Formula de distribuție a probabilității Poisson. Distribuția și formula Poisson. Variabilă aleatoare continuă. Funcția de distribuție. Densitatea probabilității. Probabilitatea de a se încadra într-un interval dat

În multe probleme practice trebuie să se ocupe de variabile aleatoare distribuite conform unei legi specifice numită legea lui Poisson.

Luați în considerare o variabilă aleatoare discontinuă care poate lua numai valori întregi, nenegative:

Mai mult, succesiunea acestor valori este teoretic nelimitată.

Se spune că o variabilă aleatoare este distribuită conform legii lui Poisson dacă probabilitatea ca aceasta să ia o anumită valoare este exprimată prin formula

unde a este o cantitate pozitivă numită parametrul legii lui Poisson.

Domeniul de distribuție variabilă aleatoare, distribuit conform legii lui Poisson, are forma:

Să ne asigurăm, în primul rând, că succesiunea probabilităților dată de formula (5.9.1) poate fi o serie de distribuție, i.e. că suma tuturor probabilităților este egală cu unu. Avem:

În fig. 5.9.1 prezintă poligoanele de distribuție ale unei variabile aleatoare distribuite conform legii lui Poisson, corespunzătoare sensuri diferite parametru Anexa Tabelul 8 prezintă valorile pentru diferite .

Să definim principalele caracteristici - așteptarea și varianța matematică - ale unei variabile aleatoare distribuite conform legii lui Poisson. Prin definiția așteptării matematice

Primul termen al sumei (corespunzător lui) egal cu zero, prin urmare, însumarea poate începe cu:

Să notăm; Apoi

. (5.9.2)

Astfel, parametrul nu este altceva decât așteptarea matematică a unei variabile aleatoare.

Pentru a determina dispersia, găsim mai întâi al doilea moment inițial al mărimii:

Conform dovedit anterior

In plus,

Astfel, varianța unei variabile aleatoare distribuită conform legii lui Poisson este egală cu așteptările ei matematice.

Această proprietate a distribuției Poisson este adesea folosită în practică pentru a decide dacă ipoteza că o variabilă aleatoare este distribuită conform legii lui Poisson este plauzibilă. Pentru a face acest lucru, caracteristicile statistice — așteptarea matematică și dispersia — ale unei variabile aleatorii sunt determinate din experiență. Dacă valorile lor sunt apropiate, atunci acest lucru poate servi drept argument în favoarea ipotezei distribuției Poisson; diferența accentuată a acestor caracteristici, dimpotrivă, argumentează împotriva ipotezei.

Să determinăm pentru o variabilă aleatoare distribuită conform legii lui Poisson probabilitatea ca aceasta să ia o valoare nu mai mică decât cea dată. Să notăm această probabilitate:

Evident, probabilitatea poate fi calculată ca sumă

Cu toate acestea, este mult mai ușor să o determinați din probabilitatea evenimentului opus:

(5.9.4)

În special, probabilitatea ca o cantitate să ia o valoare pozitivă este exprimată prin formula

(5.9.5)

Am menționat deja că multe probleme de practică au ca rezultat o distribuție Poisson. Să luăm în considerare una dintre problemele tipice de acest gen.

Punctele să fie distribuite aleatoriu pe axa x Ox (Fig. 5.9.2). Să presupunem că distribuția aleatorie a punctelor îndeplinește următoarele condiții:

1. Probabilitatea ca un anumit număr de puncte să cadă pe un segment depinde numai de lungimea acestui segment, dar nu depinde de poziția sa pe axa absciselor. Cu alte cuvinte, punctele sunt distribuite pe axa x cu aceeași densitate medie. Să notăm această densitate (adică așteptarea matematică a numărului de puncte pe unitatea de lungime) cu .

2. Punctele sunt distribuite pe axa x independent unele de altele, i.e. probabilitatea ca unul sau altul număr de puncte să cadă pe un anumit segment nu depinde de câte dintre ele cad pe orice alt segment care nu se suprapune cu acesta.

3. Probabilitatea ca două sau mai multe puncte să cadă într-o zonă mică este neglijabilă în comparație cu probabilitatea ca un punct să cadă (această condiție înseamnă imposibilitatea practică de a coincide două sau mai multe puncte).

Să selectăm un anumit segment de lungime pe axa absciselor și să luăm în considerare o variabilă aleatorie discretă - numărul de puncte care se încadrează pe acest segment. Valorile posibile vor fi

Deoarece punctele cad pe segment independent unul de celălalt, este teoretic posibil ca acolo să fie atâtea cât se dorește, de exemplu. seria (5.9.6) continuă la nesfârșit.

Să demonstrăm că variabila aleatoare are o lege de distribuție Poisson. Pentru a face acest lucru, calculăm probabilitatea ca pe segment să fie exact puncte.

Mai întâi să rezolvăm mai multe sarcină simplă. Să luăm în considerare o zonă mică pe axa Ox și să calculăm probabilitatea ca cel puțin un punct să cadă pe această zonă. Vom raționa în felul următor. Așteptarea matematică a numărului de puncte care se încadrează pe această secțiune este în mod evident egală (deoarece media punctelor scade pe unitatea de lungime). Conform condiției 3, pentru un segment mic putem neglija posibilitatea ca două sau mai multe puncte să cadă pe el. Prin urmare, așteptarea matematică a numărului de puncte care cad pe zonă va fi aproximativ egală cu probabilitatea ca un punct să cadă pe ea (sau, care în condițiile noastre este echivalent, cel puțin unul).

Astfel, cu o precizie de până la infinitezimale de ordin superior, la putem presupune că probabilitatea ca un (cel puțin un) punct să cadă pe site este egală cu , iar probabilitatea ca niciunul să nu cadă este egală cu .

Să folosim asta pentru a calcula probabilitatea ca punctele exacte să cadă pe un segment. Împărțiți segmentul în părţi egale lungime . Să fim de acord să numim un segment elementar „gol” dacă nu conține un singur punct și „ocupat” dacă apare cel puțin unul. Conform celor de mai sus, probabilitatea ca segmentul să fie „ocupat” este aproximativ egală cu ; probabilitatea ca acesta să fie „gol” este egală cu . Deoarece, conform condiției 2, punctele care se încadrează în segmente care nu se suprapun sunt independente, atunci n segmentele noastre pot fi considerate „experimente” independente, în fiecare dintre acestea segmentul poate fi „ocupat” cu probabilitate . Să găsim probabilitatea ca printre segmente să fie exact „ocupat”. Conform teoremei privind repetarea experimentelor, această probabilitate este egală cu

sau, indicând ,

(5.9.7)

Dacă este suficient de mare, această probabilitate este aproximativ egală cu probabilitatea ca exact punctele să cadă pe segment, deoarece probabilitatea ca două sau mai multe puncte să cadă pe segment este neglijabilă. Pentru a găsi valoarea exactă, trebuie să mergeți la limita din expresia (5.9.7) la:

(5.9.8)

Să transformăm expresia sub semnul limită:

(5.9.9)

Prima fracție și numitorul ultimei fracții din expresia (5.9.9) pentru , tind în mod evident spre unitate. Expresia nu depinde de. Numătorul ultimei fracții poate fi transformat astfel:

(5.9.10)

Când și expresia (5.9.10) tinde să . Astfel, s-a dovedit că probabilitatea ca exact punctele să cadă într-un segment este exprimată prin formula

unde, adica valoarea lui X se distribuie conform legii Poisson cu parametrul .

Rețineți că valoarea este numărul mediu de puncte pe segment.

Mărimea (probabilitatea ca valoarea lui X să ia o valoare pozitivă) în în acest caz, exprimă probabilitatea ca cel puțin un punct să cadă pe segment:

Astfel, suntem convinși că distribuția Poisson apare acolo unde unele puncte (sau alte elemente) ocupă o poziție aleatorie independent unul de celălalt, iar numărul acestor puncte care se încadrează într-o anumită zonă este numărat. În cazul nostru, o astfel de „regiune” era un segment pe axa absciselor. Cu toate acestea, concluzia noastră poate fi extinsă cu ușurință la cazul distribuției punctelor în plan (câmp plat aleator de puncte) și în spațiu (câmp spațial aleator de puncte). Nu este greu de dovedit că dacă sunt îndeplinite condițiile:

1) punctele sunt distribuite statistic uniform pe teren cu o densitate medie;

2) punctele se încadrează în regiuni care nu se suprapun în mod independent;

3) punctele apar singure, și nu în perechi, tripleți etc., apoi numărul de puncte care se încadrează în orice zonă (plată sau spațială) sunt distribuite conform legii lui Poisson:

unde este numărul mediu de puncte care se încadrează în zonă.

Pentru carcasă plată

unde este aria regiunii; pentru spațial

unde este volumul regiunii.

Rețineți că pentru distribuția Poisson a numărului de puncte care se încadrează într-un segment sau regiune, condiția densității constante () este neimportantă. Dacă sunt îndeplinite celelalte două condiții, atunci legea lui Poisson este încă valabilă, doar parametrul a din el capătă o expresie diferită: se obține nu prin simpla înmulțire a densității cu lungimea, aria sau volumul regiunii, ci prin integrarea densitate variabilă pe segment, zonă sau volum. (Pentru mai multe despre aceasta, vezi nr. 19.4)

Prezența punctelor aleatorii împrăștiate pe o linie, un plan sau un volum nu este singura condiție în care apare o distribuție Poisson. Se poate demonstra, de exemplu, că legea lui Poisson este limitativă pentru distribuție binomială:

, (5.9.12)

dacă în același timp numărul de experimente tinde spre infinit, iar probabilitatea ajunge la zero, iar produsul lor rămâne constant:

Într-adevăr, această proprietate limitativă a distribuției binomiale poate fi scrisă ca:

. (5.9.14)

Dar din condiția (5.9.13) rezultă că

Înlocuind (5.9.15) în (5.9.14), obținem egalitatea

, (5.9.16)

ceea ce tocmai am dovedit cu altă ocazie.

Această proprietate limitativă a legii binomiale este adesea folosită în practică. Să presupunem că se efectuează un număr mare de experimente independente, în fiecare dintre ele evenimentul are o probabilitate foarte scăzută. Apoi, pentru a calcula probabilitatea ca un eveniment să apară exact o dată, puteți folosi formula aproximativă:

, (5.9.17)

unde este parametrul legii Poisson care înlocuiește aproximativ distribuția binomială.

Din această proprietate a legii lui Poisson - de a exprima o distribuție binomială cu un număr mare de experimente și o probabilitate scăzută de apariție a unui eveniment - provine denumirea ei, folosită adesea în manualele de statistică: legea fenomenelor rare.

Să ne uităm la câteva exemple legate de distribuția Poisson din diverse domenii de practică.

Exemplul 1. O centrală telefonică automată primește apeluri cu o densitate medie de apeluri pe oră. Presupunând că numărul de apeluri în orice perioadă de timp este distribuit conform legii lui Poisson, găsiți probabilitatea ca exact trei apeluri să ajungă la stație în două minute.

Soluţie. Numărul mediu de apeluri pe două minute este:

mp Pentru a lovi o țintă, cel puțin un fragment este suficient pentru a o lovi. Găsiți probabilitatea de a lovi ținta la o anumită poziție a punctului de rupere.

Soluţie. . Folosind formula (5.9.4) găsim probabilitatea de a lovi cel puțin un fragment:

(Pentru a calcula valoarea funcţie exponenţială folosim tabelul 2 din anexa).

Exemplul 7. Densitatea medie a microbilor patogeni într-unul metru cub aerul este 100. Luați 2 metri cubi pentru testare. dm de aer. Găsiți probabilitatea ca cel puțin un microb să fie găsit în el.

Soluţie. Acceptând ipoteza unei distribuții Poisson a numărului de microbi dintr-un volum, găsim:

Exemplul 8. 50 de focuri independente sunt trase la o anumită țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,04. Folosind proprietatea limitatoare a distribuției binomiale (formula (5.9.17)), găsiți aproximativ probabilitatea ca ținta să fie lovită: nici un proiectil, un proiectil, două proiectile.

Soluţie. Avem. Folosind tabelul 8 din anexă găsim probabilitățile.

Introducere

Sunt fenomenele aleatorii supuse vreunei legi? Da, dar aceste legi sunt diferite de cele cu care suntem obișnuiți legi fizice. Valorile SV nu pot fi prezise nici măcar în condiții experimentale cunoscute, putem indica doar probabilitățile ca SV să ia una sau alta. Dar cunoscând distribuția de probabilitate a SV, putem trage concluzii despre evenimentele la care participă aceste variabile aleatoare. Adevărat, aceste concluzii vor fi, de asemenea, de natură probabilistică.

Lăsați unele SV să fie discrete, de exemplu. poate lua doar valori fixe Xi. În acest caz, seria de valori de probabilitate P(Xi) pentru toate valorile admise (i=1…n) ale acestei mărimi se numește legea distribuției sale.

Legea distribuției SV este o relație care stabilește o legătură între posibilele valori ale SV și probabilitățile cu care aceste valori sunt acceptate. Legea distribuției caracterizează pe deplin SV.

La construirea model matematic Pentru a testa ipoteza statistică, este necesar să se introducă o ipoteză matematică despre legea distribuției SV (modalitate parametrică de construire a modelului).

Abordarea neparametrică a descrierii modelului matematic (SV nu are o lege de distribuție parametrică) este mai puțin precisă, dar are o sferă mai largă.

Exact la fel ca pentru probabilitate eveniment aleatoriu, pentru legea distribuției SV există doar două modalități de a o găsi. Fie construim o diagramă a unui eveniment aleatoriu și găsim o expresie analitică (formulă) pentru calcularea probabilității (poate că cineva a făcut deja sau va face asta pentru noi!), fie va trebui să folosim un experiment și, pe baza frecvențelor de observații, faceți câteva ipoteze (propuneți ipoteze) despre distribuțiile legii.

Desigur, pentru fiecare dintre distribuțiile „clasice” această lucrare a fost făcută de mult timp - larg cunoscute și foarte des folosite în statistica aplicată sunt distribuțiile binomiale și polinomiale, geometrice și hipergeometrice, distribuțiile Pascal și Poisson și multe altele.

Pentru aproape toate distribuțiile clasice, au fost imediat construite și publicate tabele statistice speciale, rafinate pe măsură ce acuratețea calculelor creștea. Fără a folosi multe volume din aceste tabele, fără a învăța cum să le folosești în ultimele două secole utilizare practică statisticile erau imposibile.

Astăzi situația s-a schimbat - nu este nevoie să stocați datele de calcul folosind formule (oricât de complexe ar fi acestea din urmă!), timpul de utilizare a legii de distribuție pentru practică a fost redus la minute, sau chiar secunde. Există deja un număr suficient de pachete software de aplicații diferite pentru aceste scopuri.

Printre toate distribuțiile de probabilitate, există acelea care sunt folosite în mod deosebit în practică. Aceste distribuții au fost studiate în detaliu și proprietățile lor sunt bine cunoscute. Multe dintre aceste distribuții stau la baza domenii întregi de cunoaștere - cum ar fi teoria cozilor, teoria fiabilității, controlul calității, teoria jocurilor etc.

Dintre ele, nu se poate să nu acorde atenție lucrărilor lui Poisson (1781-1840), care a dovedit o formă mai generală a dreptului decât cea a lui Jacob Bernoulli. numere mari, și, de asemenea, pentru prima dată a aplicat teoria probabilității la problemele de fotografiere. Numele de Poisson este asociat cu una dintre legile distribuției, care joacă un rol important în teoria probabilității și în aplicațiile acesteia.

Acest articol îi este dedicat acestei legi de distribuție. munca de curs. Vom vorbi direct despre lege, despre caracteristicile ei matematice, proprietățile speciale și legătura cu distribuția binomială. Se vor spune câteva cuvinte despre aplicare practicăși sunt date câteva exemple din practică.

Scopul eseului nostru este de a clarifica esența teoremelor distribuției Bernoulli și Poisson.

Sarcina este de a studia și analiza literatura de specialitate pe tema eseului.

1. Distribuție binomială (distribuția Bernoulli)

Distribuție binomială (distribuția Bernoulli) - distribuția de probabilitate a numărului de apariții ale unui eveniment în timpul încercărilor independente repetate, dacă probabilitatea de apariție a acestui eveniment în fiecare încercare este egală cu p (0

SV X se spune că este distribuit conform legii lui Bernoulli cu parametrul p dacă ia valori 0 și 1 cu probabilități pX(x)ºP(X=x) = pxq1-x; p+q=1; x=0,1.

Distribuția binomială apare în cazurile în care se pune întrebarea: de câte ori are loc un anumit eveniment într-o serie de un anumit număr de observații (experimente) independente efectuate în aceleași condiții.

Pentru comoditate și claritate, vom presupune că știm valoarea p - probabilitatea ca un vizitator care intră în magazin să se dovedească a fi un cumpărător și (1- p) = q - probabilitatea ca un vizitator care intră în magazin să nu fie un cumpărător.

Dacă X este numărul de cumpărători de la număr total n vizitatori, atunci probabilitatea ca printre n vizitatori să fi fost k cumpărători este egală cu

P(X= k) = , unde k=0,1,…n 1)

Formula (1) se numește formula lui Bernoulli. La număr mare teste, distribuția binomială tinde să fie normală.

Un test Bernoulli este un experiment de probabilitate cu două rezultate, care sunt de obicei numite „succes” (notat de obicei cu simbolul 1) și „eșec” (notat respectiv cu simbolul 0). Probabilitatea de succes este de obicei notată cu litera p, eșecul - cu litera q; desigur q=1-p. Valoarea p se numește parametrul testului Bernoulli.

Variabile aleatoare binomiale, geometrice, pascale și binomiale negative sunt obținute dintr-o secvență de încercări Bernoulli independente dacă secvența se termină într-un fel sau altul, de exemplu după a n-a încercare sau a x-a succes. Următoarea terminologie este folosită în mod obișnuit:

– Parametrul testului Bernoulli (probabilitatea de succes într-un singur test);

– numărul de teste;

– numărul de succese;

– numărul de defecțiuni.

Variabilă aleatoare binomială (m|n,p) – numărul de m succese în n încercări.

Variabila aleatoare geometrică G(m|p) – numărul m de încercări până la primul succes (inclusiv primul succes).

Variabila aleatorie Pascal C(m|x,p) – numărul m de încercări până la al-lea succes (fără includere, desigur, al-lea succes în sine).

Variabila aleatoare binomială negativă Y(m|x,p) – numărul m de eșecuri înainte de al x-lea succes (fără a include al x-lea succes).

Notă: uneori distribuția binomială negativă se numește distribuție Pascal și invers.

Distribuția Poisson

2.1. Definiția legii Poisson

În multe probleme practice trebuie să se ocupe de variabile aleatoare distribuite după o lege particulară, care se numește legea lui Poisson.

Să considerăm o variabilă aleatoare discontinuă X, care poate lua numai valori întregi, nenegative: 0, 1, 2, ... , m, ... ; Mai mult, succesiunea acestor valori este teoretic nelimitată. Se spune că o variabilă aleatoare X este distribuită conform legii lui Poisson dacă probabilitatea ca aceasta să ia o anumită valoare m este exprimată prin formula:

unde a este o cantitate pozitivă numită parametrul legii lui Poisson.

Seria de distribuție a unei variabile aleatoare X, distribuită conform legii lui Poisson, arată astfel:

xm				…	m	…
P.m	e-a			…		…

2.2.Principalele caracteristici ale distribuției Poisson

În primul rând, să ne asigurăm că succesiunea probabilităților poate fi o serie de distribuție, de exemplu. că suma tuturor probabilităților Рm este egală cu unu.

Folosim extinderea funcției ex din seria Maclaurin:

Se știe că această serie converge pentru orice valoare a lui x, prin urmare, luând x = a, obținem

prin urmare

Să determinăm principalele caracteristici - așteptarea matematică și dispersia - ale unei variabile aleatoare X distribuite conform legii lui Poisson. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora. Prin definiție, atunci când o variabilă aleatorie discretă ia un set numărabil de valori:

Primul termen al sumei (corespunzător cu m=0) este egal cu zero, prin urmare, însumarea poate începe cu m=1:

Astfel, parametrul a nu este altceva decât așteptarea matematică a variabilei aleatoare X.

Se numește varianța variabilei aleatoare X așteptări matematice abaterea pătrată a unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice:

Cu toate acestea, este mai convenabil să îl calculați folosind formula:

Prin urmare, să găsim mai întâi al doilea moment inițial al valorii X:

Conform dovedit anterior

In plus,

2.3. Caracteristici suplimentare ale distribuției Poisson

I. Momentul inițial de ordin k al unei variabile aleatoare X este așteptarea matematică a valorii Xk:

În special, momentul inițial de ordinul întâi este egal cu așteptarea matematică:

II. Momentul central de ordin k al unei variabile aleatoare X este așteptarea matematică a valorii k:

În special, momentul central de ordinul 1 este 0:

μ1=M=0,

momentul central de ordinul 2 este egal cu dispersia:

μ2=M2=a.

III. Pentru o variabilă aleatoare X distribuită conform legii lui Poisson, găsim probabilitatea ca aceasta să ia o valoare nu mai mică decât k dat. Notăm această probabilitate cu Rk:

Evident, probabilitatea Rk poate fi calculată ca sumă

Cu toate acestea, este mult mai ușor să o determinați din probabilitatea evenimentului opus:

În special, probabilitatea ca valoarea lui X să ia o valoare pozitivă este exprimată prin formula

După cum sa menționat deja, multe probleme de practică au ca rezultat o distribuție Poisson. Să luăm în considerare una dintre problemele tipice de acest gen.

Fig.2

Punctele să fie distribuite aleatoriu pe axa x Ox (Fig. 2). Să presupunem că distribuția aleatorie a punctelor îndeplinește următoarele condiții:

1) Probabilitatea ca un anumit număr de puncte să cadă pe un segment l depinde numai de lungimea acestui segment, dar nu depinde de poziția acestuia pe axa absciselor. Cu alte cuvinte, punctele sunt distribuite pe axa x cu aceeași densitate medie. Să notăm această densitate, i.e. așteptarea matematică a numărului de puncte pe unitatea de lungime, exprimată prin λ.

2) Punctele sunt distribuite pe axa x independent unele de altele, i.e. probabilitatea ca un anumit număr de puncte să cadă pe un anumit segment nu depinde de câte dintre ele cad pe orice alt segment care nu se suprapune cu acesta.

3) Probabilitatea ca două sau mai multe puncte să cadă într-o zonă mică Δx este neglijabilă în comparație cu probabilitatea ca un punct să cadă (această condiție înseamnă imposibilitatea practică de a coincide două sau mai multe puncte).

Să selectăm un anumit segment de lungime l pe axa absciselor și să considerăm o variabilă aleatoare discretă X - numărul de puncte care se încadrează pe acest segment. Valorile posibile ale cantității vor fi 0,1,2,...,m,... Deoarece punctele cad pe segment independent unul de celălalt, este teoretic posibil ca acolo să fie atât de multe câte dorit, adică această serie continuă la nesfârșit.

Să demonstrăm că variabila aleatoare X este distribuită conform legii lui Poisson. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați probabilitatea Pm ca exact m puncte să cadă pe segment.

Să rezolvăm mai întâi o problemă mai simplă. Să considerăm o zonă mică Δx pe axa Ox și să calculăm probabilitatea ca cel puțin un punct să cadă pe această zonă. Vom raționa în felul următor. Așteptările matematice ale numărului de puncte care se încadrează pe această secțiune este în mod evident egală cu λ·Δх (deoarece în medie λ puncte cad pe unitatea de lungime). Conform condiției 3, pentru un segment mic Δx putem neglija posibilitatea ca două sau mai multe puncte să cadă pe el. Prin urmare, așteptarea matematică λ·Δх a numărului de puncte care se încadrează pe aria Δх va fi aproximativ egală cu probabilitatea ca un punct să cadă pe ea (sau, ceea ce este echivalent în aceste condiții, cel puțin unul).

Astfel, până la infinitezimale de ordin superior, pentru Δx→0 putem considera probabilitatea ca un (cel puțin un) punct să cadă pe secțiunea Δx egal cu λ·Δx, și probabilitatea ca niciunul să nu cadă egală cu 1 -c ·Δх.

Să folosim aceasta pentru a calcula probabilitatea Pm ca exact m puncte să cadă pe segmentul l. Să împărțim segmentul l în n părți egale de lungime. Suntem de acord să numim segmentul elementar Δx „gol” dacă nu conține un singur punct și „ocupat” dacă apare cel puțin unul. Conform celor de mai sus, probabilitatea ca segmentul Δх să fie „ocupat” este aproximativ egală cu λ·Δх=; probabilitatea ca acesta să fie „gol” este 1-. Deoarece, conform condiției 2, punctele care se încadrează în segmente care nu se suprapun sunt independente, atunci n segmentele noastre pot fi considerate n „experimente” independente, în fiecare dintre acestea segmentul poate fi „ocupat” cu probabilitatea p=. Să aflăm probabilitatea ca între n segmente să fie exact m „ocupat”. Conform teoremei încercărilor independente repetate, această probabilitate este egală cu

sau să notăm λl=a:

Pentru un n suficient de mare, această probabilitate este aproximativ egală cu probabilitatea ca exact m puncte să cadă pe segmentul l, deoarece probabilitatea ca două sau mai multe puncte să cadă pe segmentul Δx este neglijabilă. Pentru a găsi valoarea exactă a lui Рm, trebuie să mergeți la limita ca n→∞:

Având în vedere că

constatăm că probabilitatea dorită este exprimată prin formula

unde a=λl, adică valoarea lui X se distribuie conform legii lui Poisson cu parametrul a=λl.

Trebuie remarcat faptul că valoarea a în sensul reprezintă numărul mediu de puncte pe segment l. Valoarea R1 (probabilitatea ca valoarea X să ia o valoare pozitivă) în acest caz exprimă probabilitatea ca cel puțin un punct să cadă pe segmentul l: R1=1-e-a.

Astfel, suntem convinși că distribuția Poisson apare acolo unde unele puncte (sau alte elemente) ocupă o poziție aleatorie independent unul de celălalt, iar numărul acestor puncte care se încadrează într-o anumită zonă este numărat. În cazul nostru, o astfel de zonă a fost segmentul l de pe axa absciselor. Cu toate acestea, această concluzie poate fi extinsă cu ușurință la cazul distribuției punctelor pe plan (câmp aleator de puncte plat) și în spațiu (câmp spațial aleator de puncte). Nu este greu de dovedit că dacă sunt îndeplinite condițiile:

1) punctele sunt distribuite statistic uniform în câmpul cu o densitate medie λ;

2) punctele se încadrează în regiuni care nu se suprapun în mod independent;

3) punctele apar singure și nu în perechi, tripleți etc.,

atunci numărul de puncte X care se încadrează în orice regiune D (plată sau spațială) este distribuit conform legii lui Poisson:

unde a este numărul mediu de puncte care se încadrează în zona D.

Pentru un caz plat a=SD λ, unde SD este aria regiunii D,

pentru a spațial = VD λ, unde VD este volumul regiunii D.

Pentru o distribuție Poisson a numărului de puncte care se încadrează într-un segment sau regiune, condiția densității constante (λ=const) este neimportantă. Dacă sunt îndeplinite celelalte două condiții, atunci legea lui Poisson este încă valabilă, doar parametrul a din el capătă o expresie diferită: se obține nu prin simpla înmulțire a densității λ cu lungimea, aria sau volumul, ci prin integrarea densității variabile. peste segment, zonă sau volum.

Distribuția Poisson joacă rol importantîntr-o serie de probleme de fizică, teoria comunicării, teoria fiabilității, teoria cozilor etc. Oriunde unde un număr aleatoriu de evenimente (degradări radioactive, apeluri telefonice, defecțiuni ale echipamentelor, accidente etc.) pot avea loc într-o anumită perioadă de timp.

Să luăm în considerare situația cea mai tipică în care apare distribuția Poisson. Lasă unele evenimente (cumpărături într-un magazin) să se întâmple la momente aleatorii. Să determinăm numărul de apariții ale unor astfel de evenimente în intervalul de timp de la 0 la T.

Numărul aleatoriu de evenimente care au avut loc în timpul de la 0 la T este distribuit conform legii lui Poisson cu parametrul l=aT, unde a>0 este un parametru de problemă care reflectă frecvența medie a evenimentelor. Probabilitatea de a cumpăra k pe un interval de timp mare (de exemplu, o zi) va fi

Concluzie

În concluzie, aș dori să remarc că distribuția Poisson este o distribuție destul de comună și importantă, având aplicație atât în teoria probabilităților, cât și în aplicațiile acesteia, cât și în statistici matematice.

Multe probleme practice se reduc în cele din urmă la distribuția Poisson. Proprietatea sa specială, care constă în egalitatea așteptărilor matematice și a varianței, este adesea folosită în practică pentru a rezolva problema dacă o variabilă aleatoare este distribuită conform legii lui Poisson sau nu.

De asemenea, important este faptul că legea lui Poisson permite găsirea probabilităților unui eveniment în încercări independente repetate cu un număr mare de repetări ale experimentului și o mică probabilitate.

Cu toate acestea, distribuția Bernoulli este folosită în practica calculelor economice și, în special, în analiza stabilității, extrem de rar. Acest lucru se datorează atât dificultăților de calcul, cât și faptului că distribuția Bernoulli este pentru mărimi discrete, cât și faptului că condițiile schemei clasice (independență, număr numărabil de teste, invarianța condițiilor care afectează posibilitatea producerii unui eveniment) nu sunt întotdeauna întâlnite în situaţii practice . Cercetări ulterioare în domeniul analizei schemei Bernoulli, efectuate în secolele XVIII-XIX. Laplace, Moivre, Poisson și alții au avut ca scop crearea posibilității utilizării schemei Bernoulli în cazul unui număr mare de teste care tind spre infinit.

Literatură

1. Ventzel E.S. Teoria probabilității. - M, " facultate" 1998

2. Gmurman V.E. Un ghid pentru rezolvarea problemelor în teoria probabilităților și statistica matematică. - M, „Școala superioară” 1998

3. Culegere de probleme de matematică pentru colegii. Ed. Efimova A.V. - M, Știință 1990

Să luăm în considerare distribuția Poisson, să calculăm așteptările, varianța și modul ei matematic. Folosind funcția MS EXCEL POISSON.DIST(), vom construi grafice ale funcției de distribuție și ale densității de probabilitate. Să estimăm parametrul de distribuție, așteptările sale matematice și abaterea standard.

În primul rând, dăm o definiție formală a distribuției, apoi dăm exemple de situații când Distribuția Poisson(engleză) Poissondistributie) este un model adecvat pentru descrierea unei variabile aleatoare.

Dacă evenimente aleatorii au loc într-o anumită perioadă de timp (sau într-un anumit volum de materie) cu o frecvență medie λ( lambda), apoi numărul de evenimente x, survenite în această perioadă de timp vor avea Distribuția Poisson.

Aplicarea distribuției Poisson

Exemple când Distribuția Poisson este un model adecvat:

numărul de apeluri primite la centrala telefonică într-o anumită perioadă de timp;
numărul de particule care au suferit dezintegrare radioactivă într-o anumită perioadă de timp;
numărul de defecte dintr-o bucată de țesătură de lungime fixă.

Distribuția Poisson este un model adecvat dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

evenimentele au loc independent unele de altele, adică probabilitatea unui eveniment ulterior nu depinde de cel precedent;
rata medie a evenimentelor este constantă. În consecință, probabilitatea unui eveniment este proporțională cu lungimea intervalului de observație;
două evenimente nu pot avea loc în același timp;
numărul de evenimente trebuie să ia valoarea 0; 1; 2…

Nota: Un indiciu bun este că variabila aleatoare observată are distribuție Poisson, este faptul că este aproximativ egală (vezi mai jos).

Mai jos sunt exemple de situații în care Distribuția Poisson nu pot se aplica:

numărul de studenți care părăsesc universitatea în decurs de o oră (întrucât fluxul mediu de studenți nu este constant: în timpul orelor sunt puțini studenți, iar în pauza dintre ore numărul studenților crește brusc);
numărul de cutremure cu o amplitudine de 5 puncte pe an în California (întrucât un cutremur poate provoca replici de amplitudine similară - evenimentele nu sunt independente);
numărul de zile pe care pacienții le petrec în secția de terapie intensivă (deoarece numărul de zile pe care pacienții le petrec în unitatea de terapie intensivă este întotdeauna mai mare de 0).

Nota: Distribuția Poisson este o aproximare a mai precisă distribuții discrete: Și .

Nota: Despre relație Distribuția PoissonŞi Distribuție binomială poate fi citit in articol. Despre relatie Distribuția PoissonŞi Distribuție exponențială poate fi citit în articolul despre.

Distribuția Poisson în MS EXCEL

În MS EXCEL, începând cu versiunea 2010, pt Distribuții Poisson există o funcție POISSON.DIST() , nume englezesc- POISSON.DIST(), care vă permite să calculați nu numai probabilitatea a ceea ce se va întâmpla într-o anumită perioadă de timp X evenimente (funcția densitatea de probabilitate p(x), vezi formula de mai sus), dar și (probabilitatea ca într-o anumită perioadă de timp cel puțin x evenimente).

Înainte de MS EXCEL 2010, EXCEL avea funcția POISSON(), care vă permite și să calculați functie de distributieŞi densitatea de probabilitate p(x). POISSON() este lăsat în MS EXCEL 2010 pentru compatibilitate.

Fișierul exemplu conține grafice distribuția densității de probabilitateŞi funcția de distribuție cumulativă.

Distribuția Poisson are o formă înclinată (o coadă lungă în partea dreaptă a funcției de probabilitate), dar pe măsură ce parametrul λ crește, devine din ce în ce mai simetric.

Nota: MedieŞi dispersie(pătrat) sunt egale cu parametrul Distribuția Poisson– λ (vezi exemplu de fișier fișă Exemplu).

Sarcină

Aplicație tipică Distribuții Poissonîn controlul calității este un model al numărului de defecte care pot apărea într-un instrument sau dispozitiv.

De exemplu, cu un număr mediu de defecte într-un cip λ (lambda) egal cu 4, probabilitatea ca un cip selectat aleatoriu să aibă 2 sau mai puține defecte este: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0,2381

Al treilea parametru din funcție este setat = TRUE, deci funcția va reveni funcția de distribuție cumulativă, adică probabilitatea ca numărul de evenimente aleatoare să fie în intervalul de la 0 la 4 inclusiv.

Calculele în acest caz se fac după formula:

Probabilitatea ca un microcircuit selectat aleatoriu să aibă exact 2 defecte este: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0,1465

Al treilea parametru din funcție este setat = FALSE, deci funcția va returna densitatea probabilității.

Probabilitatea ca un microcircuit selectat aleatoriu să aibă mai mult de 2 defecte este egală cu: =1-POISSON.DIST(2,4,TRUE) =0,8535

Nota: Dacă x nu este un număr întreg, atunci când se calculează formula . Formule =POISSON.DIST( 2 ; 4; MINCIUNĂ)Şi =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; MINCIUNĂ) va returna acelasi rezultat.

Generarea numerelor aleatoare și estimarea λ

Pentru valorile lui λ >15 , Distribuția Poisson bine aproximat Distribuție normală cu următorii parametri: μ =λ , σ 2 =λ .

Mai multe detalii despre relația dintre aceste distribuții pot fi găsite în articol. Există, de asemenea, exemple de aproximare și condițiile pentru când este posibil și cu ce precizie sunt explicate.

SFATURI: Puteți citi despre alte distribuții MS EXCEL în articol.

$X$ are o distribuție Poisson cu parametrul $\lambda$ ($\lambda$$>$0) dacă această valoare ia valori întregi nenegative $k=0, 1, 2,\dots$ cu probabilități $pk$ =$\frac (\lambda ^(:) )(: \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком !} Simeon Denis Poissonîn 1837)

Distribuția Poisson numită și legea evenimentelor rare, deoarece probabilitățile pk oferă o distribuție aproximativă a numărului de apariții ale unui eveniment rar pe un număr mare de încercări independente. În acest caz, presupunem $\lambda =n \cdot р$, unde $n$ este numărul de încercări Bernoulli, $р$ este probabilitatea ca evenimentul să apară într-o singură încercare.

Valabilitatea utilizării legii lui Poisson în locul distribuției binomiale pentru un număr mare de teste este dată de următoarea teoremă.

Teorema 1

teorema lui Poisson.

Dacă în schema Bernoulli n$\rightarrow$$\infty$, p$\rightarrow$0, astfel încât $n \cdot p$$\rightarrow$$\lambda$ (la un număr finit), atunci

$!_(n)^(k) p^(k) (1-p)^(n-k) \to \frac(\lambda ^(k) )(k) e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,... $!}

Nicio dovadă.

Nota 1

Formula Poisson devine mai precisă pentru $p$ mici și numere mari $n$ și $n \cdot p $

Aşteptare variabilă aleatorie având o distribuție Poisson cu parametrul $\lambda$:

$М(Х)$=$\sum \limits _(k=0)^(\infty )k\cdot \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.!}

Dispersia variabilă aleatorie având o distribuție Poisson cu parametrul $\lambda$:

$D(X)$=$\lambda$ .

Aplicarea formulei lui Poisson în rezolvarea problemelor

Exemplul 1

Probabilitatea ca un produs defect să apară în timpul producției de masă este de 0,002 USD. Găsiți probabilitatea ca într-un lot de produse de $1500 $ să nu fie mai mult de 3 defecte. Aflați numărul mediu de produse defecte.

Fie $A$ numărul de produse defecte dintr-un lot de produse de $1500$. Atunci probabilitatea dorită este probabilitatea ca $A$ $\leq$ $3$. În această problemă avem o schemă Bernoulli cu $n=1500$ și $p=0,002$. Pentru a aplica teorema lui Poisson, să stabilim $\lambda=1500 \cdot 0,002=3$. Apoi probabilitatea dorită

Numărul mediu de produse defecte este $M(A)$=$\lambda$=3.

Exemplul 2

Centrala de distribuție a instituției deservește abonați de 100 USD. Probabilitatea ca un abonat să sune în decurs de 1 USD minut este de 0,01 USD. Găsiți probabilitatea ca nimeni să nu sune în decurs de $1$ minut.

Să fie $A$ numărul de apelanți la centrală în timpul $1$ minut. Atunci probabilitatea dorită este probabilitatea ca $A=0$. În această problemă se aplică schema Bernoulli cu $n=100$, $p=0.01$. Pentru a folosi teorema lui Poisson, setăm

$\lambda=100 \cdot 0,01=1$.

Apoi probabilitatea dorită

$P = e^-1$ $\aprox0.37$.

Exemplul 3

Fabrica a trimis 500$ de produse la bază. Probabilitatea de deteriorare a produsului în transport este de 0,002 USD. Găsiți probabilitățile ca daune să apară pe parcurs

exact trei produse;
mai puțin de trei produse.

Având în vedere observația la formula Poisson, deoarece probabilitatea $p=0,002$ de deteriorare a produsului este mică, iar numărul de produse $n=500$ este mare și $a=n\cdot p=1

Pentru a rezolva cea de-a doua problemă se aplică formula, unde $k1=0$ și $k2=2$. Avem:

Exemplul 4

Manualul a fost publicat într-un tiraj de 100.000 de dolari. Probabilitatea ca un manual să fie legat incorect este de 0,0001 USD. Care este probabilitatea ca tirajul să conţină 5$ de cărţi defecte?

Conform condițiilor problemei, $n = 100000$, $p = 0,0001$.

Evenimentele „din $n$ cărți exact $m$ cărți sunt cusute incorect”, unde $m = 0,1,2, \dots ,100000$, sunt independente. Deoarece numărul $n$ este mare și probabilitatea $p$ este mică, probabilitatea $P_n (m)$ poate fi calculată utilizând formula Poisson: $P_n$(m)$\approx \frac((\lambda )^ m\cdot e^ (-\lambda ))(m$ , где $\lambda = np$.!}

În problema luată în considerare

$\lambda = 100000 \cdot 0,0001 = 10 $.

Prin urmare, probabilitatea dorită $P_(100000)$(5) este determinată de egalitatea:

$P_(100000)$ (5)$\aproximativ \frac(e^(-10)\cdot (10)^5)(5\approx $ ${10}^5$ $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$.!}

Răspuns: 0,0375 USD.

Exemplul 5

Fabrica a trimis 5.000 USD de produse de bună calitate la bază. Probabilitatea ca un produs să fie deteriorat în timpul transportului este de 0,0002 USD. Găsiți probabilitatea ca trei produse inutilizabile să ajungă la bază.

După condiția $n=5000$; $p = 0,0002$; $k = 3$. Să găsim $\lambda$:

$\lambda = n \cdot p = 5000 \cdot 0,0002 = 1$.

Probabilitatea necesară conform formulei Poisson este egală cu:

Exemplul 6

Probabilitatea ca un abonat să sune la o centrală telefonică în decurs de o oră este de 0,01. În decurs de o oră, 200 de abonați au sunat. Găsiți probabilitatea ca 3 abonați să sune într-o oră.

Având în vedere starea problemei, vedem că:

Să găsim $\lambda $ pentru formula Poisson:

\[\lambda =np=200\cdot 0.01=2.\]

Înlocuiți valorile în formula Poisson și obțineți valoarea:

Exemplul 7

La facultate sunt 500 de studenți. Care este probabilitatea ca 1 septembrie să fie ziua de naștere a 2 elevi în același timp?

Avem $n=500$; $p=1/365 \aproximativ 0,0027$, $q=0,9973$. Deoarece numărul de teste este mare, iar probabilitatea de execuție este foarte mică și $npq=1,35\

Introducere

Teoria probabilității este stiinta matematica, studiind tipare în fenomene aleatorii. Astăzi este o știință cu drepturi depline, cu o mare semnificație practică.

Istoria teoriei probabilităților se întoarce la Secolul XVII, când s-au făcut primele încercări de a studia sistematic probleme legate de fenomene aleatorii de masă, și a apărut aparatul matematic corespunzător. De atunci, multe fundamente au fost dezvoltate și aprofundate la conceptele actuale și au fost descoperite alte legi și modele importante. Mulți oameni de știință au lucrat și lucrează la probleme din teoria probabilităților.

Printre acestea, nu se poate să nu acorde atenție lucrărilor lui Simeon Denis Poisson ((1781–1840) - matematician francez), care a dovedit o formă mai generală a legii numerelor mari decât Jacob Bernoulli și, de asemenea, a aplicat-o pentru prima dată. teoria probabilității la rezolvarea problemelor. Numele de Poisson este asociat cu una dintre legile distribuției, care joacă un rol important în teoria probabilității și în aplicațiile acesteia.

Numărul de apariții ale unui anumit eveniment aleatoriu pe unitatea de timp, atunci când faptul că apariția acestui eveniment într-un anumit experiment nu depinde de câte ori și în ce momente a avut loc în trecut și nu afectează viitorul. Și testele sunt efectuate în condiții staționare, atunci legea lui Poisson este de obicei folosită pentru a descrie distribuția unei astfel de variabile aleatoare (această distribuție a fost propusă și publicată pentru prima dată de acest om de știință în 1837).

Această lege poate fi descrisă și ca cazul limitativ al distribuției binomiale, când probabilitatea p apariției evenimentului care ne interesează într-un singur experiment este foarte mică, dar numărul de experimente m efectuate pe unitatea de timp este destul de mare , și anume astfel încât în procesul p

0 și m, produsul mp tinde către o valoare constantă pozitivă (adică mp).

Prin urmare, legea lui Poisson este adesea numită și legea evenimentelor rare.

Distribuția Poisson în teoria probabilității

Serii de funcție și distribuție

Distribuția Poisson este caz special distribuție binomială (cu n>> 0 și la p–> 0 (evenimente rare)).

Din matematică se cunoaște o formulă care vă permite să calculați aproximativ valoarea oricărui membru al distribuției binomiale:

Unde o = n · p este parametrul Poisson (așteptările matematice), iar varianța este egală cu așteptarea matematică. Să prezentăm calcule matematice care explică această tranziție. Legea distribuției binomiale

P m = C n m · p m· (1 – p)n – m

se poate scrie daca pui p = o/n, sub forma

Deoarece p este foarte mic, atunci trebuie luate în considerare doar cifrele m, mic comparativ cu n. Lucru

foarte aproape de unitate. Același lucru este valabil și pentru dimensiune

foarte aproape de e –o. De aici obținem formula:

Numărul Euler (2,71...). ,

Pentru funcția generatoare

avem cantitati:

Funcția de distribuție a probabilității cumulate este egală cu

Un exemplu clasic de variabilă aleatorie distribuită în funcție de Poisson este numărul de mașini care trec printr-o anumită secțiune de drum într-o anumită perioadă de timp. De asemenea, puteți observa exemple precum numărul de stele dintr-o secțiune a cerului de o anumită dimensiune, numărul de erori dintr-un text de o anumită lungime, numărul de apeluri telefonice într-un centru de apeluri sau numărul de apeluri către un server web pe o anumită perioadă de timp.

Seria de distribuție a unei variabile aleatoare X, distribuită conform legii lui Poisson, arată astfel:

x m	0	1	2	…	m	…
P m	e-a			…		…

În fig. 1 prezintă poligoanele distribuției variabile aleatoare X conform legii lui Poisson, corespunzătoare diferitelor valori ale parametrului O.

În primul rând, să ne asigurăm că succesiunea probabilităților poate fi o serie de distribuție, de exemplu. că suma tuturor probabilităților Rm egal cu unu.

Folosim funcția de extindere e xîn seria Maclaurin:

Se știe că această serie converge pentru orice valoare X, prin urmare, luând x=a, primim

prin urmare

Caracteristici numerice Dispoziții de distribuție Poisson

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora.

Prin definiție, atunci când o variabilă aleatorie discretă ia un set numărabil de valori:

Primul termen al sumei (corespunzător m=0 ) este egal cu zero, prin urmare, însumarea poate începe de la m=1 :

Deci parametrul O nu este altceva decât așteptarea matematică a unei variabile aleatorii X.

Pe lângă așteptările matematice, poziția unei variabile aleatoare este caracterizată de un mod și o mediană.

Modul unei variabile aleatoare este valoarea sa cea mai probabilă.

Pentru valoare continuă Modul se numește punctul de maxim local al funcției de densitate de probabilitate. Dacă un poligon sau o curbă de distribuție are un maxim (Fig. 2 a), atunci distribuția se numește unimodală dacă există mai mult de un maxim, este multimodală (în special, o distribuție cu două moduri se numește bimodală); O distribuție care are un minim se numește antimodală (Fig. 2 b)

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Cea mai probabilă valoare a unei variabile aleatoare este modul care oferă probabilitatea maximă globală pentru o variabilă aleatoare discretă sau densitatea distribuției pentru o variabilă aleatoare continuă.

Mediana este valoarea lui x l care împarte aria de sub graficul densității probabilității în jumătate, adică. Mediana este orice rădăcină a ecuației. Este posibil ca așteptarea matematică să nu existe, dar mediana există întotdeauna și poate fi definită în mod ambiguu.

Mediana unei variabile aleatoare

valoarea sa = x med se numește astfel încât P (< x med) = Р ( >x med) = .

Caracteristicile numerice ale scatterului

Varianta unei variabile aleatoare X este așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică.