Mis on koordinaattasand? Koordinaaditasandid ja graafikud 1 koordinaattasand

Tasapinnal ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi moodustavad kaks üksteisega risti asetsevat koordinaattelge X’X ja Y’Y. Koordinaatide teljed lõikuvad punktis O, mida nimetatakse alguspunktiks, igal teljel valitakse positiivne suund Telgede positiivne suund (parempoolses koordinaatsüsteemis) valitakse nii, et X'X telje pööramisel. vastupäeva 90° võrra, selle positiivne suund langeb kokku Y'Y telje positiivse suunaga. Neli nurka (I, II, III, IV), mille moodustavad koordinaatteljed X'X ja Y'Y, nimetatakse koordinaatnurkadeks (vt joonis 1).

Punkti A asukoht tasapinnal määratakse kahe koordinaadiga x ja y. X-koordinaat võrdub lõigu OB pikkusega, y-koordinaat on võrdne lõigu OC pikkusega valitud mõõtühikutes. Lõigud OB ja OC on määratletud joontega, mis on tõmmatud punktist A paralleelselt Y’Y ja X’X telgedega. X-koordinaati nimetatakse punkti A abstsissiks, y-koordinaati punkti A ordinaadiks. See on kirjutatud järgmiselt: A(x, y).

Kui punkt A asub koordinaatnurgas I, siis punktil A on positiivne abstsiss ja ordinaat. Kui punkt A asub koordinaatnurgas II, siis punktil A on negatiivne abstsiss ja positiivne ordinaat. Kui punkt A asub koordinaatnurgas III, siis punktil A on negatiivne abstsiss ja ordinaat. Kui punkt A asub koordinaatnurgas IV, siis punktil A on positiivne abstsiss ja negatiivne ordinaat.

Ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ruumis on moodustatud kolmest üksteisega risti asetsevast koordinaatteljest OX, OY ja OZ. Koordinaatide teljed lõikuvad punktis O, mida nimetatakse alguspunktiks, igal teljel valitakse positiivne suund, mida tähistatakse nooltega ja telgedel olevate segmentide mõõtühik. Mõõtühikud on kõikidel telgedel samad. OX - abstsisstelg, OY - ordinaattelg, OZ - rakendustelg. Telgede positiivne suund valitakse nii, et OX-telje pööramisel vastupäeva 90°, langeb selle positiivne suund kokku OY-telje positiivse suunaga, kui seda pöörlemist vaadeldakse OZ-telje positiivsest suunast. Sellist koordinaatsüsteemi nimetatakse paremakäeliseks. Kui võtta X-suunaks parema käe pöial, Y-suunaks nimetissõrm ja Z-suunaks keskmine sõrm, siis moodustub parema käe koordinaatsüsteem. Vasaku käe sarnased sõrmed moodustavad vasaku koordinaatsüsteemi. Parem- ja vasakpoolset koordinaatsüsteemi ei ole võimalik kombineerida nii, et vastavad teljed langeksid kokku (vt joonis 2).

Punkti A asukoht ruumis määratakse kolme koordinaadiga x, y ja z. X koordinaat on võrdne lõigu OB pikkusega, y koordinaat on lõigu OC pikkus, z koordinaat on lõigu OD pikkus valitud mõõtühikutes. Lõigud OB, OC ja OD on määratletud tasapindadega, mis on tõmmatud punktist A paralleelselt tasanditega YOZ, XOZ ja XOY. Koordinaadi x nimetatakse punkti A abstsissiks, y-koordinaati punkti A ordinaadiks, z-koordinaati nimetatakse punkti A aplikaadiks. See on kirjutatud järgmiselt: A(a, b, c).

Orty

Ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi (mis tahes mõõtmega) kirjeldab ka koordinaattelgedega joondatud ühikvektorite komplekt. Ühikvektorite arv on võrdne koordinaatsüsteemi mõõtmetega ja need on kõik üksteisega risti.

Kolmemõõtmelisel juhul tähistatakse tavaliselt selliseid ühikvektoreid i j k või e x e y e z. Sel juhul kehtivad parempoolse koordinaatsüsteemi puhul järgmised valemid vektorite vektorkorrutisega:

[i j]=k ;
[j k]=i ;
[k i]=j .

Lugu

Ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi tutvustas esmakordselt Rene Descartes oma töös "Meetodi arutelu" 1637. aastal. Seetõttu nimetatakse ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi ka - Descartes'i koordinaatsüsteem. Geomeetriliste objektide kirjeldamise koordinaatmeetod tähistas analüütilise geomeetria algust. Koordinaatide meetodi väljatöötamisse aitas kaasa ka Pierre Fermat, kuid tema teosed avaldati esmakordselt pärast tema surma. Descartes ja Fermat kasutasid koordinaatide meetodit ainult lennukis.

Koordinaatide meetod kolmemõõtmeline ruum esmakordselt kasutas Leonhard Euler 18. sajandil.

Vaata ka

Lingid

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Vaadake, mis on "koordinaattasand" teistes sõnaraamatutes:

lõiketasand- (Pn) Koordineeritud tasapind, mis puutub lõikeserva vaadeldavas punktis ja on põhitasandiga risti. [...

Topograafias ümbritsev kujuteldavate joonte võrgustik Maa laius- ja meridionaalses suunas, mille abil saate täpselt määrata mis tahes punkti asukoha maa pind. Laiuskraade mõõdetakse ekvaatorist – suurest ringist... ... Geograafiline entsüklopeedia

Topograafias maakera laius- ja meridionaalsuunas ümbritsev mõtteliste joonte võrgustik, mille abil saab täpselt määrata mis tahes punkti asukoha maapinnal. Laiuskraade mõõdetakse suure ringi ekvaatorist,... ... Collieri entsüklopeedia

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt faasidiagramm. Faasitasand on koordinaattasand, millel piki koordinaattelge on kantud mis tahes kaks muutujat (faasikoordinaadid), mis määravad üheselt süsteemi oleku... ... Wikipedia

peamine lõiketasand- (Pτ) Põhitasandi ja lõiketasandi lõikepunktiga risti olev koordinaattasand. [GOST 25762 83] Teemad: lõikamine töötlemine Üldmõisted: koordinaattasandite süsteemid ja koordinaattasandid... Tehniline tõlkija juhend

instrumentaalne peamine lõiketasand- (Pτi) Instrumendi põhitasandi ja lõiketasandi lõikejoonega risti olev koordinaattasand. [GOST 25762 83] Teemad: lõikamine töötlemine Üldmõisted: koordinaattasandite süsteemid ja koordinaattasandid... Tehniline tõlkija juhend

tööriista lõiketasand- (Pni) koordinaattasapind, mis puutub vaadeldavas punktis lõikeserva ja on risti instrumentaalse põhitasandiga. [GOST 25762 83] Lõiketöötluse teemad Koordinaattasandi süsteemi üldtingimused ja... ... Tehniline tõlkija juhend

kinemaatiline peamine lõiketasand- (Pτк) Koordinaattasand, mis on risti kinemaatilise põhitasandi ja lõiketasandi lõikejoonega ... Tehniline tõlkija juhend

kinemaatiline lõiketasand- (Pnк) Koordineeritud tasapind, mis puutub lõikeserva vaadeldavas punktis ja on risti kinemaatilise põhitasandiga ... Tehniline tõlkija juhend

peamine lennuk- (Pv) Koordinaattasand, mis on tõmmatud läbi lõikeserva huvipunkti, mis on risti põhi- või sellest tuleneva lõikeliikumise kiiruse suunaga selles punktis. Märkus Instrumentaalses koordinaatsüsteemis on suund... ... Tehniline tõlkija juhend

Ristkülikukujuline koordinaatsüsteem on risti asetsevate koordinaatjoonte paar, mida nimetatakse koordinaattelgedeks ja mis on paigutatud nii, et nad lõikuvad oma alguspunktis.

Koordinaatide telgede tähistamine tähtedega x ja y on üldiselt aktsepteeritud, kuid tähed võivad olla mis tahes. Kui kasutada tähti x ja y, siis nimetatakse tasapinda xy-tasapind. Erinevad rakendused võivad kasutada muid tähti peale x ja y ning nagu on näidatud allolevatel joonistel, on neid ka uv lennuk Ja ts-lennuk.

Tellitud paar

Tellitud paari all reaalarvud peame silmas kaht reaalarvu kindlas järjekorras. Iga punkti P koordinaattasandil saab seostada kordumatu järjestatud reaalarvude paariga, tõmmates läbi P kaks joont: üks risti x-teljega ja teine risti y-teljega.

Näiteks kui võtame (a,b)=(4,3), siis koordinaadiribal

Punkti P(a,b) konstrueerimine tähendab punkti määramist koordinaatidega (a,b) koordinaattasandil. Näiteks alloleval joonisel on kujutatud erinevad punktid.

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis jagavad koordinaatteljed tasapinna neljaks piirkonnaks, mida nimetatakse kvadrantideks. Need on nummerdatud vastupäeva rooma numbritega, nagu on näidatud joonisel.

Graafi definitsioon

Ajakava võrrand kahe muutujaga x ja y on punktide hulk xy-tasandil, mille koordinaadid on selle võrrandi lahenduste hulga liikmed

Näide: joonistage graafik y = x 2

Kuna 1/x on määratlemata, kui x=0, saame joonistada ainult punkte, mille jaoks x ≠0

Näide: Otsige üles kõik telgedega ristmikud
(a) 3x + 2a = 6
(b) x = y 2-2y
(c) y = 1/x

Olgu y = 0, siis 3x = 6 või x = 2

on soovitud x-lõikepunkt.

Olles kindlaks teinud, et x=0, leiame, et y-telje lõikepunktiks on punkt y=3.

Nii saate lahendada võrrandi (b) ja (c) lahendus on toodud allpool

x-lõikamine

Olgu y = 0

1/x = 0 => x ei saa määrata, st y-teljega ei ole ristumiskohta

Olgu x = 0

y = 1/0 => y on samuti määratlemata, => y-teljega ristumist pole

Alloleval joonisel tähistavad punktid (x,y), (-x,y), (x,-y) ja (-x,-y) ristküliku nurki.

Graafik on sümmeetriline x-telje suhtes, kui graafiku iga punkti (x,y) korral on punkt (x,-y) ka graafiku punkt.

Graaf on sümmeetriline y-telje suhtes, kui graafiku iga punkti (x,y) korral kuulub graafikule ka punkt (-x,y).

Graaf on sümmeetriline koordinaatide keskpunkti suhtes, kui graafiku iga punkti (x,y) jaoks kuulub sellesse graafikusse ka punkt (-x,-y).

Definitsioon:

Ajakava funktsioonid koordinaattasandil on defineeritud võrrandi y = f(x) graafikuna

Joonistage f(x) = x + 2

Näide 2. Joonistage f(x) = |x| graafik

Graafik langeb kokku joonega y = x x jaoks > 0 ja joonega y = -x

x jaoks< 0 .

graafik f(x) = -x

Neid kahte graafikut kombineerides saame

graafik f(x) = |x|

Näide 3: Joonistage graafik

t(x) = (x 2 - 4)/(x - 2) =

= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =

= (x + 2) x ≠ 2

Seetõttu saab selle funktsiooni kirjutada kujul

y = x + 2 x ≠ 2

Graafik h(x)= x 2 - 4 või x - 2

graafik y = x + 2 x ≠ 2

Näide 4: Joonistage graafik

Funktsioonide graafikud koos nihkega

Oletame, et funktsiooni f(x) graafik on teada

Siis leiame graafikud

y = f(x) + c - funktsiooni f(x) graafik, liigutatud

UP c väärtused

y = f(x) - c - funktsiooni f(x) graafik, liigutatud

ALLA c väärtuste võrra

y = f(x + c) - funktsiooni f(x) graafik, liigutatud

VASAKULE c väärtustega

y = f(x - c) - funktsiooni f(x) graafik, liigutatud

Otse c väärtuste järgi

Näide 5: ehitamine

graafik y = f(x) = |x - 3| + 2

Liigutame graafikut y = |x| Graafiku saamiseks 3 väärtust PAREMALE

Liigutame graafikut y = |x - 3| UP 2 väärtust, et saada graafik y = |x - 3| + 2

Joonistage graafik

y = x 2 - 4x + 5

Teisendame antud võrrandi järgmiselt, lisades mõlemale poolele 4:

y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4

y = (x - 2) 2 + 1

Siin näeme, et selle graafiku saab saada, nihutades graafikut y = x 2 2 väärtuse võrra paremale, sest x - 2 ja 1 väärtuse võrra üles, kuna +1.

y = x 2 - 4x + 5

Peegeldused

(-x, y) on (x, y) peegeldus y-telje ümber

(x, -y) on (x, y) peegeldus x-telje ümber

Graafikud y = f(x) ja y = f(-x) on üksteise peegeldused y-telje suhtes

Graafikud y = f(x) ja y = -f(x) on üksteise peegeldused x-telje suhtes

Graafiku saab saada peegeldades ja liigutades:

Joonistage graafik

Leiame selle peegelduse y-telje suhtes ja saame graafiku

Liigutame seda graafikut õige 2 väärtusega ja saame graafiku

Siin on graafik, mida otsite

Kui f(x) korrutada positiivse konstandiga c, siis

graafik f(x) on vertikaalselt kokku surutud, kui 0< c < 1

graafik f(x) on vertikaalselt venitatud, kui c > 1

Kõver ei ole y = f(x) graafik ühegi funktsiooni f jaoks

Pinnal. Olgu üks x, teine y. Ja olgu need sirged üksteisega risti (st ristuvad täisnurga all). Veelgi enam, nende ristumispunkt on mõlema sirge koordinaatide alguspunkt ja ühikuline segment on sama (joonis 1).

Nii et saime ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, ja meie lennukist on saanud koordinaattasapind. Sirgeid x ja y nimetatakse koordinaattelgedeks. Veelgi enam, x-telg on abstsisstellg ja y-telg on ordinaattelg. Sellist tasapinda tähistatakse tavaliselt telgede nimetuste ja võrdluspunktiga - xOy. Nimetatakse ka ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi Descartes'i koordinaatsüsteem, kuna prantsuse matemaatik ja filosoof Rene Descartes hakkas seda esimest korda aktiivselt kasutama.

Nimetatakse sirgetega x ja y moodustatud täisnurki koordinaatnurgad. Igal nurgal on oma number, nagu on näidatud joonisel fig. 2.

Niisiis, kui me rääkisime koordinaatjoonest, oli igal selle sirge punktil üks koordinaat. Kui me nüüd räägime koordinaattasandist, siis selle tasandi igal punktil on juba kaks koordinaati. Üks vastab sirgele x (seda koordinaati nimetatakse abstsiss), teine vastab sirgele y (seda koordinaati nimetatakse ordinaat). See on kirjutatud järgmiselt: M(x;y), kus x on abstsiss ja y on ordinaat. Loe järgmiselt: "Punkt M koordinaatidega x, y."

Kuidas määrata tasapinna punkti koordinaate?
Nüüd teame, et igal tasapinna punktil on kaks koordinaati. Selle koordinaatide väljaselgitamiseks peame lihtsalt läbi selle punkti tõmbama kaks sirgjoont, mis on risti koordinaatide telgedega. Nende joonte ja koordinaattelgede lõikepunktid on nõutavad koordinaadid. Nii näiteks joonisel fig. 3 tegime kindlaks, et punkti M koordinaadid on 5 ja 3.

Kuidas konstrueerida tasapinnale punkti, kasutades selle koordinaate?
Juhtub ka seda, et me juba teame tasapinna punkti koordinaate. Ja me peame leidma selle asukoha. Oletame, et punkti koordinaadid on (-2;5). See tähendab, et abstsiss on võrdne -2 ja ordinaat on 5. Võtke x-joonel (abstsisstelljel) punkt koordinaadiga -2 ja tõmmake selle kaudu y-teljega paralleelne sirgjoon a. Pange tähele, et selle joone mis tahes punkti abstsiss on võrdne -2-ga. Nüüd leiame y-teljel (ordinaatteljel) punkti koordinaadiga 5 ja tõmmame sellest läbi sirge b, paralleelselt x-teljega. Pange tähele, et selle sirge mis tahes punkti ordinaat on 5. Sirgete a ja b ristumiskohas on punkt koordinaatidega (-2;5). Tähistame seda tähega P (joon. 4).

Lisame veel, et sirge a, mille kõikidel punktidel on abstsiss -2, annab võrrand
x = -2 või et x = -2 on sirge a võrrand. Mugavuse huvides võime öelda mitte "sirge, mis saadakse võrrandiga x = -2", vaid lihtsalt "sirge x = -2". Tõepoolest, sirge a mis tahes punkti puhul on võrdus x = -2 tõene. Ja sirge b, mille kõikidel punktidel on ordinaat 5, annab omakorda võrrand y = 5 või et y = 5 on sirge b võrrand.

§ 1 Koordinaadisüsteem: mõiste ja ehitusviis

Selles tunnis tutvume mõistetega “koordinaatsüsteem”, “koordinaattasand”, “koordinaatide teljed” ja õpime koordinaatide abil tasapinnal punkte konstrueerima.

Võtame koordinaatjoone x lähtepunktiga O, positiivse suuna ja ühikulise lõiguga.

Koordinaatide alguspunkti, koordinaatjoone x punkti O kaudu joonistame teise koordinaatjoone y, mis on risti x-ga, seame positiivse suuna ülespoole, ühiklõik on sama. Seega oleme loonud koordinaatide süsteemi.

Anname definitsiooni:

Kaks vastastikku risti asetsevat koordinaatjoont, mis ristuvad punktis, mis on nende mõlema koordinaatide alguspunkt, moodustavad koordinaatsüsteemi.

§ 2 Koordinaatide telg ja koordinaattasand

Koordinaatsüsteemi moodustavaid sirgeid nimetatakse koordinaattelgedeks, millest igaühel on oma nimi: koordinaatjoon x on abstsisstellg, koordinaatjoon y on ordinaattelg.

Tasapinda, millel koordinaatsüsteem on valitud, nimetatakse koordinaattasandiks.

Kirjeldatud koordinaatsüsteemi nimetatakse ristkülikukujuliseks. Seda nimetatakse sageli prantsuse filosoofi ja matemaatiku René Descartes'i auks Descartes'i koordinaatsüsteemiks.

Igal koordinaattasandi punktil on kaks koordinaati, mida saab määrata koordinaatide telje punktist risti langetades. Tasapinna punkti koordinaadid on arvupaar, millest esimene arv on abstsiss, teine arv on ordinaat. Abstsiss on risti x-teljega, ordinaat on risti y-teljega.

Märgime koordinaattasandile punkti A ja tõmbame sealt ristid koordinaatsüsteemi telgedele.

Piki abstsissteljega risti (x-telg) määrame punkti A abstsissi, see võrdub 4-ga, punkti A ordinaat - piki ordinaatteljega risti (y-telg) on 3. Koordinaadid meie punktist on 4 ja 3. A (4;3). Seega võib koordinaadid leida koordinaattasandi mis tahes punktile.

§ 3 Punkti ehitamine tasapinnal

Kuidas konstrueerida antud koordinaatidega tasapinnale punkt, s.t. Kasutades tasapinnal oleva punkti koordinaate, määrake selle asukoht? IN sel juhul toimingud tehakse sisse vastupidises järjekorras. Koordinaatide telgedel leiame etteantud koordinaatidele vastavad punktid, mille kaudu tõmmatakse x- ja y-teljega risti olevad sirgjooned. Perpendikulaaride lõikepunkt saab olema soovitud, st. etteantud koordinaatidega punkt.

Täidame ülesande: konstrueerime koordinaattasandile punkt M (2;-3).

Selleks leia x-teljel punkt koordinaadiga 2 ja joonista läbi see punkt sirge risti x-teljega. Ordinaatteljel leiame punkti koordinaadiga -3, läbi selle tõmbame y-teljega risti oleva sirge. Perpendikulaarsete sirgete lõikepunktiks on antud punkt M.

Vaatame nüüd mõnda erijuhtumit.

Märgime koordinaattasandile punktid A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4).

Nende punktide abstsissid on 0. Jooniselt on näha, et kõik punktid asuvad ordinaatteljel.

Järelikult asuvad punktid, mille abstsissid on võrdsed nulliga, ordinaatteljel.

Vahetame nende punktide koordinaadid.

Tulemuseks on A (2;0), B (-3;0) C (4; 0). Sel juhul on kõik ordinaadid võrdsed 0-ga ja punktid on x-teljel.

See tähendab, et punktid, mille ordinaadid on võrdsed nulliga, asuvad abstsissteljel.

Vaatame veel kahte juhtumit.

Märgi koordinaattasandile punktid M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).

Lihtne on märgata, et kõik punktide abstsissid on ühesugused. Kui need punktid on ühendatud, saate sirge, mis on paralleelne ordinaatteljega ja risti abstsissteljega.

Järeldus viitab iseenesest: punktid, millel on sama abstsiss, asuvad samal sirgel, mis on paralleelne ordinaatteljega ja risti abstsissteljega.

Kui vahetate punktide M, N, P koordinaadid, saate M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Punktide ordinaadid on samad. Sel juhul, kui ühendate need punktid, saate sirge, mis on paralleelne abstsissteljega ja on risti ordinaatteljega.

Seega asuvad sama ordinaatpunktid samal sirgel, mis on paralleelne abstsissteljega ja on ordinaatteljega risti.

Selles õppetükis tutvusite mõistetega "koordinaatsüsteem", "koordinaattasand", "koordinaatide teljed - abstsisstelg ja ordinaattelg". Õppisime leidma koordinaatide tasapinnal oleva punkti koordinaate ja konstrueerima tasapinnal punkte selle koordinaatide abil.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

Matemaatika. 6. klass: I.I õpiku tunniplaanid. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-koostaja L.A. Topilina. - Mnemosyne, 2009.
Matemaatika. 6. klass: õpik õpilastele õppeasutused. I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich - M.: Mnemosyna, 2013.
Matemaatika. 6. klass: õpik üldharidusasutustele/G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov ja teised/toimetanud G.V. Dorofejeva, I.F. Sharygina; Venemaa Teaduste Akadeemia, Venemaa Haridusakadeemia. - M.: "Valgustus", 2010
Matemaatika käsiraamat - http://lyudmilanik.com.ua
Õpilase juhend Keskkool http://shkolo.ru

Töö tekst postitatakse ilma piltide ja valemiteta.
Täisversioon töö on PDF-vormingus saadaval vahekaardil "Tööfailid".

Sissejuhatus

Võib-olla olete täiskasvanute kõnes kuulnud järgmist fraasi: "Jäta mulle oma koordinaadid." See väljend tähendab, et vestluskaaslane peab jätma oma aadressi või telefoninumbri, kuhu ta on leitav. Need, kes mängisid “merelahingut”, kasutasid vastavat koordinaatsüsteemi. Sarnast koordinaatsüsteemi kasutatakse males. Kinosaalis on istekohad määratud kahe numbriga: esimene number tähistab rea numbrit ja teine number selle rea istekoha numbrit. Idee määrata punkti asukoht tasapinnal numbrite abil tekkis iidsetel aegadel. Koordinaadisüsteem läbib kõike praktiline elu inimlik ja tal on tohutu praktiline kasutamine. Seetõttu otsustasime luua selle projekti, et laiendada oma teadmisi teemal "Koordinaatide tasand".

Projekti eesmärgid:

tutvuda tasapinnal ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi tekkimise ajalooga;

selle teemaga seotud silmapaistvad tegelased;

huvitavat leida ajaloolised faktid;

taju koordinaate hästi kõrva järgi; teostama ehitusi selgelt ja täpselt;

valmistada ette esitlus.

I peatükk. Koordinaatide tasapind

Idee määrata punkti asukoht tasapinnal numbrite abil tekkis iidsetel aegadel - peamiselt astronoomide ja geograafide seas tähe- ja geograafiliste kaartide ja kalendrite koostamisel.

§1. Koordinaatide päritolu. Koordinaatide süsteem geograafias

200 aastat eKr võttis Kreeka teadlane Hipparkhos kasutusele geograafilised koordinaadid. Ta soovitas edasi joonistada geograafiline kaart paralleelid ja meridiaanid ning tähistada laius- ja pikkuskraade numbritega. Neid kahte numbrit kasutades saate täpselt määrata saare, küla, mäe või kaevu asukoha kõrbes ja joonistada need kaardile või maakerale Olles õppinud kindlaks määrama laeva asukoha laius- ja pikkuskraadi avatud maailmas said valida vajaliku suuna.

Idapikkus- ja põhjalaiuskraad on tähistatud plussmärgiga numbritega ning läänepikkus- ja lõunalaiuskraad on tähistatud miinusmärgiga numbritega. Seega identifitseerib märgiga numbrite paar üheselt maakera punkti.

Geograafiline laiuskraad? - nurk antud punktis oleva loodijoone ja ekvaatori tasapinna vahel, mõõdetuna 0 kuni 90 mõlemal pool ekvaatorit. Geograafiline pikkuskraad? - nurk antud punkti läbiva meridiaani tasandi ja meridiaani algustasandi vahel (vt Greenwichi meridiaan). Pikkuskraade 0 kuni 180 meridiaani algusest ida pool nimetatakse idapoolseks ja läände - lääneks.

Linnas teatud objekti leidmiseks piisab enamikul juhtudel selle aadressi teadmisest. Raskused tekivad siis, kui on vaja selgitada, kus asub näiteks suvila või koht metsas. Geograafilised koordinaadid on universaalne vahend asukoha näitamiseks.

Hädaolukorras silmitsi seistes peab inimene esimese asjana suutma piirkonnas liigelda. Mõnikord on vaja määrata oma asukoha geograafilised koordinaadid, näiteks päästeteenistusele edastamiseks või muul eesmärgil.

Kaasaegne navigatsioon kasutab standardina ülemaailmset koordinaatide süsteemi WGS-84. Kõik Internetis leiduvad GPS-navigaatorid ja suuremad kartograafiaprojektid töötavad selles koordinaatsüsteemis. Koordinaadid WGS-84 süsteemis on sama levinud ja kõigile arusaadavad universaalne aeg. Töötamisel üldiselt kättesaadav täpsus geograafilised koordinaadid on maapinnal 5-10 meetrit.

Geograafilised koordinaadid on märgistatud numbrid (laiuskraad -90° kuni +90°, pikkuskraad -180° kuni +180°) ja neid saab kirjutada erineval kujul: kraadides (ddd.ddddd°); kraadid ja minutid (ddd° mm.mmm"); kraadid, minutid ja sekundid (ddd° mm" ss.s"). Salvestusvorme saab hõlpsasti üksteiseks teisendada (1 kraad = 60 minutit, 1 minut = 60 sekundit ) Koordinaatide märgi tähistamiseks kasutatakse sageli tähti, mis põhinevad põhisuundade nimetustel: N ja E - põhjalaius ja idapikkus - positiivsed numbrid, S ja W - lõunalaius ja läänepikkus - negatiivsed numbrid.

Koordinaatide salvestamise vorm kraadides on kõige mugavam käsitsi sisestamiseks ja ühtib arvu matemaatilise tähistusega. Paljudel juhtudel on eelistatud koordinaatide salvestamise vorm KRAADIDES JA MINUTITES. Klassikaline vorm koordinaatide salvestamiseks KRAADIDES, MINUTITES JA SEKUNDITES ei leia tegelikult kuigi palju praktilist kasutust.

§2. Koordinaatide süsteem astronoomias. Müüdid tähtkujude kohta

Nagu eespool mainitud, tekkis astronoomidel iidsetel aegadel tähekaartide koostamisel idee määrata punkti asukoht tasapinnal numbrite abil. Inimesed pidid lugema aega, ennustama hooajalisi nähtusi (tõusud, hooajalised vihmad, üleujutused) ja reisides maastikul navigeerima.

Astronoomia on teadus tähtedest, planeetidest, taevakehad, nende struktuur ja areng.

Möödunud on tuhandeid aastaid, teadus on kaugele edasi astunud, kuid inimesed ei suuda ikka veel öise taeva ilult silmi pöörata.

Tähtkujud on tähistaeva alad, iseloomulikud kujundid, mille moodustavad heledad tähed. Kogu taevas on jagatud 88 tähtkujuks, mis muudavad tähtede vahel navigeerimise lihtsamaks. Enamik tähtkujude nimesid on pärit antiikajast.

Kõige kuulsam tähtkuju on Ursa Major. IN Iidne Egiptus seda kutsuti "Jõehobuseks" ja kasahhid nimetasid seda "hobuseks rihma otsas", kuigi väliselt ei meenuta tähtkuju ei üht ega teist looma. Milline see on?

Vanadel kreeklastel oli legend Suure ja Väikese Ursa tähtkujude kohta. Kõikvõimas jumal Zeus otsustas vastu viimase tahtmist abielluda kauni nümf Calistoga, jumalanna Aphrodite ühe teenijaga. Päästmaks Kalistot jumalanna tagakiusamisest, muutis Zeus Kalisto Suureks Ursaks, tema armastatud koerast Ursa Minoriks ja viis nad taevasse. Viige tähistaevast koordinaattasandile tähtkujud Suur- ja Väike-Ursa. . Igal Suure Vankri tähel on oma nimi.

URSA SUUREPÄRANE

Tunnen ära ämbri järgi!

Siin säravad seitse tähte

Siin on nende nimed:

DUBHE valgustab pimedust,

MERAK põleb tema kõrval,

Küljel on FEKDA koos MEGRETZiga,

Julge sell.

MEGRETZist väljumiseks

ALIOT asub

Ja tema taga – MITZAR ALCORIga

(Need kaks säravad üheskoos.)

Meie kulp sulgub

Võrreldamatu BENETNASH.

Ta osutab silmale

Tee tähtkujusse BOOTES,

Seal, kus särab kaunis ARCTURUS,

Kõik märkavad teda nüüd!

Sama ilus legend Cepheuse, Cassiopeia ja Andromeeda tähtkujudest.

Kunagi valitses Etioopiat kuningas Cepheus. Ühel päeval oli tema abikaasal, kuninganna Cassiopeial, ettevaatamatus näidata oma ilu mereelanikele - nereiididele. Viimane kaebas solvunult merejumal Poseidonile ning Cassiopeia jultumusest raevunud merevalitseja lasi Etioopia kallastele merekoletise vaala. Et päästa oma kuningriik hävingust, otsustas Cepheus oraakli nõuandel ohverdada koletisele ja anda talle oma armastatud tütre Andromeeda alla neelata. Ta aheldas Andromeeda rannikukalju külge ja jättis ta saatuse otsust ootama.

Ja sel ajal, teisel pool maailma, sooritas müütiline kangelane Perseus vapra vägiteo. Ta sisenes eraldatud saarele, kus elasid gorgonid – hämmastavad koletised naiste näol, kelle peas kubisesid juuste asemel maod. Gorgonite pilk oli nii kohutav, et kõik, keda nad vaatasid, muutusid silmapilkselt kiviks.

Kasutades ära nende koletiste und, lõikas Perseus ühel neist, Gorgon Medusa, pea maha. Sel hetkel lendas Medusa mahalõigatud kehast välja hobune Pegasus. Perseus haaras meduusil peast, hüppas Pegasusele peale ja tormas läbi õhu kodumaale. Üle Etioopia lennates nägi ta Andromeedat kivi külge aheldatuna. Sel hetkel oli vaal juba meresügavusest välja tulnud, valmistudes oma ohvrit alla neelama. Kuid Perseus, kes tormas Keithiga surelikku lahingusse, alistas koletise. Ta näitas Keithile meduuside pead, mis polnud veel oma jõudu kaotanud, ja koletis kivistus, muutudes saareks. Perseus andis Andromeeda ketist lahti võttes ta isale tagasi ja õnnest liigutatud Cepheus andis Andromeda Perseusele naiseks. Nii lõppes õnnelikult see lugu, mille peategelased asetasid vanad kreeklased taevasse.

Tähekaardilt ei leia mitte ainult Andromeeda koos isa, ema ja abikaasaga, vaid ka maagiline hobune Pegasus ja kõigi hädade süüdlane - koletis Keith.

Cetuse tähtkuju asub Pegasuse ja Andromeeda all. Kahjuks ei ole seda tähistatud ühegi iseloomuliku ereda tähega ja seetõttu kuulub see väiksemate tähtkujude hulka.

§3. Ristkülikukujuliste koordinaatide idee kasutamine maalimisel.

Ühe Vana-Egiptuse matmiskambri seinal on kujutatud ristkülikukujuliste koordinaatide idee rakendamise jälgi ruudukujulise ruudustiku (paleti) kujul. Isa Ramsese püramiidi matmiskambris on seinal ruutude võrgustik. Nende abiga kantakse pilt suurendatud kujul üle. Renessansikunstnikud kasutasid ka ristkülikukujulist võre.

Sõna "perspektiiv" on ladina keeles "selgelt nägemine". IN kaunid kunstid lineaarne perspektiiv on objektide kujutis tasapinnal vastavalt nende suuruse nähtavatele muutustele. Alus kaasaegne teooria perspektiive panid renessansi suured kunstnikud - Leonardo da Vinci, Albrecht Durer jt. Üks Dureri gravüüridest (joonis 3) kujutab elust joonistamise meetodit läbi klaasi, millele on kantud nelinurkne ruudustik. Seda protsessi saab kirjeldada järgmiselt: kui seisad akna ees ja teed ilma vaatenurka muutmata ringi peale klaasile kõik, mis selle taga paistab, siis on saadud joonisel ruumi perspektiivpilt.

Egiptuse disainimeetodid, mis näivad põhinevat ruudukujulistel mustritel. Egiptuse kunstist on palju näiteid, mis näitavad, et kunstnikud ja skulptorid joonistasid kõigepealt seinale ruudustiku, mis tuli väljakujunenud proportsioonide säilitamiseks värvida või nikerdada. Nende võrgustike lihtsad arvulised seosed on kõigi suurepäraste asjade keskmes Kunstiteosed egiptlased

Sama meetodit kasutasid paljud renessansiajastu kunstnikud, sealhulgas Leonardo da Vinci. Vana-Egiptuses kehastus see suures püramiidis, mida tugevdab selle tihe seos Marlborough Downi mustriga.

Tööd alustades vooderdas Egiptuse kunstnik seina sirgjoonte ruudustikuga ja kandis seejärel ettevaatlikult sellele figuurid. Kuid geomeetriline korrastatus ei takistanud tal loodust üksikasjaliku täpsusega uuesti loomast. Iga kala ja iga linnu välimus on edasi antud nii tõetruult, et tänapäeva zooloogid suudavad nende liigi hõlpsasti määrata. Joonisel 4 on kujutatud kompositsiooni detaili illustratsioonilt - puu lindudega, kes on püütud Khnumhotepi võrku. Kunstniku käe liikumist ei juhtinud mitte ainult tema oskuste tagavara, vaid ka looduse piirjoonte suhtes tundlik silm.

Joon.4 Linnud akaatsial

II peatükk. Koordinaatide meetod matemaatikas

§1. Koordinaatide rakendamine matemaatikas. Teenete

Prantsuse matemaatik René Descartes

Pikka aega kasutas seda imelist leiutist ainult geograafia "maakirjeldus" ja alles 14. sajandil püüdis prantsuse matemaatik Nicolas Oresme (1323-1382) seda rakendada "maa mõõtmise" - geomeetria - jaoks. Ta tegi ettepaneku katta lennuk ristkülikukujulise ruudustikuga ja nimetada laius- ja pikkuskraadiks seda, mida me praegu nimetame abstsissiks ja ordinaadiks.

Selle eduka uuenduse põhjal tekkis koordinaatide meetod, mis seob geomeetria algebraga. Selle meetodi loomise peamine tunnustus kuulub suurele prantsuse matemaatikule Rene Descartes'ile (1596–1650). Tema auks nimetatakse sellist koordinaatide süsteemi Descartes'iks, mis näitab tasapinna mis tahes punkti asukohta kauguste järgi sellest punktist nulllaiuskraadini - abstsisstelje ja nullmeridiaani - ordinaatteljeni.

See 17. sajandi (1596 - 1650) hiilgav prantsuse teadlane ja mõtleja ei leidnud aga elus kohe oma kohta. Aadliperekonnas sündinud Descartes sai hea haridus. 1606. aastal saatis isa ta La Flèche'i jesuiitide kolledžisse. Arvestades Descartes'i mitte eriti head tervist, tehti talle selle ranges režiimis mõningaid mööndusi haridusasutus, näiteks lubati neil teistest hiljem tõusta. Kolledžis palju teadmisi omandanud Descartes oli samal ajal läbi imbunud antipaatiast skolastilise filosoofia vastu, mida ta säilitas kogu oma elu.

Pärast kolledži lõpetamist jätkas Descartes oma haridusteed. 1616. aastal omandas ta Poitiers' ülikoolis bakalaureusekraadi õigusteaduses. Aastal 1617 astus Descartes sõjaväkke ja reisis palju kogu Euroopas.

Aasta 1619 osutus Descartes'i jaoks teaduslikult võtmeaastaks.

Just sel ajal, nagu ta ise oma päevikus kirjutas, olid uue " hämmastav teadus" Tõenäoliselt pidas Descartes silmas universaali avastamist teaduslik meetod, mida ta hiljem viljakalt rakendas erinevatel erialadel.

1620. aastatel kohtus Descartes matemaatik M. Mersenne'iga, kelle kaudu ta „pidas aastaid ühendust“ kogu Euroopa teadusringkonnaga.

1628. aastal asus Descartes üle 15 aasta Hollandisse elama, kuid ei asunud elama ühte kohta, vaid vahetas oma elukohta umbes kakskümmend korda.

Aastal 1633, saades teada, et kirik mõistis Galilei hukka, keeldus Descartes avaldamast oma loodusfilosoofilist teost “Maailm”, mis visandas universumi loomuliku päritolu ideid vastavalt mateeria mehaanilistele seadustele.

Aastal 1637 prantsuse keel Ilmub Descartes’i teos “Discourse on Method”, millest, nagu paljud arvavad, sai alguse kaasaegne Euroopa filosoofia.

1649. aastal ilmunud Descartes’i viimane filosoofiline teos “Hinge kired” avaldas samal aastal kutsel ka suurt mõju Euroopa mõtteviisile Rootsi kuninganna Christina Descartes läks Rootsi. Karm kliima ja ebatavaline režiim (kuninganna sundis Descartes'i tundide andmiseks ja muude ülesannete täitmiseks tõusma kell 5 hommikul) kahjustasid Descartes'i tervist ja külmetunud.

suri kopsupõletikku.

Descartes’i juurutatud traditsiooni kohaselt tähistatakse punkti “laiuskraad” tähega x, “pikkuskraad” tähega y.

Sellel süsteemil põhinevad paljud koha märkimise viisid.

Näiteks kinopiletil on kaks numbrit: rida ja iste – neid võib pidada teatri istme koordinaatideks.

Sarnaseid koordinaate aktsepteeritakse ka males. Ühe numbri asemel võetakse täht: lahtri vertikaalsed read on tähistatud ladina tähestiku tähtedega ja horisontaalsed read numbritega. Seega on igale malelaua ruudule määratud tähtede ja numbrite paar ning maletajad saavad oma partiid salvestada. Konstantin Simonov kirjutab koordinaatide kasutamisest oma luuletuses “Kahurväelase poeg”.

Terve öö kõndides nagu pendel,

Major ei sulgenud silmi,

Hüvasti hommikul raadiost

Esimene signaal tuli:

"Pole midagi, ma jõudsin kohale,

Sakslased on minust vasakul,

Koordinaadid (3;10),

Paneme varsti põlema!

Relvad on laetud

Major arvutas kõik ise välja.

Ja mürinaga esimesed volled

Nad tabasid mägesid.

Ja jälle signaal raadiost:

"Sakslastel on rohkem õigus kui minul,

Koordinaadid (5; 10),

Varsti rohkem tulekahju!

Maa ja kivid lendasid,

Suits tõusis kolonnis.

Tundus, et nüüd sealt

Keegi ei lahku elusalt.

Kolmas raadiosignaal:

"Sakslased on mu ümber,

Koordinaadid (4; 10),

Ärge säästke tuld.

Major muutus kahvatuks, kui kuulis:

(4;10) - lihtsalt

Koht, kus tema Lyonka

Peab nüüd istuma.

Konstantin Simonov "Kahuriväe poeg"

§2. Legendid koordinaatsüsteemi leiutamisest

Descartes'i nime kandva koordinaatsüsteemi leiutamise kohta on mitu legendi.

Legend 1

See lugu on jõudnud meie aegadesse.

Pariisi teatreid külastades ei väsinud Descartes end üllatamast segadusest, nääklemisest ja mõnikord ka väljakutsetest duellile, mille põhjustas publiku jaotuse elementaarne järjekord auditooriumis. Tema pakutud nummerdamissüsteem, kus iga iste sai äärest reanumbri ja seerianumbri, eemaldas kohe kõik tülide põhjused ja tekitas Pariisi kõrgseltskonnas tõelise sensatsiooni.

Legend 2. Ühel päeval lamas Rene Descartes terve päeva voodis ja mõtles millelegi ning kärbes sumises ringi ega lasknud tal keskenduda. Ta hakkas mõtlema, kuidas kirjeldada matemaatiliselt kärbse asukohta suvalisel ajahetkel, et oleks võimalik seda ilma eksimata lüüa. Ja...ta mõtles välja Descartes'i koordinaadid, mis on üks suurimaid leiutisi inimkonna ajaloos.

Markovtsev Yu.

Kunagi ammu võõras linnas

Noor Descartes saabus.

Teda piinas kohutavalt nälg.

Oli jahe märtsikuu.

Otsustasin ühelt möödujalt küsida

Descartes, püüdes värinat vaigistada:

Kus hotell on, ütle mulle?

Ja daam hakkas seletama:

- Mine piimapoodi

Siis pagariärisse, selle taha

Mustlanna müüb nööpnõelad

Ja mürk rottidele ja hiirtele,

Te leiate need kindlasti

Juustud, küpsised, puuviljad

Ja värvilised siidid...

Ma kuulasin kõiki neid seletusi

Descartes, külmast värisemas.

Ta tahtis väga süüa

- Kaupluste taga on apteek

(seal apteeker on vuntsidega rootslane),

Ja kirik, kus sajandi alguses

Tundub, et mu vanaisa abiellus...

Kui proua hetkeks vait jäi,

Äkitselt ütles tema teenija:

- Kõndige otse kolm kvartalit

Ja kaks paremale. Sissepääs nurgast.

See on kolmas lugu juhtumist, mis andis Descartesile idee koordinaatidest.

Järeldus

Oma projekti luues õppisime tundma koordinaattasandi kasutamist erinevates teadusvaldkondades ja Igapäevane elu, veidi teavet koordinaattasandi päritolu ajaloost ja matemaatikutest, kes tegid tohutu panus sellesse leiutisse. Materjali, mida töö kirjutamise käigus kogusime, saab kasutada kooliklubi tundides kui lisamaterjal tundidesse. Kõik see võib kooliõpilastele huvi pakkuda ja õppeprotsessi elavdada.

Ja me tahaksime lõpetada nende sõnadega:

"Kujutage oma elu ette koordinaattasandina. Y-telg on teie positsioon ühiskonnas. X-telg liigub edasi, eesmärgi poole, sinu unistuse poole. Ja nagu me teame, on see lõputu... me võime alla kukkuda, minnes aina kaugemale miinusesse, võime jääda nulli ja teha mitte midagi, absoluutselt mitte midagi. Me võime tõusta üles, kukkuda, minna edasi või tagasi ja kõik sellepärast, et kogu meie elu on koordinaattasand ja siin on kõige tähtsam, milline on teie koordinaat..."

Bibliograafia

Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis: - M.: Prosveshchenie, 1981. - 239 lk., ill.

Lyatker Ya A. Descartes. M.: Mysl, 1975. - (Minevikumõtlejad)

Matvievskaja G. P. Rene Descartes, 1596-1650. M.: Nauka, 1976.

A. Savin. Koordinaadid Kvant. 1977. nr 9

Matemaatika - ajalehe “Esimene september” lisa, nr 7, nr 20, nr 17, 2003, nr 11, 2000.

Siegel F.Yu. Tärnitähestik: käsiraamat õpilastele. - M.: Haridus, 1981. - 191 lk, illus.

Steve Parker, Nicholas Harris. Illustreeritud entsüklopeedia lastele. Universumi saladused. Harkov Belgorod. 2008

Materjalid saidilt http://istina.rin.ru/