При вычислении определенного интеграла не всегда получаем точное решение. Не всегда удается представление в виде элементарной функции. Формула Ньютона-Лейбница не подходит для вычисления, поэтому необходимо использовать методы численного интегрирования. Такой метод позволяет получать данные с высокой точностью. Метод Симпсона является таковым.

Для этого необходимо дать графическое представление выведению формулы. Далее идет запись оценки абсолютной погрешности при помощи метода Симпсона. В заключении произведем сравнение трех методов: Симпсона, прямоугольников, трапеций.

Метод парабол – суть, формула, оценка, погрешности, иллюстрации

Задана функция вида y = f (x) , имеющая непрерывность на интервале [ a ; b ] , необходимо произвести вычисление определенного интеграла ∫ a b f (x) d x

Необходимо разбить отрезок [ a ; b ] на n отрезков вида x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n с длиной 2 h = b - a n и точками a = x 0 < x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Каждый интервал x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n подынтегральной функции приближен при помощи параболы, заданной y = a i x 2 + b i x + c i , проходящей через точки с координатами x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) . Поэтому метод и имеет такое название.

Данные действия выполняются для того, чтобы интеграл ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x взять в качестве приближенного значения ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Можем вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница. Это и есть суть метода парабол.Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

При помощи красной линии изображается график функции y = f (x) , синей – приближение графика y = f (x) при помощи квадратичных парабол.

Исходя из пятого свойства определенного интеграла получаем ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Для того чтобы получить формулу методом парабол, необходимо произвести вычисление:

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Пусть x 2 i - 2 = 0 . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Изобразим, что через точки с координатами x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) может проходить одна квадратичная парабола вида y = a i x 2 + b i x + c i . Иначе говоря, необходимо доказать, что коэффициенты могут определяться только единственным способом.

Имеем, что x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) являются точками параболы, тогда каждое из представленных уравнений является справедливым. Получаем, что

a i (x 2 i - 2) 2 + b i · x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i · x 2 i - 1 + c i = f (x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i · x 2 i + c i = f (x 2 i)

Полученная система разрешается относительно a i , b i , c i , где необходимо искать определитель матрицы по Вандермонду. Получаем, что

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 , причем он считается отличным от нуля и не совпадает с точками x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Это признак того, что уравнение имеет только одно решение, тогда и выбранные коэффициенты a i ; b i ; c i могут определяться только единственным образом, тогда через точки x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) может проходить только одна парабола.

Можно переходить к нахождению интеграла ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x .

Видно, что

f (x 2 i - 2) = f (0) = a i · 0 2 + b i · 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i · h 2 + b i · h + c i f (x 2 i) = f (0) = 4 a i · h 2 + 2 b i · h + c i

Для осуществления последнего перехода необходимо использовать неравенство вида

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i

Значит, получаем формулу, используя метод парабол:

∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Определение 1

Формула метода Симпсона имеет вид ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .

Формула оценки абсолютной погрешности имеет вид δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом парабол

Метод Симпсона предполагает приближенное вычисление определенных интегралов. Чаще всего имеются два типа задач, для которых применим данный метод:

• при приближенном вычислении определенного интеграла;
• при нахождении приближенного значения с точностью δ n .

На точность вычисления влияет значение n , чем выше n , тем точнее промежуточные значения.

Пример 1

Вычислить определенный интеграл ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 при помощи метода Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение

По условию известно, что a = 0 ; b = 5 ; n = 5 , f (x) = x x 4 + 4 .

Тогда запишем формулу Симпсона в виде

∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Чтобы применить ее в полной мере, необходимо рассчитать шаг по формуле h = b - a 2 n , определить точки x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n и найти значения подынтегральной функции f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Промежуточные вычисления необходимо округлять до 5 знаков. Подставим значения и получим

h = b - a 2 n = 5 - 0 2 · 5 = 0 . 5

Найдем значение функции в точках

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≈ 0 . 12308 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0 . 00795

Наглядность и удобство оформляется в таблице, приведенной ниже

i	0	1	2	3	4	5
x i	0	0 . 5	1	1 . 5	2	2 . 5
f x i	0	0 . 12308	0 . 2	0 . 16552	0 . 1	0 . 05806

i	6	7	8	9	10
x i	3	3 . 5	4	4 . 5	5
f x i	0 . 03529	0 . 02272	0 . 01538	0 . 01087	0 . 00795

Необходимо подставить результаты в формулу метода парабол:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) = = 0 . 5 3 0 + 4 · 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Для вычисления мы выбрали определенный интеграл, который можно вычислить по Ньютону-Лейбницу. Получим:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Ответ: Результаты совпадают до сотых.

Пример 2

Вычислить неопределенный интеграл ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x при помощи метода Симпсона с точностью до 0 , 001 .

Решение

По условию имеем, что а = 0 , b = π , f (x) = sin 3 x 2 + 1 2 , δ n ≤ 0 . 001 . Необходимо определить значение n . Для этого используется формула оценки абсолютной погрешности метода Симпсона вида δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Когда найдем значение n , то неравенство m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 будет выполняться. Тогда, применив метод парабол, погрешность при вычислении не превысит 0 . 001 . Последнее неравенство примет вид

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

Теперь необходимо выяснить, какое наибольшее значение может принимать модуль четвертой производной.

f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " (x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2

Область определения f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 принадлежит интервалу - 81 16 ; 81 16 , а сам отрезок интегрирования [ 0 ; π) имеет точку экстремума, из этого следует, что m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .

Производим подстановку:

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Получили, что n – натуральное число, тогда его значение может быть равным n = 5 , 6 , 7 … для начала необходимо взять значение n = 5 .

Действия производить аналогично предыдущему примеру. Необходимо вычислить шаг. Для этого

h = b - a 2 n = π - 0 2 · 5 = π 10

Найдем узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n , тогда значение подынтегральной функции будет иметь вид

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0 . 953990 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0 . 5 7 π 10

4 π 5 9 π 10 π f (x i) 1 . 207107 0 . 809017 0 . 343566 - 0 . 087785 - 0 . 391007 - 0 . 5

Осталось подставить значения в формулу решения методом парабол и получим

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) = = π 30 · 0 , 5 + 4 · 0 . 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 · 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650

Метод Симпсона позволяет нам получать приближенное значение определенного интеграла ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237 с точностью до 0 , 001 .

При вычислении формулой Ньютона-Лейбница получим в результате

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 · 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2 . 237463

Ответ: ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

Замечание

В большинстве случаях нахождение m a x [ a ; b ] f (4) (x) проблематично. Поэтому применяется альтернатива – метод парабол. Его принцип подробно разъясняется в разделе метода трапеций. Метод парабол считается предпочтительным способом для разрешения интеграла. Вычислительная погрешность влияет на результат n . Чем меньше его значение, тем точнее приближенное искомое число.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Для нахождения определенного интеграла методом трапеций площадь криволинейной трапеции также разбивается на n прямоугольных трапеций с высотами h и основаниями у 1 , у 2 , у 3 ,..у n , где n - номер прямоугольной трапеции. Интеграл будет численно равен сумме площадей прямоугольных трапеций (рисунок 4).

Рис. 4

n - количество разбиений

Погрешность формулы трапеций оценивается числом

Погрешность формулы трапеций с ростом уменьшается быстрее, чем погрешность формулы прямоугольников. Следовательно, формула трапеций позволяет получить большую точность, чем метод прямоугольников.

Формула Симпсона

Если для каждой пары отрезков построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его на отрезке и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

В методе Симпсона для вычисления определенного интеграла весь интервал интегрирования разбивается на подинтервалы равной длины h=(b-a)/n. Число отрезков разбиения является четным числом. Затем на каждой паре соседних подинтервалов подинтегральная функция f(x) заменяется многочленом Лагранжа второй степени (рисунок 5).

Рис. 5 Функция y=f(x) на отрезке заменяется многочленом 2-го порядка

Рассмотрим подынтегральную функцию на отрезке. Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с y= в точках:

Проинтегрируем на отрезке.:

Введем замену переменных:

Учитывая формулы замены,

Выполнив интегрирование, получим формулу Симпсона:

Полученное для интеграла значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью, прямыми, и параболой, проходящей через точки На отрезке формула Симпсона будет иметь вид:

В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х 1 , х 3 , ..., х 2n-1 имеет коэффициент 4, в четных точках х 2 , х 4 , ..., х 2n-2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х 0 =а, х n =b - коэффициент 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами.

Если функция f(x) имеет на непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

где М - наибольшее значение на отрезке . Так как n 4 растет быстрее, чем n 2 , то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций.

Вычислим интеграл

Этот интеграл легко вычисляется:

Возьмем n равным 10, h=0.1, рассчитаем значения подынтегральной функции в точках разбиения, а также полуцелых точках.

По формуле средних прямоугольников получим I прям =0.785606 (погрешность равна 0.027%), по формуле трапеций I трап =0.784981 (погрешность около 0,054. При использовании метода правых и левых прямоугольников погрешность составляет более 3%.

Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл

но теперь по формуле Симпсона при n=4. Разобьем отрезок на четыре равные части точками х 0 =0, х 1 =1/4, х 2 =1/2, х 3 =3/4, х 4 =1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1+x) в этих точках: у 0 =1,0000, у 1 =0,8000, у 2 =0,6667, у 3 =0,5714, у 4 =0,5000.

По формуле Симпсона получаем

Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции f(x)=1/(1+x) имеем: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , откуда следует, что на отрезке . Следовательно, можно взять М=24, и погрешность результата не превосходит величины 24/(2880 4 4)=0.0004. Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.

Использование трех точек для интерполирования подынтегрального выражения позволяет использовать параболическую функцию (полином второй степени). Это приводит к формуле Симпсона приближенного вычисления интеграла.

Рассмотрим произвольный интеграл

Воспользуемся заменой переменной таким образом, чтобы границы отрезка интегрирования вместо стали [-1,1], для этого введем переменную z:

Тогда и

Рассмотрим задачу интерполирования полиномом второй степени (параболой) подынтегральной функции, используя в качестве узлов три равноудаленные узловые точки – z = -1, z = 0, z = +1 (шаг равен 1, длина отрезка интегрирования равна 2). Обозначим соответствующие значения подынтегральной функции в узлах интерполяции

Система уравнений для нахождения коэффициентов полинома

Проходящего через три точки , и

примет вид

или

Коэффициенты легко могут быть получены

Вычислим теперь значение интеграла от интерполяционного многочлена

Путем обратной замены переменной вернемся к исходному интегралу. Учтем, что

Получим формулу Симпсона для произвольного интервала интегрирования:

При необходимости, исходный отрезок интегрирования может быть разбит на N сдвоенных отрезков, к каждому из которых применяется формула Симпсона. Шаг интерполирования при этом составит

Для первого отрезка интегрирования узлами интерполирования будут являться точки a, a+h, a+2h, для второго – a+2h, a+3h, a+4h, третьего a+4h, a+5h, a+6h и т.д. Приближенное значение интеграла получается суммированием N площадей:

В данную сумму входят одинаковые слагаемые (для внутренних узлов с четным значением индекса - 2i). Поэтому можно перегруппировать слагаемые в этой сумме таким образом

Что эквивалентно

Так как

Погрешность этого приближенного метода уменьшается пропорционально длине шага интегрирования в четвертой степени, т.е. при увеличении числа интервалов вдвое ошибка уменьшается в 16 раз

Увеличение точности

Здесь мы рассмотрим так называемый процесс Эйткена. Он дает возможность оценить погрешность метода и указывает алгоритм уточнения результатов. Расчет проводится последовательно три раза при различных шагах разбиения h 1 , h 2 , h 3 , причем их отношения постоянны: h 2 / h 1 = h 3 / h 2 = q (например, при делении шага пополам q=0.5). Пусть в результате численного интегрирования получены значения интеграла I 1 , I 2 , I 3 . Тогда уточненное значение интеграла вычисляется по формуле

а порядок точности используемого метода численного интегрирования определяется соотношением

.

Уточнение значения интеграла можно также проводить методом Рунге-Ромберга.

Из анализа погрешностей методов численного интегрирования следует, что точность получаемых результатов зависит как от характера изменения подынтегральной функции, так и от шага интегрирования. Будем считать, что величину шага мы задаем. При этом ясно, что для достижения сравнимой точности при интегрировании слабо меняющейся функции шаг можно выбирать большим, чем при интегрировании резко меняющихся функций.

На практике нередко встречаются случаи, когда подынтегральная функция меняется по-разному на отдельных участках отрезка интегрирования. Это обстоятельство требует такой организации экономичных численных алгоритмов, при которой они автоматически приспосабливались бы к характеру изменения функции. Такие алгоритмы называются адаптивными (приспосабливающимися). Они позволяют вводить разные значения шага интегрирования на отдельных участках отрезка интегрирования. Это дает возможность уменьшить машинное время без потери точности результатов расчета. Подчеркнем, что этот подход используется обычно при задании подынтегральной функции y=f(x) в виде формулы, а не в табличном виде.

Рассмотрим принцип работы адаптивного алгоритма. Первоначально отрезок разбиваем на n частей. В дальнейшем каждый такой элементарный отрезок делим последовательно пополам. Окончательное число шагов, их расположение и размеры зависят от подынтегральной функции и допустимой погрешности e .

К каждому элементарному отрезку применяем формулы численного интегрирования при двух различных его разбиениях. Получаем приближения для интеграла по этому отрезку:

Полученные значения сравниваем и проводим оценку их погрешности. Если погрешность находится в допустимых границах, то одно из этих приближений принимается за значение интеграла по этому элементарному отрезку. В противном случае происходит дальнейшее деление отрезка и вычисление новых приближений. С целью экономии времени точки деления располагаются таким образом, чтобы использовались вычисленные значения в точках предыдущего разбиения.

Процесс деления отрезка пополам и вычисления уточненных значений продолжается до тех пор, пока их разность станет не больше некоторой заданной величины d i, зависящей от e и h:

.

Аналогичная процедура проводится для всех n элементарных отрезков. Величина принимается в качестве искомого значения интеграла. Условия и соответствующий выбор величин d i обеспечивают выполнение условия

Метод трапеций

Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:

Метод трапеций заключается в замене интеграла суммой:

Абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы, где.

Метод парабол (метод Симпсона)

а) Через любые три точки с координатами проходит только одна парабола.

б) Выразим площадь под параболой на отрезке через:

Учитывая значения и из пункта а) следует:

в) Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:

Метод парабол заключается в замене интеграла суммой:

Для приближенных практических расчетов применяется формула:

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (4) оценивается соотношением, где.

Оценка точности вычисления «неберущихся» интегралов

В данной работе вычисление абсолютной и относительной погрешности проводится при условии, что известно точное значение определенного интеграла. Однако не всякая первообразная, даже тогда, когда она существует, выражается в конечном виде через элементарные функции. Таковы первообразные, выраженные интегралами, и т.д. Во всех подобных случаях первообразная представляет собой некоторую новую функцию, которая не сводится к комбинации конечного числа элементарных функций.

Определенные интегралы от таких функций можно вычислить только приближенно. Для оценки точности вычисления в таких случаях используют, например, правило Рунге. В данном случае интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном, вычисляется по формуле Рунге:, для формул прямоугольников и трапеций, а для формулы Сипсона. Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов, ..., где - начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения будет выполнено условие, где - заданная точность.

Для того чтобы не вычислять один и тот же интеграл по нескольку раз для разных разбиений отрезка интегрирования, можно вычислить шаг интегрирования заранее.

Пример. Выбрать шаг интегрирования для вычисления интеграла с точностью 0,01 пользуясь квадратурными формулами прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Квадратурная формула прямоугольников.

Вычислим, при каком шаге погрешность будет составлять 0,01:

подынтегральный трапеция парабола неберущийся

Поскольку, то.

При шаге отрезок разбивается на равностоящих узлов.

Квадратурная формула трапеций.

Поскольку, .

При шаге,отрезок разбивается на равностоящих узлов.

Квадратурная формула Симпсона.

Вычислим, при каком шаге погрешность составит 0,01:

При шаге, отрезок разбивается на равностоящих узлов.

Как и следовало ожидать, наименьшее количество равностоящих узлов получается при вычислении интеграла по квадратурной формуле Симпсона.

Студенту предлагается работа, состоящая из четырех этапов:

• 1 этап - точное вычисление определенного интеграла.
• 2 этап - приближенное вычисление определенного интеграла одним из методов: прямоугольников или трапеций.
• 3 этап - приближенное вычисление определенного интеграла методом парабол.

4 этап - расчет и сравнение абсолютной и относительной ошибок приближенных методов: , где - точное решение интеграла, - значение интеграла, полученное с помощью приближенных методов.

Построение графика подынтегральной функции.

Варианты и образец выполнения РГР приведены ниже.

Варианты

№ варианта

Образец выполнения РГР

Задание. Вычислить интеграл

1. Точное вычисление:

2. Приближенное вычисление с помощью формул прямоугольников:

Составим таблицу:

По первой формуле прямоугольников получаем:

0,1 = 0,1·3,062514 = 0,306251.

По второй формуле прямоугольников получаем:

0,1 = 0,1· 4,802669 = 0,480267.

В данном случае первая формула дает значение интеграла с недостатком, вторая - с избытком.

3. Приближенное вычисление по формуле трапеций:

В нашем случае получаем:

0,1 = =0,1 = 0,1·4,095562 = =0,409556.

Вычислим относительную и абсолютную погрешности.

4. Приближенное вычисление по формуле Симпсона:

В нашем случае получаем:

Вычислим относительную и абсолютную погрешности.

В действительности, = 0,40631714.

Таким образом, при разбиении отрезка на 10 частей по формуле Симпсона мы получили 5 верных знаков; по формуле трапеций - три верных знака; по формуле прямоугольников мы можем ручаться только за первый знак.