Что такое земной эллипсоид. Земной эллипсоид. Основные референц-эллипсоиды и их параметры
Длина большой полуоси земного
эллипсоида а = 6 378 245 м, малой
b = 6 356 863 м. Разность между
полуосями 21.4 км. Отношение
называется сжатием Земли. Такие размеры земного эллипса установил проф. Н. Ф. Красовский. Постановлением Совета Министров СССР № 760 от 7 апреля 1946 г. размеры эллипсоида Н. Ф. Красовского приняты при всех геодезических, топографических и картографических работах СССР.
При решении большинства задач в судовождении величиной сжатия Земли, составляющей 0,3%, пренебрегают и принимают Землю за шар, объем которого равен объему земного эллипсоида. Исходя из этой условности, т. е. что
а подставив в эту формулу значения а и 6, определим радиус такого шара R = 6 371 110 м.
Основные точки, линии и круги
Воображаемые точки PN и PS пересечения оси вращения Земли с ее поверхностью называются полюсами Земли : северным (нордовым) и южным (зюйдовым), при этом северным считается полюс, со стороны которого вращение Земли направлено против часовой стрелки.Окружность большого круга EABQ (рис. 2), являющаяся следом пересечения поверхности земного шара плоскостью, перпендикулярной оси вращения PNPS и проходящей через его центр 0, называется экватором. Плоскость экватора делит земной шар на два полушария: северное и южное.
Окружности малых кругов, например eabq, е1а1b1q1, являющиеся следом пересечения поверхности земного шара плоскостями, параллельными плоскости экватора, называются параллелями.
Окружности больших кругов, например PN аAа1PS и PNbBb1PS, являющиеся следом пересечения поверхности земного шара плоскостями, проходящими через ось вращения Земли (меридиальными плоскостями), называются меридианами.
Параллелей и меридианов можно провести неограниченное количество, но через одну точку можно провести только одну параллель и один меридиан, которые называют соответственно параллелью данной точки или места и меридианом данной точки или места.
Рис. 2
По международной договоренности принято считать нулевым или начальным меридианом меридиан, проходящий через астрономическую обсерваторию в Гринвиче (близ Лондона). Он и ему противоположный делят земной шар на два полушария: восточное и западное.
Землю в первом приближении можно считать шаром. Во втором приближении Землю принимают за эллипсоид вращения; в некоторых исследованиях ее считают двухосным эллипсоидом. Геоид- тело принятое за теоретическую фигуру Земли, ограниченное поверхностью океанов в их спокойном состоянии, продолженной и под материками, Из-за неравномерности распределения масс в земной коре геоид имеет неправильную геометрическую форму, и его поверхность нельзя выразить математически, что необходимо для решения геодезических задач. При решении геодезических задач геоид заменяют близкими к нему геометрически правильными поверхностями. Так, для приближенных вычислений Землю принимают за шар с радиусом 6371 км. Ближе к форме геоида подходит эллипсоид – фигура, получаемая вращением эллипса (рис. 2.1) вокруг его малой оси. Размеры земного эллипсоида характеризуют следующими основными параметрами: a большая полуось, b малая полуось, полярное сжатие и e – первый эксцентриситет меридианного эллипса, где и.
Различают общеземной эллипсоид и референц-эллипсоид.
Центр общеземного эллипсоида помещают в центре масс Земли, ось вращения совмещают со средней осью вращения Земли, а размеры принимают такие, чтобы обеспечить наибольшую близость поверхности эллипсоида к поверхности геоида. Общеземной эллипсоид используют при решении глобальных геодезических задач, и в частности, при обработке спутниковых измерений. В настоящее время широко пользуются двумя общеземными эллипсоидами: ПЗ-90 (Параметры Земли 1990 г, Россия) и WGS-84 (Мировая геодезическая система 1984 г, США).
Референц-эллипсоид – эллипсоид, принятый для геодезических работ в конкретной стране. С референц-эллипсоидом связана принятая в стране система координат. Параметры референц-эллипсоида подбираются под условием наилучшей аппроксимации данной части поверхности Земли. При этом совмещения центров эллипсоида и Земли не добиваются.
В России с 1946 г. в качестве референц-эллипсоида используется эллипсоид Красовского с параметрами: а = 6 378 245 м, a = 1/ 298,3.
2.Системы координат в геодезии. Абсолютные и относительные высоты .
Системы координат, применяемые в геодезии
Для определения положения точек в геодезии применяют пространственные прямоугольные, геодезические и плоские прямоугольные координаты.
Пространственные прямоугольные координаты. Начало системы координат расположено в центре O земного эллипсоида (рис. 2.2).
Ось Z направлена по оси вращения эллипсоида к северу. ОсьХ лежит в пересечении плоскости экватора с начальнымгринвичским меридианом. ОсьY направлена перпендикулярно осямZ иX на восток.
Геодезические координаты. Геодезическими координатами точки являются ее широта, долгота и высота (рис. 2.2).
Геодезической широтой точки М называется уголВ , образованный нормалью к поверхности эллипсоида, проходящей через данную точку, и плоскостью экватора.
Широта отсчитывается от экватора к северу и югу от 0до 90и называется северной или южной. Северную широту считают положительной, а южнуюотрицательной.
Плоскости сечения эллипсоида, проходящие через ось OZ , называютсягеодезическими меридианами .
Геодезической долготой точкиМ называется двугранный уголL , образованный плоскостями начального (гринвичского) геодезического меридиана и геодезического меридиана данной точки.
Долготу отсчитывают от начального меридиана в пределах от 0до 360на восток, или от 0до 180на восток (положительные) и от 0до 180на запад (отрицательные).
Геодезической высотой точки М является ее высотаН над поверхностью земного эллипсоида.
Геодезические координаты с пространственными прямоугольными координатами связаны формулами
X = (N + H ) cosB cosL , Y = (N+H ) cosB sinL , Z = [(1 e 2 ) N+H ] sinB ,
где e первый эксцентриситет меридианного эллипса иN радиус кривизны первого вертикала. При этомN = a / (1e 2 sin 2 B ) 1/2 . Геодезические и пространственные прямоугольные координаты точек определяют с помощью спутниковых измерений, а также путем их привязки геодезическими измерениями к точкам с известными координатами. Отметим, что наряду с геодезическими существуют еще астрономические широта и долгота.Астрономическая широта этоугол, составленный отвесной линией в данной точке с плоскостью экватора.Астрономическая долгота – угол между плоскостями Гринвичского меридиана и проходящего через отвесную линию в данной точке астрономического меридиана. Астрономические координаты определяют на местности из астрономических наблюдений.Астрономические координаты отличаются от геодезических потому, что направления отвесных линий не совпадают с направлениями нормалей к поверхности эллипсоида. Угол между направлением нормали к поверхности эллипсоида и отвесной линией в данной точке земной поверхности называется уклонением отвесной линии .
Обобщением геодезических и астрономических координат является термин – географические координаты .
Плоские прямоугольные координаты. Для решения задач инженерной геодезии от пространственных и геодезических координат переходят к более простым – плоским координатам, позволяющим изображать местность на плоскости и определять положение точек двумя координатами х и у .
Поскольку выпуклую поверхность Земли изобразить на плоскости без искажений нельзя, введение плоских координат возможно только на ограниченных участках, где искажения так малы, что ими можно пренебречь. В России принята система прямоугольных координат, основой которой является равноугольная поперечно–цилиндрическая проекция Гаусса. Поверхность эллипсоида изображается на плоскости по частям, называемым зонами. Зоны представляют собой сферические двуугольники, ограниченные меридианами, и простирающиеся от северного полюса до южного (рис. 2.3). Размер зоны по долготе равен 6. Центральный меридиан каждой зоны называется осевым. Нумерация зон идет от Гринвича к востоку.
Долгота осевого меридиана зоны с номером N равна:
0 = 6 N 3 .
Осевой меридиан зоны и экватор изображаются на плоскости прямыми линиями (рис. 2.4). Осевой меридиан принимают за ось абсцисс x , а экватор за ось ординат y . Их пересечение (точка O ) служит началом координат данной зоны.
Чтобы избежать отрицательных значений ординат, координаты пересечения принимают равными x 0 = 0, y 0 = 500 км, что равносильно смещению оси х к западу на 500 км.
Чтобы по прямоугольным координатам точки можно было судить, в какой зоне она расположена, к ординате y слева приписывают номер координатной зоны.
Пусть например, координаты точки А имеют вид:
x А = 6 276 427 м,y А = 12 428 566 м
Эти координаты указывают на то, что точка А находится на расстоянии 6276427 м от экватора, в западной части (y 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 428566 = 71434 м от осевого меридиана. Для пространственных прямоугольных, геодезических и плоских прямоугольных координат в России принята единая система координат СК-95, закрепленная на местности пунктами государственной геодезической сети и построенная по спутниковым и наземным измерениям по состоянию на эпоху 1995 г
Системы высот
Счет высот в инженерной геодезии ведут от одной из уровенных поверхностей. Высотой точки называют расстояние по отвесной линии от точки до уровенной поверхности, принятой за начало счета высот.
Высоты являются абсолютными, если их отсчитывают от основной уровенной поверхности, то есть от поверхности геоида. На рис. 2.5 отрезки отвесных линий Аа и Вв абсолютные высоты точек А и В .
Высоты называют условными, если за начало счета высот выбрана какая-либо другая уровенная поверхность. На рис. 2.5 отрезки отвесных линий Аа и Вв условные высоты точек А и В .
В России принята Балтийская система высот. Счет абсолютных высот ведут от уровенной поверхности. Численное значение высоты принято называть отметкой. Например, если высота точки А равна H А = 15,378 м, то говорят, что отметка точки равна 15,378 м.
Разность высот двух точек называется превышением . Так, превышение точкиВ над точкойА равно
h AB = H В H A .
Зная высоту точки А , для определения высоты точкиВ на местности измеряют превышениеh AB . Высоту точкиВ вычисляют по формуле
H В = H A + h AB .
Измерение превышений и последующее вычисление высот точек называется нивелированием.
Абсолютную высоту точки следует отличать от ее геодезической высоты, то есть высоты, отсчитываемой от поверхности земного эллипсоида (см. раздел 2.2).Геодезическая высота отличается от абсолютной высоты на величину отклонения поверхности геоида от поверхности эллипсоида .
Изучение фигуры Земли относится к числу древнейших научных проблем естествознания, определенных потребностями практической деятельно
сти человека: землеизмерения, строительство оросительных систем в долине Нила, сооружения канала между Нилом и Красным морем и др. (X, IV в.в. до нашей эры), которые не могли быть осуществлены без соответствующего топографо-геодезического обеспечения.
Предположения о шарообразности земли появились в VI веке до нашей эры, а с IV века до нашей эры были высказаны некоторые из известных нам доказательств, что Земля имеет форму шара (Пифагор, Эратосфен). Античными учеными доказательства шарообразности Земли основывались на следующих явлениях:
- кругообразный вид горизонта на открытых пространствах, равнинах, морях и т.д.;
- круговая тень Земли на поверхности Луны при лунных затмениях;
- изменение высоты звезд при перемещении с севера (N) на юг (S) и обратно, обусловленное выпуклостью полуденной линии и др.
В сочинении «О небе» Аристотель (384 – 322 г.г. до н.э.) указывал, что Земля не только шарообразна по форме, но и имеет конечные размеры; Архимед (287 – 212 г.г. до н.э.) доказывал, что поверхность воды в спокойном состоянии является шаровой поверхностью. Ими же введено понятие о сфероиде Земли, как геометрической фигуре, близкой по форме к шару.
Современная теория изучения фигуры Земли берет начало от Ньютона (1643 – 1727 г.г.), открывшего закон всемирного тяготения и применившего его для изучения фигуры Земли.
К концу 80-х годов XVII века были известны законы движения планет вокруг Солнца, весьма точные размеры земного шара, определенные Пикаром из градусных измерений (1670 г.), факт убывания ускорения силы тяжести на поверхности Земли от севера (N) к югу (S), законы механики Галилея и исследования Гюйгенса о движении тел по криволинейной траектории. Обобщение указанных явлений и фактов привели ученых к обоснованному взгляду о сфероидичности Земли, т.е. деформации ее в направлении полюсов (сплюсности).
Знаменитое сочинение Ньютона – «Математические начала натуральной философии» (1867 г.) излагает новое учение о фигуре Земли. Ньютон пришел к выводу о том, что фигура Земли должна быть по форме в виде эллипсоида вращения с небольшим полярным сжатием (этот факт обосновывался им уменьшением длины секундного маятника с уменьшением широты и уменьшением силы тяжести от полюса к экватору из-за того, что «Земля на экваторе немного выше»).
Исходя из гипотезы, что Земля состоит из однородной массы плотности, Ньютон теоретически определил полярное сжатие Земли (α) в первом приближении равном, примерно, 1: 230.
На самом деле Земля неоднородна: кора имеет плотность 2,6 г/см3, тогда как средняя плотность Земли составляет 5,52 г/см3.
Неравномерное распределение масс Земли продуцирует обширные пологие выпуклости и вогнутости, которые сочетаясь образуют возвышенности, углубления, впадины и другие формы. Заметим, что отдельные возвышения над Землей достигают высот более 8000 метров над поверхностью океана. Известно, что поверхность Мирового океана (МО) занимает 71 %, суша – 29 %; средняя глубина МО (Мирового океана) 3800м, а средняя высота суши – 875 м. Общая площадь земной поверхности равна 510 х 106 км2.
Из приведенных данных следует, большая часть Земли покрыта водой, что дает основание принять ее за уровенную поверхность (УП)и, в конечном итоге, за общую фигуру Земли. Фигуру Земли можно представить, вообразив поверхность, в каждой точке которой сила тяжести направлена по нормали к ней (по отвесной линии).
Сложную фигуру Земли, ограниченную уровенной поверхностью, являющуюся началом отчета высот, принято называть геоидом. Иначе, поверхность геоида, как эквипотенциальная поверхность, фиксируется поверхностью океанов и морей, находящихся в спокойном состоянии. Под материками поверхность геоида определяется как поверхность, перпендикулярная силовым линиям (рис. 3-1).
P.S. Название фигуры Земли – геоид – предложено немецким ученым –физиком И.Б. Листигом (1808 – 1882 г.г.).
При картографировании земной поверхности, на основании многолетних исследований ученых, сложную фигуру геоида без ущерба для точности, заменяют математически более простой – эллипсоидом вращения.
Эллипсоид вращения – геометрическое тело, образующееся в результате вращения эллипса вокруг малой оси.
Эллипсоид вращения близко подходит к телу геоида (уклонение не превышает 150 метров в некоторых местах). Размеры земного эллипсоида определялись многими учеными мира.
Фундаментальные исследования фигуры Земли, выполненные русскими учеными Ф.Н. Красовским и А.А. Изотовым, позволили развить идею о трехосном земном эллипсоиде с учетом крупных волн геоида, в результате были получены его основные параметры:
а = 6 379 245 м, в = 6 356 863, α = 1: 298,3 (α = (а - в)/ а)
В последние годы (конец XX и начало XXI в.в.) параметры фигуры Земли и внешнего гравитационного потенциала определены с использованием космических объектов и применением астрономо–геодезических и гравиметрических методов исследований так надежно, что теперь речь идет об оценке их измерений во времени.
Трехосный земной эллипсоид, характеризующий фигуру Земли, подразделяют на общеземной эллипсоид (планетарный), подходящий для решения глобальных задач картографии и геодезии и референц – эллипсоид, который используют в отдельных регионах, странах мира и их частях.
P.S. Референц – эллипсоид – определенным образом ориентирован в теле Земли и принят для выполнения топографических, геодезических и картографических работ.
Эллипсоид вращения однозначно характеризуют два параметра, а именно: большая (экваториальная) полуось – «а» и полярное сжатие – «α». Для точных расчетов используют и другие параметры, такие как малая (полярная) полуось – «в» и первый эксцентриситет меридионального эллипса – «е». Выше указанные параметры взаимосвязаны друг с другом следующим образом:
α = (а - в)/а (11)
е2 =(а2 - в2)/а2 (12)
в = а (1 - α) = а√1 - е2 (13)
α = 1 - √1 - е2 (14)
е2 = α (2 - α) (15)
§ 1. Фигура и размеры Земли
Многочисленные исследования и измерения позволили установить, что Земля имеет форму неправильного в математическом отношении тела, называемого геоидом. Поверхность, образующая геоид, в отличие от физической поверхности Земли с ее неровностями (горы, впадины и т. п.) во всех своих точках горизонтальна, т. е. совпадает с нормалью к направлению силы тяжести и определяется как уровенная поверхность. В природе такая уровенная поверхность совпадает со средним уровнем воды океанов и открытых морей в спокойном состоянии (при отсутствии,волнения, течений, приливов и других возмущающих факторов), мысленно продолженным под все материки. Неправильность геоида обусловливается неравномерным распределением масс в толще Земли, от притягивающего действия которых зависит направление силы тяжести.
Теоретические исследования и результаты обработки астрономо-геодезических и гравиметрических измерений, а также результаты наблюдений за искусственными спутниками Земли показывают, что геоид близок к математически правильной фигуре - эллипсоиду вращения, образованному вращением эллипса вокруг его малой оси. Поэтому при производстве геодезических, картографических и других работ, требующих высокой точности, за фигуру Земли принимают эллипсоид вращения.
Величина отклонения по высоте поверхности геоида от поверхности земного эллипсоида, принятого в СССР и надлежащим образом подобранного по размерам и ориентированного в теле Земли, не превышает 100-150 м. Эллипсоид вращения практически отождествляется со сфероидом, представляющим фигуру равновесия вращающейся однородной жидкой массы. Отклонение по высоте поверхностей эллипсоида вращения и сфероида не превышает 2-3 м.
Определение размеров земного эллипсоида, имеющего наибольшую близость к фигуре Земли в целом, продолжает оставаться одной из основных задач высшей геодезии. Поэтому в разных странах обработку результатов геодезических и топографических работ относят к вспомогательной математической поверхности, представляющей земной эллипсоид с размерами, принятыми для данной страны. Эллипсоид с определенными размерами, к поверхности которого относят все результаты геодезических и топографических работ в государстве, называют референц - эллипсоидом.
Основными элементами, определяющими размеры земного эллипсоида, являются его полуоси: большая а и малая Ь. Кроме того, для характеристики земного эллипсоида, а также для некоторых расчетов применяются понятия: полярное сжатие α земного эллипсоида, выражаемое формулой
α = а - b / a, (1 формула)
и эксцентрицитет его (е), определяемый выражением
e = √ a 2 - b 2 / a (2 формула)
Начиная с 1946 г. для всех геодезических и картографических работ на территории СССР принимается референц-эллипсоид Ф. Н. Красовского с размерами:
- большая полуось а = 6 378 245 м;
- малая полуось b = 6 356 863 м;
- полярное сжатие α = 1:298,3;
- квадрат эксцентрицитета е 2 =1:149,15.
При выводе размеров референц-эллипсоида группой ученых, геодезистов, топографов и вычислителей под руководством профессора Ф. Н. Красовского были использованы обширнейшие материалы астрономических, геодезических и гравиметрических измерений, производившихся в СССР на протяжении многих лет, а также результаты аналогичных работ, выполненных в других странах. Размеры референц-эллипсоида Красовского подтверждаются также результатами обработки наблюдений за искусственными спутниками Земли, произведенных в последние годы.
Ориентирование в теле Земли земного эллипсоида с соответствующими размерами полуосей и сжатия характеризуется так называемыми исходными геодезическими датами. Исходными геодезическими датами называют координаты начального пункта триангуляции, определяющие его Широту В 0 , долготу L 0 , азимут A 0 на какой-либо смежный пункт и высоту h 0 поверхности геоида относительно поверхности референц-эллипсоида.
Эти даты принимаются за начальные при расчете координат всех других пунктов земной поверхности.
При- пользовании иностранными. картами следует помнить, что в разных странах приняты различные исходные геодезические даты. Поэтому одни и те же пункты на картах, изданных в разных странах, могут иметь различные координаты. Хотя это различие может быть и небольшим, но с ним в кораблевождении нужно считаться и перенос места корабля с одной карты на другую при плавании вблизи берегов следует производить не по географическим координатам, а по направлению и расстоянию до ближайшего опорного пункта, помещенного на обеих картах.
Принятие Земли за эллипсоид вращения является, по существу, вторым приближением при определении фигуры Земли. При решении некоторых задач практической навигации, не требующих высокой точности, оказывается возможным ограничиваться первым приближением в определении формы Земли - принимать Землю за шар. К таким задачам относятся вычисления дальности видимости ориентиров в море, расчеты для плавания по кратчайшему расстоянию, аналитические расчеты при определении места по радиопеленгам, расчеты по формулам аналитического счисления и некоторые другие.
Для определения величины радиуса Земли - шара обычно исходят из некоторых дополнительных условий.
Одним из них является условие, чтобы длина одной минуты дуги меридиана (или любого большого круга на шаре) была равна 1852 м, т. е. длине стандартной морской мили. В этом случае радиус шара, отвечающего поставленному условию, получится равным
R = 1852 * 60 * 360 / 2 π = 6 366 707 м.
При решении ряда задач картографии ставится условие, чтобы объем земного шара был равен объему земного эллипсоида или чтобы поверхность шара была равна поверхности эллипсоида. Длина радиуса R шара, одинакового с земным эллипсоидом объема, равна
R = кубический корень √ (a 2 * b) = 6371109,7 м.
Если ставится условие, чтобы поверхность шара была равна поверхности эллипсоида, то радиус такого шара принимается равным 
где М- радиус кривизны меридиана; N - радиус кривизны первого вертикала в данной точке.
§ 2. Географическая система координат
Положение точки на любой поверхности или в пространстве определяется совокупностью конкретных величин, называемых координатами. Координаты могут выражаться как в линейной, так и в угловой мере; они определяют положение координатных линий относительно принятых за начало осей координат. Для определения положения точек на земной поверхности могут применяться различные системы координат: географическая, прямоугольная, полярная и др. Наиболее употребительной является система географических координат.
Малая ось эллипсоида пересекает поверхность последнего в двух точках, которые называются северными и южным полюсами. Плоскости, проходящие через ось вращения Земли, называются плоскостями земных меридианов, которые в сечении с поверхностью Земли образуют большие круги, называемые меридианами. Плоскость, перпендикулярная земной оси и проходящая через центр эллипсоида, называется плоскостью экватора. Большой круг, образующийся от пересечения этой плоскости с поверхностью эллипсоида, называется земным экватором. Плоскости, параллельные плоскости земного экватора в сечении с поверхностью Земли, образуют малые круги, называемые земными параллелями. 
Координатными осями системы географических координат приняты: экватор и один из меридианов, принимаемый за начальный; координатными линиями являются земные параллели и меридианы, а величинами, определяющими положение точек, т. е. координатами, географическая широта и географическая долгота.
Географической широтой точки на поверхности Земли называется угол между нормалью к поверхности эллипсоида в этой точке и плоскостью экватора. Географическая широта в кораблевождении обозначается греческой буквой φ (фи). Счет широт ведется от экватора к полюсам от 0 до 90°. Широты северного полушария считаются положительными и при аналитических расчетах они принимаются со знаком плюс. Северные широты обозначаются буквой N. Широты точек южного полушария, обозначаемые буквой S, считаются отрицательными и им приписывается знак минус.
Географическая широта определяет положение параллели, на которой находится определяемая точка.
Географической долготой точки называется двугранный угол, образованный плоскостью начального меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через эту точку. Двугранный угол измеряется сферическим углом при полюсе между начальным меридианом и меридианом определяемой точки или численно равной ему дугой экватора, заключенной между названными меридианами.
За начальный меридиан в принципе может приниматься любой земной меридиан. По международному соглашению 1884 г. большинством стран мира, в том числе и Советским Союзом, за начальный принят меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию, расположенную около Лондона.
Счет географических долгот ведется к востоку и западу от Гринвичского меридиана от 0 до 180°. Географическая долгота в кораблевождении обозначается греческой буквой λ (ламбда). Долготы точек, находящихся в восточном полушарии, принято считать положительными (знак плюс), западные долготы считаются отрицательными (знак минус). При определении долготы той или иной точки земной поверхности обязательно указывают на ее наименование: восточной - Оst или, как сейчас принято, Е, западной - W. В зависимости от метода вычисления- географических координат различают координаты геодезические и астрономические.
В геометрическом определении геодезических координат, которые получаются в результате геодезических измерений (триангуляции, полигонометрии), никакой разницы с общей формулировкой географических координат нет. Места точек, фиксируемых геодезической широтой и геодезической долготой, относятся также к математически правильной фигуре-эллипсоиду вращения.
При определении места астрономическими способами наблюдатель имеет дело с линией отвеса, совпадающей с направлением силы тяжести, а не с нормалью к поверхности эллипсоида. Поэтому в астрономической системе координат широта определится как угол между плоскостью экватора и направлением отвеса в данной точке. Долгота места, определенного астрономическим способом, представляет собой двугранный угол между плоскостью начального меридиана (меридиана Гринвича) и плоскостью астрономического меридиана данной точки. Примененный термин-астрономический меридиан - надо понимать как след от сечения земной поверхности плоскостью, проходящей через отвесную линию в данной точке и параллельной оси мира. Из определения астрономических координат видно, что они в отличие от геодезических координат фиксируют положение точек относительно поверхности действительной фигуры Земли-геоида. 
Нормаль к поверхности земного эллипсоида в общем случае не проходит через центр Земли. Вместе с тем при решении астрономических задач, а также ряда специальных задач математической картографии появляется необходимость определять положение точек земной поверхности относительно центра Земли. В этом случае долгота произвольной точки К определится также, как и в географической системе координат, а, широта получится как угол между плоскостью экватора и прямой, соединяющей данную точку с центром эллипсоида. Такая широта называется геоцентрической широтой и обозначается φ". На рисунке видно, что геоцентрическая широта в общем случае меньше географической широты на величину редукции r широты, которая может быть подсчитана по формуле
r"" = φ - φ" = α sin 2 φ / arc 1"" (3 формула)
Для точек, расположенных на экваторе и на полюсе, редукция широты равна нулю. Наибольшего значения (11,5") редукция достигает в широте 45°.
В случаях, когда форма Земли принимается за шар, положение точек на Земле-шаре определяется так же, как и на поверхности эллипсоида, их географическими координатами, т. е. широтой и долготой. Но нормаль на Земле-шаре совпадает с его радиусом. 
Поэтому географической широтой φ некоторой точки М на земном шаре будет угол при центре сферы между плоскостью экватора и радиусом, проходящим через определяемую точку. Из сопоставления определений широты видно, что геоцентрическая широта является лишь частным случаем широты сферической.
Глава 1
§ 3. Разность широт и разность долгот
Географические координаты - широта и долгота - однозначно определяют положение конкретной точки земной поверхности. Переход от одной точки земной поверхности к другой сопровождается изменением их географических координат. Точки, лежащие на одной параллели, имеют одинаковую широту и разные долготы. Точки, расположенные на одном меридиане, имеют одну и ту же долготу и различные широты. В общем случае две точки, не находящиеся на одном меридиане или на одной параллели, имеют разные широты и разные долготы. В практике кораблевождения часто необходимо знать, как изменились или изменятся географические координаты при переходе из одной точки земной поверхности в другую, и уметь вычислять эти изменения. Величинами, характеризующими изменение географических координат при переходе от одной точки земной поверхности к другой, являются разность широт и разность долгот.
Разностью широт (РШ) двух точек на поверхности Земли называется дуга меридиана, заключенная между параллелями этих точек.
Для вычисления разности широт пользуются формулой
РШ = φ 2 - φ 1 ,
принимая во внимание при этом знаки + и - соответственно их наименованию. Действительно, на рисунке видно, что изменение широты (РШ) при переходе корабля из точки А в точку Б характеризуется дугой А"Б, численно равной разности дуг меридианов точек прихода Б и отхода А, определяемых соответственно широтами φ Б и φ А.
Рассчитанной по формуле (4) разности широт приписывается знак плюс, если она совершена к N, и знак минус, если разность широт совершена к S. Разность широт может изменяться от 0 до ±180°.
Разность долгот (РД), характеризующая изменение долготы, как видно из рисунка, представляет собой центральный угол между меридианами двух точек. Этот угол измеряется дугой экватора между указанными меридианами. На этом основании разностью долгот двух точек на поверхности Земли называется меньшая из дуг экватора, заключенная между меридианами этих точек. Из этого определения следует, что разность долгот может иметь значения от 0 до ±180°. С учетом ранее принятых обозначений (для восточной долготы знак плюс и для западной - минус) можно написать формулу для вычисления РД двух точек:
РД = λ 2 - λ 1
Разность долгот будет иметь знак плюс, если она совершена к Ost, и знак минус, если она совершена к W. Указанное правило имеет следующий геометрический смысл: если меридиан пункта прихода λ 2 располагается восточнее меридиана пункта отхода λ 1, значит, разность долгот сделана к Оst и ей приписывается знак плюс. И наоборот, когда меридиан пункта прихода расположен западнее меридиана пункта отхода, разность долгот сделана к W и ей приписывается знак минус.
При решении задачи на расчет РД по формуле может получиться результат, превышающий 180°. В этих случаях для нахождения меньшей из дуг экватора полученный результат следует вычесть из 360° и изменить знак (наименование) его на обратный.
Параметры земного эллипсоида
Земной эллипсоид имеет три основных параметра, любые два из которых однозначно определяют его фигуру:
Существуют также и другие параметры эллипсоида:
Для практической реализации земной эллипсоид необходимо ориентировать в теле Земли . При этом выдвигается общее условие: ориентирование должно быть выполнено таким образом, чтобы разности астрономических и геодезических координат были минимальными.
Референц-эллипсоид
Фигура референц-эллипсоида наилучшим образом подходит для территории отдельной страны или нескольких стран. Как правило, референц-эллипсоиды принимаются для обработки геодезических измерений законодательно . В России/CCCР с года используется эллипсоид Красовского .
Ориентирование референц-эллипсоида в теле Земли подчиняется следующим требованиям:
- Малая полуось эллипсоида (b ) должна быть параллельна оси вращения Земли.
- Поверхность эллипсоида должна находиться возможно ближе к поверхности геоида в пределах данного региона.
Для закрепления референц-эллипсоида в теле Земли необходимо задать геодезические координаты B 0 , L 0 , H 0 начального пункта геодезической сети и начальный азимут A 0 на соседний пункт. Совокупность этих величин называется исходными геодезическими датами .
Основные референц-эллипсоиды и их параметры
| Учёный | Год | Страна | a, м | 1/f |
|---|---|---|---|---|
| Деламбр | 1800 | Франция | 6 375 653 | 334,0 |
| Деламбр | 1810 | Франция | 6 376 985 | 308,6465 |
| Вальбек | 1819 | Финляндия,Российская Империя | 6 376 896 | 302,8 |
| Airy | 1830 | 6 377 563,4 | 299.324 964 6 | |
| Эверест | 1830 | Индия, Пакистан, Непал, Шри-Ланка | 6 377 276,345 | 300.801 7 |
| Бессель | 1841 | Германия, Россия (до 1942 г.) | 6 377 397,155 | 299.152 815 4 |
| Теннер | 1844 | Россия | 6 377 096 | 302.5 |
| Кларк | 1866 | США, Канада, Лат. и Центр. Америка | 6 378 206,4 | 294.978 698 2 |
| Кларк | 1880 | Франция, ЮАР | 6 377 365 | 289.0 |
| Листинг | 1880 | 6 378 249 | 293.5 | |
| Гельмерт | 1907 | 6 378 200 | 298,3 | |
| Хейфорд | 1910 | Европа, Азия, Ю.Америка, Антарктида | 6 378 388 | 297,0 |
| Хейсканен | 1929 | 6 378 400 | 298,2 | |
| Красовский | 1936 | СССР | 6 378 210 | 298,6 |
| Красовский | 1940 | СССР,Россия, страны СНГ, вост. Евр, Антарктида | 6 378 245 | 298.299 738 1 |
| Эверест | 1956 | Индия, Непал | 6 377 301,243 | 300.801 7 |
| IAG-67 | 1967 | 6 378 160 | 298.247 167 | |
| WGS-72 | 1972 | 6 378 135 | 298.26 | |
| IAU-76 | 1976 | 6 378 140 | 298.257 | |
| ПЗ-90 | 1990 | Россия | 6 378 136 | 298.258 |
Общеземной эллипсоид
Общеземной эллипсоид должен быть ориентирован в теле Земли согласно следующим требованиям:
При ориентировании общеземного эллипсоида в теле Земли (в отличие от референц-эллипсоида) нет необходимости вводить исходные геодезические даты.
Поскольку требования к общеземным эллипсоидам на практике удовлетворяются с некоторыми допусками, а выполнение последнего (3) в полном объеме невозможно, то в геодезии и смежных науках могут использоваться различные реализации эллипсоида, параметры которых очень близки, но не совпадают (см. ниже).
Современные общеземные эллипсоиды и их параметры
| Название | Год | Страна/организация | a, м | точность m a , м | 1/f | точность m f | Примечание |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| GRS80 | 1980 | МАГГ (IUGG) | 6 378 137 | ± 2 | 298,257 222 101 | ± 0,001 | (англ. Geodetic Reference System 1980) разработан Международной Ассоциацией Геодезии и Геофизики (англ. International Union of Geodesy and Geophysics ) и рекомендован для геодезических работ |
| WGS84 | 1984 | США | 6 378 137 | ± 2 | 298,257 223 563 | ± 0,001 | (англ. World Geodetic System 1984) применяется в системе спутниковой навигации GPS |
| ПЗ-90 | 1990 | СССР | 6 378 136 | ± 1 | 298,257 839 303 | ± 0,001 | (Параметры Земли 1990 года) используется на территории России для геодезического обеспечения орбитальных полетов. Этот эллипсоид применяется в системе спутниковой навигации ГЛОНАСС |
| МСВЗ (IERS) | 1996 | IERS | 6 378 136,49 | - | 298,256 45 | - | (англ. International Earth Rotation Service 1996 ) рекомендован Международной службой вращения Земли для обработки РСДБ -наблюдений |
