Kõikumised. Harmoonilised vibratsioonid. Harmooniliste võnkumiste võrrand. Harmooniliste võnkumiste võrrand Summutatud võnkumiste võrrand
kõikumised nimetatakse liigutusteks või protsessideks, mida iseloomustab teatud ajas kordus. Võnkeprotsessid on looduses ja tehnikas laialt levinud, näiteks kella pendli õõts, muutuv. elektrit jne Pendli võnkumisel muutub selle massikeskme koordinaat, vahelduvvoolu korral pinge ja vool ahelas kõikuvad. Võnkumiste füüsikaline olemus võib olla erinev, seetõttu eristatakse mehaanilisi, elektromagnetilisi jm võnkumisi, kuid erinevaid võnkeprotsesse kirjeldatakse samade tunnuste ja samade võrranditega. Sellest tuleneb teostatavus ühtne lähenemine vibratsiooni uurimisele erinev füüsiline olemus.
Kõikumisi nimetatakse tasuta, kui need on tehtud ainult süsteemi elementide vahel mõjuvate sisejõudude mõjul, siis pärast seda, kui süsteem on välisjõudude toimel tasakaalust välja viidud ja endale jäetud. Alati vaba vibratsioon summutatud võnkumised sest energiakaod on reaalsetes süsteemides vältimatud. Idealiseeritud juhul ilma energiakadudeta süsteemi puhul nimetatakse vabavõnkumisi (mis kestavad meelevaldselt pikka aega). oma.
Lihtsaim vabade summutamata võnkumiste tüüp on harmoonilised võnkumised - kõikumised, mille puhul kõikuv väärtus muutub ajas vastavalt siinus(koosinus)seadusele. Looduses ja tehnikas kohatud võnkumised on sageli harmoonilise lähedase iseloomuga.
Harmoonilised vibratsioonid kirjeldatakse võrrandiga, mida nimetatakse harmooniliste vibratsioonide võrrandiks:
kus AGA- kõikumiste amplituud, kõikuva väärtuse maksimaalne väärtus X; - omavõnkumiste ringikujuline (tsükliline) sagedus; - võnke algfaas teatud ajahetkel t= 0; - võnke faas ajahetkel t. Võnkumise faas määrab võnkesuuruse väärtuse in Sel hetkel aega. Kuna koosinus varieerub vahemikus +1 kuni -1, siis X võib võtta väärtusi alates + A enne - AGA.
Aeg T, mille jaoks süsteem lõpetab ühe täieliku võnkumise, nimetatakse võnkeperiood. ajal T võnkefaasi suurendatakse 2 võrra π , st.
Kus. (14.2)
Võnkeperioodi pöördväärtus
st täielike võnkumiste arvu ajaühikus nimetatakse võnkesageduseks. Võrreldes (14.2) ja (14.3) saame
Sageduse ühik on herts (Hz): 1 Hz on sagedus, mille juures toimub üks täielik võnkumine 1 sekundi jooksul.
Nimetatakse süsteeme, milles võib tekkida vaba vibratsioon ostsillaatorid . Millised omadused peavad olema süsteemil, et selles tekiks vabavõnkumisi? Mehaaniline süsteem peab olema stabiilse tasakaalu asend, mis ilmub väljumisel jõu taastamine tasakaalu suunas. See asend vastab teadupärast süsteemi potentsiaalse energia miinimumile. Vaatleme mitut võnkesüsteemi, mis vastavad loetletud omadustele.
Suuruse muutusi kirjeldatakse siinuse või koosinuse seaduste abil, siis nimetatakse selliseid võnkumisi harmoonilisteks. Mõelge kondensaatorist (mida laeti enne ahelasse lisamist) ja induktiivpoolist (joonis 1) valmistatud vooluringi.
1. pilt.
Harmoonilise võnke võrrandi saab kirjutada järgmiselt:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
kus $t$-aeg; $q$ tasu, $q_0$-- maksimaalne laengu kõrvalekalle selle keskmisest (null) väärtusest muudatuste ajal; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- võnkefaas; $(\alpha )_0$ - algfaas; $(\omega )_0$ - tsükliline sagedus. Perioodi jooksul muutub faas $2\pi $ võrra.
Tüüpvõrrand:
diferentsiaalkujul harmooniliste võnkumiste võrrand võnkeahela jaoks, mis ei sisalda aktiivset takistust.
Igasuguseid perioodilisi võnkumisi saab täpselt esitada harmooniliste võnkumiste summana, nn harmooniliste jadadena.
Poolist ja kondensaatorist koosneva ahela võnkeperioodi jaoks saame Thomsoni valemi:
Kui eristada avaldist (1) aja suhtes, saame funktsiooni $I(t)$ valemi:
Kondensaatori pinget võib leida järgmiselt:
Valemitest (5) ja (6) järeldub, et voolutugevus ületab kondensaatori pinget $\frac(\pi )(2) võrra.$
Harmoonilised võnkumised saab esitada nii võrrandite kujul, funktsioonid samuti vektorskeemid.
Võrrand (1) esindab vabu summutamata võnkumisi.
Summutatud võnkevõrrand
Kirjeldatakse laengu muutust ($q$) vooluahela kondensaatoriplaatidel, võttes arvesse takistust (joonis 2). diferentsiaalvõrrand tüüp:
Joonis 2.
Kui takistus, mis on osa vooluringist $R \
kus $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ on tsükliline võnkesagedus. $\beta =\frac(R)(2L)-$summutustegur. Summutatud võnkumiste amplituudi väljendatakse järgmiselt:
Juhul, kui $t=0$ juures on kondensaatori laeng võrdne $q=q_0$, vooluringis puudub vool, siis $A_0$ puhul saame kirjutada:
Võnkefaas esialgsel ajahetkel ($(\alpha )_0$) on võrdne:
$R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ puhul ei ole laengu muutus võnkumine, kondensaatori tühjenemist nimetatakse aperioodiliseks.
Näide 1
Harjutus: Maksimaalne väärtus tasu on võrdne $q_0=10\ C$. See muutub harmooniliselt perioodiga $T= 5 c$. Määrake maksimaalne võimalik vool.
Lahendus:
Aluseks selleks probleemi lahendamine me kasutame:
Voolutugevuse leidmiseks tuleb avaldis (1.1) aja suhtes eristada:
kus voolutugevuse maksimum (amplituudiväärtus) on avaldis:
Ülesande tingimustest saame teada laengu amplituudi väärtuse ($q_0=10\ Kl$). Peaksite leidma võnkumiste loomuliku sageduse. Väljendagem seda järgmiselt:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1,4\right).\]
Sel juhul leitakse soovitud väärtus võrrandite (1.3) ja (1.2) abil järgmiselt:
Kuna kõik ülesande tingimustes olevad suurused on esitatud SI-süsteemis, teostame arvutused:
Vastus:$I_0=12,56\ A.$
Näide 2
Harjutus: Kui suur on võnkeperiood ahelas, mis sisaldab induktiivpoolit $L=1$H ja kondensaatorit, kui voolutugevus ahelas muutub vastavalt seadusele: $I\left(t\right)=-0,1sin20\pi t \ \left(A \right)?$ Mis on kondensaatori mahtuvus?
Lahendus:
Vooluvõnkumiste võrrandist, mis on antud ülesande tingimustes:
näeme, et $(\omega )_0=20\pi $, seega saame võnkumise perioodi arvutada valemi abil:
\ \
Vastavalt Thomsoni valemile ahela jaoks, mis sisaldab induktiivpooli ja kondensaatorit, on meil:
Arvutame võimsuse:
Vastus:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$
Ergutamiseks võnkeahelas laaditakse kondensaator eelnevalt, andes selle plaatidele laengu ±q. Siis algsel ajal t= 0 (joonis 19, a) kondensaatori plaatide vahele tekib elektriväli. Kui sulgete kondensaatori induktiivpoolile, hakkab kondensaator tühjenema ja vooluringis voolab aja jooksul kasvav vool ma. Kui kondensaator on täielikult tühjenenud, muundatakse kondensaatori elektrivälja energia täielikult energiaks magnetväli poolid (joon. 19, b). Sellest hetkest alates väheneb voolutugevus vooluringis ja sellest tulenevalt hakkab mähise magnetväli nõrgenema, siis Faraday seaduse kohaselt indutseeritakse selles vool, mis voolab vastavalt Lenzi reeglile. kondensaatori tühjendusvooluga samas suunas. Kondensaator hakkab laadima, tekib elektriväli, mis kipub nõrgendama voolu, mis lõpuks muutub nulliks ja kondensaatori plaatide laeng saavutab maksimumi (joonis 19, sisse). Edasi hakkavad samad protsessid kulgema vastupidises suunas (joonis 19, G) ja süsteemi aja järgi t = T (T- võnkeperiood) naaseb algsesse olekusse (joonis 19, a). Pärast seda algab kondensaatori tühjenemise ja laadimise vaadeldava tsükli kordamine, st algavad perioodilised summutamata laengu väärtuse võnkumised. q kondensaatori plaatidel pinge U C kondensaatoril ja voolul ma voolab läbi induktiivpooli. Faraday seaduse järgi pinge U C kondensaatoril määratakse ideaalse vooluringi induktiivpooli voolutugevuse muutumise kiirusega, see tähendab:
Lähtudes sellest, U C \u003d q / C, a I=dq/dt, saame vabade summutamata harmooniliste võnkumiste diferentsiaalvõrrand laengu suurus q kondensaatori plaatidel:
või 
.
Lahendus sellele diferentsiaalvõrrand on funktsioon q(t), see on vabade summutamata harmooniliste võnkumiste võrrand laengu suurus q kondensaatori plaatidel:
kus q(tt;
q 0 on laengu võnkumiste amplituud kondensaatoriplaatidel;
- ringikujuline (või tsükliline) võnkesagedus () ;
2 /T(T on võnkeperiood, 
–Thomsoni valem);
on võnkumiste faas ajahetkel t;
- võnkumiste algfaas ehk võnkumiste faas hetkel t=0.
Vabade summutatud harmooniliste võnkumiste võrrand. Reaalses võnkeahelas arvestatakse, et lisaks mähisele on induktiivsus L kondensaator FROM, vooluringis on ka takistusega takisti R, mis erineb nullist, mis on reaalses võnkeahelas võnkumiste summutamise põhjuseks. Tasuta summutatud võnkumised– võnkumised, mille amplituud reaalse võnkesüsteemi energiakadude tõttu aja jooksul väheneb.
Reaalse võnkepinge ahela jaoks jadamisi ühendatud mahtuvusega kondensaatoril FROM ja takisti R kokku liitma. Seejärel, võttes arvesse Faraday seadust tõelise võnkeahela ahela kohta, võime kirjutada:
,
kus on iseinduktsiooni elektromotoorjõud poolis;
U C on kondensaatori pinge ( U C \u003d q / C);
IR on takisti pinge.
Lähtudes sellest, I=dq/dt, saame vabade summutatud harmooniliste võnkumiste diferentsiaalvõrrand laengu suurus q kondensaatori plaatidel:
või 
,
kus on võnkesummutustegur () , .
q(t), see on vabade summutatud harmooniliste võnkumiste võrrand laengu suurus q kondensaatori plaatidel:
kus q(t) - kondensaatoriplaatide laengu suurus hetkel t;
on summutatud laengu võnkumiste amplituud ajahetkel t;
q 0 on summutatud laenguvõnkumiste algamplituud;
on ringikujuline (või tsükliline) võnkesagedus ( 
);
on summutatud võnkumiste faas ajahetkel t;
on summutatud võnkumiste algfaas.
Vabade summutatud võnkumiste periood reaalses võnkeahelas:
.
Sunnitud elektromagnetvõnkumised. Et saada reaalses võnkesüsteemis summutamata võnkumisi, on vaja kompenseerida energiakadusid võnkeprotsessis. Selline kompenseerimine reaalses võnkeahelas on võimalik harmoonilise seaduse kohaselt perioodiliselt muutuva välise vahelduvpinge abil. U(t):
.
Sel juhul sunnitud elektromagnetvõnkumiste diferentsiaalvõrrand toimub järgmisel kujul:
või 
.
Saadud diferentsiaalvõrrandi lahendus on funktsioon q(t):
Püsiseisundis tekivad sundvõnkumised sagedusega w ja on harmoonilised ning võnkumiste amplituud ja faas määratakse järgmiste avaldiste abil:
; 
.
Sellest järeldub, et laengu võnkumiste amplituud on maksimaalne välisallika resonantssagedusel:
.
Nimetatakse nähtust sundvõnkumiste amplituudi järsust suurenemisest, kui käitava vahelduvpinge sagedus läheneb sagedusele lähedasele sagedusele. resonants.
Teema 10. Elektromagnetlained
Maxwelli teooria kohaselt võivad elektromagnetväljad eksisteerida elektromagnetlainete kujul, faasikiirus mille jaotus määratakse avaldisega:
,
kus ja on vastavalt elektri- ja magnetkonstandid,
e ja m on vastavalt kandja elektriline ja magnetiline läbilaskvus,
Koos- valguse kiirus vaakumis () .
vaakumis ( e= 1, m= l) elektromagnetlainete levimiskiirus langeb kokku valguse kiirusega ( Koos), mis on kooskõlas Maxwelli teooriaga, et
et valgus on elektromagnetlaine.
Maxwelli teooria järgi elektromagnetlained on risti, see tähendab, et elektri- ja magnetvälja vektorid ja tugevused on üksteisega risti ja asuvad vektoriga risti
laine levimiskiirus ja vektorid , ja moodustavad parempoolse kruvisüsteemi (joonis 20).
Maxwelli teooriast tuleneb ka, et elektromagnetlaines võnkuvad vektorid ja võnkumised samades faasides (joonis 20), st intensiivsuse väärtused. E ja H elektri- ja magnetväljad saavutavad samaaegselt maksimumi ja kaovad samaaegselt ning hetkeväärtused E ja H seotud suhtega: 
.
Tasapinnalise monokromaatilise elektromagnetlaine võrrand(indeksid juures ja z juures E ja H rõhutage ainult seda, et vektorid ja on suunatud piki üksteisega risti olevaid telgesid vastavalt joonisele fig. kakskümmend).
