දී ඇති රේඛාවක් සහ දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය. ලබා දී ඇති ලක්ෂ්ය තුනක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය ලක්ෂ්යයක් සහ සමාන්තර තලයක් හරහා තලයක සමීකරණය
එකම සරල රේඛාවක නොසිටින අභ්යවකාශයේ ලක්ෂ්ය තුනක් තනි තලයක් නිර්වචනය කරයි. ලබා දී ඇති කරුණු තුනක් හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න එම් 1 (x 1 ; හිදී 1 ; z 1), එම් 2 (x 2 ; හිදී 2 ; z 2), එම් 3 (x 3 ; හිදී 3 ; z 3) ගුවන් යානයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් ගන්න එම්(x; හිදී; z) සහ දෛශික රචනා කරන්න = ( x - x 1 ; හිදී– හිදී 1 ; z-z 1), = (x 2 - X 1 ; හිදී 2 – හිදී 1 ; z 2 -z 1), = (x 3 - X 1 ; හිදී 3 – හිදී 1 ; z 3 -zඑක). මෙම දෛශික එකම තලයක පිහිටා ඇත, එබැවින් ඒවා coplanar වේ. දෛශික තුනක සංයුක්තතාවයේ කොන්දේසිය භාවිතා කරමින් (ඒවායේ මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ), අපි ∙ ∙ = 0 ලබා ගනිමු, i.e.
= 0. (3.5)
සමීකරණය (3.5) ලෙස හැඳින්වේ දී ඇති ලක්ෂ්ය තුනක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය.
අන්යෝන්ය සැකැස්මඅභ්යවකාශයේ ගුවන් යානා
ගුවන් යානා අතර කෝණය
ගුවන් යානා දෙකක් දෙන්න
ඒත් 1 x + තුල 1 හිදී + සිට 1 z + D 1 = 0,
ඒත් 2 x + තුල 2 හිදී + සිට 2 z + D 2 = 0.
පිටුපස ගුවන් යානා අතර කෝණයඅපි ඒවාට ලම්බකව ඕනෑම දෛශික දෙකක් අතර φ කෝණය ගන්නෙමු (එය π දක්වා එකිනෙකට අනුපූරක වන තියුණු සහ මුග්ධ කෝණ දෙකක් ලබා දෙයි). ගුවන් යානා වල සාමාන්ය දෛශික නිසා = ( ඒත් 1 , තුල 1 , සිට 1) සහ = ( ඒත් 2 , තුල 2 , සිට 2) ඒවාට ලම්බක වේ, එවිට අපට ලැබේ
cosφ = 
.
ගුවන් යානා දෙකක ලම්බක තත්ත්වය
තල දෙකක් ලම්බක නම්, මෙම තලවල සාමාන්ය දෛශික ද ලම්බක වන අතර ඒවායේ අදිශ ගුණිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ: ∙ = 0. එබැවින් තල දෙකක ලම්බකතාව සඳහා කොන්දේසිය වේ.
ඒත් 1 ඒත් 2 + තුල 1 තුල 2 + සිට 1 සිට 2 = 0.
ගුවන් යානා දෙකක සමාන්තර තත්ත්වය
ගුවන් යානා සමාන්තර නම්, ඒවායේ සාමාන්ය දෛශික ද සමාන්තර වේ. එවිට සාමාන්ය දෛශිකවල සමාන නම්කර ඇති ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික වේ. එබැවින් සමාන්තර තල සඳහා කොන්දේසිය වේ
= = .
ලක්ෂ්යයේ සිට දුරඑම් 0 (x 0 , y 0 , z 0) ගුවන් යානය දක්වා ඔහ් + වූ + Сz + D = 0.
එම් ලක්ෂයේ සිට දුර 0 (x 0 , y 0 , z 0) ගුවන් යානයට ආ + වූ + Сz + D= 0 යනු මෙම ලක්ෂ්යයේ සිට තලය දක්වා ඇද ගන්නා ලම්බකයේ දිග වන අතර එය සූත්රය මගින් සොයා ගනු ලැබේ.
d= 
.
උදාහරණය 1 ආර්(- 1, 2, 7) දෛශිකයට ලම්බක වේ = (3, – 1, 2).
විසඳුමක්
සමීකරණය (3.1) අනුව අපට ලැබේ
3(x + 1) – (y - 2) + 2(z- 7) = 0,
3x – හිදී + 2z – 9 = 0.
උදාහරණය 2ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න එම්(2; – 3; – 7) තලය 2 ට සමාන්තරව x – 6හිදී – 3z + 5 = 0.
විසඳුමක්
දෛශිකය = (2; - 6; - 3) තලයට ලම්බකව සමාන්තර තලයට ද ලම්බක වේ. එබැවින් අපේක්ෂිත තලය ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරයි එම්(2; – 3; – 7) දෛශිකයට ලම්බක = (2; – 6; – 3). අපි සූත්රය (3.1) මගින් තලයේ සමීකරණය සොයා ගනිමු:
2(X - 2) – 6(y + 3) – 3(z+ 7) = 0,
2x – 6හිදී – 3z – 43 = 0.
උදාහරණය 3ලක්ෂ්ය හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය සොයන්න එම් 1 (2; 3; – 1) සහ එම් 2 (1; 5; 3) තලය 3 ට ලම්බකව x – හිදී + 3z + 15 = 0.
විසඳුමක්
දෛශික = (3; - 1; 3) ලබා දී ඇති තලයට ලම්බකව අපේක්ෂිත තලයට සමාන්තර වේ. එබැවින් ගුවන් යානය ලකුණු හරහා ගමන් කරයි එම් 1 සහ එම් 2 දෛශිකයට සමාන්තරව .
ඉඩ දෙන්න එම්(x; y; z) යානයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක්, පසුව දෛශික = ( x – 2; හිදී – 3; z+ 1), = (- 1; 2; 4), = (3; - 1; 3) කොප්ලැනර් වේ, එබැවින් ඒවායේ මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ:
= 0.
පළමු පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය හරහා ප්‍රසාරණය කිරීමෙන් නිර්ණායකය ගණනය කරන්න:
(x – 2) – (හිදී – 3) + (z + 1) = 0,
10(X - 2) – (– 15)(y - 3) + (– 5)(z+ 1) = 0,
2(X - 2) + 3(y - 3) – (z+ 1) = 0,
2x + 3හිදී – z– 14 = 0 – තල සමීකරණය.
උදාහරණය 4තලයට ලම්බකව සම්භවය හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න 2 x – හිදී + 5z+ 3 = 0 සහ x + 3හිදී – z – 7 = 0.
විසඳුමක්
අවශ්ය තලයේ සාමාන්ය දෛශිකය වීමට ඉඩ දෙන්න. කොන්දේසිය අනුව, තලය මෙම ගුවන් යානාවලට ලම්බක වේ, එබැවින් සහ , = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). එබැවින්, දෛශිකයක් ලෙස, ඔබට දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදිතය ගත හැකි අතර, එනම් = × .
= = – 14 + 7 + 7 .
මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරන තලයේ සමීකරණයට දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ආදේශ කිරීම ඔහ් + වූ + Сz= 0, අපට ලැබේ
– 14x + 7හිදී + 7z = 0,
2x – හිදී – z = 0.
ස්වයං පරීක්ෂණය සඳහා ප්රශ්න
1 ගුවන් යානයේ පොදු සමීකරණය ලියන්න.
2 කුමක්ද ජ්යාමිතික හැඟීමදී සංගුණක x, y, zගුවන් යානයේ පොදු සමීකරණය තුළ?
3 ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන තලයේ සමීකරණය ලියන්න එම් 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) දෛශිකයට ලම්බක = ( ඒත්; තුල; සිට).
4 තලයේ සමීකරණය අක්ෂ දිගේ කොටස්වල ලියන්න සහ එහි ඇතුළත් කර ඇති පරාමිතිවල ජ්යාමිතික අර්ථය දක්වන්න.
5 ලකුණු හරහා ගමන් කරන තලයේ සමීකරණය ලියන්න එම් 1 (x 1 ; හිදී 1 ; z 1), එම් 2 (x 2 ; හිදී 2 ; z 2), එම් 3 (x 3 ; හිදී 3 ; z 3).
6 ගුවන් යානා දෙකක් අතර කෝණය සොයා ගැනීම සඳහා සූත්රය ලියන්න.
7 ගුවන් යානා දෙකක සමාන්තරකරණය සඳහා කොන්දේසි ලියන්න.
8 ගුවන් යානා දෙකක ලම්බක තත්ත්වය ලියන්න.
9 ලක්ෂ්‍යයක සිට තලයකට ඇති දුර ගණනය කරන සූත්රය ලියන්න.
සඳහා කාර්යයන් ස්වාධීන තීරණය
1 ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න එම්(2; – 1; 1) දෛශිකයට ලම්බක = (1; – 2; 3). ( පිළිතුර: x – 2හිදී + 3z – 7 = 0)
2 තිත් ආර්(1; - 2; - 2) යනු මූලාරම්භයේ සිට තලය දක්වා ඇද ගන්නා ලම්බක පාදයයි. මෙම තලය සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න. ( පිළිතුර: x – 2හිදී – 2z – 9 = 0)
3 ලකුණු දෙකක් ලබා දී ඇත එම් 1 (2; – 1; 3) සහ එම් 2 (- 1; 2; 4). ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න එම් 1 දෛශිකයට ලම්බක වේ. ( පිළිතුර: 3x – 3හිදී – z – 6 = 0)
4 ලකුණු තුනක් හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න එම් 1 (3; – 1; 2), එම් 2 (4; – 1; – 1), එම් 3 (2; 0; 2). (පිළිතුර: 3x + 3හිදී + z – 8 = 0)
5 එම් 1 (3; – 1; 2) සහ එම් 2 (2; 1; 3) දෛශිකයට සමාන්තරව = (3; - 1; 4). ( පිළිතුර: 9x + 7හිදී – 5z – 10 = 0)
6 ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න එම් 1 (2; 3; – 4) දෛශිකවලට සමාන්තරව = (3; 1; – 1) සහ = (1; - 2; 1). ( පිළිතුර: x + හිදී + 7z + 14 = 0)
7 ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න එම්(1; – 1; 1) ගුවන් යානාවලට ලම්බකව 2 x – හිදී + z– 1 = 0 සහ x + 2හිදී – z + 1 = 0. (පිළිතුර: x – 3හිදී – 5z + 1 = 0)
8 ලකුණු හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න එම් 1 (1; 0; 1) සහ එම් 2 (1; 2; – 3) තලයට ලම්බකව x – හිදී + z – 1 = 0. (පිළිතුර: x + 2හිදී + z – 2 = 0)
9 ගුවන් යානා අතර කෝණය සොයන්න 4 x – 5හිදී + 3z– 1 = 0 සහ x – 4හිදී – z + 9 = 0. (පිළිතුර: φ = arccos0.7)
10 ලක්ෂ්‍යයෙන් දුර සොයන්න එම්(2; – 1; – 1) තලය 16 දක්වා x – 12හිදී + 15z – 4 = 0. (පිළිතුර: ඈ = 1)
11 තල තුනක ඡේදනය වන ලක්ෂ්යය සොයන්න 5 x + 8හිදී – z – 7 = 0, x + 2හිදී + 3z – 1 = 0, 2x – 3හිදී + 2z – 9 = 0. (පිළිතුර: (3; – 1; 0))
12 ලකුණු හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න එම් 1 (1; – 2; 6) සහ එම් 2 (5; - 4; 2) සහ අක්ෂයන්හි සමාන කොටස් කපා දමයි ඔහ්හා OU. (පිළිතුර: 4x + 4හිදී + z – 2 = 0)
13 ගුවන් යානා අතර දුර සොයන්න x + 2හිදී – 2z+ 2 = 0 සහ 3 x + 6හිදී – 6z – 4 = 0. (පිළිතුර: ඈ = )
දේශනය 5
1. ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න එම් 0 (1, -2, 5) තලය 7 ට සමාන්තරව x-y-2z-1=0.
විසඳුමක්.මගින් දක්වන්න ආර්ලබා දී ඇති ගුවන් යානය, ඉඩ දෙන්න ආර් 0 ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන අපේක්ෂිත සමාන්තර තලයයි එම් 0 (1, -2, 5).
සාමාන්ය (ලම්බක) දෛශිකය සලකා බලන්න 
ගුවන් යානය ආර්. සාමාන්ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක යනු තලයේ සමීකරණයේ ඇති විචල්‍යවල සංගුණක වේ 
.
ගුවන් යානා නිසා ආර්හා ආර් 0
සමාන්තර වේ, පසුව දෛශිකය 
ගුවන් යානයට ලම්බකව ආර් 0
, i.e. 
යානයේ සාමාන්ය දෛශිකය වේ ආර් 0
.
ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය එම් 0 (x 0 ,
y 0 , z 0) සාමාන්ය සමග 
:
ආදේශක ලක්ෂ්ය ඛණ්ඩාංක එම් 0 සහ සාමාන්ය දෛශික 
සමීකරණයට (1):
වරහන් පුළුල් කිරීම, අපි ගුවන් යානයේ පොදු සමීකරණය ලබා ගනිමු (අවසාන පිළිතුර):
2. ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක කැනොනිකල් සහ පරාමිතික සමීකරණ සම්පාදනය කරන්න එම් 0 (-2, 3, 0) රේඛාවට සමාන්තරව 
.
විසඳුමක්.මගින් දක්වන්න එල්ලබා දී ඇති රේඛාව, ඉඩ දෙන්න එල් 0 ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන අපේක්ෂිත සමාන්තර රේඛාව වේ එම් 0 (-2,3,0).
මාර්ගෝපදේශ දෛශිකය 
කෙලින්ම එල්(මෙම රේඛාවට සමාන්තරව ශුන්‍ය නොවන දෛශිකයක්) රේඛාවට සමාන්තර වේ එල් 0
. එබැවින්, දෛශිකය 
රේඛාවේ දිශා දෛශිකය වේ එල් 0
.
මාර්ගෝපදේශ දෛශික ඛණ්ඩාංක 
ලබා දී ඇති රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණවල අනුරූප හරයට සමාන වේ 
.
ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන අවකාශයේ සරල රේඛාවක කැනොනිකල් සමීකරණ එම් 0 (x 0 , y 0 , z 
{එල්, එම්, n}
.
(2)
ආදේශක ලක්ෂ්ය ඛණ්ඩාංක එම් 0 සහ දිශා දෛශිකය 
සමීකරණයට (2) සහ සරල රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණ ලබා ගන්න:
.
ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන අවකාශයේ සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ එම් 0 (x 0 , y 0 , z 0) ශුන්‍ය නොවන දෛශිකයකට සමාන්තරව 
{එල්, එම්, n), පෝරමය ඇත:
(3)
ආදේශක ලක්ෂ්ය ඛණ්ඩාංක එම් 0 සහ දිශා දෛශිකය 
සමීකරණවලට (3) සහ සරල රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ ලබා ගන්න:
3. කරුණක් සොයන්න 
, ලක්ෂ්යයට සමමිතික 
, සාපේක්ෂව: a) සෘජු 
ආ) ගුවන් යානා
විසඳුමක්. a) ලම්බක තලයේ සමීකරණය සම්පාදනය කරන්න පීලක්ෂ්යයක් ප්රක්ෂේපණය කිරීම 
මෙම රේඛාවට:
සොයා ගැනීමට 
අපි ලබා දී ඇති සරල රේඛාවේ සහ ප්‍රක්ෂේපණ තලයේ ලම්බක තත්ත්වය භාවිතා කරමු. දිශානති දෛශිකය කෙළින්ම 
තලයට ලම්බකව දෛශිකය 
සාමාන්ය දෛශිකය වේ 
තලයට දී ඇති රේඛාවකට ලම්බක තලයක සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත හෝ 
අපි ප්රක්ෂේපණය සොයා ගනිමු ආර්ලකුණු එම්කෙලින්ම. තිත් ආර්රේඛාවේ සහ තලයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය වේ, i.e. එහි ඛණ්ඩාංක සරල රේඛාවක සමීකරණ සහ තලයක සමීකරණය යන දෙකම එකවර තෘප්තිමත් කළ යුතුය. අපි පද්ධතිය විසඳමු:
.
එය විසඳීම සඳහා, අපි සරල රේඛාවක සමීකරණය පරාමිතික ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:
සඳහා ප්‍රකාශන ආදේශ කිරීම 
තල සමීකරණයට, අපට ලැබෙන්නේ:
මෙතැන් සිට අපට හමු වූ ඛණ්ඩාංක හමු වේ - මේවා මැද ඛණ්ඩාංක වේ ආර්ලක්ෂ්‍යයක් සම්බන්ධ කරන රේඛා ඛණ්ඩය
සහ එයට සමමිතික ලක්ෂ්යයක් 
තුල පාසල් පාඨමාලාවජ්යාමිතිය, ප්රමේයයක් සකස් කරන ලදී.
කොටසක මධ්‍ය ලක්ෂ්ය යනු එහි කෙළවරේ අනුරූප ඛණ්ඩාංකවල එකතුවෙන් අඩකි.
ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක සෙවීම 
කොටසේ මැද ඛණ්ඩාංක සඳහා සූත්‍ර වලින්:
අපට ලැබෙන්නේ: ඉතින් 
.
විසඳුමක්. b) ලක්ෂ්‍යයකට සමමිතික ලක්ෂ්යයක් සොයා ගැනීමට 
මෙම ගුවන් යානයට සාපේක්ෂව පී, ලක්ෂ්‍යයෙන් ලම්බකව අතහරින්න 
මෙම ගුවන් යානයට. දිශා දෛශිකයක් සමඟ සරල රේඛාවක සමීකරණය සම්පාදනය කරන්න 
ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කිරීම
:
රේඛාවක සහ තලයක ලම්බකතාව යනු රේඛාවේ දිශා දෛශිකය තලයට ලම්බකව පවතින බවයි. 
. එවිට ලක්ෂ්යය ප්රක්ෂේපණය කරන සරල රේඛාවේ සමීකරණය 
දී ඇති ගුවන් යානයක, පෝරමය ඇත:
සමීකරණ එකට විසඳීමෙන් 
හා 
ප්රක්ෂේපණය සොයා ගන්න ආර්ලකුණු 
ගුවන් යානයට. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සරල රේඛාවේ සමීකරණ පරාමිතික ආකාරයෙන් නැවත ලියන්නෙමු:
මෙම අගයන් ආදේශ කරන්න 
තලයේ සමීකරණයට: a අයිතමයට සමානව), කොටසේ මැද ඛණ්ඩාංක සඳහා සූත්‍ර භාවිතා කරමින්, අපි සමමිතික ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු 
:
එම. 
.
4. a) සරල රේඛාවක් හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න 
දෛශිකයට සමාන්තරව 
; b) ඡේදනය වන රේඛා දෙකක් හරහා
හා 
(මීට පෙර ඒවා ඡේදනය වන බව ඔප්පු කිරීම); ඇ) සමාන්තර රේඛා දෙකක් හරහා 
හා 
; ඈ) සරල රේඛාවක් හරහා 
සහ ලක්ෂ්යය 
.
විසඳුමක්.අ) ලබා දී ඇති රේඛාව අපේක්ෂිත තලයෙහි පිහිටා ඇති බැවින් සහ අපේක්ෂිත තලය දෛශිකයට සමාන්තර වේ 
, එවිට තලයේ සාමාන්ය දෛශිකය රේඛාවේ දිශානත දෛශිකයට ලම්බක වනු ඇත. 
සහ දෛශිකය 
.
එබැවින් තලයේ සාමාන්ය දෛශිකයක් ලෙස කෙනෙකුට දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනය තෝරාගත හැක 
හා 
:
අපි ගුවන් යානයේ සාමාන්ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ලබා ගනිමු 
.
අපි රේඛාවේ ලක්ෂ්යයක් සොයා ගනිමු. සරල රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණවල අනුපාත ශුන්‍යයට සමාන කිරීම:
,
සොයාගන්න 
,
,
. දී ඇති රේඛාවක් ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරයි 
, එබැවින්, ගුවන් යානය ද ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරයි 
. දෛශිකයට ලම්බකව දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය භාවිතා කිරීම 
, අපි ගුවන් යානයේ සමීකරණය ලබා ගනිමු , හෝ , හෝ, අවසාන වශයෙන්, 
.
විසඳුමක්. b) අභ්යවකාශයේ රේඛා දෙකක් ඡේදනය වීමට, හරස් කිරීමට හෝ සමාන්තරව තිබිය හැක. සරල රේඛා ලබා දී ඇත
හා 
(4)
ඒවායේ දිශා දෛශික නිසා සමාන්තර නොවේ 
හා 
කෝලිනියර් නොවේ: 
.
රේඛා ඡේදනය වේද යන්න පරීක්ෂා කරන්නේ කෙසේද? නොදන්නා 3 කින් සමීකරණ 4 ක පද්ධතිය (4) විසඳිය හැකිය. පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් තිබේ නම්, අපි රේඛාවල ඡේදනය වන ස්ථානයේ ඛණ්ඩාංක ලබා ගනිමු. කෙසේ වෙතත්, අපගේ ගැටළුව විසඳීම සඳහා - රේඛා දෙකම පිහිටා ඇති ගුවන් යානයක් තැනීම, ඒවායේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය අවශ්ය නොවේ. එබැවින්, ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය සොයා නොගෙන අභ්යවකාශයේ සමාන්තර නොවන රේඛා දෙකක ඡේදනය සඳහා කොන්දේසිය සකස් කළ හැකිය.
සමාන්තර නොවන රේඛා දෙකක් ඡේදනය වන්නේ නම්, දිශා දෛශික 
,
සහ රේඛා මත වැතිර සිටින ලකුණු එකතු කිරීම 
හා 
දෛශිකය එකම තලයක පිහිටා ඇත, i.e. coplanar මෙම දෛශිකවල මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ:
. (5)
අපි රේඛාවල කැනොනිකල් සමීකරණවල අනුපාත ශුන්‍යයට (හෝ 1 හෝ ඕනෑම අංකයකට) සමාන කරමු.
හා 
,
සහ රේඛාවල ඇති ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්න. පළමු පේළිය ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරයි 
, සහ ලක්ෂ්යය හරහා දෙවන සරල රේඛාව 
. මෙම රේඛාවල දිශා වාහකයන් පිළිවෙලින් සමාන වේ 
හා 
. අපිට ලැබෙනවා
සමානාත්මතාවය (5) තෘප්තිමත් වේ, එබැවින් ලබා දී ඇති රේඛා ඡේදනය වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙම රේඛා දෙක හරහා ගමන් කරන්නේ එක් ගුවන් යානයක් පමණක් බවයි.
අපි ගැටලුවේ දෙවන කොටස වෙත යමු - ගුවන් යානයේ සමීකරණය ඇඳීම.
ගුවන් යානයේ සාමාන්ය දෛශිකයක් ලෙස, ඔබට ඔවුන්ගේ දිශා වාහකවල හරස් නිෂ්පාදනය තෝරා ගත හැකිය 
හා 
:
ප්ලේන් සාමාන්ය දෛශික ඛණ්ඩාංක 
.
අපි සෘජු බව සොයාගෙන ඇත 
හරහා යයි 
, එබැවින්, අපේක්ෂිත තලය ද මෙම ස්ථානය හරහා ගමන් කරයි. අපි ගුවන් යානයේ සමීකරණය ලබා ගනිමු, හෝ 
හෝ, අවසානයේ, 
.
ඇ) රේඛා සිට 
හා 
සමාන්තර වේ, එවිට ඒවායේ දිශා දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදනය සාමාන්ය දෛශිකයක් ලෙස තෝරා ගත නොහැක, එය ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන වේ.
ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක තීරණය කරන්න 
හා 
මෙම රේඛා හරහා ගමන් කරයි. ඉඩ දෙන්න 
හා 
, එවිට 
,
. දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ගණනය කරමු. දෛශිකය 
අපේක්ෂිත තලයේ පිහිටා ඇති අතර එය දෛශිකයට ඛණ්ඩක නොවේ 
, පසුව එහි සාමාන්ය දෛශිකය ලෙස 
ඔබට දෛශිකයේ හරස් නිෂ්පාදනයක් තෝරාගත හැක 
සහ පළමු පේළියේ දිශා දෛශිකය 
:
ඒ නිසා, 
.
ගුවන් යානය සරල රේඛාවක් හරහා ගමන් කරයි 
, එබැවින් එය ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරයි 
. අපි ගුවන් යානයේ සමීකරණය ලබා ගනිමු:, හෝ .
d) සරල රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණවල අනුපාත ශුන්‍යයට සමාන කිරීම 
, අපි සොයා ගනිමු 
,
,
. එමනිසා, රේඛාව ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරයි 
.
දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ගණනය කරමු. දෛශිකය 
එහි සාමාන්ය දෛශිකය ලෙස අපේක්ෂිත තලයට අයත් වේ 
සරල රේඛාවේ දිශානති දෛශිකයේ දෛශික නිෂ්පාදනය තෝරන්න 
සහ දෛශිකය 
:
එවිට තල සමීකරණයට පෝරමය ඇත: , හෝ .
දී ඇති රේඛාවක් සහ දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය සම්පාදනය කිරීමේ ගැටලුව විසඳීමට අවශ්ය තොරතුරු මෙම ලිපියේ අඩංගු වේ. මෙම ගැටළුව සාමාන්ය ස්වරූපයෙන් විසඳීමෙන් පසු, දී ඇති රේඛාවක් සහ ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් සම්පාදනය කිරීම සඳහා අපි උදාහරණ සඳහා සවිස්තරාත්මක විසඳුම් ලබා දෙන්නෙමු.
පිටු සංචලනය.
දී ඇති රේඛාවක් සහ දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය සොයා ගැනීම.
ඉඩ දෙන්න ත්රිමාණ අවකාශයස්ථාවර Oxyz, a රේඛාවක් සහ a රේඛාවේ නොපවතින ලක්ෂ්යයක් ලබා දී ඇත. අපි කාර්යය සකස් කරමු: a රේඛාව සහ M 3 ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන තලයේ සමීකරණය ලබා ගැනීම.
අපි මුලින්ම පෙන්වන්නම් අපිට ලියන්න අවශ්ය සමීකරණය තියෙන තනි තලයක් තියෙනවා කියලා.
ප්‍රත්‍යක්ෂ දෙකක් සිහිපත් කරන්න:
- එක් සරල රේඛාවක් මත නොපවතින විවිධ අවකාශයේ ස්ථාන තුනක් හරහා, තනි ගුවන් යානයක් ගමන් කරයි;
- රේඛාවක එකිනෙකට වෙනස් ලක්ෂ්ය දෙකක් යම් තලයක තිබේ නම්, මෙම රේඛාවේ සියලුම ලක්ෂ්ය එම තලය තුළ පවතී.
මෙම ප්‍රකාශයන්ගෙන් එය අනුගමනය කරන්නේ රේඛාවක් සහ එය මත නොවැටී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා එක් ගුවන් යානයක් ඇද ගත හැකි බවයි. මේ අනුව, අප විසින් මතු කරන ලද ගැටලුව තුළ, තනි ගුවන් යානයක් රේඛාව හරහා ගමන් කරයි a සහ ලක්ෂ්යය M 3 , අපි මෙම තලයේ සමීකරණය ලිවිය යුතුය.
දැන් අපි ලබා දී ඇති රේඛාව a සහ ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන තලයේ සමීකරණය සොයා ගැනීමට පටන් ගනිමු.
රේඛාව a ලබා දෙන්නේ එය මත ඇති M 1 සහ M 2 යන විවිධ ලක්ෂ්ය දෙකක ඛණ්ඩාංක නියම කිරීමෙන්, අපගේ කාර්යය වන්නේ M 1, M 2 සහ M 3 යන ලක්ෂ්ය තුන හරහා ගමන් කරන තලයේ සමීකරණය සොයා ගැනීමයි.
a රේඛාව වෙනස් ලෙස ලබා දී ඇත්නම්, අපි පළමුව a රේඛාවේ පිහිටා ඇති M 1 සහ M 2 යන ලක්ෂ්ය දෙකක ඛණ්ඩාංක සොයා ගත යුතු අතර ඉන් පසුව M 1, M 2 සහ ලක්ෂ්ය තුන හරහා ගමන් කරන තලයේ සමීකරණය ලිවිය යුතුය. M 3, රේඛාව a සහ M 3 ලක්ෂය හරහා ගමන් කරන තලයේ අපේක්ෂිත සමීකරණය වනු ඇත.
දී ඇති රේඛාවක පිහිටා ඇති M 1 සහ M 2 යන විවිධ ලක්ෂ්ය දෙකක ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි සොයා බලමු a.
අභ්යවකාශයේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, ඕනෑම සරල රේඛාවක් අභ්යවකාශයේ සරල රේඛාවක සමහර සමීකරණවලට අනුරූප වේ. ගැටලුවේ තත්වය තුළ a රේඛාව නියම කිරීමේ ක්‍රමය පෝරමයේ අවකාශයේ රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ ලබා ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි යැයි අපි උපකල්පනය කරමු. 
. එවිට, උපකල්පනය, අපට කරුණක් ඇත 
, රේඛාව මත වැතිර සිටීම a . පරාමිතියට ශුන්‍ය නොවන තාත්වික අගයක් ලබා දීමෙන්, a රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ වලින් අපට M 2 ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක ගණනය කළ හැකිය, එය රේඛාවේ පිහිටා ඇති අතර එය M 1 ලක්ෂයට වඩා වෙනස් වේ.
ඊට පසු, අපට ලිවීමට සිදුවනුයේ එකිනෙකට වෙනස් තුනක් හරහා ගමන් කරන තලයේ සමීකරණය සහ එක් සෘජු ලක්ෂ්‍යයක වැතිර නොසිටීම සහ , ස්වරූපයෙන් පමණි. 
.
ඉතින්, අපි ලබා දී ඇති රේඛාවක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණයක් ලබා ගෙන ඇත a රේඛාව මත නොපවතින M 3 ලක්ෂ්යය.
දී ඇති ලක්ෂ්යයක් සහ සරල රේඛාවක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය සම්පාදනය කිරීමේ උදාහරණ.
දී ඇති රේඛාවක් සහ දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය සොයා ගැනීම සඳහා සලකා බැලූ ක්‍රමය විශ්ලේෂණය කරන උදාහරණ කිහිපයක විසඳුම් අපි පෙන්වමු.
අපි සරලම නඩුවෙන් පටන් ගනිමු.
උදාහරණයක්.
විසඳුමක්.
Ox ඛණ්ඩාංක රේඛාවේ විවිධ කරුණු දෙකක් ගන්න, උදාහරණයක් ලෙස, සහ .
දැන් අපට M 1, M 2 සහ M 3 යන කරුණු තුනක් හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානයක සමීකරණය ලැබේ: 
මෙම සමීකරණය ලබා දී ඇති Ox සහ ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන තලයේ අපේක්ෂිත සාමාන්ය සමීකරණය වේ. 
.
පිළිතුර:
.
තලය ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යයක් සහ දී ඇති සරල රේඛාවක් හරහා ගමන් කරන බව දන්නා අතර, තලයේ සමීකරණය කොටස් වශයෙන් හෝ තලයේ සාමාන්ය සමීකරණය ලිවීමට අවශ්ය නම්, ඔබ මුලින්ම ලබා දී ඇති සාමාන්ය සමීකරණය ලබා ගත යුතුය. තලය, සහ එයින් අවශ්ය ආකෘතියේ තලයේ සමීකරණයට යන්න.
උදාහරණයක්.
සරල රේඛාවක් හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානයක් සඳහා සාමාන්ය සමීකරණය ලියන්න. 
සහ ලක්ෂ්යය 
.
විසඳුමක්.
පළමුව, අපි දී ඇති තලයක් සඳහා පොදු සමීකරණය ලියන්නෙමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, විවිධ ලක්ෂ්ය දෙකක ඛණ්ඩාංක සරල රේඛාවක පිහිටා ඇති බව අපට පෙනේ . මෙම රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණවල ස්වරූපය ඇත 
. ලක්ෂ්යය M 1 අගයට අනුරූප කරමු, සහ ලක්ෂ්යය M 2 -. අපි M 1 සහ M 2 ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක ගණනය කරමු: 
දැන් අපට ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය ලිවිය හැකිය සහ සෘජු :
සාමාන්‍යකරණ සාධකය මගින් ලැබෙන සමීකරණයේ කොටස් දෙකම ගුණ කිරීමෙන් තල සමීකරණයේ අවශ්ය ස්වරූපය ලබා ගැනීමට එය ඉතිරිව ඇත. 
.
පිළිතුර:
.
එබැවින්, ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යයක් සහ දී ඇති සරල රේඛාවක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය සොයා ගැනීම රඳා පවතින්නේ දී ඇති සරල රේඛාවක පිහිටා ඇති විවිධ ලක්ෂ්ය දෙකක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම මත ය. බොහෝ විට එවැනි ගැටළු විසඳීමේ ප්රධාන දුෂ්කරතාවය මෙයයි. අවසාන වශයෙන්, ඡේදනය වන තල දෙකක සමීකරණ මගින් තීරණය කරනු ලබන දී ඇති ලක්ෂ්යයක් සහ සරල රේඛාවක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය සම්පාදනය කිරීම සඳහා උදාහරණයේ විසඳුම අපි විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.
උදාහරණයක්.
සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක දී Oxyzට ලක්ෂ්යයක් සහ රේඛාවක් ලබා දී ඇත, එය ගුවන් යානා දෙකක ඡේදනය වන රේඛාව වේ. 
හා 
. රේඛාව හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානයේ සමීකරණය ලියන්න a සහ ලක්ෂ්යය M 3 .
මෙම උපකාරයෙන් මාර්ගගත කැල්ක්යුලේටරයලබා දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා සහ දී ඇති තලයට සමාන්තරව ගමන් කරන තලයක සමීකරණය කෙනෙකුට සොයාගත හැකිය. පැහැදිලි කිරීම් සහිත සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ලබා දී ඇත. තලයේ සමීකරණය සොයා ගැනීම සඳහා, ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සහ තලයේ සමීකරණයේ සංගුණක සෛල තුළට ඇතුල් කර "විසඳන්න" බොත්තම මත ක්ලික් කරන්න.
×
අනතුරු ඇඟවීමක්
සියලුම සෛල හිස් කරන්නද?
Close Clear
දත්ත ඇතුළත් කිරීමේ උපදෙස්.සංඛ්‍යා සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා (උදාහරණ: 487, 5, -7623, ආදිය), දශම සංඛ්‍යා (උදා. 67., 102.54, ආදිය) හෝ භාග ලෙස ඇතුළත් කර ඇත. භාගය a/b ආකාරයෙන් ටයිප් කළ යුතු අතර, a සහ b (b>0) නිඛිල හෝ දශම සංඛ්‍යා වේ. උදාහරණ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, ආදිය.
දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය සහ දී ඇති තලයකට සමාන්තරව - න්‍යාය, උදාහරණ සහ විසඳුම්
පොයින්ට් එකක් දෙන්නම් එම් 0 (x 0 , y 0 , z 0) සහ තල සමීකරණය
සියලුම සමාන්තර තලවල collinear සාමාන්ය දෛශික ඇත. එබැවින්, ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන (1) ට සමාන්තරව තලයක් තැනීමට එම් 0 (x 0 , y 0 , z 0) ඔබට අවශ්ය තලයේ සාමාන්ය දෛශිකය, සාමාන්ය දෛශිකය ලෙස ගත යුතුය n=(ඒ, බී, සී) ගුවන් යානය (1). ඊළඟට, ඔබ එවැනි අගයක් සොයා ගත යුතුය ඩී, එම අවස්ථාවේ දී එම් 0 (x 0 , y 0 , z 0) තල සමීකරණය සෑහීමකට පත් විය (1):
අගය ආදේශ කිරීම ඩී(3) සිට (1) දක්වා, අපට ලැබෙන්නේ:
සමීකරණය (5) යනු ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණයයි එම් 0 (x 0 , y 0 , z 0) සහ ගුවන් යානයට සමාන්තරව (1).
ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය සොයන්න එම් 0 (1, -6, 2) සහ තලයට සමාන්තරව:
ලක්ෂ්ය ඛණ්ඩාංක ආදේශ කිරීම එම් 0 සහ (3) හි සාමාන්ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක, අපට ලැබේ.
අභ්යවකාශයේ Q තලයක් සලකා බලන්න.එහි පිහිටීම සම්පුර්ණයෙන්ම තීරණය වන්නේ මෙම තලයට ලම්බකව N දෛශිකයක් සහ Q තලයේ පිහිටා ඇති යම් ස්ථාවර ලක්ෂ්යයක් නියම කිරීමෙනි.Q තලයට ලම්බකව N දෛශිකය මෙම තලයේ සාමාන්ය දෛශිකය ලෙස හැඳින්වේ. අපි සාමාන්ය දෛශික N හි ප්‍රක්ෂේපන A, B සහ C මගින් දක්වන්නේ නම්, එවිට
දී ඇති ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන Q තලයේ සමීකරණය සහ ලබා දී ඇති සාමාන්ය දෛශිකය ඇති සමීකරණය අපි ව්‍යුත්පන්න කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, Q යානයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් සමඟ ලක්ෂ්යයක් සම්බන්ධ කරන දෛශිකයක් සලකා බලන්න (රූපය 81).
Q තලයේ M ලක්ෂ්යයේ ඕනෑම පිහිටීමක් සඳහා, MXM දෛශිකය Q තලයේ N සාමාන්ය දෛශිකයට ලම්බක වේ. එබැවින්, අදිශ නිෂ්පාදිතය ප්‍රක්ෂේපන අනුව අදිශ නිෂ්පාදනය ලියන්නෙමු. සිට , සහ දෛශිකය , එවිට
සහ එහෙයින්
Q තලයේ ඕනෑම ලක්ෂයක ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (4) තෘප්තිමත් කරන බව අපි පෙන්වා දී ඇත. Q තලය මත නොපවතින ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක මෙම සමීකරණය තෘප්තිමත් නොවන බව දැකීම පහසුය (අවසාන අවස්ථාවේ දී, ). එබැවින්, අපි තලයේ අපේක්ෂිත සමීකරණය ලබාගෙන ඇත Q. සමීකරණය (4) ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන තලයේ සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ. එය වත්මන් ඛණ්ඩාංකවලට සාපේක්ෂව පළමු උපාධියයි
එබැවින්, ඕනෑම ගුවන් යානයක් වත්මන් ඛණ්ඩාංක සම්බන්ධයෙන් පළමු මට්ටමේ සමීකරණයකට අනුරූප වන බව අපි පෙන්වා දී ඇත.
උදාහරණ 1. දෛශිකයට ලම්බක ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය ලියන්න.
විසඳුමක්. මෙහි . සූත්රය (4) මත පදනම්ව, අපි ලබා ගනිමු
හෝ, සරල කිරීමෙන් පසුව,
A, B සහ C සමීකරණයේ සංගුණක (4) විවිධ අගයන් ලබා දීමෙන්, ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන ඕනෑම තලයක සමීකරණයක් ලබා ගත හැක. දී ඇති ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානා සමූහය ගුවන් යානා පොකුරක් ලෙස හැඳින්වේ. A, B සහ C යන සංගුණකවලට ඕනෑම අගයක් ගත හැකි සමීකරණය (4), ගුවන් යානා මිටියක සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ.
උදාහරණ 2. ලකුණු තුනක් හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න, (රූපය 82).
විසඳුමක්. ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානා සමූහයකට සමීකරණය ලියමු
