Definitsioon: Laske igas sujuva kõvera punktis L = AB lennukis Oxy antud pidev funktsioon kaks muutujat f(x,y). Jagame kõvera meelevaldselt pooleks L peal n täppidega osad A = M 0, M 1, M 2, ... M n = B. Seejärel valime igal saadud osal \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) mis tahes punkti \(\bar((M)_(i))\left (\ bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)\)ja tee summa $$(S)_(n)=\sum_(i=1) ^(n )f\left(\bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)\Delta (l)_(i)$$ kus \(\Delta (l) _(i)=(M)_(i-1)(M)_(i)\) – kaare kaar \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i ))\) . Saadud summa kutsutakse funktsiooni esimest tüüpi integraalsumma f(x,y) , antud kõveral L.

Tähistagem poolt d suurim kaarepikkustest \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) (seega d = \(max_(i)\Delta(l)_(i)\ )). Kui kell d? 0 on integraalsummade limiit S n (sõltumata kõvera L osadeks jagamise meetodist ja punktide valikust \(\bar((M)_(i))\)), siis seda piiri nimetatakse esimest järku kõverjooneline integraal funktsioonist f(x,y) piki kõverat L ja seda tähistatakse $$\int_(L)f(x,y)dl$$

Võib tõestada, et kui funktsioon f(x,y) on siis pidev rea integraal\(\int_(L)f(x,y)dl\) on olemas.

1. tüüpi kõverjoonelise integraali omadused

Esimest tüüpi kõverjoonelisel integraalil on omadused, mis on sarnased kindla integraali vastavate omadustega:

• liitlikkus,
• lineaarsus,
• mooduli hindamine,
• keskmise väärtuse teoreem.

Siiski on erinevus: $$\int_(AB)f(x,y)dl=\int_(BA)f(x,y)dl$$ st. esimest tüüpi joonintegraal ei sõltu integreerimise suunast.

Esimest tüüpi kõverjooneliste integraalide arvutamine

Esimest tüüpi kõverjoonelise integraali arvutamine taandatakse kindla integraali arvutamiseks. Nimelt:

1. Kui kõver L on antud pidevalt diferentseeruva funktsiooniga y=y(x), x \(\in \) , siis $$(\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int \limits_a^b (f\left((x,y\left(x \right)) \right)\sqrt (1 + ((\left((y"\left(x \right)) \ paremal))^ 2)) dx) ;)$$ sel juhul avaldis \(dl=\sqrt((1 + ((\left((y"\left(x \right)) \right)))^2 ))) dx \) nimetatakse kaare pikkuse diferentsiaaliks.
2. Kui kõver L on määratud parameetriliselt, st. kujul x=x(t), y=y(t), kus x(t), y(t) on pidevalt diferentseeruvad funktsioonid mingil intervallil \(\left [ \alpha ,\beta \right ]\), siis $$ (\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left ((x\left(t \right),) y \left(t \right)) \right)\sqrt (((\left((x"\left(t \right)) \right)))^2) + ((\left((y"\left() t \paremal)) \paremal))^2)) dt)) $$ See võrdsus laieneb parameetriliselt defineeritud ruumikõvera L korral: x=x(t), y=y(t), z=z( t), \(t\in \left [ \alpha ,\beta \right ]\). Sel juhul, kui f(x,y,z) on pidev funktsioon piki kõverat L, siis $$ (\int\limits_L (f\left((x,y,z) \right)dl) ) = ( \int \limits_\alpha ^\beta (f\left [ (x\left(t \right),y\left(t \right),z\left(t \right)) \right ]\sqrt ((( \left ((x"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left((y"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left) (( z"\left(t \right)) \right)))^2)) dt)) $$
3. Kui tasapinnakõver L on antud polaarvõrrandiga r=r(\(\varphi \)), \(\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ] \), siis $$ (\int\ limits_L (f\ left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left((r\cos \varphi ,r\sin \varphi ) \right)\ sqrt ((r ^ 2) + (((r)")^ 2)) d\varphi)) $$

1. tüüpi kõverjoonelised integraalid - näited

Näide 1

Arvutage esimest tüüpi joonintegraal

$$ \int_(L)\frac(x)(y)dl $$ kus L on punktide (2,2) ja (8,4) vahele jääva parabooli y 2 =2x kaar.

Lahendus: leidke kaare dl diferentsiaal kõverale \(y=\sqrt(2x)\). Meil on:

\((y)"=\frac(1)(\sqrt(2x)) \) $$ dl=\sqrt(1+\left ((y)" \right)^(2)) dx= \sqrt( 1+\left (\frac(1)(\sqrt(2x)) \right)^(2)) dx = \sqrt(1+ \frac(1)(2x)) dx $$ Seetõttu on see integraal võrdne : $ $\int_(L)\frac(x)(y)dl=\int_(2)^(8)\frac(x)(\sqrt(2x))\sqrt(1+\frac(1)( 2x) )dx= \int_(2)^(8)\frac(x\sqrt(1+2x))(2x)dx= $$ $$ \frac(1)(2)\int_(2)^( 8) \sqrt(1+2x)dx = \frac(1)(2).\frac(1)(3)\left (1+2x \right)^(\frac(3)(2))|_ (2)^(8)= \frac(1)(6)(17\sqrt(17)-5\sqrt(5)) $$

Näide 2

Arvutage esimest tüüpi kõverjooneline integraal \(\int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl \), kus L on ring x 2 +y 2 =ax (a>0).

Lahendus: Tutvustame polaarkoordinaadid: \(x = r\cos \varphi \), \(y=r\sin \varphi \). Kuna x 2 +y 2 =r 2, siis on ringi võrrand järgmine: \(r^(2)=arcos\varphi \), see tähendab \(r=acos\varphi \) ja diferentsiaal kaarest $$ dl = \ sqrt(r^2+(2)"^2)d\varphi = $$ $$ =\sqrt(a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi )d \varphi=ad\varphi $$ .

Sel juhul \(\varphi\in \left [- \frac(\pi )(2) ,\frac(\pi )(2) \right ] \). Seetõttu $$ \int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl=a\int_(-\frac(\pi )(2))^(\frac(\pi )(2))acos \varphi d\varphi =2a^2 $$

Eesmärk. Interneti-kalkulaator mõeldud jõudu F tehtud töö leidmiseks liikudes piki sirge L kaaret.

Teist tüüpi kõverjoonelised ja pinnaintegraalid

Võtke arvesse sorti σ. Olgu τ(x,y,z) σ ühikpuutevektor, kui σ on kõver, ja n(x,y,z) σ ühiknormaalvektor, kui σ on R 3 pind. Tutvustame vektoreid dl = τ · dl ja dS = n · dS, kus dl ja dS on kõvera või pinna vastava lõigu pikkus ja pindala. Eeldame, et dσ =dl, kui σ on kõver, ja dσ =dS, kui σ on pind. Nimetagem dσ kõvera või pinna vastava lõigu orienteeritud mõõdet.

Definitsioon . Olgu antud orienteeritud pidev tükkhaaval sile kollektor σ ja vektorfunktsioon σ F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)+R(x,y, z). Jagame kollektori osadeks väiksema mõõtmega kollektoritega (kõver - punktidega, pind - kõveratega), iga saadud elementaarkollektori seest valime punkti M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), M 1 ( x 1,y 1,z 1) , ... ,M n (x n , y n , z n). Loendame nendes punktides vektorfunktsiooni F(x i ,y i ,z i), i=1,2,...,n väärtused, korrutame need väärtused skalaarselt antud orienteeritud mõõduga dσ i elementaarkollektor (kollektori vastava sektsiooni orienteeritud pikkus või pindala) ja võtame selle kokku. Saadud summade limiit, kui see on olemas, ei sõltu kollektori osadeks jagamise meetodist ja iga elementaarkollektori sees olevate punktide valikust, eeldusel, et elementaarosa läbimõõt kipub olema null, nimetatakse integraaliks üle. teist tüüpi kollektor (kõverjooneline integraal, kui σ on kõver ja pindintegraal, kui σ - pind), integraal piki orienteeritud kollektorit või vektori F integraal piki σ ja seda tähistatakse üldjuhul, kõverjooneliste ja pindintegraalide puhul vastavalt.
Pange tähele, et kui F(x,y,z) on jõud, siis kas see jõud teeb liikumiseks materiaalne punkt piki kõverat, kui F(x,y,z) on voolava vedeliku statsionaarne (ajast sõltumatu) kiirusväli, siis - läbi pinna S ajaühikus voolava vedeliku hulk (pinda läbiv vektorvool).
Kui kõver on määratud parameetriliselt või, mis on sama, vektorkujul,

See

ja teist tüüpi kõverjoonelise integraali jaoks, mis meil on

Kuna dS = n dS =(cosα, cosβ, cosγ), kus cosα, cosβ, cosγ on ühiknormaalvektori n suunakoosinused ja cosαdS=dydz, cosβdS=dxdz, cosγdS=dxdy, siis pindintegraali jaoks teine ​​tüüp, mille saame

Kui pind on määratud parameetriliselt või, mis on sama, vektorkujul
r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k, (u,v)∈D
See

Kus - jakobiid (Jakobi maatriksite determinandid või, mis on sama, tuletismaatriksid) vektorfunktsioonide vastavalt.

Kui pinda S saab määrata samaaegselt võrranditega, siis teist tüüpi pinnaintegraal arvutatakse valemiga

kus D 1, D 2, D 3 on pinna S projektsioonid vastavalt koordinaattasanditele Y0Z, X0Z, X0Y ja kui nurk normaalvektori ja selle telje vahel, mida mööda on projekteeritud, võetakse märk “+” nurk on äge ja märk “–”, kui see nurk on nüri.

Teist tüüpi kõverjooneliste ja pindintegraalide omadused

Märgime ära mõned teist tüüpi kõverjooneliste ja pindintegraalide omadused.
1. teoreem. 2. tüüpi kõverjoonelised ja pinnaintegraalid sõltuvad kõvera ja pinna orientatsioonist, täpsemalt
.

2. teoreem. Olgu σ=σ 1 ∪σ 2 ja lõikepunkti mõõde dlim(σ 1 ∩σ 2)=n-1. Siis

Tõestus. Lisades ühispiiri σ 1 ja σ 2 partitsioonikollektorite hulka integraali määratlusesse teist tüüpi kollektori kohal, saame vajaliku tulemuse.

Näide nr 1. Leidke jõuga F tehtud töö, liikudes piki sirge L kaare punktist M 0 punkti M 1.
F = x 2 yi+yj; , L: segment M 0 M 1
M 0 (-1; 3), M 0 (0; 1)
Lahendus.
Leidke sirge võrrand piki lõiku M 0 M 1 .
või y=-2x+1
dy=-2dx

Muutuse piirid x: [-1; 0]

2. tüüpi kõverjooneline integraal arvutatakse samamoodi nagu 1. tüüpi kõverjooneline integraal, taandades selle kindlale. Selleks väljendatakse kõik integraalimärgi all olevad muutujad ühe muutuja kaudu, kasutades selle sirge võrrandit, mida mööda integreerimine toimub.

a) Kui rida AB on antud võrrandisüsteemiga siis

(10.3)

Tasapinnalisel juhul, kui kõver on antud võrrandiga kõverjooneline integraal arvutatakse valemiga: . (10.4)

Kui rida AB on antud parameetriliste võrranditega siis

(10.5)

Lameda puhul, kui joon AB antud parameetriliste võrranditega , arvutatakse kõverjooneline integraal valemiga:

, (10.6)

kus on parameetrite väärtused t, mis vastavad integratsioonitee algus- ja lõpp-punktile.

Kui rida AB tükkhaaval sile, siis peaksime kasutama kõverjoonelise integraali liitvuse omadust poolitamisega AB siledatel kaartel.

Näide 10.1 Arvutame kõverjoonelise integraali mööda kontuuri, mis koosneb kõvera osast punktist enne ja ellipsikaared punktist enne .

Kuna kontuur koosneb kahest osast, kasutame kõverjoonelise integraali liiteomadust: . Taandagem mõlemad integraalid kindlateks. Osa kontuurist antakse võrrandiga muutuja suhtes . Kasutame valemit (10.4 ), milles vahetame muutujate rolle. Need.

. Pärast arvutamist saame .

Kontuuri integraali arvutamiseks Päike Liigume edasi ellipsi võrrandi kirjutamise parameetrilise vormi juurde ja kasutame valemit (10.6).

Pöörake tähelepanu integratsiooni piiridele. Punkt vastab väärtusele ja punktile vastab Vastus:
.

Näide 10.2. Arvutame mööda sirge lõiku AB, Kus A(1,2,3), B(2,5,8).

Lahendus. Antakse 2. tüüpi kõverjooneline integraal. Selle arvutamiseks peate selle teisendama konkreetseks. Koostame sirge võrrandid. Selle suunavektoril on koordinaadid .

Sirge AB kanoonilised võrrandid: .

Selle rea parameetrilised võrrandid: ,

Kell
.

Kasutame valemit (10.5) :

Pärast integraali arvutamist saame vastuse: .

5. Jõu töö ühikulise massiga materiaalse punkti liigutamisel mööda kõverat punktist punkti .

Laske igas punktis tükkhaaval sile kõver on antud vektor, millel on pidevad koordinaatfunktsioonid: . Jagame selle kõvera punktidega väikesteks osadeks nii et iga osa punktides funktsioonide tähendus
võiks pidada konstantseks ja osa ennast võib segi ajada sirge segmendiga (vt joonis 10.1). Siis . Konstantse jõu skalaarkorrutis, mille rolli mängib vektor , sirgjoonelise nihkevektori kohta on arvuliselt võrdne tööga, mille teeb jõud materjali punkti liigutamisel mööda . Teeme integraalsumma . Limiidis saame partitsioonide arvu piiramatu suurenemisega teist tüüpi kõverjoonelise integraali

. (10.7) Seega füüsiline tähendus 2. tüüpi kõverjooneline integraal - see on jõuga tehtud töö materiaalse punkti teisaldamisel A To IN mööda kontuuri L.

Näide 10.3. Arvutame vektori tehtud töö punkti liigutamisel mööda Viviani kõvera osa, mis on määratletud poolkera ristumiskohana ja silinder , mis jookseb telje positiivsest osast vaadatuna vastupäeva HÄRG.

Lahendus. Koostame antud kõvera kahe pinna lõikejoonena (vt. joon. 10.3).

.

Integrandi taandamiseks üheks muutujaks liigume silindrilise koordinaatsüsteemi juurde: .

Sest punkt liigub mööda kõverat , siis on mugav valida parameetriks muutuja, mis muutub piki kontuuri nii, et . Seejärel saame selle kõvera järgmised parameetrilised võrrandid:

.Kus
.

Asendame saadud avaldised tsirkulatsiooni arvutamise valemis:

(- märk + näitab, et punkt liigub mööda kontuuri vastupäeva)

Arvutame integraali ja saame vastuse: .

11. õppetund.

Greeni valem lihtsalt ühendatud piirkonna jaoks. Kõverjoonelise integraali sõltumatus integratsiooniteest. Newtoni-Leibnizi valem. Funktsiooni leidmine selle summaarsest diferentsiaalist kõverjoonelise integraali abil (tasapinnalised ja ruumilised juhud).

OL-1 5. peatükk, OL-2 3. peatükk, OL-4 3. peatükk § 10 p 10.3, 10.4.

Harjuta : OL-6 nr 2318 (a, b, d), 2319 (a, c), 2322 (a, d), 2327, 2329 või OL-5 nr 10.79, 82, 133, 135, 139.

Kodu ehitamine 11. õppetunniks: OL-6 nr 2318 (c, d), 2319 (c, d), 2322 (b, c), 2328, 2330 või OL-5 nr 10.80, 134, 136, 140

Greeni valem.

Laske lennukisse antud lihtsalt ühendatud domeen, mida piirab tükkhaaval sile suletud kontuur. (Piirkonda nimetatakse lihtsalt ühendatuks, kui mis tahes suletud kontuuri selles piirkonnas saab kokku tõmmata selle piirkonna punktini).

Teoreem. Kui funktsioonid ja nende osatuletised G, See

Joonis 11.1

- Greeni valem . (11.1)

Näitab positiivset möödaviigu suunda (vastupäeva).

Näide 11.1. Greeni valemi abil arvutame integraali piki segmentidest koosnevat kontuuri O.A., O.B. ja suurem ringi kaar , mis ühendab punkte A Ja B, Kui , , .

Lahendus. Ehitame kontuuri (vt joonis 11.2). Arvutame välja vajalikud tuletised.

Joonis 11.2

, ; , . Funktsioonid ja nende tuletised on pidevad suletud piirkonnas, mis on piiratud etteantud kontuuriga. Greeni valemi järgi on see integraal .

Pärast arvutatud tuletiste asendamist saame

. Arvutame topeltintegraali, liikudes polaarkoordinaatidele:
.

Kontrollime vastust, arvutades integraali otse piki kontuuri 2. tüüpi kõverjoonelise integraalina.
.

Vastus:
.

2. Kõverjoonelise integraali sõltumatus integratsiooniteest.

Lase Ja - lihtsalt ühendatud piirkonna suvalised punktid pl. . Neid punkte ühendavatest erinevatest kõveratest arvutatud kõverjoonelistel integraalidel on üldjuhul olemas erinevaid tähendusi. Kuid kui teatud tingimused on täidetud, võivad kõik need väärtused osutuda samaks. Siis integraal ei sõltu tee kujust, vaid sõltub ainult algus- ja lõpp-punktist.

Järgmised teoreemid kehtivad.

1. teoreem. Selleks, et integraal
ei sõltunud punkte ühendava tee kujust ja on vajalik ja piisav, et see integraal mis tahes suletud kontuuri kohal oleks võrdne nulliga.

2. teoreem.. Selleks, et integraal
piki mis tahes suletud kontuuri on võrdne nulliga, on vajalik ja piisav, et funktsioon ja nende osatuletised olid suletud piirkonnas pidevad G ja et tingimus oleks täidetud (11.2)

Seega, kui on täidetud tingimused, et integraal oleks teekujust sõltumatu (11.2) , siis piisab ainult algus- ja lõpp-punkti määramisest: (11.3)

3. teoreem. Kui tingimus on lihtsalt ühendatud piirkonnas täidetud , siis on olemas funktsioon selline, et . (11.4)

Seda valemit nimetatakse valemiks Newton-Leibniz rea integraali jaoks.

kommenteerida. Tuletage meelde, et võrdsus on vajalik ja piisav tingimus selleks, et väljend
.

Siis ülaltoodud teoreemidest järeldub, et kui funktsioonid ja nende osatuletised pidev suletud piirkonnas G, milles on antud punktid Ja , Ja , See

a) on funktsioon , selline, et ,

ei sõltu tee kujust,

c) valem kehtib Newton-Leibniz .

Näide 11.2. Veenduge, et integraal
ei sõltu tee kujust ja arvutame selle välja.

Lahendus. .

Joonis 11.3

Kontrollime, kas tingimus (11.2) on täidetud.
. Nagu näeme, on tingimus täidetud. Integraali väärtus ei sõltu integratsiooni teest. Valime integratsioonitee. Enamik

lihtne viis arvutamiseks on katkendlik joon DIA, mis ühendab tee algus- ja lõpp-punkti. (Vt joonis 11.3)

Siis .

3. Funktsiooni leidmine selle kogudiferentsiaali järgi.

Kasutades kõverjoonelist integraali, mis ei sõltu tee kujust, leiame funktsiooni , teades selle täielikku erinevust. See probleem lahendatakse järgmiselt.

Kui funktsioonid ja nende osatuletised pidev suletud piirkonnas G Ja , siis väljend on täielik diferentsiaal mingi funktsioon . Lisaks integraal
, esiteks, ei sõltu tee kujust ja teiseks saab arvutada Newtoni-Leibnizi valemi abil.

Arvutame
kahel viisil.

Joonis 11.4

a) Valige piirkonnas punkt kindlate koordinaatide ja punktiga suvaliste koordinaatidega. Arvutame kõverjoonelise integraali piki katkendlikku joont, mis koosneb kahest neid punkte ühendavast lõigust, kusjuures üks segment on teljega paralleelne ja teine ​​teljega. Siis . (Vt joonis 11.4)

Võrrand.

Võrrand.

Saame: Olles arvutanud mõlemad integraalid, saame vastuses kindla funktsiooni .

b) Nüüd arvutame sama integraali Newtoni-Leibnizi valemi abil.

Nüüd võrdleme kahte sama integraali arvutamise tulemust. Funktsionaalne osa punkti a vastus on vajalik funktsioon , ja numbriline osa on selle väärtus punktis .

Näide 11.3. Teeme kindlaks, et väljend
on mõne funktsiooni summaarne erinevus ja me leiame ta. Kontrollime näite 11.2 arvutamise tulemusi Newtoni-Leibnizi valemi abil.

Lahendus. Funktsiooni olemasolu tingimus (11.2) kontrolliti eelmises näites. Leiame selle funktsiooni, mille jaoks kasutame joonist 11.4, ja võtame selle jaoks punkt . Koostame ja arvutame integraali piki katkendjoont DIA, Kus :

Nagu eespool mainitud, on tulemuseks oleva avaldise funktsionaalne osa soovitud funktsioon
.

Kontrollime näite 11.2 arvutuste tulemust Newtoni-Leibnizi valemi abil:

Tulemused olid samad.

kommenteerida. Kõik vaadeldud väited kehtivad ka ruumilise juhtumi puhul, kuid koos suur summa tingimused.

Olgu tükkhaaval sujuv kõver ruumis mingisse piirkonda kuuluv . Siis, kui funktsioonid ja nende osatuletised on pidevad suletud piirkonnas, kus punktid on antud Ja , Ja
(11.5 ), See

a) avaldis on mõne funktsiooni kogudiferentsiaal ,

b) mõne funktsiooni kogudiferentsiaali kõverjooneline integraal ei sõltu tee kujust ja

c) valem kehtib Newton-Leibniz .(11.6 )

Näide 11.4. Veenduge, et avaldis oleks mõne funktsiooni täielik diferentsiaal ja me leiame ta.

Lahendus. Et vastata küsimusele, kas see väljend mõne funktsiooni kogudiferentsiaal , arvutame funktsioonide osatuletised, ,
. (cm. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

Need funktsioonid on pidevad koos nende osaliste tuletistega mis tahes ruumipunktis .

Näeme, et vajalik ja piisavad tingimused olemasolu : , , , jne.

Funktsiooni arvutamiseks Kasutame ära asjaolu, et lineaarne integraal ei sõltu integratsiooniteest ja seda saab arvutada Newtoni-Leibnizi valemi abil. Olgu punkt - tee algus ja mingi punkt - tee lõpp . Arvutame integraali

piki kontuuri, mis koosneb koordinaattelgedega paralleelsetest sirgetest segmentidest. (vt joonis 11.5).

.

Joonis 11.5

Kontuuriosade võrrandid: , ,
.

Siis

, x siin parandatud, nii et ,

, salvestatud siin y, Sellepärast .

Selle tulemusena saame: .

Nüüd arvutame sama integraali Newtoni-Leibnizi valemi abil.

Võrdleme tulemusi: .

Saadud võrdsusest järeldub, et , ja

12. õppetund.

Esimest tüüpi pinnaintegraal: määratlus, põhiomadused. Esimest tüüpi pinnaintegraali arvutamise reeglid kasutades kahekordne integraal. Esimest tüüpi pindintegraali rakendused: pindala, materjali pinna mass, staatilised momendid umbes koordinaattasandid, inertsmomendid ja raskuskeskme koordinaadid. OL-1 ptk.6, OL 2 ptk.3, OL-4§ 11.

Harjuta: OL-6 nr 2347, 2352, 2353 või OL-5 nr 10.62, 65, 67.

Kodutöö 12. õppetunni jaoks:

OL-6 nr 2348, 2354 või OL-5 nr 10.63, 64, 68.

Mahu on mugavam arvutada silindrilistes koordinaatides. Piirkonda D, koonust ja paraboloidi piirava ringi võrrand

võtame vastavalt kujul ρ = 2, z = ρ, z = 6 − ρ 2. Võttes arvesse asjaolu, et see keha on xOz ja yOz tasandite suhtes sümmeetriline. meil on

	6− ρ 2
V = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ z				6 ρ − ρ 2 d ρ =

4 ∫ d ϕ∫ (6 ρ − ρ3 − ρ2 ) d ρ =

2 d ϕ =

4 ∫ 2 (3 ρ 2 −

∫ 2 d ϕ =

32π

Kui te ignoreerite sümmeetriat, siis

6− ρ 2

32π

V = ∫

dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz =

3. KURVILINE INTEGRAALID

Üldistame kindla integraali mõiste juhuks, kui integratsiooni valdkond on teatud kõver. Selliseid integraale nimetatakse kõverjoonelisteks. Kõverajoonelisi integraale on kahte tüüpi: kõverjoonelised integraalid kaare pikkuses ja kõverjoonelised integraalid koordinaatide kohal.

3.1. Esimest tüüpi kõverjoonelise integraali definitsioon (piki kaare pikkust). Olgu funktsioon f(x,y) määratletud piki tasast tükkhaaval

sile1 kõver L, mille otsad on punktid A ja B. Jagame kõvera L meelevaldselt n osaks punktidega M 0 = A, M 1,... M n = B. Peal

Iga osakaare M i M i + 1 jaoks valime suvalise punkti (x i, y i) ja arvutame igas punktis funktsiooni f (x, y) väärtused. Summa

1 Kõverat nimetatakse siledaks, kui igas punktis on puutuja, mis muutub piki kõverat pidevalt. Tükkide kaupa sile kõver on kõver, mis koosneb lõplikust arvust siledatest tükkidest.

n-1
σ n = ∑ f (x i , y i ) ∆ l i ,

i = 0

kus ∆ l i on osakaare pikkus M i M i + 1, nn. integraalsumma

funktsiooni f(x, y) jaoks piki kõverat L. Tähistame pikkustest suurimat
osakaared M i M i + 1, i =
	0 ,n − 1 kuni λ, see tähendab, λ = max ∆ l i .
		0 ≤i ≤n −1
Kui integraalsummal (3.1) on lõplik piir I
mis kaldub nulli suurima osakaare pikkusest M i M i + 1,
ei sõltu kõvera L osakaaredeks jagamise meetodist ega ka sellest

punktide valik (x i, y i), siis seda piiri kutsutakse esimest tüüpi kõverjooneline integraal (kõverjooneline integraal piki kaare pikkust) funktsioonist f (x, y) piki kõverat L ja tähistatakse sümboliga ∫ f (x, y) dl.

Seega definitsiooni järgi
n-1
I = lim ∑ f (xi , yi ) ∆ li = ∫ f (x, y) dl.
λ → 0 i = 0

Sel juhul kutsutakse välja funktsioon f(x, y). integreeritav piki kõverat L,

kõver L = AB on integratsiooni kontuur, A on algpunkt ja B on integreerimise lõpppunkt, dl on kaare pikkuse element.

Märkus 3.1. Kui punktis (3.2) paneme f (x, y) ≡ 1 (x, y) L jaoks, siis

saame kaare L pikkuse avaldise esimest tüüpi kõverjoonelise integraali kujul

l = ∫ dl.

Tõepoolest, kõverjoonelise integraali definitsioonist järeldub, et
	dl = lim n − 1
		∆l	Lim l = l .
	λ → 0 ∑		λ→ 0
	i = 0
3.2. Esimest tüüpi kõverjoonelise integraali põhiomadused
on sarnased kindla integraali omadustega:
1 o. ∫ [ f1 (x, y) ± f2 (x, y) ] dl = ∫ f1 (x, y) dl ± ∫ f2 (x, y) dl.
2 o. ∫ cf (x, y) dl = c ∫ f (x, y) dl, kus c on konstant.
				ja L, mitte
3 o. Kui integratsioonisilmus L on jagatud kaheks osaks L

millel on siis ühised sisemised punktid

∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl + ∫ f (x, y)dl.

4 o Märgime eriti, et esimest tüüpi kõverjoonelise integraali väärtus ei sõltu integreerimise suunast, kuna funktsiooni f (x, y) väärtused on

suvalised punktid ja osakaare pikkused ∆ l i , mis on positiivsed,

olenemata sellest, millist kõvera punkti AB loetakse esialgseks ja kumba lõppu, st

	f (x, y) dl = ∫ f (x, y) dl .
3.3. Esimest tüüpi kõverjoonelise integraali arvutamine
taandub kindlate integraalide arvutamiseks.
	x= x(t)
Laske kõveral L antud parameetriliste võrranditega		y=y(t)

Olgu α ja β parameetri t väärtused, mis vastavad algusele (punkt A) ja

lõpp (punkt B)

[α , β ]

x(t), y(t) ja

derivaadid

x (t), y (t)

Pidev

f(x, y) -

on pidev piki kõverat L. Diferentsiaalarvutuse käigust

ühe muutuja funktsioonid on teada, et

dl = (x(t))

+ (y(t))

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(t), y(t))

(x(t)

+ (y(t))

∫ x2 dl,

Näide 3.1.

Arvutama

ring

x= a cos t

0 ≤ t ≤

y = patt t

Lahendus. Kuna x (t) = − a sin t, y (t) = a cos t, siis

dl =

(− a sin t) 2 + (a cos t) 2 dt = a2 sin 2 t + cos 2 tdt = adt

ja valemist (3.4) saame

Cos 2t )dt =

patt 2t

∫ x2 dl = ∫ a2 cos 2 t adt = a

3 ∫

πa 3

sinπ

L on antud

võrrand

y = y(x) ,

a ≤ x ≤ b

y(x)

on pidev koos selle tuletisega y

(x) kui a ≤ x ≤ b, siis

dl =

1+(y(x))

ja valem (3.4) võtab kuju

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x, y(x))

(y(x))

L on antud

x = x(y), c ≤ y ≤ d

x(y)

võrrand

on pidev koos oma tuletisega x (y), kui c ≤ y ≤ d, siis

dl =

1+(x(y))

ja valem (3.4) võtab kuju

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(y), y)

1 + (x(y))

Näide 3.2. Arvutage ∫ ydl, kus L on parabooli kaar

2 x alates

punktist A (0,0) punktini B (2,2).

Lahendus. Arvutame integraali kahel viisil, kasutades

valemid (3.5) ja (3.6)

1) Kasutame valemit (3.5). Sest

2x (y ≥ 0), y ′

2 x =

2 x

dl =

1+2 x dx,

3 / 2 2

1 (5

3 2 − 1) .

∫ ydl = ∫

2 x + 1 dx = ∫ (2 x + 1) 1/2 dx =

1 (2x + 1)

2) Kasutame valemit (3.6). Sest

x = 2, x

Y, dl

1 + y

		y 1 + y 2 dy =		(1 + a				/ 2 2
∫ ydl = ∫
				3 / 2

1 3 (5 5 − 1).

Märkus 3.2. Sarnaselt käsitletuga saame kasutusele võtta esimest tüüpi funktsiooni f (x, y, z) kõverjoonelise integraali mõiste.

ruumiline tükkhaaval sile kõver L:

Kui kõver L on antud parameetriliste võrranditega

α ≤ t ≤ β, siis

dl =

(x(t))

(y(t))

(z(t))

∫ f (x, y, z) dl =

= ∫

dt.

f (x (t), y (t), z (t)) (x (t))

(y(t))

(z(t))

x= x(t) , y= y(t)

z = z(t)

Näide 3.3. Arvutage ∫ (2 z − x 2 + y 2 ) dl , kus L on kõvera kaar

x= t kulu t	0 ≤ t ≤ 2 π.
y = t sin t
z = t
	x′ = maksumus − t sint, y′ = sint + t maksumus, z′ = 1,
	dl =	(cos t − t sin t)2 + (sin t + t cos t)2 + 1 dt =

Cos2 t − 2 t sin t kulu + t2 sin2 t + sin2 t + 2 t sin t kulu + t2 cos2 t + 1 dt =

2 + t2 dt .

Nüüd on meil valemi (3.7) järgi

∫ (2z −

x2 + y2 ) dl = ∫ (2 t −

t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t )

2 + t 2 dt =

T2)

= ∫

t2+t

dt =

4π

− 2 2

silindriline

pinnad,

mis koosneb perpendikulaaridest

xOy lennuk,

punktides taastatud

(x, y)

L = AB

ja millel on

tähistab muutuva lineaartihedusega ρ(x, y) kõvera L massi

mille joontihedus muutub vastavalt seadusele ρ (x, y) = 2 y.

Lahendus. Kaare AB massi arvutamiseks kasutame valemit (3.8). Kaar AB on antud parameetriliselt, seega kasutame integraali (3.8) arvutamiseks valemit (3.4). Sest

1+t

dt,

x (t) = 1, y (t) = t, dl =

3/ 2 1

1 (1+ t

m = ∫ 2 ydl = ∫

1 2 + t2 dt = ∫ t 1 + t2 dt =

(2 3 / 2 −

1) =

2 2 − 1.

3.4. Teist tüüpi kõverjoonelise integraali definitsioon (by

koordinaadid). Laske funktsioonil

f(x, y) on defineeritud piki tasapinda

tükkhaaval sile kõver L, mille otsad on punktid A ja B. Jällegi

meelevaldne

murrame ära

kõver L

M 0 = A , M 1 ,... M n = B Valime ka sees

iga osaline

kaared M i M i + 1

suvaline punkt

(xi, yi)

ja arvutada

Parameetriliste võrranditega määratletud kõverat AB nimetatakse siledaks, kui funktsioonidel ja on lõigul pidevad tuletised ja kui lõpul arvul lõigu punktidel neid tuletisi ei eksisteeri või need kaovad samaaegselt, siis nimetatakse kõverat tükkhaaval siledaks. Olgu AB tasane kõver, sile või tükkide kaupa sile. Olgu f(M) funktsioon, mis on defineeritud kõveral AB või mõnes seda kõverat sisaldavas domeenis D. Vaatleme kõvera A B jagamist osadeks punktide kaupa (joonis 1). Valime igal kaarel A^At+i suvalise punkti Mk ja koostame summa, kus Alt on kaare pikkus ja nimetame seda funktsiooni f(M) integraalsummaks kaare pikkuse ulatuses. kõver. Olgu D / suurim osakaare pikkustest, st 1. tüüpi kõverjooneliste integraalide omadused ruumikõverate jaoks 2. tüüpi kõverjoonte integraalid Kõverajoonelise integraali arvutamine Omadused Definitsioonide vaheline seos. Kui integraalsummal (I) on lõplik piir, mis ei sõltu kõvera AB osadeks jagamise meetodist ega punktide valikust partitsiooni igal kaarel, siis nimetatakse seda piiri kõverjooneliseks integraaliks. funktsiooni f(M) \-ndat tüüpi üle kõvera AB (kõvera kaare pikkuse integraal) ja seda tähistatakse sümboliga Sel juhul nimetatakse funktsiooni /(M) integreeritavaks piki kõverat. kõver ABU, kõverat A B nimetatakse integratsiooni kontuuriks, A on alguspunkt, B on integreerimise lõpp-punkt. Seega definitsiooni järgi näide 1. Olgu muutuva lineaartihedusega J(M) mass jaotunud mööda mingit sujuvat kõverat L. Leidke kõvera L mass m. (2) Jagame kõvera L n suvaliseks osaks) ja arvutame ligikaudselt iga osa massi, eeldades, et iga osa tihedus on konstantne ja võrdne tihedusega selle mis tahes punktis , näiteks äärmises vasakpoolses punktis /(Af*). Siis summa ksh, kus D/d on D-nda osa pikkus, on massi m ligikaudne väärtus. On selge, et mida väiksem on kõvera L partitsioon, seda väiksema vea saame kogu kõvera L mass, s.o. Parempoolne piir on aga 1. tüüpi kõverjooneline integraal. Niisiis, 1.1. 1. tüüpi kõverjoonelise integraali olemasolu Võtame kõvera AB parameetriks kaare I pikkuse, mõõdetuna lähtepunktist A (joonis 2). Seejärel saab AB kõverat kirjeldada võrranditega (3), kus L on AB kõvera pikkus. Võrrandeid (3) nimetatakse AB kõvera naturaalvõrranditeks. Naturaalvõrranditele üleminekul taandatakse kõveral AB defineeritud funktsioon f(x) y muutuja I funktsiooniks: / (x(1)) y(1)). Olles tähistanud punktile Mku vastava parameetri I väärtusega, kirjutame integraalsumma (I) ümber kujul See on integraalsumma, mis vastab kindel integraal Kuna integraalsummad (1) ja (4) on omavahel võrdsed, on ka vastavad integraalid võrdsed. Seega (5) Teoreem 1. Kui funktsioon /(M) on pidev piki sujuvat kõverat AB, siis on olemas kõverjooneline integraal (kuna nendel tingimustel on võrduses (5) paremal kindel integraal). 1.2. 1. tüüpi kõverjooneliste integraalide omadused 1. Integraalsumma (1) vormist järeldub, et s.o. 1. tüüpi kõverjoonelise integraali väärtus ei sõltu lõimimissuunast. 2. Lineaarsus. Kui iga funktsiooni /() jaoks on kõverjooneline integraal piki kõverat ABt, siis funktsiooni a/ puhul, kus a ja /3 on suvalised konstandid, on olemas ka kõverjooneline integraal piki kõverat AB> ja 3. Liituvus . Kui kõver AB koosneb kahest tükist ja funktsiooni /(M) jaoks on kõverjooneline integraal ABU kohal, siis on integraalid 4-ga. Kui kõveral AB on 0, siis 5. Kui funktsioon on integreeritav kõveral AB , siis funktsioon || on integreeritav ka A B-l ja samal ajal b-l. Keskmine valem. Kui funktsioon / on pidev piki kõverat AB, siis sellel kõveral on punkt Mc, kus L on kõvera AB pikkus. 1.3. 1. tüüpi kõverjoonelise integraali arvutamine Olgu kõver AB antud parameetriliste võrranditega, kus punkt A vastab väärtusele t = kuni ja punkt B väärtusele. Eeldame, et funktsioonid) on pidevad koos nende tuletistega ja ebavõrdsus on täidetud. Seejärel arvutatakse kõvera kaare diferentsiaal Täpsemalt, kui kõver AB on antud eksplitsiitse võrrandiga diferentseeruv [a, b] peal ja punkt A vastab väärtusele x = a ja punkt B - väärtus x = 6, siis, võttes parameetriks x, saame 1,4. Ruumikõverate 1. tüüpi kõverjoonelised integraalid Ülalpool tasapinnalise kõvera jaoks sõnastatud 1. tüüpi kõverjoonelise integraali definitsioon on sõna otseses mõttes üle antud juhul, kui funktsioon f(M) on antud mööda mõnda ruumikõverat AB. Olgu kõver AB antud parameetriliste võrranditega 1. tüüpi kõverjooneliste integraalide omadused ruumikõveratele 2. tüüpi kõverjoonelised integraalid Kõverajoonelise integraali arvutamine Omadused Seos vahel Siis saab piki seda kõverat võetud kõverjoonelise integraali taandada kindlaks integraaliks kasutades järgmine valem: Näide 2. Arvutage kõverjooneline integraal, kus L on punktis* asuvate tippudega kolmnurga kontuur (joonis 3). Aditiivsuse omaduse järgi saame arvutada iga integraali eraldi. Kuna segmendil OA on meil: , siis segmendil AN on meil, kus ja siis Joon. Lõpetuseks, Seetõttu märkige. Integraalide arvutamisel kasutasime omadust 1, mille järgi. 2. tüüpi kõverjoonelised integraalid Olgu A B sujuv või tükkhaaval sujuv orienteeritud kõver xOy tasapinnal ja vektorfunktsioon, mis on defineeritud mõnes kõverat AB sisaldavas domeenis D. Jagame kõvera AB osadeks punktidega, mille koordinaate tähistame vastavalt (joonis 4). Igal elementaarkaarel AkAk+\ võtame suvalise punkti ja teeme summa, milleks on suurima kaare pikkus. Kui summal (1) on lõplik piir, mis ei sõltu ei kõvera AB jaotusmeetodist ega punktide valikust rjk) elementaarkaaredel, siis nimetatakse seda piiri vektori 2-linna kõverjooneliseks integraaliks. funktsioon piki kõverat AB ja on tähistatud sümboliga Nii definitsiooni järgi Lause 2. Kui mõnes kõverat AB sisaldavas domeenis D on funktsioonid pidevad, siis eksisteerib 2-linna kõverjooneline integraal. Olgu punkti M(x, y) raadiuse vektor. Siis saab integrandi valemis (2) esitada kujul dot toode vektorid F(M) ja dr. Seega saab kõvera AB 2. tüüpi vektorfunktsiooni integraali lühidalt kirjutada järgmiselt: 2.1. 2. tüüpi kõverjoonelise integraali arvutamine Olgu kõver AB määratletud parameetriliste võrranditega, kus funktsioonid on pidevad koos tuletistega segmendil ja parameetri t muutus t0-st t\-ni vastab a liikumisele. punkt piki punkti A kõverat AB punkti B. Kui mõnes piirkonnas D, mis sisaldab kõverat AB, on funktsioonid pidevad, siis taandatakse 2. tüüpi kõverjooneline integraal järgmiseks kindlaks integraaliks: Seega arvutatakse 2. tüüpi kõverjoonelise integraali saab taandada ka kindla integraali arvutamiseks. O) Näide 1. Arvutage integraal piki punkte ühendavat sirge lõiku 2) piki samu punkte ühendavat parabooli) Sirgeparameetri võrrand, kust So 2) Sirge AB võrrand: Siit seega Vaadeldav näide määrib, et 2. tüüpi kõvera integraali väärtus sõltub üldiselt integratsioonitee kujust. 2.2. 2. tüüpi kõverjoonelise integraali omadused 1. Lineaarsus. Kui ruumikõverate jaoks on olemas 1. tüüpi kõverjooneliste integraalide omadused 2. tüüpi kõverjoonelised integraalid Kõverajoonelise integraali arvutamine Omadused Seos siis iga reaalse a ja /5 korral on integraal, kus 2. Additenost. Kui kõver AB on jagatud osadeks AC ja SB ning on olemas kõverjooneline integraal, siis on olemas ka 2. tüüpi kõverjoonelise integraali füüsikalise tõlgenduse viimane omadus jõuväli F mööda teatud rada: kui liikumissuund piki kõverat muutub, muutub jõuvälja töö mööda seda kõverat märki vastupidiseks. 2.3. Seos 1. ja 2. tüüpi kõverjooneliste integraalide vahel Vaatleme 2. tüüpi kõverjoonelist integraali, kus orienteeritud kõver AB (A on alguspunkt, B on lõpp-punkt) on antud vektorvõrrandiga (siin I on kõverjoone pikkus). kõver mõõdetuna suunas, kuhu AB kõver on orienteeritud) (joonis 6). Siis dr või kus r = m(1) on kõvera AB puutuja ühikvektor punktis M(1). Seejärel pange tähele, et selle valemi viimane integraal on 1. tüüpi kõverjooneline integraal. Kui kõvera AB orientatsioon muutub, asendatakse puutuja r ühikvektor vastupidise vektoriga (-r), mis toob kaasa selle integrandi märgi ja seega ka integraali enda märgi muutumise. Saidi navigeerimine Tervis Psühholoogia Suhe Töö Meelelahutus Viimased artiklid Osip Emilievich Mandelstam, lühike elulugu Osip Mandelstami elulugu kuupäevade järgi Täishäälikute ja kaashäälikute klassifikatsioon Mis juhtus Stalini poja Jakov Džugašviliga vangistuses Kui Jakov Stalin sündis Luuletuse "Pronksratsutaja" loomise ajalugu ja analüüs A Feodaalid olid oma sotsiaalselt staatuselt väikesed ja suured ning seisid erinevatel sotsiaalsetel tasanditel