Poolitaja, mediaan ja kõrgus, kantakse baasi, vaste omavahel.
• Sissekirjutatud ja piiritletud ringide keskpunktid asuvad kõrgusel, poolitaja ja mediaan (need langevad kokku) tõmmatud alusele.
• Nurgad, võrdhaarse kolmnurga võrdsed küljed, alati vürtsikas.

Võrdhaarse kolmnurga külgi saab arvutada valemite abil, mis väljendavad nende pikkust teiste külgede ja nurkadena, mille suurus on teada.

Võrdhaarse kolmnurga külgkülg on võrdne aluse jagatisega, mis on jagatud aluse nurga topeltkoosinusega (valem 1). Selle identiteedi saab saada koosinusteoreemi lihtsate teisendustega.

Võrdhaarse kolmnurga alus on võrdne külgkülje ja korrutisega Ruutjuur tipus oleva nurga ühtsuse ja koosinuse kahekordsest erinevusest (valem 2)

Võrdhaarse kolmnurga alus on võrdne külgkülje ja tipunurga poole siinuse kahekordse korrutisega. (Vormel 3)

Võrdhaarse kolmnurga alus on võrdne külgkülje ja aluse nurga koosinuse kahekordse korrutisega (valem 4).

Võrdhaarse kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius

Valemite nimetused on näha ülaltoodud joonisel. Võrdhaarse kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadiuse saab leida aluse ja kummagi külje väärtuste põhjal. (Vormel 1) Võrdhaarse kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadiuse saab määrata aluse väärtuste ja sellele alusele tõmmatud kõrguse põhjal (valem 2) Võrdhaarsesse kolmnurka kantud ringi raadiuse saab arvutada ka kolmnurga külje pikkuse ja kõrguse kaudu, mis on tõmmatud kolmnurga põhjani (valem 3) Külgede vahelise nurga ja aluse pikkuse teadmine võimaldab määrata ka sisse kirjutatud ringi raadiuse (valem 4) Sarnane valem (5) võimaldab teil määrata külgede kaudu kirjutatud ringi raadiuse ja nendevahelise nurga

Võrdhaarse kolmnurga märgid

Kolmnurk, millel on järgmised omadused, on võrdhaarne.

• Kolmnurga kaks nurka on võrdsed
• Kõrgus langeb kokku mediaaniga
• Kõrgus ühtib poolitajaga
• Poolitaja langeb kokku mediaaniga
• Kaks kõrgust on võrdsed
• Kaks mediaani on võrdsed
• Kaks poolitajat on võrdsed

Võrdhaarse kolmnurga pindala

Võrdhaarse kolmnurga pindala leitakse järgmiste valemite abil:

,
Kus
a- kolmnurga ühe kahest võrdsest küljest pikkus
b- põhja pikkus
α - ühe kahest võrdsest nurgast aluse suurus

β - vahelise nurga suurus võrdsed küljed kolmnurk ja selle alus vastas.

Kolmnurka, mille kaks külge on üksteisega võrdsed, nimetatakse võrdhaarseks. Neid külgi nimetatakse külgmiseks ja kolmandaks aluseks. Selles artiklis räägime teile võrdhaarse kolmnurga omadustest.

1. teoreem

Võrdhaarse kolmnurga aluse lähedal asuvad nurgad on üksteisega võrdsed

Teoreemi tõestus.

Oletame, et meil on võrdhaarne kolmnurk ABC, mille alus on AB. Vaatame kolmnurka BAC. Need kolmnurgad on esimese märgi järgi üksteisega võrdsed. See on tõsi, sest BC = AC, AC = BC, nurk ACB = nurk ACB. Sellest järeldub, et nurk BAC = nurk ABC, sest need on meie võrdsete kolmnurkade vastavad nurgad. Siin on võrdhaarse kolmnurga nurkade omadus.

2. teoreem

Võrdhaarse kolmnurga mediaan, mis on tõmmatud selle alusele, on ühtlasi kõrgus ja poolitaja

Teoreemi tõestus.

Oletame, et meil on võrdhaarne kolmnurk ABC, mille alus on AB ja CD on mediaan, mille me selle alusele tõmbasime. Kolmnurkades ACD ja BCD on nurk CAD = nurk CBD, kui vastavad nurgad võrdhaarse kolmnurga aluses (teoreem 1). Ja külg AC = külg BC (võrdhaarse kolmnurga definitsiooni järgi). Külg AD = külg BD, sest punkt D jagab lõigu AB võrdseteks osadeks. Sellest järeldub, et kolmnurk ACD = kolmnurk BCD.

Nende kolmnurkade võrdsusest saame vastavate nurkade võrdsuse. See tähendab, et nurk ACD = nurk BCD ja nurk ADC = nurk BDC. Võrdusest 1 järeldub, et CD on poolitaja. Ja nurk ADC ja nurk BDC on külgnevad nurgad ja võrdsusest 2 järeldub, et mõlemad on täisnurgad. Selgub, et CD on kolmnurga kõrgus. See on võrdhaarse kolmnurga mediaani omadus.

Ja nüüd natuke võrdhaarse kolmnurga märkidest.

3. teoreem

Kui kolmnurga kaks nurka on üksteisega võrdsed, siis on selline kolmnurk võrdhaarne

Teoreemi tõestus.

Oletame, et meil on kolmnurk ABC, mille nurk CAB = nurk CBA. Kolmnurk ABC = kolmnurk BAC vastavalt kolmnurkadevahelise võrdsuse teisele kriteeriumile. See on tõsi, sest AB = BA; nurk CBA = nurk CAB, nurk CAB = nurk CBA. Sellest kolmnurkade võrdsusest saame kolmnurga vastavate külgede võrdsuse - AC = BC. Siis selgub, et kolmnurk ABC on võrdhaarne.

4. teoreem

Kui suvalises kolmnurgas on selle mediaan ka kõrgus merepinnast, siis selline kolmnurk on võrdhaarne

Teoreemi tõestus.

Kolmnurgas ABC joonistame CD mediaani. See on ka kõrgus. Täisnurkne kolmnurk ACD = täisnurkne kolmnurk BCD, kuna jalg CD on neile ühine ja jalg AD = jalg BD. Sellest järeldub, et nende hüpotenuusid on üksteisega võrdsed, nagu võrdsete kolmnurkade vastavad osad. See tähendab, et AB = BC.

5. teoreem

Kui kolmnurga kolm külge on võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on need kolmnurgad kongruentsed

Teoreemi tõestus.

Oletame, et meil on kolmnurk ABC ja kolmnurk A1B1C1, mille küljed AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Vaatleme selle teoreemi tõestust vastuoluga.

Oletame, et need kolmnurgad ei ole üksteisega võrdsed. Siit saame, et nurk BAC ei ole võrdne nurgaga B1A1C1, nurk ABC ei ole võrdne nurgaga A1B1C1, nurk ACB ei ole samal ajal võrdne nurgaga A1C1B1. Vastasel juhul oleksid need kolmnurgad ülalpool käsitletud kriteeriumide kohaselt võrdsed.

Oletame, et kolmnurk A1B1C2 = kolmnurk ABC. Kolmnurga tipp C2 asub tipuga C1 sirge A1B1 suhtes samal pooltasandil. Eeldasime, et tipud C2 ja C1 ei lange kokku. Oletame, et punkt D on lõigu C1C2 keskpunkt. Seega on meil võrdhaarsed kolmnurgad B1C1C2 ja A1C1C2, millel on ühisosa C1C2. Selgub, et nende mediaanid B1D ja A1D on ka nende kõrgused. See tähendab, et sirge B1D ja sirge A1D on risti sirgega C1C2.

B1D-l ja A1D-l on erinevad punktid B1 ja A1 ning seetõttu ei saa need kokku langeda. Kuid läbi sirge C1C2 punkti D saame tõmmata ainult ühe joonega risti. Meil on vastuolu.

Nüüd teate, millised on võrdhaarse kolmnurga omadused!