Ringi jagamine suvaliseks arvuks võrdseteks osadeks. Matemaatika tund teemal "Ringi ehitamine" (2. klass) Ehitage kompassi abil piiritletud ring

Ring on suletud kõverjoon, mille iga punkt asub ühest punktist O samal kaugusel, mida nimetatakse keskpunktiks.

Nimetatakse sirgeid, mis ühendavad ringi mis tahes punkti selle keskpunktiga raadiused R.

Nimetatakse sirget AB, mis ühendab kahte ringi punkti ja läbib selle keskpunkti O läbimõõt D.

Ringide osi nimetatakse kaared.

Nimetatakse sirget CD, mis ühendab kahte ringi punkti akord.

Sirge MN, millel on ainult üks ühine punkt ringiga nimetatakse puutuja.

Ringjoone osa, mis on piiratud akordi CD ja kaarega, nimetatakse segment.

Ringjoone osa, mis on piiratud kahe raadiuse ja kaarega, nimetatakse sektor.

Nimetatakse kahte üksteisega risti asetsevat horisontaalset ja vertikaalset joont, mis ristuvad ringi keskpunktis ringteljed.

Nurka, mille moodustavad KOA kaks raadiust, nimetatakse kesknurk.

Kaks vastastikku risti asetsev raadius teha nurk 90 0 ja piirata 1/4 ringist.

Joonistame ringi horisontaalsete ja vertikaalsete telgedega, mis jagavad selle 4 võrdseks osaks. Sirkli või ruuduga 45 0 juures tõmmatud kaks üksteisega risti asetsevat joont jagavad ringi 8 võrdseks osaks.

Ringi jagamine 3 ja 6 võrdseks osaks (3 korda kolmega)

Ringi jagamiseks 3-ks, 6-ks ja nende kordseks joonistame etteantud raadiusega ringi ja vastavad teljed. Jagamist saab alustada horisontaal- või vertikaaltelje ja ringi lõikepunktist. Ringi määratud raadius lükatakse järjestikku 6 korda edasi. Seejärel ühendatakse saadud punktid ringil järjestikku sirgjoontega ja moodustavad korrapärase sissekirjutatud kuusnurga. Punktide ühendamine ühe kaudu annab võrdkülgse kolmnurga ja ringi jagamine kolmeks võrdseks osaks.

Tavalise viisnurga ehitamine toimub järgmiselt. Joonistame ringi kaks üksteisega risti olevat telge, mis on võrdsed ringi läbimõõduga. Jagage horisontaalse läbimõõdu parem pool kaare R1 abil pooleks. Saadud punktist "a" selle segmendi keskel raadiusega R2 joonistame ringi kaare, kuni see lõikub horisontaalse läbimõõduga punktis "b". Raadius R3 punktist "1" tõmmake ringi kaar ristumiskohani antud ringiga (punkt 5) ja saage tavalise viisnurga külg. Vahemaa "b-O" annab tavalise kümnenurga külje.

Ringi jagamine N-ndaks arvuks identseteks osadeks (N küljega korrapärase hulknurga ehitamine)

See viiakse läbi järgmiselt. Joonistame ringi horisontaalsed ja vertikaalsed vastastikku risti teljed. Ringi ülemisest punktist "1" tõmbame sirge vertikaaltelje suhtes suvalise nurga all. Selle peale paneme kõrvale võrdsed suvalise pikkusega segmendid, mille arv on võrdne osade arvuga, milleks antud ringi jagame, näiteks 9. Ühendame viimase segmendi otsa vertikaalse läbimõõdu alumise punktiga . Joonistame saadud joonega paralleelsed jooned segmentide otstest kuni vertikaalse läbimõõduga ristumiskohani, jagades nii antud ringi vertikaalse läbimõõdu etteantud arvuks osadeks. Ringi läbimõõduga võrdse raadiusega joonistame vertikaaltelje alumisest punktist kaare MN, kuni see lõikub ringi horisontaaltelje jätkuga. Punktidest M ja N tõmbame kiirid läbi vertikaalse läbimõõdu paaris (või paaritu) jaotuspunktide, kuni need ristuvad ringiga. Saadud ringi segmendid on soovitud, sest punktid 1, 2, …. 9 jagage ring 9 (N) võrdseks osaks.

§ 1 Ring. Põhimõisted

Matemaatikas on laused, mis selgitavad konkreetse nime või väljendi tähendust. Selliseid lauseid nimetatakse definitsioonideks.

Defineerime ringi mõiste. Ringjoon on geomeetriline kujund, mis koosneb kõigist tasandi punktidest, mis asuvad antud punktist teatud kaugusel.

Seda punkti, nimetagem seda punktiks O, nimetatakse ringi keskpunktiks.

Segmenti, mis ühendab keskpunkti ringi mis tahes punktiga, nimetatakse ringi raadiuseks. Selliseid segmente on palju, näiteks OA, OB, OS. Neil kõigil on sama pikkus.

Ringjoone kahte punkti ühendavat lõiku nimetatakse kõõluks. MN on ringi akord.

Ringjoone keskpunkti läbivat kõõlu nimetatakse läbimõõduks. AB on ringi läbimõõt. Läbimõõt koosneb kahest raadiusest, mis tähendab, et läbimõõdu pikkus on raadiusest kaks korda suurem. Ringi keskpunkt on mis tahes läbimõõdu keskpunkt.

Ringi kaks punkti jagavad selle kaheks osaks. Neid osi nimetatakse ringikaaredeks.

ANB ja AMB on ringikujulised kaared.

Tasapinna seda osa, mis on piiratud ringiga, nimetatakse ringiks.

Ringi kujutamiseks joonisel kasutatakse kompassi. Ringi saab joonistada ka maapinnale. Selleks kasutage lihtsalt köit. Kinnitage köie üks ots maasse löödud pulga külge ja kirjeldage teise otsaga ringi.

§ 2 Kompassi ja joonlauaga konstruktsioonid

Geomeetrias saab paljusid konstruktsioone teostada ainult kompassi ja joonlaua abil ilma skaalajaotisteta.

Kasutades ainult joonlauda, ​​saate tõmmata meelevaldse joone, samuti suvalise läbiva joone antud punkt või kahte antud punkti läbiv sirge.

Kompass võimaldab joonistada suvalise raadiusega ringi, ka ringi, mille keskpunkt on antud punktis ja raadius on võrdne antud lõiguga.

Eraldi võimaldab igaüks neist tööriistadest teha kõige lihtsamaid konstruktsioone, kuid nende kahe tööriista abil saate juba teha keerukamaid toiminguid, näiteks

lahendada ehitusprobleeme nagu

Ehitage etteantud nurgaga võrdne nurk,

Ehitage etteantud külgedega kolmnurk,

Jagage segment pooleks

Läbi etteantud punkti tõmmata joon, mis on risti antud sirgega jne.

Mõelgem probleemile.

Ülesanne: Pane antud kiirel selle algusest kõrvale lõik, mis on võrdne antud kiiruga.

Antud kiir OS ja segment AB. On vaja konstrueerida segment OD, mis on võrdne segmendiga AB.

Koostame kompassi abil ringi, mille raadius on võrdne lõigu AB pikkusega ja mille keskpunkt on punkt O. See ring lõikab antud kiirt OS mingis punktis D. Lõik OD on soovitud lõik.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

1. Geomeetria. 7-9 klass: õpik. üldhariduse jaoks organisatsioonid / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ja teised - M .: Haridus, 2013. - 383 lk.: ill.
2. Gavrilova N.F. Pourochnye areng geomeetrias 7. klass. - M.: "WAKO", 2004. - 288s. - (Kooliõpetaja abistamiseks).
3. Belitskaja O.V. Geomeetria. 7. klass. 1. osa. Testid. - Saratov: Lütseum, 2014. - 64 lk.

See tund on pühendatud ringi ja ringi uurimisele. Samuti õpetab õpetaja eristama suletud ja avatud ridu. Saad tuttavaks ringi põhiomadustega: keskpunkt, raadius ja diameeter. Õppige nende määratlusi. Õppige raadiust määrama, kui läbimõõt on teada, ja vastupidi.

Kui täidad ringi sees oleva ruumi, näiteks joonistad kompassiga paberile või papile ring ja lõikad selle välja, siis saamegi ringi (joon. 10).

Riis. 10. Ring

Ring on tasandi osa, mis on piiratud ringiga.

Seisukord: Vitya Verhogljadkin tõmbas oma ringis 11 diameetrit (joonis 11). Ja kui ta raadiusi luges, sai ta 21. Kas ta luges õigesti?

Riis. 11. Probleemi illustratsioon

Lahendus: raadiused peaksid olema kaks korda suuremad kui diameetrid, seega:

Vitya luges valesti.

Bibliograafia

1. Matemaatika. 3. klass Proc. üldhariduse jaoks institutsioonid koos adj. elektronile. vedaja. Kell 2 h. 1. osa / [M.I. Moro, M.A. Bantova, G.V. Beltjukova ja teised] - 2. väljaanne. - M.: Haridus, 2012. - 112 lk.: ill. - (Venemaa kool).
2. Rudnitskaja V.N., Yudacheva T.V. Matemaatika, 3. klass. - M.: VENTANA-GRAF.
3. Peterson L.G. Matemaatika, 3. klass. - M.: Juventa.

1. Mypresentation.ru ().
2. Sernam.ru ().
3. School-assistant.ru ().

Kodutöö

1. Matemaatika. 3. klass Proc. üldhariduse jaoks institutsioonid koos adj. elektronile. vedaja. Kell 2 h. 1. osa / [M.I. Moro, M.A. Bantova, G.V. Beltjukova ja teised] - 2. väljaanne. - M.: Valgustus, 2012., Art. 94 nr 1, art. 95 nr 3.

2. Lahenda mõistatus.

Elame koos mu vennaga,

Meil on koos nii lõbus

Paneme lehele kruusi (joonis 12),

Teeme selle pliiatsiga ringi.

Hankige, mida vajate -

Seda nimetatakse...

3. Vajalik on määrata ringi läbimõõt, kui on teada, et raadius on 5 m.

4. * Joonista kompassi abil kaks raadiusega ringi: a) 2 cm ja 5 cm; b) 10 mm ja 15 mm.

Lause, mis selgitab konkreetse väljendi või nime tähendust, nimetatakse määratlus. Oleme juba kohtunud definitsioonidega, näiteks nurga määratlusega, külgnevate nurkade, võrdhaarne kolmnurk jne. Määratleme teise geomeetriline kujund- ringid.

Definitsioon

Seda punkti nimetatakse ringi keskpunkt, ja segment, mis ühendab keskpunkti ringi mis tahes punktiga, on ringi raadius(joonis 77). Ringjoone definitsioonist järeldub, et kõik raadiused on ühepikkused.

Riis. 77

Ringjoone kahte punkti ühendavat lõiku nimetatakse selle kõõluks. Ringjoone keskpunkti läbivat akordi nimetatakse selle akordiks läbimõõt.

Joonisel 78 on lõigud AB ja EF ringi kõõlused, segment CD on ringi läbimõõt. Ilmselgelt on ringi läbimõõt kaks korda suurem selle raadiusest. Ringi keskpunkt on mis tahes läbimõõdu keskpunkt.

Riis. 78

Ringi kaks punkti jagavad selle kaheks osaks. Kõiki neid osi nimetatakse ringikaareks. Joonisel 79 on ALB ja AMB kaared, mis on piiratud punktidega A ja B.

Riis. 79

Ringi kujutamiseks joonisel kasutage kompass(joonis 80).

Riis. 80

Maapinnale ringi joonistamiseks võite kasutada köit (joonis 81).

Riis. 81

Ringjoonega piiratud tasandi osa nimetatakse ringiks (joonis 82).

Riis. 82

Kompassi ja joonlauaga konstruktsioonid

Oleme juba tegelenud geomeetrilised konstruktsioonid: tõmmake sirgeid jooni, eraldage andmetega võrdsed segmendid, joonistage nurki, kolmnurki ja muid kujundeid. Samas kasutasime mõõtkava joonlauda, ​​sirklit, kraadiklaasi, joonistusruutu.

Selgub, et paljusid konstruktsioone saab teha ainult kompassi ja sirgjoonega ilma skaalajaotisteta. Seetõttu eristatakse geomeetrias spetsiaalselt neid ehitusülesandeid, mida lahendatakse ainult nende kahe tööriista abil.

Mida nendega teha saab? On selge, et joonlaud võimaldab tõmmata meelevaldset sirget, samuti konstrueerida kahte etteantud punkti läbivat sirget. Kompassi abil saate joonistada suvalise raadiusega ringi, samuti ringi, mille keskpunkt on antud punktis ja raadius on võrdne antud lõiguga. Neid lihtsaid toiminguid tehes saame lahendada palju huvitavaid ehitusprobleeme:

konstrueerida antud nurgaga võrdne nurk;
läbi etteantud punkti tõmmake antud sirgega risti olev joon;
jaga see segment pooleks ja muud ülesanded.

Alustame lihtsa ülesandega.

Ülesanne

Antud kiirel selle algusest peale kõrvale lõik, mis on võrdne antud kiiruga.

Lahendus

Kujutame ülesande tingimuses antud jooniseid: kiir OS ja segment AB (joon. 83, a). Seejärel konstrueerime kompassiga ringi raadiusega AB, mille keskpunkt on O (joonis 83, b). See ring lõikub kiirga OS mingis punktis D. Vajalik on segment OD.

Riis. 83

Näited ehitusülesannetest

Antud nurgaga võrdse nurga konstrueerimine

Ülesanne

Määrake antud kiirest kõrvale nurk, mis on võrdne etteantud kiirega.

Lahendus

See nurk koos tipuga A ja kiir OM on näidatud joonisel 84. See on vajalik nurga moodustamiseks, võrdne nurgaga Ja nii, et selle üks külg langeb kokku talaga OM.

Riis. 84

Joonistame suvalise raadiusega ringi, mille keskpunkt on antud nurga tipus A. See ring lõikab nurga külgi punktides B ja C (joonis 85, a). Seejärel joonistame sama raadiusega ringi, mille keskpunkt on antud kiire OM alguses. See lõikub tala punktis D (joonis 85, b). Pärast seda konstrueerime ringjoone keskpunktiga D, mille raadius on võrdne BC-ga. Ringid tsentritega O ja D lõikuvad kahes punktis. Tähistame üht neist punktidest tähega E. Tõestame, et nurk MOE on nõutav.

Riis. 85

Vaatleme kolmnurki ABC ja ODE. Lõigud AB ja AC on ringjoone raadiused keskpunktiga A ning lõigud OD ja OE on ringi raadiused, mille keskpunkt on O (vt joonis 85, b). Kuna konstruktsiooni järgi on neil ringidel võrdsed raadiused, siis AB = OD, AC = OE. Samuti ehituse järgi BC = DE.

Seetõttu on Δ ABC = Δ ODE kolmel küljel. Seetõttu ∠DOE = ∠BAC, st konstrueeritud nurk MOE on võrdne antud nurgaga A.

Sama konstruktsiooni saab teostada ka maapinnal, kui kasutame kompassi asemel köit.

Nurgapoolitaja konstrueerimine

Ülesanne

Koostage antud nurga poolitaja.

Lahendus

See nurk BAC on näidatud joonisel 86. Joonistame suvalise raadiusega ringi, mille keskpunkt on tipus A. See lõikab nurga külgi punktides B ja C.

Riis. 86

Seejärel joonistame kaks sama raadiusega BC ringi, mille keskpunktid on punktides B ja C (joonisel on näidatud ainult osad neist ringidest). Need ristuvad kahes punktis, millest vähemalt üks asub nurga sees. Tähistame seda tähega E. Tõestame, et kiir AE on antud nurga BAC poolitaja.

Vaatleme kolmnurki ACE ja ABE. Need on kolmest küljest võrdsed. Tõepoolest, AE on ühine pool; AC ja AB on võrdsed sama ringi raadiusega; CE = BE ehituse järgi.

Kolmnurkade ACE ja ABE võrdsusest järeldub, et ∠CAE = ∠BAE, st kiir AE on antud nurga BAC poolitaja.

Kommenteeri

Kas antud nurga saab jagada kaheks võrdseks nurgaks, kasutades kompassi ja sirgjoont? On selge, et see on võimalik - selleks peate joonistama selle nurga poolitaja.

Selle nurga saab jagada ka neljaks võrdseks nurgaks. Selleks peate selle pooleks jagama ja seejärel jagama mõlemad pooled uuesti pooleks.

Kas etteantud nurka on võimalik jagada kolmeks võrdseks nurgaks, kasutades kompassi ja sirgjoont? See ülesanne, nn nurga trisektsiooni probleemid, on matemaatikute tähelepanu köitnud juba mitu sajandit. Alles 19. sajandil tõestati, et selline konstruktsioon on suvalise nurga all võimatu.

Ristjoonte ehitamine

Ülesanne

Antud joon ja punkt sellel. Ehitage sirge, mis läbib antud punkti ja on antud sirgega risti.

Lahendus

Antud sirge a ja sellele sirgele kuuluv antud punkt M on näidatud joonisel 87.

Riis. 87

Punktist M väljuva sirge a kiirtel eraldame võrdsed lõigud MA ja MB. Seejärel konstrueerime kaks ringi keskpunktidega A ja B raadiusega AB. Need ristuvad kahes punktis: P ja Q.

Tõestame läbi punkti M ja ühe neist punktidest sirge, näiteks sirge MP (vt joonis 87), ja tõestame, et see sirge on soovitud sirge, st et see on risti antud sirgega a .

Tõepoolest, kuna võrdhaarse kolmnurga PAB mediaan PM on ka kõrgus merepinnast, siis PM ⊥ a.

Segmendi keskosa ehitus

Ülesanne

Koostage selle lõigu keskpunkt.

Lahendus

Olgu AB antud lõik. Ehitame kaks ringi keskpunktidega A ja B raadiusega AB. Need ristuvad punktides P ja Q. Joonistage joon PQ. Selle sirge ja lõigu AB lõikepunkti punkt O on lõigu AB soovitud keskpunkt.

Tõepoolest, kolmnurgad APQ ja BPQ on kolmest küljest võrdsed, seega ∠1 = ∠2 (joonis 89).

Riis. 89

Järelikult on lõik RO võrdhaarse kolmnurga ARV poolitaja ja seega ka mediaan, st punkt O on lõigu AB keskpunkt.

Ülesanded

143. Millised joonisel 90 kujutatud lõikudest on: a) ringi akordid; b) ringi läbimõõdud; c) ringi raadiused?

Riis. 90

144. Lõigud AB ja CD on ringi läbimõõdud. Tõesta, et: a) akordid BD ja AC on võrdsed; b) akordid AD ja BC on võrdsed; c) ∠BAD = ∠BCD.

145. Lõik MK on ringi läbimõõt, mille keskpunkt on O, ning MR ja RK on selle ringi võrdsed kõõlused. Otsige üles ∠POM.

146. Lõiked AB ja CD on ringi läbimõõdud keskpunktiga O. Leidke kolmnurga AOD ümbermõõt, kui on teada, et CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Ringjoonele, mille keskpunkt on O, märgitakse punktid A ja B nii, et nurk AOB on täisnurkne. Lõik BC on ringi läbimõõt. Tõesta, et akordid AB ja AC on võrdsed.

148. Sirgele on antud kaks punkti A ja B. Tala BA jätkumisel jätke lõik BC kõrvale nii, et BC \u003d 2AB.

149. Antud sirge a, sellel mitteasuv punkt B ja lõik PQ. Ehitage sirgel a punkt M nii, et BM = PQ. Kas probleemil on alati lahendus?

150. Antud ringjoon, sellel mitteasuv punkt A ja lõik PQ. Ehitage ringjoonele punkt M nii, et AM = PQ. Kas probleemil on alati lahendus?

151. Taanlased terav nurk SINA ja tala XY. Konstrueerige nurk YXZ nii, et ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Nürinurk AOB on antud. Koostage kiir OX nii, et nurgad XOA ja XOB on võrdsed nürinurgad.

153. Antud sirge a ja punkt M, mis sellel ei asu. Ehitage sirge, mis läbib punkti M ja on risti sirgega a.

Lahendus

Ehitame ringi, mille keskpunkt on antud punktis M, lõikates antud sirget a kahes punktis, mida tähistame tähtedega A ja B (joonis 91). Seejärel konstrueerime kaks ringi, mille keskpunktid A ja B läbivad punkti M. Need ringid lõikuvad punktis M ja veel ühes punktis, mida tähistame tähega N. Tõestame sirge MN ja tõestame, et see sirge on soovitud sirge üks, st see on risti sirgjoonega a.

Riis. 91

Tõepoolest, kolmnurgad AMN ja BMN on kolmest küljest võrdsed, seega ∠1 = ∠2. Sellest järeldub, et lõik MC (C on sirgete a ja MN lõikepunkt) on võrdhaarse kolmnurga AMB poolitaja ja seega ka kõrgus. Seega MN ⊥ AB, st MN ⊥ a.

154. Dan kolmnurk ABC. Konstrueeri: a) poolitaja AK; b) VM mediaan; c) kolmnurga kõrgus CH. 155. Konstrueeri kompassi ja joonlaua abil nurk, mis on võrdne: a) 45°; b) 22°30".

Vastused ülesannetele

152. Juhend. Esiteks konstrueerige nurga AOB poolitaja.

Ehitusprobleemides peetakse ideaalseteks tööriistadeks sirklit ja joonlauda, ​​eelkõige joonlaual pole jaotusi ja sellel on ainult üks lõpmatu pikkusega külg ning kompassil võib olla meelevaldselt suur või suvaliselt väike ava.

Lubatud konstruktsioonid. Ehitustöödel on lubatud järgmised toimingud:

1. Märkige punkt:

• tasapinna suvaline punkt;
• suvaline punkt antud sirgel;
• suvaline punkt antud ringil;
• kahe etteantud sirge lõikepunkt;
• etteantud sirge ja antud ringjoone lõike-/puutepunktid;
• kahe etteantud ringi lõike-/puutepunktid.

2. Joonlaua abil saate luua sirge:

• suvaline sirgjoon tasapinnal;
• antud punkti läbiv suvaline sirge;
• kahte etteantud punkti läbiv sirgjoon.

3. Kompassi abil saate luua ringi:

• suvaline ring tasapinnal;
• suvaline ring, mille keskpunkt on antud punktis;
• suvaline ringjoon, mille raadius on võrdne kahe antud punkti vahelise kaugusega;
• ring, mille keskpunkt on antud punktis ja mille raadius on võrdne kahe antud punkti vahelise kaugusega.

Ehitusprobleemide lahendamine. Ehitusprobleemi lahendus sisaldab kolme olulist osa:

1. Soovitud objekti konstrueerimise meetodi kirjeldus.
2. Tõestus, et kirjeldatud viisil ehitatud objekt on tõesti soovitud.
3. Kirjeldatud ehitusmeetodi analüüs selle rakendatavuse osas algtingimuste erinevatele variantidele, samuti kirjeldatud meetodil saadud lahenduse unikaalsuse või mitteunikaalsuse osas.

Antud segmendiga võrdse lõigu konstrueerimine. Olgu antud kiir, mille alguspunkt on punktis $O$ ja lõik $AB$. Kiirele lõigu $OP = AB$ konstrueerimiseks tuleb konstrueerida ring, mille keskpunkt on punkt $O$ raadiusega $AB$. Kiire ja ringi lõikepunktiks on soovitud punkt $P$.

Antud nurgaga võrdse nurga konstrueerimine. Olgu antud kiir, mille alguspunkt on punktis $O$ ja nurk $ABC$. Kui keskpunkt on punktis $B$, konstrueerime suvalise raadiusega $r$ ringi. Tähistage ringjoone lõikepunkte vastavalt kiirtega $BA$ ja $BC$ $A"$ ja $C"$.

Ehitame ringi, mille keskpunkt on punkt $O$ raadiusega $r$. Tähistame ringi ja kiire lõikepunkti väärtusega $P$. Ehitame ringi, mille keskpunkt on $P$ raadiusega $A"B"$. Tähistame ringide lõikepunkti $Q$-ga. Joonistame kiire $OQ$.

Nurga $POQ$ saame võrdseks nurgaga $ABC$, kuna kolmnurgad $POQ$ ja $ABC$ on kolmel küljel võrdsed.

Lõiguga risti poolitaja konstrueerimine. Ehitame kaks suvalise raadiusega lõikuvat ringi, mille keskpunktid on lõigu otstes. Ühendades nende ristumiskoha kaks punkti, saame risti poolitaja.

Nurga poolitaja konstrueerimine. Joonistame suvalise raadiusega ringi, mille keskpunkt asub nurgatipus. Ehitame kaks suvalise raadiusega lõikuvat ringi, mille keskpunktid on esimese ringi ja nurga külgede lõikepunktides. Ühendades nurga tipu mis tahes nende kahe ringi lõikepunktiga, saame nurga poolitaja.

Kahe segmendi summa konstrueerimine. Antud kiirele lõigu konstrueerimiseks, mis on võrdne kahe etteantud segmendi summaga, on vaja rakendada meetodit, mille abil luuakse kaks korda etteantud lõiguga võrdne segment.

Kahe nurga summa konstrueerimine. Kahe etteantud nurga summaga võrdse nurga edasilükkamiseks etteantud kiirelt on vaja antud nurgaga võrdse nurga konstrueerimise meetodit kaks korda rakendada.

Lõigu keskpunkti leidmine. Antud lõigu keskkoha märkimiseks peate lõigule ehitama risti poolitaja ja märkima risti lõikepunkti lõigu endaga.

Antud punkti läbiva ristsirge ehitamine. Olgu nõutud sirge konstrueerimine, mis on antud sirgega risti ja läbib antud punkti. Joonistame suvalise raadiusega ringi, mille keskpunkt on antud punktis (olenemata sellest, kas see asub sirgel või mitte), lõikates sirget kahes punktis. Ehitame lõigule risti poolitaja, mille otsad on ringi ja sirge lõikepunktides. See on soovitud risti joon.

Antud punkti läbiva paralleelsirge konstrueerimine. Olgu nõutav sirge konstrueerimine, mis on paralleelne antud sirgega ja läbib antud punkti väljaspool sirget. Ehitame sirge, mis läbib antud punkti ja on antud sirgega risti. Seejärel ehitame seda punkti läbiva sirge, mis on risti konstrueeritud ristiga. Nii saadud sirgjoon on vajalik.