riyazi gözlənti diskret təsadüfi dəyişənə onun bütün mümkün qiymətlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəmi deyilir

Şərh. Tərifdən belə çıxır ki, diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisi təsadüfi olmayan (sabit) dəyişəndir.

Gözlənilən dəyər davamlı təsadüfi kəmiyyət düsturla hesablana bilər

M(X) =
.

Riyazi gözlənti təxminən bərabərdir(nə qədər dəqiq olsa, sınaqların sayı bir o qədər çox olar) təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan qiymətlərinin arifmetik ortası.

Riyazi gözləmənin xassələri.

Mülk 1. Sabit dəyərin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir:

Əmlak 2. Sabit amil gözlənti işarəsindən çıxarıla bilər:

Əmlak 3. İki müstəqil təsadüfi dəyişənin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:

M(XY) =M(X) *M(Y).

Əmlak 4. İkinin cəminin riyazi gözləntiləri təsadüfi dəyişənlərşərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:

M(X+Y) =M(X) +M(Y).

12.1. Təsadüfi dəyişənin dispersiyası və onun xassələri.

Təcrübədə çox vaxt təsadüfi dəyişənin orta dəyəri ətrafında dispersiyasını tapmaq tələb olunur. Məsələn, artilleriyada mərmilərin vurulmalı olan hədəfə nə qədər yaxın düşəcəyini bilmək vacibdir.

İlk baxışdan belə görünə bilər ki, səpilməni qiymətləndirməyin ən asan yolu təsadüfi dəyişənin sapmasının bütün mümkün dəyərlərini hesablamaq və sonra onların orta qiymətini tapmaqdır. Bununla belə, bu yol heç nə verməyəcək, çünki hər hansı bir təsadüfi dəyişən üçün sapmanın orta qiyməti, yəni M sıfıra bərabərdir.

Buna görə də, çox vaxt başqa yolla gedirlər - hesablamaq üçün variasiyadan istifadə edirlər.

dispersiya Təsadüfi kəmənin (səpələnməsi) təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisindən kvadrat sapmasının riyazi gözləntisidir:

D(X) = M 2 .

Dispersiyanı hesablamaq üçün çox vaxt aşağıdakı teoremdən istifadə etmək rahatdır.

teorem. Dispersiya X təsadüfi kəmiyyətinin kvadratının riyazi gözləntisi ilə onun riyazi gözləntisinin kvadratı arasındakı fərqə bərabərdir.

D (X) \u003d M (X 2) - 2.

Dispersiya xassələri.

Mülk 1. Dispersiya sabitiCsıfıra bərabərdir:

Əmlak 2. Sabit amili kvadratlaşdırmaqla dispersiya işarəsindən kənara çıxarmaq olar:

D(CX)=C 2 D(X).

Əmlak 3. İki müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin dispersiyası bu dəyişənlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir:

D(X+Y) =D(X) +D(Y).

Əmlak 4. İki müstəqil təsadüfi dəyişənin fərqinin dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə bərabərdir:

D(X-Y) =D(X) +D(Y).

13.1. Normallaşdırılmış təsadüfi dəyişənlər.

dispersiya 1 və gözlənti 0-dır.

Normallaşdırılmış təsadüfi dəyişən V verilmiş X təsadüfi kəmiyyətinin onun standart kənarlaşma σ-yə nisbətidir

Standart sapma dispersiyanın kvadrat köküdür

Normallaşdırılmış V təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntiləri və dispersiyaları X-in xüsusiyyətləri ilə aşağıdakı kimi ifadə edilir:

burada v orijinal X təsadüfi kəmiyyətinin dəyişmə əmsalıdır.

Paylanma funksiyası F V (x) və paylanma sıxlığı f V (x) üçün bizdə:

F V (x) =F(σx), f V (x) =σf(σx),

harada F(x) orijinal təsadüfi kəmənin paylanma funksiyasıdır X, a f(x) onun ehtimal sıxlığıdır.

SƏPƏNMƏ XÜSUSİYYƏTLƏRİ

Mövqenin xüsusiyyətlərindən - riyazi gözlənti, median, rejim - təsadüfi dəyişənin yayılmasının xüsusiyyətlərinə keçək. x. dispersiya D(X)= a 2 , standart kənarlaşma a və dəyişmə əmsalı v. Diskret təsadüfi dəyişənlər üçün dispersiyanın tərifi və xassələri əvvəlki fəsildə nəzərdən keçirilmişdir. Davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün

Standart sapma qeyri-mənfi dəyərdir kvadrat kök dispersiyadan:

Dəyişiklik əmsalı standart sapmanın riyazi gözləntiyə nisbətidir:

Dəyişmə əmsalı - zaman tətbiq edilir M(X)> O - yayılmasını nisbi vahidlərlə ölçür, standart kənarlaşma isə mütləq şəkildə.

Misal 6. Vahid paylanmış təsadüfi kəmiyyət üçün X dispersiyanı, standart kənarlaşmanı və dəyişmə əmsalını tapın. Dispersiya belədir:

Dəyişən əvəzetmə yazmağa imkan verir:

harada ilə = f - aU2.

Beləliklə, standart sapma belədir və dəyişmə əmsalı:

Təsadüfi QİYMƏTLƏRİN TRANSFORMASIYALARI

Hər təsadüfi dəyişən üçün X daha üç kəmiyyət müəyyənləşdirin - mərkəzləşdirilmiş Y, normallaşdırılıb V və verilir U. Mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişən Y verilmiş təsadüfi kəmiyyət arasındakı fərqdir X və onun riyazi gözləntisi M(X), olanlar. Y=X - M(X). Mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri Y 0-a bərabərdir və dispersiya verilmiş təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasıdır:

paylama funksiyası Fy(x) mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişən Y paylama funksiyası ilə bağlıdır F(x) orijinal təsadüfi dəyişənin X nisbət:

Bu təsadüfi dəyişənlərin sıxlıqları üçün bərabərlik

Normallaşdırılmış təsadüfi dəyişən V verilmiş təsadüfi kəmiyyətin nisbətidir X onun standart sapmasına a, yəni. V = XIo. Normallaşdırılmış təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri və dispersiyası V xüsusiyyətləri ilə ifadə olunur X Belə ki:

burada v ilkin təsadüfi kəmiyyətin dəyişmə əmsalıdır x. Paylanma funksiyası üçün Fv(x) və sıxlıq fv(x) normallaşdırılmış təsadüfi dəyişən V bizdə:

harada F(x)- orijinal təsadüfi kəmənin paylanma funksiyası x; düzəltmək) onun ehtimal sıxlığıdır.

Azaldılmış təsadüfi dəyişən U mərkəzləşdirilmiş və normallaşdırılmış təsadüfi dəyişəndir:

Azaldılmış təsadüfi dəyişən üçün

Normallaşdırılmış, mərkəzləşdirilmiş və azaldılmış təsadüfi dəyişənlər həm nəzəri tədqiqatlarda, həm də alqoritmlərdə, proqram məhsullarında, normativ-texniki və təlimatlandırıcı və metodik sənədlərdə daim istifadə olunur. Xüsusilə, çünki bərabərliklər M(U) = 0, D(lf) = 1 metodların əsaslandırılmasını, teoremlərin tərtibini və hesablama düsturlarını sadələşdirməyə imkan verir.

Təsadüfi dəyişənlərin çevrilməsi və daha çox istifadə olunur ümumi plan. Deməli, əgər U = aX + b, harada a və b onda bəzi rəqəmlər var

Misal 7. Əgər a= 1/G, b = -M(X)/G, onda Y azaldılmış təsadüfi dəyişəndir və (8) düsturlar (7) düsturlara çevrilir.

Hər təsadüfi dəyişən ilə X Y = düsturu ilə verilən təsadüfi dəyişənlər Y çoxluğunu birləşdirmək olar Oh + b müxtəlif a > 0 və b. Bu dəst adlanır miqyaslı kəsmə ailəsi, təsadüfi dəyişən tərəfindən yaradılmışdır x. Paylanma funksiyaları Fy(x) paylama funksiyası tərəfindən yaradılan paylanmaların miqyaslı yerdəyişmə ailəsini təşkil edir F(x). Y= əvəzinə aX + b tez-tez istifadə olunan notlar

Nömrə ilə sürüşmə parametri və nömrə adlanır d- miqyas parametri. Formula (9) bunu göstərir X- müəyyən bir dəyərin ölçülməsinin nəticəsi - K-yə keçir - ölçmənin başlanğıcı bir nöqtəyə köçürülürsə, eyni dəyərin ölçülməsinin nəticəsi ilə, və sonra yeni ölçü vahidindən istifadə edin d köhnəsindən dəfələrlə çoxdur.

miqyaslı yerdəyişmə ailəsi üçün (9), paylanma X standart adlanır. Ehtimal-statistik qərarların qəbulu üsullarında və digər tətbiqi tədqiqatlarda standart normal paylanma, standart Weibull-Gnedenko paylanması, standart qamma paylanması istifadə olunur.

paylanması və s. (aşağıya bax).

Təsadüfi dəyişənlərin digər çevrilmələrindən də istifadə olunur. Məsələn, müsbət təsadüfi dəyişən üçün X nəzərə alın Y = IgX, harada IgX- ədədin onluq loqarifmi x. Bərabərlik zənciri

paylama funksiyalarını əlaqələndirir X və Y.

Mövqe xüsusiyyətlərinə əlavə olaraq - təsadüfi dəyişənin orta, tipik dəyərləri - hər biri paylanmanın bu və ya digər xüsusiyyətini təsvir edən bir sıra xüsusiyyətlərdən istifadə olunur. Ən çox belə xüsusiyyətlər kimi sözdə anlar istifadə olunur.

Kütlələrin paylanmasını (statik anlar, ətalət anları və s.) təsvir etmək üçün mexanikada an anlayışından geniş istifadə olunur. Təsadüfi dəyişənin paylanmasının əsas xassələrini təsvir etmək üçün ehtimal nəzəriyyəsində də məhz eyni üsullardan istifadə olunur. Çox vaxt praktikada iki növ an istifadə olunur: başlanğıc və mərkəzi.

Fasiləsiz təsadüfi dəyişənin s-ci dərəcəli ilkin anı formanın cəmidir:

. (5.7.1)

Aydındır ki, kütlələr x oxundakı nöqtələrdə cəmləşərsə, bu tərif mexanikada s nizamının ilkin anının tərifi ilə üst-üstə düşür.

Davamlı təsadüfi dəyişən X üçün s-ci sıranın başlanğıc momenti inteqraldır

. (5.7.2)

Əvvəlki n ° -də təqdim olunan mövqenin əsas xarakteristikasının - riyazi gözləmənin - təsadüfi dəyişənin ilk başlanğıc anından başqa bir şey olmadığını görmək asandır.

Gözləmə işarəsindən istifadə edərək biz iki düstur (5.7.1) və (5.7.2) birinə birləşdirə bilərik. Həqiqətən də, (5.7.1) və (5.7.2) düsturlar strukturuna görə (5.6.1) və (5.6.2) düsturlara tamamilə bənzəyir, fərqi ilə onların yerinə və müvafiq olaraq var və . Buna görə də, həm fasiləsiz, həm də ardıcıl üçün etibarlı olan ci sıranın ilkin anının ümumi tərifini yaza bilərik. davamlı miqdarlar:

, (5.7.3)

olanlar. təsadüfi kəmənin ci dərəcəli ilkin anı bu təsadüfi kəmənin ci dərəcəsinin riyazi gözləntisidir.

Mərkəzi momentin tərifini verməzdən əvvəl biz yeni “mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişən” anlayışını təqdim edirik.

Riyazi gözlənti ilə təsadüfi dəyişən olsun. Qiymətə uyğun olan mərkəzləşdirilmiş təsadüfi kəmiyyət təsadüfi kəmənin riyazi gözləntisindən kənarlaşmasıdır:

Bundan sonra biz hər yerdə razılaşacağıq ki, verilmiş təsadüfi dəyişənə uyğun olan mərkəzləşdirilmiş təsadüfi kəmiyyəti yuxarıdakı işarə ilə eyni hərflə təyin edək.

Mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisinin sıfıra bərabər olduğunu yoxlamaq asandır. Həqiqətən, fasiləsiz bir miqdar üçün

eynilə davamlı kəmiyyət üçün.

Təsadüfi dəyişənin mərkəzləşdirilməsi, açıq-aydın, mənşəyi absisi riyazi gözləntiyə bərabər olan orta, "mərkəzi" nöqtəyə köçürməyə bərabərdir.

Mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişənin anlarına mərkəzi momentlər deyilir. Onlar mexanikada ağırlıq mərkəzi ilə bağlı anlara bənzəyir.

Beləliklə, təsadüfi kəmiyyətin s sırasının mərkəzi anı müvafiq mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişənin ci gücünün riyazi gözləntisidir:

, (5.7.6)

və davamlı üçün - inteqral

. (5.7.8)

Bundan sonra verilən anın hansı təsadüfi dəyişənə aid olduğuna şübhə olmayan hallarda qısalıq üçün və yerinə sadə və sadə yazacağıq.

Aydındır ki, hər hansı bir təsadüfi dəyişən üçün birinci sıranın mərkəzi anı sıfıra bərabərdir:

, (5.7.9)

çünki mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi həmişə sıfırdır.

Müxtəlif düzənlərin mərkəzi və ilkin anlarını birləşdirən əlaqələri çıxaraq. Biz yalnız fasiləsiz kəmiyyətlər üçün törəmə həyata keçirəcəyik; sonlu cəmləri inteqrallarla, ehtimalları isə ehtimal elementləri ilə əvəz etsək, tam eyni münasibətlərin davamlı kəmiyyətlər üçün etibarlı olduğunu yoxlamaq asandır.

İkinci mərkəzi nöqtəni nəzərdən keçirin:

Eynilə, üçüncü mərkəzi an üçün alırıq:

üçün ifadələr və s. oxşar şəkildə əldə edilə bilər.

Beləliklə, hər hansı bir təsadüfi dəyişənin mərkəzi anları üçün düsturlar etibarlıdır:

(5.7.10)

Ümumiyyətlə, anlar yalnız mənşəyə (ilkin anlar) və ya riyazi gözləntilərə (mərkəzi məqamlara) görə deyil, həm də ixtiyari bir nöqtəyə görə də nəzərdən keçirilə bilər:

. (5.7.11)

Bununla belə, mərkəzi anların bütün digərləri üzərində üstünlüyü var: gördüyümüz kimi, birinci mərkəzi an həmişə sıfıra bərabərdir və ondan sonrakı ikinci mərkəzi an, bu istinad çərçivəsi üçün minimum dəyərə malikdir. Gəlin bunu sübut edək. Fasiləsiz təsadüfi dəyişən üçün düstur (5.7.11) aşağıdakı formaya malikdir:

. (5.7.12)

Bu ifadəni çevirək:

Aydındır ki, bu dəyər minimuma çatdıqda, yəni. an nöqtəyə görə götürüldükdə.

Bütün anlardan birinci ilkin an (gözlənti) və ikinci mərkəzi an ən çox təsadüfi dəyişənin xarakteristikaları kimi istifadə olunur.

İkinci mərkəzi an təsadüfi dəyişən dispersiya adlanır. Bu xüsusiyyətin həddindən artıq əhəmiyyətini nəzərə alaraq, digər məqamlarla yanaşı, onun üçün xüsusi bir təyinat təqdim edirik:

Mərkəzi anın tərifinə görə

, (5.7.13)

olanlar. təsadüfi dəyişən X-in dispersiyası müvafiq mərkəzləşdirilmiş dəyişənin kvadratının riyazi gözləntisidir.

(5.7.13) ifadəsindəki ifadənin qiymətini əvəz etsək, biz də əldə edirik:

. (5.7.14)

Birbaşa fərqi hesablamaq üçün aşağıdakı düsturlardan istifadə olunur:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Müvafiq olaraq fasiləsiz və davamlı kəmiyyətlər üçün.

Təsadüfi dəyişənin dispersiyası dispersiyanın xüsusiyyətidir, təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin onun riyazi gözləntisi ətrafında yayılmasıdır. “Dağılma” sözünün özü “səpələnmə” deməkdir.

Əgər paylanmanın mexaniki təfsirinə müraciət etsək, onda dispersiya verilmiş kütlə paylanmasının ağırlıq mərkəzinə nisbətən ətalət momentindən başqa bir şey deyildir (riyazi gözlənti).

Təsadüfi kəmənin dispersiyası təsadüfi dəyişənin kvadratının ölçüsünə malikdir; Səpilmənin vizual xarakteristikası üçün ölçüsü təsadüfi dəyişənin ölçüsü ilə üst-üstə düşən kəmiyyətdən istifadə etmək daha rahatdır. Bunu etmək üçün dispersiyanın kvadrat kökünü götürün. Nəticədə alınan dəyər təsadüfi dəyişənin standart sapması (əks halda - "standart") adlanır. Orta kvadrat sapma ilə işarələnəcək:

, (5.7.17)

Qeydləri sadələşdirmək üçün biz tez-tez standart sapma və dispersiya üçün qısaldılmış qeyddən istifadə edəcəyik: və . Bu xüsusiyyətlərin hansı təsadüfi kəmiyyətə aid olduğuna şübhə olmadığı halda, biz bəzən x y işarəsini buraxıb, sadəcə və yazırıq. "Standart sapma" sözləri bəzən s.c.o hərfləri ilə qısaldılacaq.

Təcrübədə çox vaxt təsadüfi dəyişənin dispersiyasını onun ikinci ilkin momenti (düsturların ikincisi (5.7.10)) ilə ifadə edən düsturdan istifadə olunur. Yeni qeyddə o, belə görünəcək:

Riyazi gözlənti və dispersiya (və ya standart sapma) təsadüfi dəyişənin ən çox istifadə olunan xüsusiyyətləridir. Onlar paylanmanın ən mühüm xüsusiyyətlərini xarakterizə edirlər: onun mövqeyi və dağılma dərəcəsi. Paylanmanın daha ətraflı təsviri üçün daha yüksək səviyyəli anlardan istifadə olunur.

Üçüncü mərkəzi an paylanmanın asimmetriyasını (və ya "çarpıqlığını") xarakterizə etməyə xidmət edir. Əgər paylanma riyazi gözləntiyə görə simmetrik olarsa (və ya mexaniki təfsirdə kütlə ağırlıq mərkəzinə görə simmetrik olaraq paylanmışdırsa), onda tək nizamın bütün anları (əgər onlar varsa) sıfıra bərabərdir. Həqiqətən, ümumilikdə

paylanma qanununa görə simmetrik və tək olan paylama ilə hər bir müsbət hədd mütləq dəyərdə ona bərabər olan mənfi bir terminə uyğun gəlir ki, bütün cəmi sıfıra bərabər olsun. Eyni şey inteqral üçün də açıqdır

,

tək funksiyanın simmetrik hədlərində inteqral kimi sıfıra bərabərdir.

Buna görə də, paylama asimmetriyasının xarakterik xüsusiyyəti kimi tək anlardan hər hansı birini seçmək təbiidir. Bunlardan ən sadəsi üçüncü mərkəzi məqamdır. Təsadüfi dəyişən bir kub ölçüsünə malikdir: ölçüsüz bir xarakteristikanı əldə etmək üçün üçüncü an standart sapmanın kubuna bölünür. Nəticədə alınan dəyər "asimmetriya əmsalı" və ya sadəcə olaraq "asimmetriya" adlanır; etiketləyəcəyik:

Əncirdə. 5.7.1 iki əyri paylanmanı göstərir; onlardan biri (əyri I) müsbət asimmetriyaya malikdir (); digəri (əyri II) mənfidir ().

Dördüncü mərkəzi an sözdə "sərinliyi" xarakterizə etməyə xidmət edir, yəni. pik və ya düz üst paylama. Bu paylama xüsusiyyətləri sözdə kurtozdan istifadə edərək təsvir edilmişdir. Təsadüfi dəyişənin kurtozu kəmiyyətdir

Nisbətdən 3 rəqəmi çıxılır, çünki təbiətdə çox vacib və geniş yayılmış normal paylanma qanunu (bununla daha sonra ətraflı tanış olacağıq). Beləliklə, normal paylanma üçün kurtoz sıfırdır; normal əyrilərdən daha sivri olan əyrilər müsbət kurtoza malikdir; əyrilər daha düz zirvəlidir - mənfi kurtoz ilə.

Əncirdə. 5.7.2 göstərir: normal paylanma (əyri I), müsbət kurtoz ilə paylanma (əyri II) və mənfi kurtoz ilə paylanma (əyri III).

Yuxarıda müzakirə edilən ilkin və mərkəzi məqamlara əlavə olaraq, praktikada bəzən düsturlarla müəyyən edilən mütləq anlar (ilkin və mərkəzi) adlananlardan istifadə olunur.

Aydındır ki, hətta sifarişlərin mütləq məqamları adi məqamlarla üst-üstə düşür.

Mütləq anlardan birinci mütləq mərkəzi an ən çox istifadə olunur.

, (5.7.21)

arifmetik orta sapma adlanır. Dispersiya və standart kənarlaşma ilə yanaşı, arifmetik orta kənarlaşma bəzən dispersiya xarakteristikası kimi istifadə olunur.

Riyazi gözlənti, rejim, median, ilkin və mərkəzi momentlər, xüsusən də variasiya, standart kənarlaşma, əyilmə və kurtoz təsadüfi dəyişənlərin ən çox istifadə edilən ədədi xarakteristikalarıdır. Bir çox praktiki tapşırıqlarda tam xarakteristikası təsadüfi dəyişən - paylama qanunu - ya lazım deyil, ya da əldə edilə bilməz. Bu hallarda, onlar köməyi ilə təsadüfi dəyişənin təxmini təsviri ilə məhdudlaşır. Hər biri paylanmanın bəzi xarakterik xüsusiyyətini ifadə edən ədədi xüsusiyyətlər.

Çox vaxt ədədi xüsusiyyətlər bir paylamanın digəri ilə əvəzlənməsini təxmin etmək üçün istifadə olunur və adətən onlar bu əvəzi etməyə çalışırlar ki, bir neçə vacib məqam dəyişməz qalsın.

Nümunə 1. Bir təcrübə aparılır ki, bunun nəticəsində ehtimalı bərabər olan hadisə baş verə bilər və ya olmaya bilər. Təsadüfi dəyişən hesab olunur - hadisənin baş vermə sayı (hadisə üçün xarakterik təsadüfi dəyişən ). Onun xüsusiyyətlərini müəyyənləşdirin: riyazi gözlənti, dispersiya, standart sapma.

Qərar. Kəmiyyət paylama seriyası aşağıdakı formaya malikdir:

hadisənin baş verməməsi ehtimalı haradadır.

(5.6.1) düsturuna əsasən, dəyərin riyazi gözləntisini tapırıq:

Qiymətin dispersiyası (5.7.15) düsturu ilə müəyyən edilir:

(Oxucunu dispersiyanı ikinci ilkin an baxımından ifadə etməklə eyni nəticəni əldə etməyə dəvət edirik).

Nümunə 2. Hədəfə üç müstəqil atəş edilir; hər vuruşun vurulma ehtimalı 0,4-dür. təsadüfi dəyişən hitlərin sayıdır. Kəmiyyətin xüsusiyyətlərini müəyyən edin - riyazi gözlənti, dispersiya, s.c.o., asimmetriya.

Qərar. Kəmiyyət paylama seriyası aşağıdakı formaya malikdir:

Kəmiyyətin ədədi xüsusiyyətlərini hesablayırıq:

Qeyd edək ki, eyni xassələri funksiyaların ədədi xarakteristikalarına dair teoremlərdən istifadə etməklə daha sadə hesablamaq olar (10-cu fəslə baxın).

Mat. Gözləmə Rejimi Medianı

Ən vacib xüsusiyyət gözlənilən dəyər , təsadüfi dəyişənin orta qiymətini göstərir.

Gözlənilən dəyər X-in qiyməti M[X] və ya m x ilə işarələnir.

Diskret təsadüfi dəyişənlər üçün gözlənilən dəyər :

Təsadüfi dəyişənlərin ehtimalı ilə uyğun dəyərin dəyərlərinin cəmi.

Moda X təsadüfi dəyişənin (Mod) ən çox ehtimal olunan qiyməti adlanır.

Diskret təsadüfi dəyişən üçün. Davamlı təsadüfi dəyişən üçün.

Unimodal paylama

Çox modal paylama

Ümumiyyətlə, Mod və gözlənilən dəyər yox

uyğun.

median X təsadüfi dəyişənin (Med) elə bir dəyərdir ki, onun üçün P(X). Med). Hər hansı bir Med paylanması yalnız bir ola bilər.

Med əyri altındakı sahəni 2 bərabər hissəyə bölür. Unimodal və simmetrik paylanma halında

Anlar.

Çox vaxt praktikada iki növ an istifadə olunur: başlanğıc və mərkəzi.

Başlanğıc anı. diskret təsadüfi dəyişən X-in sırası aşağıdakı formanın cəmidir:

Davamlı təsadüfi dəyişən X üçün ilkin nizam anı inteqraldır , aydındır ki, təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi ilk başlanğıc momentidir.

M işarəsindən (operator) istifadə edərək --ci sıranın ilkin anını mat kimi göstərmək olar. bəzi təsadüfi dəyişənin ci gücünün gözlənilməsi.

Mərkəzləşdirilmiş müvafiq X təsadüfi kəmiyyətinin təsadüfi kəmiyyəti X təsadüfi kəmiyyətinin onun riyazi gözləntisindən kənarlaşmasıdır:

Mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi 0-dır.

Diskret təsadüfi dəyişənlər üçün bizdə:

Mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişənin momentləri adlanır Mərkəzi anlar

Sifarişin mərkəzi anı təsadüfi dəyişən X uyğun mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişənin ci gücünün riyazi gözləntisi adlanır.

Diskret təsadüfi dəyişənlər üçün:

Davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün:

Müxtəlif sıraların mərkəzi və ilkin anları arasında əlaqə

Bütün anlardan birinci an (riyaziyyat. gözlənti) və ikinci mərkəzi an ən çox təsadüfi dəyişənin xarakteristikası kimi istifadə olunur.

İkinci mərkəzi an deyilir dispersiya təsadüfi dəyişən. Onun təyinatı var:

Tərifinə görə

Diskret təsadüfi dəyişən üçün:

Davamlı təsadüfi dəyişən üçün:

Təsadüfi dəyişənin dispersiyası X təsadüfi dəyişənlərinin onun riyazi gözləntisi ətrafında dispersiyasının (səpələnməsinin) xüsusiyyətidir.

Dispersiya səpilmə deməkdir. Dispersiya təsadüfi dəyişənin kvadratının ölçüsünə malikdir.

Dispersiyanın vizual xarakteristikası üçün təsadüfi dəyişənin ölçüsü ilə eyni m y dəyərindən istifadə etmək daha rahatdır. Bu məqsədlə dispersiyadan kök alınır və - adlanan dəyər alınır. standart sapma (RMS) təyinatı təqdim edərkən təsadüfi dəyişən X:

Standart kənarlaşma bəzən X təsadüfi dəyişənin "standartı" adlanır.

Təsadüfi dəyişənlərin çevrilmələri

Hər təsadüfi dəyişən üçün X daha üç kəmiyyəti müəyyənləşdirin - mərkəzləşdirilmiş Y, normallaşdırıldı V və verilir U. Mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişən Y verilmiş təsadüfi kəmiyyət arasındakı fərqdir X və onun riyazi gözləntisi M(X), olanlar. Y = X - M(X). Mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri Y 0-a bərabərdir və dispersiya verilmiş təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasıdır: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). paylama funksiyası F Y(x) mərkəzləşdirilmiş təsadüfi dəyişən Y paylama funksiyası ilə bağlıdır F(x) ilkin təsadüfi dəyişən X nisbət:

F Y(x) = F(x + M(X)).

Bu təsadüfi dəyişənlərin sıxlıqları üçün bərabərlik

f Y(x) = f(x + M(X)).

Normallaşdırılmış təsadüfi dəyişən V bu təsadüfi dəyişənin nisbətidir X onun standart sapmasına, yəni. . Normallaşdırılmış təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri və dispersiyası V xüsusiyyətləri ilə ifadə olunur X Belə ki:

,

harada v ilkin təsadüfi kəmiyyətin dəyişmə əmsalıdır X. Paylanma funksiyası üçün F V(x) və sıxlıq f V(x) normallaşdırılmış təsadüfi dəyişən V bizdə:

harada F(x) orijinal təsadüfi kəmənin paylanma funksiyasıdır X, a f(x) onun ehtimal sıxlığıdır.

Azaldılmış təsadüfi dəyişən U mərkəzləşdirilmiş və normallaşdırılmış təsadüfi dəyişəndir:

.

Azaldılmış təsadüfi dəyişən üçün

Normallaşdırılmış, mərkəzləşdirilmiş və azaldılmış təsadüfi dəyişənlər həm nəzəri tədqiqatlarda, həm də alqoritmlərdə, proqram məhsullarında, normativ-texniki və təlimatlandırıcı və metodik sənədlərdə daim istifadə olunur. Xüsusilə, çünki bərabərliklər üsulların əsaslandırılmasını, teoremlərin tərtibini və hesablama düsturlarını sadələşdirməyə imkan verir.

Təsadüfi dəyişənlərin çevrilmələrindən və daha ümumi plandan istifadə olunur. Beləliklə əgər Y = aX + b, harada a və b onda bəzi rəqəmlər var

Misal 7Əgər onda Y azaldılmış təsadüfi kəmiyyətdir və düsturlar (8) düsturlara (7) çevrilir.

Hər təsadüfi dəyişən ilə Xçoxlu təsadüfi dəyişənləri birləşdirə bilərsiniz Y düsturla verilir Y = aX + b müxtəlif a> 0 və b. Bu dəst adlanır miqyaslı yerdəyişmə ailəsi, təsadüfi dəyişən tərəfindən yaradılmışdır X. Paylanma funksiyaları F Y(x) paylama funksiyası tərəfindən yaradılan paylanmaların miqyaslı yerdəyişmə ailəsini təşkil edir F(x). Əvəzinə Y = aX + b tez-tez istifadə olunan notlar

Nömrə ilə sürüşmə parametri və nömrə adlanır d- miqyas parametri. Formula (9) bunu göstərir X- müəyyən bir kəmiyyətin ölçülməsinin nəticəsi - daxil olur At- ölçmənin başlanğıcı nöqtəyə köçürülərsə, eyni qiymətin ölçülməsinin nəticəsi ilə, və sonra yeni ölçü vahidindən istifadə edin d köhnəsindən dəfələrlə çoxdur.

Şkala-sıxma ailəsi (9) üçün paylama X standart adlanır. Ehtimal-statistik qərarların qəbulu metodlarında və digər tətbiqi tədqiqatlarda standart normal paylanma, standart Weibull-Gnedenko paylanması, standart qamma paylanması və s. istifadə olunur (aşağıya bax).

Təsadüfi dəyişənlərin digər çevrilmələrindən də istifadə olunur. Məsələn, müsbət təsadüfi dəyişən üçün X nəzərə alın Y= log X, harada lg Xədədin onluq loqarifmidir X. Bərabərlik zənciri

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

paylama funksiyalarını əlaqələndirir X və Y.