Când se calculează o integrală definită, nu obținem întotdeauna o soluție exactă. Reprezentarea sub forma unei funcții elementare nu este întotdeauna posibilă. Formula Newton-Leibniz nu este potrivită pentru calcul, așa că trebuie utilizate metode de integrare numerică. Această metodă vă permite să obțineți date cu o precizie ridicată. Metoda lui Simpson este doar asta.

Pentru a face acest lucru, este necesar să oferiți o reprezentare grafică a derivării formulei. Următoarea este o înregistrare a estimării erorii absolute folosind metoda Simpson. În concluzie, vom compara trei metode: Simpson, dreptunghiuri, trapeze.

Metoda parabolelor - esență, formulă, evaluare, erori, ilustrații

Este dată o funcţie de forma y = f (x), care are continuitate pe intervalul [ a ; b ] , este necesar să se calculeze integrala definită ∫ a b f (x) d x

Este necesar să se împartă segmentul [a; b ] în n segmente de forma x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n cu lungimea 2 h = b - a n și punctele a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Fiecare interval x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n al integrandului este aproximat folosind o parabolă definită prin y = a i x 2 + b i x + c i care trece prin puncte cu coordonatele x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i). De aceea metoda are acest nume.

Aceste acțiuni sunt efectuate pentru a lua integrala ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x ca valoare aproximativă ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Putem calcula folosind formula Newton-Leibniz. Aceasta este esența metodei parabolelor Luați în considerare figura de mai jos.

Ilustrare grafică a metodei parabolelor (Simpson)

Folosind linia roșie, este reprezentat graficul funcției y = f (x), iar linia albastră este o aproximare a graficului y = f (x) folosind parabole pătratice.

Pe baza proprietății a cincea a integralei definite, obținem ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Pentru a obține formula folosind metoda parabolelor, este necesar să se calculeze:

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Fie x 2 i - 2 = 0 . Luați în considerare figura de mai jos.

Să descriem că prin punctele cu coordonatele x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) poate trece printr-o parabolă pătratică de forma y = a i x 2 + b i x + c i. Cu alte cuvinte, este necesar să se demonstreze că coeficienții pot fi determinați doar într-un singur mod.

Avem că x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) sunt puncte ale parabolei, atunci fiecare dintre ecuațiile prezentate este valabilă. Înțelegem asta

a i (x 2 i - 2) 2 + b i x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i x 2 i - 1 + c i = f ( x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i x 2 i + c i = f (x 2 i)

Sistemul rezultat se rezolvă în raport cu a i, b i, c i, unde este necesar să se caute determinantul matricei conform lui Vandermonde. Înțelegem asta

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 și este considerat diferit de zero și nu coincide cu punctele x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Acesta este un semn că ecuația are o singură soluție, apoi coeficienții selectați a i ; b i ; c i poate fi determinat doar într-un mod unic, apoi prin punctele x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) poate trece doar o parabolă.

Putem trece la găsirea integralei ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x.

Este clar că

f (x 2 i - 2) = f (0) = a i 0 2 + b i 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i h 2 + b i h + c i f ( x 2 i) = f (0) = 4 a i h 2 + 2 b i h + c i

Pentru a efectua ultima tranziție, este necesar să folosiți o inegalitate a formei

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i

Deci, obținem formula folosind metoda parabolelor:

∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Definiția 1

Formula pentru metoda lui Simpson este ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .

Formula de estimare a erorii absolute are forma δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .

Exemple de calcul aproximativ al integralelor definite folosind metoda parabolelor

Metoda lui Simpson presupune un calcul aproximativ integrale definite. Cel mai adesea, există două tipuri de probleme pentru care se aplică această metodă:

• în calculul aproximativ al unei integrale definite;
• la găsirea unei valori aproximative cu o precizie de δ n.

Precizia calculului este afectată de valoarea lui n, cu cât n este mai mare, cu atât valorile intermediare sunt mai precise.

Exemplul 1

Calculați integrala definită ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 folosind metoda lui Simpson, împărțind segmentul de integrare în 5 părți.

Soluţie

Prin condiție se știe că a = 0; b = 5; n = 5, f(x) = x x 4 + 4.

Apoi scriem formula lui Simpson sub forma

∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Pentru a-l aplica pe deplin, este necesar să se calculeze pasul folosind formula h = b - a 2 n, să se determine punctele x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n și găsiți valorile funcției integrand f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Calculele intermediare trebuie rotunjite la 5 cifre. Să înlocuim valorile și să obținem

h = b - a 2 n = 5 - 0 2 · 5 = 0 . 5

Să găsim valoarea funcției în puncte

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0. 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≈ 0. 12308. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0. 00795

Claritatea și comoditatea sunt prezentate în tabelul de mai jos

i	0	1	2	3	4	5
x i	0	0 . 5	1	1 . 5	2	2 . 5
f x i	0	0 . 12308	0 . 2	0 . 16552	0 . 1	0 . 05806

i	6	7	8	9	10
x i	3	3 . 5	4	4 . 5	5
f x i	0 . 03529	0 . 02272	0 . 01538	0 . 01087	0 . 00795

Este necesar să înlocuiți rezultatele în formula metodei parabolelor:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 ++ 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0. 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Pentru calcul am ales o integrală definită, care poate fi calculată folosind Newton-Leibniz. Primim:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Răspuns: Rezultatele se potrivesc până la sutimi.

Exemplul 2

Calcula integrală nedefinită∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x folosind metoda lui Simpson cu o precizie de 0,001.

Soluţie

Prin condiție avem că a = 0, b = π, f (x) = sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001. Trebuie determinată valoarea lui n. Pentru a face acest lucru, utilizați o formulă de estimare a erorii absolute a metodei Simpson de forma δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Când găsim valoarea lui n, atunci inegalitatea m a x [a; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 va fi executat. Apoi, folosind metoda parabolelor, eroarea în calcul nu va depăși 0. 001. Ultima inegalitate ia forma

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

Acum trebuie să aflăm care cea mai mare valoare poate lua modulul derivatei a patra.

f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " ( x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2

Domeniul de definiție f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 aparține intervalului - 81 16 ; 81 16, și segmentul de integrare însuși [0; π) are un punct extremum, rezultă că m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .

Facem înlocuirea:

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Am constatat că n - număr natural, atunci valoarea sa poate fi egală cu n = 5, 6, 7... mai întâi trebuie să luați valoarea n = 5.

Efectuați acțiuni similare cu exemplul anterior. Trebuie să calculați pasul. Pentru aceasta

h = b - a 2 n = π - 0 2 5 = π 10

Să găsim nodurile x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n , atunci valoarea integrandului va avea forma

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 π 10

4 π 5 9 π 10 π f (x i) 1 . 207107 0 . 809017 0 . 343566 - 0 . 087785 - 0 . 391007 - 0 . 5

Rămâne să înlocuim valorile în formula soluției folosind metoda parabolelor și obținem

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) = = π 30 · 0, 5 + 4 · 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 ++ 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 ++ 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650

Metoda lui Simpson ne permite să obținem o valoare aproximativă a integralei definite ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2. 237 cu o precizie de 0,001.

Când calculăm folosind formula Newton-Leibniz, obținem ca rezultat

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2. 237463

Răspuns:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

Comentariu

În cele mai multe cazuri, găsirea m a x [ a ; b ] f (4) (x) este problematică. Prin urmare, se folosește o alternativă - metoda parabolelor. Principiul său este explicat în detaliu în secțiunea despre metoda trapezoidală. Metoda parabolelor este considerată metoda preferată pentru rezolvarea integralei. Eroarea de calcul afectează rezultatul n. Cu cât valoarea sa este mai mică, cu atât numărul aproximativ necesar este mai precis.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Pentru a găsi integrala definită prin metoda trapezoidală, aria unui trapez curbiliniu este, de asemenea, împărțită în n trapeze dreptunghiulare cu înălțimi h și baze 1, 2, 3,..у n, unde n este numărul trapezului dreptunghiular. . Integrala va fi numeric egală cu suma ariilor trapezelor dreptunghiulare (Figura 4).

Orez. 4

n - numărul de partiții

Eroarea formulei trapezoidale este estimată prin număr

Eroarea formulei trapezului scade mai repede cu creșterea decât eroarea formulei dreptunghiului. Prin urmare, formula trapezoidală permite o precizie mai mare decât metoda dreptunghiului.

Formula lui Simpson

Dacă pentru fiecare pereche de segmente construim un polinom de gradul doi, apoi îl integrăm pe segment și folosim proprietatea de aditivitate a integralei, obținem formula lui Simpson.

În metoda lui Simpson, pentru a calcula o integrală definită, întregul interval de integrare este împărțit în subintervale de lungime egală h=(b-a)/n. Numărul de segmente de partiție este un număr par. Apoi, pe fiecare pereche de subintervale adiacente, funcția integrand f(x) este înlocuită cu un polinom Lagrange de gradul doi (Figura 5).

Orez. 5 Funcția y=f(x) pe segment este înlocuită cu un polinom de ordinul 2

Să luăm în considerare integrantul pe un segment. Să înlocuim acest integrand polinom de interpolare Lagrange de gradul doi, care coincide cu y= în punctele:

Să integrăm pe segment:

Să introducem o schimbare de variabile:

Având în vedere formulele de înlocuire,

După efectuarea integrării, obținem formula lui Simpson:

Valoarea obținută pentru integrală coincide cu aria unui trapez curbiliniu delimitat de o axă, linii drepte și o parabolă care trece prin puncte Pe un segment, formula lui Simpson va arăta astfel:

În formula parabolă, valoarea funcției f(x) în punctele impare ale partiției x 1, x 3, ..., x 2n-1 are un coeficient de 4, în punctele pare x 2, x 4, . .., x 2n-2 - coeficientul 2 și în două puncte de limită x 0 =a, x n =b - coeficientul 1.

Semnificația geometrică a formulei lui Simpson: aria unui trapez curbiliniu sub graficul funcției f(x) pe un segment este aproximativ înlocuită cu suma ariilor figurilor aflate sub parabole.

Dacă funcția f(x) are o derivată continuă de ordinul al patrulea, atunci valoarea absolută a erorii formulei Simpson nu este mai mare de

unde M este cea mai mare valoare de pe segment. Deoarece n 4 crește mai repede decât n 2, eroarea formulei Simpson scade odată cu creșterea n mult mai rapid decât eroarea formulei trapezoidale.

Să calculăm integrala

Această integrală este ușor de calculat:

Să luăm n egal cu 10, h=0,1, să calculăm valorile integrandului la punctele de partiție, precum și punctele semiîntregi.

Folosind formula dreptunghiurilor medii, obținem I drept = 0,785606 (eroarea este 0,027%), folosind formula trapezoidală I capcană = 0,784981 (eroarea aproximativ 0,054. Când folosiți metoda dreptunghiurilor drepte și stângi, eroarea este mai mare de 3% .

Pentru a compara acuratețea formulelor aproximative, să calculăm din nou integrala

dar acum după formula lui Simpson cu n=4. Să împărțim segmentul în patru părți egale prin puncte x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 și să calculăm aproximativ valorile funcției f(x)=1/( 1+x) în aceste puncte: 0 =1,0000, 1 =0,8000, 2 =0,6667, 3 =0,5714, 4 =0,5000.

Folosind formula lui Simpson obținem

Să estimăm eroarea rezultatului obținut. Pentru funcția integrand f(x)=1/(1+x) avem: f (4) (x)=24/(1+x) 5, ceea ce înseamnă că pe segmentul . Prin urmare, putem lua M=24, iar eroarea rezultatului nu depășește 24/(2880 4 4)=0,0004. Comparând valoarea aproximativă cu cea exactă, ajungem la concluzia că eroarea absolută a rezultatului obținut folosind formula Simpson este mai mică de 0,00011. Aceasta este în conformitate cu estimarea erorii prezentată mai sus și, în plus, indică faptul că formula Simpson este semnificativ mai precis formule trapez. Prin urmare, formula lui Simpson este folosită mai des pentru calculul aproximativ al integralelor definite decât formula trapezoidală.

Utilizarea a trei puncte pentru a interpola integrandul permite utilizarea unei funcții parabolice (polinom de gradul doi). Aceasta conduce la formula lui Simpson pentru calculul aproximativ al integralei.

Luați în considerare o integrală arbitrară

Să folosim o schimbare de variabilă în așa fel încât limitele segmentului de integrare să devină [-1,1] pentru aceasta introducem variabila z:

Apoi

Să luăm în considerare problema interpolării unei funcții integrand cu un polinom de gradul doi (parabolă), folosind trei puncte nodale echidistante ca noduri - z = -1, z = 0, z = +1 (pasul este 1, lungimea integrării segmentul este 2). Să notăm valorile corespunzătoare ale integrandului la nodurile de interpolare

Sistem de ecuații pentru găsirea coeficienților polinomi

Trecând prin trei puncte, și

va lua forma

sau

Cotele pot fi obținute cu ușurință

Să calculăm acum valoarea integralei polinomului de interpolare

Schimbând invers variabila, revenim la integrala inițială. Să luăm în considerare asta

Obținem formula lui Simpson pentru un interval de integrare arbitrar:

Dacă este necesar, segmentul de integrare original poate fi împărțit în N segmente duble, fiecăruia dintre care se aplică formula Simpson. Pasul de interpolare va fi

Pentru primul segment de integrare, nodurile de interpolare vor fi punctele a, a+h, a+2h, pentru al doilea - a+2h, a+3h, a+4h, pentru al treilea - a+4h, a+5h , a+6h etc. Valoarea aproximativă a integralei se obține prin însumarea N arii:

Această sumă include termeni identici (pentru nodurile interne cu o valoare a indicelui par - 2i). Prin urmare, putem rearanja termenii din această sumă în acest fel

Ce este echivalent

Deoarece

Eroarea acestei metode aproximative scade proporțional cu lungimea pasului de integrare la a patra putere, adică. când se dublează numărul de intervale, eroarea scade de 16 ori

Precizie crescută

Aici ne uităm la așa-numitul proces Aitken. Face posibilă evaluarea erorii metodei și indică un algoritm pentru rafinarea rezultatelor. Calculul se efectuează secvenţial de trei ori la diferiţi paşi de partiţie h 1 , h 2 , h 3 , iar rapoartele lor sunt constante: h 2 / h 1 = h 3 / h 2 = q (de exemplu, la împărţirea pasului la jumătate q = 0,5). Fie ca rezultat al integrării numerice să se obțină valorile integralei I 1, I 2, I 3. Apoi valoarea rafinată a integralei este calculată folosind formula

iar ordinea acurateţei metodei de integrare numerică utilizată este determinată de relaţie

.

Valoarea integralei poate fi de asemenea rafinată folosind metoda Runge-Romberg.

Din analiza erorilor în metodele de integrare numerică rezultă că acuratețea rezultatelor obținute depinde atât de natura modificării integrandului, cât și de etapa de integrare. Vom presupune că setăm dimensiunea pasului. Este clar că pentru a obține o precizie comparabilă atunci când se integrează o funcție care se schimbă slab, pasul poate fi ales mai mare decât atunci când se integrează funcții care se schimbă brusc.

În practică, există adesea cazuri când funcția integrand se modifică diferit în secțiuni individuale ale segmentului de integrare. Această împrejurare necesită o astfel de organizare a algoritmilor numerici economici în care aceștia s-ar adapta automat la natura modificării funcției. Astfel de algoritmi sunt numiți adaptivi (de ajustare). Acestea vă permit să introduceți diferite valori ale pasului de integrare în secțiuni individuale ale segmentului de integrare. Acest lucru face posibilă reducerea timpului mașinii fără a pierde acuratețea rezultatelor calculului. Subliniem că această abordare este de obicei utilizată atunci când se specifică funcția integrand y=f(x) sub forma unei formule, și nu sub formă tabelară.

Să luăm în considerare principiul de funcționare al algoritmului adaptiv. Inițial, împărțim segmentul în n părți. În viitor, împărțim fiecare astfel de segment elementar succesiv în jumătate. Numărul final de pași, locația și dimensiunea acestora depind de eroarea integrantă și admisibilă e.

Pentru fiecare segment elementar aplicăm formule de integrare numerică pentru două partiții diferite. Obținem aproximări pentru integrala pe acest segment:

Comparăm valorile obținute și evaluăm eroarea acestora. Dacă eroarea este în limite acceptabile, atunci una dintre aceste aproximări este luată ca valoare a integralei peste acest segment elementar. În caz contrar, segmentul este împărțit în continuare și se calculează noi aproximări. Pentru a economisi timp, punctele de divizare sunt poziționate astfel încât să fie utilizate valorile calculate la punctele de diviziune anterioare.

Procesul de împărțire a segmentului la jumătate și de calculare a valorilor actualizate continuă până când diferența lor devine nu mai mult de o anumită valoare specificată d i, în funcție de e și h:

.

O procedură similară este efectuată pentru toate cele n segmente elementare. Mărimea este acceptată ca valoare dorită a integralei. Condițiile și alegerea corespunzătoare a valorilor d i asigură îndeplinirea condiției

Metoda trapezului

Să împărțim segmentul în părţi egale folosind puncte:

Metoda trapezoidală constă în înlocuirea integralei cu suma:

Eroarea absolută a aproximării obținute folosind formula trapezoidală este estimată folosind formula, unde.

Metoda parabolelor (metoda lui Simpson)

a) O singură parabolă trece prin oricare trei puncte cu coordonate.

b) Exprimați aria de sub parabolă pe segment prin:

Luând în considerare valorile și de la punctul a) rezultă:

c) Împărțiți segmentul în părți egale folosind puncte:

Metoda parabolelor presupune înlocuirea integralei cu suma:

Pentru calcule practice aproximative, se utilizează formula:

Eroarea absolută de calcul conform formulei (4) este estimată prin relația, unde.

Estimarea preciziei calculării integralelor „nu pot fi luate”.

În această lucrare, calculul erorilor absolute și relative se efectuează cu condiția ca valoarea exactă a integralei definite să fie cunoscută. Cu toate acestea, nu orice antiderivat, chiar și atunci când există, este exprimat în forma sa finală prin functii elementare. Acestea sunt antiderivate exprimate prin integrale etc. În toate astfel de cazuri, antiderivată reprezintă o funcție nouă care nu poate fi redusă la o combinație a unui număr finit de funcții elementare.

Integrale definite ale unor astfel de funcții pot fi calculate doar aproximativ. Pentru a evalua acuratețea calculelor în astfel de cazuri, de exemplu, se folosește regula lui Runge. ÎN în acest caz, integrala se calculează folosind formula selectată (dreptunghiuri, trapeze, parabole Simpson) cu un număr de pași egal cu n, iar apoi cu un număr de pași egal cu. Eroarea în calcularea valorii integralei cu un număr de pași egal cu este calculată folosind formula Runge: pentru formulele dreptunghiurilor și trapezelor și pentru formula lui Sipson. Astfel, integrala este calculată pentru valori succesive ale numărului de pași, ..., unde este numărul inițial de pași. Procesul de calcul se termină când următoarea valoare îndeplinește condiția în care este precizia specificată.

Pentru a nu calcula aceeași integrală de mai multe ori pentru diferite partiții ale segmentului de integrare, puteți calcula în avans pasul de integrare.

Exemplu. Selectați pasul de integrare pentru a calcula integrala cu o precizie de 0,01 utilizând formulele de cuadratura ale dreptunghiurilor, trapezelor și Simpson.

Formula de cuadratura a dreptunghiurilor.

Să calculăm la ce pas eroarea va fi 0,01:

integrand parabolă trapezoidală indestructibilă

Pentru că, atunci.

În timpul unui pas, segmentul este împărțit în noduri egal distanțate.

Formula de cuadratura a trapezelor.

Din moment ce, .

În timpul unui pas, segmentul este împărțit în noduri egal distanțate.

Formula de cuadratura a lui Simpson.

Să calculăm la ce pas eroarea va fi 0,01:

În timpul unui pas, segmentul este împărțit în noduri egal distanțate.

După cum ar fi de așteptat, cel mai mic număr de noduri egal distanțate se obține atunci când se calculează integrala folosind formula de cuadratura a lui Simpson.

Studentului i se oferă o muncă care constă în patru etape:

• Etapa 1 - calculul exact al unei integrale definite.
• Etapa 2 - calculul aproximativ al unei integrale definite folosind una dintre metodele: dreptunghiuri sau trapeze.
• Etapa 3 - calculul aproximativ al unei integrale definite folosind metoda parabolelor.

Etapa 4 - calculul și compararea erorilor absolute și relative ale metodelor aproximative: , unde este soluția exactă a integralei, este valoarea integralei obținute cu ajutorul metodelor aproximative.

Trasarea funcției integrand.

Opțiunile și un eșantion de performanță RGR sunt prezentate mai jos.

Opțiuni

Opțiunea nr.

Exemplu de executare a RGR

Exercita. Calculați integrala

1. Calcul exact:

2. Calcul aproximativ folosind formule dreptunghiulare:

Să facem un tabel:

Folosind prima formula de dreptunghiuri obtinem:

0,1 = 0,1 3,062514 = 0,306251.

Folosind a doua formulă de dreptunghiuri obținem:

0,1 = 0,1 4,802669 = 0,480267.

În acest caz, prima formulă dă valoarea integralei cu o deficiență, a doua - cu un exces.

3. Calcul aproximativ folosind formula trapezoidală:

În cazul nostru obținem:

0,1 = =0,1 = 0,1·4,095562 = =0,409556.

Să calculăm erorile relative și absolute.

4. Calcul aproximativ folosind formula lui Simpson:

În cazul nostru obținem:

Să calculăm erorile relative și absolute.

În realitate, = 0,40631714.

Astfel, la împărțirea segmentului în 10 părți folosind formula lui Simpson, am primit 5 semne corecte; conform formulei trapezoidale - trei semne corecte; Conform formulei dreptunghiulare, putem garanta doar primul semn.