Sirgete vahelise nurga arvutamine. Ruumi sirgjoonte vaheline nurk. Nurk kahe sirge vahel
Igal matemaatika ühtseks riigieksamiks valmistuval õpilasel on kasulik korrata teemat "Sirgete vahelise nurga leidmine". Nagu näitab statistika, tekitavad selle stereomeetria sektsiooni ülesanded sertifitseerimistesti sooritamisel raskusi paljudele õpilastele. Samas leiab ühtsest riigieksamist nii põhi- kui ka sirgete vahelise nurga leidmist nõudvad ülesanded. profiili tase. See tähendab, et igaüks peaks suutma need lahendada.
Põhilised hetked
Kosmoses on 4 tüüpi suhteline positsioon sirge Need võivad kokku langeda, ristuda, olla paralleelsed või ristuvad. Nurk nende vahel võib olla terav või sirge.
Ridadevahelise nurga leidmiseks ühtsel riigieksamil või näiteks lahendamisel saavad Moskva ja teiste linnade koolilapsed selles stereomeetria jaotises probleemide lahendamiseks kasutada mitmeid viise. Ülesande saate täita klassikaliste konstruktsioonide abil. Selleks tasub selgeks õppida stereomeetria põhiaksioomid ja teoreemid. Õpilane peab oskama loogiliselt arutleda ja jooniseid koostada, et viia ülesanne planimeetrilise ülesandeni.
Võite kasutada ka vektorkoordinaatide meetodit kasutades lihtsad valemid, reeglid ja algoritmid. Peamine asi on sel juhul teha kõik arvutused õigesti. Lihvige oma oskusi stereomeetria ja muude valdkondade probleemide lahendamisel koolikursus Shkolkovo haridusprojekt aitab teid.
See materjal on pühendatud sellisele kontseptsioonile nagu kahe ristuva joone vaheline nurk. Esimeses lõigus selgitame, mis see on, ja näitame seda illustratsioonides. Seejärel vaatame, kuidas saab leida selle nurga siinuse, koosinuse ja nurga enda (vaatame eraldi juhtumeid tasapinna ja ruumilise ruumiga), anname vajalikud valemid ja näitame näidetega täpselt kuidas neid praktikas kasutatakse.
Selleks, et mõista, mis on kahe sirge lõikumisel tekkiv nurk, peame meeles pidama nurga, perpendikulaarsuse ja lõikepunkti määratlust.
Definitsioon 1
Me nimetame kahte sirget ristuvateks, kui neil on üks ühine punkt. Seda punkti nimetatakse kahe sirge lõikepunktiks.
Iga sirge jagatakse ristumispunktiga kiirteks. Mõlemad sirgjooned moodustavad 4 nurka, millest kaks on vertikaalsed ja kaks külgnevad. Kui me teame ühe neist mõõtu, saame määrata ülejäänud.
Oletame, et teame, et üks nurkadest on võrdne α-ga. Sel juhul on selle suhtes vertikaalne nurk samuti võrdne α-ga. Ülejäänud nurkade leidmiseks peame arvutama erinevuse 180 ° - α. Kui α on 90 kraadi, on kõik nurgad täisnurgad. Täisnurga all lõikuvaid sirgeid nimetatakse risti (perpendikulaarsuse mõistele on pühendatud eraldi artikkel).
Vaata pilti:
Liigume edasi põhimääratluse sõnastamise juurde.
2. definitsioon
Kahe ristuva sirge moodustatud nurk on need kaks joont moodustavast neljast nurgast väiksema mõõt.
Definitsioonist tuleb teha oluline järeldus: nurga suurust väljendatakse sel juhul mis tahes tegelik arv intervallis (0, 90]. Kui sirged on risti, siis on nendevaheline nurk igal juhul võrdne 90 kraadiga.
Võimalus leida kahe ristuva sirge vahelise nurga mõõt on kasulik paljude praktiliste ülesannete lahendamisel. Lahendusmeetodi saab valida mitme variandi vahel.
Alustuseks võime võtta geomeetrilised meetodid. Kui me teame midagi täiendavate nurkade kohta, siis saame need seostada vajaliku nurgaga, kasutades võrdsete või sarnaste kujundite omadusi. Näiteks kui me teame kolmnurga külgi ja peame arvutama nurga nende sirgete vahel, millel need küljed asuvad, siis meie lahenduseks sobib koosinusteoreem. Kui meil on tingimus täisnurkne kolmnurk, siis vajame arvutusteks ka teadmisi nurga siinuse, koosinuse ja tangensi kohta.
Seda tüüpi ülesannete lahendamiseks on väga mugav ka koordinaatmeetod. Selgitame, kuidas seda õigesti kasutada.
Meil on ristkülikukujuline (Cartesiuse) koordinaatsüsteem O x y, milles on antud kaks sirget. Tähistame neid tähtedega a ja b. Sirgeid saab kirjeldada mõne võrrandi abil. Algsete joonte lõikepunkt on M. Kuidas määrata nende sirgete vahel vajalikku nurka (tähistame α-ga)?
Alustame nurga leidmise aluspõhimõtte sõnastamisest etteantud tingimustel.
Teame, et sirge mõiste on tihedalt seotud selliste mõistetega nagu suunavektor ja normaalvektor. Kui meil on mingi kindla sirge võrrand, saame sealt võtta nende vektorite koordinaadid. Seda saame teha kahe risuva sirge jaoks korraga.
Kahe ristuva joonega piiratud nurga saab leida kasutades:
- nurk suunavektorite vahel;
- nurk normaalvektorite vahel;
- nurk ühe sirge normaalvektori ja teise joone suunavektori vahel.
Nüüd vaatame iga meetodit eraldi.
1. Oletame, et meil on sirge a suunavektoriga a → = (a x, a y) ja sirge b suunavektoriga b → (b x, b y). Nüüd joonistame lõikepunktist kaks vektorit a → ja b →. Pärast seda näeme, et nad asuvad igaüks oma sirgjoonel. Siis on meil nende suhtelise paigutuse jaoks neli võimalust. Vaata illustratsiooni:
Kui kahe vektori vaheline nurk ei ole nüri, on see nurk, mida vajame ristuvate sirgete a ja b vahel. Kui see on nüri, võrdub soovitud nurk nurgaga a →, b → ^ külgneva nurgaga. Seega α = a → , b → ^, kui a → , b → ^ ≤ 90 ° , ja α = 180 ° - a → , b → ^ kui a → , b → ^ > 90 ° .
Lähtudes sellest, et võrdsete nurkade koosinused on võrdsed, saame saadud võrrandid ümber kirjutada järgmiselt: cos α = cos a →, b → ^, kui a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, kui a →, b → ^ > 90 °.
Teisel juhul kasutati redutseerimisvalemeid. Seega
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Kirjutame viimase valemi sõnadega:
3. määratlus
Kahe ristuva sirge moodustatud nurga koosinus on võrdne selle suunavektorite vahelise nurga koosinusmooduliga.
Kahe vektori a → = (a x, a y) ja b → = (b x, b y) vahelise nurga koosinuse valemi üldvorm näeb välja järgmine:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Sellest saame tuletada kahe antud sirge vahelise nurga koosinuse valemi:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Seejärel saab nurga enda leida järgmise valemi abil:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Siin on a → = (a x , a y) ja b → = (b x , b y) antud sirgete suunavektorid.
Toome näite probleemi lahendamisest.
Näide 1
Tasapinna ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on antud kaks lõikuvat sirget a ja b. Neid saab kirjeldada parameetriliste võrranditega x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ja x 5 = y - 6 - 3. Arvutage nende joonte vaheline nurk.
Lahendus
Meie tingimuses on parameetriline võrrand, mis tähendab, et selle sirge jaoks saame kohe kirja panna selle suunavektori koordinaadid. Selleks peame võtma parameetri koefitsientide väärtused, st. sirgjoonel x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R on suunavektor a → = (4, 1).
Teist rida kirjeldatakse kanoonilise võrrandi x 5 = y - 6 - 3 abil. Siin saame koordinaadid nimetajatest võtta. Seega on sellel sirgel suunavektor b → = (5 , - 3) .
Järgmisena liigume otse nurga leidmise juurde. Selleks lihtsalt asendage kahe vektori olemasolevad koordinaadid ülaltoodud valemiga α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Saame järgmise:
α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Vastus: need sirgjooned moodustavad 45 kraadise nurga.
Sarnase ülesande saame lahendada normaalvektorite vahelise nurga leidmisega. Kui meil on sirge a normaalvektoriga n a → = (n a x , n a y) ja sirge b normaalvektoriga n b → = (n b x , n b y), siis on nendevaheline nurk võrdne nurgaga n a → ja n b → või nurk, mis külgneb nurgaga n a →, n b → ^. See meetod on näidatud pildil:
Valemid ristumisjoonte ja selle nurga enda vahelise nurga koosinuse arvutamiseks koordinaatide abil normaalvektorid näeb välja selline:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n a x b 2 y 2
Siin n a → ja n b → tähistavad kahe antud sirge normaalvektoreid.
Näide 2
Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on toodud kaks sirget võrrandite 3 x + 5 y - 30 = 0 ja x + 4 y - 17 = 0 abil. Leidke nendevahelise nurga siinus ja koosinus ning selle nurga enda suurus.
Lahendus
Algsed read määratakse tavaliste joonvõrrandite abil kujul A x + B y + C = 0. Tähistame normaalvektorit n → = (A, B). Leiame ühe rea esimese normaalvektori koordinaadid ja kirjutame need üles: n a → = (3, 5) . Teise rea x + 4 y - 17 = 0 korral on normaalvektori koordinaadid n b → = (1, 4). Nüüd lisame saadud väärtused valemile ja arvutame kokku:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Kui teame nurga koosinust, saame selle siinuse arvutada trigonomeetrilise põhiidentiteedi abil. Kuna sirgjoonte moodustatud nurk α ei ole nüri, siis sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
Sel juhul α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Vastus: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Analüüsime viimast juhtumit - sirgete vahelise nurga leidmist, kui teame ühe sirge suunavektori ja teise normaalvektori koordinaate.
Oletame, et sirgel a on suunavektor a → = (a x , a y) ja sirgel b normaalvektor n b → = (n b x , n b y) . Peame need vektorid ristumispunktist kõrvale panema ja kaaluma kõiki nende suhteliste positsioonide võimalusi. Vaata pildilt:
Kui antud vektorite vaheline nurk ei ole suurem kui 90 kraadi, siis selgub, et see täiendab a ja b vahelist nurka täisnurgaks.
a → , n b → ^ = 90 ° - α , kui a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Kui see on alla 90 kraadi, saame järgmise:
a → , n b → ^ > 90 ° , siis a → , n b → ^ = 90 ° + α
Kasutades võrdsete nurkade koosinuste võrdsuse reeglit, kirjutame:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α a → , n b → ^ ≤ 90 ° korral.
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α a → , n b → ^ > 90 ° korral.
Seega
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Sõnastame järelduse.
4. määratlus
Kahe tasapinnal lõikuva sirge vahelise nurga siinuse leidmiseks tuleb arvutada esimese sirge suunavektori ja teise normaalvektori vahelise nurga koosinusmoodul.
Paneme selle kirja vajalikud valemid. Nurga siinuse leidmine:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Nurga enda leidmine:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Siin on a → esimese rea suunavektor ja n b → teise rea normaalvektor.
Näide 3
Kaks lõikuvat sirget on antud võrranditega x - 5 = y - 6 3 ja x + 4 y - 17 = 0. Leidke ristumisnurk.
Lahendus
Antud võrranditest võtame juht- ja normaalvektori koordinaadid. Selgub, et a → = (- 5, 3) ja n → b = (1, 4). Võtame valemi α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 ja arvutame:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Pange tähele, et võtsime võrrandid eelmisest ülesandest ja saime täpselt sama tulemuse, kuid erineval viisil.
Vastus:α = a r c sin 7 2 34
Toome välja veel ühe võimaluse soovitud nurga leidmiseks antud sirgete nurkkoefitsientide abil.
Meil on sirge a, mis on defineeritud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis võrrandiga y = k 1 x + b 1, ja sirge b, mis on defineeritud kui y = k 2 x + b 2. Need on nõlvadega joonte võrrandid. Ristmikunurga leidmiseks kasutame valemit:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, kus k 1 ja k 2 on antud sirgete kalded. Selle rekordi saamiseks kasutati normaalvektorite koordinaatide kaudu nurga määramise valemeid.
Näide 4
Tasapinnas ristuvad kaks sirget, võrranditega antud y = - 3 5 x + 6 ja y = - 1 4 x + 17 4 . Arvutage ristumisnurga väärtus.
Lahendus
Meie joonte nurkkoefitsiendid on võrdsed k 1 = - 3 5 ja k 2 = - 1 4. Liidame need valemisse α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ja arvutame:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Vastus:α = a r c cos 23 2 34
Selle lõigu järeldustes tuleb märkida, et siin toodud nurga leidmise valemeid ei pea pähe õppima. Selleks piisab etteantud sirgete juhiste ja/või normaalvektorite koordinaatide teadmisest ning nende määramise oskusest erinevat tüüpi võrrandite abil. Kuid parem on meeles pidada või üles kirjutada nurga koosinuse arvutamise valemid.
Kuidas arvutada ruumis ristuvate joonte vahelist nurka
Sellise nurga arvutamise võib taandada suunavektorite koordinaatide arvutamisele ja nende vektoritega moodustatud nurga suuruse määramisele. Selliste näidete puhul kasutatakse samu arutluskäike, mida me varem esitasime.
Oletame, et meil on ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, mis asub aadressil kolmemõõtmeline ruum. See sisaldab kahte sirget a ja b lõikepunktiga M. Suunavektorite koordinaatide arvutamiseks peame teadma nende sirgete võrrandeid. Tähistame suunavektorid a → = (a x , a y , a z) ja b → = (b x , b y , b z) . Nendevahelise nurga koosinuse arvutamiseks kasutame valemit:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Nurga enda leidmiseks vajame järgmist valemit:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Näide 5
Meil on sirge, mis on defineeritud kolmemõõtmelises ruumis, kasutades võrrandit x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. On teada, et see lõikub O z teljega. Arvutage lõikenurk ja selle nurga koosinus.
Lahendus
Arvutatavat nurka tähistame tähega α. Kirjutame üles esimese sirge suunavektori koordinaadid – a → = (1, - 3, - 2) . Rakendustelje puhul saame juhiseks võtta koordinaatvektori k → = (0, 0, 1). Oleme saanud vajalikud andmed ja saame lisada need soovitud valemisse:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Selle tulemusena leidsime, et vajalik nurk on võrdne a r c cos 1 2 = 45 °.
Vastus: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Probleem 1
Leidke ridade $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ ja $\left\( vahelise nurga koosinus \begin(massiivi )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(massiivi)\right $.
Olgu ruumis antud kaks rida: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ ja $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Valime suvalise ruumipunkti ja tõmbame selle kaudu kaks andmetega paralleelset abijoont. Nende joonte vaheline nurk on mis tahes kahest külgnevast nurgast, mille moodustavad abijooned. Ühe sirgjoonte vahelise nurga koosinuse saab leida tuntud valemiga $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Kui väärtus $\cos \phi >0$, siis saame terav nurk ridade vahel, kui $\cos \phi
Esimese rea kanoonilised võrrandid: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.
Teise rea kanoonilised võrrandid saab parameetrilistest võrranditest:
\ \ \
Seega on selle rea kanoonilised võrrandid: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.
Arvutame:
\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ vasak(-3\parem)^(2) +4^(2) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) = \ frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \umbes 0,9449.\]
Probleem 2
Esimene rida läbib antud punkte $A\left(2,-4,-1\right)$ ja $B\left(-3,5,6\right)$, teine rida läbib antud punkte $ C\left (1,-2,8\right)$ ja $D\left(6,7,-2\right)$. Leidke nende joonte vaheline kaugus.
Olgu teatud sirge sirgetega $AB$ ja $CD$ risti ning lõikub neid vastavalt punktides $M$ ja $N$. Nendel tingimustel on lõigu $MN$ pikkus võrdne joonte $AB$ ja $CD$ vahelise kaugusega.
Konstrueerime vektori $\overline(AB)$:
\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]
Laske sirgete vahekaugust kujutaval lõigul läbida punkti $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ joonel $AB$.
Konstrueerime vektori $\overline(AM)$:
\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ riba(j)+\left(z_(M) -\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(M) -2\right)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]
Vektorid $\overline(AB)$ ja $\overline(AM)$ on samad, seega on need kollineaarsed.
On teada, et kui vektorid $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ ja $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ on kollineaarsed, siis on nende koordinaadid on proportsionaalsed, siis on $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\ it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.
$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, kus $m $ on jagamise tulemus.
Siit saame: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.
Lõpuks saame punkti $M$ koordinaatide jaoks avaldised:
Konstrueerime vektori $\overline(CD)$:
\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ vasak(-2-8\right)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]
Laske sirgete vahekaugust tähistaval lõigul läbida punkti $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ joonel $CD$.
Konstrueerime vektori $\overline(CN)$:
\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ riba(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]
Vektorid $\overline(CD)$ ja $\overline(CN)$ langevad kokku, seega on nad kollineaarsed. Rakendame vektorite kollineaarsuse tingimust:
$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, kus $n $ on jagamise tulemus.
Siit saame: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.
Lõpuks saame avaldised punkti $N$ koordinaatide jaoks:
Konstrueerime vektori $\overline(MN)$:
\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\left(z_(N) -z_(M) \parem)\cdot \bar(k).\]
Asendame punktide $M$ ja $N$ koordinaatide avaldised:
\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) m\right)\right)\cdot \bar(k).\]
Pärast sammude täitmist saame:
\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right) )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]
Kuna jooned $AB$ ja $MN$ on risti, on vastavate vektorite skalaarkorrutis võrdne nulliga, st $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:
\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ vasak(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \
Pärast sammude sooritamist saame esimese võrrandi $m$ ja $n$ määramiseks: $155\cdot m+14\cdot n=86$.
Kuna jooned $CD$ ja $MN$ on risti, on vastavate vektorite skalaarkorrutis võrdne nulliga, st $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:
\ [-5+25\cpunkt n+25\cpunkt m+18+81\cpunkt n-81\cpunkt m-90+100\cpunkt n+70\cpunkt m=0.\]
Pärast sammude sooritamist saame teise võrrandi $m$ ja $n$ määramiseks: $14\cdot m+206\cdot n=77$.
Leiame $m$ ja $n$ võrrandisüsteemi $\left\(\begin(massiivi)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206) abil \cdot n =77)\end(massiiv)\right$.
Kasutame Crameri meetodit:
\[\Delta =\left|\begin(massiivi)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(massiivi)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(massiivi)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(massiivi)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(massiivi)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(massiivi)\right|=10731;\ ]\
Leidke punktide $M$ ja $N$ koordinaadid:
\ \
Lõpuks:
Lõpuks kirjutame vektori $\overline(MN)$:
$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4,618-2,6701\right)\cdot \bar(k)$ või $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar( j)+1,9479\cdot \bar(k)$ .
Ridade $AB$ ja $CD$ vaheline kaugus on vektori $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^(2) ) \ umbes 3,8565 $ lin. ühikut
A. Olgu toodud kaks sirget Need sirged, nagu näidatud peatükis 1, moodustavad erinevaid positiivseid ja negatiivseid nurki, mis võivad olla nii teravad kui ka nüri. Teades üht neist nurkadest, leiame hõlpsasti ka mõne teise.
Muide, kõigi nende nurkade puhul on puutuja arvväärtus sama, erinevus võib olla ainult märgis
Sirgede võrrandid. Arvud on esimese ja teise sirge suunavektorite projektsioonid. Nende vektorite vaheline nurk on võrdne ühe sirge moodustatud nurgaga. Seetõttu taandub probleem vektorite vahelise nurga määramisele
Lihtsuse huvides võime nõustuda, et kahe sirge vaheline nurk on terav positiivne nurk (nagu näiteks joonisel 53).
Siis on selle nurga puutuja alati positiivne. Seega, kui valemi (1) paremal küljel on miinusmärk, siis tuleb see kõrvale jätta, st salvestada ainult absoluutväärtus.
Näide. Määrake sirgjoonte vaheline nurk
Vastavalt valemile (1) on meil
Koos. Kui on näidatud, milline nurga külgedest on selle algus ja milline on selle lõpp, siis nurga suunda alati vastupäeva lugedes saame valemist (1) midagi enamat välja võtta. Nagu jooniselt fig. 53 näitab valemi (1) paremal küljel saadud märk, millise nurga – terava või nüri – moodustab teine sirge esimesega.
(Jooniselt 53 näeme, et esimese ja teise suunavektori vaheline nurk on kas võrdne soovitud sirge nurgaga või erineb sellest ±180° võrra.)
d. Kui sirged on paralleelsed, siis nende suunavektorid on paralleelsed Rakendades kahe vektori paralleelsuse tingimust, saame!
See on kahe sirge paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus.
Näide. Otsene
on paralleelsed, sest
e. Kui sirged on risti, siis on ka nende suunavektorid risti. Rakendades kahe vektori perpendikulaarsuse tingimust, saame kahe sirge risti asetsemise tingimuse, nimelt
Näide. Otsene
on risti, kuna
Seoses paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimustega lahendame kaks järgmist ülesannet.
f. Joonistage joon läbi antud sirgega paralleelse punkti
Lahendus viiakse läbi nii. Kuna soovitud sirge on sellega paralleelne, siis saame selle suunavektoriks võtta sama, mis antud sirge oma, st vektori projektsioonidega A ja B. Ja siis kirjutatakse soovitud sirge võrrand sisse vorm (§ 1)
Näide. Sirgega paralleelset punkti (1; 3) läbiva sirge võrrand
tuleb järgmine!
g. Joonistage joon läbi punkti, mis on risti antud sirgega
Siin ei sobi enam võtta projektsioonidega A vektorit ja suunavaks vektoriks, vaid on vaja võtta vektor, mis on sellega risti. Seetõttu tuleb selle vektori projektsioonid valida vastavalt mõlema vektori perpendikulaarsuse tingimusele, st vastavalt tingimusele
Seda tingimust saab täita lugematul hulgal, kuna siin on üks võrrand kahe tundmatuga, kuid kõige lihtsam on võtta või Siis kirjutatakse soovitud rea võrrand kujule
Näide. Perpendikulaarsel sirgel punkti (-7; 2) läbiva sirge võrrand
tuleb järgmine (teise valemi järgi)!
h. Juhul, kui read on antud vormi võrranditega
kirjutades need võrrandid erinevalt ümber, on meil
Definitsioon
Geomeetrilist kujundit, mis koosneb kõigist tasandi punktidest, mis on suletud kahe ühest punktist väljuva kiire vahel, nimetatakse tasane nurk.
Definitsioon
Nurk kahe vahel ristuvad sirge on väikseima tasapinna nurga väärtus nende sirgete ristumiskohas. Kui kaks sirget on paralleelsed, siis nende vaheline nurk on null.
Kahe lõikuva joone vaheline nurk (kui tasapinna nurki mõõdetakse radiaanides) võib võtta väärtused nullist kuni $\dfrac(\pi)(2)$.
Definitsioon
Nurk kahe ristuva sirge vahel nimetatakse koguseks võrdne nurgaga kahe ristuva sirge vahel, mis on paralleelsed lõikuvatega. Joonte $a$ ja $b$ vahelist nurka tähistab $\angle (a, b)$.
Sissejuhatatava definitsiooni õigsus tuleneb järgmisest teoreemist.
Teoreem paralleelsete külgedega tasapinnaliste nurkade kohta
Kahe kumera tasapinnalise nurga suurused, mille küljed on vastavalt paralleelsed ja identsed, on võrdsed.
Tõestus
Kui nurgad on sirged, on need mõlemad võrdsed $\pi$. Kui need pole lahti voltitud, siis joonistame nurkade $\angle AOB$ ja $\angle A_1O_1B_1$ vastavatele külgedele võrdsed lõigud $ON=O_1ON_1$ ja $OM=O_1M_1$.
Nelinurk $O_1N_1NO$ on rööpkülik, kuna selle vastasküljed$ON$ ja $O_1N_1$ on võrdsed ja paralleelsed. Samamoodi on nelinurk $O_1M_1MO$ rööpkülik. Seega $NN_1 = OO_1 = MM_1$ ja $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, seega $NN_1=MM_1$ ja $NN_1 \parallel MM_1$ transitiivsuse järgi. Nelinurk $N_1M_1MN$ on rööpkülik, kuna selle vastasküljed on võrdsed ja paralleelsed. See tähendab, et segmendid $NM$ ja $N_1M_1$ on võrdsed. Kolmnurgad $ONM$ ja $O_1N_1M_1$ on kolmnurkade võrdsuse kolmanda kriteeriumi järgi võrdsed, mis tähendab, et vastavad nurgad $\angle NOM$ ja $\angle N_1O_1M_1$ on võrdsed.
