Mida nimetatakse käändepunktiks. Funktsioonide kumerus. Üldskeem funktsioonide uurimiseks ja graafiku koostamiseks

Funktsiooni kumeruse (nõgususe) määramiseks teatud intervallil saate kasutada järgmisi teoreeme.

1. teoreem. Olgu funktsioon defineeritud ja pidev sellel intervallil ning sellel on lõplik tuletis. Selleks, et funktsioon oleks kumer (nõgus), on vajalik ja piisav, et selle tuletis sellel intervallil väheneb (suureneb).

2. teoreem. Olgu funktsioon defineeritud ja pidev koos selle tuletisega sisse ja selle sees on pidev teine tuletis. Funktsiooni kumeruse (nõgususe) jaoks on selles vajalik ja piisav, et see on sees

Tõestame teoreemi 2 kumerfunktsiooni puhul.

Vajadus. Võtame meelevaldse punkti. Laiendame funktsiooni Taylori seeria punkti ümber

Abstsissiga punktis oleva kõvera puutuja võrrand:

Seejärel võrdub kõvera liig selle puutuja kohal punktis

Seega on jääk võrdne kõvera ülejäägiga selle puutuja kohal punktis . Järjepidevuse tõttu, kui , siis ka , mis kuuluvad punkti piisavalt väikesesse naabruskonda, ja seetõttu ilmselt mis tahes väärtuse puhul, mis erineb , mis kuulub näidatud naabrusse.

See tähendab, et funktsiooni graafik asub puutuja kohal ja kõver on suvalises punktis kumer.

Adekvaatsus. Olgu kõver intervallil kumer. Võtame meelevaldse punkti.

Sarnaselt eelmisele laiendame funktsiooni Taylori seeria punkti ümber

Kõvera liig selle puutuja kohal punktis, millel on avaldisega määratletud abstsiss, on võrdne

Kuna ülejääk on positiivne punkti piisavalt väikese ümbruskonna korral, on positiivne ka teine tuletis. Püüdes leiame, et see on suvaline punkt .

Näide. Uurige funktsiooni kumerus (nõgusus).

Selle tuletis suureneb tervel arvureal, mis tähendab teoreemi 1 järgi, et funktsioon on nõgus .

Selle teine tuletis , seetõttu on teoreemi 2 järgi funktsioon nõgus .

3.4.2.2 Pöördepunktid

Definitsioon. Pöördepunkt graafika pidev funktsioon on punkt, mis eraldab intervalle, milles funktsioon on kumer ja nõgus.

Sellest definitsioonist järeldub, et käändepunktid on esimese tuletise äärmuspunktid. See viitab järgmistele väidetele vajalike ja piisavate käändetingimuste kohta.

Teoreem ( vajalik tingimus painutada). Selleks, et punkt oleks kaks korda diferentseeruva funktsiooni käändepunkt, on vajalik, et selle teine tuletis selles punktis oleks võrdne nulliga ( ) või ei eksisteerinud.

Teoreem (piisav tingimus käänamiseks). Kui kaks korda diferentseeruva funktsiooni teine tuletis muudab teatud punkti läbimisel märki, siis on tegemist käändepunktiga.

Pange tähele, et punktis endas ei pruugi teist tuletist eksisteerida.

Pöördepunktide geomeetriline tõlgendus on illustreeritud joonisel fig. 3.9

Punkti läheduses on funktsioon kumer ja selle graafik asub selles punktis joonistatud puutujast allpool. Punkti läheduses on funktsioon nõgus ja selle graafik asub selles punktis joonistatud puutuja kohal. Käändepunktis jagab puutuja funktsiooni graafiku kumeraks ja nõgusaks piirkonnaks.

3.4.2.3 Kumeruse ja pöördepunktide olemasolu funktsiooni uurimine

1. Leia teine tuletis.

2. Leia punktid, kus teist tuletist või ei eksisteeri.

Riis.

3.9.

3. Uurige leitud punktidest vasakul ja paremal asuva teise tuletise märki ning tehke järeldus kumeruse või nõgususe intervallide ja käändepunktide olemasolu kohta.

Näide. Uurige kumeruse funktsiooni ja käändepunktide olemasolu.

2. Teine tuletis on võrdne nulliga .

3. Teine tuletis muudab märgi kohas , mis tähendab, et punkt on käändepunkt.

Intervalli puhul on funktsioon sellel intervallil kumer.

Intervallil , mis tähendab, et funktsioon on sellel intervallil nõgus.

3.4.2.4 Funktsioonide uurimise ja graafiku joonistamise üldskeem

Funktsiooni uurimisel ja selle graafiku koostamisel on soovitatav kasutada järgmist skeemi:
Leidke funktsiooni määratluspiirkond. Uurige pariteedi - veidruse funktsiooni. Tuletage meelde, et graafikühtlane funktsioon on sümmeetriline ordinaattelje ja graafiku suhtes paaritu funktsioon
sümmeetriline päritolu suhtes.
Otsige vertikaalseid asümptoote.
Uurige funktsiooni käitumist lõpmatuses, leidke horisontaalsed või kaldus asümptoosid.
Leia funktsiooni monotoonsuse äärmused ja intervallid.
Leia funktsiooni ja käändepunktide kumeruse intervallid.

Leia lõikepunktid koordinaattelgedega.

Funktsiooni uurimine toimub samaaegselt selle graafiku koostamisega. Näide. Uurige funktsiooni

ja joonistada seda.

1. Funktsiooni domeen on . 2. Uuritav funktsioon on paaris

, seetõttu on selle graafik ordinaadi suhtes sümmeetriline.

3. Funktsiooni nimetaja läheb nulli, seega on funktsiooni graafikul vertikaalsed asümptoodid ja .

4. Funktsiooni käitumine lõpmatuses.

Seetõttu on funktsiooni graafikul horisontaalne asümptoot.

5. Ekstreemsuse ja monotoonsuse intervallid. Esimese tuletise leidmine

Kui , siis nendel intervallidel funktsioon väheneb.

Seetõttu suureneb nende intervallidega funktsioon.

Seetõttu on punkt kriitiline punkt.

Teise tuletise leidmine

Kuna , siis on punkt funktsiooni miinimumpunkt.

6. Kumerusvahemikud ja käändepunktid.

Funktsioon kl , mis tähendab, et funktsioon on sellel intervallil nõgus.

Funktsioon , mis tähendab, et funktsioon on nendel intervallidel kumer.

Funktsioon ei kao kuhugi, mis tähendab, et puuduvad käändepunktid.

7. Lõikepunktid koordinaattelgedega.

Võrrandil on lahend, mis tähendab funktsiooni graafiku lõikepunkti ordinaatteljega (0, 1).

Võrrandil pole lahendust, mis tähendab, et x-teljega lõikepunkte pole.

Võttes arvesse läbiviidud uuringuid, on võimalik funktsiooni joonistada

Funktsiooni skemaatiline graafik näidatud joonisel fig. 3.10.

Riis.

3.10.

3.4.2.5 Funktsiooni graafiku asümptoodid Definitsioon. Asümptoot

Funktsiooni graafikut nimetatakse sirgeks, millel on omadus, et kaugus punktist () selle sirgjooneni kipub olema 0, kui graafiku punkt liigub määramata aja jooksul alguspunktist.

Funktsiooni graafikul on oluline tuvastada kumerusintervallid ja käändepunktid. Peame neid koos vähenemise ja suurendamise intervallidega funktsiooni selgelt graafilisel kujul esitamiseks. Selle teema mõistmine eeldab teadmisi sellest, mis on funktsiooni tuletis ja kuidas seda mingis järjekorras hinnata, ning oskust lahendada erinevad tüübid

ebavõrdsused

Artikli alguses defineeritakse põhimõisted. Seejärel näitame, milline seos on kumeruse suuna ja teise tuletise väärtuse vahel teatud intervalli jooksul. Järgmisena näitame, millistel tingimustel saab graafiku käändepunkte määrata. Kõiki argumente illustreeritakse probleemilahenduste näidetega.

Definitsioon 1

Allapoole teatud intervalli ulatuses, kui selle graafik ei asu selle intervalli mis tahes punktis selle puutujast madalamal.

2. definitsioon Diferentseeritav funktsioon on kumer

teatud intervalli jooksul ülespoole, kui antud funktsiooni graafik ei asu selle intervalli üheski punktis selle puutujast kõrgemal.

Allapoole kumerat funktsiooni võib nimetada ka nõgusaks funktsiooniks. Mõlemad määratlused on selgelt näidatud alloleval graafikul:

3. määratlus– see on punkt M (x 0 ; f (x 0)), kus on funktsiooni graafiku puutuja, tingimusel et punkti x 0 läheduses on tuletis, kus vasakul ja paremal küljel on funktsiooni graafikul erinevad kumerussuunad.

Lihtsamalt öeldes on käändepunkt koht graafikul, kus on puutuja ja graafiku kumeruse suund selle koha läbimisel muudab kumeruse suunda. Kui te ei mäleta, millistel tingimustel on vertikaalse ja mittevertikaalse puutuja olemasolu võimalik, soovitame korrata funktsiooni graafiku puutuja kohta punktis lõiku.

Allpool on graafik funktsioonist, millel on mitu käändepunkti, mis on punasega esile tõstetud. Selgitame, et pöördepunktide olemasolu ei ole kohustuslik. Ühe funktsiooni graafikul võib olla üks, kaks, mitu, lõpmatult palju või mitte ühtegi.

Selles osas räägime teoreemist, mille abil saate määrata konkreetse funktsiooni graafikul kumerusvahemikud.

4. määratlus

Funktsiooni graafik on kumer alla- või ülespoole, kui vastaval funktsioonil y = f (x) on määratud intervallil x teine lõplik tuletis eeldusel, et võrratus f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) on tõene.

Seda teoreemi kasutades leiate funktsiooni mis tahes graafiku nõgususe ja kumeruse intervallid. Selleks tuleb lihtsalt lahendada ebavõrdsused f "" (x) ≥ 0 ja f "" (x) ≤ 0 vastava funktsiooni definitsioonipiirkonnas.

Selgitame, et need punktid, kus teist tuletist ei eksisteeri, kuid funktsioon y = f (x) on defineeritud, kaasatakse kumerus- ja nõgususintervallidesse.

Vaatame näidet konkreetne ülesanne kuidas seda teoreemi õigesti rakendada.

Näide 1

Seisukord: antud funktsioon y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Määrake, milliste ajavahemike järel on selle graafik kumerus ja nõgusus.

Lahendus

Selle funktsiooni määratluspiirkond on kogu komplekt reaalarvud. Alustame teise tuletise arvutamisega.

y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Näeme, et teise tuletise definitsioonipiirkond langeb kokku funktsiooni enda domeeniga See tähendab, et kumerusvahemike tuvastamiseks peame lahendama võrratused f "" (x) ≥ 0 ja f "" (x). ) ≤ 0.

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Meil on see ajakava antud funktsioon on segmendil nõgusus [2; + ∞) ja kumerus segmendil (- ∞; 2 ] .

Selguse huvides joonistame funktsiooni graafiku ja märgime kumer osa sinisega ja nõgus osa punasega.

Vastus: antud funktsiooni graafikul on lõigul nõgusus [2; + ∞) ja kumerus segmendil (- ∞; 2 ] .

Aga mida teha, kui teise tuletise definitsioonipiirkond ei ühti funktsiooni definitsioonipiirkonnaga? Siin on meile kasulik ülaltoodud märkus: kaasame ka need punktid, kus lõplikku teist tuletist pole nõgusas ja kumeras segmendis.

Näide 2

Seisukord: antud funktsioon y = 8 x x - 1 . Määrake, millistes intervallides on selle graafik nõgus ja millistes kumer.

Lahendus

Esiteks selgitame välja funktsiooni määratluspiirkond.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Nüüd arvutame teise tuletise:

y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3

Teise tuletise definitsioonipiirkond on hulk x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Näeme, et nulliga võrdne x kuulub algfunktsiooni domeeni, kuid mitte teise tuletise domeeni. See punkt peab sisalduma nõgusas või kumeras segmendis.

Pärast seda peame lahendama võrratused f "" (x) ≥ 0 ja f "" (x) ≤ 0 antud funktsiooni definitsioonipiirkonnas. Selleks kasutame intervallmeetodit: kui x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 või x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 lugeja 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 muutub 0-ks ja nimetaja x juures on 0, võrdne nulliga või üksus.

Joonistame saadud punktid graafikule ja määrame avaldise märgi kõikidele intervallidele, mis kaasatakse algfunktsiooni määratluspiirkonda. See ala on graafikul tähistatud varjutusega. Kui väärtus on positiivne, märgime intervalli plussiga, kui negatiivne, siis miinusega.

Seega

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) ja f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Lisame eelnevalt märgitud punkti x = 0 ja saame soovitud vastuse. Algfunktsiooni graafik on 0 juures allapoole kumer; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) ja ülespoole – x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Joonistame graafiku, kus kumer osa märgitakse sinisega ja nõgus osa punasega. Vertikaalne asümptoot on tähistatud musta punktiirjoonega.

Vastus: Algfunktsiooni graafik on 0 juures allapoole kumer; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) ja ülespoole – x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Funktsioonigraafiku käände tingimused

Alustame teatud funktsiooni graafiku pöörde vajaliku tingimuse sõnastamisest.

Definitsioon 5

Oletame, et meil on funktsioon y = f (x), mille graafikul on käändepunkt. Kui x = x 0 on sellel pidev teine tuletis, seega kehtib võrdus f "" (x 0) = 0.

Arvestades see tingimus, peaksime otsima pöördepunkte nende hulgast, kus teine tuletis muutub 0-ks. Sellest tingimusest ei piisa: kõik sellised punktid ei sobi meile.

Pange tähele ka seda, et vastavalt üldine määratlus, vajame puutujajoont, vertikaalset või mittevertikaalset. Praktikas tähendab see, et käändepunktide leidmiseks tuleks võtta need, mille juures antud funktsiooni teine tuletis muutub 0-ks. Seetõttu peame käändepunktide abstsisside leidmiseks võtma kõik x 0 funktsiooni definitsioonipiirkonnast, kus lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ ja lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞. Enamasti on need punktid, kus esimese tuletise nimetajaks saab 0.

Esimene piisav tingimus käändepunkti olemasoluks funktsiooni graafikus

Oleme leidnud kõik x 0 väärtused, mida saab võtta käändepunktide abstsissidena. Pärast seda peame rakendama esimest piisavat käändetingimust.

Definitsioon 6

Oletame, et meil on funktsioon y = f (x), mis on pidev punktis M (x 0 ; f (x 0)). Lisaks on sellel selles punktis puutuja ja funktsioonil endal on selle punkti x 0 läheduses teine tuletis. Sel juhul, kui vasakul ja paremal küljel omandab teine tuletis vastandmärgid, võib seda punkti pidada käändepunktiks.

Näeme, et see tingimus ei nõua, et selles punktis oleks tingimata olemas teine tuletis, mille olemasolu punkti x 0 läheduses on piisav.

Kõike ülalöeldut on mugav esitada toimingute jada kujul.

Kõigepealt peate leidma kõik võimalike käändepunktide abstsissid x 0, kus f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
Uurime, millistes punktides tuletis märki muudab. Need väärtused on pöördepunktide abstsissid ja neile vastavad punktid M (x 0 ; f (x 0)) on pöördepunktid ise.

Selguse huvides analüüsime kahte probleemi.

Näide 3

Seisukord: antud funktsioon y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. Määrake, kus selle funktsiooni graafikul on käändepunktid ja kumeruspunktid.

Lahendus

Määratud funktsioon on määratletud kogu reaalarvude komplekti kohta. Arvutame esimese tuletise:

y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Nüüd leiame esimese tuletise definitsioonipiirkonna. See on ka kõigi reaalarvude kogum. See tähendab, et võrdusi lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ ja lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ ei saa täita ühegi x 0 väärtuse korral.

Arvutame teise tuletise:

y "" = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3

Leidsime kahe võimaliku käändepunkti - 2 ja 3 - abstsissi. Meil jääb üle vaid kontrollida, millisel hetkel tuletis oma märki muudab. Joonistame arvujoone ja joonistame sellele need punktid, mille järel asetame saadud intervallidele teise tuletise märgid.

Kaared näitavad graafiku kumeruse suunda igas intervallis.

Teine tuletis muudab märgi vastupidiseks (plussist miinusesse) punktis, kus on abstsiss 3, läbides seda vasakult paremale, ja teeb seda ka (miinusest plussiks) punktis, kus on abstsiss 3. See tähendab, et võime järeldada, et x = - 2 ja x = 3 on funktsioonigraafiku käändepunktide abstsissid. Need vastavad graafiku punktidele - 2; - 4 3 ja 3; - 15 8 .

Vaatame uuesti arvtelje kujutist ja sellest tulenevaid märke intervallidega, et teha järeldusi nõgusus- ja kumeruskohtade kohta. Selgub, et kumerus paikneb segmendil - 2; 3 ja nõgusus segmentidel (- ∞; - 2 ] ja [ 3; + ∞).

Ülesande lahendus on graafikul selgelt kujutatud: sinine värv näitab kumerust, punane värv näitab nõgusust, must värv tähistab pöördepunkte.

Vastus: kumerus paikneb segmendil - 2; 3 ja nõgusus segmentidel (- ∞; - 2 ] ja [ 3; + ∞).

Näide 4

Seisukord: arvutage funktsiooni y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 graafiku kõigi käändepunktide abstsiss.

Lahendus

Antud funktsiooni määratluspiirkond on kõigi reaalarvude hulk. Arvutame tuletise:

y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5

Erinevalt funktsioonist ei määratleta selle esimest tuletist väärtusega x, mis on võrdne 3-ga, vaid:

lim x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

See tähendab, et seda punkti läbib graafiku vertikaalne puutuja. Seetõttu võib 3 olla käändepunkti abstsiss.

Arvutame teise tuletise. Samuti leiame selle määratluse domeeni ja punktid, kus see muutub 0-ks:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5" (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 26 ≈ 0,4675

Nüüd on meil veel kaks võimalikku pöördepunkti. Joonistame need kõik arvujoonele ja märgime saadud intervallid märkidega:

Märk muutub iga näidatud punkti läbimisel, mis tähendab, et need kõik on pöördepunktid.

Vastus: Joonistame funktsiooni graafiku, kus märgime nõgusused punasega, kumerused sinisega ja käändepunktid mustaga:

Teades esimest piisavat käändetingimust, saame määrata vajalikud punktid, kus teise tuletise olemasolu pole vajalik. Sellest lähtuvalt võib esimest tingimust pidada kõige universaalsemaks ja erinevat tüüpi probleemide lahendamiseks sobivamaks.

Pange tähele, et on veel kaks käändetingimust, kuid neid saab rakendada ainult siis, kui määratud punktis on lõplik tuletis.

Kui meil on f "" (x 0) = 0 ja f """ (x 0) ≠ 0, siis on x 0 graafiku y = f (x) käändepunkti abstsiss.

Näide 5

Seisukord: funktsioon y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 on antud. Määrake, kas funktsiooni graafikul on punktis 3 käändepunkt; 4 5 .

Lahendus

Esimene asi, mida teha, on selles veenduda antud punkt kuulub üldiselt selle funktsiooni graafiku alla.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Antud funktsioon on määratletud kõigi argumentide jaoks, mis on reaalarvud. Arvutame esimese ja teise tuletise:

y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Leidsime, et teine tuletis läheb 0-ks, kui x on 0. See tähendab, et selle punkti vajalik käändetingimus on täidetud. Nüüd kasutame teist tingimust: leidke kolmas tuletis ja uurige, kas see muutub 0-ks 3 juures:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Kolmas tuletis ei kao ühegi x väärtuse korral. Seetõttu võime järeldada, et see punkt on funktsioonigraafiku käändepunkt.

Vastus: Näitame lahendust joonisel:

Oletame, et f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 ja f (n + 1) (x 0) ≠ 0 Sel juhul saame isegi n korral, et x 0 on graafiku y = f (x) käändepunkti abstsiss.

Näide 6

Seisukord: antud funktsioon y = (x - 3) 5 + 1. Arvutage selle graafiku käändepunktid.

Lahendus

See funktsioon on määratletud kogu reaalarvude komplekti puhul. Arvutame tuletise: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Kuna see määratletakse ka kõigi argumendi tegelike väärtuste jaoks, eksisteerib selle graafiku mis tahes punktis mittevertikaalne puutuja.

Nüüd arvutame, millistel väärtustel muutub teine tuletis 0-ks:

y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Leidsime, et x = 3 korral võib funktsiooni graafikul olla käänupunkt. Kasutame selle kinnitamiseks kolmandat tingimust:

y " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2, y " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2" = 120 · (x - 3) , y (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 y (5) = 120 · (x - 3)" = 120, y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Meil on n = 4 kolmanda piisava tingimuse järgi. See on paarisarv, mis tähendab, et x = 3 on käändepunkti abstsiss ja sellele vastab funktsiooni (3; 1) graafiku punkt.

Vastus: Siin on selle funktsiooni graafik, millel on märgitud kumerused, nõgusad ja käändepunkt:

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Funktsiooni graafik y=f(x) helistas kumer intervallil (a; b), kui see asub selle intervalli mis tahes puutujast allpool.

Funktsiooni graafik y=f(x) helistas nõgus intervallil (a; b), kui see asub selle intervalli mis tahes puutuja kohal.

Joonisel on kujutatud kõver, mis on kumer (a; b) ja nõgus edasi (b;c).

Näited.

Vaatleme piisavat kriteeriumi, mis võimaldab määrata, kas funktsiooni graafik antud intervallis on kumer või nõgus.

Teoreem. Lase y=f(x) poolt eristatav (a; b). Kui kõigis intervalli punktides (a; b) funktsiooni teine tuletis y = f(x) negatiivne, s.t. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – nõgus.

Tõestus. Oletame kindluse mõttes, et f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Võtame graafikul olevad funktsioonid y = f(x) suvaline punkt M0 abstsissiga x 0 Î ( a; b) ja tõmmake punktist läbi M0 puutuja. Tema võrrand. Peame näitama, et funktsiooni graafik on (a; b) asub sellest puutujast allpool, s.o. samas väärtuses x kõvera ordinaat y = f(x) on väiksem puutuja ordinaatist.

Niisiis, kõvera võrrand on y = f(x). Tähistame abstsissale vastava puutuja ordinaati x. Siis . Järelikult erinevus kõvera ordinaatide ja puutuja vahel sama väärtuse korral x tahe .

Erinevus f(x) – f(x 0) teisendada Lagrange'i teoreemi järgi, kus c vahel x Ja x 0.

Seega

Lagrange’i teoreemi rakendame jällegi nurksulgudes olevale avaldisele: , kus c 1 vahel c 0 Ja x 0. Vastavalt teoreemi tingimustele f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Seega asub kõvera mis tahes punkt kõigi väärtuste korral kõvera puutujast allpool x Ja x 0 Î ( a; b), mis tähendab, et kõver on kumer. Teoreemi teine osa on tõestatud sarnaselt.

Näited.

Pideva funktsiooni graafiku punkti, mis eraldab selle kumerat osa nõgusast, nimetatakse pöördepunkt.

Ilmselt ristub käändepunktis puutuja, kui see on olemas, kõveraga, sest selle punkti ühel küljel asub kõver puutuja all ja teisel küljel - selle kohal.

Määrame piisavad tingimused selleks, et antud kõvera punkt on käändepunkt.

Teoreem. Olgu kõver defineeritud võrrandiga y = f(x). Kui f ""(x 0) = 0 või f ""(x 0) ei eksisteeri isegi väärtust läbides x = x 0 tuletis f ""(x) muudab märki, seejärel funktsiooni graafikul olevat punkti abstsissiga x = x 0 seal on käändepunkt.

Tõestus. Lase f ""(x) < 0 при x < x 0 Ja f ""(x) > 0 at x > x 0. Siis kl x < x 0 kõver on kumer ja millal x > x 0– nõgus. Seetõttu punkt A, lamades kõveral, abstsissiga x 0 seal on käändepunkt. Sarnaselt võib käsitleda teist juhtumit, kui f ""(x) > 0 at x < x 0 Ja f ""(x) < 0 при x > x 0.

Seega tuleks käändepunkte otsida ainult nende punktide hulgast, kus teine tuletis kaob või puudub.

Näited. Leidke pöördepunktid ja määrake kõverate kumeruse ja nõgususe intervallid.

FUNKTSIOONI GRAAFIKU ASÜMPTOADID

Funktsiooni uurimisel on oluline määrata selle graafiku kuju graafi punkti piiramatul kaugusel lähtepunktist.

Eriti huvitav on juhtum, kui funktsiooni graafik, kui selle muutuv punkt eemaldatakse lõpmatuseni, läheneb lõputult teatud sirgele.

Sirget nimetatakse asümptoot funktsioonigraafika y = f(x), kui kaugus muutuvast punktist M graafika sellele reale punkti eemaldamisel M lõpmatuseni kipub nulli, st. funktsiooni graafiku punkt, kuna see kaldub lõpmatusse, peab lõputult lähenema asümptoodile.

Kõver võib läheneda oma asümptoodile, jäädes selle ühele küljele või erinevatele külgedele, ületades asümptooti lõpmatu arv kordi ja liikudes ühelt küljelt teisele.

Kui tähistame d-ga kaugust punktist M kõver asümptoodini, siis on selge, et d kipub punkti eemaldudes nulli M lõpmatuseni.

Edasi eristame vertikaalseid ja kaldu asümptoote.

VERTIKAALSED ASÜMPTOADID

Laske kl x→ x 0 mis tahes kõrvalfunktsioonist y = f(x) suureneb absoluutväärtuses piiramatult, s.o. või või . Siis asümptoodi definitsioonist järeldub, et sirgjoon x = x 0 on asümptoot. Vastupidine on samuti ilmne, kui joon x = x 0 on asümptoot, st. .

Seega funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot y = f(x) nimetatakse sirgeks, kui f(x)→ ∞ vähemalt ühel tingimusel x→ x 0– 0 või x → x 0 + 0, x = x 0

Seetõttu funktsiooni graafiku vertikaalsete asümptoodide leidmiseks y = f(x) tuleb need väärtused üles leida x = x 0, mille juures funktsioon läheb lõpmatusse (põhjustab lõpmatut katkestust). Siis on vertikaalsel asümptoodil võrrand x = x 0.

Näited.

KALLUD ASÜMPTOADID

Kuna asümptoot on sirgjoon, siis kui kõver y = f(x) millel on kaldus asümptoot, siis on selle võrrand y = kx + b. Meie ülesanne on leida koefitsiendid k Ja b.

Teoreem. Otse y = kx + b toimib kaldu asümptoodina juures x→ +∞ funktsiooni graafiku jaoks y = f(x) siis ja ainult siis . Sarnane väide kehtib ka kohta x → –∞.

Tõestus. Lase MP– lõigu pikkus, mis võrdub kaugusega punktist M asümptoodiks. Tingimuse järgi. Tähistame φ-ga asümptoodi kaldenurka telje suhtes Ox. Siis alates ΔMNP järgib seda. Kuna φ on konstantne nurk (φ ≠ π/2), siis , aga

Funktsiooni uurimisel ja selle graafiku koostamisel määrame ühes etapis käändepunktid ja kumerusvahemikud. Need andmed koos suurenemise ja kahanemise intervallidega võimaldavad skemaatiliselt kujutada uuritava funktsiooni graafikut.

Edasises esitluses eeldatakse, et saate teha kuni teatud järjekorras ja erinevat tüüpi.

Alustame materjali uurimist vajalike definitsioonide ja mõistetega. Järgmisena väljendame seost funktsiooni teatud intervalli teise tuletise väärtuse ja selle kumeruse suuna vahel. Pärast seda liigume edasi tingimuste juurde, mis võimaldavad määrata funktsioonigraafiku käändepunkte. Kogu tekstis toome tüüpilisi näiteid koos üksikasjalike lahendustega.

Leheküljel navigeerimine.

Funktsiooni kumerus, nõgusus, käändepunkt.

Definitsioon.

allapoole kumer intervallil X, kui selle graafik ei asu intervalli X mis tahes punktis selle puutujast madalamal.

Definitsioon.

Diferentseeritavat funktsiooni nimetatakse kumer üles intervallil X, kui selle graafik ei asu intervalli X üheski punktis tema puutujast kõrgemal.

Sageli nimetatakse ülespoole kumerat funktsiooni kumer ja kumer allapoole – nõgus.

Vaadake neid määratlusi illustreerivat joonist.

Definitsioon.

Punkti nimetatakse funktsiooni graafiku käändepunkt y=f(x) kui antud punktis on funktsiooni graafiku puutuja (see võib olla paralleelne Oy teljega) ja on selle punkti naabrus, mille sees on punktist M vasakul ja paremal funktsiooni graafikul on erinevad kumerussuunad.

Teisisõnu nimetatakse punkti M funktsiooni graafiku käändepunktiks, kui selles punktis on puutuja ja funktsiooni graafik muudab kumeruse suunda, läbides seda.

Vajadusel vaadake jaotist, et meenutada mittevertikaalse ja vertikaalse puutuja olemasolu tingimusi.

Alloleval joonisel on mõned näited käändepunktidest (tähistatud punaste täppidega). Pange tähele, et mõnel funktsioonil ei pruugi olla käändepunkte, samas kui teistel võib olla üks, mitu või lõpmatult palju käändepunkte.

Funktsiooni kumeruse intervallide leidmine.

Sõnastame teoreemi, mis võimaldab määrata funktsiooni kumerusintervallid.

Teoreem.

Kui funktsioonil y=f(x) on intervallil X lõplik tuletis ja kui ebavõrdsus kehtib (), siis on funktsiooni graafikul kumerus, mis on suunatud alla (üles) poolt X.

See teoreem võimaldab teil leida funktsiooni nõgususe ja kumeruse intervallid, peate lahendama ainult ebavõrdsused ja vastavalt algfunktsiooni definitsioonipiirkonnale.

Tuleb märkida, et punktid, kus funktsioon y=f(x) on defineeritud ja teist tuletist ei eksisteeri, kaasatakse nõgusus- ja kumerusintervallidesse.

Mõistame seda näite abil.

Näide.

Leia intervallid, millel funktsiooni graafik on kumerus, mis on suunatud üles ja kumerus, mis on suunatud alla.

Lahendus.

Funktsiooni valdkond on kogu reaalarvude komplekt.

Leiame teise tuletise.

Teise tuletise definitsioonipiirkond ühtib algfunktsiooni definitsioonipiirkonnaga, seetõttu piisab nõgususe ja kumeruse intervallide väljaselgitamiseks lahendamisest ja vastavalt.

Seetõttu on funktsioon intervallil allapoole kumer ja intervallil ülespoole kumer.

Graafiline illustratsioon.

Funktsioonigraafiku kumera intervalli osa on näidatud sinisega ja nõgususvahemikus punasega.

Vaatleme nüüd näidet, kui teise tuletise definitsioonipiirkond ei ühti funktsiooni definitsioonipiirkonnaga. Sel juhul, nagu me juba märkisime, tuleks definitsioonipiirkonna punktid, kus lõplikku teist tuletist ei eksisteeri, kaasata kumeruse ja (või) nõgususe intervallidesse.

Näide.

Leia funktsiooni graafiku kumeruse ja nõgususe intervallid.

Lahendus.

Alustame funktsiooni domeeniga:

Leiame teise tuletise:

Teise tuletise määratluspiirkond on hulk . Nagu näha, kuulub x=0 algfunktsiooni valdkonda, kuid ei kuulu teise tuletise valdkonda. Ärge unustage seda punkti, see tuleb lisada kumeruse ja (või) nõgususe vahemikku.

Nüüd lahendame ebavõrdsused algfunktsiooni määratluspiirkonnas. Kandideerime. Väljendi lugeja läheb nulli kell või , nimetaja – x = 0 või x = 1. Joonistame need punktid skemaatiliselt arvujoonele ja selgitame välja avaldise märgi igal algfunktsiooni määratluspiirkonnas sisalduval intervallil (see on näidatud alumisel arvureal varjutatud alana). Positiivse väärtuse jaoks paneme plussmärgi, negatiivse väärtuse jaoks miinusmärgi.

Seega

Ja

Seega, lisades punkti x=0, saame vastuse.

Kell funktsiooni graafikul on allapoole suunatud kumerus, mil - ülespoole suunatud kumerus.

Graafiline illustratsioon.

Funktsiooni graafiku osa kumerusintervallil on kujutatud sinisega, nõgususvahemikel - punasega, must punktiirjoon on vertikaalne asümptoot.

Vajalikud ja piisavad tingimused käänamiseks.

Käände vajalik tingimus.

Sõnastame käänamiseks vajalik tingimus funktsioonigraafika.

Olgu funktsiooni y=f(x) graafikul punktis kääne ja pidev teine tuletis, siis võrdus kehtib.

Sellest tingimusest järeldub, et käändepunktide abstsissi tuleks otsida nende hulgast, kus funktsiooni teine tuletis kaob. AGA see tingimus ei ole piisav, see tähendab, et mitte kõik väärtused, mille puhul teine tuletis on võrdne nulliga, ei ole käändepunktide abstsissid.

Samuti tuleb märkida, et käändepunkti määratlus eeldab puutuja või vertikaalse joone olemasolu. Mida see tähendab? Ja see tähendab järgmist: käändepunktide abstsissid võivad olla kõik alates funktsiooni määratluspiirkonnast, mille jaoks Ja . Tavaliselt on need punktid, kus esimese tuletise nimetaja kaob.

Esimene piisav tingimus käändeks.

Pärast seda, kui on leitud, et need võivad olla käändepunktide abstsissid, peaksite kasutama esimene piisav tingimus käändeks funktsioonigraafika.

Olgu funktsioon y=f(x) punktis pidev, sellel on puutuja (võimalik, et vertikaalne) ja sellel funktsioonil on punkti mõnes naabruses teine tuletis. Siis, kui selle naabruse piires vasakul ja paremal on teisel tuletisel erinevad märgid, siis on see funktsiooni graafikul käändepunkt.

Nagu näete, ei nõua esimene piisav tingimus teise tuletise olemasolu punktis endas, vaid eeldab selle olemasolu punkti naabruses.

Nüüd võtame kogu teabe algoritmi kujul kokku.

Funktsiooni käändepunktide leidmise algoritm.

Leiame kõik funktsioonigraafiku võimalike käändepunktide abstsissid (või Ja ) ja uurige läbides, mille kaudu teine tuletis märki muudab. Sellised väärtused on käändepunktide abstsissid ja vastavad punktid funktsioonigraafiku pöördepunktid.

Vaatame selgituseks kahte näidet käändepunktide leidmisest.

Näide.

Leia funktsioonigraafiku käändepunktid ning kumeruse ja nõgususe intervallid.

Lahendus.

Funktsiooni valdkond on kogu reaalarvude komplekt.

Leiame esimese tuletise:

Esimese tuletise definitsioonipiirkonnaks on ka kogu reaalarvude hulk, seega ka võrdsused Ja ei ole täidetud ühegi .

Leiame teise tuletise:

Uurime välja, milliste argumendi x väärtuste korral läheb teine tuletis nulli:

Seega on võimalike käändepunktide abstsissid x=-2 ja x=3.

Nüüd jääb üle piisava käändemärgi abil kontrollida, millises punktis teine tuletis märki muudab. Selleks joonistage arvuteljele punktid x=-2 ja x=3 ja nagu üldistatud intervallide meetod, asetame iga intervalli teise tuletise märgid. Iga intervalli all on skemaatiliselt näidatud kaaredega funktsiooni graafiku kumeruse suund.

Teine tuletis muudab märgi plussist miinusesse, läbides punkti x=-2 vasakult paremale ja muudab märgi miinusest plussiks, läbides x=3. Seetõttu on nii x=-2 kui ka x=3 funktsioonigraafiku käändepunktide abstsissid. Need vastavad graafiku punktidele ja .

Vaadates uuesti arvurida ja selle intervallide teise tuletise märke, saame teha järeldusi kumeruse ja nõgususe intervallide kohta. Funktsiooni graafik on intervallil kumer ja intervallidel ja .

Graafiline illustratsioon.

Funktsioonigraafiku osa kumeral intervallil on näidatud sinisega, nõgususintervallil punasega ja käändepunktid on näidatud mustade täppidena.

Näide.

Leia funktsioonigraafiku kõigi käändepunktide abstsiss .

Lahendus.

Selle funktsiooni määratluspiirkond on kogu reaalarvude komplekt.

Leiame tuletise.

Erinevalt algsest funktsioonist ei ole esimene tuletis defineeritud x=3 juures. Aga Ja . Seetõttu on punktis, mille abstsiss on x=3, algfunktsiooni graafiku vertikaal puutuja. Seega võib x=3 olla funktsioonigraafiku käändepunkti abstsiss.

Leiame teise tuletise, selle määratluspiirkonna ja punktid, kus see kaob:

Saime veel kaks võimalikku käändepunktide abstsissat. Märgime arvjoonele kõik kolm punkti ja määrame igal saadud intervallil teise tuletise märgi.

Teine tuletis muudab iga punkti läbimisel märki, seega on need kõik käändepunktide abstsissid.

Graafiline illustratsioon.

Funktsioonigraafiku kumerate intervallidega osad on näidatud sinisega, nõgusate intervallidega - punasega, pöördepunktid on näidatud mustade täppidena.

Funktsiooni graafiku käände esimene piisav tingimus võimaldab meil määrata käänupunktid ega eelda nende juures teise tuletise olemasolu. Seetõttu võib esimest piisavat tingimust pidada universaalseks ja kõige enam kasutatavaks.

Nüüd sõnastame veel kaks piisavat käändetingimust, kuid need on rakendatavad ainult siis, kui käändepunktis on lõplik tuletis kuni teatud järjekorrani.

Teine piisav tingimus käändeks.

Kui , a , siis on funktsiooni y=f(x) x=3 graafiku pöördepunkti abstsiss nullist erinev.

Ilmselgelt ei ole kolmanda tuletise väärtus nullist mis tahes x korral, sealhulgas x=3. Seetõttu on funktsiooni graafiku käände teise piisava tingimuse kohaselt punkt käändepunkt.

Graafiline illustratsioon.

Kolmas piisav tingimus käändeks.

Olgu , a , siis kui n on paarisarv, siis on see funktsiooni y=f(x) graafiku käändepunkti abstsiss.

Näide.

Leia funktsioonigraafiku käändepunktid .

Lahendus.

Funktsioon on määratletud kogu reaalarvude komplekti kohta.

Leiame selle tuletise: . Ilmselgelt on see defineeritud ka kõigi reaalsete x jaoks, seetõttu on selle graafiku mis tahes punktis mittevertikaalne puutuja.

Määrame x väärtused, mille juures teine tuletis muutub nulliks.

Seega punktis, mille abstsiss on x=3, võib funktsiooni graafikul esineda kääne. Veendumaks, et x = 3 on tõepoolest käändepunkti abstsiss, kasutame kolmandat piisavat tingimust.

Funktsiooni graafiku käänamise kolmanda piisava tingimuse kohaselt on meil n=4 (viies tuletis läheb nulli) - paaris, seega on x=3 käändepunkti abstsiss ja graafiku punkt. funktsioon (3;1) vastab sellele.

Graafiline illustratsioon.

Funktsioonigraafiku osa kumeral intervallil on näidatud sinisega, nõgususintervallil – punasega, käändepunkti näitab must täpp.

Funktsiooni kumeruse mõiste

Vaatleme funktsiooni \(y = f\left(x \right),\), mis eeldatakse pidevaks intervallil \(\left[ (a,b) \right].\) Funktsioon \(y = f\ vasak(x \right )\) kutsutakse allapoole kumer (või lihtsalt kumer), kui mis tahes punktide \((x_1)\) ja \((x_2)\) punktist \(\left[ (a,b) \right]\) ebavõrdsus \ Kui see ebavõrdsus on range mis tahes \(( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) nii, et \((x_1) \ne (x_2),\) seejärel funktsioon \(f\left(x \right) \) kutsutakse rangelt kumer allapoole

Ülespoole kumer funktsioon defineeritakse sarnaselt. Kutsutakse funktsioon \(f\left(x \right)\). kumer üles (või nõgus), kui lõigu \(\left[ (a,b) \right]\) mis tahes punktide \((x_1)\) ja \((x_2)\) korral on ebavõrdsus \ Kui see ebavõrdsus on range mis tahes \ (( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) nii, et \((x_1) \ne (x_2),\) seejärel funktsioon \(f\left(x \) paremal) \) kutsutakse rangelt kumer ülespoole segmendil \(\left[ (a,b) \right].\)

Funktsiooni kumeruse geomeetriline tõlgendamine

Kasutusele võetud kumerfunktsiooni definitsioonidel on lihtne geomeetriline tõlgendus.

Funktsiooni jaoks allapoole kumer (joonis \(1\)), mis tahes akordi \((A_1)(A_2)\) keskpunkt \(B\) asub kõrgemale

Samamoodi funktsiooni jaoks kumer üles (joonis \(2\)), mis tahes akordi \((A_1)(A_2)\) keskpunkt \(B\) asub allpool funktsiooni graafiku vastav punkt \((A_0)\) või langeb selle punktiga kokku.

Kumeratel funktsioonidel on veel üks visuaalne omadus, mis on seotud asukohaga puutuja funktsiooni graafikule. Funktsioon \(f\left(x \right)\) on allapoole kumer lõigul \(\left[ (a,b) \right]\) siis ja ainult siis, kui selle graafik ei ole madalam kui puutuja, mis on sellele tõmmatud lõigu \(\left) mis tahes punktis \((x_0)\) [ (a ,b) \parem]\) (joonis \(3\)).

Vastavalt sellele on funktsioon \(f\left(x \right)\). kumer üles lõigul \(\left[ (a,b) \right]\) siis ja ainult siis, kui selle graafik ei ole kõrgem kui puutuja, mis on sellele tõmmatud lõigu \(\left) mis tahes punktis \((x_0)\) [ (a ,b) \parem]\) (joonis \(4\)). Need omadused moodustavad teoreemi ja neid saab tõestada funktsiooni kumeruse definitsiooni abil.

Piisavad tingimused kumerusele

Olgu funktsiooni \(f\left(x \right)\) esimene tuletis \(f"\left(x \right)\) olemas vahemikus \(\left[ (a,b) \right], \) ja teine tuletis \(f""\left(x \right)\) - intervallil \(\left((a,b) \right).\) Siis kehtivad järgmised piisavad kumeruse kriteeriumid:

Kui \(f""\left(x \right) \ge 0\) kõigi jaoks \(x \in \left((a,b) \right),\), siis funktsioon \(f\left(x \) õige )\) allapoole kumer segmendil \(\left[ (a,b) \right];\)

Kui \(f""\left(x \right) \le 0\) kõigi jaoks \(x \in \left((a,b) \right),\), siis funktsioon \(f\left(x \) õige )\) kumer ülespoole segmendil \(\left[ (a,b) \right].\)

Juhtudel, kui teine tuletis on rangelt suurem (vähem kui) null, räägime vastavalt umbes range kumerus allapoole (või üles ).

Tõestame ülaltoodud teoreemi allapoole kumera funktsiooni puhul. Olgu funktsioonil \(f\left(x \right)\) mittenegatiivne teine tuletis intervallis \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x) \right) \ge 0.\) Tähistame \((x_0)\) lõigu keskpunkti \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) Oletame, et lõigu pikkus see segment on võrdne \(2h.\) Seejärel saab koordinaadid \((x_1)\) ja \((x_2)\) kirjutada järgmiselt: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\; (x_2) = (x_0) + h.\] Laiendame funktsiooni \(f\left(x \right)\) punktis \((x_0)\) Taylori seeriaks, mille ülejäänud liige on Lagrange'i kujul . Saame järgmised avaldised: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Lisame mõlemad võrdsused: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \ frac (((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \right) + f""\left(((\xi _2)) \right) ) \right].) \] Kuna \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\), siis on parempoolsed teised tuletised mittenegatiivsed . Seetõttu \ või \, mis on vastavalt definitsioonile funktsioon \(f\left(x \right)\) allapoole kumer .

Pange tähele, et funktsiooni kumeruse vajalik tingimus (st otseteoreem, milles näiteks kumeruse tingimusest allapoole järeldub, et \(f""\left(x \right) \ge 0\)) on rahul ainult mitte-range ebavõrdsusega. Range kumeruse korral ei ole vajalik tingimus üldjuhul täidetud. Näiteks funktsioon \(f\left(x \right) = (x^4)\) on rangelt allapoole kumer. Kuid punktis \(x = 0\) on selle teine tuletis võrdne nulliga, st. range ebavõrdsus \(f""\left(x \right) \gt 0\) sel juhul ei kehti.

Kumerfunktsioonide omadused

Loetleme mõned kumerfunktsioonide omadused, eeldades, et kõik funktsioonid on defineeritud ja pidevad intervallis \(\left[ (a,b) \right].\)

Kui funktsioonid \(f\) ja \(g\) on kumerad allapoole (ülespoole), siis ükskõik milline neist lineaarne kombinatsioon \(af + bg,\) kus \(a\), \(b\) on positiivsed reaalarvud, on ka kumer allapoole (ülespoole).

Kui funktsioon \(u = g\left(x \right)\) on allapoole kumer ja funktsioon \(y = f\left(u \right)\) on allapoole kumer ja mittekahanev, siis keeruline funktsioon \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) on samuti allapoole kumer.

Kui funktsioon \(u = g\left(x \right)\) on ülespoole kumer ja funktsioon \(y = f\left(u \right)\) on allapoole kumer ja ei kasva, siis keeruline funktsioon \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) on allapoole kumer.

Kohalik maksimum ülespoole kumer funktsioon, mis on defineeritud intervallis \(\left[ (a,b) \right],\) on samuti selle kõrgeim väärtus sellel segmendil.

Kohalik miinimum allapoole kumer funktsioon, mis on defineeritud intervallis \(\left[ (a,b) \right],\) on samuti selle madalaim väärtus sellel segmendil.