Какие колебания называются нелинейными. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. Идеология теории нелинейных процессов

Печенкин А.А. Парадигма и идеология: опыт философской реконструкции истории теории нелинейных колебаний // Философия науки. Вып. 7: Формирование современной естественнонаучной парадигмы – М.: , 2001

А.А.Печенкин

Парадигма и идеология: опыт философской реконструкции истории теории

нелинейных колебаний*

Предварительные замечания

Чтобы показать введенные понятия «в работе», рассмотрим ряд фрагментов истории теории нелинейных колебаний. Термин «теория нелинейных колебаний» мы используем в кунианском социологизированном смысле. Это не просто дедуктивная система (или попытка сформулировать таковую), а социальное явление – представления, развитые в конце 20-х гг. ХХ века и в 30-е гг. сообществом ученых, называемом обычно школой Л.И.Мандельштама. Рассматриваемая таким образом теория нелинейных колебаний сменила нелинейную теорию электрических колебаний голландского физика и радиоинженера Б. Ван дер Поля, над которой тот работал уже в начале 20-х гг. В 1927 г. Л.И.Мандельштам поставил перед своим аспирантом А.А.Андроновым задачу, которая вылилась в серию основополагающих работ, выполненных при участии двух других аспирантов Л.И.Мандельштама – А.А.Витта и С.Э.Хайкина. При этом Л.И.Мандельштам не только инициировал создание теории нелинейных колебаний, но вместе со своим другом и соавтором Н.Д.Папалекси внес вклад в разработку этой теории. В этой разработке участвовали также некоторые другие ученики Л.И.Мандельштама, сотрудники Н.Д.Папалекси, ученики и сотрудники А.А.Андронова, который, переехав в 1931 г. из Москвы в Горький (ныне – Нижний Новгород), основал там свою школу, которая может рассматриваться в качестве ветви школы Мандельштама.

Теория нелинейных колебаний не сразу была признана за рубежом. Ее полноценное признание приходится уже на послевоенные годы, когда Н.Минорский написал свою книгу, в которой представил основные результаты школы Л.И.Мандельштама . В 1949 г. вышел английский перевод книги А.А.Андронова, А.А.Витта и С.Э.Хайкина «Теория колебаний», изданной в СССР в 1937 г. (поскольку Витт был арестован, его имя было удалено с титула этой книги), книги, представляющей основное содержание и программу теории нелинейных колебаний (так, во всяком случае, говорится в предисловии Мандельштама к этой книге) . В 1966 г. вышел английский перевод второго издания этой книги (1959 г.), подготовленного учеником Андронова Н.А.Железцовым. Впоследствии работы по теории нелинейных колебаний растворились в общем потоке публикаций по нелинейной динамике.

В настоящей статье планируется показать, что не только парадигма, но и идеология направляла формирование и развитие теории нелинейных колебаний, причем именно идеология привела к нетривиальным концепциям, оказавшимся в 70-е гг. в сфере интересов синергетики – теории самоорганизации . В следующем параграфе

речь пойдет о той парадигме, в рамках которой формировалась теория нелинейных колебаний. В третьем параграфе мы рассмотрим эту парадигму «в работе», т.е. обсудим ряд достижений теории нелинейных колебаний (30-е гг.), полученных на пути того, что Т.Кун называл «решение головоломок». В четвертом параграфе будет описана идеология нелинейных колебаний и будет прослежено, как она «работала» за пределами тех задач, которые решались в рамках парадигмы.

Парадигма теории нелинейных колебаний

Как было отмечено выше, теория нелинейных колебаний пришла на смену нелинейной теории электрических колебаний ван дер Поля. Последняя в свою очередь генетически связана с разработкой теории радиотехнического устройства – лампового генератора. В этом устройстве, работающем, как и всякое реальное устройство, с «трением» (т.е. являющемся неконсервативной системой), возникают незатухающие колебания. Конечно, это значит, что система содержит источник энергии (или в систему поступает энергия извне). Однако речь не идет о вынужденных колебаниях. Ламповый генератор сам генерирует незатухающие колебания. Он является автономной системой (дифференциальные уравнения таких систем не содержат времени явно), т.е. системой с непериодическим источником энергии. Незатухающие колебания возникают за счет особой конструкции лампового генератора, включающего, кроме колебательного контура, усилитель (электронную лампу), связанный с колебательным контуром обратной связью.

Оставляя открытым вопрос о парадигме теории ван дер Поля, опишем ту парадигму, которая сложилась в работах Мандельштама, Андронова и их сотрудников в конце 20-х гг. Будем следовать «элементам дисциплинарной матрицы », перечисленным Куном в «Дополнении 1969 г.» к его книге «Структура научных революций».

В качестве первого элемента Кун указывает на «символические обобщения» – математические формулы, выражающие универсальные научные законы. В современной физике – это главным образом дифференциальные уравнения. «Символические обобщения» должны быть достаточно емкими, чтобы постановка конкретных задач шла путем «расшифровки» этих «обобщений».

Ван дер Поль в основном исходил из уравнения, носящего теперь его имя и описывающего принцип действия простого лампового генератора:

d 2 x/dt 2 –μ(1–2x 2)dx/dt+x=0 (1)

Здесь x – обобщенная координата (в случае лампового генератора – сила тока), t – время, а нелинейный элемент 2x 2 dx/dt выражает работу усилителя (электронной лампы).

В трудах Андронова и других представителей школы Мандельштама «символическим обобщением» становится дифференциальное уравнение, по отношению к которому уравнение ван дер Поля – частный случай. Это следующее уравнение:

d 2 x/dt 2 +2δdx/dt+ω 2 x=f(x,dx/dt) (2)

где x и t, как и раньше, обобщенная координата и время, δ – коэффициент затухания, ω – собственная частота, т.е. циклическая частота того процесса, который происходил бы в отсутствии трения и внешней силы, f(x, dx/dt) – нелинейная функция, описывающая действие источника энергии, включенного в систему управления, обеспечивающую незатухающие колебания. Уравнение (2) может быть каждый раз по-своему записано для различных нелинейных задач радиотехники и механики – для описания лампового генератора, часов, фрикционного маятника (так называемого маятника Фроуда, представляющего собой обычный маятник, посаженный с трением на вращающийся с постоянной скоростью вал) и т.д.

На втором месте после «символических обобщений» у Куна стоят «общепризнанные предписания» типа «теплота представляет собой кинетическую энергию частей, составляющих тело». У Мандельштама, Андронова, их сотрудников и учеников таким предписанием было в первую очередь следующее: «построить фазовый портрет колебательной системы – ее траекторию на фазовой плоскости (где осями координат являются х, dx/dt)». Уравнение (2), вообще говоря, не интегрируется, не решается в элементарных функциях. Ван дер Поль, решая уравнение (1), действовал изобретенным им же приближенным методом – методом медленно меняющихся амплитуд (μ трактовалось им как малый параметр). Построение фазового портрета может также рассматриваться как интегрирование. Поскольку фазовый портрет подчиняется строгим законам теории дифференциальных уравнений, построение фазового портрета обеспечивает точное решение дифференциального уравнения. Поскольку фазовый портрет сам по себе не несет количественной информации об амплитуде, фазе и частоте колебаний, то это решение качественное. Отсюда термин, популярный в окружении Андронова, – «качественное интегрирование».

К задаче построения фазового портрета близко подошел ван дер Поль в 1926 г. Действуя методом изоклин, он наметил контуры того, что потом было названо фазовым портретом уравнения (1) . Но его «фазовый портрет» не был объектом качественной теории дифференциальных уравнений, заложенной А.Пуанкаре в последние десятилетия XIX века. Это была скорее картинка, графическая иллюстрация.

Фазовые портреты уравнений (1) и (2) построил Андронов в своих работах 1928–1929 гг., ставших основой его кандидатской диссертации. Андронов показал, что незатухающие колебания, имеющие место в ламповом генераторе, часах и т.д. (он назвал их автоколебаниями), изображаются на фазовой плоскости в виде предельных циклов Пуанкаре – замкнутых кривых, к которым асимптотически приближаются все близлежащие кривые. Предельный цикл окружает особую точку, символизирующую состояние равновесия . В последующих работах Андронов рассмотрел переходные процессы – случаи «жесткого» и «мягкого» возбуждения колебаний в ламповом генераторе – и нашел их геометрические образы на фазовой плоскости.

«Качественное интегрирование» предполагает анализ устойчивости колебаний. Андронов показал, что автоколебаниям соответствуют устойчивые предельные циклы Пуанкаре . При этом существенными оказываются два вида устойчивости: устойчивость по Ляпунову и структурная устойчивость (грубость) колебательной системы. Устойчивость по Ляпунову означает устойчивость по отношению к малым изменениям начальных условий. Термин «грубость динамической системы» был введен Андроновым уже в его первых работах о предельных циклах. Однако корректное формулирование этого понятия было осуществлено им вместе с Л.С.Понтрягиным в 1937 г. Грубой называется система, фазовый портрет которой устойчив по отношению к небольшим изменениям дифференциального уравнения, описывающего эту систему. Чтобы сформулировать «грубость» более точно, надо уравнение (2) переписать в следующем виде:

d 2 x/dt 2 +ω 2 x=f(x,dx/dt) (3)

где нелинейная функция f(x, dx/dt) представляет уже не только непериодический источник энергии, но и фактор затухания (к тому есть свой резон, так как трение может быть нелинейным). Грубым движением будет устойчивое по отношению к малым изменениям правой части уравнения (3).

Руководствуясь теорией устойчивости, развитой А.М.Ляпуновым в начале ХХ века, Андронов вместе с А.А.Виттом показали, что при условии грубости системы по характеристическим показателям Ляпунова можно судить об устойчивости предельного цикла и, стало быть, о наличии автоколебаний.

автоматического регулирования. Андронов писал, что именно в эти годы им была решена задача устойчивости движений, поставленная перед ним Мандельштамом в 1927 г.

Пользуясь методом припасовывания, фазовый портрет ищут путем составления решения нелинейного уравнения типа (2) из кусочков решений линейных уравнений, аппроксимирующих отдельные участки этого решения, и «сшивания» линейных решений исходя из требования непрерывности решения нелинейного уравнения. При этом константу интегрирования линейного решения, отвечающего последующему линейному кусочку, находят путем «припасовывания» этого участка к предыдущему: начальные значения, характеризующие этот участок, должны совпадать с конечными значениями, характеризующими предыдущий участок.

Тот эскиз фазового портрета, который дает метод припасовывания, сильно зависит от начальных значений, при которых получено решение первого линейного уравнения, словом, от того, при каких условиях начато «припасовывание». При помощи метода точечных отображений этот недостаток может быть отчасти преодолен: во внимание может быть принят интервал возможных начальных значений. Так или иначе, метод припасовывания позволяет судить о характере фазового портрета решаемой задачи и оценить количественные характеристики этого портрета. Он как бы открывает дверь в фазовое пространство, находясь в котором надо уже двигаться по иным законам – не по законам эмпирических наблюдений и правил, а по законам строгой математической теории – качественной теории дифференциальных уравнений.

Выше упоминался другой приближенный метод – метод медленно меняющихся амплитуд, разработанный ван дер Полем. Этот метод тоже использовался для эвристических соображений, касающихся фазового портрета. В 1930 г. Андронов и Витт при помощи метода медленно меняющихся амплитуд рассмотрели явление «захватывания», имеющего место в неавтономной системе (в отличие от уравнений (1) и (2), описывающих автономные системы, в уравнениях для неавтономных систем присутствует член, учитывающий периодическую внешнюю силу)*. При этом они получили образ этого

* Для неавтономных систем типичны «биения», колебания, характеризуемые двумя частотами (частотой ω – см. уравнение (2) и частотой внешней силы). «Захватыванием» называется принудительная синхронизация: изменяя частоту внешней силы, мы наблюдаем, что при некотором значении этого параметра возникают однородные колебания с этой частотой.

явления в фазовом пространстве, т.е. проследили изменение фазового портрета автоколебательной системы с изменением частоты внешней силы .

Метод медленно меняющихся амплитуд состоит в замене уравнения (1) более простыми «укороченными» уравнениями, чье решение аппроксимирует решение исходного уравнения при малых значениях параметра μ. В книге Андронова, Витта и Хайкина объясняется соотношение фазовых портретов исходного уравнения и фазового портрета «укороченных уравнений». Система координат исходного уравнения, помещенная на фазовую плоскость «укороченных» уравнений, вращается по часовой стрелке с угловой скоростью, равной 1. Предельным циклам исходного уравнения соответствуют окружности состояний равновесия на фазовом портрете «укороченных» уравнений, спиралям, накручивающимся на предельные циклы, – прямые траектории на этом вспомогательном фазовом портрете.

Разумеется, эти соответствия ведут лишь к предположительному фазовому портрету исходного уравнения. Однако это предположение вводится в контекст строгой математической теории – качественной теории дифференциальных уравнений. Тем самым оно приобретает более высокий статус в структуре физики. Все теории физики предположительны. Однако среди них имеются замкнутые концептуальные системы, оперирующие строгими понятиями и законами. Эту строгость придает им строгий математический аппарат, в рамках которого они формулируются. Благодаря качественной теории дифференциальных уравнений такой теорией становится теория нелинейных колебаний.

Уже в первых своих работах по предельным циклам Пуанкаре Андронов применял другой асимптотический метод – метод малого параметра, введенный Пуанкаре в «Новых методах небесной механики» (этот метод называют также методом Пуанкаре). В 1930-х гг. в соавторстве с Виттом он применял этот метод в области, выходящей за пределы тех исследований, которые велись на основе качественной теории дифференциальных уравнений.

Сопоставив «онтологические» и «эвристические» модели, мы уже затронули третий элемент куновской «дисциплинарной» матрицы – ценности. Для школы Мандельштама был характерен фундаментализм – предпочтение отдавалось общим физическим теориям, а не «продуктивным» моделям. Как сам Андронов, так и Мандельштам истолковывали работу Андронова по предельным циклам Пуанкаре как основополагающую в теории нелинейных колебаний. Они считали, что благодаря этой работе теория нелинейных колебаний обрела

строгий математический аппарат и тем самым приблизилась по своему статусу к фундаментальной теории (типа механики, электродинамики и т.д.). Ван дер Поль, развивший теорию электрических колебаний и публиковавший свои исследования одновременно с Мандельштамом и Андроновым, не только использовал приближенные методы, он декларировал принципиальную важность этих методов . Мандельштам и Андронов, отдавая должное эффективности методов ван дер Поля, отмечали, что им не было создано теории, «адекватной» рассматриваемому предмету и ведущей к далеко идущим качественным предсказаниям.

В своем предисловии к книге Андронова, Витта и Хайкина Мандельштам подчеркнул концептуальную значимость этой работы. В ней не только разбирались методы, учитывающие нелинейность в виде поправки к линейным расчетам, но и создавался специфический язык нелинейной физики. «В сложной области нелинейных колебаний, – предсказывал Мандельштам, – выкристаллизуются свои специфические общие понятия, положения и методы, которые войдут в обиход физика, сделаются привычными и наглядными, позволят ему разбираться в сложной совокупности явлений и дадут мощное эвристическое оружие для новых исследований»... Физик, интересующийся современными проблемами колебаний, должен уже теперь участвовать в продвижении по этому пути» .

Сказанное не означает, что Мандельштам, Андронов, их сотрудники и ученики недооценивали приближенные методы. Скорее наоборот, почти все их работы 30-х гг. связаны с применением приближенных методов. Предпочтение, отдаваемое точным методам, было своего рода регулятивной идеей. Оно определяло изложение материала в учебниках и обзорных статьях. Кроме того, это предпочтение стимулировало работу по обоснованию приближенного метода медленно меняющихся амплитуд (Л.И.Мандельштам и Н.Д.Папалекси, 1935 г.). И наконец (и это, пожалуй, самое главное), поставив во главу угла качественную теорию дифференциальных уравнений, Андронов в соавторстве с рядом своих сотрудников и учеников разработал теорию эволюции фазового портрета системы, имеющей место при изменении параметра системы. Эта разработка началась с упоминавшегося выше исследования «мягкого» и «жесткого» возбуждения лампового генератора и привела к обогащению теории нелинейных колебаний концепциями «смены устойчивости» и точек бифуркации,

же какой-то асимптотический метод, какой-то корреспонденц-принцип», – говорил Мандельштам . Однако впоследствии он не только одобрил работы своих учеников, использовавших метод малого параметра, но и сам вместе с Н.Д.Папалекси применил этот метод в статье об явлении резонанса второго рода (1934–35 гг.). Андронов и Витт использовали метод малого параметра при расчете системы с двумя степенями свободы. Они сами отмечали, что эта система пока слишком сложна для рассмотрения ее с позиций качественной теории дифференциальных уравнений . Тем не менее, руководствуясь той шкалой ценностей, которая была принята в школе Мандельштама, Г.С.Горелик, один из последних аспирантов Мандельштама и сотрудник Андронова, писал, что «метод малого параметра занимает в его (Андронова) работах совершенно второстепенное место. Главное в них – применение к исследованию нелинейных колебаний качественной теории дифференциальных уравнений и связанных с ней топологических методов» .

И наконец, четвертый компонент «дисциплинарной матрицы » – примеры, на которых отрабатывается формулирование и решение задач, примеры, показывающие как конкретизировать «символические обобщения» и применять к ним «предписания», как «эвристические модели» позволяют построить «онтологическую модель». Как отмечалось выше, теория нелинейных колебаний первоначально складывалась как теория простого радиотехнического устройства – лампового генератора. Это устройство и служило «разделяемым примером», на котором в учебниках объяснялось понятие автоколебаний и использование предельных циклов Пуанкаре для описания автоколебаний. В «Лекциях по колебаниям» Мандельштам приводит еще один пример – маятник Фроуда, в книге Андронова, Витта и Хайкина ламповый генератор соседствует с часами.

Парадигма «в работе»

Чтобы пояснить ту роль, которую играла парадигма в становлении теории нелинейных колебаний, рассмотрим, как были решены две задачи: задача о колебаниях в мультивибраторе Абрагама и Блоха (системе, не содержащей заметных индуктивностей) и задача о колебаниях скрипичной струны. Первая задача (1930 г.) привела к формированию учения о релаксационных колебаниях, сильно несинусоидальных колебаниях, состоящих из быстрых и медленных движений. Вторая (1936 г.) означала прорыв в область распределенных систем, непрерывных сред. В своих первых работах, инициированных

андроновским применением предельных циклов Пуанкаре , Мандельштам, его сотрудники и ученики имели дело исключительно с сосредоточенными системами, колебания которых являются пространственными перемещениями – качаниями маятника, движениями электрического заряда. Хотя параметры, определяющие поведение таких систем – масса маятника, индуктивность и емкость в колебательном контуре, – практически не являются точечными, а распределены по своим пространственным областям, от этой их неточечности можно отвлечься. Сосредоточенные системы описывают обыкновенные дифференциальные уравнения, распределенные – уравнения в частных производных.

Андронов сам дал следующее описание этой истории: «В 1929 г. я стою, – как дальше будет видно, в известном смысле слишком прямолинейно, на той точке зрения, что математическим образом незатухающих колебаний, или автоколебаний, является предельный цикл Пуанкаре . Я рассматриваю различные системы и ищу везде предельные циклы. Однако, я беру обычную идеализированную схему мультивибратора Абрагама – Блоха, содержащую одни только емкости, но показывающую автоколебания. Я пишу дифференциальные уравнения динамики, ищу цикл, но без результатов. Более того, я смог доказать, что рассматриваемые дифференциальные уравнения не могут иметь предельного цикла. Вместо цикла я нашел специфическую кривую, показывающую, что фазовая скорость становится бесконечной. Наличие такой кривой не позволяет однозначно установить движение изображающей точки. Получается парадокс: автоколебания означают циклы, циклов нет, а система

совершает автоколебания. С этим парадоксом я пришел к Мандельштаму, который немедленно понял, в чем дело. После некоторой дискуссии он подытожил: «Если доказано, что циклов нет, это уже что-то. Поскольку система совершает колебания, то либо ваша идеализация негодна, либо Вы не знаете, как с ней работать». Он добавил, что уезжает в Ленинград и постарается там обдумать этот парадокс. По возвращении из Ленинграда он сказал следующее: «Мы с Н.Д.Папалекси думаем, что с вашей идеализацией можно работать и найти периодическое решение, интересное с физической точки зрения. Но это решение не будет принадлежать к непрерывным решениям, которые вы ищете. Это будет разрывное решение, т.е. соответствующее движение изображающей точки будет совершать мгновенные скачки. Мы думаем, что можно найти периодическое решение, если ввести дополнительную гипотезу, что при этих изменениях энергия, запасенная в конденсаторах, изменяется непрерывно». Вскоре я вместе с Виттом попытались реализовать эти соображения Мандельштама. Преодолев некоторые вычислительные трудности, мы нашли разрывное периодическое решение» .

Итак, задача о мультивибраторе Абрагама–Блоха была решена Андроновым в два этапа.

Андронов строго показал, что эта система уравнений «не допускает никаких непрерывных периодических решений». В то же время парадигмальные задачи подсказывали ему, что система является автоколебательной, т.е. совершает непрерывное периодическое движение.

II. Обсудив вопрос с Мандельштамом, Андронов в соавторстве с Виттом решил «головоломку». Удерживая ту же идеализацию, он принял «гипотезу скачка», подсказанную ему Мандельштамом и Папалекси. Эта гипотеза, состоящая в том, что напряжения на конденсаторах непрерывны, позволяет «достроить» фазовую траекторию уравнений мультивибратора до предельного цикла в четырехмерном фазовом пространстве. Изображающая точка, достигнув критического значения (скорость изменения напряжения на сетке обращается в бесконечность), совершает скачок в точку кривой, определенной указанными условиями непрерывности, и затем снова движется по фазовой траектории этих уравнений,

обращается в бесконечность), совершает скачок в точку кривой, определенной указанными условиями непрерывности, и затем снова движется по фазовой траектории этих уравнений.

Задачу о колебаниях скрипичной струны решал Витт, который еще в 1934 г. опубликовал статью о «распределенных автоколебательных системах». В этой работе, однако, как Витт сам оговаривает, он действовал весьма грубыми приближенными методами. Во-первых, он рассматривает нелинейные системы как слабо нелинейные, что дает ему возможность применять метод малого параметра, причем в его самом простом варианте, где учитывается только первый член ряда по степеням параметра μ. Во-вторых, Витт предполагает, что теорема Ляпунова об устойчивости, справедливая для концентрированных систем, имеет силу и для распределенных систем.

В статье о колебаниях скрипичной струны Витт уже работает в рамках парадигмы теории нелинейных колебаний. Математически эта задача формулируется в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных: волновое уравнение и уравнения, выражающие граничные условия – одно из них нелинейное. Чтобы привести задачу к виду, соответствующему «символическому обобщению» (1)–(2), Витт использует метод точечных отображений (см. выше). Иными словами, он из уравнений в частных производных получил «функциональное уравнение», к которому в соответствии с методом точечных отображений приводятся задачи с обыкновенными дифференциальными уравнениями. «Чтобы получить универсальные соотношения, мы будем пользоваться безразмерными величинами, – пишет Витт. – Положение точки на струне мы будем измерять величиной y=x/l, где x – расстояние рассматриваемой точки струны от закрепленного конца, / – длина половины струны, время мы будем измерять отношением τ=tc/l=4t/T, где с – скорость распространения колебаний в струне, t – время, T – период основного тона свободных колебаний. Обозначим через u отношение v/l, где v – смещение струны. По Даламберу:

u=φ 1 (τ-у)+φ 2 (τ+у) (а)

при y=0: u=0 и, следовательно, ъ=0 (для τ>0) (б)

ϕ(τ+Τ )=ψ(ϕ(τ))

с начальными значениями ϕ(t)=ϕ 0 (τ), 0<τ<Τ.

Это уравнение, определяющее точечные отображения, он исследовал при помощи итераций. При этом он ввел понятие стационарной последовательности, примерами таких последовательностей служат последовательности, все члены которых одинаковы, и периодические последовательности. Он также ввел понятие последовательности, устойчивой по Кёнигсу Аналогия с предельными циклами возникает, когда эти последовательности наносятся на диаграммы Лемерея (графики функции ψ(ϕ(τ)) в декартовых координатах ϕ(τ)=х и ϕ(τ+Т)=ψ).

Витт рассматривал пример весьма простой распределенной нелинейной системы: нелинейность у него была сосредоточенной в точке соприкосновения смычка и струны. Систематическое исследование нелинейных колебаний распределенных систем началось позже – в 50-х гг. И проводилось уже не в рамках «парадигмы автоколебаний», а «идеологии автоколебаний».

Идеология теории нелинейных колебаний

Идеология теории нелинейных колебаний – это в первую очередь понятие автоколебаний, введенное, как отмечалось выше, Андроновым в статьях 1928–1929 гг. Фактически с автоколебаниями имел дело и ван дер Поль, описывая незатухающие колебания в ламповом генераторе, но он не вводил для них специального термина. Андронов же не только ввел специальный термин, он придал этому явлению теоретическую глубину, связав автоколебания с предельными циклами на фазовой плоскости. И до Андронова радиоинженеры и радиофизики знали, что для лампового генератора типичны незатухающие колебания, характеризующиеся своей специфической амплитудой, независящей от условий возбуждения этих колебаний. Андронов, однако, сделал это понятие теоретическим. Он показал,

что устойчивость автоколебаний может пониматься в математическом смысле и эксплицируется как устойчивость по Ляпунову и грубость колебательной системы.

Понятие автоколебаний стало набирать авторитет после Первой Всесоюзной конференции по колебаниям (1931 г.), которую провела школа Л.И.Мандельштама . Автоколебания были в центре внимания этой конференции. Мы читаем в одной из статей 1936 г., что «в настоящее время существует математически строгая и физически адекватная теория обширного класса автоколебательных явлений, доказавшая свою плодотворность в большом числе исследований» . «Явление автоколебаний… встречается в природе на каждом шагу», – пишет в своем учебнике Г.С.Горелик, о подходе которого к методу малого параметра шла речь выше . «Советскими учеными, – говорится в одном из обзоров, – по существу была создана новая область науки о колебаниях – область автоколебаний, которая в настоящее время пополняется новыми исследованиями и результатами» .

В послевоенные годы появляются книги, специально посвященные автоколебаниям. В 1944 г. вышла книга К.Ф.Теодорчика, занявшего в 1939 г. пост. и.о. заведующего кафедрой колебаний, основанной Л.И.Мандельштамом. Книга называлась «Автоколебательные системы», и она выдержала три издания. Три издания выдержала и книга крупного специалиста по проблемам автоматического регулирования А.А.Харкевича «Автоколебания». В предисловии к этой книге, написанной «без единой математической формулы в основном тексте», констатируется «широкое значение автоколебаний не только для техники, но и вообще для естествознания» .

Идеология возникает вместе с парадигмой, можно также сказать, что парадигма несет некую идеологию. Однако идеология распространяется дальше парадигмы. Выше мы охарактеризовали четыре составные части парадигм по Куну: «символические обобщения» (обычно это – дифференциальные уравнения), «предписания» (обычно это – методы решения дифференциальных уравнений), ценности, устанавливающие иерархию среди предписаний, и разделяемые примеры, достаточно простые задачи, позволяющие объяснить, каким образом «предписания» обеспечивают применение «символических обобщений». Как «символические обобщения», так и «предписания» обусловлены определенными правилами (например, правилами математики). Идеология же – это слова и выражения, значения которых разъясняются на примерах (аналогиях и иллюстрациях). Применение этих слов и выражений направляется интуицией. Конечно, в каждом научном сообществе – своя интуиция. Но интуиция

может идти дальше правил и даже ставить проблемы, требующие ревизии правил. Значения слов и выражений могут развиваться, образуя то, что Л.Витгенштейн называл «семейные сходства». Например, значение слова «игра», которое Витгенштейн берет в качестве образца, допускает такие примеры, как шахматы, пасьянс, хоровод. Значение же слова «автоколебания» может быть разработано в ряде иллюстраций, начинающихся ламповым генератором, маятником Фроуда и механическими часами и включающим скрипичную струну, возбуждаемую смычком, звезды переменной яркости (cepheids), сердце и «биологические часы». Если же обратиться к такому предикату , как «быть обусловленным свойствами самой системы, а не начальными условиями», то этот ряд пополнится такими объектами, как автоволны и диссипативные структуры.

Одним из важных признаков идеологического применения понятия является размывание его содержания. Понятие как бы выходит за пределы своей области применения. По сути дела это значит, что формулируются аналоги этого понятия, что возникают новые понятия под тем же самым термином, причем понятия, не определенные четко.

Первым таким порогом, который преступило понятие автоколебаний, был порог между автоколебаниями и вынужденными колебаниями. «В связи с открытием новых принципов генерации автоколебаний и развитием уже известных, понятие автоколебаний после второй мировой войны значительно расширилось. В частности, к автоколебаниям стали относить не только те незатухающие колебания, энергия которых черпается из постоянного источника, но и те колебания, которые поддерживаются за счет энергии другого достаточно сильного колебательного процесса, возбуждаемого извне... (такие колебания могут быть полностью погашены изменением какого-либо параметра системы, скажем, затухания или расстройки)» .

Продолжением этого процесса размывания оказывается репликация понятия в виде лингвистических аналогов. По отношению к автоколебаниям таковой явилось появление понятий автоволны и автоструктуры. Первое ввел Р.В.Хохлов в отзыве на докторскую диссертацию А.М.Жаботинского, посвященную колебательным химическим реакциям (1972 г.). Хохлов имел в виду, что Жаботинский описал не только собственно химические автоколебания, но и похожие волновые процессы, похожие в смысле их суверенности – независимости от начальных и, до некоторых пределов, граничных условий и определимости параметрами системы.

Понятие автоструктур появляется в совместной статье двух авторов, относящих себя к школе Мандельштама, – А.В.Гапонова-Грехова (бывшего аспиранта Андронова) и М.И.Рабиновича . Под автоструктурой понимается устойчивая пространственная или временная упорядоченность, возникающая в распределенной системе с явно выраженной нелинейностью и находящейся далеко от равновесного состояния. Свойством автоструктур снова являются их относительная независимость от начальных и граничных условий.

Нетрудно видеть, что при формулировании таких понятий, как автоволны и автоструктуры, используется не просто какое-либо определение автоколебаний, но языковые формы, заложенные в этих определениях. Эти языковые формы передают уже не просто интуицию предельного цикла, которую несут определения автоколебаний, но скорее интуицию аттрактора вообще.

Выше упоминалась статья Гапонова-Грехова и Рабиновича, в которой вводились «автоструктуры». В интервью, данном автору этих строк (22.05.1992), в ответ на вопрос: «Нельзя ли сказать, что для Вас существенна некая «автоколебательная идеология»?» – М.И.Рабинович сказал: «Да, безусловно. На самом деле даже не в слове дело. Просто автоколебания, как и автоволны, которые придумал Р.В.Хохлов. Он придумал не сами волны, а слово, очень удачный оборот… Но, понимаете, очень удачное слово. Я практически всю жизнь занимаюсь нелинейными диссипативными неравновесными системами. Это могут быть среды. Я, как правило, волновыми задачами занимаюсь или турбулентностью, но там всегда есть диссипация. У меня гамильтоновы системы, системы без трения, без диссипации, всегда предельный случай. Мне интереснее всегда были системы с аттракторами, у которых при t→∞ всегда что-то устанавливается: хаос, так хаос, периодические колебания, так периодические колебания, стохастические структуры – ради бога. В этом смысле для меня структуры и динамический хаос – просто разные типы аттрактора, которые устанавливаются при t, стремящемся к бесконечности, в процессе эволюции поведения системы. Меня всегда интересовали системы, в которых что-то устанавливается, в которых есть нечто объективное, независимое от начальных условий».

Итак, М.И.Рабинович увлечен не столько самой концепцией автоколебаний, сколько содержащейся в ней идеей суверенности, несущей интуицию аттрактора.

Заключение

При философской квалификации научной теории упор обычно делают либо на ее описательные возможности, либо на ее объяснительный инструментарий. В настоящей статье во внимание приняты обе эти ипостаси теоретического знания. Парадигма – это руководство по решению задач, по построению научных объяснений и предсказаний. Идеология же – это язык, аппарат научного описания, простирающегося, как правило, за пределы объяснительных ресурсов.

Примечания

Кун Т . Структура научных революций / Пер. с англ. И.З.Налетова. Под ред. С.Р.Микулинского и Л.А.Марковой. М, 1975. С. 70.

Minorsky N. Introduction to Nonlinear Mechanics. Michigan: J.W.Edwards, 1947.

Andronov A.A., Chaikin S.E. Theory of Oscillations. Princeton: Princeton Univ. Press., 1949.

Van der Pol B. On Relaxation Oscillations // Philos. Mag. Ser. 7. Vol. 2, 1926. P. 978–992.

Андронов А.А. Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний // IV съезд русских физиков. М., Н.-Новгород, Казань, Саратов (5–16 августа 1928 г.). Перечень докладов, представленных на съезд с кратким их содержанием. М.-Л., 1928. С. 23–24; Он же . Les cycles limites de Poincarй et la thйorie des oscillations autoentrenues // C.r. Acad sci. Paris. T. 189, 1929. P. 559–561. Перепечатано: Андронов А.А. Собр. тр. М., 1956. С. 32–33, 41–43.

Аndronov А.А., Vitt А.А. Zur Theorie des Mitnehmens von van der Pol // Archiv fuer Elektrotechnik. Bd. 24, 1930. S. 99–110. Перепечатано: Горелик Г.С. Колебания и волны. М.; Л.: ГТТИ, 1950. C. 105.

Крылов Н.Н. Пути развития теории нелинейных колебаний в СССР за 50 лет // Радиотехника. 1969. Т. 24, № 5. С. 10.

Харкевич А.А. Автоколебания. М., 1950. С. 5.

Каплан А. Автоколебания (не опубликовано). 1979. С. 5.

Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И . Л.И.Мандельштам и современная теория нелинейных колебаний и волн // Успехи физических наук. Т. 128, 1979. С. 579–624.

Министерство образования республики Беларусь

Учреждение образования

Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина

Физический факультет

Кафедра методики преподавания физики и ОТД

КУРСОВАЯРАБОТА

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И СИНХРОНИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ

Выполнил студент группы ФИ-51

Пашкевич А.Я.

Научный руководитель:

к. ф.-м. н., доцент Ворсин Н.Н.

Брест, 2012

Введение

1.1 Линейные колебания в присутствии детерминированной внешней силы

2. Свободные колебания консервативных систем с нелинейными восстанавливающими силами

2.1 Свободные нелинейные колебания систем с затуханием и нелинейной восстанавливающей силой

2.2 Различные типы особенностей0

3. Незатухающие и релаксационные колебания

3.1 Качественный анализ уравнения Ван дер Поля

3.2 Связанные нелинейные колебания, регенеративный приемник с привязкой по фазе и принцип синхронизации

3.3 Основные уравнения

3.4 Колебания при большойрасстройке

3.5 Комбинированные колебания постоянной амплитуды

3.6 Электротехнические задачи, приводящие к уравнению Хилла

Заключение

Список литературы

Введение

Нет ничего удивительного в том, что физик должен уметь находить решение нелинейных задач, поскольку множество явлений, которые совершаются в мире вокруг него, управляются нелинейными зависимостями. В процессе развития математических наук трудности нелинейного анализа мешали формулировке представлений о нелинейных движениях, которые позволили бы глубже понять такие явления.

Если оглянуться назад на историю достижений науки, поражает тот факт, что основные усилия исследователей были сосредоточены лишь на изучении линейных систем и на линейных понятиях. Если в то же самое время бросить взгляд на окружающий нас мир, буквально на каждом шагу сталкиваешься с явлениями, которые нелинейны по своей природе. Линейные представления дают только поверхностное понимание многого из того, что встречается в природе. Чтобы сделать анализ более реалистичным, необходимо достичь более высокого уровня и большей легкости в понимании и использовании нелинейных представлений.

За последние годы получили развитие компьютерные методы анализа, и во многих случаях полагалось, что полученные решения могут дать лучшее понимание проявлений нелинейности. Вообще говоря, обнаружилось, что простой перебор численных решений ведет лишь к чуть большему пониманию нелинейных процессов, чем, например, наблюдение за самой природой, «перемалывающей» решения такой конкретной нелинейной задачи, как погода. Похоже, что наше понимание основывается не на уравнениях или их решениях, а, скорее, на фундаментальных и хорошо усвоенных представлениях. Обычно мы понимаем окружающее, только когда можем описать его посредством понятий, которые настолько просты, что они могут быть хорошо усвоены, и настолько широки, чтобы можно было оперировать ими, не обращаясь к конкретной ситуации. Перечень таких понятий обширен и включает, например, такие термины как резонанс, гистерезис, волны, обратная связь, граничные слои, турбулентность, ударные волны, деформация, погодные фронты, иммунитет, инфляция, депрессия и т. д. Большинство наиболее полезных процессов нелинейны по своему характеру, и наша неспособность описать точным математическим языком такие повседневные явления, как поток воды в водосточном желобе или закручивание дыма от сигареты, частично кроется в том, что мы не желали ранее погрузиться в нелинейную математику и понять ее.

Явление резонанса, как известно, часто встречается в живой материи. Следуя Винеру , Сент-Дьердьи предположил важность резонанса для устройства мышц. Оказывается, что субстанции с сильными резонансными свойствами обычно обладают исключительной способностью запасать как энергию, так и информацию, а такое аккумулирование, несомненно, имеет место в мышце.

Нелинейные колебания, случайные нелинейные колебания и связанные (синхронизированные по фазе) нелинейные колебания составляют самую суть явлений во многих областях науки и техники, например связи и энергетики; ритмические процессы имеют место в биологических и физиологических системах. Биофизик, метеоролог, геофизик, физик-атомщик, сейсмолог - все они имеют дело с нелинейными колебаниями, часто в той или иной форме синхронизированными по фазе. Например, инженер-энергетик занимается проблемой устойчивости синхронных машин, инженер-связист - неустойчивостью временной селекции или синхронизации, физиолог имеет дело с клонусом, невропатолог - с атаксией, метеоролог - с частотой колебаний атмосферного давления, кардиолог - с колебаниями, вызванными работой сердца, биолог - с колебаниями, обусловленными ходом биологических часов.

Основная цель дипломной работы - рассмотреть ряд задач теории нелинейных колебаний, связанных с такими основополагающими понятиями, как захватывание (или синхронизация), слежение, демодуляция, фазокогерентные системы связи. Будет сделана попытка дать обзор нелинейных задач, представляющих практический интерес, решения которых записаны в доступной форме. Обзор не является исчерпывающим, но он включает примеры задач, которые служат иллюстрацией основных представлений, необходимых для понимания нелинейных свойств систем фазовой синхронизации. Вопрос о существовании и единственности решений затрагивается лишь поверхностно; основное внимание уделяется методам получения решений.

Рассмотренный материал можно сгруппировать по трем основным темам. Первая тема включает изложение результатов теории линейных колебаний в системах с одной степенью свободы, имеющих постоянные параметры. Этот материал используется как справочный и для сопоставления с результатами, полученными из теории нелинейных колебаний. Вторая тема посвящена легко интегрируемым нелинейным системам, на которые не действуют внешние силы, зависящие от времени. Здесь посредством аппарата фазовой плоскости подробно изучаются свободные колебания нелинейных систем. Приводится краткое изложение теории Пуанкаре об особых точках дифференциальных уравнений первого порядка. Полезность понятия об особой точке иллюстрируется решением ряда физических задач. Наконец, третья тема охватывает колебания вынужденные, самоподдерживающиеся (автоколебания) и релаксационные нелинейные колебания. В частности, будет обсуждено применение теории Ван дер Поля к задачам синхронизации и слежения, а завершит главу рассмотрение уравнения Хилла.

1. Свободные колебания в линейных системах

Представляется ценным и интересным суммировать основные особенности линейных колебаний. Существует ряд причин, чтобы выполнить это здесь. Одна из наших принципиальных задач состоит в сопоставлении линейных и нелинейных методов исследования колебаний. Кроме того, сложилась практика применять, насколько это возможно, терминологию, используемую в линейных задачах, и в нелинейных. Наконец, полезно иметь сводку основных идей и формул линейной теории для удобства ссылок.

Пожалуй, самый простой пример задачи о линейных колебаниях дает простая электрическая схема, состоящая из индуктивности, соединенной последовательно с емкостью и резистором (рис. 1). Механический аналог, изображенный на рис. 1, состоит из тела массой,прикрепленного к пружине, развивающей усилие (называемое возвращающей силой), пропорциональное смещению тела. Для этой электрической системы, используя закон Кирхгофа, имеем

Если положить, что тело в механической системе движется в среде, которая оказывает сопротивление, пропорциональное скорости (вязкое трение), то уравнение движения для колебаний механической системы задается соотношением

По аналогии имеем, что; ; и, причем токявляется аналогом смещения.

Рис. 1.Линейная электрическая и механическая системы

Полагая пока, что внешняя сила и вводя обозначения

приводим (1.2) к виду

Поскольку, колебания, определяемые этим линейным однородным уравнением, называются свободными линейными колебаниями. Общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами есть линейная комбинация двух экспоненциальных функций:

где и - произвольные константы, которые определяются начальными условиями, a и являются корнями характеристического уравнения

Таким образом, и заданы соотношениями

Если мы хотим представить решение (1.5) в вещественной форме, рассмотрим три случая, когда величина: а) вещественна, б) нуль, в) мнимая. Легко показать, что решения примут вид

где и - вещественные; и - произвольные постоянные, которые определяются заданием значений смещения (тока) и скорости в некоторый начальный момент.

Уравнение (1.8 - а) возникает на практике чаще всего. Как легко видеть из (1.3), этот случай имеет место, если коэффициент демпфирования мал по сравнению с. Уравнение (1.8 - а) в этом случае описывает такое колебательное движение, что каждые два последовательных максимума и смещения удовлетворяют соотношению

1. Использованная выше в линейном анализе гипотеза о бесконечно малой величине возмущений не позволяет рассмотреть развитие действительных возмущений. В линейной теории, как видно, амплитуда возмущений либо вообще не определена (на границе устойчивости), либо растет беспредельно (в зоне неустойчивости), что получается как следствие ее исходных положений. На самом деле при некоторой амплитуде возмущений становятся существенными нелинейные эффекты, которые предотвращают бесконечное увеличение амплитуды и приводят к предельному циклу колебаний.

Нелинейность начинает проявляться лишь для возмущений с определенной (критической) амплитудой: при меньшей амплитуде согласно нелинейной теории колебания затухают, при большей - имеет место так называемая нелинейная неустойчивость (неустойчивость в большом, импульсная неустойчивость). Нелинейности колебательного процесса в РДТТ определяются нелинейностью процесса горения и волнового движения в камере, проявляющегося в росте кривизны волн давления, дисперсии возмущений и в возникновении ударных волн.

Несмотря на то, что линейные теории обеспечивают довольно полное понимание проблемы неустойчивости РДТТ, они не могут решить чрезвычайно важного для практики вопроса о наиболее опасных для двигателя и для всего ЛА колебаниях большой амплитуды. Поэтому изучению таких нелинейных колебаний уделяется все большее и большее внимание. В настоящее время можно указать узкий круг уже решенных нелинейных задач.

2. Исходные уравнения . Рассмотрим в следующей постановке задачу о нелинейных акустических колебаниях для одномерного течения. Система нелинейных дифференциальных уравнений для такого случая может быть представлена в следующем виде:

уравнение сохранения массы газа

уравнение сохранения массы частиц

; (5.85)

уравнение сохранения количества движения

; (5.86)

уравнение сохранения энергии

где индекс «l » означает массовый расход на единицу длины; v - на единицу объема; остальные индексы и величины прежние.

3. Основные допущения . Для решения этих уравнений сделаем следующие допущения:

Отсутствует догорание, т. Е = 0; Q = 0;

Обмен энергией представлен теплообменом между частицами и газом в КС;

Сечение канала заряда неизменно, т. е. F = const;

При z = 0 скорости газа и частиц раины нулю;

Для двухфазного потока в сопле предполагается постоянное отставание тяжелой фракции;

Режим работы сопла квазистационарный;

Характеристики переходного горения определяются функцией чувствительности в виде

. (5.88)

следовательно, характеристика горения предполагает линейность;

Учитывается связь скорости горения с давлением, в отдельных случаях - со скоростью потока;

Частицы рассматривают только одного размера, причем с использованием линейного и нелинейного коэффициента сопротивления.

4. Результаты численного решения . Численные методы решения нелинейных задач устойчивости включают метод характеристик, метод «дискретизации» и др. В последнем случае решение задачи аппроксимируется в предположении удовлетворения нелинейности в конечном числе дискретных точек. Система представленных уравнений (5.84) ... (5.87) может решаться, например, методом характеристик. Такое решение, полученное Ф. Куликом, дает зависимость амплитуды возмущений от времени. Примеры результатов численных расчетов Ф. Кулика показаны на рис.7. Начальные условия задавались в виде стоячей волны основной частоты камеры. Начальное возмущение составляло равную часть первой и второй моды, но после трех циклов давление почти не содержало второй гармоники. Влияние связи с переходным горением в этом случае, очевидно, играет решающую роль; функция чувствительности при принятых А и В показывает это в сильной степени для основной частоты и в слабой - для второй моды. Можно отметить также, что амплитуда давления начинает возрастать не сразу; более того наблюдается даже некоторое ее затухание после одного цикла. Это можно объяснить тем, что скорость горения только после нескольких циклов достигает значения, соответствующего возникшим возмущениям давления.

Пер. с англ. Болдова Б. А. и Гусева Г. Г. Под редакцией В. Е. Боголюбова. - М.: Мир, 1968. - 432 с.
Удк 534 (Механические колебания. Акустика). Есть текстовый слой (т. е. легко копируется текст).
Монография известного японского ученого Т. Хаяси посвящена теории нелинейных колебательных процессов, происходящих в самых различных физических системах.
Книга представляет собой переработанное и дополненное издание одной из более ранних работ автора, знакомой советскому читателю по русскому переводу (Хаяси Т., Вынужденные колебания в нелинейных системах, Ил, М. , 1957). Однако после переработки и дополнения получилась фактически новая книга.
Она отличается от предыдущей не только новыми разделами, но и значительно усовершенствованной методикой изложения. Книга представляет интерес как для физиков и инженеров различных специальностей, имеющих дело с теорией нелинейных колебаний и ее приложениями, так и для математиков, занимающихся теорией дифференциальных уравнений.
Оглавление.
Предисловие к русскому изданию.
Предисловие.
Введение.
Часть i. Основные методы анализа нелинейных колебаний.
Глава i.
Аналитические методы.
Введение.
Метод возмущений.
Метод итераций.
Метод усреднения.
Принцип гармонического баланса.
Численные примеры решения уравнения Дуффинга.
Глава ii.
Топологические методы и графические решения.
Введение.
Интегральные кривые и особые точки на плоскости состояний.
Интегральные кривые и особые точки в пространстве состояний.
Метод изоклин.
Метод Льенара.
Дельта-метод.
Метод наклонных прямых.
Глава iii.
Устойчивость нелинейных систем.
Определение устойчивости по Ляпунову.
Критерий Рауса - Гурвица для нелинейных систем.
Критерий устойчивости по Ляпунову.
Устойчивость периодических колебаний.
Уравнение Матье.
Уравнение Хилла.
Улучшенное приближение характеристического показателя для.
уравнения Хилла.
Часть ii, Вынужденные колебания в установившемся режиме.
Глава iy.
Устойчивость периодических колебаний в системах второго порядка.
Введение.
Условие устойчивости периодических решений.
Улучшенные условия устойчивости.
Дополнительные замечания об условиях устойчивости.
Глава y.
Гармонические колебания.
Гармонические колебания при симметричной нелинейной характеристике.
Гармонические колебания при несимметричной нелинейной характеристике.

Глава Yi.
Ультрагармонические колебания.
Ультрагармонические колебания в.
последовательно-резонансных цепях.
Экспериментальное исследование.
Ультрагармонические колебания в параллельно-резонансных цепях.
Экспериментальное исследование.
Глава Yii.
Субгармонические колебания.
Введение.
Связь между нелинейной характеристикой и порядком.
субгармонических колебаний.

характеристике, представленной кубической функцией.
Субгармонические колебания порядка 1/3 при нелинейной.
характеристике, представленной полиномом пятой степени.
Экспериментальное исследование.

характеристике, представленной полиномом третьей степени.
Субгармонические колебания порядка 1/2 при нелинейной.
характеристике, представленной симметричной квадратичной.
функцией.
Экспериментальное исследование.
Часть iii. Переходные процессы вынужденных колебаний.
Глава Yiii.
Гармонические колебания.
Введение.
Периодические решения и их устойчивость.
Анализ гармонических колебаний с помощью интегральных.
кривых.
Анализ гармонических колебаний на фазовой плоскости.
Геометрический анализ интегральных кривых для консервативных систем.
Геометрический анализ интегральных кривых для диссипативных систем.
Экспериментальное исследование.
Глава ix.
Субгармонические колебания.
Анализ субгармонических колебаний с помощью интегральных кривых.
Анализ субгармонических колебаний порядка 1/3 на фазовой плоскости.
Экспериментальное исследование.
Субгармонические колебания порядка 1/5.
Субгармонические колебания порядка 1/2.
Анализ субгармонических колебаний порядка 1/2 на фазовой.
плоскости.
Исследование на аналоговой вычислительной машине.
Глава x.
Начальные условия, приводящие к различным видам.
периодических колебаний.
Метод анализа.
Симметричные системы.

колебаний порядка 1/3.
Несимметричные системы.
Области притяжения для гармонических и субгармонических.
колебаний порядков 1/2 и 1/3.
Экспериментальные исследования.
Глава Xi.

Введение.
Почти периодические колебания в резонансной цепи с подмагничиванием постоянным током.
Оглавление.
Экспериментальное исследование.
Почти периодические колебания в параметрически.
возбуждаемой цепи.
Часть iv. Автоколебательные системы при периодическом воздействии внешней силы.
Глава Xii.
Захватывание частоты.
Введение.

Гармоническое захватывание.
Ультрагармоническое захватывание.
Субгармоническое захватывание.
Области захватывания частоты.
Анализ при помощи аналоговой вычислительной машины.

Автоколебательная система при нелинейной восстанавливающей силе.
Глава Xiii.
Почти периодические колебания.
Уравнение Ван-дер-Поля с вынуждающим членом.

гармонических колебаний.
Геометрическое рассмотрение интегральных кривых на.
границе гармонического захватывания.
Почти периодические колебания, возникающие из.
ультрагармонических колебаний.
Почти периодические колебания, возникающие из.
субгармонических колебаний.
Автоколебательная система с нелинейной восстанавливающей силой.
Приложение i. Разложения функций Матье.
Приложение ii. Неустойчивые решения уравнения Хилла.
Приложение iii. Неустойчивые решения обобщенного уравнения Хилла.
Приложение iv. Критерий устойчивости, полученный с помощью метода.
возмущений.
Приложение v. Замечания, касающиеся интегральных кривых и особых точек.
Приложение Vi. Электронный синхронный коммутатор.
Задачи.
Литература.
Указатель.
Т. Хаяси.
Нелинейные колебания в физических системах.

Редактор Н. Плужнакова Художник А. Шкловская.
Художественный редактор В. Шаповалов Технический редактор Н. Турсукова.
Сдано в производство 9/Х 1967 г. Подписано к печати 25/Ш 1968 г.
Бумага 60х90у1в-= 13,5 бум. л. 27,0 печ. л.
Уч. -изд. л. 24,
0. Изд. № 1/3899.
Цена 1 р. 91 к. Зак. 907.
Темплан 1968 г. изд-ва «Мир», пор. № 38.
Издательство "Мир", Москва, 1-й Рижский пер. , 2.
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета.
по печати при Совете Министров Ссср. Измайловский пр. , 29.

Смотрите также

Андрианов И.В., Данишевский В.В., Иванков А.О. Асимптотические методы в теории колебаний балок и пластин

формат файла: pdf
размер: 5.53 МБ
добавлен: 25 сентября 2011 г.

Днепропетровск: Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры, 2010 г., 217 с. В монографии рассматриваются асимптотические методы решения задач колебаний балок и пластин. Основное внимание уделено гомотопическому методу возмущений, который основывается на введении искусственного малого параметра. Исследованы линейные колебания конструкций со смешанными граничными условиями, а также нелинейные колебания систем с распределен...

Вибрации в технике. Том 6. Защита от вибрации и ударов

формат файла: djvu
размер: 7.28 МБ
добавлен: 27 октября 2009 г.

Фролов К. В. В шестом томе изложены методы снижения виброактивности источников колебаний и настройки динамических гасителей. Рассмотрены вопросы балансировки вращающихся деталей машин, уравновешивания машин и механизмов, выбора рациональных законов перемещения рабочих органов машин, изоляции оборудования и основания, а также проблемы защиты человека от вибрации. Справочник предназначен для инженерно-технических работников, занятых расчетами, пр...

Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел

формат файла: djvu
размер: 8.89 МБ
добавлен: 27 октября 2011 г.

М.:Наука,1976, 432 с. Исследованы нелинейные колебания в пространственном движении, в частности условия возникновения резонансов. Работа актуальна при создании систем амортизации авиационной и космической техники. Ганиев Р. Ф. - акад. РАН, Кононенко В. О. - акад. АН Украины. Амортизатор упругий 39 Виброамортизация 145, 41, 7 Виброизоляция 145, 417 Возбуждение кинематическое 134, 358 Гирорама двухосная 343 Гирорама трехосная 353 Гироскоп астатичес...

Ден-Гартог Д.П. Механические колебания

формат файла: djvu
размер: 7.5 МБ
добавлен: 25 мая 2010 г.

М. Физматгиз. 1960г. 574 с. Кинематика колебаний. Системы с одной степенью свободы. Две степени свободы. Системы с произвольным числом степеней свободы. Многоцилиндровые двигатели. Вращающиеся части машин. Автоколебания. Квазигармонические и нелинейные колебания систем.

Мигулин В.В. Основы теории колебаний

формат файла: djvu
размер: 3.88 МБ
добавлен: 10 января 2010 г.

Книга знакомит читателя с общими свойствами колебательных процессов, происходящих в радиотехнических, оптических и других системах, а также с различными качественными и количественными методами их изучения. Значительное внимание уделено рассмотрению параметрических, автоколебательных и других нелинейных колебательных систем. Изучение описанных в книге колебательных систем и процессов в них приведено известными методами теории колебаний без подроб...

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний

формат файла: pdf
размер: 8.75 МБ
добавлен: 23 февраля 2010 г.

Нелинейные эффекты могут проявиться многими разнообразными способами. Классический пример – это нелинейная пружина, в которой восстанавливающая сила нелинейно зависит от растяжения. В случае симметричной нелинейности (одинаковый отклик при сжатии и растяжении) уравнение движения принимает вид

Если затухание отсутствует и , имеются периодические решения, в которых при естественная частота увеличивается с амплитудой. Эта модель часто называется уравнением Дуффинга по имени изучавшего ее математика (рисунок 1.54).

Если на систему воздействует периодическая сила, то в классической теории полагают, что и отклик будет периодическим. Резонанс нелинейной пружины при частоте отклика, совпадающей с частотой силы, показан на рисунке.

Рисунок 1.54 - Классическая резонансная кривая нелинейного осциллятора с жесткой пружиной в случае, когда колебания периодичны и имеют тот же период, что и вынуждающая сила (a и b определяются в уравнении)

При постоянной амплитуде вынуждающей силы существует диапазон вынуждающих частот, в котором возможны три различных значения амплитуды отклика. Можно показать, что штриховая линия неустойчива, и при росте и уменьшении частоты происходит гистерезис. Это явление называется перебросом, и оно наблюдается в экспериментах со многими механическими и электрическими системами.

Существуют и другие периодические решения, такие, как субгармонические и супергармонические колебания.

Если вынуждающая сила имеет вид , то субгармонические колебания могут иметь вид плюс более высокие гармоники ( –целое число).

Теория нелинейного резонанса зиждется на предположении, что периодическое воздействие вызывает периодический отклик. Однако именно этот постулат оспаривает новая теория хаотических колебаний.

Самовозбуждающиеся колебания – другой важный класс нелинейных явлений. Это колебательные движения, которые происходят в системах без периодических внешних воздействий или периодических сил (рисунок 1.55).

Рисунок 1.55 - Примеры самовозбуждающихся колебаний: а – сухое трение между массой и движущимся ремнем;

б – аэроупругие силы, действующие на тонкое крыло

В первом примере к колебаниям приводит трение, создаваемое относительным движением массы и движущегося ремня.

Второй пример иллюстрирует целый класс аэроупругих колебаний, при которых, стационарные колебания вызывает стационарный поток жидкости за твердым телом на упругой подвеске.

В этих примерах в системе присутствуют стационарный источник энергии и источник диссипации, или нелинейный демпфирующий механизм. В математическую модель этой цепи источник энергии входит в виде отрицательного сопротивления (уравнение Ван дер Поля):

Энергия может поступать в систему при малых амплитудах, но при увеличении амплитуды ее рост ограничивается нелинейным затуханием.

При анализе уравнения Ван дер Поля, удобно перейти к безразмерным переменным, нормировав пространственную переменную на , а время – на , так что уравнение принимает вид

При решении уравнения его представляют в виде ситемы уравнений первого порядка

Колебательные движения таких систем часто называются предельными циклами. На рисунке 1.56 показаны траектории осциллятора Ван дер Поля на фазовой плоскости. Малые колебания раскручиваются по спирали, приближаясь к замкнутой асимптотической траектории, а движения большой амплитуды стягиваются по спирали к тому же предельному циклу (где ).

Рисунок 1.56 - Решение с предельным циклом для осциллятора Ван дер Поля, изображенное на фазовой плоскости

При изучении подобных проблем часто возникают два вопроса. Какова амплитуда и частота колебаний на предельном цикле? При каких значениях параметров существуют устойчивые предельные циклы?

При малых , предельный цикл представляет собой окружность радиуса 2 на фазовой плоскости, т. е. , где через + ... обозначены гармоники третьего и более высоких порядков.

При больших движение приобретает вид релаксационных колебаний, показанных на рисунке 1.57 с безразмерным периодом около 1.61 при .

Рисунок 1.57 Релаксационные колебания осциллятора Ван дер Поля

Более сложна задача с периодической силой в системе Ван дер Поля:

Поскольку система нелинейная, неприменим принцип суперпозиции свободных и вынужденных колебаний. Вместо этого возникающее периодическое движение захватывается на вынуждающей частоте, когда она близка к частоте предельного цикла.

При слабом внешнем воздействии имеются три периодических решения, но лишь одно из них устойчиво (см. рисунок). При больших значениях амплитуды силы существует только одно решение. В любом случае с увеличением расстройки фиксированном захваченное периодическое решение оказывается неустойчивым и становятся возможными другие типы движения.

При больших отличиях вынуждающей и собственной частот в системе Ван дер Поля появляется новое явление – комбинационные колебания, иногда называемые почти периодическими или квазипериодическими решениями, вида

Когда частоты и несоизмеримы, т. е. – иррациональное число, решение называется квазипериодическим. Для уравнения Ван дер Поля , где – частота предельного цикла свободных колебаний (рисунок 1.58).

Рисунок 1.58 - Амплитудные кривые для вынужденного

движения осциллятора Ван дер Поля

Ниже мы еще поговорим о квазипериодических колебаниях, но, поскольку они не периодичны, их можно спутать с хаотическими решениями, каковыми они не являются. (Для них спектр Фурье решения состоит из двух пиков при , )

Когда , и несоизмеримы, фазовый портрет решения представляет собой незамкнутую траекторию, и для графического представления квазипериодических функций используется другой способ.

Делается стробоскопическая выборка с интервалом ; положим и обозначим , .

Тогда соотношение сводится к