Kaudsete mõõtmiste teooria vigade leidmine. Vigade teooria. Näide laboritöö kujundamisest

Otsese mitmekordse mõõtmise vea hindamine

Otsese mitme mõõtmise vea hindamisel on soovitatav järgida järgmist toimingute järjekorda.

. (8)

Määratakse usaldustõenäosuse väärtus P. Töökoja laborites on tavaks määrata P = 0,95.

Kogu viga määratakse

kus δx - instrumentaalviga, Δ X on juhuslik viga.

Hinnatakse mõõtmistulemuse suhtelist viga

Lõpptulemus on kirjutatud kujul

, kus α=… E=…%.

, P=…, E=…(7)

Tuleb meeles pidada, et vigade teooria valemid ise kehtivad suur hulk mõõdud. Seetõttu määratakse juhuslikkuse väärtus ja järelikult ka koguviga väikese jaoks n suure veaga. Δ arvutamisel X mõõtmiste arvuga
on soovitatav piirduda ühe olulise numbriga, kui see on suurem kui 3, ja kahega, kui esimene tähendusnumber on väiksem kui 3. Näiteks kui Δ X= 0,042, siis visake 2 kõrvale ja kirjutage Δ X=0,04 ja kui Δ X=0,123, siis kirjutame Δ X=0,12.

Tulemuse ja koguvea numbrite arv peab olema sama. Seetõttu peaks vea aritmeetiline keskmine olema sama. Seetõttu arvutatakse aritmeetiline keskmine esmalt ühe numbri võrra rohkem kui mõõtmine ja tulemuse salvestamisel täpsustatakse selle väärtus koguvea numbrite arvuni.

Kaudse mitmekordse mõõtmise vea hindamine

Kaudse mitmekordse mõõtmise vea hindamisel
, mis on teiste sõltumatute suuruste funktsioon
, saab kasutada kahte meetodit.

Esimene viis kasutatakse, kui väärtus y määratakse erinevates katsetingimustes. Sel juhul iga väärtuse jaoks
arvutatud
ja seejärel määratakse kõigi väärtuste aritmeetiline keskmine y i

Süstemaatiline (instrumentaalne) viga leitakse valemi järgi kõikide mõõtmiste teadaolevate instrumentaalvigade põhjal. Juhuslik viga on sel juhul defineeritud kui otsene mõõtmisviga.

Teine viis kehtib, kui funktsioon y määratakse mitu korda samade mõõtmistega. Sel juhul väärtus
arvutatakse keskmiste väärtuste põhjal
.. Süstemaatiline (instrumentaalne) viga, nagu ka esimese meetodi puhul, leitakse kõigi mõõtmiste teadaolevate instrumentaalvigade põhjal valemi järgi

kus - koguse otseste mõõtmiste instrumendi vead ,- funktsiooni osatuletised muutuja suhtes .

Kaudse mõõtmise juhusliku vea leidmiseks arvutatakse esmalt üksikute mõõtmiste aritmeetilise keskmise ruutkeskmised vead. Seejärel leitakse ruutkeskmine viga y. Usaldustaseme α seadmine, Studenti koefitsiendi leidmine , tehakse juhuslike ja summaarsete vigade defineerimine samamoodi nagu otsemõõtmiste puhul. Samamoodi esitatakse vormil kõigi arvutuste tulemus

, kus P=… E=…%.

Näide, saame valemi süstemaatilise vea arvutamiseks silindri ruumala mõõtmisel. Silindri ruumala arvutamise valem on

Osatuletised muutujate suhtes d ja h saab olema võrdne

,
.

Seega on silindri ruumala mõõtmise absoluutse süstemaatilise vea määramise valem järgmine

kus
ja
instrumentaalsed vead silindri läbimõõdu ja kõrguse mõõtmisel

Näide: määrake valemi abil takistis hajuv võimsusviga
järgmiste voolu ja takisti takistuse väärtustega, mis määratakse kindlaks otsese mõõtmise teel: R = 1,10 ± 0,05 oomi; I = 1,20 ± 0,05 A. Tulemused on antud aritmeetiliste keskmiste standardhälbetega R jama . Tõelise (keskmise) võimsuse väärtuse hinnang:

teisip

Saadud väärtuse täpsuse hindamiseks arvutame kaudsete mõõtmiste osatuletised ja osavead:

= 1,2 2 0,05 = 0,072 AGA 2 Ohm;

=2 1,2 1,1 0,05 = 0,132 AGA 2 Ohm

Kaudse võimsuse mõõtmise standardhälve, mis arvutatakse valemiga, on

=0, 15 AGA 2 Ohm =0,15 teisip

P = 1,58 ± 0,15 W.

Igasugused mõõtmised tehakse alati mõningate vigadega, mis on seotud mõõtevahendite piiratud täpsusega, vale valikuga ning mõõtmismeetodi veaga, katsetaja füsioloogiaga, mõõdetavate objektide omadustega, mõõtmistingimuste muutumisega jne. Seetõttu hõlmab mõõtmisülesanne mitte ainult suuruse enda, vaid ka mõõtmisvea leidmist, s.o. intervall, mille jooksul mõõdetud suuruse tegelik väärtus kõige tõenäolisemalt leitakse. Näiteks ajavahemikku t mõõtes stopperiga, mille jagamise väärtus on 0,2 s, võime öelda, et selle tegelik väärtus on vahemikus s kuni
koos. Seega sisaldab mõõdetud väärtus alati mingit viga
, kus ja X on vastavalt uuritava suuruse tegelikud ja mõõdetud väärtused. Väärtus
helistas absoluutne viga(vea)mõõtmised ja avaldis
mõõtmistäpsust iseloomustav nimetatakse suhteline viga.

On üsna loomulik, et katsetaja püüab teha iga mõõtmist suurima saavutatava täpsusega, kuid selline lähenemine ei ole alati otstarbekas. Mida täpsemalt tahame seda või teist suurust mõõta, mida keerukamaid vahendeid peame kasutama, seda rohkem aega need mõõtmised nõuavad. Seetõttu peaks lõpptulemuse täpsus vastama katse eesmärgile. Vigade teooria annab soovitusi, kuidas mõõtmisi teha ja tulemusi töödelda, et veapiir oleks võimalikult väike.

Kõik mõõtmiste käigus tekkivad vead jagunevad tavaliselt kolme tüüpi – süstemaatilised, juhuslikud ja möödalaskmised ehk jämedad vead.

Süstemaatilised vead seadmete valmistamise piiratud täpsuse (instrumendi vead), valitud mõõtmismeetodi puuduste, arvutusvalemi ebatäpsuse, seadme ebaõige paigalduse jms tõttu. Seega põhjustavad süstemaatilisi vigu tegurid, mis samade mõõtmiste mitmekordsel kordamisel toimivad ühtemoodi. Selle vea väärtust korratakse süstemaatiliselt või muudetakse vastavalt teatud seadusele. Mõningaid süstemaatilisi vigu saab kõrvaldada (praktikas on seda alati lihtne saavutada), muutes mõõtmismeetodit, tehes parandusi mõõteriistade näitudes ja võttes arvesse välistegurite pidevat mõju.

Kuigi süstemaatiline (instrumentaalne) viga korduvatel mõõtmistel annab mõõdetud väärtuse kõrvalekalde tegelikust väärtusest ühes suunas, ei tea me kunagi, mis suunas. Seetõttu kirjutatakse instrumentaalviga topeltmärgiga

Juhuslikud vead on põhjustatud suurest hulgast juhuslikest põhjustest (temperatuuri, rõhu muutused, hoone värisemine jne), mille mõju igale mõõtmisele on erinev ja seda ei saa eelnevalt arvesse võtta. Juhuslikud vead tekivad ka katse läbiviija meeleorganite ebatäiuslikkuse tõttu. Juhuslikud vead hõlmavad ka mõõdetava objekti omadustest tulenevaid vigu.

Üksikute mõõtmiste juhuslikke vigu ei saa välistada, kuid nende vigade mõju lõpptulemusele on võimalik vähendada mitme mõõtmise teel. Kui juhuslik viga osutub oluliselt väiksemaks kui instrumentaalne (süstemaatiline) viga, siis pole mõtet juhuslikku viga mõõtmiste arvu suurendades veelgi vähendada. Kui juhuslik viga on suurem kui instrumentaalviga, siis tuleks mõõtmiste arvu suurendada, et juhusliku vea väärtust vähendada ja muuta see mõõteriista veast väiksemaks või ühe suurusjärgu võrra väiksemaks.

Vead või vead- need on seadme valed näidud, näidu vale salvestamine jne. Reeglina on märgitud põhjustest tingitud möödalaskmised selgelt nähtavad, kuna neile vastavad näidud erinevad teistest näitudest järsult. Puudused tuleb kõrvaldada kontrollmõõtmistega. Seega määravad mõõdetud suuruste tegelike väärtuste intervalli laiuse ainult juhuslikud ja süstemaatilised vead.

2 . Süstemaatilise (instrumentaalse) vea hindamine

Otseseks mõõtmiseks mõõdetud suuruse väärtus loetakse otse mõõtevahendi skaalalt. Lugemisviga võib ulatuda mitme kümnendikuni skaala jaotusest. Tavaliselt loetakse sellistel mõõtmistel süstemaatilise vea suurust võrdseks poolega mõõtevahendi skaala jaotusest. Näiteks mõõtes nihikuga, mille jaotusväärtus on 0,05 mm, võetakse instrumentaalse mõõtevea väärtuseks 0,025 mm.

Digitaalsed mõõteriistad annavad mõõdetavate suuruste väärtuse veaga, mis on võrdne seadme skaala viimase numbri ühe ühiku väärtusega. Seega, kui digitaalne voltmeeter näitab väärtust 20,45 mV, on mõõtmise absoluutne viga
mV.

Süstemaatilised vead tekivad ka tabelitest määratud konstantsete väärtuste kasutamisel. Sellistel juhtudel võetakse viga võrdseks poolega viimasest olulisest numbrist. Näiteks kui tabelis on terase tiheduse väärtus antud väärtusega 7,9∙10 3 kg / m 3, siis on absoluutne viga sel juhul võrdne
kg/m3.

Allpool käsitletakse mõningaid elektriliste mõõteriistade instrumentaalvigade arvutamise funktsioone.

Kaudsete mõõtmiste süstemaatilise (instrumentaalse) vea määramisel funktsionaalne väärtus
kasutatakse valemit

, (1)

kus - koguse otseste mõõtmiste instrumendi vead , - funktsiooni osatuletised muutuja suhtes.

Näitena saame valemi süstemaatilise vea arvutamiseks silindri ruumala mõõtmisel. Silindri ruumala arvutamise valem on

Osatuletised muutujate suhtes d ja h saab olema võrdne

,
.

Seega on valemi absoluutse süstemaatilise vea määramiseks silindri ruumala mõõtmisel vastavalt punktile (2. ..) järgmine kuju

kus
ja
instrumentaalsed vead silindri läbimõõdu ja kõrguse mõõtmisel

3. Juhusliku vea hindamine.

Usaldusintervall ja usalduse tõenäosus

Enamiku lihtsate mõõtmiste puhul on nn juhuslike vigade tavaseadus üsna hästi täidetud ( Gaussi seadus), mis tuleneb järgmistest empiirilistest sätetest.

mõõtmisvead võivad võtta pideva väärtuste seeria;

suure hulga mõõtmiste korral esinevad võrdselt sageli ühesuurused, kuid erineva märgiga vead,

Mida suurem on juhuslik viga, seda väiksem on selle esinemise tõenäosus.

Gaussi normaaljaotuse graafik on näidatud joonisel 1. Kõvera võrrandil on vorm

, (2)

kus
- juhuslike vigade (errors) jaotusfunktsioon, mis iseloomustab vea tõenäosust
, σ on ruutkeskmine viga.

Väärtus σ ei ole juhuslik suurus ja iseloomustab mõõtmisprotsessi. Kui mõõtmistingimused ei muutu, siis σ jääb konstantseks. Selle suuruse ruutu nimetatakse mõõtmiste hajutamine. Mida väiksem on dispersioon, seda väiksem on üksikute väärtuste levik ja seda suurem on mõõtmise täpsus.

Ruutkeskmise vea σ täpne väärtus, nagu ka mõõdetud suuruse tegelik väärtus, pole teada. Selle parameetri kohta on olemas nn statistiline hinnang, mille kohaselt keskmine ruutviga on võrdne aritmeetilise keskmise keskmise ruutveaga . Mille väärtus määratakse valemiga

, (3)

kus - tulemus i-th mõõde; - saadud väärtuste aritmeetiline keskmine; n on mõõtmiste arv.

Kuidas rohkem numbrit mõõtmised, seda väiksem ja rohkem see läheneb σ-le. Kui mõõdetud väärtuse μ tegelik väärtus, selle mõõtmiste tulemusel saadud aritmeetiline keskmine väärtus ja juhuslik absoluutviga , siis kirjutatakse mõõtmistulemus järgmiselt.
.

Väärtuste intervall alates
enne
, millesse mõõdetud suuruse μ tegelik väärtus langeb, nimetatakse usaldusvahemik. Kuna tegemist on juhusliku muutujaga, langeb tegelik väärtus tõenäosusega α usaldusvahemikku, mida nimetatakse usalduse tõenäosus, või usaldusväärsus mõõdud. See väärtus on arvuliselt võrdne varjutatud kõverjoonelise trapetsi pindalaga. (vaata pilti.)

Kõik see kehtib piisavalt suure arvu mõõtmiste kohta, kui on σ lähedal. Väikese arvu mõõtmiste usaldusvahemiku ja usaldustaseme leidmiseks, millega laboritöö käigus tegeleme, kasutame Tudengi tõenäosusjaotus. See on tõenäosusjaotus juhuslik muutuja helistas Üliõpilaste koefitsient, annab usaldusvahemiku väärtuse aritmeetilise keskmise ruutkeskmise vea murdosades.

. (4)

Selle suuruse tõenäosusjaotus ei sõltu σ 2-st, vaid sõltub sisuliselt katsete arvust n. Eksperimentide arvu suurenemisega n Studenti jaotus kaldub Gaussi jaotusele.

Jaotusfunktsioon on tabelina (tabel 1). Studenti koefitsiendi väärtus on mõõtmiste arvule vastava sirge lõikepunktis n, ja veerg, mis vastab usaldustasemele α

Tabel 1.

Tabelis olevaid andmeid kasutades saate:

määrata usaldusvahemik, arvestades teatud tõenäosust;

vali usaldusvahemik ja määra usaldustase.

Kaudsete mõõtmiste korral arvutatakse funktsiooni aritmeetilise keskmise ruutkeskmine viga valemiga

. (5)

Usaldusvahemik ja usaldustõenäosus määratakse samamoodi nagu otsemõõtmiste puhul.

Kogu mõõtmisvea hinnang. Lõpptulemuse salvestamine.

X mõõtetulemuse koguviga defineeritakse kui süstemaatiliste ja juhuslike vigade keskmine ruutväärtus

, (6)

kus δx - instrumentaalviga, Δ X on juhuslik viga.

X võib olla kas otseselt või kaudselt mõõdetav suurus.

, α=…, Е=… (7)

Tuleb meeles pidada, et vigade teooria valemid ise kehtivad paljude mõõtmiste puhul. Seetõttu määratakse juhuslikkuse väärtus ja järelikult ka koguviga väikese jaoks n suure veaga. Δ arvutamisel X mõõtmiste arvuga
Soovitatav on piirata ühte märgilist numbrit, kui see on suurem kui 3, ja kahte, kui esimene oluline arv on väiksem kui 3. Näiteks kui Δ X= 0,042, siis visake 2 kõrvale ja kirjutage Δ X=0,04 ja kui Δ X=0,123, siis kirjutame Δ X=0,12.

4. Mõõtmisvigade arvutamise metoodika.

Otseste mõõtmiste vead

Otsese mõõtmise tulemuste töötlemisel on soovitatav järgida järgmist toimingute järjekorda.

. (8)

Kogu viga määratakse

Hinnatakse mõõtmistulemuse suhtelist viga

Lõpptulemus on kirjutatud kujul

, kus α=… E=…%.

5. Kaudsete mõõtmiste viga

Kaudselt mõõdetud suuruse tegeliku väärtuse hindamisel, mis on teiste sõltumatute suuruste funktsioon
, saab kasutada kahte meetodit.

Esimene viis kasutatakse, kui väärtus y määratakse erinevates katsetingimustes. Sel juhul on iga väärtuse puhul
ja seejärel määratakse kõigi väärtuste aritmeetiline keskmine y i

. (9)

Süstemaatiline (instrumentaalne) viga leitakse valemi järgi kõikide mõõtmiste teadaolevate instrumentaalvigade põhjal. Juhuslik viga on sel juhul defineeritud kui otsene mõõtmisviga.

Teine viis kehtib, kui funktsioon y määratakse mitu korda samade mõõtmistega. Sel juhul arvutatakse väärtus keskmistest väärtustest. Meie laboripraktikas kasutatakse sagedamini teist kaudselt mõõdetava suuruse määramise meetodit y. Süstemaatiline (instrumentaalne) viga, nagu ka esimese meetodi puhul, leitakse kõigi mõõtmiste teadaolevate instrumentaalvigade põhjal valemi järgi

Kaudse mõõtmise juhusliku vea leidmiseks arvutatakse esmalt üksikute mõõtmiste aritmeetilise keskmise ruutkeskmised vead. Seejärel leitakse ruutkeskmine viga y. Usaldustõenäosuse α seadmine, Studenti koefitsiendi leidmine, juhuslike ja summaarsete vigade määramine toimub samamoodi nagu otsemõõtmiste puhul. Samamoodi esitatakse vormil kõigi arvutuste tulemus

, kus α=… E=…%.

6. Disaini näide laboritööd

Labor nr 1

SILINdri MAHU MÄÄRAMINE

Aksessuaarid: noonuse nihik jaotusväärtusega 0,05 mm, mikromeeter jaotusväärtusega 0,01 mm, silindriline korpus.

Eesmärk: lihtsaimate füüsikaliste mõõtmistega tutvumine, silindri ruumala määramine, otseste ja kaudsete mõõtmiste vigade arvutamine.

Töökäsk

Mõõtke nihikuga vähemalt 5 silindri läbimõõtu ja mikromeetriga kõrgust.

Arvutusvalem silindri ruumala arvutamiseks

kus d on silindri läbimõõt; h on kõrgus.

Mõõtmistulemused

Tabel 2.

;

Absoluutne viga

;
.

5. Suhteline viga ehk mõõtmise täpsus

; E = 0,5%.

6. Lõpptulemuse salvestamine

Uuritava koguse lõpptulemus kirjutatakse kujul

, E = 0,5%.

Märge. Lõppkirjes peab tulemuse ja absoluutvea numbrite arv olema sama.

6. Mõõtmistulemuste graafiline esitus

Füüsikaliste mõõtmiste tulemused esitatakse väga sageli graafilisel kujul. Graafikutel on mitmeid olulisi eeliseid ja väärtuslikke omadusi:

a) võimaldab määrata funktsionaalse sõltuvuse tüüpi ja selle kehtivuse piire;

b) võimaldab visuaalselt võrrelda katseandmeid teoreetilise kõveraga;

c) graafiku koostamisel siluvad need funktsiooni käigus hüppeid, mis tekivad juhuslike vigade tõttu;

d) võimaldavad määrata teatud suurusi või teostada graafilist diferentseerimist, integreerimist, võrrandi lahendamist vms.

Rafiki tehakse reeglina spetsiaalsel paberil (millimeetriline, logaritmiline, poollogaritmiline). Sõltumatu muutuja on tavaks joonistada piki horisontaaltelge, s.o. väärtus, mille väärtuse määrab katsetaja ise, ja piki vertikaaltelge väärtus, mille ta sel juhul määrab. Tuleb meeles pidada, et koordinaattelgede ristumiskoht ei pea langema kokku x ja y nullväärtustega. Koordinaatide lähtekoha valimisel tuleb juhinduda sellest, et kogu joonise ala on täielikult ära kasutatud (joonis 2.).

Graafiku koordinaattelgedel on näidatud mitte ainult suuruste nimetused või tähised, vaid ka nende mõõtühikud. Koordinaatide telgede skaala tuleks valida nii, et mõõdetud punktid paikneksid kogu lehe ala ulatuses. Samas peaks skaala olema lihtne, et graafikule punkte joonistades ei tehtaks aritmeetilisi arvutusi mõttes.

Katsepunktid graafikul peaksid olema kuvatud täpselt ja selgelt. Erinevates katsetingimustes (näiteks kuumutamisel ja jahutamisel) saadud punkte saab kasulikult joonistada erinevate värvide või erinevate ikoonidega. Kui katse viga on teada, siis on punkti asemel parem kujutada risti või ristkülikut, mille mõõtmed piki telge vastavad sellele veale. Katsepunkte ei soovitata omavahel katkendjoonega ühendada. Graafiku kõver tuleks joonistada sujuvalt, veendudes, et katsepunktid paikneksid nii kõvera kohal kui ka all, nagu on näidatud joonisel 3.

Graafikute joonistamisel kasutatakse lisaks ühtlase mõõtkavaga koordinaatsüsteemile nn funktsionaalskaalasid. Valides sobivad x ja y funktsioonid, saad graafikule lihtsama joone kui tavalise konstruktsiooniga. Sageli on see vajalik antud graafiku jaoks valemi valimisel selle parameetrite määramiseks. Funktsionaalseid skaalasid kasutatakse ka juhtudel, kui on vaja graafikul mõnda kõvera osa venitada või lühendada. Kõige sagedamini kasutatakse funktsionaalsetest skaaladest logaritmilist skaalat (joonis 4).

Dokument

Konkreetsetest tingimustest, nõuetest ja võimalustest hinnangudveadtulemusedmõõdud. Infoteooria üldiste põhimõtete kohaselt...

Mõõtmisvead

Dokument

V. I. Iveronova. M., Nauka, 1967. 4. P. V. Novitsky, I. A. Zograf. Hinneveadtulemusedmõõdud. L., Energoatomizdat, 1991. 5. Laboratoorsed tööd ...

Juhised mõõtmiste vigade määramiseks füüsika laboratoorses töökojas

Juhised

... mõõdud soovitud väärtus veatult sisaldab hinnevead kätte saanud tulemus. Ilma selliseta hinnangudtulemus... absoluutväärtus vead ja mina ise tulemusmõõdud. Tavaliselt täpsus hinnangudvead osutub väga...

Mõõtmise nr.

Kui soovitud füüsikalist suurust ei saa seadmega otse mõõta, vaid see väljendatakse mõõdetud suuruste kaudu valemi abil, siis nimetatakse selliseid mõõtmisi nn. kaudne.

Nagu otseste mõõtmiste puhul, saate arvutada kaudsete mõõtmiste keskmise absoluutvea (aritmeetilise keskmise) või ruutkeskmise vea.

Vigade arvutamise üldreeglid mõlemal juhul tuletatakse diferentsiaalarvutuse abil.

Olgu füüsikaline suurus j( x, y, z, ...) on mitme sõltumatu argumendi funktsioon x, y, z, ..., millest igaüks saab katseliselt määrata. Kogused määratakse otsemõõtmistega ja hinnatakse nende keskmisi absoluutvigu või ruutkeskmisi vigu.

Füüsikalise suuruse j kaudsete mõõtmiste keskmine absoluutviga arvutatakse valemiga

kus on φ osatuletised suhtes x, y, z arvutatakse vastavate argumentide keskmiste väärtuste jaoks.

Kuna valem kasutab summa kõigi liikmete absoluutväärtusi, hindab avaldis maksimaalse vea funktsiooni mõõtmisel sõltumatute muutujate antud maksimaalsete vigade korral.

Füüsikalise suuruse j kaudsete mõõtmiste ruutkeskmine viga

Füüsikalise suuruse j kaudsete mõõtmiste suhteline maksimaalne viga

kus jne.

Samamoodi saame kirjutada kaudsete mõõtmiste suhtelise ruutkeskmise vea j

Kui valem esindab avaldist, mis on mugav logaritmide võtmiseks (st korrutis, murdosa, võimsus), siis on mugavam kõigepealt arvutada suhteline viga. Selleks (keskmise absoluutvea korral) tuleks teha järgmist.

1. Võtke füüsikalise suuruse kaudse mõõtmise avaldise logaritm.

2. Eristage seda.

3. Kombineerige kõik sama diferentsiaaliga terminid ja võtke see sulgudest välja.

4. Võtke avaldis erinevate mooduldiferentsiaalide ees.

5. Formaalselt asendage diferentsiaalide ikoonid absoluutvea D ikoonidega.

Siis, teades e, saab valemiga arvutada absoluutvea Dj

Näide 1 Silindri ruumala kaudsete mõõtmiste maksimaalse suhtelise vea arvutamise valemi tuletamine.

Füüsikalise suuruse kaudse mõõtmise avaldis (algne valem)

Läbimõõdu väärtus D ja silindri kõrgus h mõõdetakse otse otseste mõõtmisvigadega instrumentidega D D ja D h.

Võtame algse valemi logaritmi ja saame

Eristage saadud võrrand

Asendades diferentsiaalide ikoonid absoluutvea D ikoonidega, saame lõpuks valemi silindri ruumala kaudsete mõõtmiste maksimaalse suhtelise vea arvutamiseks

Laboratoorses praktikas on enamik mõõtmisi kaudsed ja meile huvipakkuv kogus sõltub ühest või mitmest otseselt mõõdetud suurusest:

N= ƒ (x, y, z, ...) (13)

Nagu tõenäosusteooriast järeldub, määratakse suuruse keskmine väärtus, asendades otse mõõdetud suuruste keskmised väärtused valemiga (13), s.o.

¯ N= ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...) (14)

Kui sõltumatute muutujate vead on teada, on vaja leida selle funktsiooni absoluutsed ja suhtelised vead.

Mõelge kahele äärmuslikule juhtumile, kus vead on kas süstemaatilised või juhuslikud. Kaudsete mõõtmiste süstemaatilise vea arvutamise osas üksmeel puudub. Kui aga lähtuda süstemaatilise vea määratlusest maksimaalse võimaliku veana, siis on soovitav leida süstemaatiline viga valemid

(15) või

kus

osatuletisfunktsioonid N= ƒ(x, y, z, ...) argumendi x, y, z... suhtes, mis leitakse eeldusel, et kõik muud argumendid, välja arvatud see, mille suhtes tuletis leitakse, on konstantne;
δx, δy, δz on argumentide süstemaatilised vead.

Valemit (15) on mugav kasutada, kui funktsioonil on argumentide summa või erinevuse kuju. Avaldist (16) on soovitatav kasutada, kui funktsioonil on korrutise kuju või osaargumendid.

Leidmise eest juhuslik viga kaudsete mõõtmiste puhul peaksite kasutama valemeid:

(17) või

kus Δx, Δy, Δz, ... on antud usaldustõenäosuste (usaldusväärsuse) usaldusvahemikud argumentide x, y, z, ... jaoks. Tuleb meeles pidada, et usaldusvahemikud Δx, Δy, Δz, ... tuleb võtta sama usaldustõenäosusega P 1 = P 2 = ... = P n = P.

Sel juhul usaldusvahemiku Δ usaldusväärsus N saab ka P.

Valemit (17) on mugav kasutada, kui funktsioon N= ƒ(x, y, z, ...) on argumentide summa või erinevuse kujul. Valemit (18) on mugav kasutada, kui funktsioon N= ƒ(x, y, z, ...) on korrutise või osaliste argumentide kujul.

Tihti tuleb ette juhuseid, kus süstemaatiline viga ja juhuslik viga on teineteisele lähedal ning mõlemad määravad võrdselt tulemuse täpsuse. Sel juhul leitakse koguviga ∑ juhuslike Δ ja süstemaatiliste δ vigade ruutsummana, mille tõenäosus ei ole väiksem kui P, kus P on juhusliku vea usaldustõenäosus:

Kaudsete mõõtmiste tegemisel reprodutseerimata tingimustes funktsioon leitakse iga üksiku mõõtmise jaoks ja usaldusvahemik arvutatakse soovitud suuruse väärtuste saamiseks sama meetodiga nagu otsemõõtmiste puhul.

Tuleb märkida, et funktsionaalse sõltuvuse korral väljendatud valem, mugav logaritmide võtmiseks, on lihtsam esmalt määrata suhteline viga ja seejärel avaldisest Δ N = ε ¯ N leida absoluutne viga.

Enne mõõtmistega jätkamist peaksite alati mõtlema järgmistele arvutustele ja kirjutama välja valemid, mille abil vead arvutatakse. Need valemid võimaldavad teil mõista, milliseid mõõtmisi tuleks teha eriti hoolikalt ja millised ei nõua palju pingutusi.

Kaudsete mõõtmiste tulemuste töötlemisel pakutakse välja järgmine toimingute järjekord:

Töötle kõik otsemõõtmistel leitud suurused vastavalt otsemõõtmiste tulemuste töötlemise reeglitele. Sel juhul määrake kõigi mõõdetud suuruste jaoks sama usaldusväärsusväärtus P.
Hinnake kaudsete mõõtmiste tulemuse täpsust valemite (15) - (16) abil, kus tuletised arvutatakse keskmiste väärtustega.
Kui üksikute mõõtmiste viga sisaldub diferentseerimise tulemuses mitu korda, siis tuleb rühmitada kõik sama diferentsiaali sisaldavad terminid ja diferentsiaalile eelnevad avaldised sulgudes võta modulo; märk d asendada Δ-ga (või δ-ga).
Kui juhuslikud ja süstemaatilised vead on suurusjärgus lähedased, siis lisa need vastavalt vigade liitmise reeglile. Kui üks vigadest on vähem kui kolm korda või rohkem kui teine, siis visake väiksem viga ära.
Kirjutage mõõtmise tulemus kujul:
N= ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...) ± Δƒ.
Määrake kaudsete mõõtmiste seeria tulemuse suhteline viga
ε = ∆ƒ 100%.
¯¯ ƒ¯

Toome näiteid kaudse mõõtmise vea arvutamise kohta.

Näide 1 Silindri maht leitakse valemiga

V = π d 2 h,
4

kus d on silindri läbimõõt, h on silindri kõrgus.

Mõlemad kogused määratakse otse. Laske nende suuruste mõõtmisel saada järgmised tulemused:

d = (4,01 ± 0,03) mm,
h = (8,65 ± 0,02) mm, sama usaldusväärsusega Р = 0,95.
Helitugevuse keskmine väärtus vastavalt (14) on
V = 3,14 (4,01) 2 8,65 = 109,19 mm
4

Kasutades avaldist (18), saame:

ln V = ln π + 2 lnd + lnh - ln4;

;

Kuna mõõtmised tehti mikromeetriga, mille jagamisväärtus on 0,01 mm, süstemaatilised vead
δd = δh = 0,01 mm.(16) põhjal on süstemaatiline viga δV

Seetõttu osutub süstemaatiline viga võrreldavaks juhusliku veaga

Füüsikalise suuruse kaudsete mõõtmiste tulemuste töötlemisel, mis on funktsionaalselt seotud füüsikaliste suurustega A, B ja C, mida mõõdetakse otseselt, määrake kõigepealt valemite abil kaudse mõõtmise suhteline viga e = DX / X pr toodud tabelis (ilma tõenditeta).

Absoluutne viga määratakse valemiga DX \u003d X pr * e,

kus e on väljendatud koma, mitte protsentides.

Lõpptulemus registreeritakse samamoodi nagu otsemõõtmiste puhul.

Funktsiooni tüüp	Valem
X = A+B+C
X = A-B
X=ABC
X = A n
X = A/B
X=

(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm kasulik) Kuidas mõõta http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220

Näide: Arvutame dünamomeetri abil hõõrdeteguri mõõtmise vea. Kogemus on, et varda tõmmatakse ühtlaselt mööda horisontaalset pinda ja mõõdetakse rakendatud jõudu: see on võrdne libisemishõõrdejõuga.

Dünamomeetri abil kaalume varda koormustega: 1,8 N. F tr \u003d 0,6 N

μ = 0,33. Dünamomeetri instrumentaalne viga (leia tabelist) on Δ ja \u003d 0,05N, lugemisviga (pool skaala jaotusest)

Δ o \u003d 0,05N. Kaalu ja hõõrdejõu mõõtmise absoluutne viga on 0,1 N.

Suhteline mõõtmisviga (5. rida tabelis)

Seetõttu on μ kaudse mõõtmise absoluutne viga 0,22*0,33=0,074

Vastus:

Füüsikalise suuruse mõõtmine tähendab selle võrdlemist teise homogeense suurusega, mida võetakse mõõtühikuna. Mõõtmist saab teha kasutades:

1. mõõdud, mis on mõõtühiku näidised (meeter, kaal, liitrine anum jne),

2. mõõtevahendid (ampermeeter, manomeeter jne),

3. mõõtepaigaldised, mille all mõistetakse mõõtude, mõõtevahendite ja abielementide kogumit.

Mõõtmised on kas otsesed või kaudsed. Otsestel mõõtudel füüsikalist suurust mõõdetakse otse. Otsemõõtmised on näiteks pikkuse mõõtmine joonlauaga, aja mõõtmine stopperiga, voolutugevuse mõõtmine ampermeetriga.

Kaudsete mõõtmiste korral nad ei mõõda otseselt suurust, mille väärtust on vaja teada, vaid muid suurusi, millega soovitud suurus on seotud teatud matemaatilise sõltuvusega. Näiteks määratakse keha tihedus selle massi ja ruumala mõõtmisega ning takistus määratakse voolu ja pinge mõõtmisega.

Mõõtude ja mõõteriistade, aga ka meie meeleelundite ebatäiuslikkuse tõttu ei saa mõõtmisi teha täpselt, s.t. iga mõõtmine annab ainult ligikaudse tulemuse. Lisaks on sageli mõõtmistulemuste hälbe põhjuseks mõõdetava suuruse iseloom. Näiteks termomeetri või termopaariga mõõdetud temperatuur ahju teatud punktis kõigub konvektsiooni ja soojusjuhtivuse tõttu teatud piirides. Mõõtmistulemuse täpsuse hindamise mõõdupuuks on mõõtmisviga (mõõtmisviga).

Täpsuse hindamiseks näidatakse kas absoluutviga või suhtelist mõõtmisviga. Absoluutne viga väljendatud mõõdetud koguse ühikutes. Näiteks keha läbitud teelõiku mõõdetakse absoluutveaga . Suhteline mõõtmisviga on absoluutvea suhe mõõdetud suuruse väärtusesse. Antud näites on suhteline viga . Mida väiksem on mõõtmisviga, seda suurem on selle täpsus.

Mõõtmisvead jagunevad tekkeallikate järgi süstemaatiliseks, juhuslikuks ja jämedaks (miss).

1. Süstemaatilised vead- mõõtmisvead, mille väärtus jääb samaks korduvatel samal meetodil ja samu mõõtevahendeid kasutades teostatud mõõtmisel. Süstemaatiliste vigade põhjused on järgmised:

rikked, mõõtevahendite ebatäpsused

ebaseaduslikkus, kasutatud mõõtmistehnika ebatäpsus

Süstemaatiliste vigade näideteks võib olla temperatuuri mõõtmine nihutatud nullpunktiga termomeetriga, voolu mõõtmine valesti kalibreeritud ampermeetriga, keha kaalumine kaaluga kaalude abil, võtmata arvesse Archimedese üleslükkejõudu.

Süstemaatiliste vigade kõrvaldamiseks või vähendamiseks on vaja hoolikalt kontrollida mõõtevahendeid, mõõta samu suurusi erinevatel meetoditel ning teha parandused, kui vead on teada (ujuvusjõu parandused, termomeetri näitude parandused).

2. Rasked vead (vtted)- antud mõõtmistingimustes oodatava vea oluline ületamine. Puudused ilmnevad instrumendi näitude ebaõige salvestamise, instrumendi valede näitude, kaudsete mõõtmiste käigus tehtud arvutuste vigade tõttu. Möödajäämiste allikaks on eksperimenteerija tähelepanematus. Nende vigade kõrvaldamise viis on katsetaja täpsus, mõõtmisprotokollide ümberkirjutamise välistamine.

3. Juhuslikud vead- vead, mille väärtus muutub juhuslikult sama väärtuse korduval mõõtmisel samal meetodil samade instrumentidega. Juhuslike vigade allikaks on mõõtmistingimuste kontrollimatu reprodutseeritavus. Näiteks võivad mõõtmise ajal kontrollimatult muutuda temperatuur, õhuniiskus, atmosfäärirõhk, pinge elektrivõrgus ja katsetaja meelte seisund. Juhuslikke vigu on võimatu välistada. Kell mitu mõõtmist juhuslikud vead järgivad statistilisi seadusi ja nende mõju saab arvesse võtta.