Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək proqnozun hazırlanması. Problemin həlli nümunəsi. Xətti Cüt Reqressiya Təhlili Ən Kiçik Kvadratların Hesablanması
Eksperimental məlumatların yaxınlaşması eksperimental olaraq əldə edilmiş məlumatların ilkin dəyərlərlə (təcrübə və ya təcrübə zamanı əldə edilən məlumatlar) düyün nöqtələrində ən yaxından keçən və ya üst-üstə düşən analitik funksiya ilə əvəz edilməsinə əsaslanan bir üsuldur. Hal-hazırda analitik funksiyanı təyin etməyin iki yolu var:
Keçən n-dərəcəli interpolyasiya polinomu qurmaqla birbaşa bütün nöqtələr vasitəsilə verilmiş məlumat massivi. IN bu məsələ təxmini funksiya aşağıdakı kimi təmsil olunur: Laqranj şəklində interpolyasiya çoxhədli və ya Nyuton şəklində interpolyasiya çoxhədli.
Keçən n-dərəcəli yaxınlaşan çoxhədli qurmaqla nöqtələrə yaxındır verilmiş məlumat massivindən. Beləliklə, yaxınlaşma funksiyası təcrübə zamanı baş verə biləcək bütün təsadüfi səs-küyü (və ya səhvləri) hamarlayır: təcrübə zamanı ölçülmüş dəyərlər öz-özünə dəyişən təsadüfi amillərdən asılıdır. təsadüfi qanunlar(ölçmə və ya alət səhvləri, qeyri-dəqiqliklər və ya eksperimental xətalar). Bu zaman yaxınlaşma funksiyası metodla müəyyən edilir ən kiçik kvadratlar.
Ən kiçik kvadrat üsulu(İngilis Ədəbiyyatında Ordinary Least Squares, OLS) - riyazi üsul, verilmiş eksperimental məlumat massivindən nöqtələrə ən yaxın məsafədə qurulan yaxınlaşma funksiyasının tərifinə əsaslanır. F(x) başlanğıc və yaxınlaşma funksiyalarının yaxınlığı ədədi ölçü ilə müəyyən edilir, yəni: təcrübi məlumatların F(x) yaxınlaşma əyrisindən kvadratik kənarlaşmalarının cəmi ən kiçik olmalıdır.
Ən kiçik kvadratlar üsulu ilə qurulmuş uyğunlaşma əyrisi
Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə olunur:
Tənliklərin sayı naməlumların sayından çox olduqda artıq təyin olunmuş tənlik sistemlərini həll etmək;
Adi vəziyyətdə bir həll tapmaq üçün (əlavə edilmir) qeyri-xətti sistemlər tənliklər;
Bəzi yaxınlaşma funksiyası ilə nöqtə dəyərlərini təxmin etmək üçün.
Ən kiçik kvadratlar üsulu ilə yaxınlaşma funksiyası verilmiş eksperimental məlumat massivindən hesablanmış yaxınlaşma funksiyasının kvadratik sapmalarının minimum cəminin şərtindən müəyyən edilir. Ən kiçik kvadratlar metodunun bu kriteriyası aşağıdakı ifadə kimi yazılır:
Düyün nöqtələrində hesablanmış yaxınlaşma funksiyasının dəyərləri,
Düyün nöqtələrində eksperimental məlumatların müəyyən edilmiş massivi.
Kvadrat meyar çoxhədli yaxınlaşma funksiyaları ilə yaxınlaşma məsələsinin unikal həllini təmin edən diferensiallıq kimi bir sıra "yaxşı" xüsusiyyətlərə malikdir.
Məsələnin şərtlərindən asılı olaraq, yaxınlaşma funksiyası m dərəcə çoxhədlidir
Təxmini funksiyanın dərəcəsi düyün nöqtələrinin sayından asılı deyil, lakin onun ölçüsü həmişə verilmiş eksperimental məlumat massivinin ölçüsündən (nöqtələrin sayından) az olmalıdır.
∙ Əgər yaxınlaşma funksiyasının dərəcəsi m=1 olarsa, onda cədvəl funksiyasını düz xəttlə (xətti reqressiya) yaxınlaşdırırıq.
∙ Əgər yaxınlaşma funksiyasının dərəcəsi m=2 olarsa, onda biz cədvəl funksiyasını kvadrat parabola (kvadrat yaxınlaşma) ilə yaxınlaşdırırıq.
∙ Əgər yaxınlaşma funksiyasının dərəcəsi m=3 olarsa, o zaman cədvəl funksiyasını kub parabola (kub yaxınlaşması) ilə yaxınlaşdırırıq.
Ümumi halda, verilmiş cədvəl qiymətləri üçün m dərəcəsinin təqribi çoxhədlinin qurulması tələb olunduqda, bütün düyün nöqtələri üzərində kvadrat sapmaların minimum cəminin şərti aşağıdakı formada yenidən yazılır:
- m dərəcəsinin yaxınlaşan çoxhədlinin naməlum əmsalları;
Göstərilən cədvəl dəyərlərinin sayı.
Bir funksiyanın minimumunun olması üçün zəruri şərt onun naməlum dəyişənlərə münasibətdə qismən törəmələrinin sıfıra bərabər olmasıdır. . Nəticədə aşağıdakı tənliklər sistemini əldə edirik:
Gəlin yaranan xətti tənliklər sistemini çevirək: mötərizələri açın və sərbəst şərtləri ifadənin sağ tərəfinə keçirin. Nəticədə xətti cəbri ifadələr sistemi aşağıdakı formada yazılacaqdır:
Bu xətti cəbri ifadələr sistemi matris şəklində yenidən yazıla bilər:
Nəticə bir sistem oldu xətti tənliklər m+1 naməlumlardan ibarət olan m+1 ölçüsü. Bu sistem xətti cəbri tənliklərin həlli üçün istənilən üsuldan istifadə etməklə həll edilə bilər (məsələn, Gauss üsulu). Həlli nəticəsində yaxınlaşma funksiyasının ilkin verilənlərdən kvadratik sapmalarının minimum cəmini təmin edən yaxınlaşma funksiyasının naməlum parametrləri tapılacaq, yəni. mümkün olan ən yaxşı kvadratik yaxınlaşma. Yadda saxlamaq lazımdır ki, ilkin məlumatların hətta bir dəyəri dəyişərsə, bütün əmsallar öz dəyərlərini dəyişəcək, çünki onlar tamamilə ilkin məlumatlarla müəyyən edilir.
İlkin məlumatların xətti asılılıqla yaxınlaşması
(xətti reqressiya)
Nümunə olaraq xətti əlaqə kimi verilən yaxınlaşma funksiyasının təyini metodunu nəzərdən keçirək. Ən kiçik kvadratlar metoduna uyğun olaraq, kvadratdan kənara çıxmaların minimum cəminin şərti aşağıdakı kimi yazılır:
Cədvəlin düyün nöqtələrinin koordinatları;
Xətti əlaqə kimi verilən yaxınlaşma funksiyasının naməlum əmsalları.
Funksiyanın minimumunun olması üçün zəruri şərt onun naməlum dəyişənlərə münasibətdə qismən törəmələrinin sıfıra bərabər olmasıdır. Nəticədə aşağıdakı tənliklər sistemini əldə edirik:
Əldə olunan xətti tənliklər sistemini çevirək.
Yaranan xətti tənliklər sistemini həll edirik. Analitik formada yaxınlaşma funksiyasının əmsalları aşağıdakı kimi müəyyən edilir (Kramer metodu):
Bu əmsallar verilmiş cədvəl qiymətlərindən (təcrübə məlumatları) yaxınlaşma funksiyasının kvadratlarının cəmini minimuma endirmək meyarına uyğun olaraq xətti yaxınlaşma funksiyasının qurulmasını təmin edir.
Ən kiçik kvadratlar metodunun həyata keçirilməsi alqoritmi
1. İlkin məlumatlar:
Ölçmələrin sayı N olan bir sıra eksperimental məlumatları nəzərə alaraq
Təqribən çoxhədlinin dərəcəsi (m) verilmişdir
2. Hesablama alqoritmi:
2.1. Ölçüsü olan tənliklər sisteminin qurulması üçün əmsallar müəyyən edilir
Tənliklər sisteminin əmsalları (tənliyin sol tərəfi)
- tənliklər sisteminin kvadrat matrisinin sütun nömrəsinin indeksi
Xətti tənliklər sisteminin sərbəst üzvləri (tənliyin sağ tərəfi)
- tənliklər sisteminin kvadrat matrisinin sıra nömrəsinin indeksi
2.2. Ölçü ilə xətti tənliklər sisteminin formalaşması.
2.3. m dərəcəyə yaxın olan çoxhədlinin naməlum əmsallarını təyin etmək üçün xətti tənliklər sisteminin həlli.
2.4 Bütün düyün nöqtələri üzərində təxmini polinomun ilkin qiymətlərdən kvadrat sapmalarının cəminin təyini
Kvadrat sapmaların cəminin tapılan dəyəri mümkün olan minimumdur.
Digər funksiyalarla yaxınlaşma
Qeyd etmək lazımdır ki, ilkin verilənləri ən kiçik kvadratlar metoduna uyğun olaraq yaxınlaşdırarkən bəzən yaxınlaşma funksiyası kimi loqarifmik funksiya, eksponensial funksiya və güc funksiyasından istifadə olunur.
Giriş təxmini
Təxmini funksiyanın verildiyi halı nəzərdən keçirək loqarifmik funksiya növü:
Ən kiçik kvadratlar metodunun mahiyyəti ondan ibarətdir zaman və ya məkanda hansısa təsadüfi hadisənin inkişaf tendensiyasını ən yaxşı təsvir edən trend modelinin parametrlərinin tapılmasında (trend bu inkişafın tendensiyasını xarakterizə edən xəttdir). Ən kiçik kvadratlar metodunun (OLS) vəzifəsi yalnız bəzi trend modelini tapmaq deyil, ən yaxşı və ya optimal modeli tapmaqdır. Müşahidə olunan faktiki dəyərlər və müvafiq hesablanmış trend dəyərləri arasındakı kvadrat sapmaların cəmi minimal (ən kiçik) olarsa, bu model optimal olacaqdır:
müşahidə olunan faktiki dəyər arasındakı standart kənarlaşma haradadır
və müvafiq hesablanmış trend dəyəri,
Tədqiq olunan hadisənin faktiki (müşahidə olunan) dəyəri,
Trend modelinin təxmini dəyəri,
Tədqiq olunan fenomenin müşahidələrinin sayı.
MNC nadir hallarda tək başına istifadə olunur. Bir qayda olaraq, çox vaxt korrelyasiya tədqiqatlarında yalnız zəruri bir texnika kimi istifadə olunur. Yadda saxlamaq lazımdır ki, LSM-in məlumat bazası yalnız etibarlı statistik sıra ola bilər və müşahidələrin sayı 4-dən az olmamalıdır, əks halda LSM-nin hamarlaşdırma prosedurları öz sağlam düşüncəsini itirə bilər.
OLS alət dəsti aşağıdakı prosedurlara endirilir:
Birinci prosedur. Seçilmiş amil-arqument dəyişdikdə nəticə atributunu dəyişmək meylinin ümumiyyətlə olub-olmaması və ya başqa sözlə, " arasında əlaqənin olub-olmadığı ortaya çıxır. saat "Və" X ».
İkinci prosedur. Hansı xəttin (trayektoriyanın) bu tendensiyanı daha yaxşı təsvir edə və ya xarakterizə edə bildiyi müəyyən edilir.
Üçüncü prosedur.
Misal. Tutaq ki, tədqiq olunan təsərrüfat üzrə günəbaxanın orta məhsuldarlığı haqqında məlumatımız var (cədvəl 9.1).
Cədvəl 9.1
|
Müşahidə nömrəsi |
||||||||||
|
Məhsuldarlıq, c/ha |
Son 10 ildə ölkəmizdə günəbaxan istehsalında texnologiyanın səviyyəsi o qədər də dəyişmədiyindən, bu o deməkdir ki, çox güman ki, təhlil edilən dövrdə məhsuldarlığın dəyişməsi hava və iqlim şəraitinin dəyişməsindən çox asılı olub. Doğrudurmu?
İlk MNC proseduru. Təhlil edilən 10 il ərzində hava və iqlim şəraitinin dəyişməsindən asılı olaraq günəbaxan məhsuldarlığında dəyişiklik tendensiyası ilə bağlı fərziyyə yoxlanılır.
Bu misalda " y » günəbaxan məhsulunu götürmək məsləhətdir və « üçün x » təhlil edilən dövrdə müşahidə olunan ilin sayıdır. arasında hər hansı bir əlaqənin olması haqqında fərziyyənin sınaqdan keçirilməsi " x "Və" y » iki yolla edilə bilər: əl ilə və kompüter proqramlarının köməyi ilə. Təbii ki, kompüter texnologiyasının mövcudluğu ilə bu problem öz-özünə həll olunur. Lakin, OLS alət dəstini daha yaxşı başa düşmək üçün " arasında əlaqənin mövcudluğu haqqında fərziyyəni yoxlamaq məsləhətdir" x "Və" y » əl ilə, yalnız qələm və adi kalkulyator əlinizdə olduqda. Belə hallarda, trendin mövcudluğu fərziyyəsi ən yaxşı şəkildə vizual olaraq təhlil edilən zaman seriyasının qrafik təsvirinin yeri - korrelyasiya sahəsi ilə yoxlanılır:
Nümunəmizdəki korrelyasiya sahəsi yavaş-yavaş yüksələn xətt ətrafında yerləşir. Bu, özlüyündə günəbaxan məhsuldarlığının dəyişməsində müəyyən tendensiyanın mövcudluğundan xəbər verir. Yalnız korrelyasiya sahəsi dairə, dairə, ciddi şaquli və ya ciddi üfüqi bulud kimi göründükdə və ya təsadüfi səpələnmiş nöqtələrdən ibarət olduqda hər hansı bir tendensiyanın mövcudluğundan danışmaq mümkün deyil. Bütün digər hallarda, arasında əlaqənin mövcudluğu fərziyyəsini təsdiqləmək lazımdır " x "Və" y və araşdırmalara davam edin.
İkinci MNC proseduru. Təhlil edilən dövr üçün günəbaxan məhsuldarlığının dəyişmə tendensiyasını hansı xəttin (trayektoriya) daha yaxşı təsvir və ya xarakterizə edə bildiyi müəyyən edilir.
Kompüter texnologiyasının mövcudluğu ilə optimal tendensiyanın seçilməsi avtomatik olaraq baş verir. "Əl ilə" emal ilə optimal funksiyanın seçimi, bir qayda olaraq, vizual şəkildə - korrelyasiya sahəsinin yeri ilə həyata keçirilir. Yəni, qrafikin növünə görə, empirik tendensiyaya (faktiki trayektoriyaya) ən uyğun olan xəttin tənliyi seçilir.
Bildiyiniz kimi, təbiətdə çox sayda funksional asılılıq var, buna görə də onların kiçik bir hissəsini vizual olaraq təhlil etmək olduqca çətindir. Xoşbəxtlikdən, real iqtisadi praktikada əksər münasibətlər ya parabola, ya hiperbola, ya da düz xətt ilə dəqiq təsvir edilə bilər. Bu baxımdan, ən yaxşı funksiyanı seçmək üçün "əl ilə" seçimi ilə özünüzü yalnız bu üç modellə məhdudlaşdıra bilərsiniz.
|
Hiperbola: |
||
|
|
|
İkinci dərəcəli parabola: 
:
Görmək asandır ki, bizim nümunəmizdə günəbaxan məhsuldarlığının təhlil edilən 10 il ərzində dəyişmə meyli ən yaxşı düz xətt ilə xarakterizə olunur, ona görə də reqressiya tənliyi düz xətt tənliyi olacaqdır.
Üçüncü prosedur. Bu xətti xarakterizə edən reqressiya tənliyinin parametrləri hesablanır və ya başqa sözlə, ən yaxşı trend modelini təsvir edən analitik düstur müəyyən edilir.
Reqressiya tənliyinin parametrlərinin dəyərlərini tapmaq, bizim vəziyyətimizdə və parametrləri LSM-nin əsasını təşkil edir. Bu proses normal tənliklər sisteminin həllinə qədər endirilir.
(9.2)
Bu tənliklər sistemi Gauss metodu ilə olduqca asanlıqla həll olunur. Xatırladaq ki, həll nəticəsində, nümunəmizdə parametrlərin dəyərləri tapılır. Beləliklə, tapılan reqressiya tənliyi aşağıdakı formaya sahib olacaq: 
Ekstrapolyasiya bir üsuldur elmi araşdırma, bu, keçmiş və indiki tendensiyaların, qanunauyğunluqların, proqnozlaşdırma obyektinin gələcək inkişafı ilə əlaqələrin paylanmasına əsaslanır. Ekstrapolyasiya üsulları daxildir hərəkətli ortalama metodu, eksponensial hamarlama üsulu, ən kiçik kvadratlar üsulu.
mahiyyət ən kiçik kvadratlar üsulu müşahidə edilən və hesablanmış qiymətlər arasında kvadrat kənarlaşmaların cəminin minimuma endirilməsindən ibarətdir. Hesablanmış dəyərlər seçilmiş tənliyə - reqressiya tənliyinə uyğun olaraq tapılır. Həqiqi dəyərlərlə hesablanmış dəyərlər arasındakı məsafə nə qədər kiçik olsa, reqressiya tənliyinə əsaslanan proqnoz bir o qədər dəqiqdir.
Tədqiq olunan hadisənin mahiyyətinin nəzəri təhlili, dəyişməsi zaman seriyası ilə göstərilir, əyrinin seçilməsi üçün əsas rolunu oynayır. Serialın səviyyələrinin artımının xarakteri ilə bağlı mülahizələr bəzən nəzərə alınır. Beləliklə, əgər məhsul istehsalının artımı gözlənilir arifmetik irəliləyiş, sonra hamarlama düz xətt üzrə aparılır. Artımın eksponensial olduğu ortaya çıxarsa, o zaman hamarlama eksponensial funksiyaya uyğun aparılmalıdır.
Ən kiçik kvadratlar metodunun iş düsturu : Y t+1 = a*X + b, burada t + 1 proqnoz dövrüdür; Уt+1 – proqnozlaşdırılan göstərici; a və b - əmsallar; X - zaman simvolu.
a və b əmsalları aşağıdakı düsturlara əsasən hesablanır:
burada, Uf - dinamika seriyasının faktiki dəyərləri; n - zaman seriyasındakı səviyyələrin sayı;
Zaman sıralarının ən kiçik kvadratlar üsulu ilə hamarlanması tədqiq olunan hadisənin inkişaf qanunauyğunluqlarını əks etdirməyə xidmət edir. Trendin analitik ifadəsində zaman müstəqil dəyişən kimi qəbul edilir və seriyanın səviyyələri bu müstəqil dəyişənin funksiyası kimi çıxış edir.
Bir fenomenin inkişafı başlanğıc nöqtəsindən neçə il keçməsindən deyil, onun inkişafına hansı amillərin, hansı istiqamətdə və hansı intensivliklə təsir etməsindən asılıdır. Buradan aydın olur ki, hadisənin zamanla inkişafı bu amillərin təsiri nəticəsində meydana çıxır.
Əyri növünün, zamandan analitik asılılığın növünün düzgün təyin edilməsi əvvəlcədən proqnozlaşdırıcı təhlilin ən çətin vəzifələrindən biridir. .
Parametrləri ən kiçik kvadratlar metodu ilə təyin olunan trendi təsvir edən funksiya növünün seçilməsi əksər hallarda bir sıra funksiyaların qurulması və onların orta kökün dəyəri ilə bir-biri ilə müqayisəsi yolu ilə empirik olur. - düsturla hesablanan kvadrat xəta:
burada Uf - dinamika seriyasının faktiki dəyərləri; Ur – zaman seriyasının hesablanmış (hamarlanmış) dəyərləri; n - zaman seriyasındakı səviyyələrin sayı; p - trendi (inkişaf tendensiyası) təsvir edən düsturlarda müəyyən edilmiş parametrlərin sayıdır.
Ən kiçik kvadratlar metodunun çatışmazlıqları :
- riyazi tənlikdən istifadə etməklə tədqiq olunan iqtisadi hadisəni təsvir etməyə çalışarkən, proqnoz qısa müddət ərzində dəqiq olacaq və yeni məlumatlar əldə olunduqca reqressiya tənliyi yenidən hesablanmalıdır;
- standart kompüter proqramlarından istifadə etməklə həll edilə bilən reqressiya tənliyinin seçiminin mürəkkəbliyi.
Proqnoz hazırlamaq üçün ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə nümunəsi
Tapşırıq . Regionda işsizliyin səviyyəsini xarakterizə edən məlumatlar var, %
- Noyabr, dekabr, yanvar ayları üçün regionda işsizlik səviyyəsinin proqnozunu qurun: hərəkətli ortalama, eksponensial hamarlaşdırma, ən kiçik kvadratlar.
- Hər bir metoddan istifadə etməklə nəticələnən proqnozlardakı səhvləri hesablayın.
- Əldə olunan nəticələri müqayisə edin, nəticə çıxarın.
Ən kiçik kvadratların həlli
Həll üçün lazımi hesablamaları aparacağımız bir cədvəl tərtib edəcəyik:
Zaman simvolunu proqnoz bazasının dövrlərinin ardıcıl nömrələnməsi kimi müəyyən edək (sütun 3). 4 və 5 sütunlarını hesablayın. Ur seriyasının dəyərlərini hesablayın Y t + 1 = a * X + b düsturu ilə müəyyən ediləcək, burada t + 1 proqnoz dövrüdür; Уt+1 – proqnozlaşdırılan göstərici; a və b - əmsallar; X - zaman simvolu.
a və b əmsalları aşağıdakı düsturlarla müəyyən edilir:
burada, Uf - dinamika seriyasının faktiki dəyərləri; n zaman seriyasındakı səviyyələrin sayıdır.
a = / = - 0,17
b \u003d 22,13 / 10 - (-0,17) * 55/10 \u003d 3,15
Düsturdan istifadə edərək orta nisbi səhvi hesablayırıq:
ε = 28,63/10 = 2,86% proqnozun dəqiqliyi yüksək.
Nəticə : Hesablamalarda alınan nəticələrin müqayisəsi hərəkətli ortalama metodu , eksponensial hamarlama və ən kiçik kvadratlar metodu ilə deyə bilərik ki, eksponensial hamarlama üsulu ilə hesablamalarda orta nisbi xəta 20-50% daxilində olur. Bu o deməkdir ki, bu halda proqnozun dəqiqliyi yalnız qənaətbəxşdir.
Birinci və üçüncü hallarda proqnozun dəqiqliyi yüksəkdir, çünki orta nisbi səhv 10%-dən azdır. Lakin hərəkətli ortalama metodu daha etibarlı nəticələr əldə etməyə imkan verdi (noyabr üçün proqnoz - 1,52%, dekabr üçün proqnoz - 1,53%, yanvar üçün proqnoz - 1,49%), çünki bu metoddan istifadə edərkən orta nisbi səhv ən kiçikdir - 1 ,13%.
Parametrlərinin aydın iqtisadi şərhi şəklində ekonometriyada geniş istifadə olunur.
Xətti reqressiya formanın tənliyini tapmaq üçün azaldılır
və ya
Tip tənliyi verilmiş parametr dəyərlərinə imkan verir X amilin faktiki qiymətlərini ona əvəz etməklə effektiv xüsusiyyətin nəzəri dəyərlərinə malikdir X.
Xətti reqressiyanın qurulması onun parametrlərini təxmin etməyə gəlir - A Və V. Xətti reqressiya parametrlərinin təxminləri müxtəlif üsullarla tapıla bilər.
Xətti reqressiya parametrlərinin qiymətləndirilməsinə klassik yanaşma əsaslanır ən kiçik kvadratlar(MNK).
LSM bu cür parametr təxminlərini əldə etməyə imkan verir A Və V, bunun altında nəticələnən əlamətin faktiki dəyərlərinin kvadratik sapmalarının cəmidir (y) hesablanmışdan (nəzəri) Minimum:
Funksiyanın minimumunu tapmaq üçün hər bir parametrə görə qismən törəmələri hesablamaq lazımdır. A Və b və onları sıfıra bərabərləşdirin.
S ilə işarələyin, sonra:
Düsturu çevirərək, parametrləri qiymətləndirmək üçün aşağıdakı normal tənliklər sistemini əldə edirik A Və V:
Normal tənliklər sistemini (3.5) ya dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılması üsulu ilə, ya da determinantlar üsulu ilə həll edərək, biz istədiyiniz parametr qiymətləndirmələrini tapırıq. A Və V.
Parametr V reqressiya əmsalı adlanır. Onun dəyəri faktorun bir vahid dəyişməsi ilə nəticənin orta dəyişməsini göstərir.
Reqressiya tənliyi həmişə əlaqənin sıxlığının göstəricisi ilə tamamlanır. Xətti reqressiyadan istifadə edərkən xətti korrelyasiya əmsalı belə göstərici kimi çıxış edir. Xətti korrelyasiya əmsalı düsturunun müxtəlif modifikasiyaları mövcuddur. Onlardan bəziləri aşağıda verilmişdir:
Bildiyiniz kimi, xətti korrelyasiya əmsalı hədlər daxilindədir: -1 ≤ ≤ 1.
Seçim keyfiyyətini qiymətləndirmək üçün xətti funksiya kvadrat hesablanır
Xətti korrelyasiya əmsalı adlanır təyin əmsalı. Determinasiya əmsalı effektiv əlamətin dispersiyasının nisbətini xarakterizə edir y, nəticələnən əlamətin ümumi dispersiyasında reqressiya ilə izah olunur:
Müvafiq olaraq, dəyər 1 - dispersiya nisbətini xarakterizə edir y, modeldə nəzərə alınmayan digər amillərin təsiri nəticəsində yaranır.
Özünə nəzarət üçün suallar
1. Ən kiçik kvadratlar metodunun mahiyyəti?
2. Neçə dəyişən cüt reqressiyanı təmin edir?
3. Dəyişikliklər arasında əlaqənin sıxlığını hansı əmsal müəyyən edir?
4. Determinasiya əmsalı hansı hüdudlarda müəyyən edilir?
5. Korrelyasiya-reqressiya təhlilində b parametrinin qiymətləndirilməsi?
1. Kristofer Dougherty. Ekonometriyaya giriş. - M.: İNFRA - M, 2001 - 402 s.
2. S.A. Borodiç. Ekonometriya. Minsk MMC "Yeni Bilik" 2001.
3. R.U. Raxmetov Qısa kurs ekonometriyada. Dərslik. Almatı. 2004. -78s.
4. İ.İ. Eliseeva, Ekonometriya. - M.: "Maliyyə və statistika", 2002
5. Aylıq məlumat və analitik jurnal.
Qeyri-xətti iqtisadi modellər. Qeyri-xətti reqressiya modelləri. Dəyişən çevrilmə.
Qeyri-xətti iqtisadi modellər. .
Dəyişən çevrilmə.
elastiklik əmsalı.
İqtisadi hadisələr arasında qeyri-xətti əlaqələr varsa, onlar uyğun qeyri-xətti funksiyalardan istifadə etməklə ifadə edilir: məsələn, bərabərtərəfli hiperbola. , ikinci dərəcəli parabolalar və s.
Qeyri-xətti reqressiyaların iki sinfi var:
1. Təhlilə daxil edilmiş izahedici dəyişənlərə görə qeyri-xətti, lakin təxmin edilən parametrlərə görə xətti olan reqressiyalar, məsələn:
Müxtəlif dərəcəli polinomlar - , ;
bərabərtərəfli hiperbola - ;
Yarımqarifmik funksiya - .
2. Təxmin edilən parametrlərdə qeyri-xətti olan reqressiyalar, məsələn:
Güc - ;
Nümayişli -;
Eksponensial - .
Yaranan atributun fərdi dəyərlərinin kvadrat sapmalarının ümumi cəmi saat orta qiymətdən bir çox amillərin təsiri ilə yaranır. Bütün səbəbləri şərti olaraq iki qrupa ayırırıq: x amili öyrənildi Və digər amillər.
Əgər amil nəticəyə təsir etmirsə, onda qrafikdəki reqressiya xətti oxa paraleldir Oh Və
Sonra yaranan atributun bütün dispersiyası digər amillərin təsiri ilə bağlıdır və kvadrat sapmaların ümumi cəmi qalıq ilə üst-üstə düşəcəkdir. Əgər digər amillər nəticəyə təsir etmirsə, deməli bağladın ilə X funksional olaraq və kvadratların qalıq cəmi sıfırdır. Bu halda reqressiya ilə izah edilən kvadrat sapmaların cəmi kvadratların ümumi cəmi ilə eynidir.
Korrelyasiya sahəsinin bütün nöqtələri reqressiya xəttində olmadığından, onların səpələnməsi həmişə faktorun təsiri ilə baş verir. X, yəni reqressiya saat By X, və digər səbəblərin təsiri nəticəsində yaranır (açıqlana bilməyən variasiya). Reqressiya xəttinin proqnoz üçün uyğunluğu əlamətin ümumi dəyişməsinin hansı hissəsindən asılıdır. saat izah edilən dəyişikliyi nəzərə alır
Aydındır ki, əgər reqressiyaya görə kvadratik sapmaların cəmi kvadratların qalıq cəmindən böyükdürsə, reqressiya tənliyi statistik cəhətdən əhəmiyyətlidir və faktor X nəticəyə əhəmiyyətli təsir göstərir. y.
, yəni xüsusiyyətin müstəqil dəyişmə azadlığının sayı ilə. Sərbəstlik dərəcələrinin sayı əhali vahidlərinin sayı n və ondan müəyyən edilən sabitlərin sayı ilə bağlıdır. Tədqiq olunan problemə münasibətdə sərbəstlik dərəcələrinin sayı ondan nə qədər müstəqil sapma olduğunu göstərməlidir P
köməyi ilə bütövlükdə reqressiya tənliyinin əhəmiyyətinin qiymətləndirilməsi verilir F- Fişerin kriteriyası. Bu halda, reqressiya əmsalının sıfıra bərabər olduğu sıfır hipotezası irəli sürülür, yəni. b= 0 və buna görə də faktor X nəticəyə təsir etmir y.
F-kriteriyasının birbaşa hesablanmasından əvvəl dispersiya təhlili aparılır. Onda mərkəzi yeri parçalanma tutur ümumi miqdar dəyişənin kvadratik sapmaları saat orta dəyərdən saat iki hissəyə - "izah edilən" və "izahsız":
Kvadrat sapmaların ümumi cəmi;
Reqressiya ilə izah edilən sapma kvadratlarının cəmi;
Kvadrat sapmanın qalıq cəmi.
Kvadrat sapmaların istənilən cəmi sərbəstlik dərəcələrinin sayı ilə bağlıdır , yəni xüsusiyyətin müstəqil dəyişmə azadlığının sayı ilə. Sərbəstlik dərəcələrinin sayı əhali vahidlərinin sayı ilə bağlıdır n və ondan müəyyən edilən sabitlərin sayı ilə. Tədqiq olunan problemə münasibətdə sərbəstlik dərəcələrinin sayı ondan nə qədər müstəqil sapma olduğunu göstərməlidir P mümkün kvadratların verilmiş cəmini yaratmaq üçün tələb olunur.
Sərbəstlik dərəcəsinə görə dispersiyaD.
F nisbətləri (F-meyarı):
Əgər sıfır hipotezi doğrudursa, onda amil və qalıq dispersiya bir-birindən fərqlənmir. H 0 üçün təkzib lazımdır ki, amil fərqi qalıqdan bir neçə dəfə artıq olsun. İngilis statistik Snedecor kritik dəyərlər cədvəllərini işləyib hazırladı F-null hipotezinin müxtəlif əhəmiyyət səviyyələrində əlaqələr və müxtəlif nömrələr sərbəstlik dərəcələri. Cədvəl dəyəri F-kriteriya, sıfır fərziyyənin mövcudluğu ehtimalının verilmiş səviyyəsi üçün təsadüfi ayrıldıqları halda baş verə biləcək dispersiyaların nisbətinin maksimum qiymətidir. Hesablanmış dəyər F- o cədvəldəkindən böyükdürsə, əlaqə etibarlı hesab olunur.
Bu halda, əlamətlər əlaqəsinin olmaması haqqında sıfır fərziyyə rədd edilir və bu əlaqənin əhəmiyyəti haqqında bir nəticə çıxarılır: F fakt > F cədvəli H 0 rədd edilir.
Dəyər cədvəldən azdırsa F fakt ‹, F cədvəli, onda sıfır fərziyyənin ehtimalı verilmiş səviyyədən yüksəkdir və əlaqənin mövcudluğu haqqında yanlış nəticə çıxarmaq üçün ciddi risk olmadan onu rədd etmək olmaz. Bu halda reqressiya tənliyi statistik əhəmiyyətsiz hesab olunur. N o sapmır.
Reqressiya əmsalının standart xətası
Reqressiya əmsalının əhəmiyyətini qiymətləndirmək üçün onun dəyəri standart xəta ilə müqayisə edilir, yəni faktiki dəyər müəyyən edilir. t-Tələbə testi: daha sonra müəyyən bir əhəmiyyət səviyyəsində və sərbəstlik dərəcələrinin sayı ilə cədvəl dəyəri ilə müqayisə edilir ( n- 2).
Parametr standart xətası A:
Xətti korrelyasiya əmsalının əhəmiyyəti xətanın böyüklüyünə əsasən yoxlanılır korrelyasiya əmsalı r:
Xüsusiyyətin ümumi fərqi X:
Çox xətti reqressiya
Modelin qurulması
Çoxsaylı reqressiya nəticə xüsusiyyətinin iki və ilə reqressiyasıdır böyük rəqəm amillər, yəni görünüş modeli
Tədqiqat obyektinə təsir edən digər amillərin təsirini nəzərə almamaq olarsa, reqressiya modelləşdirmədə yaxşı nəticə verə bilər. Fərdi iqtisadi dəyişənlərin davranışını idarə etmək mümkün deyil, yəni tədqiq olunan bir amilin təsirini qiymətləndirmək üçün bütün digər şərtlərin bərabərliyini təmin etmək mümkün deyil. Bu vəziyyətdə, digər amillərin təsirini modelə daxil etməklə müəyyən etməyə çalışmalısınız, yəni çoxlu reqressiya tənliyi qurmalısınız: y = a+b 1 x 1 +b 2 +…+b p x p + .
Çoxsaylı reqressiyanın əsas məqsədi onların hər birinin fərdi olaraq təsirini, eləcə də modelləşdirilmiş göstəriciyə kumulyativ təsirini müəyyən etməklə çoxlu sayda amildən ibarət model qurmaqdır. Modelin spesifikasiyası iki sual sahəsini əhatə edir: amillərin seçilməsi və reqressiya tənliyinin növünün seçimi.
Ən kiçik kvadrat üsulu reqressiya tənliyinin parametrlərini qiymətləndirmək üçün istifadə olunur.Xüsusiyyətlər arasında stoxastik əlaqələrin öyrənilməsi üsullarından biri reqressiya təhlilidir.
Reqressiya təhlili başqa (və ya digər) dəyişənlərin (xüsusiyyət faktorlarının) qiyməti məlum olduqda təsadüfi dəyişənin (xüsusiyyət-nəticə) orta qiymətini tapmaq üçün istifadə olunan reqressiya tənliyinin törəməsini təmsil edir. Buraya aşağıdakı addımlar daxildir:
- əlaqə formasının seçimi (analitik reqressiya tənliyinin növü);
- tənliyin parametrlərinin qiymətləndirilməsi;
- analitik reqressiya tənliyinin keyfiyyətinin qiymətləndirilməsi.
Xətti cüt münasibətdə reqressiya tənliyi aşağıdakı formanı alacaq: y i =a+b·x i +u i . Seçimlər verilmiş tənlik a və b məlumatlar əsasında təxmin edilir statistik müşahidə x və y. Belə qiymətləndirmənin nəticəsi tənlikdir: , burada , - a və b parametrlərinin təxminləri , - reqressiya tənliyi (hesablanmış dəyər) ilə alınan effektiv əlamətin (dəyişən) qiyməti.
Parametrlərin qiymətləndirilməsi üçün ən çox istifadə olunur Ən kiçik kvadratlar metodu (LSM).
Ən kiçik kvadratlar metodu reqressiya tənliyinin parametrlərinin ən yaxşı (ardıcıl, səmərəli və qərəzsiz) qiymətləndirmələrini verir. Lakin yalnız təsadüfi termin (u) və müstəqil dəyişən (x) haqqında müəyyən fərziyyələr yerinə yetirildikdə (OLS fərziyyələrinə baxın).
Ən kiçik kvadratlar üsulu ilə xətti cüt tənliyin parametrlərinin qiymətləndirilməsi məsələsi aşağıdakılardan ibarətdir: parametrlərin belə təxminlərini əldə etmək üçün , effektiv xüsusiyyətin faktiki dəyərlərinin kvadratik sapmalarının cəminin - y i hesablanmış dəyərlərdən - minimal olduğu.
Formal olaraq OLS meyarı belə yazmaq olar: 
.
Ən kiçik kvadratlar üsullarının təsnifatı
- Ən kiçik kvadrat üsulu.
- Maksimum ehtimal üsulu (normal klassik xətti reqressiya modeli üçün reqressiya qalıqlarının normallığı nəzərdə tutulur).
- GLSM-in ümumiləşdirilmiş ən kiçik kvadratlar metodu səhv avtokorrelyasiya və heteroskedastiklik vəziyyətində istifadə olunur.
- Çəkili ən kiçik kvadratlar üsulu (heteroskedastik qalıqlarla GLSM-in xüsusi halı).
Mahiyyəti təsvir edin klassik üsul qrafik olaraq ən kiçik kvadratlar. Bunun üçün müşahidə məlumatlarına (x i , y i , i=1;n) uyğun olaraq düzbucaqlı koordinat sistemində (belə nöqtə xətti korrelyasiya sahəsi adlanır) nöqtə xəttini quracağıq. Korrelyasiya sahəsinin nöqtələrinə ən yaxın olan düz xətti tapmağa çalışaq. Ən kiçik kvadratlar metoduna görə, xətt elə seçilir ki, korrelyasiya sahəsinin nöqtələri ilə bu xətt arasındakı kvadrat şaquli məsafələrin cəmi minimal olsun. 
Bu problemin riyazi qeydi: 
.
y i və x i =1...n qiymətləri bizə məlumdur, bunlar müşahidə məlumatlarıdır. S funksiyasında onlar sabitlərdir. Bu funksiyadakı dəyişənlər parametrlərin tələb olunan təxminləridir - , . 2 dəyişənli funksiyanın minimumunu tapmaq üçün bu funksiyanın hər bir parametrə görə qismən törəmələrini hesablamaq və onları sıfıra bərabərləşdirmək lazımdır, yəni. 
.
Nəticədə 2 normal xətti tənlik sistemi əldə edirik: 
Bu sistemi həll edərək, tələb olunan parametr təxminlərini tapırıq: 
Reqressiya tənliyinin parametrlərinin hesablanmasının düzgünlüyünü cəmiləri müqayisə etməklə yoxlamaq olar (hesablamaların yuvarlaqlaşdırılması ilə əlaqədar bəzi uyğunsuzluqlar mümkündür).
Parametr təxminlərini hesablamaq üçün Cədvəl 1-i qura bilərsiniz.
Reqressiya əmsalının işarəsi b əlaqənin istiqamətini göstərir (b > 0 olarsa, əlaqə birbaşa, b olarsa<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
Formal olaraq a parametrinin dəyəri sıfıra bərabər olan x üçün y-nin orta qiymətidir. Əgər işarə faktoru sıfır qiymətə malik deyilsə və ola bilməzsə, onda a parametrinin yuxarıdakı şərhinin mənası yoxdur.
Xüsusiyyətlər arasındakı əlaqənin sıxlığının qiymətləndirilməsi
xətti cüt korrelyasiya əmsalından istifadə etməklə həyata keçirilir - r x,y . Bu düsturla hesablana bilər: 
. Bundan əlavə, xətti cüt korrelyasiya əmsalı b reqressiya əmsalı baxımından müəyyən edilə bilər: 
.
Cüt korrelyasiya xətti əmsalının icazə verilən dəyərlərinin diapazonu -1 ilə +1 arasındadır. Korrelyasiya əmsalının işarəsi əlaqənin istiqamətini göstərir. Əgər r x, y >0 olarsa, onda əlaqə birbaşadır; əgər r x, y<0, то связь обратная.
Əgər bu əmsal modul üzrə birliyə yaxındırsa, onda əlamətlər arasındakı əlaqə kifayət qədər yaxın xətti olan kimi şərh edilə bilər. Əgər onun modulu bir ê r x, y ê =1-ə bərabərdirsə, onda əlamətlər arasındakı əlaqə funksional xətti olur. Əgər x və y xüsusiyyətləri xətti müstəqildirsə, r x,y 0-a yaxındır.
Cədvəl 1-dən r x,y-nin hesablanması üçün də istifadə oluna bilər.
Alınan reqressiya tənliyinin keyfiyyətini qiymətləndirmək üçün nəzəri təyinetmə əmsalı hesablanır - R 2 yx: 
,
burada d 2 reqressiya tənliyi ilə izah edilən y dispersiyadır;
e 2 - qalıq (reqressiya tənliyi ilə izah olunmayan) dispersiya y ;
s 2 y - ümumi (ümumi) dispersiya y .
Determinasiya əmsalı reqressiya (və deməli, x amili) ilə izah edilən nəticədə y əlamətinin y ümumi variasiyada (dispersiyada) variasiya (dispersiya) payını xarakterizə edir. R 2 yx təyin əmsalı 0-dan 1-ə qədər olan dəyərləri qəbul edir. Müvafiq olaraq, 1-R 2 yx dəyəri modeldə və spesifikasiya xətalarında nəzərə alınmayan digər amillərin təsiri nəticəsində yaranan y dispersiyasının nisbətini xarakterizə edir.
Qoşalaşmış xətti reqressiya ilə R 2 yx =r 2 yx .
