Antud sirget ja antud punkti läbiva tasapinna võrrand. Kolme etteantud punkti läbiva tasandi võrrand Punkti ja paralleeltasandit läbiva tasandi võrrand

Kolm ruumipunkti, mis ei asu samal sirgel, määratlevad ühe tasapinna. Loome võrrandi tasapinnale, mis läbib kolme antud punkti M 1 (X 1 ; juures 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; juures 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; juures 3 ; z 3). Võtame lennukis suvalise punkti M(X; juures; z) ja koosta vektorid = ( x – x 1 ; juures– juures 1 ; z–z 1), = (X 2 - X 1 ; juures 2 – juures 1 ; z 2 – z 1), = (X 3 - X 1 ; juures 3 – juures 1 ; z 3 – z 1). Need vektorid asuvad samal tasapinnal, seega on nad samatasandilised. Kasutades kolme vektori koplanaarsuse tingimust (nende segatööd võrdub nulliga), saame ∙ ∙ = 0, see tähendab

= 0. (3.5)

Nimetatakse võrrandit (3.5). kolme antud punkti läbiva tasandi võrrand.

Vastastikune korraldus lennukid kosmoses

Tasapindadevaheline nurk

Olgu antud kaks tasapinda

A 1 X + IN 1 juures + KOOS 1 z + D 1 = 0,

A 2 X + IN 2 juures + KOOS 2 z + D 2 = 0.

Taga tasapindadevaheline nurk võtame nurga φ mis tahes kahe nendega risti oleva vektori vahel (mis annab kaks teravnurka ja nürinurka, mis täiendavad üksteist π-ga). Kuna tasapindade normaalvektorid = ( A 1 , IN 1 , KOOS 1) ja = ( A 2 , IN 2 , KOOS 2) on nendega risti, siis saame

cosφ = .

Kahe tasandi perpendikulaarsuse tingimus

Kui kaks tasapinda on risti, siis on ka nende tasandite normaalvektorid risti ja nende skalaarkorrutis on võrdne nulliga: ∙ = 0. See tähendab, et kahe tasandi perpendikulaarsuse tingimus on

A 1 A 2 + IN 1 IN 2 + KOOS 1 KOOS 2 = 0.

Kahe tasandi paralleelsuse tingimus

Kui tasapinnad on paralleelsed, siis on paralleelsed ka nende normaalvektorid. Siis on samanimeliste normaalvektorite koordinaadid võrdelised. See tähendab, et paralleeltasandite tingimus on

= = .

Kaugus punktistM 0 (x 0 , y 0 , z 0) lennukisse Oh + Wu + Сz + D = 0.

Kaugus punktist M 0 (x 0 , y 0 , z 0) lennukile Ah + Wu + Сz + D= 0 on sellest punktist tasapinnale tõmmatud risti pikkus ja see leitakse valemiga

d = .

Näide 1. R(– 1, 2, 7) risti vektoriga = (3, – 1, 2).

Lahendus

Vastavalt võrrandile (3.1) saame

3(x + 1) – (y – 2) + 2(z – 7) = 0,

3X – juures + 2z – 9 = 0.

Näide 2. Kirjutage võrrand punkti läbivale tasapinnale M(2; – 3; – 7) paralleelselt tasapinnaga 2 X – 6juures – 3z + 5 = 0.

Lahendus

Tasapinnaga risti olev vektor = (2; – 6; – 3) on ka paralleeltasandiga risti. See tähendab, et soovitud tasapind läbib punkti M(2; – 3; – 7) risti vektoriga = (2; – 6; – 3). Leiame valemi (3.1) abil tasapinna võrrandi:

2(X - 2) – 6(y + 3) – 3(z + 7) = 0,

2X – 6juures – 3z – 43 = 0.

Näide 3. Leidke punkte läbiva tasandi võrrand M 1 (2; 3; – 1) ja M 2 (1; 5; 3) tasandiga 3 risti X – juures + 3z + 15 = 0.

Lahendus

Vektor = (3; – 1; 3) antud tasapinnaga risti on paralleelne soovitud tasapinnaga. Seega läbib tasapind punkte M 1 ja M 2 on paralleelne vektoriga .

Lase M(x; y; z) tasapinna suvaline punkt, siis vektorid = ( X – 2; juures – 3; z+ 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) on tasapinnalised, mis tähendab, et nende segakorrutis on null:

= 0.

Arvutame determinandi, laiendades üle esimese rea elementide:

(X – 2) – (juures – 3) + (z + 1) = 0,

10(X - 2) – (– 15)(y – 3) + (– 5)(z + 1) = 0,

2(X - 2) + 3(y – 3) – (z + 1) = 0,

2x + 3juures – z– 14 = 0 – tasapinnaline võrrand.

Näide 4. Kirjutage võrrand tasapinnale, mis läbib tasanditega 2 risti alguspunkti X – juures + 5z+ 3 = 0 ja X + 3juures – z – 7 = 0.

Lahendus

Olgu soovitud tasapinna normaalvektor. Tingimuse järgi on tasapind nende tasanditega risti, mis tähendab ja , kus = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). See tähendab, et vektorina saame võtta vektorite ja vektori korrutise, see tähendab = ×.

= = – 14 + 7 + 7 .

Vektori koordinaatide asendamine alguspunkti läbiva tasandi võrrandiga Oh + Wu + Сz= 0, saame

– 14X + 7juures + 7z = 0,

2X – juures – z = 0.

Enesetesti küsimused

1 Kirjutage üldvõrrand lennuk.

2 Mis on geomeetriline tähendus koefitsiendid jaoks X, y, z tasandi üldvõrrandis?

3 Kirjutage üles punkti läbiva tasandi võrrand M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) risti vektoriga = ( A; IN; KOOS).

4 Kirjutage üles tasandi võrrand segmentidena piki telge ja märkige selles sisalduvate parameetrite geomeetriline tähendus.

5 Kirjutage üles punkte läbiva tasapinna võrrand M 1 (X 1 ; juures 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; juures 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; juures 3 ; z 3).

6 Kirjutage üles valem, mida kasutatakse kahe tasapinna vahelise nurga leidmiseks.

7 Kirjutage üles kahe tasandi paralleelsuse tingimused.

8 Kirjutage üles kahe tasandi ristuvuse tingimus.

9 Kirjutage üles valem, mis arvutab kauguse punktist tasapinnani.

Ülesanded jaoks sõltumatu otsus

1 Kirjutage võrrand punkti läbivale tasapinnale M(2; – 1; 1) risti vektoriga = (1; – 2; 3). ( Vastus: X – 2juures + 3z – 7 = 0)

2 Punkt R(1; – 2; – 2) on lähtepunktist tasapinnale tõmmatud risti alus. Kirjutage selle tasandi võrrand. ( Vastus: X – 2juures – 2z – 9 = 0)

3 Antud kaks punkti M 1 (2; – 1; 3) ja M 2 (– 1; 2; 4). Kirjutage võrrand punkti läbivale tasapinnale M 1 on risti vektoriga . ( Vastus: 3X – 3juures – z – 6 = 0)

4 Kirjutage võrrand kolme punkti läbivale tasapinnale M 1 (3; – 1; 2), M 2 (4; – 1; – 1), M 3 (2; 0; 2). (Vastus: 3X + 3juures + z – 8 = 0)

5 M 1 (3; – 1; 2) ja M 2 (2; 1; 3) paralleelselt vektoriga = (3; – 1; 4). ( Vastus: 9X + 7juures – 5z – 10 = 0)

6 Kirjutage võrrand punkti läbivale tasapinnale M 1 (2; 3; – 4) paralleelselt vektoritega = (3; 1; – 1) ja = (1; – 2; 1). ( Vastus: X + juures + 7z + 14 = 0)

7 Kirjutage võrrand punkti läbivale tasapinnale M(1; – 1; 1) risti tasanditega 2 X – juures + z– 1 = 0 ja X + 2juures – z + 1 = 0. (Vastus: X – 3juures – 5z + 1 = 0)

8 Kirjutage punkte läbiva tasapinna võrrand M 1 (1; 0; 1) ja M 2 (1; 2; – 3) tasapinnaga risti X – juures + z – 1 = 0. (Vastus: X + 2juures + z – 2 = 0)

9 Leidke tasapindade vaheline nurk 4 X – 5juures + 3z– 1 = 0 ja X – 4juures – z + 9 = 0. (Vastus: φ = arccos0,7)

10 Leidke kaugus punktist M(2; – 1; – 1) lennukile 16 X – 12juures + 15z – 4 = 0. (Vastus: d = 1)

11 Leidke kolme tasandi lõikepunkt 5 X + 8juures – z – 7 = 0, X + 2juures + 3z – 1 = 0, 2X – 3juures + 2z – 9 = 0. (Vastus: (3; – 1; 0))

12 Kirjutage punkte läbiva tasapinna võrrand M 1 (1; – 2; 6) ja M 2 (5; – 4; 2) ja lõikab telgedel maha võrdsed segmendid Oh Ja OU. (Vastus: 4X + 4juures + z – 2 = 0)

13 Leidke lennukite vaheline kaugus X + 2juures – 2z+ 2 = 0 ja 3 X + 6juures – 6z – 4 = 0. (Vastus: d = )

Loeng 5. Ülesannete lahendamine teemal "Analüütiline geomeetria ruumis"

1. Kirjutage võrrand punkti läbivale tasapinnale M 0 (1, -2, 5) paralleelselt tasapinnaga 7 x-y-2z-1=0.

Lahendus. Tähistagem poolt R antud lennuk, las R 0 – punkti läbiv soovitud paralleeltasand M 0 (1, -2, 5).

Vaatleme normaal (risti) vektorit lennuk R. Normaalvektori koordinaadid on tasapinna võrrandi  muutujate koefitsiendid
.

Alates lennukist R Ja R 0 on paralleelsed, siis vektor tasapinnaga risti R 0 , st. - tasapinna normaalvektor R 0 .

Punkti läbiva tasandi võrrand M 0 (x 0 , y 0 , z 0) tavalisega
:

Asendage punkti koordinaadid M 0 ja normaalvektorid võrrandisse (1):

Avades sulgud, saame tasapinna üldvõrrandi (lõplik vastus):

2. Koostage punkti läbiva sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid M 0 (-2, 3, 0) paralleelselt sirgjoonega
.

Lahendus. Tähistagem poolt L antud sirge, las L 0 – punkti läbiv soovitud paralleeljoon M 0 (-2,3,0).

Juhtvektor sirge L(selle sirgega paralleelne nullist erinev vektor) on samuti paralleelne sirgega L 0 . Seetõttu vektor on sirge suunavektor L 0 .

Suunavektori koordinaadid on võrdsed antud sirge kanooniliste võrrandite vastavate nimetajatega

.

Punkti läbiva ruumi sirge kanoonilised võrrandid M 0 (x 0 , y 0 , z {l, m, n}

. (2)

Asendage punkti koordinaadid M 0 ja suunavektor võrrandisse (2) ja saada sirge kanoonilised võrrandid:

.

Punkti läbiva ruumi sirge parameetrilised võrrandid M 0 (x 0 , y 0 , z 0) paralleelne nullist erineva vektoriga {l, m, n), on kujul:

(3)

Asendage punkti koordinaadid M 0 ja suunavektor võrranditesse (3) ja saada sirge parameetrilised võrrandid:

3. Leidke punkt
, sümmeetriline punkti suhtes
, suhtes: a) sirge
b) lennukid

Lahendus. a) Koostame risttasapinna võrrandi P, väljaulatuv punkt
sellele reale:

Leidma
kasutame antud sirge ja eenduva tasandi perpendikulaarsuse tingimust. Suunavektor sirge
tasapinnaga risti  vektor
on normaalvektor
tasapinnale  Antud sirgega risti oleva tasandi võrrandil on kuju või

Leiame projektsiooni R punktid M sirgjoonele. Punkt R on sirge ja tasandi lõikepunkt, s.o. selle koordinaadid peavad üheaegselt rahuldama nii sirge kui ka tasandi võrrandi. Lahendame süsteemi:

.

Selle lahendamiseks kirjutame sirge võrrandi parameetrilisel kujul:

Avaldiste asendamine
tasapinna võrrandisse saame:

Siit leiame Leitud koordinaadid on keskkoha koordinaadid R punkti ühendav sirglõik
ja selle suhtes sümmeetriline punkt

IN koolikursus geomeetrias formuleeriti teoreem.

Lõigu keskkoha koordinaadid on võrdsed poolega selle otste vastavate koordinaatide summast.

Punkti koordinaatide leidmine
lõigu keskpunkti koordinaatide valemitest:

Saame: Niisiis,
.

Lahendus. b) Leida punktiga sümmeetriline punkt
antud tasapinna suhtes P, langetage punktist risti
sellele lennukile. Koostame sirge võrrandi suunavektoriga
, läbides punkti
:

Sirge ja tasapinna vaheline perpendikulaarsus tähendab, et sirge suunavektor on tasandiga risti 
. Seejärel punkti projekteeriva sirge võrrand
antud tasapinnale on vorm:

Olles võrrandid koos lahendanud
Ja
leiame projektsiooni R punktid
lennukile. Selleks kirjutame sirgjoone võrrandid ümber parameetrilisel kujul:

Asendame need väärtused
tasapinna võrrandisse: Sarnaselt sammuga a) leiame lõigu keskkoha koordinaatide valemite abil sümmeetrilise punkti koordinaadid
:

Need.
.

4. Kirjutage võrrand tasapinnale, mis läbib a) sirget
paralleelselt vektoriga
; b) läbi kahe ristuva sirge
Ja
(olles eelnevalt tõestanud, et need ristuvad); c) läbi kahe paralleelse sirge
Ja
; d) otse kaudu
ja periood
.

Lahendus. a) Kuna antud sirge asub soovitud tasapinnal ja soovitud tasapind on vektoriga paralleelne , siis on tasapinna normaalvektor risti sirge suunavektoriga
ja vektor .

Seetõttu saame tasapinna normaalvektoriks valida vektorite vektorkorrutise Ja :

Saame tasapinna normaalvektori koordinaadid
.

Leiame joonelt punkti. Suhtarvude võrdsustamine sirge kanoonilistes võrrandites nulliga:

,

leiame
,
,
. Antud sirge läbib punkti
, seega läbib punkti ka tasapind
. Kasutades vektoriga risti etteantud punkti läbiva tasapinna võrrandit , saame tasandi võrrandi , või , või lõpuks,
.

Lahendus. b) Kaks sirget ruumis võivad ristuda, ristuda või olla paralleelsed. Antud sirged jooned

Ja
(4)

ei ole paralleelsed, kuna nende suunavektorid
Ja
mitte kollineaarne:
.

Kuidas kontrollida, kas jooned ristuvad? Saate lahendada 4 võrrandi süsteemi (4) 3 tundmatuga. Kui süsteemil on unikaalne lahendus, siis saame sirgete lõikepunkti koordinaadid. Kuid meie probleemi lahendamiseks - konstrueerides tasapinna, milles mõlemad sirged asuvad, pole nende lõikepunkti vaja. Seetõttu on võimalik sõnastada kahe mitteparalleelse sirge ruumis lõiketingimus ilma lõikepunkti leidmata.

Kui kaks mitteparalleelset sirget ristuvad, siis suunavektorid
,
ja ühenduspunktid, mis asuvad sirgel
Ja
vektor asuvad samal tasapinnal, st. koplanaarne  nende vektorite segakorrutis on võrdne nulliga:

. (5)

Võrdlustame sirgete kanoonilistes võrrandites olevad suhted nulliga (või 1-ga või mis tahes arvuga)

Ja
,

ja leida sirgete punktide koordinaadid. Esimene rida läbib punkti
, ja teine ​​sirge läbib punkti
. Nende joonte suunavektorid on vastavalt võrdsed
Ja
. Saame

Võrdsus (5) on täidetud, seega antud sirged lõikuvad. See tähendab, et neid kahte joont läbib üks tasapind.

Liigume edasi ülesande teise osa juurde – tasapinna võrrandi koostamine.

Tasapinna normaalvektoriks saab valida nende suunavektorite vektorkorrutise Ja :

Tasapinna normaalvektori koordinaadid
.

Saime sellest otse teada
läheb läbi
, seega läbib seda punkti ka soovitud tasapind. Saame tasandi võrrandi või
või lõpuks,
.

c) Kuna need on sirged
Ja
on paralleelsed, siis ei saa nende suunavektorite korrutist valida normaalvektoriks, see on võrdne nullvektoriga.

Määrame punktide koordinaadid
Ja
, mida need jooned läbivad. Lase
Ja
, Siis
,
. Arvutame vektori koordinaadid. Vektor
asub soovitud tasapinnal ja on vektori suhtes mittekollineaarne , siis selle normaalvektorina saate valida vektori ristkorrutise
ja esimese sirge suunavektor
:

Niisiis,
.

Lennuk läbib liini
, mis tähendab, et see läbib punkti
. Saame tasandi võrrandi: , või .

d) Seoste võrdsustamine sirge kanoonilistes võrrandites nulliga
, leiame
,
,
. Seetõttu läbib sirge punkti
.

Arvutame vektori koordinaadid. Vektor
kuulub soovitud tasapinnale selle normaalvektorina vali sirge suunava vektori vektorkorrutis
ja vektor
:

Siis on tasapinnaline võrrand järgmine: , või .

See artikkel sisaldab teavet, mis on vajalik antud sirget ja antud punkti läbiva tasapinna võrrandi koostamise probleemi lahendamiseks. Pärast selle ülesande lahendamist üldkujul esitame üksikasjalikud lahendused antud sirget ja punkti läbiva tasandi võrrandi koostamise näidetele.

Leheküljel navigeerimine.

Antud sirget ja antud punkti läbiva tasandi võrrandi leidmine.

Laske sisse kolmemõõtmeline ruum Oxyz on fikseeritud, on antud sirge a ja punkt, mis ei asu joonel a. Seadke endale ülesandeks: saada sirget a ja punkti M 3 läbiva tasandi võrrand.

Esiteks näitame, et on olemas üks tasapind, mille jaoks peame konstrueerima võrrandi.

Tuletame meelde kahte aksioomi:

• üks tasapind läbib kolme erinevat ruumipunkti, mis ei asu samal sirgel;
• kui sirge kaks erinevat punkti asuvad teatud tasapinnal, siis kõik selle sirge punktid asuvad sellel tasapinnal.

Nendest väidetest järeldub, et unikaalse tasapinna saab tõmmata läbi sirgjoone ja punkti, mis sellel ei asu. Seega meie püstitatud ülesandes läbib sirget a ja punkti M 3 üks tasapind ning me peame kirjutama selle tasandi võrrandi.

Nüüd hakkame leidma etteantud sirget a ja punkti läbiva tasapinna võrrandit .

Kui sirge a on antud kahe sellel asuva erineva punkti M 1 ja M 2 koordinaatide näitamisega, siis taandatakse meie ülesanne kolme antud punkti M 1, M 2 ja M 3 läbiva tasandi võrrandi leidmiseks.

Kui sirge a on antud erinevalt, siis tuleb esmalt leida kahe sirgel a asuva punkti M 1 ja M 2 koordinaadid ning pärast seda kirjutada üles kolme punkti M 1, M 2 ja M läbiva tasandi võrrand. 3, mis on sirget a ja punkti M 3 läbiva tasapinna soovitud võrrand.

Mõelgem välja, kuidas leida kahe erineva punkti M 1 ja M 2 koordinaadid, mis asuvad antud sirgel a.

Ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis vastab ükskõik milline sirge mõnele ruumilise sirge võrrandile. Eeldame, et ülesandepüstituses sirge a määramise meetod võimaldab saada selle sirgjoone parameetrilised võrrandid vormi ruumis . Siis, olles nõustunud, on meil mõte , lamades joonel a. Andes parameetrile nullist erineva tegeliku väärtuse, saame sirge a parameetrilistest võrranditest arvutada punkti M 2 koordinaadid, mis samuti asub sirgel a ja erineb punktist M 1.

Pärast seda peame kirjutama võrrandi tasandist, mis läbib kolme erinevat ja ei asu samal sirge punktil ja kujul .

Niisiis, oleme saanud võrrandi tasapinnast, mis läbib antud sirget a ja antud punkti M 3, mis ei asu sirgel a.

Näited etteantud punkti ja sirget läbiva tasandi võrrandi koostamiseks.

Näitame lahendusi mitmele näitele, milles analüüsime vaadeldavat meetodit antud sirget ja antud punkti läbiva tasapinna võrrandi leidmiseks.

Alustame kõige lihtsamast juhtumist.

Näide.

Lahendus.

Võtame näiteks koordinaatjoonel Ox kaks erinevat punkti ja .

Nüüd saame kolme punkti M 1, M 2 ja M 3 läbiva tasandi võrrandi:

See võrrand on antud sirget Ox ja punkti läbiva tasapinna soovitud üldvõrrand .

Vastus:

.

Kui on teada, et tasapind läbib antud punkti ja antud sirget ning on vaja kirjutada tasapinna võrrand segmentidena või tasapinna normaalvõrrand, siis tuleks kõigepealt hankida antud tasandi üldvõrrand, ja sealt edasi vajalikku tüüpi tasandi võrrandi juurde.

Näide.

Kirjutage normaalvõrrand tasapinnale, mis läbib sirget ja periood .

Lahendus.

Kõigepealt kirjutame ette antud tasandi üldvõrrandi. Selleks leidke kahe erineva punkti koordinaadid, mis asuvad sirgel . Selle rea parameetrilistel võrranditel on vorm . Olgu punkt M 1 vastab väärtusele ja punkt M 2 -. Arvutame punktide M 1 ja M 2 koordinaadid:

Nüüd saame kirjutada punkti läbiva sirge üldvõrrandi ja otsene :

Jääb üle saada tasapinnalise võrrandi nõutav vorm, korrutades saadud võrrandi mõlemad pooled normaliseeriva teguriga .

Vastus:

.

Seega, antud punkti ja antud sirget läbiva tasapinna võrrandi leidmine sõltub antud sirgel paikneva kahe erineva punkti koordinaatide leidmisest. Sageli on see selliste probleemide lahendamise peamine raskus. Kokkuvõtteks analüüsime näite lahendust, koostades etteantud punkti läbiva tasandi ja sirge võrrandi, mis määratakse kahe lõikuva tasandi võrrandiga.

Näide.

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz on antud punkt ja sirge a, mis on kahe tasandi lõikejoon Ja . Kirjutage sirget a ja punkti M 3 läbiva tasandi võrrand.

Sellega Interneti-kalkulaator leiad antud punkti läbiva ja antud tasandiga paralleelse tasandi võrrandi. Antakse üksikasjalik lahendus koos selgitustega. Tasapinna võrrandi leidmiseks sisestage lahtritesse punkti koordinaadid ja tasapinna võrrandi koefitsiendid ning klõpsake nuppu "Lahenda".

×

Hoiatus

Kas kustutada kõik lahtrid?

Sule Kustuta

Andmete sisestamise juhised. Arvud sisestatakse täisarvudena (näited: 487, 5, -7623 jne), kümnendkohtadena (nt 67., 102,54 jne) või murdudena. Murd tuleb sisestada kujul a/b, kus a ja b (b>0) on täis- või kümnendarvud. Näited 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 jne.

Antud punkti läbiva ja antud tasandiga paralleelse tasandi võrrand - teooria, näited ja lahendused

Olgu punkt antud M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ja tasapinnaline võrrand

Kõigil paralleeltasanditel on kollineaarsed normaalvektorid. Seetõttu konstrueerida punktiga (1) paralleelne tasapind, mis läbib punkti M 0 (x 0 , y 0 , z 0) tuleb võtta soovitud tasandi normaalvektoriks, normaalvektoriks n=(A, B, C) tasapind (1). Järgmisena peate leidma sellise väärtuse D, millisel hetkel M 0 (x 0 , y 0 , z 0) on täidetud tasapinna võrrandiga (1):

Väärtuse asendamine D(3) kuni (1) saame:

Võrrand (5) on punkti läbiva tasandi võrrand M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ja paralleelselt tasapinnaga (1).

Leidke punkti läbiva tasandi võrrand M 0 (1, -6, 2) ja paralleelselt tasapinnaga:

Punktide koordinaatide asendamine M 0 ja normaalvektori koordinaadid punktis (3), saame.

Vaatleme tasapinda Q ruumis, määrates täielikult selle tasandiga risti oleva vektori N ja mõne Q-tasandil asuva fikseeritud punkti. tasapinnaga risti Q nimetatakse selle tasandi normaalvektoriks. Kui tähistame A, B ja C-ga normaalvektori N projektsioone, siis

Tuletame antud punkti läbiva ja antud normaalvektoriga tasapinna Q võrrandi . Selleks vaatleme vektorit, mis ühendab punkti Q-tasandi suvalise punktiga (joonis 81).

Punkti M mis tahes asendi korral tasapinnal Q on vektor МХМ risti normaalvektor N tasapinnast Q. Seetõttu skalaarkorrutis Kirjutame skalaarkorrutise projektsioonide järgi. Kuna , ja on vektor, siis

ning seetõttu

Oleme näidanud, et Q-tasandi mis tahes punkti koordinaadid vastavad võrrandile (4). On lihtne näha, et punktide koordinaadid, mis ei asu Q-tasandil, seda võrrandit ei rahulda (viimasel juhul). Järelikult oleme saanud tasandi Q nõutava võrrandi. Võrrandit (4) nimetatakse antud punkti läbiva tasandi võrrandiks. See on praeguste koordinaatide suhtes esimese astmega

Seega oleme näidanud, et iga tasapind vastab praeguste koordinaatide suhtes esimese astme võrrandile.

Näide 1. Kirjutage vektoriga risti olevat punkti läbiva tasapinna võrrand.

Lahendus. siin . Valemi (4) põhjal saame

või pärast lihtsustamist

Koefitsientide A, B ja C andmine võrrandile (4) erinevaid tähendusi, saame võrrandi iga punkti läbiva tasapinna kohta. Tasapindade kogumit, mis läbib antud punkti, nimetatakse tasandite kimbuks. Võrrandit (4), milles koefitsiendid A, B ja C võivad võtta mis tahes väärtused, nimetatakse tasandite hulga võrrandiks.

Näide 2. Loo võrrand kolme punkti läbivale tasapinnale (joonis 82).

Lahendus. Kirjutame võrrandi punkti läbivate tasandite jaoks