Hansı növ ədədlər, anlayışlar və əməliyyatlar var? Həqiqi ədədlər, rasional ədədlər və irrasional ədədlər Natural ədədlər hərflə təmsil olunur

Həqiqi ədəd anlayışı: real rəqəm- (həqiqi ədəd), hər hansı qeyri-mənfi və ya mənfi ədəd və ya sıfır. Həqiqi ədədlər hər bir fiziki kəmiyyətin ölçülərini ifadə etmək üçün istifadə olunur.

Real, və ya real rəqəm dünyanın həndəsi və fiziki kəmiyyətlərini ölçmək zərurətindən yaranmışdır. Bundan əlavə, kök çıxarma əməliyyatlarının yerinə yetirilməsi, loqarifmlərin hesablanması, cəbri tənliklərin həlli və s.

Təbii ədədlər hesablamanın inkişafı ilə, rasional ədədlər isə tamın hissələrini idarə etmək ehtiyacı ilə formalaşdı, sonra davamlı kəmiyyətləri ölçmək üçün həqiqi ədədlərdən (real) istifadə olunur. Beləliklə, hesab edilən ədədlər fondunun genişlənməsi rasional ədədlərdən əlavə, digər elementlərdən ibarət olan həqiqi ədədlər çoxluğuna səbəb oldu. irrasional ədədlər.

Həqiqi ədədlər toplusu(ifadə olunur R) birlikdə yığılmış rasional və irrasional ədədlər çoxluğudur.

Həqiqi ədədlər bölünürrasional Və irrasional.

Həqiqi ədədlər çoxluğu işarələnir və tez-tez çağırılır real və ya nömrə xətti. Həqiqi ədədlər sadə obyektlərdən ibarətdir: bütöv Və rasional ədədlər.

Nisbət kimi yazıla bilən ədəd, haradam tam ədəddir və n- natural ədəddirrasional ədəd.

İstənilən rasional ədəd asanlıqla sonlu kəsr və ya sonsuz dövri onluq kəsr kimi təqdim edilə bilər.

Misal,

Sonsuz onluq, ondalık kəsrdən sonra sonsuz sayda rəqəmi olan onluq kəsrdir.

Formada göstərilə bilməyən nömrələrdir irrasional ədədlər.

Misal:

İstənilən irrasional ədəd asanlıqla sonsuz qeyri-dövri onluq kəsr kimi təqdim edilə bilər.

Misal,

Rasional və irrasional ədədlər yaradır həqiqi ədədlər toplusu. Bütün həqiqi ədədlər koordinat xəttinin bir nöqtəsinə uyğun gəlir, bu nöqtə deyilir nömrə xətti.

Ədədi çoxluqlar üçün aşağıdakı qeydlərdən istifadə olunur:

N- natural ədədlər çoxluğu;
Z- tam ədədlər çoxluğu;
Q- rasional ədədlər çoxluğu;
R- həqiqi ədədlər toplusu.

Sonsuz onluq kəsrlər nəzəriyyəsi.

Həqiqi ədəd kimi müəyyən edilir sonsuz onluq, yəni:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

burada ± + və ya - simvollarından biridir, ədəd işarəsidir,

0 müsbət tam ədəddir,

a 1 , a 2 ,…a n ,… onluq yerlərin ardıcıllığıdır, yəni. ədədi çoxluğun elementləri {0,1,…9}.

Sonsuz onluq kəsr say xəttində rasional nöqtələr arasında yerləşən ədəd kimi izah edilə bilər:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n Və ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) hamı üçün n=0,1,2,…

Həqiqi ədədlərin sonsuz onluq kəsrlər kimi müqayisəsi yerlər üzrə baş verir. Misal üçün, tutaq ki, bizə 2 müsbət ədəd verilib:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Əgər 0 0, Bu α<β ; Əgər a 0 >b 0 Bu α>β . Nə vaxt a 0 = b 0 Növbəti kateqoriyanın müqayisəsinə keçək. və s. Nə vaxt α≠β , bu o deməkdir ki, sonlu sayda addımlardan sonra ilk rəqəmlə qarşılaşacaq n, belə a n ≠b n. Əgər a n n, Bu α<β ; Əgər a n >b n Bu α>β .

Amma rəqəmin olmasına diqqət yetirmək yorucudur a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Buna görə də, müəyyən rəqəmdən başlayaraq müqayisə edilən ədədlərdən birinin qeydi dövrdə 9 olan dövri onluq kəsrdirsə, o zaman dövr ərzində sıfır olan ekvivalent qeydlə əvəz edilməlidir.

Sonsuz onluq kəsrlərlə arifmetik əməliyyatlar rasional ədədlərlə müvafiq əməliyyatların davamlı davamıdır. Misal üçün, həqiqi ədədlərin cəmi α Və β real rəqəmdir α+β , aşağıdakı şərtlərə cavab verir:

∀ a′,a′′,b′,b′∈ Q(a'⩽ α ⩽ a′′)∧ (b'⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a'+b'⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Sonsuz onluq kəsrlərin vurulması əməliyyatı da eyni şəkildə müəyyən edilir.

Rəqəmlər – ədədlərin növləri, anlayışları və əməliyyatları, natural və digər ədəd növləri.

Rəqəm riyaziyyatın əsas anlayışıdır, cisimlərin və onların hissələrinin kəmiyyət xüsusiyyətlərini, nömrələnməsini, müqayisəsini təyin etmək üçün istifadə olunur. Ədədlərə müxtəlif arifmetik əməliyyatlar tətbiq olunur: toplama, çıxma, vurma, bölmə, eksponentasiya və s.

Əməliyyatda iştirak edən nömrələrə operandlar deyilir. Görülən hərəkətdən asılı olaraq müxtəlif adlar alırlar. Ümumiyyətlə, əməliyyat sxemi aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

Bölmə əməliyyatında birinci operand dividend adlanır (bu, bölünən ədədin adıdır). İkincisi (bölündükləri) böləndir, nəticə isə bölgüdür (dividentin böləndən neçə dəfə böyük olduğunu göstərir).

Rəqəmlərin növləri

Bölmə əməliyyatına müxtəlif nömrələr cəlb oluna bilər. Bölmənin nəticəsi tam və ya kəsr ola bilər. Riyaziyyatda aşağıdakı nömrə növləri var:

Natural ədədlər saymaqda istifadə olunan ədədlərdir. Onların arasında yalnız iki bölücü olan sadə ədədlərin alt çoxluğu fərqlənir: bir və özü. 1-dən başqa bütün digərləri mürəkkəb adlanır və ikidən çox bölücüyə malikdir (sadə ədədlərə misallar: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 və s.);
Tam ədədlər mənfi, müsbət ədədlər və sıfırdan ibarət çoxluqdur. Bir tam ədədi digərinə bölən zaman bölmə tam və ya həqiqi (kəsr) ola bilər. Onların arasında mükəmməl ədədlərin alt çoxluğunu ayırd edə bilərik - özləri istisna olmaqla, onların bütün bölənlərinin cəminə bərabər (1 daxil olmaqla). Qədim yunanlar yalnız dörd mükəmməl rəqəm bilirdilər. Mükəmməl ədədlərin ardıcıllığı: 6, 28, 496, 8128, 33550336... Hələlik tək tək mükəmməl ədəd belə məlum deyil;
Rasional - a/b kəsr kimi təmsil oluna bilər, burada a say, b isə məxrəcdir (belə ədədlərin nisbəti adətən hesablanmır);
Real (real) – tam və kəsr hissədən ibarət. Dəstə rasional və irrasional ədədlər daxildir (dövri olmayan sonsuz onluq kəsr kimi təmsil olunur). Belə ədədlərin nisbəti adətən real dəyərdir.

Arifmetik əməliyyatın yerinə yetirilməsi ilə bağlı bir neçə xüsusiyyət var - bölmə. Düzgün nəticə əldə etmək üçün bunları başa düşmək vacibdir:

Sıfıra bölmək olmaz (riyaziyyatda bu əməliyyatın mənası yoxdur);
Tam ədədin bölünməsi əməliyyatdır ki, bunun nəticəsində yalnız tam hissə hesablanır (kəsir hissə atılır);
Tam bölmənin qalığını hesablamaq nəticədə əməliyyat başa çatdıqdan sonra qalan tam ədədi əldə etməyə imkan verir (məsələn, 17-ni 2-yə bölərkən, tam hissə 8, qalan 1-dir).

Verilmiş absis ilə ədəd çevrəsindəki nöqtələri tapın. Koordinatlar. Nöqtə koordinatlarının xassəsi. Say dairəsinin mərkəzi. Dairədən triqonometrə. Rəqəm dairəsində nöqtələri tapın. Absis ilə nöqtələr. Triqonometr. Rəqəm dairəsində bir nöqtə qeyd edin. Koordinat müstəvisində ədəd çevrəsi. Nömrə dairəsi. Ordinat ilə nöqtələr. Nöqtənin koordinatını verin. Nöqtənin xəttini və koordinatını adlandırın.

““Törəmələr” 10-cu sinif cəbri” - Törəmələrin funksiyaların öyrənilməsində tətbiqi. Törəmə sıfırdır. Nöqtələri tapın. Məlumatı ümumiləşdirək. Funksiyanın monotonluğunun təbiəti. Törəmənin funksiyaların öyrənilməsində tətbiqi. Nəzəri istiləşmə. Bəyanatları tamamlayın. Düzgün ifadəni seçin. Teorem. Müqayisə et. Törəmə müsbətdir. Teoremlərin düsturlarını müqayisə edin. Funksiya artır. Ekstremum üçün kifayət qədər şərait.

""Triqonometrik tənliklər" 10-cu sinif" - intervaldan olan dəyərlər. X = qara x. Kökləri təmin edin. Bərabərlik doğrudurmu? Köklər seriyası. Tənlik çarpayısı t = a. Tərif. Çünki 4x. Tənliyin köklərini tapın. tg t = a tənliyi. Günah x. İfadə məna verirmi? Günah x =1. Heç vaxt bilmədiyiniz şeyi etməyin. Cümləni davam etdirin. Köklərdən bir nümunə götürək. Tənliyi həll edin. Ctg x = 1. Triqonometrik tənliklər. tənlik.

“Cəbr “Törəmələr”” - Tangens tənliyi. Terminlərin mənşəyi. Problemi həll edin. törəmə. Maddi nöqtə. Fərqləndirmə düsturları. Törəmənin mexaniki mənası. Qiymətləndirmə meyarı. Törəmə funksiyası. Funksiya qrafikinə tangens. Törəmənin tərifi. Funksiya qrafikinə tangensin tənliyi. Törəmə tapmaq alqoritmi. Törəmə tapmaq nümunəsi. Mövzunun öyrənilməsinin strukturu. Nöqtə düz bir xətt üzrə hərəkət edir.

"Ən qısa yol" - Diqrafdakı yol. İki fərqli qrafikin nümunəsi. İstiqamətləndirilmiş qrafiklər. İstiqamətləndirilmiş qrafiklərin nümunələri. Əlçatanlıq. A təpəsindən D təpəsinə ən qısa yol. Alqoritmin təsviri. İerarxik siyahının üstünlükləri. Çəkili qrafiklər. Qrafikdə yol. ProGraph proqramı. Bitişik təpələr və kənarlar. Yüksək dərəcə. Qonşuluq matrisi. Çəkili qrafikdə yolun uzunluğu. Qonşuluq matrisinin nümunəsi. Ən qısa yolu tapmaq.

"Triqonometriyanın tarixi" - Jacob Bernoulli. Triqonometrik funksiyalarla işləmə üsulları. Çoxüzlülərin ölçülməsi doktrinası. Leonard Euler. 16-cı əsrdən bu günə qədər triqonometriyanın inkişafı. Tələbə üç dəfə triqonometriya ilə qarşılaşmalıdır. İndiyə qədər triqonometriya formalaşmış və inkişaf etmişdir. Triqonometrik və əlaqəli biliklərin ümumi sisteminin qurulması. Vaxt keçir, triqonometriya məktəblilərə qayıdır.

Sayarkən istifadə olunan rəqəmlər bunlardır: 1, 2, 3... və s.

Sıfır təbii deyil.

Natural ədədlər adətən simvolla işarələnir N.

Tam ədədlər. Müsbət və mənfi ədədlər

Bir-birindən yalnız işarəsi ilə fərqlənən iki ədəd çağırılır əks məsələn, +1 və -1, +5 və -5. “+” işarəsi adətən yazılmır, lakin rəqəmin qarşısında “+” işarəsi olduğu güman edilir. Belə nömrələr deyilir müsbət. Önündə "-" işarəsi olan nömrələr çağırılır mənfi.

Natural ədədlər, onların əksləri və sıfır tam ədədlər adlanır. Tam ədədlər çoxluğu simvolla işarələnir Z.

Rasional ədədlər

Bunlar sonlu fraksiyalar və sonsuz dövri kəsrlərdir. Misal üçün,

Rasional ədədlər çoxluğu işarələnmişdir Q. Bütün tam ədədlər rasionaldır.

İrrasional ədədlər

Sonsuz qeyri-dövri kəsrə irrasional ədəd deyilir. Misal üçün:

İrrasional ədədlər çoxluğu işarələnmişdir J.

Həqiqi rəqəmlər

Bütün rasional və bütün irrasional ədədlərin çoxluğuna deyilir real dəst (real) nömrələri.

Həqiqi ədədlər simvolla təmsil olunur R.

Yuvarlaqlaşdırma nömrələri

Nömrəni nəzərə alın 8,759123... . Ən yaxın tam ədədə yuvarlaqlaşdırma ədədin yalnız onluq nöqtədən əvvəl olan hissəsini yazmaq deməkdir. Onluğa yuvarlaqlaşdırma bütün hissəni və onluq nöqtədən sonra bir rəqəmi yazmaq deməkdir; ən yaxın yüzliyə yuvarlaqlaşdırılır - ondalık nöqtədən sonra iki rəqəm; mində qədər - üç rəqəm və s.

Nömrə nədir? NÖMRƏ riyaziyyatın əsas anlayışlarından biridir, o, qədim zamanlarda yaranıb və getdikcə genişlənir və ümumiləşir. Ayrı-ayrı cisimlərin sayılması ilə əlaqədar olaraq müsbət tam (təbii) ədədlər anlayışı yarandı, sonra isə təbii ədədlər seriyasının hüdudsuzluğu ideyası yarandı: 1, 2, 3. Natural ədədlər istifadə olunan ədədlərdir. obyektlərin sayılması. 1

Hekayə. Qədim insanların düşərgəsinin qazıntıları zamanı 30 min il əvvəl bəzi qədim ovçuların əlli beş çentik düzəltdiyi bir canavar sümüyü tapıldı. Aydındır ki, bu çentikləri düzəldərkən barmaqları ilə hesab edirdi. Sümükdəki naxış hər birində beş çentik olan on bir qrupdan ibarət idi. Eyni zamanda, o, uzun bir xətt ilə ilk beş qrupu digərlərindən ayırdı. Həmçinin Sibirdə və başqa yerlərdə eyni uzaq dövrdə hazırlanmış daş alətlər və bəzək əşyaları tapılmışdır ki, onların da 3, 5 və ya 7 qrupda toplanmış xətləri və nöqtələri var idi.Keltlər 2500 il əvvəl Avropada yaşamış qədim xalqdır. , fransızların və ingilislərin əcdadları olduqları üçün iyirmilər hesab olunurdular (iki qol və iki ayaq iyirmi barmaq verirdi). Bunun izləri fransızcada qalıb, burada “səksən” sözünün “dörd dəfə iyirmi” kimi səslənir. Digər xalqlar da iyirmi nəfər hesab edirdilər - danimarkalıların və hollandların, osetinlərin və gürcülərin əcdadları. 2

Cüt və tək ədədlər. Cüt ədəd 2-yə qalıqsız bölünən tam ədəddir: ..., 2, 4, 6, 8, ... Tək ədəd 2-yə qalıqsız bölünməyən tam ədəddir: ..., 1, 3, 5, 7, 9, ... Pifaqor ədədi enerji kimi təyin edir və hesab edirdi ki, ədədlər elmi ilə Kainatın sirri açılır, çünki say şeylərin sirrini ehtiva edir. Pifaqor cüt ədədləri qadın, tək ədədləri isə kişi sayırdı: 2+3=5 5 ailənin, evliliyin simvoludur. Cüt və tək ədədlər = qadın və kişi ədədləri. 4

Sadə və mürəkkəb. Sadə ədəd iki fərqli təbii faktoru olan natural ədəddir: biri və özü. Sadə ədədlərin ardıcıllığı belə başlayır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, ... Mürəkkəb ədədlər 3 və ya daha çox bölənləri olan ədədlərdir. Ədədlər nəzəriyyəsi sadə ədədlərin xassələrini öyrənir. Beləliklə, birdən böyük bütün natural ədədlər sadə və mürəkkəbə bölünür. 5

Mükəmməl və qeyri-kamil nömrələr. Mükəmməl ədədlər, onların bütün müntəzəm bölənlərinin cəminə bərabər olan müsbət tam ədədlər (yəni, bu ədəddən kiçik). Məsələn, 6 = və 28 = rəqəmləri mükəmməldir. İndiyə qədər (1976) bir dənə də olsun bayquş məlum deyil. saat və onların mövcudluğu məsələsi açıq qalır. Sov haqqında araşdırma. saatlar rəqəmlərə və onların birləşmələrinə xüsusi mistik məna verən Pifaqorçular tərəfindən başlamışdır. Pifaqor qeyri-kamil ədədləri özündən kiçik olan nizamlı bölənlərin cəmi adlandırırdı. 6

Sehrli nömrələr. Rəqəmlərin sirləri insanları cəlb edir, onları dərinləşməyə, başa düşməyə və nəticələrini işlərin həqiqi əlaqəsi ilə müqayisə etməyə məcbur edir. Qədim dünyada rəqəmlərə çox diqqətlə yanaşırdılar. Onları tanıyan adamları böyük hesab edirdilər, tanrılarla eyniləşdirirdilər. Ən sadə misal, bir çox ölkələrdə quyruq nömrəsi 13 olan təyyarələrin, mərtəbələri və “13” nömrəli otel otaqlarının olmamasıdır. 8
Magic seriyası 2 balans və kontrastın sayıdır və müsbət və mənfi keyfiyyətləri birləşdirərək sabitliyi dəstəkləyir. 6 - Etibarlılıq simvolu. Bu, həm cüt ədədə (2) həm də tək ədədə (3) bölünən mükəmməl bir ədəddir və beləliklə hər birinin elementlərini birləşdirir. 8 – Maddi uğurun sayı. Bu, ikiqat kvadratla təmsil olunduğu üçün mükəmməlliyə çatdırılan etibarlılıq deməkdir. Yarıya bölünür, bərabər hissələrə malikdir (4 və 4). Əgər daha da bölünsə, onda hissələr də bərabər olacaq (2, 2, 2, 2), dördqat tarazlıq göstərir. 9 - Ümumdünya uğur sayı, bütün rəqəmlərin ən böyüyü. 3 rəqəminin üç qatı kimi, doqquz qeyri-sabitliyi istəyə çevirir. 10