Autentificare ați uitat parola? Istoria dezvoltării teoriei probabilităților Aplicarea probabilității

Webinar despre cum să înțelegeți teoria probabilității și cum să începeți să utilizați statisticile în afaceri. Știind să lucrezi cu astfel de informații, poți începe propria afacere.

Iată un exemplu de problemă pe care o vei rezolva fără să stai pe gânduri. În mai 2015, Rusia a lansat nava spațială Progress și a pierdut controlul asupra acesteia. Această grămadă de metal, sub influența gravitației Pământului, trebuia să se prăbușească pe planeta noastră.

Atenție, întrebare: care a fost probabilitatea ca Progress să fi căzut pe uscat și nu în ocean și trebuia să ne îngrijorăm?

Răspunsul este foarte simplu - șansele de a cădea pe uscat erau de 3 la 7.

Numele meu este Alexander Skakunov, nu sunt om de știință sau profesor. M-am întrebat doar de ce avem nevoie de teoria probabilității și de statistici, de ce le-am luat la universitate? Prin urmare, într-un an am citit mai mult de douăzeci de cărți pe această temă - de la „Lebăda neagră” la „Plăcerea lui X”. Am angajat chiar și 2 tutori.

În acest webinar vă voi împărtăși descoperirile mele. De exemplu, veți afla cum statisticile au contribuit la crearea miracolelor economice în Japonia și cum se reflectă acest lucru în scenariul filmului „Înapoi în viitor”.

Acum vă voi arăta puțină magie stradală. Nu știu câți dintre voi se vor înscrie la acest webinar, dar în final doar 45% vor apărea.

Va fi interesant. Înscrie-te!

3 etape de înțelegere a teoriei probabilităților

Există 3 etape prin care trece oricine care se familiarizează cu teoria probabilității.

Etapa 1. „Voi câștiga la cazinou!” O persoană crede că poate prezice rezultatele unor evenimente aleatorii.

Etapa 2. „Nu voi câștiga niciodată la cazinou!..” Persoana devine dezamăgită și crede că nimic nu poate fi prezis.

Și etapa 3. „Lasă-mă să încerc în afara cazinoului!” O persoană înțelege că în haosul aparent al lumii întâmplării, se poate găsi tipare care îi permit să navigheze bine în lumea din jurul său.

Sarcina noastră este să ajungem doar la stadiul 3, astfel încât să înveți să aplici principiile de bază ale teoriei probabilității și statisticii în beneficiul tău și al afacerii tale.

Deci, veți afla răspunsul la întrebarea „de ce avem nevoie de teoria probabilității” în acest webinar.

Este ușor să trimiți munca ta bună la baza de cunoștințe. Utilizați formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

Postat pe http://www.allbest.ru/

Educațional de stat federal

instituţie bugetară de învăţământ profesional superior

„UNIVERSITATEA FINANCIARĂ

SUB GUVERNUL FEDERATIEI RUSE”

Facultatea: Finanțe și Credit

TEST

la disciplina „Teoria probabilității și statistică matematică”

Student: Kokhanskaya E.Yu.

Curs: 2 Grup Nr.: ZSPZ-EK201

Profesor: Butkovsky O.Ya.

Vladimir 2014

1. În depozit sunt 20 de dispozitive, dintre care două sunt defecte. Atunci când sunt trimise către consumator, este verificată funcționalitatea dispozitivelor.

Găsiți probabilitatea ca primele trei dispozitive testate să fie funcționale.

Testul (experienta) consta in selectarea aleatorie a 3 dispozitive dintr-un depozit care are 20 de dispozitive (dintre care 18 functioneaza si 2 sunt defecte).

Evenimentul elementar (rezultatul testului) este setul rezultat de trei dispozitive.

Fie evenimentul A că primele trei dispozitive testate se dovedesc a fi funcționale.

Numărul de rezultate favorabile apariției evenimentului A (alegerea a trei dispozitive care pot fi reparate dintre):

Răspuns: probabilitatea ca primele trei dispozitive testate să fie operaționale este de 0,716.

2. Tipografia are cinci mașini de tipărit plat. Pentru fiecare mașină, probabilitatea ca acesta să funcționeze în prezent este de 0,9.

Găsiți probabilitatea care funcționează în prezent:

a) două mașini;

b) cel puţin un autoturism

a) P=0,9 - probabilitatea ca o mașină să funcționeze

aceste. probabilitatea de a rula 2 mașini: p = 0,9*0,9=0,81 => 81%

b) Deoarece evenimentele „mașina funcționează” și „mașina nu funcționează” (momentan) sunt opuse, suma probabilităților lor este egală cu unu:

Prin urmare, probabilitatea ca mașina să nu funcționeze în prezent este egală cu

Probabilitate necesară

P(A)= 1- q5=1-(0,1)5=1- 0,00001=0,99999=99%

Deoarece probabilitatea obținută este foarte apropiată de unitate, atunci, pe baza corolarului principiului imposibilității practice a evenimentelor cu probabilitate scăzută, avem dreptul să concluzionăm că cel puțin una dintre mașini funcționează în acest moment.

Răspuns: a) probabilitatea ca două mașini să funcționeze în prezent = 81%

b) probabilitatea ca cel puțin o mașină să funcționeze în prezent = 99%

3. La lansarea televizoarelor, numărul de copii de cea mai bună calitate este în medie de 80%. Au fost produse 400 de televizoare.

a) probabilitatea ca 300 dintre televizoarele produse să fie de cea mai bună calitate;

b) limitele în care, cu o probabilitate de 0,9907, este cuprinsă ponderea televizoarelor de cea mai bună calitate.

În această sarcină avem de-a face cu teste independente, fiecare dintre ele constând în examinarea calității televizorului lansat. Numărul de teste în cazul nostru.

Evenimentul este că televizorul lansat este de cea mai bună calitate.

a) Este dificil să se calculeze probabilitatea dorită ca un eveniment să se producă exact de 300 de ori în 400 de încercări folosind formula lui Bernoulli din cauza naturii greoaie a calculelor. Probabilitatea dorită poate fi calculată folosind formula Moivre-Laplace asimptotică (aproximativă).

Să folosim teorema locală a lui Moivre - Laplace: dacă probabilitatea ca un eveniment să se producă în fiecare încercare este constantă și diferită de 0 și 1, iar numărul de încercări independente este suficient de mare, atunci probabilitatea se calculează folosind formula aproximativă

Unde este probabilitatea ca evenimentul să se producă în fiecare probă,

Probabilitatea ca evenimentul să nu se producă în fiecare proces,

funcția gaussiană.

Deci, evenimentul este că televizorul lansat este de cea mai bună calitate; probabilitatea ca evenimentul să se producă în fiecare proces; probabilitatea ca evenimentul să nu se producă în fiecare proces; numărul de teste.

Aceasta înseamnă probabilitatea ca din 400 de televizoare produse, 300 să fie de cea mai bună calitate:

Folosind tabelul de valori al funcției gaussiene găsim: .

Prin urmare, .

b) Să folosim un corolar al teoremei integrale a lui Moivre - Laplace: dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare dintre încercări este constantă și diferită de 0 și 1, iar numărul de încercări independente este suficient de mare, atunci probabilitatea unei abateri date a frecvenței relative (frecvenței) apariției evenimentului A de la probabilitatea acestuia calculată folosind formula aproximativă

Unde p este probabilitatea ca evenimentul A să se producă în fiecare încercare,

q este probabilitatea de neapariție a evenimentului A în fiecare încercare,

n este numărul de teste, este abaterea specificată.

Funcția Laplace.

probabilitate valoare aleatoare așteptare

În cazul nostru; ; numărul de teste.

Să găsim abaterea la care, adică în virtutea corolarului teoremei integrale Moivre-Laplace

Deci, găsim din expresie

Folosind tabelul de valori al funcției Laplace găsim: .

Prin urmare

Aceasta înseamnă că cu o probabilitate de 0,9907 ne putem aștepta la o abatere a frecvenței relative de apariție a evenimentului de la.

Astfel, limitele în care se află, cu o probabilitate de 0,9907 ponderea televizoarelor de cea mai bună calitate: .

Cu alte cuvinte, cu o probabilitate de 0,9907, ponderea televizoarelor de calitate superioară este între 74,8% și 85,2%.

Răspuns: a) probabilitatea ca 300 de televizoare de cea mai bună calitate produse este de 0,0022;

b) limite în care, cu o probabilitate de 0,9907, ponderea televizoarelor de calitate superioară se situează de la 74,8% la 85,2%.

4. Într-un lot de opt părți, șase sunt standard. Două părți sunt selectate la întâmplare. Întocmește o lege de distribuție a unei variabile aleatoare - numărul de părți standard dintre cele selectate. Găsiți așteptările matematice, varianța și funcția de distribuție.

Variabila aleatorie discretă - numărul de părți standard dintre părțile selectate - are următoarele valori posibile: , .

Să găsim probabilitățile acestor valori posibile.

Legea dorită de distribuție a unei variabile aleatoare discrete, în consecință, va avea forma:

Testul (experiența) constă în selectarea aleatorie a două părți dintr-un lot care conține 8 părți (6 standard și 2 non-standard).

Evenimentul elementar (rezultatul testului) este setul rezultat de 2 părți.

Numărul tuturor rezultatelor posibile ale testului:

Numărul de rezultate favorabile faptului că numărul de părți standard dintre părțile selectate (adică printre părțile selectate există 0 standard și 2 non-standard):

Folosind definiția clasică a probabilității, obținem:

Numărul de rezultate care favorizează faptul că numărul de piese standard dintre părțile selectate (adică dintre părțile selectate există 1 standard și 1 non-standard):

Folosind definiția clasică a probabilității, obținem:

Numărul de rezultate care favorizează faptul că numărul de piese standard dintre părțile selectate (adică dintre părțile selectate există 2 piese standard și 0 piese non-standard):

Folosind definiția clasică a probabilității, obținem:

Suma probabilităților

Astfel, legea de distribuție dorită a unei variabile aleatoare discrete are forma:

Să găsim așteptarea matematică și funcția de distribuție a variabilei aleatoare.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete:

Dispersia unei variabile aleatoare discrete X:

Funcția de distribuție a probabilității (funcția de distribuție cumulativă) a unei variabile aleatoare este dată de formula.

Atunci când construim o funcție, vom obține expresia analitică a acesteia pe fiecare interval de partiție a dreptei numerice cu puncte corespunzătoare valorilor unei variabile aleatoare date, folosind teorema de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile:

a) pentru, întrucât în ​​acest caz avem de-a face cu probabilitatea unui eveniment imposibil (în special pentru);

b) pentru (în special pentru);

c) pentru (în special pentru);

Rezumând datele obținute, putem scrie:

Raspuns: ; ; ;

1. Din 1560 de angajați ai întreprinderii, 100 de persoane au fost selectate conform unei scheme de eșantionare aleatorie nerepetitivă pentru a obține date statistice privind concediile medicale pe parcursul anului. Datele obținute sunt prezentate în tabel.

a) probabilitatea ca numărul mediu de zile de concediu medical în rândul angajaților întreprinderii să difere de numărul mediu al acestora din eșantion cu cel mult o zi (în valoare absolută);

b) limitele în care, cu o probabilitate de 0,95, se află proporția tuturor salariaților care se află în concediu medical de cel mult șapte zile;

c) volumul eșantionării nerepetitive, la care pot fi garantate aceleași limite pentru cotă (vezi pct. b)) cu o probabilitate de 0,98.

a) Selectați numărul de zile de boală în fiecare dintre intervale (mijlocul intervalului). In intervalul initial vom lua valoarea 2 zile. La final, 12 zile, în altele, mijlocul intervalului.

Media eșantionului este:

Varianta eșantionului:

să găsim valoarea lui t din relație

Valorile lui Ф(t) sunt preluate din tabelele corespunzătoare.

b) În eșantion, proporția acestor angajați este egală cu:

Presupunând că populația este mult mai mare de 100, avem pentru valoarea necesară:

Atunci limitele necesare sunt:

c) Volumul pentru un anumit tip de eșantion și o probabilitate dată (t=2,33):

Răspuns: a) probabilitatea ca numărul mediu de zile de concediu medical în rândul angajaților unei întreprinderi să difere de numărul mediu al acestora din eșantion cu cel mult o zi este de 0,999;

b) limitele în care, cu o probabilitate de 0,95, proporția tuturor salariaților aflați în concediu medical de cel mult șapte zile este de la 47,3% la 66,7%;

c) volumul unui eşantion nerepetitiv cu o probabilitate de 0,98 este egal cu 141 de salariaţi.

3. Distribuția a 110 mostre de materiale compozite polimerice în funcție de conținutul lor de nămol X (%) și absorbția de apă Y (%) este prezentată în tabel.

Necesar:

1. Calculați mediile de grup și construiți linii de regresie empirice.

2. Presupunând că există o corelație liniară între variabilele X și Y:

a) găsiți ecuațiile dreptelor de regresie, trasați graficele acestora pe același desen cu drepte de regresie empirice și dați o interpretare semnificativă a ecuațiilor rezultate;

b) se calculează coeficientul de corelație; la nivel de semnificație? = 0,05 evaluați semnificația acestuia și trageți o concluzie despre apropierea și direcția relației dintre variabilele X și Y;

c) folosind ecuația de regresie corespunzătoare, estimați procentul mediu de absorbție de apă în probele care conțin 35% nămol petrolier.

1). Să calculăm mediile grupului:

Tabelul arată relația funcțională dintre și xi sau relația de corelație dintre y și x.

Să construim linii de regresie empirice:

2). Presupunând că există o corelație liniară între variabilele X și Y:

a) găsiți ecuațiile dreptelor de regresie.

Variabilă aleatorie X - conținut de nămol de ulei, %

Variabila aleatorie Y - conținut de absorbție de apă, %.

Să găsim covarianța:

Să calculăm coeficientul de regresie y față de x și să creăm o ecuație pentru această dependență:

y = 1,117 x + 8,792

Să calculăm coeficientul de regresie al lui x pe y și să creăm o ecuație pentru relația corespunzătoare:

x = 0,797 y -3,744

Să trasăm linii de regresie pe același desen cu linii de regresie empirice:

b) Să calculăm coeficientul de corelație:

Aceste. legătura dintre variabilele X și Y (gradul de automatizare a producției și creșterea productivității muncii) este directă și strânsă.

Să evaluăm semnificația coeficientului de corelație folosind testul Student:

Valoarea calculată a criteriului Studentului este mai mare decât valoarea tabelului

ttable(?=0,05; k=108) = 1,6591, prin urmare coeficientul de corelație este semnificativ.

c) Să determinăm, folosind ecuația de regresie y pe x, procentul mediu de absorbție de apă în probele care conțin 35% nămol petrolier:

y = 1,117 *35 + 8,792=47,887

Aceste. procentul mediu de absorbție de apă în probele care conțin 35% nămol petrolier va fi de 47,9%.

Postat pe Allbest.ur

...

Documente similare

    Concepte de teoria probabilităților și statistică matematică, aplicarea lor în practică. Definiția unei variabile aleatoare. Tipuri și exemple de variabile aleatoare. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete. Legile distribuției unei variabile aleatoare continue.

    rezumat, adăugat 25.10.2015

    Probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să cadă într-un interval dat. Reprezentarea grafică a funcției de distribuție a unei variabile aleatoare. Determinarea probabilității ca un produs luat la întâmplare să îndeplinească standardul. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete.

    test, adaugat 24.01.2013

    Variabilă aleatoare continuă și funcție de distribuție. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue. Abaterea standard. Curba de distribuție pentru o variabilă aleatoare continuă. Conceptul de analiză unidirecțională a varianței.

    test, adaugat 01.03.2012

    Determinarea probabilității de a lovi o țintă folosind formula lui Bernoulli. Legea și poligonul distribuției unei variabile aleatoare. Construcția funcției de distribuție, grafic. Așteptarea, varianța, abaterea standard a unei variabile aleatorii.

    test, adaugat 26.02.2012

    Folosind formula lui Bernoulli pentru a afla probabilitatea producerii unui eveniment. Trasarea unui grafic al unei variabile aleatoare discrete. Aşteptări matematice şi proprietăţi ale funcţiei de distribuţie integrală. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue.

    test, adaugat 29.01.2014

    Variabile aleatorii. Funcția și densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete. Variabile aleatoare singulare. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare. inegalitatea lui Cebyshev. Momente, cumulante și funcție caracteristică.

    rezumat, adăugat 12.03.2007

    Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare. Proprietățile așteptărilor matematice, dispersia unei variabile aleatoare, sumele acestora. O funcție de variabile aleatoare, așteptarea sa matematică. Coeficient de corelație, tipuri de convergență a unei secvențe de variabile aleatoare.

    prelegere, adăugată 17.12.2010

    Rezolvarea problemelor de determinare a probabilității evenimentelor, a funcțiilor de serie și de distribuție folosind formula de înmulțire a probabilității. Găsirea constantei, descrierea matematică și a varianței unei variabile aleatoare continue din funcția de distribuție a variabilei aleatoare.

    test, adaugat 09.07.2010

    Conceptul și esența unei variabile aleatoare multidimensionale, diferența acesteia față de una unidimensională și aplicarea ei pentru rezolvarea problemelor statistice. Caracteristici ale probabilității condiționate, calculul și determinarea sumei tuturor probabilităților. Legea matematică a distribuției evenimentelor.

    prezentare, adaugat 11.01.2013

    Variabile aleatoare discrete și distribuțiile lor. Formula probabilității totale și formula Bayes. Proprietăți generale ale așteptărilor matematice. Varianta unei variabile aleatoare. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare. Definiția clasică a probabilității.

Definiţie. Teoria probabilității este o știință care studiază tiparele în fenomene aleatorii.

Definiţie. Un fenomen aleatoriu este un fenomen care, atunci când este testat în mod repetat, are loc diferit de fiecare dată.

Definiţie. Experiența este o activitate sau un proces uman, teste.

Definiţie. Un eveniment este rezultatul unei experiențe.

Definiţie. Subiectul teoriei probabilităților îl reprezintă fenomenele aleatoare și modelele specifice ale fenomenelor aleatoare de masă.

Clasificare eveniment:

  1. Evenimentul este numit de încredere , dacă în urma experimentului se va întâmpla cu siguranță.

Exemplu. Lecția de la școală se va încheia cu siguranță.

  1. Evenimentul este numit imposibil , dacă în condiții date nu se va întâmpla niciodată.

Exemplu. Dacă nu există curent electric în circuit, lampa nu se va aprinde.

  1. Evenimentul este numit aleatoriu sau imposibil , dacă în urma experienței poate apărea sau nu.

Exemplu. Eveniment - promovarea unui examen.

  1. Evenimentul este numit la fel de posibil , dacă condițiile de apariție sunt aceleași și nu există niciun motiv să se afirme că în urma experienței unul dintre ei are șanse mai mari să apară decât celălalt.

Exemplu. Aspectul unei steme sau cozi atunci când o monedă este aruncată.

  1. Evenimentele sunt numite comun , dacă apariția unuia dintre ele nu exclude posibilitatea apariției celuilalt.

Exemplu. Când trageți, lipsa și depășirea sunt evenimente comune.

  1. Evenimentul este numit incompatibil , dacă apariția unuia dintre ele exclude posibilitatea apariției celuilalt.

Exemplu. Cu o lovitură, o lovitură și o ratare nu sunt evenimente simultane.

  1. Sunt numite două evenimente incompatibile opus , dacă în urma experimentului unul dintre ele va apărea cu siguranță.

Exemplu. La promovarea unui examen, evenimentele „a promovat examenul” și „a picat examenul” sunt numite opuse.

Denumire: - eveniment normal, - eveniment opus.

  1. Se formează mai multe evenimente un grup complet de evenimente incompatibile , dacă numai unul dintre ele apare ca urmare a experimentului.

Exemplu. La promovarea unui examen, este posibil: „a picat examenul”, „a promovat cu un „3””, „a trecut cu un „4”” - un grup complet de evenimente incompatibile.

Reguli de sumă și produs.

Definiţie. Suma a două produse o Şi b sunați la eveniment c , care constă în producerea unui eveniment o sau evenimente b sau ambele in acelasi timp.

Se numește suma evenimentelor combinarea evenimentelor (apariția a cel puțin unuia dintre evenimente).

Dacă sensul problemei este evident ceea ce ar trebui să apară o SAU b , apoi spun că au găsit suma.

Definiţie. Prin producerea de evenimente o Şi b sunați la eveniment c , care constă în producerea simultană a unor evenimente o Şi b .

Un produs este intersecția a două evenimente.



Dacă problema spune că au găsit o ŞI b , ceea ce înseamnă că găsesc de lucru.

Exemplu. Cu două lovituri:

  1. dacă este necesar să găsiți o lovitură cel puțin o dată, atunci găsiți suma.
  2. dacă este necesar să găsiți un hit de două ori, atunci găsiți produsul.

Probabilitate. Proprietatea probabilității.

Definiţie. Frecvența unui eveniment este un număr egal cu raportul dintre numărul de experimente în care a avut loc evenimentul și numărul de toate experimentele efectuate.

Denumire: r() – frecvența evenimentului.

Exemplu. Dacă arunci o monedă de 15 ori și stema apare de 10 ori, atunci frecvența de apariție a stemei este: r()=.

Definiţie. Cu un număr infinit de experimente, frecvența unui eveniment devine egală cu probabilitatea evenimentului.

Definiţia classical probability. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de cazuri favorabile pentru apariția acestui eveniment și numărul tuturor cazurilor posibile în mod unic și la fel de posibile.

Denumire: , unde P – probabilitate,

m – numărul de cazuri favorabile producerii evenimentului.

n este numărul total de cazuri unic posibile și egal posibile.

Exemplu. La concursul de alergare participă 60 de elevi CHIEP. Fiecare are un număr. Găsiți probabilitatea ca numărul elevului care a câștigat cursa să nu conțină numărul 5.

Proprietăți ale probabilității:

  1. valoarea probabilității nu este negativă și se află între valorile 0 și 1.
  2. o probabilitate este 0 dacă și numai dacă este probabilitatea unui eveniment imposibil.
  3. o probabilitate este egală cu 1 dacă și numai dacă este probabilitatea unui anumit eveniment.
  4. probabilitatea aceluiași eveniment este invariabilă, nu depinde de numărul de experimente efectuate și se modifică numai atunci când se schimbă condițiile experimentului.

Definiţia geometric probability. Probabilitatea geometrică este raportul părții din regiune în care trebuie găsit un punct selectat în întreaga regiune în care o lovire într-un anumit punct este la fel de posibilă.

Aria poate fi o măsură a ariei, lungimii sau volumului.

Exemplu. Aflați probabilitatea ca un anumit punct să cadă pe o secțiune de 10 km lungime dacă este necesar ca acesta să cadă în apropierea capetele segmentului, la cel mult 1 km de fiecare.

Comentariu.

Dacă măsurile domeniului s și S au unități de măsură diferite în funcție de condițiile problemei, atunci pentru a rezolva este necesar să se acorde lui s și S o singură dimensiune.

Compus. Elemente de combinatorie.

Definiţie. Asociațiile de elemente din diferite grupuri care diferă în ordinea elementelor sau cel puțin un element se numesc compuși.

Conexiunile sunt:

Cazare

Combinaţie

Rearanjamente

Definiţie. Aranjamentele de n - elemente de m ori fiecare se numesc conexiune care diferă unele de altele în cel puțin un element și ordinea de aranjare a elementelor.

Definiţie. Combinațiile de n elemente ale lui m se numesc un compus format din aceleași elemente, care diferă în cel puțin un element.

Definiţie. Permutațiile a n elemente sunt compuși formați din aceleași elemente, care diferă între ele doar în ordinea de aranjare a elementelor.

Exemplu.

1) în câte moduri poți forma un convoi de 5 mașini?

2) în câte moduri pot fi numiți 3 ofițeri de serviciu într-o clasă, dacă în clasă sunt în total 25 de persoane?

Deoarece ordinea elementelor nu este importantă și grupurile de compuși diferă în numărul de elemente, calculăm numărul de combinații a 25 de elemente din 3.

moduri.

3) În câte moduri puteți face un număr din 4 cifre din numerele 1,2,3,4,5,6. Prin urmare, din moment ce conexiunile diferă în ordinea de aranjare și cel puțin un element, apoi calculăm aranjarea a 6 elemente din 4.

Un exemplu de utilizare a elementelor de combinatorie și de calcul al probabilității.

Într-un lot de n produse, m sunt defecte. Selectăm la întâmplare produse l. Găsiți probabilitatea ca printre ei să fie exact k căsătorii.

Exemplu.

La depozitul magazinului au fost aduse 10 frigidere, dintre care 4-3 camere, restul - 2 camere.

Găsiți probabilitatea ca dintre 5 dealuri alese aleatoriu, 3 să aibă 3 camere.

Teoreme de bază ale teoriei probabilităților.

Teorema 1.

Probabilitatea sumei a 2 evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.

Consecinţă.

1) dacă un eveniment formează un grup complet de evenimente incompatibile, atunci suma probabilităților lor este egală cu 1.

2) suma probabilităților a 2 evenimente opuse este egală cu 1.

Teorema 2.

Probabilitatea produsului a 2 evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestora.

Definiţie. Se spune că evenimentul A este independent de evenimentul B dacă probabilitatea de apariție a evenimentului A nu depinde de faptul dacă evenimentul B are loc sau nu.

Definiţie. 2 evenimente sunt numite independente dacă probabilitatea apariției unuia dintre ele depinde de apariția sau neapariția celui de-al doilea.

Definiţie. Probabilitatea evenimentului B calculată având în vedere că a avut loc evenimentul A se numește probabilitate condiționată.

Teorema 3.

Probabilitatea produsului a 2 evenimente independente este egală cu probabilitatea apariției unui eveniment cu probabilitatea condiționată a celui de-al doilea, având în vedere că primul eveniment a avut loc.

Exemplu.

Biblioteca are 12 manuale de matematică. Dintre acestea, 2 sunt manuale de matematică elementară, 5 de teoria probabilităților, iar restul de matematică superioară. Selectăm aleatoriu 2 manuale. Găsiți probabilitatea ca amândoi să apară la matematica elementară.

Teorema 4. Probabilitatea ca un eveniment să se producă cel puțin o dată.

Probabilitatea apariției a cel puțin unuia dintre evenimentele care formează un grup complet de evenimente incompatibile este egală cu diferența dintre primul și produsul probabilităților evenimentelor opuse celor date.

Lasă atunci

Consecinţă.

Dacă probabilitatea de apariție a fiecăruia dintre evenimente este aceeași și egală cu p, atunci probabilitatea ca cel puțin unul dintre aceste evenimente să se producă este egală cu

N este numărul de experimente efectuate.

Exemplu.

Trage 3 focuri la țintă. Probabilitatea unei lovituri la prima lovitură este de 0,7, la a doua – 0,8, la a treia – 0,9. Găsiți probabilitatea ca cu trei lovituri independente la țintă să existe:

A) 0 lovituri;

B) 1 lovitură;

B) 2 lovituri;

D) 3 lovituri;

D) cel puțin o lovitură.

Teorema 5. Formula probabilității totale.

Fie ca evenimentul A să apară împreună cu una dintre ipoteze, atunci probabilitatea ca evenimentul A să se producă se găsește prin formula:

Și . Să o aducem la un numitor comun.

Că. a câștiga un joc din 2 împotriva unui adversar egal este mai probabil decât să câștigi 2 jocuri din 4.

Teoria probabilității este o știință matematică care studiază tipare în fenomene aleatorii de masă.

Înainte de apariția teoriei probabilităților ca teorie general acceptată, în știință domina determinismul, conform căruia implementarea unui anumit set de condiții determină în mod unic rezultatul. Exemplul clasic este mecanica. De exemplu, pe baza legilor mecanicii cerești, eclipsele de soare și de lună pot fi prezise foarte precis din pozițiile cunoscute ale planetelor din sistemul solar la un moment dat. Astfel de legi se numesc legi deterministe.

Cu toate acestea, practica a arătat că această abordare nu este întotdeauna aplicabilă. Nu toate fenomenele macrocosmosului pot fi prezise cu acuratețe, în ciuda faptului că cunoștințele noastre despre acesta sunt în mod constant rafinate și aprofundate. Legile și regularitățile microlumii sunt și mai puțin determinate.

Legile matematice ale teoriei probabilităților reflectă legi statistice reale care există în mod obiectiv în fenomenele aleatoare de masă.

Teoria probabilității dezvoltată inițial ca disciplină aplicată. În acest sens, conceptele și concluziile sale au fost colorate de domeniile de cunoaștere în care au fost obținute.

În lucrările B.V. Gnedenko, L.E. Maystrova, A.N. Kolmogorov prezintă principalele etape ale dezvoltării teoriei probabilităților. Pentru concizie, le prezentăm sub formă de tabel.

Tabelul 1

Etapele dezvoltării teoriei probabilităților

Nume de scenă

Concepte de bază

Surse de formare și dezvoltare

Preistoria teoriei probabilităților, până la sfârșitul secolului al XVI-lea

Rezultate la fel de posibile (la fel de probabile), principiul - „nu mai mult într-un fel decât altul”, cunoaștere probabilistică, raționament probabilist

Rezolvarea problemelor elementare, filozofie, jocuri de noroc

Apariția teoriei probabilităților ca știință, din secolul al XVII-lea până la începutul secolului al XVIII-lea.

Evaluarea cantitativă a posibilității de a se produce un eveniment aleatoriu, idei despre frecvența unui eveniment, așteptări matematice și teoreme de adunare și înmulțire, formule combinatorice

Demografie, afaceri de asigurări, evaluarea erorilor de observare.

Perioada de formare a fundamentelor teoriei probabilităților, din 1713 până la mijlocul secolului al XIX-lea

Definiții clasice și statistice ale probabilității, probabilități geometrice, teoreme de adunare și înmulțire, legea numerelor mari, așteptări matematice, formula lui Bernoulli, teorema lui Bayes, variabilă aleatoare

Demografie, afaceri de asigurări, evaluarea erorilor de observare, științe naturale

Rusă - școala din Sankt Petersburg, din a doua jumătate a secolului al XIX-lea până în secolul al XX-lea

Teoreme limită, teoria proceselor aleatoare, generalizarea legii numerelor mari, metoda momentelor

Controlul calității produselor, științe naturale etc.

Etapa actuală de dezvoltare a teoriei probabilităților, secolele XX - XXI

Construcția axiomatică a teoriei probabilităților, interpretarea în frecvență a probabilității, procese aleatorii staționare etc.

Nevoile interne ale matematicii în sine, fizicii statistice, teoria informației, teoria proceselor aleatorii, astronomie, biologie, genetică etc.

Sursele de dezvoltare prezentate în tabel reflectă nevoile practicii, care au devenit impulsul dezvoltării teoriei probabilităților.

Până în secolul al XVII-lea, filosofia a acumulat o bogăție destul de mare de material, care a influențat originea și prima perioadă de dezvoltare a teoriei probabilităților. Sursa principală a apariției teoriei probabilităților este practica. Necesitatea creării unui aparat matematic pentru analiza fenomenelor aleatorii a apărut din nevoile de prelucrare și generalizare a materialului statistic. Cu toate acestea, teoria probabilității s-a format nu numai pe baza unor probleme practice: aceste probleme sunt prea complexe. Jocurile de noroc s-au dovedit a fi un material mai simplu și mai convenabil pentru studierea tiparelor fenomenelor aleatorii. Pe baza jocurilor de noroc, împreună cu conceptele de bază, au fost dezvoltate și metode de teoria probabilității.

Originea teoriei probabilităților a început cu faptul că curteanul regelui francez, Chevalier (Cavalier) de Mere (1607-1648), el însuși un jucător de noroc, s-a îndreptat către fizicianul, matematicianul și filozoful francez Blaise Pascal (1623-1662) cu întrebări despre problema ochelarilor. Două întrebări celebre de la De Mere la Pascal au ajuns la noi: 1) de câte ori trebuie aruncate două zaruri, astfel încât numărul de ori ca două șase deodată să fie mai mult de jumătate din numărul total de aruncări; 2) cum să împărțim corect banii în joc dacă jucătorii au oprit jocul prematur? Pascal a apelat la matematicianul Pierre Fermat (1601-1665) și a corespondat cu el despre aceste probleme. Cei doi au stabilit câteva dintre principiile inițiale ale teoriei probabilităților, în special au ajuns la conceptul de așteptare matematică și la teoremele de adunare și înmulțire a probabilităților.

Metodele probabilistice au găsit aplicare practică directă, în primul rând, în problemele de asigurări. De atunci, teoria probabilității și-a găsit o aplicație din ce în ce mai mare în diverse domenii.

Oamenii de știință francezi B. Pascal și P. Fermat și omul de știință olandez H. Huygens (1629-1695) sunt considerați descoperitorii teoriei probabilităților. A început să apară o nouă știință, specificul și metodologia ei au început să apară: definiții, teoreme, metode.

Un pas major în dezvoltarea teoriei probabilităților este asociat cu lucrările lui Jacob Bernoulli (1654–1705). A fost el prima dovadă a uneia dintre cele mai importante prevederi ale teoriei probabilităților? legea numerelor mari. Chiar înainte de Jacob Bernoulli, mulți au remarcat ca un fapt empiric acea caracteristică a fenomenelor aleatorii, care se numește „proprietatea stabilității frecvențelor într-un număr mare de experimente”. S-a remarcat în mod repetat că, cu un număr mare de experimente, rezultatul fiecăruia este aleatoriu, frecvența relativă de apariție a unui rezultat dat tinde să se stabilizeze, apropiindu-se de un anumit număr de probabilitatea acestui rezultat. Jacob Bernoulli a fost primul care a dat o justificare teoretică pentru acest fapt empiric. teorema lui Jacob Bernoulli? cea mai simplă formă a legii numerelor mari? stabilește o legătură între probabilitatea unui eveniment și frecvența producerii acestuia; cu un număr suficient de mare de experimente, se poate, cu certitudine practică, să se aștepte la un acord arbitrar strâns între frecvență și probabilitate.

O altă etapă importantă în dezvoltarea teoriei probabilităților este asociată cu numele de Moavr (1667-1754). Acest om de știință a introdus mai întâi în considerare și pentru cel mai simplu caz a justificat o lege care este foarte des observată în fenomene aleatorii: așa-numita lege normală (legea lui Gauss).

Legea normală joacă un rol extrem de important în fenomenele aleatorii. Teoremele care justifică această lege pentru anumite condiții sunt în teoria probabilității numite în general „teorema limitei centrale”.

O prezentare armonioasă și sistematică a fundamentelor teoriei probabilităților a fost făcută pentru prima dată de celebrul matematician Laplace (1749–1827). El a demonstrat una dintre formele teoremei limitei centrale (teorema Moavre-Laplace) și a dezvoltat o serie de aplicații remarcabile ale teoriei probabilităților la probleme practice, în special, la analiza erorilor de observație și de măsurare.

Un pas semnificativ înainte în dezvoltarea teoriei probabilităților este asociat cu numele lui Gauss (1777–1855), care a dat o justificare și mai generală pentru legea normală și a dezvoltat o metodă de procesare a datelor experimentale cunoscută sub numele de „metoda celor mai mici pătrate”. ”

Este demn de remarcat lucrarea lui Poisson (1781–1840), care a dovedit o formă mai generală a legii numerelor mari decât Jacob Bernoulli și a fost, de asemenea, primul care a aplicat teoria probabilității la problemele de fotografiere. Numele de Poisson este asociat cu una dintre legile distribuției, care joacă un rol important în teoria probabilității și în aplicațiile acesteia.

Întregul secol al XVIII-lea și începutul secolului al XIX-lea au fost caracterizate de dezvoltarea rapidă a teoriei probabilităților și de entuziasmul larg răspândit pentru aceasta. Teoria probabilității devine o știință „la modă”. Încep să-l folosească nu numai acolo unde utilizarea sa este legală, ci și acolo unde nu este justificată în niciun fel.

Această perioadă a fost caracterizată de numeroase încercări de a aplica teoria probabilității la studiul fenomenelor sociale, la așa-numitele științe „morale” sau „morale”. Au apărut numeroase lucrări pe probleme de procedură judiciară, istorie, politică, chiar teologie, în care a fost folosit aparatul teoriei probabilităților. Toate aceste studii pseudoștiințifice se caracterizează printr-o abordare extrem de simplificată, mecanică, a fenomenelor sociale luate în considerare în ele. Raționamentul se bazează pe unele probabilități date în mod arbitrar (de exemplu, atunci când se analizează problemele procedurilor judiciare, înclinația fiecărei persoane de a spune adevărul sau minciuna este estimată printr-o probabilitate constantă, aceeași pentru toți oamenii), apoi problema socială. se rezolvă ca o simplă problemă aritmetică.

Desigur, toate aceste încercări au fost sortite eșecului și nu au putut juca un rol pozitiv în dezvoltarea științei. Dimpotrivă, rezultatul lor indirect a fost că în jurul anilor douăzeci? În anii treizeci ai secolului al XIX-lea, în Europa de Vest, entuziasmul larg răspândit pentru teoria probabilității a făcut loc dezamăgirii și scepticismului. Au început să privească teoria probabilității ca pe o știință dubioasă, de mâna a doua, un fel de divertisment matematic, cu greu demn de un studiu serios.

Este remarcabil că în acest moment a fost creată în Rusia celebra școală de matematică din Sankt Petersburg, prin ale cărei lucrări teoria probabilității a fost plasată pe o bază logică și matematică solidă și a realizat o metodă de cunoaștere fiabilă, precisă și eficientă. De la apariția acestei școli, dezvoltarea teoriei probabilităților a fost deja strâns legată de munca rușilor, iar în viitor? oameni de știință sovietici.

Printre oamenii de știință ai școlii de matematică din Sankt Petersburg, ar trebui să-l numească pe V. Ya (1804?1889)? autor al primului curs de teoria probabilității în limba rusă, creator de terminologie rusă modernă în teoria probabilității, autor de cercetări originale în domeniul statisticii și demografiei.

Un student al lui V. Ya Bunyakovsky a fost marele matematician rus P. L. Cebyshev (1821-1894), care a extins și a generalizat în continuare legea numerelor mari. În plus, P. L. Chebyshev a introdus o metodă foarte puternică și fructuoasă a momentelor în teoria probabilității.

Un student al lui P. L. Cebyshev a fost A. A. Markov (1856-1922), care a extins semnificativ domeniul de aplicare a legii numerelor mari și a teoremei limitei centrale, extinzându-le nu numai la experimente independente, ci și la experimente dependente. Cel mai important merit al lui A. A. Markov a fost că a pus bazele unei ramuri complet noi a teoriei probabilităților? teorii ale proceselor aleatorii sau „stochastice”. Dezvoltarea acestei teorii constituie conținutul principal al celei mai noi, moderne teorii a probabilității.

A. M. Lyapunov (1857–1918), al cărui nume este asociat cu prima demonstrație a teoremei limitei centrale în condiții extrem de generale, a fost și elev al lui P. L. Cebyshev. Pentru a-și demonstra teorema, A. M. Lyapunov a dezvoltat o metodă specială a funcțiilor caracteristice, utilizată pe scară largă în teoria probabilității moderne.

O trăsătură caracteristică a lucrării școlii de matematică din Sankt Petersburg a fost claritatea excepțională a formulării problemelor, rigoarea matematică completă a metodelor utilizate și, în același timp, strânsa legătură a teoriei cu cerințele imediate ale practicii. Prin lucrările oamenilor de știință ai școlii de matematică din Sankt Petersburg, teoria probabilității a fost scoasă din marginea științei și plasată ca membru cu drepturi depline al științelor matematice exacte. Condițiile de aplicare a metodelor ei au fost strict definite, iar metodele în sine au fost aduse la un grad ridicat de perfecțiune.

Școala sovietică de teorie a probabilității, moștenind tradițiile școlii de matematică din Sankt Petersburg, ocupă un loc de frunte în știința mondială. Să numim doar câțiva dintre cei mai mari oameni de știință sovietici ale căror lucrări au jucat un rol decisiv în dezvoltarea teoriei probabilităților moderne și a aplicațiilor sale practice.

S. N. Bernstein a dezvoltat prima axiomatică completă a teoriei probabilităților și, de asemenea, a extins semnificativ domeniul de aplicare al teoremelor limită.

A. Ya Khinchin (1894?1959) este cunoscut pentru cercetările sale în domeniul generalizării și întăririi în continuare a legii numerelor mari, dar în principal pentru cercetările sale în domeniul proceselor aleatoare staționare.

Un număr dintre cele mai importante lucrări fundamentale din diverse domenii ale teoriei probabilităților și statisticii matematice îi aparțin lui A. N. Kolmogorov. El a dat cea mai perfectă construcție axiomatică a teoriei probabilității, legând-o cu una dintre cele mai importante ramuri ale matematicii moderne? teoria metrică a funcțiilor. Lucrarea lui A. N. Kolmogorov este de o importanță deosebită în domeniul teoriei funcțiilor aleatoare (procese stocastice), care formează în prezent baza tuturor cercetărilor în acest domeniu. Lucrările lui A. N. Kolmogorov legate de evaluarea eficacității au format baza unei direcții științifice cu totul noi în teoria împușcăturii, care a devenit apoi o știință mai largă a eficacității operațiunilor de luptă.

V. I. Romanovsky și N. V. Smirnov sunt cunoscuți pentru munca lor în domeniul statisticii matematice, E. E. Slutsky? în teoria proceselor aleatorii, B.V. Gnedenko? în domeniul teoriei cozilor, E. B. Dynkin? în domeniul proceselor aleatoare Markov, V. S. Pugachev? în domeniul proceselor aleatorii aplicate problemelor de control automat.

Dezvoltarea teoriei probabilităților străine se desfășoară în prezent într-un ritm accelerat din cauza cerințelor urgente ale practicii. Ca și în cazul nostru, atenția prioritară este acordată întrebărilor legate de procese aleatorii. Lucrări semnificative în acest domeniu aparțin lui N. Wiener, V. Feller, D. Doob. Lucrări importante despre teoria probabilităților și statistica matematică aparțin lui R. Fischer, D. Neumann și G. Cramer.

Teoria probabilității, ca și alte ramuri ale matematicii, s-a dezvoltat din nevoile practicii și, în mod abstract, reflectă modele în evenimente aleatorii în masă. Aceste modele joacă un rol foarte important în diferite domenii ale științelor naturale, medicinei, tehnologiei, economiei și afacerilor militare. Multe ramuri ale teoriei probabilităților au fost dezvoltate datorită nevoilor practicii.

„Accidentele nu sunt întâmplătoare”... Pare ceva ce a spus un filozof, dar, de fapt, studierea aleatoriei este destinul marii științe a matematicii. În matematică, șansa este tratată de teoria probabilității. Formule și exemple de sarcini, precum și definițiile de bază ale acestei științe vor fi prezentate în articol.

Ce este teoria probabilității?

Teoria probabilității este una dintre disciplinele matematice care studiază evenimentele aleatoare.

Pentru a fi puțin mai clar, să dăm un mic exemplu: dacă aruncați o monedă în sus, aceasta poate ateriza în cap sau cozi. În timp ce moneda este în aer, ambele probabilități sunt posibile. Adică, probabilitatea unor posibile consecințe este de 1:1. Dacă se extrage una dintr-un pachet de 36 de cărți, atunci probabilitatea va fi indicată ca 1:36. S-ar părea că aici nu este nimic de explorat și de prezis, mai ales cu ajutorul formulelor matematice. Cu toate acestea, dacă repeți o anumită acțiune de multe ori, poți identifica un anumit tipar și, pe baza acestuia, poți prezice rezultatul evenimentelor în alte condiții.

Pentru a rezuma toate cele de mai sus, teoria probabilității în sens clasic studiază posibilitatea apariției unuia dintre evenimentele posibile într-o valoare numerică.

Din paginile istoriei

Teoria probabilității, formulele și exemplele primelor sarcini au apărut în îndepărtatul Ev Mediu, când au apărut pentru prima dată încercările de a prezice rezultatul jocurilor de cărți.

Inițial, teoria probabilității nu avea nimic de-a face cu matematica. A fost justificată prin fapte empirice sau proprietăți ale unui eveniment care putea fi reprodus în practică. Primele lucrări în acest domeniu ca disciplină matematică au apărut în secolul al XVII-lea. Fondatorii au fost Blaise Pascal și Pierre Fermat. Au studiat mult timp jocurile de noroc și au văzut anumite modele, despre care au decis să spună publicului.

Aceeași tehnică a fost inventată de Christiaan Huygens, deși nu era familiarizat cu rezultatele cercetărilor lui Pascal și Fermat. Conceptul de „teoria probabilității”, formule și exemple, care sunt considerate primele din istoria disciplinei, au fost introduse de el.

Lucrările lui Jacob Bernoulli, teoremele lui Laplace și ale lui Poisson au, de asemenea, o importanță nu mică. Ei au făcut teoria probabilității mai mult ca o disciplină matematică. Teoria probabilității, formulele și exemplele de sarcini de bază și-au primit forma actuală datorită axiomelor lui Kolmogorov. Ca urmare a tuturor schimbărilor, teoria probabilității a devenit una dintre ramurile matematice.

Concepte de bază ale teoriei probabilităților. Evenimente

Conceptul principal al acestei discipline este „eveniment”. Există trei tipuri de evenimente:

  • De încredere. Cele care se vor întâmpla oricum (moneda va cădea).
  • Imposibil. Evenimente care nu se vor întâmpla sub nicio formă (moneda va rămâne în aer).
  • Aleatoriu. Cele care se vor întâmpla sau nu se vor întâmpla. Ele pot fi influențate de diverși factori care sunt foarte greu de prezis. Dacă vorbim despre o monedă, atunci există factori aleatori care pot afecta rezultatul: caracteristicile fizice ale monedei, forma acesteia, poziția inițială, forța aruncării etc.

Toate evenimentele din exemple sunt indicate cu majuscule latine, cu excepția lui P, care are un rol diferit. De exemplu:

  • A = „elevii au venit la prelegere”.
  • Ā = „elevii nu au venit la curs.”

În sarcinile practice, evenimentele sunt de obicei scrise în cuvinte.

Una dintre cele mai importante caracteristici ale evenimentelor este posibilitatea lor egală. Adică, dacă arunci o monedă, toate opțiunile pentru căderea inițială sunt posibile până când aceasta cade. Dar evenimentele nu sunt la fel de posibile. Acest lucru se întâmplă atunci când cineva influențează în mod deliberat un rezultat. De exemplu, cărți de joc sau zaruri „marcate”, în care centrul de greutate este deplasat.

Evenimentele pot fi, de asemenea, compatibile și incompatibile. Evenimentele compatibile nu se exclud reciproc. De exemplu:

  • A = „studentul a venit la curs”.
  • B = „studentul a venit la curs”.

Aceste evenimente sunt independente unele de altele, iar apariția unuia dintre ele nu afectează apariția celuilalt. Evenimentele incompatibile sunt definite prin faptul că apariția unuia exclude apariția altuia. Dacă vorbim despre aceeași monedă, atunci pierderea „cozilor” face imposibilă apariția „capetelor” în același experiment.

Acțiuni pe evenimente

Evenimentele pot fi multiplicate și adăugate în consecință, în disciplină sunt introduse conexiuni logice „ȘI” și „SAU”.

Suma este determinată de faptul că fie evenimentul A sau B, fie două, pot apărea simultan. Dacă sunt incompatibile, ultima opțiune este imposibilă fie A sau B;

Înmulțirea evenimentelor constă în apariția lui A și B în același timp.

Acum putem da mai multe exemple pentru a ne aminti mai bine elementele de bază, teoria probabilității și formulele. Exemple de rezolvare a problemelor de mai jos.

Sarcina 1: Compania participă la un concurs pentru a primi contracte pentru trei tipuri de lucrări. Evenimente posibile care pot apărea:

  • A = „firma va primi primul contract”.
  • A 1 = „firma nu va primi primul contract”.
  • B = „firma va primi un al doilea contract”.
  • B 1 = „firma nu va primi un al doilea contract”
  • C = „firma va primi un al treilea contract”.
  • C 1 = „firma nu va primi un al treilea contract”.

Folosind acțiuni pe evenimente, vom încerca să exprimăm următoarele situații:

  • K = „compania va primi toate contractele”.

În formă matematică, ecuația va avea următoarea formă: K = ABC.

  • M = „compania nu va primi un singur contract”.

M = A 1 B 1 C 1.

Să complicăm sarcina: H = „compania va primi un contract”. Deoarece nu se știe ce contract va primi compania (primul, al doilea sau al treilea), este necesar să se înregistreze întreaga serie de posibile evenimente:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Iar 1 BC 1 este o serie de evenimente în care firma nu primește primul și al treilea contract, ci primește al doilea. Alte evenimente posibile au fost înregistrate folosind metoda adecvată. Simbolul υ în disciplină denotă conjunctivul „SAU”. Dacă traducem exemplul de mai sus în limbaj uman, compania va primi fie al treilea contract, fie al doilea, fie primul. În mod similar, puteți nota și alte condiții la disciplina „Teoria probabilității”. Formulele și exemplele de rezolvare a problemelor prezentate mai sus vă vor ajuta să faceți acest lucru singur.

De fapt, probabilitatea

Poate că, în această disciplină matematică, probabilitatea unui eveniment este conceptul central. Există 3 definiții ale probabilității:

  • clasic;
  • statistic;
  • geometric.

Fiecare își are locul în studiul probabilității. Teoria probabilității, formulele și exemplele (clasa a IX-a) folosesc în principal definiția clasică, care sună astfel:

  • Probabilitatea situației A este egală cu raportul dintre numărul de rezultate care favorizează apariția acesteia și numărul tuturor rezultatelor posibile.

Formula arată astfel: P(A)=m/n.

A este de fapt un eveniment. Dacă apare un caz opus lui A, acesta poate fi scris ca  sau A 1 .

m este numărul de cazuri favorabile posibile.

n - toate evenimentele care se pot întâmpla.

De exemplu, A = „trageți o carte cu culoarea inimii”. Există 36 de cărți într-un pachet standard, 9 dintre ele sunt de inimi. În consecință, formula pentru rezolvarea problemei va arăta astfel:

P(A)=9/36=0,25.

Ca urmare, probabilitatea ca o carte cu culoarea inimii să fie extrasă din pachet va fi de 0,25.

Spre matematica superioara

Acum a devenit puțin cunoscut care este teoria probabilității, formule și exemple de rezolvare a problemelor care se întâlnesc în programa școlară. Cu toate acestea, teoria probabilității se găsește și în matematica superioară, care este predată în universități. Cel mai adesea ele operează cu definiții geometrice și statistice ale teoriei și formule complexe.

Teoria probabilității este foarte interesantă. Este mai bine să începeți să studiați formule și exemple (matematică superioară) mici - cu definiția statistică (sau frecvență) a probabilității.

Abordarea statistică nu o contrazice pe cea clasică, ci o extinde ușor. Dacă în primul caz a fost necesar să se determine cu ce probabilitate va avea loc un eveniment, atunci în această metodă este necesar să se indice cât de des va avea loc. Aici este introdus un nou concept de „frecvență relativă”, care poate fi notat cu W n (A). Formula nu este diferită de cea clasică:

Dacă formula clasică este calculată pentru predicție, atunci cea statistică este calculată în funcție de rezultatele experimentului. Să luăm, de exemplu, o mică sarcină.

Departamentul de control tehnologic verifică calitatea produselor. Dintre 100 de produse, 3 s-au dovedit a fi de proastă calitate. Cum să găsiți probabilitatea de frecvență a unui produs de calitate?

A = „aspectul unui produs de calitate”.

Wn (A)=97/100=0,97

Astfel, frecvența unui produs de calitate este de 0,97. De unde ai luat 97? Din 100 de produse care au fost verificate, 3 s-au dovedit a fi de proastă calitate. Scădem 3 din 100 și obținem 97, aceasta este cantitatea de bunuri de calitate.

Un pic despre combinatorie

O altă metodă de teorie a probabilității se numește combinatorică. Principiul său de bază este că dacă o anumită alegere A poate fi făcută în m moduri diferite, iar o alegere B poate fi făcută în n moduri diferite, atunci alegerea lui A și B poate fi făcută prin înmulțire.

De exemplu, există 5 drumuri care duc de la orașul A la orașul B. Există 4 căi de la orașul B la orașul C. În câte moduri poți ajunge din orașul A în orașul C?

Este simplu: 5x4=20, adică în douăzeci de moduri diferite poți ajunge de la punctul A la punctul C.

Să complicăm sarcina. Câte moduri există de a așeza cărți în solitaire? Există 36 de cărți în pachet - acesta este punctul de plecare. Pentru a afla numărul de moduri, trebuie să „scădeți” câte o carte din punctul de plecare și să înmulțiți.

Adică 36x35x34x33x32...x2x1= rezultatul nu se potrivește pe ecranul calculatorului, așa că poate fi desemnat pur și simplu 36!. Semnează „!” lângă număr indică faptul că întreaga serie de numere este înmulțită împreună.

În combinatorică există concepte precum permutarea, plasarea și combinarea. Fiecare dintre ele are propria sa formulă.

O mulțime ordonată de elemente ale unei mulțimi se numește aranjament. Plasările pot fi repetate, adică un element poate fi folosit de mai multe ori. Și fără repetare, când elementele nu se repetă. n sunt toate elementele, m sunt elemente care participă la plasare. Formula de plasare fără repetare va arăta astfel:

A n m =n!/(n-m)!

Conexiunile a n elemente care diferă numai în ordinea plasării se numesc permutări. La matematică arată astfel: P n = n!

Combinațiile de n elemente ale lui m sunt acele compuși în care este important ce elemente au fost și care este numărul lor total. Formula va arăta astfel:

A n m =n!/m!(n-m)!

formula lui Bernoulli

În teoria probabilității, ca și în fiecare disciplină, există lucrări ale unor cercetători remarcabili în domeniul lor care au dus-o la un nou nivel. Una dintre aceste lucrări este formula Bernoulli, care vă permite să determinați probabilitatea ca un anumit eveniment să se producă în condiții independente. Acest lucru sugerează că apariția lui A într-un experiment nu depinde de apariția sau neapariția aceluiași eveniment în încercările anterioare sau ulterioare.

Ecuația lui Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Probabilitatea (p) de apariție a evenimentului (A) este constantă pentru fiecare încercare. Probabilitatea ca situația să apară exact de m ori în n număr de experimente va fi calculată prin formula prezentată mai sus. În consecință, se pune întrebarea cum să aflați numărul q.

Dacă evenimentul A are loc de p de ori, în consecință, este posibil să nu apară. Unitatea este un număr care este folosit pentru a desemna toate rezultatele unei situații dintr-o disciplină. Prin urmare, q este un număr care denotă posibilitatea ca un eveniment să nu se producă.

Acum știți formula lui Bernoulli (teoria probabilității). Vom lua în considerare mai jos exemple de rezolvare a problemelor (primul nivel).

Sarcina 2: Un vizitator al magazinului va face o achiziție cu probabilitate de 0,2. 6 vizitatori au intrat independent în magazin. Care este probabilitatea ca un vizitator să facă o achiziție?

Soluție: Deoarece nu se știe câți vizitatori ar trebui să facă o achiziție, unul sau toți șase, este necesar să se calculeze toate probabilitățile posibile folosind formula Bernoulli.

A = „vizitatorul va face o achiziție”.

În acest caz: p = 0,2 (după cum este indicat în sarcină). În consecință, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (deoarece sunt 6 clienți în magazin). Numărul m va varia de la 0 (nici un singur client nu va face o achiziție) la 6 (toți vizitatorii magazinului vor cumpăra ceva). Ca rezultat, obținem soluția:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Niciunul dintre cumpărători nu va face o achiziție cu probabilitatea 0,2621.

Cum altfel se folosește formula lui Bernoulli (teoria probabilității)? Exemple de rezolvare a problemelor (nivelul doi) de mai jos.

După exemplul de mai sus, apar întrebări despre unde au mers C și r. Raportat la p, un număr cu puterea lui 0 va fi egal cu unu. În ceea ce privește C, acesta poate fi găsit prin formula:

C n m = n! /m!(n-m)!

Deoarece în primul exemplu m = 0, respectiv, C = 1, ceea ce în principiu nu afectează rezultatul. Folosind noua formulă, să încercăm să aflăm care este probabilitatea ca doi vizitatori să cumpere bunuri.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teoria probabilității nu este atât de complicată. Formula lui Bernoulli, dintre care exemple sunt prezentate mai sus, este o dovadă directă în acest sens.

formula lui Poisson

Ecuația lui Poisson este utilizată pentru a calcula situații aleatoare cu probabilitate scăzută.

Formula de baza:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ).

În acest caz λ = n x p. Iată o formulă simplă Poisson (teoria probabilității). Vom lua în considerare exemple de rezolvare a problemelor mai jos.

Sarcina 3: Fabrica a produs 100.000 de piese. Apariția unei piese defecte = 0,0001. Care este probabilitatea ca într-un lot să fie 5 piese defecte?

După cum puteți vedea, căsătoria este un eveniment puțin probabil și, prin urmare, formula Poisson (teoria probabilității) este utilizată pentru calcul. Exemplele de rezolvare a problemelor de acest fel nu sunt diferite de alte sarcini din disciplină, înlocuim datele necesare în formula dată:

A = „o piesă selectată aleatoriu va fi defectă”.

p = 0,0001 (conform condițiilor sarcinii).

n = 100000 (număr de piese).

m = 5 (piese defecte). Inlocuim datele in formula si obtinem:

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

La fel ca formula Bernoulli (teoria probabilității), exemple de soluții care sunt scrise mai sus, ecuația Poisson are un e necunoscut. De fapt, poate fi găsită prin formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Cu toate acestea, există tabele speciale care conțin aproape toate valorile lui e.

Teorema lui De Moivre-Laplace

Dacă în schema Bernoulli numărul de încercări este suficient de mare, iar probabilitatea de apariție a evenimentului A în toate schemele este aceeași, atunci probabilitatea de apariție a evenimentului A de un anumit număr de ori într-o serie de teste poate fi găsită prin Formula lui Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Pentru a vă aminti mai bine formula lui Laplace (teoria probabilității), mai jos sunt exemple de probleme pentru a vă ajuta.

Mai întâi, să găsim X m, să înlocuim datele (toate sunt enumerate mai sus) în formulă și să obținem 0,025. Folosind tabele, găsim numărul ϕ(0,025), a cărui valoare este 0,3988. Acum puteți înlocui toate datele în formula:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Astfel, probabilitatea ca fluturașul să funcționeze exact de 267 de ori este de 0,03.

Formula Bayes

Formula Bayes (teoria probabilității), exemple de rezolvare a problemelor cu ajutorul cărora vor fi date mai jos, este o ecuație care descrie probabilitatea unui eveniment pe baza circumstanțelor care i-ar putea fi asociate. Formula de bază este următoarea:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A și B sunt evenimente determinate.

P(A|B) este o probabilitate condiționată, adică evenimentul A poate avea loc cu condiția ca evenimentul B să fie adevărat.

P (B|A) - probabilitatea condiționată a evenimentului B.

Deci, partea finală a cursului scurt „Teoria probabilității” este formula Bayes, exemple de soluții la probleme cu care sunt mai jos.

Sarcina 5: La depozit au fost aduse telefoane de la trei firme. În același timp, ponderea telefoanelor care sunt fabricate la prima fabrică este de 25%, la a doua - 60%, la a treia - 15%. De asemenea, se știe că procentul mediu de produse defecte la prima fabrică este de 2%, la a doua - 4%, iar la a treia - 1%. Trebuie să găsiți probabilitatea ca un telefon selectat aleatoriu să fie defect.

A = „telefon ales aleatoriu”.

B 1 - telefonul pe care l-a produs prima fabrică. În consecință, vor apărea B 2 și B 3 introductive (pentru a doua și a treia fabrică).

Ca rezultat obținem:

P (B1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - astfel am găsit probabilitatea fiecărei opțiuni.

Acum trebuie să găsiți probabilitățile condiționate ale evenimentului dorit, adică probabilitatea de produse defecte în companii:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Acum să înlocuim datele în formula Bayes și să obținem:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Articolul prezintă teoria probabilității, formule și exemple de rezolvare a problemelor, dar acesta este doar vârful aisbergului unei discipline vaste. Și după tot ce a fost scris, va fi logic să ne punem întrebarea dacă teoria probabilității este necesară în viață. Este dificil pentru o persoană obișnuită să răspundă; este mai bine să întrebi pe cineva care a folosit-o să câștige jackpot-ul de mai multe ori.

mob_info