Calculul unghiului dintre drepte. Unghiul dintre liniile drepte în spațiu. Unghiul dintre două linii drepte

Va fi util pentru fiecare student care se pregătește pentru examenul de stat unificat la matematică să repete subiectul „Găsirea unui unghi între linii drepte”. După cum arată statisticile, la trecerea testului de certificare, sarcinile din această secțiune de stereometrie provoacă dificultăți unui număr mare de studenți. În același timp, sarcinile care necesită găsirea unghiului dintre liniile drepte se găsesc în Examenul de stat unificat atât pentru nivel de profil. Aceasta înseamnă că toată lumea ar trebui să le poată rezolva.

Repere

Există 4 tipuri în spațiu poziție relativă Drept Ele pot coincide, se intersectează, pot fi paralele sau se intersectează. Unghiul dintre ele poate fi acut sau drept.

Pentru a găsi unghiul dintre linii în Examenul de stat unificat sau, de exemplu, în rezolvare, școlarii din Moscova și alte orașe pot folosi mai multe moduri de a rezolva problemele din această secțiune de stereometrie. Puteți finaliza sarcina folosind construcții clasice. Pentru a face acest lucru, merită să învățați axiomele și teoremele de bază ale stereometriei. Elevul trebuie să fie capabil să raționeze logic și să creeze desene pentru a aduce sarcina la o problemă planimetrică.

De asemenea, puteți utiliza metoda coordonatelor vectoriale folosind formule simple, reguli și algoritmi. Principalul lucru în acest caz este să efectuați corect toate calculele. Perfecționați-vă abilitățile în rezolvarea problemelor din stereometrie și din alte domenii curs şcolar Proiectul educațional Shkolkovo vă va ajuta.

Acest material este dedicat unui astfel de concept precum unghiul dintre două linii care se intersectează. În primul paragraf vom explica ce este și o vom arăta în ilustrații. Apoi ne vom uita la modul în care puteți găsi sinusul, cosinusul acestui unghi și unghiul în sine (vom lua în considerare separat cazurile cu un plan și spațiu tridimensional), vom da formulele necesare și vom arăta cu exemple cum sunt exact acestea folosit în practică.

Pentru a înțelege care este unghiul format atunci când două drepte se intersectează, trebuie să ne amintim însăși definiția unghiului, perpendicularității și punctului de intersecție.

Definiția 1

Numim două linii care se intersectează dacă au una punct comun. Acest punct se numește punctul de intersecție a două drepte.

Fiecare linie dreaptă este împărțită de un punct de intersecție în raze. Ambele linii drepte formează 4 unghiuri, dintre care două sunt verticale și două sunt adiacente. Dacă știm măsura unuia dintre ele, atunci le putem determina pe cele rămase.

Să presupunem că știm că unul dintre unghiuri este egal cu α. În acest caz, unghiul care este vertical în raport cu acesta va fi, de asemenea, egal cu α. Pentru a găsi unghiurile rămase, trebuie să calculăm diferența 180 ° - α. Dacă α este egal cu 90 de grade, atunci toate unghiurile vor fi unghiuri drepte. Liniile care se intersectează în unghi drept sunt numite perpendiculare (un articol separat este dedicat conceptului de perpendicularitate).

Aruncă o privire la poză:

Să trecem la formularea definiției principale.

Definiția 2

Unghiul format din două drepte care se intersectează este măsura celui mai mic dintre cele 4 unghiuri care formează aceste două drepte.

Din definiție trebuie trasă o concluzie importantă: dimensiunea unghiului în acest caz va fi exprimată de oricare număr realîn intervalul (0, 90). Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci unghiul dintre ele va fi în orice caz egal cu 90 de grade.

Capacitatea de a găsi măsura unghiului dintre două drepte care se intersectează este utilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Metoda de rezolvare poate fi aleasă din mai multe opțiuni.

Pentru început, putem lua metode geometrice. Dacă știm ceva despre unghiurile suplimentare, atunci le putem raporta la unghiul de care avem nevoie folosind proprietățile figurilor egale sau similare. De exemplu, dacă cunoaștem laturile unui triunghi și trebuie să calculăm unghiul dintre liniile pe care sunt situate aceste laturi, atunci teorema cosinusului este potrivită pentru soluția noastră. Dacă avem condiția triunghi dreptunghic, atunci pentru calcule vom avea nevoie și de cunoștințe despre sinus, cosinus și tangenta unui unghi.

Metoda coordonatelor este, de asemenea, foarte convenabilă pentru rezolvarea problemelor de acest tip. Să explicăm cum să-l folosim corect.

Avem un sistem de coordonate dreptunghiular (cartezian) O x y, în care sunt date două drepte. Să le notăm cu literele a și b. Liniile drepte pot fi descrise folosind unele ecuații. Liniile originale au un punct de intersecție M. Cum se determină unghiul necesar (să-l notăm α) între aceste drepte?

Să începem prin a formula principiul de bază al găsirii unui unghi în condiții date.

Știm că conceptul de linie dreaptă este strâns legat de concepte precum un vector de direcție și un vector normal. Dacă avem o ecuație a unei anumite drepte, putem lua din ea coordonatele acestor vectori. Putem face acest lucru pentru două linii care se intersectează simultan.

Unghiul subtins de două drepte care se intersectează poate fi găsit folosind:

unghiul dintre vectorii de direcție;
unghiul dintre vectorii normali;
unghiul dintre vectorul normal al unei linii și vectorul direcție al celeilalte.

Acum să ne uităm la fiecare metodă separat.

1. Să presupunem că avem o dreaptă a cu un vector de direcție a → = (a x, a y) și o dreaptă b cu un vector de direcție b → (b x, b y). Acum să reprezentăm doi vectori a → și b → din punctul de intersecție. După aceasta vom vedea că fiecare va fi situat pe propria linie dreaptă. Apoi avem patru opțiuni pentru aranjarea lor relativă. Vezi ilustrația:

Dacă unghiul dintre doi vectori nu este obtuz, atunci va fi unghiul de care avem nevoie între liniile care se intersectează a și b. Dacă este obtuz, atunci unghiul dorit va fi egal cu unghiul adiacent unghiului a →, b → ^. Astfel, α = a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° , și α = 180 ° - a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .

Pe baza faptului că cosinusurile unghiurilor egale sunt egale, putem rescrie egalitățile rezultate astfel: cos α = cos a →, b → ^, dacă a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, dacă a →, b → ^ > 90 °.

În al doilea caz s-au folosit formule de reducere. Astfel,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Să scriem ultima formulă în cuvinte:

Definiția 3

Cosinusul unghiului format din două drepte care se intersectează va fi egal cu modulul cosinusului unghiului dintre vectorii săi de direcție.

Forma generală a formulei pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) arată astfel:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Din aceasta putem deriva formula pentru cosinusul unghiului dintre două drepte date:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Apoi unghiul în sine poate fi găsit folosind următoarea formulă:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Aici a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectorii de direcție ai dreptelor date.

Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.

Exemplul 1

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan, sunt date două drepte care se intersectează a și b. Ele pot fi descrise prin ecuațiile parametrice x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R și x 5 = y - 6 - 3. Calculați unghiul dintre aceste drepte.

Soluţie

Avem o ecuație parametrică în starea noastră, ceea ce înseamnă că pentru această linie putem nota imediat coordonatele vectorului său de direcție. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm valorile coeficienților pentru parametru, adică. dreapta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R va avea un vector de direcție a → = (4, 1).

A doua linie este descrisă folosind ecuația canonică x 5 = y - 6 - 3. Aici putem lua coordonatele de la numitori. Astfel, această dreaptă are un vector de direcție b → = (5 , - 3) .

Apoi, trecem direct la găsirea unghiului. Pentru a face acest lucru, pur și simplu înlocuiți coordonatele existente ale celor doi vectori în formula de mai sus α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Obținem următoarele:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Răspuns: Aceste linii drepte formează un unghi de 45 de grade.

Putem rezolva o problemă similară găsind unghiul dintre vectorii normali. Dacă avem o dreaptă a cu un vector normal n a → = (n a x , n a y) și o dreaptă b cu un vector normal n b → = (n b x , n b y), atunci unghiul dintre ele va fi egal cu unghiul dintre n a → și n b → sau unghiul care va fi adiacent lui n a →, n b → ^. Această metodă este prezentată în imagine:

Formule pentru calcularea cosinusului unghiului dintre liniile care se intersectează și acest unghi în sine folosind coordonatele vectori normali arata asa:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n de y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n de y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n de y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aici n a → și n b → denotă vectorii normali ai două drepte date.

Exemplul 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, două linii drepte sunt specificate folosind ecuațiile 3 x + 5 y - 30 = 0 și x + 4 y - 17 = 0. Găsiți sinusul și cosinusul unghiului dintre ele și mărimea acestui unghi în sine.

Soluţie

Liniile originale sunt specificate folosind ecuații de linii normale de forma A x + B y + C = 0. Notăm vectorul normal ca n → = (A, B). Să găsim coordonatele primului vector normal pentru o linie și să le scriem: n a → = (3, 5) . Pentru a doua linie x + 4 y - 17 = 0, vectorul normal va avea coordonatele n b → = (1, 4). Acum să adăugăm valorile obținute la formulă și să calculăm totalul:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Dacă cunoaștem cosinusul unui unghi, atunci putem calcula sinusul acestuia folosind identitatea trigonometrică de bază. Deoarece unghiul α format din drepte nu este obtuz, atunci sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

În acest caz, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Răspuns: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Să analizăm ultimul caz - găsirea unghiului dintre drepte dacă cunoaștem coordonatele vectorului de direcție al unei drepte și vectorul normal al celeilalte.

Să presupunem că dreapta a are un vector de direcție a → = (a x , a y) , iar dreapta b are un vector normal n b → = (n b x , n b y) . Trebuie să setăm acești vectori deoparte de punctul de intersecție și să luăm în considerare toate opțiunile pentru pozițiile lor relative. Vezi in poza:

Dacă unghiul dintre vectorii dați nu este mai mare de 90 de grade, se dovedește că va completa unghiul dintre a și b la un unghi drept.

a → , n b → ^ = 90 ° - α dacă a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Dacă este mai mică de 90 de grade, atunci obținem următoarele:

a → , n b → ^ > 90 ° , apoi a → , n b → ^ = 90 ° + α

Folosind regula egalității cosinusurilor de unghiuri egale, scriem:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pentru a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pentru a → , n b → ^ > 90 ° .

Astfel,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Să formulăm o concluzie.

Definiția 4

Pentru a găsi sinusul unghiului dintre două drepte care se intersectează pe un plan, trebuie să calculați modulul cosinusului unghiului dintre vectorul de direcție al primei linii și vectorul normal al celei de-a doua.

Să-l notăm formulele necesare. Aflarea sinusului unui unghi:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Găsirea unghiului în sine:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aici a → este vectorul de direcție al primei linii, iar n b → este vectorul normal al celei de-a doua.

Exemplul 3

Două drepte care se intersectează sunt date de ecuațiile x - 5 = y - 6 3 și x + 4 y - 17 = 0. Aflați unghiul de intersecție.

Soluţie

Luăm coordonatele ghidului și ale vectorului normal din ecuațiile date. Rezultă a → = (- 5, 3) și n → b = (1, 4). Luăm formula α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 și calculăm:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Vă rugăm să rețineți că am luat ecuațiile din problema anterioară și am obținut exact același rezultat, dar într-un mod diferit.

Răspuns:α = a r c sin 7 2 34

Să prezentăm o altă modalitate de a găsi unghiul dorit folosind coeficienții unghiulari ai liniilor drepte date.

Avem o linie a, care este definită într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuația y = k 1 x + b 1, și o linie b, definită ca y = k 2 x + b 2. Acestea sunt ecuații ale dreptelor cu pante. Pentru a găsi unghiul de intersecție, folosim formula:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, unde k 1 și k 2 sunt pantele dreptelor date. Pentru a obține această înregistrare s-au folosit formule pentru determinarea unghiului prin coordonatele vectorilor normali.

Exemplul 4

Există două drepte care se intersectează într-un plan, dat de ecuaţii y = - 3 5 x + 6 și y = - 1 4 x + 17 4 . Calculați valoarea unghiului de intersecție.

Soluţie

Coeficienții unghiulari ai dreptelor noastre sunt egali cu k 1 = - 3 5 și k 2 = - 1 4. Să le adăugăm la formula α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 și să calculăm:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Răspuns:α = a r c cos 23 2 34

În concluziile acestui paragraf, trebuie menționat că formulele date aici pentru găsirea unghiului nu trebuie să fie învățate pe de rost. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți coordonatele ghidajelor și/sau ale vectorilor normali ai liniilor date și să le puteți determina folosind diferite tipuri de ecuații. Dar este mai bine să vă amintiți sau să scrieți formulele pentru calcularea cosinusului unui unghi.

Cum se calculează unghiul dintre liniile care se intersectează în spațiu

Calculul unui astfel de unghi poate fi redus la calcularea coordonatelor vectorilor de direcție și determinarea mărimii unghiului format de acești vectori. Pentru astfel de exemple se folosește același raționament pe care l-am dat mai înainte.

Să presupunem că avem un sistem de coordonate dreptunghiular situat la spatiu tridimensional. Conține două drepte a și b cu un punct de intersecție M. Pentru a calcula coordonatele vectorilor de direcție, trebuie să cunoaștem ecuațiile acestor drepte. Să notăm vectorii de direcție a → = (a x , a y , a z) și b → = (b x , b y , b z) . Pentru a calcula cosinusul unghiului dintre ele, folosim formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Pentru a găsi unghiul în sine, avem nevoie de această formulă:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exemplul 5

Avem o linie definită în spațiul tridimensional folosind ecuația x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Se știe că se intersectează cu axa O z. Calculați unghiul de interceptare și cosinusul acelui unghi.

Soluţie

Să notăm unghiul care trebuie calculat cu litera α. Să notăm coordonatele vectorului direcție pentru prima dreaptă – a → = (1, - 3, - 2) . Pentru axa aplicată, putem lua ca ghid vectorul de coordonate k → = (0, 0, 1). Am primit datele necesare și le putem adăuga la formula dorită:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ca rezultat, am constatat că unghiul de care avem nevoie va fi egal cu a r c cos 1 2 = 45 °.

Răspuns: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Problema 1

Aflați cosinusul unghiului dintre dreptele $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ și $\left\( \begin(array )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(array)\right $.

Să fie date două drepte în spațiu: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ și $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Să alegem un punct arbitrar din spațiu și să tragem prin el două linii auxiliare paralele cu datele. Unghiul dintre aceste linii este oricare dintre cele două unghiuri adiacente formate de liniile auxiliare. Cosinusul unuia dintre unghiurile dintre drepte poate fi găsit folosind formula binecunoscută $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Dacă valoarea $\cos \phi >0$, atunci obținem unghi ascuțitîntre linii dacă $\cos \phi

Ecuații canonice ale primei drepte: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.

Ecuațiile canonice ale celei de-a doua linii pot fi obținute din cele parametrice:

\ \ \

Astfel, ecuațiile canonice ale acestei drepte sunt: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.

Calculam:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ stânga(-3\right)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) = \ frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \aproximativ 0,9449.\]

Problema 2

Prima linie trece prin punctele date $A\left(2,-4,-1\right)$ și $B\left(-3,5,6\right)$, a doua linie trece prin punctele date $ C\left (1,-2,8\right)$ și $D\left(6,7,-2\right)$. Găsiți distanța dintre aceste linii.

Fie ca o anumită dreaptă să fie perpendiculară pe dreptele $AB$ și $CD$ și să le intersecteze în punctele $M$ și, respectiv, $N$. În aceste condiții, lungimea segmentului $MN$ este egală cu distanța dintre liniile $AB$ și $CD$.

Construim vectorul $\overline(AB)$:

\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]

Fie ca segmentul care descrie distanța dintre linii să treacă prin punctul $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ pe linia $AB$.

Construim vectorul $\overline(AM)$:

\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ bar(j)+\stanga(z_(M) -\stanga(-1\dreapta)\dreapta)\cdot \bar(k)=\] \[=\stanga(x_(M) -2\dreapta)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]

Vectorii $\overline(AB)$ și $\overline(AM)$ sunt aceiași, prin urmare sunt coliniari.

Se știe că dacă vectorii $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ și $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ sunt coliniare, atunci coordonatele lor sunt proporționale, atunci există $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\ it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, unde $m $ este rezultatul împărțirii.

De aici obținem: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.

Obținem în sfârșit expresii pentru coordonatele punctului $M$:

Construim vectorul $\overline(CD)$:

\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ stânga(-2-8\right)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

Să treacă segmentul care reprezintă distanța dintre drepte prin punctul $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ pe linia $CD$.

Construim vectorul $\overline(CN)$:

\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]

Vectorii $\overline(CD)$ și $\overline(CN)$ coincid, prin urmare, sunt coliniari. Aplicăm condiția de coliniaritate a vectorilor:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, unde $n $ este rezultatul împărțirii.

De aici obținem: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.

Obținem în sfârșit expresii pentru coordonatele punctului $N$:

Construim vectorul $\overline(MN)$:

\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\stânga(z_(N) -z_(M) \dreapta)\cdot \bar(k).\]

Înlocuim expresii pentru coordonatele punctelor $M$ și $N$:

\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) m\dreapta)\dreapta)\cdot \bar(k).\]

După parcurgerea pașilor, obținem:

\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right) )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]

Deoarece dreptele $AB$ și $MN$ sunt perpendiculare, atunci produs punctual dintre vectorii corespunzători este egal cu zero, adică $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ stânga(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \

După parcurgerea pașilor, obținem prima ecuație pentru determinarea $m$ și $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.

Deoarece dreptele $CD$ și $MN$ sunt perpendiculare, produsul scalar al vectorilor corespunzători este egal cu zero, adică $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]

După finalizarea pașilor, obținem a doua ecuație pentru determinarea $m$ și $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.

Găsim $m$ și $n$ rezolvând sistemul de ecuații $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206) \cdot n =77)\end(matrice)\right$.

Aplicam metoda Cramer:

Găsiți coordonatele punctelor $M$ și $N$:

\ \

In sfarsit:

În cele din urmă, scriem vectorul $\overline(MN)$:

$\overline(MN)=\left(2,691-\left(-0,6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1,0438-0,7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4.618-2.6701\right)\cdot \bar(k)$ sau $\overline(MN)=3.3125\cdot \bar(i)+0.3251\cdot \bar(j)+1.9479\cdot \bar(k)$ .

Distanța dintre liniile $AB$ și $CD$ este lungimea vectorului $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3,3125^(2) +0,3251^(2) +1,9479^( 2) ) \ aproximativ 3,8565$ lin. unitati

O. Să fie date două drepte Aceste linii drepte, așa cum este indicat în capitolul 1, formează diverse unghiuri pozitive și negative, care pot fi fie acute, fie obtuze. Cunoscând unul dintre aceste unghiuri, putem găsi cu ușurință oricare altul.

Apropo, pentru toate aceste unghiuri valoarea numerică a tangentei este aceeași, diferența poate fi doar în semn

Ecuații de linii. Numerele sunt proiecțiile vectorilor de direcție ai primei și celei de-a doua drepte. Unghiul dintre acești vectori este egal cu unul dintre unghiurile formate de drepte. Prin urmare, problema se rezumă la determinarea unghiului dintre vectori

Pentru simplitate, putem fi de acord că unghiul dintre două drepte este înțeles ca un unghi pozitiv acut (ca, de exemplu, în Fig. 53).

Atunci tangenta acestui unghi va fi întotdeauna pozitivă. Astfel, dacă există un semn minus în partea dreaptă a formulei (1), atunci trebuie să îl renunțăm, adică să salvăm doar valoarea absolută.

Exemplu. Determinați unghiul dintre liniile drepte

Conform formulei (1) avem

Cu. Dacă se indică care dintre laturile unghiului este începutul și care este sfârșitul lui, atunci, numărând întotdeauna direcția unghiului în sens invers acelor de ceasornic, putem extrage ceva mai mult din formula (1). După cum se vede ușor din fig. 53, semnul obținut în partea dreaptă a formulei (1) va indica ce fel de unghi - acut sau obtuz - se formează a doua linie dreaptă cu prima.

(Într-adevăr, din Fig. 53 vedem că unghiul dintre primul și al doilea vector de direcție este fie egal cu unghiul dorit dintre liniile drepte, fie diferă de acesta cu ±180°.)

d. Dacă liniile sunt paralele, atunci vectorii lor de direcție sunt paraleli Aplicând condiția de paralelism a doi vectori, obținem!

Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul a două linii.

Exemplu. Direct

sunt paralele deoarece

e. Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci vectorii lor de direcție sunt și ei perpendiculari. Aplicând condiția de perpendicularitate a doi vectori, obținem condiția de perpendicularitate a două drepte și anume

Exemplu. Direct

sunt perpendiculare datorită faptului că

În legătură cu condițiile de paralelism și perpendicularitate, vom rezolva următoarele două probleme.

f. Desenați o dreaptă printr-un punct paralel cu dreapta dată

Soluția se realizează așa. Deoarece linia dorită este paralelă cu aceasta, atunci pentru vectorul său de direcție îl putem lua pe aceeași cu cea a dreptei date, adică un vector cu proiecțiile A și B. Și atunci ecuația dreptei dorite se va scrie în forma (§ 1)

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece prin punctul (1; 3) paralel cu dreapta

va fi urmatorul!

g. Desenați o dreaptă printr-un punct perpendicular pe dreapta dată

Aici nu mai este potrivit să luăm vectorul cu proiecțiile A și ca vector de ghidare, dar este necesar să luăm vectorul perpendicular pe acesta. Prin urmare, proiecțiile acestui vector trebuie alese în funcție de condiția de perpendicularitate a ambilor vectori, adică în funcție de condiția

Această condiție poate fi îndeplinită în nenumărate moduri, deoarece aici este o ecuație cu două necunoscute

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece prin punctul (-7; 2) într-o dreaptă perpendiculară

vor fi următoarele (după formula a doua)!

h. În cazul în care liniile sunt date prin ecuații de forma

rescriind aceste ecuații în mod diferit, avem

Definiţie

Se numește o figură geometrică formată din toate punctele planului cuprinse între două raze care emană dintr-un punct unghi plat.

Definiţie

Unghiul dintre doi intersectându-se Drept este valoarea celui mai mic unghi plan la intersecția acestor drepte. Dacă două drepte sunt paralele, atunci unghiul dintre ele este considerat zero.

Unghiul dintre două drepte care se intersectează (dacă unghiurile plane sunt măsurate în radiani) poate lua valori de la zero la $\dfrac(\pi)(2)$.

Definiţie

Unghiul dintre două drepte care se intersectează se numeste cantitate egal cu unghiulîntre două drepte care se intersectează paralele cu cele care se intersectează. Unghiul dintre liniile $a$ și $b$ este notat cu $\angle (a, b)$.

Corectitudinea definiției introduse rezultă din următoarea teoremă.

Teorema unghiurilor plane cu laturile paralele

Mărimile a două unghiuri plane convexe cu laturile paralele și, respectiv, direcționate identic sunt egale.

Dovada

Dacă unghiurile sunt drepte, atunci ambele sunt egale cu $\pi$. Dacă nu sunt desfășurate, atunci trasăm segmentele egale $ON=O_1ON_1$ și $OM=O_1M_1$ pe laturile corespunzătoare ale unghiurilor $\angle AOB$ și $\angle A_1O_1B_1$.

Patrulaterul $O_1N_1NO$ este un paralelogram, deoarece este laturi opuse$ON$ și $O_1N_1$ sunt egale și paralele. La fel, patrulaterul $O_1M_1MO$ este un paralelogram. Prin urmare, $NN_1 = OO_1 = MM_1$ și $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, prin urmare, $NN_1=MM_1$ și $NN_1 \parallel MM_1$ prin tranzitivitate. Patrulaterul $N_1M_1MN$ este un paralelogram, deoarece laturile sale opuse sunt egale și paralele. Aceasta înseamnă că segmentele $NM$ și $N_1M_1$ sunt egale. Triunghiurile $ONM$ și $O_1N_1M_1$ sunt egale conform celui de-al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, ceea ce înseamnă că unghiurile corespunzătoare $\angle NOM$ și $\angle N_1O_1M_1$ sunt egale.