Привести пример функциональной зависимости любой функции. Простейшие функциональные зависимости. Функциональная зависимость: логика и смысл

Транскрипт

1 Г(О)Б ПОУ «Задонский политехнический техникум» Научно-исследовательская работа Функциональная зависимость реальных процессов Выполнили: Чернухин Иван Алексеевич, Копенкин Павел Владимирович, студенты группы Тэ-1 Г(О)Б ПОУ «Задонский политехнический техникум» Руководитель: Сторожук Валентина Николаевна, преподаватель математики Г(О)Б ПОУ «Задонский политехнический техникум» Адрес: Липецкая область, г. Задонск, ул. Труда, д уч.г.

2 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Глава 1. Теоретические основы введения понятия функции Из истории возникновения функции Понятие функции и графика функции Глава 2. Практическая часть Исследование функциональной зависимости в повседневной жизни Иллюстрация функциональной зависимости в работе электрика Заключение...22 Список литературы...23 Приложение 1. Виды функций и их свойства. 1

3 Введение Успех человека в современном обществе зависит от того, насколько он компетентен в основах наук, в том числе математике. В математике все явления и зависимости описываются с помощью функций. Функция одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Разработкой понятия функции занимались великие ученые: Франсуа Виет, Рене Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, Бернулли, Эйлер, Даламбер, Фурье и другие ученые. Среди российских ученых можно назвать: Эйлера. Чебышева, Соболева, Лобачевского, Лебедева и других. Функциональная зависимость встречается в жизни «на каждом шагу», поэтому данная тема актуальна как для каждого человека, так и для всего города, а в целом - для всего человечества. Проходят годы, и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов. И поэтому тему своего исследования мы сформулировали так: «Функциональная зависимость реальных процессов». Мы любим находить различные закономерности в окружающем мире, любим изучать числа, строить графики. Поэтому мы решили подробнее узнать, как можно связать различные моменты жизни с функциями и графиками. Цель нашего исследования: показать примеры нестандартного взгляда на функциональную зависимость в окружающей нас жизни. Для этого мы поставили перед собой следующие задачи: 1. изучить материал по данной теме; 2. познакомиться с историей возникновения понятия функции; 3. ввести понятие функции и графика функции; 4. продемонстрировать различные функциональные зависимости вокруг нас и в работе электрика; 5. оформить презентацию. 2

4 Предмет исследования: совокупность математических методов и моделей. Объект исследования: функции. Методы исследования: изучение и использование научно-публицистических и учебных изданий, обобщение, анализ, синтез, моделирование. Гипотеза: реально происходящие события в жизни человека можно представить в виде графика зависимостей. Материал, связанный с построением графиков функций, изучается недостаточно полно с точки зрения требований предъявленных на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков не редко вызывают затруднение у учащихся и студентов. Основываясь на этом факте, эта тема является необходимой для подробного рассмотрения. Теоретическая значимость нашей исследовательской работы заключается в том, что результаты исследования могут быть использованы для студентов техникумов при изучении темы «Функция». Практическая значимость работы заключается в том, что результаты исследования могут быть использованы студентами техникумов для повышения образовательного уровня при изучении применения функции в практической деятельности электрика. Мы считаем, что данная работа может помочь заинтересовать студентов, дать возможность «заглянуть внутрь» такого сложного математического понятия как «функция». 3

5 Глава I. Теоретическая часть Из истории возникновения функции. Большинство математических понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло понятие функции. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере. С развитием скотоводства, земледелия, ремесел и обмена увеличивалось количество известных людям зависимостей между величинами. Идея зависимости некоторых величин восходит к древнегреческой науке. Но греки рассматривали лишь вопросы, имеющие геометрическую природу, и не ставили вопроса об общем изучении различных зависимостей. Графическое изображение зависимостей широко использовали Г.Галилей (), П.Ферма () и Р.Декарт (), который ввел понятие «переменной величины». По определению Декарта: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Развитие механики и техники потребовало введения общего понятия функции, что было сделано немецким философом и математиком Г.Лейбницем. Следующий шаг в развитии понятия функции сделал ученик Бернулли, член Петербургской Академии наук Леонард Эйлер (). В Дифференциальном исчислении, вышедшем в свет в 1755 г, Л. Эйлер дает общее определение функции: 4

6 Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых. Это наименование, - продолжает далее Эйлер, - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1834 г. в работе Об исчезании тригонометрических строк Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755г., писал: Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе. Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: у есть функция переменной х (на отрезке a (х (b), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С. Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции. 5

7 Вывод: Следует отметить, что начиная с XVII в. одним из важнейших математических понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Прослеживая исторический путь развития понятия функции невольно приходишь к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика незавершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем. 6

8 1.2. Определение функции и графика функции. Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Функция это не только математическое понятие, но и: функция работа, производимая органом, организмом; роль, значение чего-либо; функция в математике закон зависимости одной величины от другой; функция возможность, опция, умение программы или прибора. функция обязанность, круг деятельности; функция персонажа в литературном произведении; функция вид подпрограммы в информатике социальная функция. Определение. Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу единственное число y, зависящее от x. Принято называть x независимой переменной или аргументом, а у зависимой переменной или значением функции. Записывают указанное соотношение между x и у в общем виде так: у = f (x) или у = F (x) и т. п. График функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты (х, у) которых удовлетворяют соотношению y = f(x). Существует несколько способов задания функций: аналитический, словесный, графический, табличный. Аналитический способ. Наиболее распространен аналитический способ задания функции, при 7

9 котором функция задается формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над х, чтобы найти у. Пример: у = к х; V = s h ; s = a b Словесный способ (пословицы, поговорки) Чем дальше в лес, тем больше дров. Кашу маслом не испортишь. Меньше слов, больше дела. Любишь кататься, люби и саночки возить. Графический способ. Распространен и графический способ задания функции. Графиком функции у=f(x), где х из множества Е, называется множество точек плоскости с прямоугольными координатами (х,у), где х из Е, у=f(x). Графический способ состоит в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты соответствующие значения функции. Этот способ позволяет наглядно представить функциональную зависимость. Пример: п у т ь км время t,с Табличный способ. При табличном способе задания функция задается в виде таблицы, в которой для каждого значения аргумента указывается соответствующее ему значение функции. Табличный способ общеизвестен (таблица квадратов и таблица кубов натуральных чисел и т. д.). Этот способ сразу даѐт числовое значение функции. В этом его преимущество перед другими 8

10 способами. Пример. Таблица квадратов чисел от 1 до 10: Виды функций (приложение 1): 1) линейная: y = ax + b; 2) квадратичная: y = ax 2 + bx + c; 3) обратная пропорциональность: y = k x ; n 4) корень n- степени: y = x; 5) модуль: y = x ; 6) тригонометрические: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx; 7) показательная: y = a x ; 8) логарифмическая: y = log a x; 9) обратные тригонометрические функции: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx. Современные энциклопедии, толковые словари рассматривают функцию в 5 значениях: 1. Явление, зависящее от другого и изменяющееся по мере изменения этого другого явления. 2. Переменная величина, меняющаяся в зависимости от изменения другой величины. 3. Работа, производимая органом, организмом. 4. Обязанность, круг деятельности лица, подлежащая исполнению работа. 5. Значение, назначение, роль. Функция как понятие имеет одно родовое значение, но в разных областях деятельности проявляет себя по-разному, оставаясь однозначной сущностью. Понятие функции играет важную роль, являясь базовым понятием в изучении алгебры и начал анализа. 9

11 Вывод: Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Понятие функции играет важную роль, являясь базовым понятием в изучении алгебры и начал анализа. 10

12 Глава 2. Практическая часть Исследование функциональной зависимости в повседневной жизни. В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с функциональными зависимостями. Мы нашли множество примеров функций, изобразили с помощью графиков. которые Задача 1. При температуре 0 о С рельс имеет длину l 0 = 12,5 м. при возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t о) = l 0 (1 + t о),где = 1, коэффициент теплового расширения в градусах Цельсия в минус первой степени, t о температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм. Ответ выразить в градусах Цельсия. Решение. Выразим из заданной формулы t: t = l l 0 αl 0. Заметим, l l 0 = Δl = 6мм = м, тогда t = Ответ: = 100 = 40 C Пример 1. С мороза в комнату внесли банку со льдом и стали наблюдать за изменением температуры вещества в банке: лед постепенно таял, когда он растаял весь, температура воды стала повышаться, пока не сравнялась с температурой в комнате. На рисунке 1 изображен график зависимости температуры от времени. Рис. 1 11

13 Пример 2. Рассмотрим деление праздничного торта между гостями. Отчего зависит количество порций? от числа гостей. А от чего зависит вес порции? тоже от числа гостей. В первом случае, чем больше гостей, тем на большее количество порций мы должны разделить торт (рис. 2). Здесь наглядно можно представить прямую пропорциональную зависимость. Рис. 2 Во втором случае, чем больше гостей, тем меньше вес порции. Здесь мы видим обратную пропорциональную зависимость (рис. 3). Рис. 3 Пример 3. Мы живѐм в век информационных технологий. Ежедневно мы получаем массу информации из различных источников: телевидения, радио, газет, журналов, и, конечно, из Интернета. Известно, что объѐм информации каждые пять лет увеличивается в два раза. Рис. 4 12

14 Если построить график зависимости объѐма информации от времени, то получим некоторую кривую, которая в математике называется экспонентой и является графиком показательной функции (рис. 4). Пример 4. На голове человека растут волосы, которые регулярно стригут. График полученной зависимости (при условии, что стрижку делают регулярно) похож на функцию дробной части числа, смещѐнную на a единиц вверх: y = x + a (рис. 5). Пример 5. За время обучения в школе каждый год переходим в следующий класс. Такая зависимость сходна с функцией целой части числа y = {x} на ограниченном промежутке (рис. 6). Рис. 5 Рис. 6 Пример 6. Изменение температурного режима в нашей климатической зоне подчиняется законам тригонометрических функций (рис. 7) Рис. 7 Пример 7. Садово-огородные процессы тоже можно представить в виде функции и построить график. К примеру, яблоко росло, зрело, потом его высушили (рис. 8). Получили некоторую кусочную функцию. 13

15 Рис. 8 Функции это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа. Графиком можно проиллюстрировать смысл любой пословицы. «Чем дальше в лес, тем больше дров» Рис. 9 График представит количество дров как функцию пути. Вот, например, пословица «Каково жизнь проживешь, такую славу наживешь» на графике будет выглядеть следующим образом (рис.10): Рис

16 Из графика следует, что если на протяжении своей жизни будешь совершать отрицательные дела, поступки, то и слава о тебе будет отрицательная, и наоборот. Или такая пословица «Пересев хуже недосева» на графике будет выглядеть так (рис. 11): Рис. 11 Из графика видно, что если семян мало, то и урожай будет мал, если семян слишком много, то им расти будет плохо, и семена потеряешь, и урожая не соберешь, нужно посадить оптимальное количество семян и урожай будет высоким. Вывод: В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с функциональными зависимостями. Я нашел множество примеров функций, которые изобразили с помощью графиков. 15

17 2.2. Иллюстрация функциональной зависимости в работе электрика. Задача 1. Электробезопасность (действие электрического тока на организм человека) Действие силы тока на организм человека (в ма) Величина силы тока Различные величины тока частотой 50 Гц действуют следующим образом: 1-2) 5 10 ма боль в мышцах, судорожные их сокращения, руки с трудом можно оторвать от электродов; 2-3) ма боли, руки невозможно оторвать от электродов; 3-4) ма боль в руках и груди, дыхание затруднено, возможен паралич дыхания и потеря сознания; 4-5) ма при длительном действии возможна клиническая смерть; 5-6) 100 ма и более при длительности более 3с возможна клиническая смерть. Задача исследование 2. Исследовать: а) Зависимость силы тока от напряжения. Сила тока, 0,5 1 1,5 ампер Напряжение, вольт 16

18 с и л а 2 1,5 1 т о к а 0, Значения Y напряжение Результаты опытов показывают, что напряжение и сила тока зависят друг от друга, причем эта зависимость прямо пропорциональная, т.е. при увеличении напряжения увеличивается сила тока. б) Зависимость силы тока от сопротивления проводника при одном и том же напряжении. Я провел опыт с тремя различными проводниками при напряжении в 2 вольта и получил следующие результаты: опыта Сопротивление проводника, Ом Сила тока в цепи, А,5 с и л а т о к а 2,5 2 1,5 1 0, Столбец1 сопротивление Опыт показывает, что сопротивление и сила тока тоже зависимые величины, чем больше сопротивление проводника, тем меньше сила тока. 17

19 Зависимость силы тока, напряжения, сопротивления человек учитывает в своей повседневной жизни, например: линии электропередач изготавливают из металлов с маленьким сопротивлением (медь, алюминий). Задача 3. Невозможно представить жизнь современного человека без переменного электрического тока, так как все приборы: бытовые, электронагревательные, телевизоры, компьютеры и т.д., работают от сети переменного тока. Напряжение в наших розетках изменяется по следующему закону: u= U max cos(wt), где U max = 308 B, w=314. Построить график функции. Задача 4. Начертить развернутую диаграмму трехфазного тока. Развернутая диаграмма трехфазного тока. 18

20 Задача 5. Представить функциональную зависимость формы сигнала электрического тока. Формы сигнала электрического тока: 1. постоянной в виде прямой линии на временно м графике; 2. переменной синусоидальной гармоникой, хорошо описываемой основными тригонометрическими соотношениями; 3. меандром, грубо напоминающим синусоиду, но с резкими, ярко выраженными углами, которые в отдельных случаях могут быть хорошо сглажены; 4. пульсирующей, когда направление остается одним и тем же без изменения, а амплитуда колеблется периодически от нулевого до максимального значения по вполне определенному закону. Задача 6. На данном графике мы видим сравнительную характеристику мощности бытовых приборов. Какие из бытовых приборов имеют наибольшую мощность? 19

21 Мощность бытовых приборов (Вт) Задача 7. Насколько выгодно светодиодное освещение по сравнению с обычными лампами накаливания с экономической точки зрения? Уличное светодиодное освещение очень выгодно с экономической точки зрения. Лишь небольшого количества электроэнергии (например, 100 ватт) достаточно для освещения достаточно большой площади. Для сравнения: световой поток светодиодной лампы, потребляющей 100 ватт, составляет около Люмен, это как от 6 обычных ламп накаливания, то есть экономия более 80%. 20

22 Задача 8. Составить сравнительную характеристику светодиодных ламп, люминесцентных и ламп накаливания. Характеристики Светодиодная лампа Люминесцентная лампа Лампа накаливания Потребляемая мощность 5 W 15W 40 W Эффективность светоотдачи 90 Lm/W 30 Lm/W 10,5 Lm/W Световой поток 450 Lm Lm Рабочая температура 70 C 60 C 180 C Срок службы До часов До часов До часов Экологичность да Содержит ртуть да 21

23 I. Заключение В ходе работы мы проанализировали и изучили литературу по истории развития функции, исследовали на примерах функциональную зависимость в окружающей нас жизни. Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция ещѐ далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Понятие функции играет важную роль, являясь базовым понятием в изучении алгебры и начал анализа. Особенностью нашей работы является подбор примеров функциональных зависимостей из повседневной жизни. Мы поняли, что таких примеров можно привести бесконечно много. В результате работы мы достигли понимания важности изучения математики и получили возможность показать однокурсникам красоту и значимость математики. Выполняя работу, мы приобрели не только необходимые знания, умения и навыки, но и определѐнный личностный опыт. Теоретическая значимость нашей исследовательской работы заключается в том, что результаты исследования могут быть использованы для студентов техникумов при изучении темы «Функция». Практическая значимость моей работы заключается в том, что результаты исследования могут быть использованы студентами техникумов для повышения образовательного уровня при изучении применения функции в практической деятельности электрика. 22

24 Литература 1. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике: Книга для внеклассного чтения 2 е изд., испр. М.: Просвещение, Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка.- М., Просвещение, Ульяновская Н. Н. О, функция, как ты Важна // Математика Энциклопедический словарь юного математика. Составитель Савин А.П.- М., Просвещение, Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки, Москва, Просвещение, 1987 г. 7. Колягин Ю. М. «Алгебра 10,11 классы»-3-е изд.- М. : Издательство Просвещение, Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10 класс - М.: Просвещение Интернет-ресурсы: function.ru

25 Виды функций. Приложение 1 Рассмотрим основные существующие виды функций и их свойства. 24

26 25

27 26

28 1. Квадратичная функция. 27

29 28

30 29

31 30

32 31

33 32

34 33

35 34

36 35

37 36

38 37

39 38

40 39

ББК.4я7т+.4я7.6 М5 Учебник включён в федеральный перечень Мерзляк А.Г. М5 Алгебра: 9 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.М. Поляков. М. : Вентана-Граф, 07. 368

Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Понятие функции (основные определения, классификация, основные характеристики поведения) Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное

Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Использование

Итак, в главе 3 Сформулировали определения следующих математических понятий: функция, область определения, область значений функции; монотонность (возрастание и убывание) функции; ограниченность функции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОУ ВО МО «Государственный гуманитарно-технологический университет» Промышленно-экономический колледж

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение города Москвы «Школа 830» 25362, г. Москва, ул. Большая Набережная, д.23, тел./факс: 8-495-49-3-45 ИНН/КПП

Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

ПРЕДИСЛОВИЕ Дорогие читатели! Данный учебник завершает курс математики для 5 9 классов. Содержание учебника направлено на расширение и углубление знаний об уже известных вам понятиях, на знакомство с новыми

Электрические цепи несинусоидального тока «на ладони» Если на цепь воздействуют несинусоидальные источники ЭДС или тока, или же в цепи присутствуют нелинейные элементы, то и в такой цепи токи и напряжения

Урок а Наименование разделов и тем Календарно-тематическое планирование по алгебре 7 класс (3 часа в неделю, 102 часа в год) По учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александровой и др. Характеристика основных

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Томаровская средняя общеобразовательная школа 2 Яковлевского района Белгородской области» имени Героя Советского Союза Швеца В.В. Конспект урока

Общие указания На экзамене по математике поступающий должен показать: четкое знание математических определений и теорем, предусмотренных программой, умение доказывать эти теоремы; умение точно и сжато

СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ 7 А, Б класс Количество часов: Общее: 102 часа В неделю: 3 часа УМК: Программы Алгебра 7-9 / авт.-сост. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Допущено Министерством образования Российской

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 8 КЛАССОВ (общеобразовательный уровень) Составители: Тихонов В.А., учитель математики; Срок реализации программы: 1 год Рабочая программа составлена на основе федерального

СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ С. Г. ГРИГОРЬЕВ, С. В. ИВОЛГИНА МАТЕМАТИКА Под редакцией проф. В. А. Гусева УЧЕБНИК Рекомендовано Федеральным государственным учреждением «Федеральный институт развития

Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ Разработала: Каменовская Е.С. ГОУ НПО ЯО ПУ 1 2013 Тема. Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические

Тема Целая и дробная части числа Занятие 1 (часа) Цель занятия Дидактическая Познакомить учащихся с целой и дробной частью числа Установить их свойства и соотношения между ними Научить строить простейшие

Класс 7.1, 7.2, 7.3, 7.6 Учебник: Алгебра (Макарычев Н.В.) Модуль 5 «Функции» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Что такое функция. График функции. Графическое представление статистических

ПРИЛОЖЕНИЕ 17 к ООП СОО ФК ГОС МАОУ лицей г. Бор Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение лицей г. Бор Нижегородской области Рабочая программа по учебному предмету «Алгебра и начала математического

Аннотация к рабочей программе по алгебре и началам анализа (Базовый уровень) к учебнику «Алгебра и начала математического анализа», 11 класс авт. С.М.Никольского, М.К.Потапова, Н.Н.Решетникова, А.В. Шевкина

Формирование понятия производной и интеграла в истории математики Галикеев В.З. (науч. рук. Дорофеев А.В.) Стерлитамакский филиал «Башкирский государственный университет» Стерлитамак, Республика Башкортостан

Научно-исследовательская работа Математика «Применение экстремальных свойств функции для решения уравнений» Выполнила: Гудкова Елена обучающаяся 11 класса «Г» МБОУ СОШ «Аннинский Лицей» п.г.т. Анна Руководитель:

Умк: Ю. Н Макарычев, Алгебра, 8 класс, М.: Просвещение, 20 Ю. Н Макарычев, Алгебра, 9 класс, М.: Просвещение, 20 Л. С. Атанасян, Геометрия, 7-9 класс, М.: Просвещение, 20 Требования к уровню подготовки

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по предмету «Алгебра и начала математического анализа» для 10 «А» класса на 2018 2019 уч год Составитель: Шевелева Марина Станиславовна, учитель математики 1 1. Сведения о программе (примерной/типовой/

Приложение к ООП ООО Классы -9 Рабочая программа учебного предмета «Алгебра» ФКГОС г. Липецк 208 209 учебный год ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Изучение математики на ступени основного общего образования направлено

П/п Тема урока 1 Числовые выражения. Проценты. Дата 8А 8Б КЭС (Код элемента содержания) 1.3.6 1.5.4 Элемент содержания Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических

Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» прикладные вопросы математики Математическая индустрия

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя школа 2 г. Навашино» УТВЕРЖДЕНО приказом директора МБОУ «Средняя школа 2 г. Навашино» От сентября 208 г. 363 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ

Контрольные работы по алгебре и началам математического анализа 10 класс Контрольная работа 1. Тема: «Основные тригонометрические тождества». 1. Найдите значение выражения: а) 2cos 60º - 3 tg45 º + sin

Операции над функциями и задачи прошлых веков, связанные с функциями Гайсина Алия Ильнуровна студентка факультета иностранных языков ЕИ КФУ Научный руководитель: Миронова Юлия Николаевна, кандидат физикоматематических

ПРОГРАММА вступительного испытания по математике Программа вступительных экзаменов курса математики составлена в соответствии с современными требованиями проверки знаний абитуриентов. На экзамене по математике

МАТЕМАТИКА, 5 класс, УМК Аннотация, Май 20 к краевой диагностической работе по МАТЕМАТИКЕ 5 класс (2 мая 20 г.) для учащихся, обучающихся по учебно-методическим комплектам: Н.Я. Виленкина и др.; И.И. Зубаревой

Содержание: 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.3 2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ..5 3. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ 6 4. КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ.9 5. ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ.11

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа 354 Московского района Санкт-Петербурга Рассмотрено на методическом объединении СОШ 354 Протокол от.08.2012 Руководитель

Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре для 8 класса разработана в соответствии с Примерной программой основного общего образования по математике, с учетом требований федерального компонента

I МВД р о с с ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОЧЕРКАССКОЕ СУВОРОВСКОЕ ВОЕННОЕ УЧИЛИЩЕ МИНИСТЕРСТВА ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА Учитель Новицкая Светлана Александровна Учебный год 2018 / 2019 Класс 10 Название учебного предмета Алгебра и начала математического анализа. Количество часов в год

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ «ШКОЛА 1223» (ГБОУ Школа 1223) «Согласовано» Методический совет ГБОУ школа 1223 Протокол 1 от

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение лицей 344 Невского района Санкт-Петербурга РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ДЛЯ 10 «_» КЛАССА УЧИТЕЛЯ (фамилия, имя,

Тема урока Цепь переменного тока, содержащее емкостное сопротивление Цель урока: Исследовать механизм протекания переменного тока в цепи, содержащей ёмкостное сопротивление Анализ проведенного преподавателем

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Вильская средняя школа Рассмотрено На заседании педагогического совета Протокол от 2.08.207 Утверждаю. Директор МБОУ Вильской средней школы Е.И. Швындова

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА» Федеральный компонент государственного образовательные стандарты среднего общего образования (10-11 классы) (2004 год) 1. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Функция Понятие функции Способы задания функции Характеристики функции Обратная функция Предел функции Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x Бесконечно большая функция 4 Лекция

Лекция 2. Функции 2-1 Понятие функции и способы задания 2-2 Свойства функций 2-3 Элементарные функции 2-4 Последовательности 23 сентября 2007 г. Эпиграф Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем

Аннотация рабочих программ по алгебре (7-9 классы) Составители: Александрова И. В., Маркова О.П., Григорьева Н.А., Павелина И.В., Семёнова Н.Л. Рабочие программы по алгебре для 7-9-х классов разработаны

Глава 8 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Алгоритмы А- Задание стандартных функций А- Понятие функции. График функции А-3 Каноническая запись зависимостей А- Задание стандартных функций. К стандартным функциям отнесем

П/п Тема урока (кол-во часов) Код элемента содержания (КЭС) Календарно-тематический план по алгебре (7 класс) Элемент содержания Раздел 1: Математический язык. Математическая модель (14 ч) 1 Числовые выражения

Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной

Пояснительная записка В последние годы наблюдается резкий всплеск активности на рынке учебной литературы по математике для общеобразовательной школы: появляются десятки новых учебных и методических пособий,

Диагностическая работа по МАТЕМАТИКЕ 9 декабря 2010 года 11 класс Вариант 5 (без производной) Математика. 11 класс. Вариант 5 (без производной) 2 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной

Требования к уровню подготовленности учащихся В результате изучения математики на профильном уровне ученик должен знать / понимать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории

Класс 7.3, 7.5 Учебник: Алгебра (Макарычев Н.В.) Тема модуля «Формулы сокращенного умножения. Функции» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Формулы сокращенного умножения ТЕМА Знать

МАТЕМАТИКА, класс часов в неделю, всего 0 часа урока Содержание учебного материала Кол-во уроков п. «Натуральные числа и шкалы» (8 уроков) Дата - -7 8-0 - -7 8 9- -9 0 - -7 8- -8 9- -8 9- -9 70-7 7 7-7

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ «ШКОЛА СОСНЫ» УТВЕРЖДАЮ Директор И.П. Гурьянкина Приказ 8 от «9» августа 017 г. Рабочая программа по предмету «Алгебра и начала математического

МАТЕМАТИКА ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Данная рабочая программа разработана на основе Федерального компонента Государственного образовательного стандарта основного общего образования и Программы основного общего

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГАГИНСКАЯ СРЕДНЯЯ ШКОЛА ГАГИНСКОГО РАЙОНА НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ ПРИНЯТО Педагогическим советом МАОУ ГагинскойСШ от 29.08.208 УТВЕРЖДЕНО приказом

СЛЕДСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ КАДЕТСКИЙ КОРПУС СЛЕДСТВЕННОГО КОМИТЕТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 199178, г.

Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Выпуклость функции. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Сложная функция (композиция функций). Взаимно обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Нахождение функции, обратной данной.

Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной от переменной называется функцией , если каждому значению соответствует единственное значение .

Обозначение: .

Переменную называют независимой переменной или аргументом, а переменную – зависимой. Говорят, что является функцией от . Значение , соответствующее заданному значению , называют значением функции.

Все значения, которые принимает , образуют область определения функции; все значения, которые принимает , образуют множество значений функции.

Обозначения:

– область определения функции;

– область значений функции;

– значение функции в точке .

– значения аргумента. – значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. Если некоторому значению соответствуют несколько значений (а не одно) , то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси , пересекалась с графиком не более чем в одной точке.

Способы задания функции

1) Функция может быть задана аналитически в виде формулы. Например,

2) Функция может быть задана таблицей из множества пар .

3) Функция может быть задана графически. Пары значений изображаются на координатной плоскости.

Определение : Функция называется четной, если для любого из области определения . График произвольной четной функции приведен на рисунке ниже.

Лекция 3. Общие понятия и определения. Классификация функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о бесконечно малых функциях.

Функция

При решении различных задач обычно приходится иметь дело с постоянными и переменными величинами.

Определение

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и тоже значение или вообще или в данном процессе: в последнем случае она называется параметром.

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Понятие функции

При изучении различных явлений обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные и функции).

Определение

Переменная величина y называется функцией (однозначной) от переменной величины x, если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению x соответствует единственное вполне определенное значение величины y (сформулировал Н.И.Лобачевский).

Обозначение y=f(x) (1)

x – независимая переменная или аргумент;

y – зависимая переменная (функция);

f – характеристика функции.

Совокупность всех значений независимой переменной, для которых функция определена, называется областью определения или областью существования этой функции. Областью определения функции может быть: отрезок, полуинтервал, интервал, вся числовая ось.

Каждому значению радиуса соответствует значение площади круга. Площадь – функция от радиуса, определенная в бесконечном интервале

2. Функция (2). Функция определена при

Для наглядного представления поведения функции строят график функции.

Определение

Графиком функции y=f(x) называется множество точек M(x,y) плоскости OXY , координаты которых связаны данной функциональной зависимостью. Или график функции – это линия, уравнением которой служит равенство, определяющее функцию.

Например, график функции (2) – полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат.

Простейшие функциональные зависимости

Рассмотрим несколько простейших функциональных зависимостей

Прямая функциональная зависимость

Определение

Две переменные величины называются прямо пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении, другая изменяется в том же соотношении.

y=kx , где k – коэффициент пропорциональности.

График функции

Линейная зависимость

Определение

Две переменные величины связаны линейной зависимостью, если , где - некоторые постоянные величины.

График функции

Обратная пропорциональная зависимость

Определение

Две переменные величины называются обратно пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении, другая изменяется в обратном отношении.

Квадратичная зависимость

Квадратичная зависимость в простейшем случае имеет вид , где k – некоторая постоянная величина. График функции – парабола.

Синусоидальная зависимость.

При изучении периодических явлений важную роль играет синусоидальная зависимость

- функция называется гармоникой.

A – амплитуда;

Частота;

Начальная фаза.

Функция периодическая с периодом . Значения функции в точках x и x+T , отличающихся на период, одинаковы.

Функцию можно привести к виду , где . Отсюда получаем, что графиком гармоники является деформированная синусоида с амплитудой A периодом T, сдвинутая по оси ОХ на величину

Способы задания функции

Обычно рассматривают три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ задания функции

Если функция выражена при помощи формулы, то она задана аналитически.

Например

Если функция y=f(x) задана формулой, то ее характеристика f обозначает ту совокупность действий, которую нужно в определенном порядке произвести над значением аргумента x , чтобы получить соответствующее значение функции.

Пример . Выполняется три действия над значением аргумента.

Табличный способ задания функции

Этот способ устанавливает соответствие между переменными с помощью таблицы. Зная аналитическое выражение функции, можно представить эту функцию для интересующих нас значений аргумента при помощи таблицы.

Можно ли от табличного задания функции перейти к аналитическому выражению?

Заметим, что таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно. Это, так называемое интерполирование функции. Поэтому, в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить формулу, и при том не одну, которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции. Такого рода формула называется интерполяционной.

Графический способ задания функции

Аналитический и табличный способы не дают наглядного представления о функции.

Этого недостатка лишен графический способ задания функции y=f(x) , когда соответствие между аргументом x и функцией y устанавливается с помощью графика.

Понятие неявной функции

Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.

Функция y от аргумента x называется неявной, если она задана уравнением

F(x,y)=0 (1) неразрешенным относительно зависимой переменной.

Понятие обратной функции

Пусть задана функция y=f(x) (1). Задавая значения аргумента х, получаем значения функции y.

Можно, считая y аргументом, а х – функцией, задавать значения y и получать значения x . В таком случае уравнение (1) будет определять x , как неявную функцию от y . Эта последняя функция называется обратной по отношению к данной функции y .

Предполагая, что уравнение (1) разрешено относительно x, получаем явное выражение обратной функции

(2), где функция для всех допустимых значений y удовлетворяет условию

Точный математический анализ социально-экономических проблем всегда базируется на понятии функции. Функция - это правило, по которому элементы одного числового множества сопоставляются с элементами другого числового множества. Функции обозначаются как:

х - аргумент функции, объясняющая или независимая переменная, у – значение функции, объясняемая или зависимая переменная.

Существуют четыре способа задания функции: табличный, графический, аналитический, алгоритмический. Некоторые из перечисленных способов задания функций (иногда говорят "функциональных зависимостей") будут рассмотрены ниже на конкретных примерах.

Пример 1: Результаты изучения сезонного спроса на некоторый товар приводятся в таблице.

	Период времени	Спрос, тыс. шт.

Для каждого конкретного момента времени в таблице указывается значение спроса на товар в этот момент времени, то есть правило задано таблично.

Пример 2: Изучение спроса на некоторый товар в зависимости от изменения цены на него позволило построить следующую графическую зависимость:

Графический способ представления, как очевидно является наиболее удобным с точки зрения очевидности представления данных, но наименее удобным с позиций точности.

Пример 3. Расход продуктов питания Y в зависимости от доходов семьи Х может быть описан следующей зависимостью

Пример 4. Издержки по управлению товарными запасами У Складываются из затрат на хранение и затрат на доставку. В свою очередь каждое слагаемое зависит от объема товарной массы

Где А, b - коэффициенты, характеризующие условия хранения и поставки товара.

Пример 5: В микроэкономике, изучающей поведение потребителя на рынке товаров и услуг, широко используется функция полезности U. Для случая двух товаров, например, чая и кофе, она может иметь вид:

Здесь У1,У2 - объемы потребления каждого вида товара.

Приведённых примеров достаточно, чтобы сделать некоторые выводы.

Во-первых, Аналитические зависимости (формулы) совершенно различны, но все они состоят из конечного числа простых зависимостей, которые называют основными элементарными функциями.

На рис.1 показаны шесть основных элементарных функций (по порядку слева направо):

1. Линейная -

2. Квадратичная

3. Гипербола

4. Логарифмическая

5. Показательная

6. Степенная

Используемые на практике функции состоят из сочетаний нескольких элементарных и строятся по принципу "функция от функции". Например, пусть z = F(y). В свою очередь, переменная У также является функцией, зависящей от х - то есть у = F(x). Тогда говорят, что функция z является сложной функцией вида Z = F(f(x)).

Можно отметить, что функция может зависеть от одной переменной, тогда её можно изобразить на плоскости в виде графика в системе координат. Если аргумента два, как у функции полезности, то она может быть изображена на плоскости в виде совокупности линий уровня (см. рис.2).

Во-вторых, каждый из перечисленных способов задания функции не исключает любой другой. Они лишь дополняют друг друга. В одних задачах удобнее использовать аналитическую зависимость, а в других - графическую.

Кроме этого, можно отметить, что можно производить переход от одного способа представления функций к другому.

В-Третьих, функциональные зависимости полезны не только тем, что позволяют вычислить объясняемую переменную при заданных значениях объясняющих переменных, но и тем, что позволяют выявить качественные особенности описываемого явления.

Например, исследуем как изменяются затраты на продукты питания (см. пример 2), если доход увеличивается на величину Dх. Новое значение затрат определится как

Таким образом очевидно, что увеличение затрат на питание не зависит от дохода Х, а зависит лишь от прироста дохода Dх. Это означает, что, если индивид получал 800 руб. в месяц и его зарплата увеличится на 20 руб., то из этой величины он выделит дополнительно на питание 14 руб. То же самое сделает другой человек при зарплате 1600 руб. в месяц, если его зарплата также увеличится на 20 руб.

Задание №16

Интерпретация графика реальной зависимости.

Примеры графиков зависимостей, окружающих реальные процессы; чтение и интерпретация.

В данном задании проверяется умение анализировать графики функций, которые описывают зависимость м/у величинами.

Теория.

Определение.

1. Функция - это закон , по которому каждому значению элемента x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y .

2. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.

Записывают: у = f (х). Буквой f обозначается данная функция, т. е. функциональная зависимость между переменными х и у; f (х) есть значение функции , соответствующее значению аргумента х. Говорят также, что f (х) есть значение функции в точке х . Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции . Все значения, которые принимает функция f (х) (при х, принадлежащих области ее определения), образуют область значений функции .

Способы задания функции

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у = f (х),
где f (х) - некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента.

График функции.

Пусть функция задана аналитически формулой у = f (х). Если на координатной плоскости отметить все точки, обладающие следующим свойством: абсцисса точки принадлежит области определения функции, а ордината равна соответствующему значению функции, то множество точек (х; f (x)) есть график функции .

На практике для построения графика функции составляют таблицу значений функции при некоторых значениях аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют полученные точки линией. При этом предполагают, что график функции является плавной линией, а найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции. Преимуществом графического изображения по сравнению с табличным являются его наглядность и легкая обозримость; недостатком - малая степень точности. Большое практическое значение имеет удачный выбор масштабов. По графику можно найти (приблизительно) значение функции и для тех значений аргумента, которые не помещены в таблице.