Ecuația unui plan care trece printr-o dreaptă și un punct dat. Ecuația unui plan care trece prin trei puncte date Ecuația unui plan care trece printr-un punct și un plan paralel

Trei puncte din spațiu care nu se află pe aceeași linie dreaptă definesc un singur plan. Să creăm o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte date M 1 (X 1 ; la 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; la 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; la 3 ; z 3). Să luăm un punct arbitrar din avion M(X; la; z) și compune vectorii = ( x – x 1 ; la– la 1 ; z–z 1), = (X 2 - X 1 ; la 2 – la 1 ; z 2 – z 1), = (X 3 - X 1 ; la 3 – la 1 ; z 3 – z 1). Acești vectori se află în același plan, prin urmare sunt coplanari. Folosind condiția de coplanaritate a trei vectori (lor munca mixta este egal cu zero), obținem ∙ ∙ = 0, adică

= 0. (3.5)

Ecuația (3.5) se numește ecuația unui plan care trece prin trei puncte date.

Poziție reciprocă avioane în spațiu

Unghiul dintre planuri

Să fie date două avioane

O 1 X + ÎN 1 la + CU 1 z + D 1 = 0,

O 2 X + ÎN 2 la + CU 2 z + D 2 = 0.

Pentru unghiul dintre planuri luăm unghiul φ dintre oricare doi vectori perpendiculari pe ei (care dă două unghiuri, acute și obtuz, completându-se unul pe celălalt la π). Deoarece vectorii normali ai planelor = ( O 1 , ÎN 1 , CU 1) și = ( O 2 , ÎN 2 , CU 2) sunt perpendiculare pe ele, atunci obținem

cosφ = .

Condiție pentru perpendicularitatea a două plane

Dacă două plane sunt perpendiculare, atunci vectorii normali ai acestor plane sunt de asemenea perpendiculari și lor produs punctual este egal cu zero: ∙ = 0. Aceasta înseamnă că condiția pentru perpendicularitatea a două plane este

O 1 O 2 + ÎN 1 ÎN 2 + CU 1 CU 2 = 0.

Condiție pentru paralelismul a două plane

Dacă planurile sunt paralele, atunci vectorii lor normali vor fi și ei paraleli. Atunci coordonatele vectorilor normali cu același nume sunt proporționale. Aceasta înseamnă că condiția pentru planuri paralele este

= = .

Distanța de la punctM 0 (x 0 , y 0 , z 0) a aviona Oh + Wu + Сz + D = 0.

Distanța de la punctul M 0 (x 0 , y 0 , z 0) la avionul Ax + Wu + Сz + D= 0 este lungimea perpendicularei trase din acest punct pe plan și se află prin formula

d = .

Exemplul 1. R(– 1, 2, 7) perpendicular pe vectorul = (3, – 1, 2).

Soluţie

Conform ecuației (3.1) obținem

3(x + 1) – (y – 2) + 2(z – 7) = 0,

3X – la + 2z – 9 = 0.

Exemplul 2. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct M(2; – 3; – 7) paralel cu planul 2 X – 6la – 3z + 5 = 0.

Soluţie

Vector = (2; – 6; – 3) perpendicular pe plan este de asemenea perpendicular pe planul paralel. Aceasta înseamnă că planul dorit trece prin punct M(2; – 3; – 7) perpendicular pe vector = (2; – 6; – 3). Să găsim ecuația planului folosind formula (3.1):

2(X - 2) – 6(y + 3) – 3(z + 7) = 0,

2X – 6la – 3z – 43 = 0.

Exemplul 3. Aflați ecuația planului care trece prin puncte M 1 (2; 3; – 1) și M 2 (1; 5; 3) perpendicular pe planul 3 X – la + 3z + 15 = 0.

Soluţie

Vector = (3; – 1; 3) perpendicular pe planul dat va fi paralel cu planul dorit. Astfel, avionul trece prin puncte M 1 și M 2 este paralel cu vectorul .

Lasă M(x; y; z) punct arbitrar al planului, atunci vectorii = ( X – 2; la – 3; z+ 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) sunt coplanare, ceea ce înseamnă că produsul lor mixt este zero:

= 0.

Să calculăm determinantul prin extinderea pe elementele primului rând:

(X – 2) – (la – 3) + (z + 1) = 0,

10(X - 2) – (– 15)(y – 3) + (– 5)(z + 1) = 0,

2(X - 2) + 3(y – 3) – (z + 1) = 0,

2x + 3la – z– 14 = 0 – ecuație plană.

Exemplul 4. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin originea perpendiculară pe planele 2 X – la + 5z+ 3 = 0 și X + 3la – z – 7 = 0.

Soluţie

Fie vectorul normal al planului dorit. După condiție, planul este perpendicular pe aceste planuri, ceea ce înseamnă și , unde = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). Aceasta înseamnă că ca vector putem lua produsul vectorial al vectorilor și , adică = ×.

= = – 14 + 7 + 7 .

Substituind coordonatele vectorului în ecuația planului care trece prin origine Oh + Wu + Сz= 0, obținem

– 14X + 7la + 7z = 0,

2X – la – z = 0.

Întrebări de autotest

1 Scrie ecuație generală avion.

2 Ce este sens geometric coeficienţi pentru X, y,zîn ecuaţia generală a planului?

3 Scrieți ecuația planului care trece prin punctul M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) perpendicular pe vector = ( O; ÎN; CU).

4 Notați ecuația planului în segmente de-a lungul axelor și indicați semnificația geometrică a parametrilor incluși în ea.

5 Scrieți ecuația planului care trece prin puncte M 1 (X 1 ; la 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; la 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; la 3 ; z 3).

6 Scrieți formula folosită pentru a găsi unghiul dintre două plane.

7 Scrieți condițiile de paralelism a două plane.

8 Scrieți condiția de perpendicularitate a două plane.

9 Scrieți formula care calculează distanța de la un punct la un plan.

Sarcini pentru decizie independentă

1 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct M(2; – 1; 1) perpendicular pe vector = (1; – 2; 3). ( Răspuns: X – 2la + 3z – 7 = 0)

2 Punct R(1; – 2; – 2) este baza perpendicularei trasate de la origine la plan. Scrieți o ecuație pentru acest plan. ( Răspuns: X – 2la – 2z – 9 = 0)

3 Având în vedere două puncte M 1 (2; – 1; 3) și M 2 (– 1; 2; 4). Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct M 1 este perpendicular pe vectorul . ( Răspuns: 3X – 3la – z – 6 = 0)

4 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte M 1 (3; – 1; 2), M 2 (4; – 1; – 1), M 3 (2; 0; 2). (Răspuns: 3X + 3la + z – 8 = 0)

5 M 1 (3; – 1; 2) și M 2 (2; 1; 3) paralel cu vectorul = (3; – 1; 4). ( Răspuns: 9X + 7la – 5z – 10 = 0)

6 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct M 1 (2; 3; – 4) paralel cu vectorii = (3; 1; – 1) și = (1; – 2; 1). ( Răspuns: X + la + 7z + 14 = 0)

7 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct M(1; – 1; 1) perpendicular pe planurile 2 X – la + z– 1 = 0 și X + 2la – z + 1 = 0. (Răspuns: X – 3la – 5z + 1 = 0)

8 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin puncte M 1 (1; 0; 1) și M 2 (1; 2; – 3) perpendicular pe plan X – la + z – 1 = 0. (Răspuns: X + 2la + z – 2 = 0)

9 Aflați unghiul dintre plane 4 X – 5la + 3z– 1 = 0 și X – 4la – z + 9 = 0. (Răspuns: φ = arccos0.7)

10 Găsiți distanța de la un punct M(2; – 1; – 1) la planul 16 X – 12la + 15z – 4 = 0. (Răspuns: d = 1)

11 Aflați punctul de intersecție a trei plane 5 X + 8la – z – 7 = 0, X + 2la + 3z – 1 = 0, 2X – 3la + 2z – 9 = 0. (Răspuns: (3; – 1; 0))

12 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin puncte M 1 (1; – 2; 6) și M 2 (5; – 4; 2) și taie segmente egale pe axe OhŞi Oh. (Răspuns: 4X + 4la + z – 2 = 0)

13 Găsiți distanța dintre avioane X + 2la – 2z+ 2 = 0 și 3 X + 6la – 6z – 4 = 0. (Răspuns: d = )

Curs 5. Rezolvarea problemelor pe tema „Geometria analitică în spațiu”

1. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct M 0 (1, -2, 5) paralel cu planul 7 x-y-2z-1=0.

Soluţie. Să notăm prin R avion dat, să R 0 – planul paralel dorit care trece prin punct M 0 (1, -2, 5).

Luați în considerare vectorul normal (perpendicular). avion R. Coordonatele vectorului normal sunt coeficienții variabilelor din ecuația plană 
.

De când avionul RŞi R 0 sunt paralele, apoi vectorul perpendicular pe plan R 0 , adică - vectorul normal al planului R 0 .

Ecuația unui plan care trece printr-un punct M 0 (x 0 , y 0 , z 0) cu normal
:

Înlocuiți coordonatele punctului M 0 și vectori normali în ecuația (1):

Deschizând parantezele, obținem ecuația generală a planului (răspunsul final):

2. Alcătuiți ecuații canonice și parametrice ale unei drepte care trece printr-un punct M 0 (-2, 3, 0) paralel cu linia dreaptă
.

Soluţie. Să notăm prin L dată linie dreaptă, lasă L 0 – linia paralelă dorită care trece prin punct M 0 (-2,3,0).

Vector ghid direct L(vector diferit de zero paralel cu această linie) este, de asemenea, paralel cu linia L 0 . Prin urmare, vectorul este vectorul de direcție al dreptei L 0 .

Coordonatele vectorului de direcție sunt egale cu numitorii corespunzători din ecuațiile canonice ale unei linii date

.

Ecuații canonice ale unei drepte în spațiu care trece printr-un punct M 0 (x 0 , y 0 , z {l, m, n}

. (2)

Înlocuiți coordonatele punctului M 0 și vectorul direcție în ecuația (2) și obțineți ecuațiile canonice ale dreptei:

.

Ecuații parametrice ale unei drepte în spațiu care trece printr-un punct M 0 (x 0 , y 0 , z 0) paralel cu un vector diferit de zero {l, m, n), au forma:

(3)

Înlocuiți coordonatele punctului M 0 și vectorul direcție în ecuațiile (3) și obțineți ecuațiile parametrice ale dreptei:

3. Găsiți un punct
, simetric la punct
, relativ la: a) drept
b) avioane

Soluţie. a) Să creăm o ecuație pentru planul perpendicular P, punct de proiectare
la această linie:

Pentru a găsi
folosim conditia de perpendicularitate a dreptei date si a planului de proiectare. Vector direct
perpendicular pe planul  vector
este vectorul normal
pe plan  Ecuaţia unui plan perpendicular pe o dreaptă dată are forma sau

Să găsim proiecția R puncte M la linia dreaptă. Punct R este punctul de intersecție al unei drepte și a unui plan, adică coordonatele sale trebuie să satisfacă simultan atât ecuațiile dreptei, cât și ecuația planului. Să rezolvăm sistemul:

.

Pentru a o rezolva, scriem ecuația dreptei în formă parametrică:

Înlocuirea expresiilor pentru
în ecuația planului, obținem:

De aici găsim Coordonatele găsite sunt coordonatele mijlocului R segment de linie care leagă un punct
și un punct simetric cu acesta

ÎN curs şcolar geometrie a fost formulată o teoremă.

Coordonatele mijlocului unui segment sunt egale cu jumătate din suma coordonatelor corespunzătoare ale capetelor acestuia.

Aflarea coordonatelor punctului
din formulele pentru coordonatele punctului de mijloc al segmentului:

Primim: Deci,
.

Soluţie. b) Pentru a găsi un punct simetric față de un punct
raportat la un plan dat P, aruncați o perpendiculară din punct
la acest avion. Să creăm o ecuație a unei linii drepte cu un vector de direcție
, trecând prin punct
:

Perpendicularitatea dintre o dreaptă și un plan înseamnă că vectorul direcție al dreptei este perpendicular pe plan 
. Apoi ecuația dreptei care proiectează punctul
la un plan dat, are forma:

După ce am rezolvat împreună ecuațiile
Şi
haideti sa gasim proiectia R puncte
spre avion. Pentru a face acest lucru, rescriem ecuațiile liniei drepte în formă parametrică:

Să înlocuim aceste valori
în ecuația planului: Similar cu pasul a), folosind formule pentru coordonatele mijlocului segmentului, găsim coordonatele punctului simetric
:

Aceste.
.

4. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece a) printr-o dreaptă
paralel cu vectorul
; b) prin două drepte care se intersectează
Şi
(demonstrând anterior că se intersectează); c) prin două drepte paralele
Şi
; d) prin direct
și punct
.

Soluţie. a) Deoarece linia dreaptă dată se află în planul dorit, iar planul dorit este paralel cu vectorul , atunci vectorul normal al planului va fi perpendicular pe vectorul direcție al dreptei
și vector .

Prin urmare, ca vector normal al planului, putem alege produsul vectorial al vectorilor Şi :

Obținem coordonatele vectorului normal al planului
.

Să găsim un punct pe o dreaptă. Echivalarea rapoartelor din ecuațiile canonice ale dreptei la zero:

,

găsim
,
,
. Linia dată trece printr-un punct
, prin urmare, planul trece și el prin punct
. Folosind ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe vector , obținem ecuația planului , sau , sau, în final,
.

Soluţie. b) Două drepte în spațiu se pot intersecta, încrucișa sau fi paralele. Date linii drepte

Şi
(4)

nu sunt paralele, deoarece vectorii lor de direcție
Şi
nu coliniar:
.

Cum să verific că liniile se intersectează? Puteți rezolva sistemul (4) de 4 ecuații cu 3 necunoscute. Dacă sistemul are o soluție unică, atunci obținem coordonatele punctului de intersecție al dreptelor. Cu toate acestea, pentru a ne rezolva problema - construirea unui plan în care se află ambele linii, nu este necesar punctul de intersecție a acestora. Prin urmare, este posibil să se formuleze o condiție pentru intersecția a două drepte neparalele în spațiu fără a găsi punctul de intersecție.

Dacă două drepte neparalele se intersectează, atunci vectorii de direcție
,
și puncte de legătură situate pe linii drepte
Şi
vectorul se află în același plan, adică coplanar  produsul mixt al acestor vectori este egal cu zero:

. (5)

Echivalăm rapoartele din ecuațiile canonice ale liniilor cu zero (sau cu 1 sau cu orice număr)

Şi
,

și găsiți coordonatele punctelor pe linii drepte. Prima linie trece prin punct
, iar a doua linie dreaptă – prin punct
. Vectorii de direcție ai acestor drepte sunt, respectiv, egali
Şi
. Primim

Egalitatea (5) este satisfăcută, prin urmare, dreptele date se intersectează. Aceasta înseamnă că există un singur plan care trece prin aceste două linii.

Să trecem la a doua parte a problemei - întocmirea ecuației planului.

Ca vector normal al planului, puteți alege produsul vectorial al vectorilor lor de direcție Şi :

Coordonatele vectorului normal al planului
.

Am aflat asta direct
trece prin
, prin urmare, planul dorit trece și el prin acest punct. Obținem ecuația planului sau
sau, în sfârșit,
.

c) Deoarece sunt drepte
Şi
sunt paralele, atunci produsul vectorial al vectorilor lor de direcție nu poate fi ales ca vector normal va fi egal cu vectorul zero;

Să determinăm coordonatele punctelor
Şi
, prin care trec aceste linii. Lasă
Şi
, Atunci
,
. Să calculăm coordonatele vectorului. Vector
se află în planul dorit și este necoliniar cu vectorul , apoi ca vectorul său normal puteți alege produsul încrucișat al unui vector
și vectorul direcție al primei drepte
:

Aşa,
.

Avionul trece prin linie
, ceea ce înseamnă că trece prin punct
. Obținem ecuația planului: , sau .

d) Echivalarea relaţiilor din ecuaţiile canonice ale dreptei la zero
, găsim
,
,
. Prin urmare, linia dreaptă trece prin punct
.

Să calculăm coordonatele vectorului. Vector
aparține planului dorit, ca vector normal al acestuia alege produsul vectorial al vectorului de direcție al dreptei
și vector
:

Atunci ecuația plană are forma: , sau .

Acest articol conține informațiile necesare pentru a rezolva problema compunerii ecuației unui plan care trece printr-o dreaptă și un punct dat. După rezolvarea acestei probleme în formă generală, vom prezenta soluții detaliate la exemple de alcătuire a ecuației unui plan care trece printr-o dreaptă și un punct dat.

Navigare în pagină.

Aflarea ecuației unui plan care trece printr-o dreaptă și un punct dat.

Lasă să intre spatiu tridimensional Oxyz este fix, sunt date o linie a și un punct care nu se află pe linia a. Să ne punem sarcina: să obținem ecuația planului care trece prin dreapta a și punctul M 3.

În primul rând, vom arăta că există un singur plan pentru care trebuie să construim o ecuație.

Să ne amintim două axiome:

• un singur plan trece prin trei puncte diferite din spațiu care nu se află pe aceeași dreaptă;
• dacă două puncte distincte ale unei linii se află într-un anumit plan, atunci toate punctele acestei linii se află în acest plan.

Din aceste afirmații rezultă că un plan unic poate fi trasat printr-o linie dreaptă și un punct care nu se află pe ea. Astfel, în problema pe care am pus-o, un singur plan trece prin dreapta a și punctul M 3 și trebuie să scriem ecuația acestui plan.

Acum să începem să găsim ecuația unui plan care trece printr-o dreaptă a și punct dat.

Dacă linia dreaptă a este dată prin specificarea coordonatelor a două puncte diferite M1 și M2 aflate pe ea, atunci sarcina noastră se reduce la găsirea ecuației planului care trece prin trei puncte date M1, M2 și M3.

Dacă dreapta a este dată diferit, atunci trebuie mai întâi să găsim coordonatele a două puncte M 1 și M 2 situate pe dreapta a și apoi să scriem ecuația planului care trece prin trei puncte M 1 , M 2 și M. 3, care va fi ecuația dorită a planului care trece prin dreapta a și punctul M 3.

Să ne dăm seama cum să găsim coordonatele a două puncte diferite M 1 și M 2 situate pe o dreaptă dată a.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu, orice linie dreaptă corespunde unor ecuații ale unei linii drepte în spațiu. Vom presupune că metoda de specificare a unei linii drepte a în enunțul problemei ne permite să obținem ecuațiile sale parametrice ale unei linii drepte în spațiu de forma . Apoi, după ce am acceptat, avem ideea , întins pe linie a. Acordând parametrului o valoare reală, alta decât zero, din ecuațiile parametrice ale liniei a se pot calcula coordonatele punctului M 2, care se află și el pe linia a și diferit de punctul M 1.

După aceasta, va trebui doar să scriem ecuația unui plan care trece prin trei puncte diferite și nu se află pe aceleași puncte drepte și , sub forma .

Deci, am obținut ecuația unui plan care trece printr-o dreaptă dată a și un punct dat M 3 care nu se află pe dreapta a.

Exemple de alcătuire a ecuației unui plan care trece printr-un punct dat și o dreaptă.

Vom arăta soluții la mai multe exemple în care vom analiza metoda considerată de găsire a ecuației unui plan care trece printr-o dreaptă dată și un punct dat.

Să începem cu cel mai simplu caz.

Exemplu.

Soluţie.

Să luăm două puncte diferite pe dreapta de coordonate Ox, de exemplu, și .

Acum obținem ecuația unui plan care trece prin trei puncte M1, M2 și M3:

Această ecuație este ecuația generală dorită a planului care trece prin dreapta dată Ox și punctul .

Răspuns:

.

Dacă se știe că un plan trece printr-un punct dat și o dreaptă dată și trebuie să scrieți o ecuație a planului în segmente sau o ecuație normală a planului, atunci ar trebui să obțineți mai întâi ecuația generală a planului dat, iar din acesta se trece la ecuaţia planului de tipul cerut.

Exemplu.

Scrieți o ecuație normală pentru un plan care trece prin dreaptă și punct .

Soluţie.

Mai întâi, să scriem ecuația generală a unui plan dat. Pentru a face acest lucru, găsiți coordonatele a două puncte diferite situate pe o linie dreaptă . Ecuațiile parametrice ale acestei drepte au forma . Fie punctul M 1 să corespundă valorii, iar punctul M 2 -. Calculăm coordonatele punctelor M 1 și M 2:

Acum putem scrie ecuația generală a unei drepte care trece printr-un punct si direct :

Rămâne să obțineți forma necesară a ecuației plane prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației rezultate cu un factor de normalizare .

Răspuns:

.

Deci, găsirea ecuației unui plan care trece printr-un punct dat și o dreaptă dată depinde de găsirea coordonatelor a două puncte diferite situate pe o dreaptă dată. Aceasta este adesea principala dificultate în rezolvarea unor astfel de probleme. În concluzie, vom analiza soluția exemplului compunând ecuația unui plan care trece printr-un punct dat și o dreaptă, care este determinată de ecuațiile a două plane care se intersectează.

Exemplu.

În sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz, sunt date un punct și o dreaptă a, care este linia de intersecție a două plane Şi . Scrieți ecuația planului care trece prin dreapta a și punctul M 3.

Cu asta calculator online puteți găsi ecuația unui plan care trece printr-un punct dat și paralel cu planul dat. Dat solutie detaliata cu explicatii. Pentru a găsi ecuația unui plan, introduceți coordonatele punctului și coeficienții ecuației planului în celule și faceți clic pe butonul „Rezolvare”.

×

Avertizare

Ștergeți toate celulele?

Închide Clear

Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623, etc.), zecimale (ex. 67., 102.54, etc.) sau fracții. Fracția trebuie introdusă sub forma a/b, unde a și b (b>0) sunt numere întregi sau zecimale. Exemplele 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 etc.

Ecuația unui plan care trece printr-un punct dat și paralel cu un plan dat - teorie, exemple și soluții

Să se acorde un punct M 0 (x 0 , y 0 , z 0) și ecuația plană

Toate planele paralele au vectori normali coliniari. Prin urmare, pentru a construi un plan paralel cu (1) care trece prin punctul M 0 (x 0 , y 0 , z 0) trebuie luat ca vector normal al planului dorit, vectorul normal n=(A, B, C) avion (1). În continuare trebuie să găsiți o astfel de valoare D, moment în care M 0 (x 0 , y 0 , z 0) a satisfăcut ecuația plană (1):

Înlocuirea valorii D de la (3) la (1), obținem:

Ecuația (5) este ecuația planului care trece prin punctul M 0 (x 0 , y 0 , z 0) și paralel cu planul (1).

Aflați ecuația planului care trece prin punctul M 0 (1, −6, 2) și paralel cu planul:

Înlocuirea coordonatelor punctului M 0 și coordonatele vectorului normal din (3), obținem.

Să considerăm planul Q în spațiu Poziția sa este complet determinată prin specificarea vectorului N perpendicular pe acest plan și a unui punct fix situat în planul Q. perpendicular pe plan Q se numește vectorul normal al acestui plan. Dacă notăm cu A, B și C proiecțiile vectorului normal N, atunci

Să derivăm ecuația planului Q care trece printr-un punct dat și are un vector normal dat. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un vector care conectează un punct cu un punct arbitrar pe planul Q (Fig. 81).

Pentru orice poziție a punctului M pe planul Q, vectorul МХМ este perpendicular vector normal N din planul Q. Prin urmare, produsul scalar Să scriem produsul scalar în termeni de proiecții. Deoarece , și este un vector, atunci

şi prin urmare

Am arătat că coordonatele oricărui punct din planul Q satisfac ecuația (4). Este ușor de observat că coordonatele punctelor care nu se află pe planul Q nu satisfac această ecuație (în acest din urmă caz). În consecință, am obținut ecuația necesară pentru planul Q. Ecuația (4) se numește ecuația planului care trece printr-un punct dat. Este de gradul I relativ la coordonatele curente

Deci, am arătat că fiecărui plan îi corespunde o ecuație de gradul I în raport cu coordonatele curente.

Exemplul 1. Scrieți ecuația unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector.

Soluţie. Aici . Pe baza formulei (4) obținem

sau, după simplificare,

Atribuirea coeficienților A, B și C ecuației (4) sensuri diferite, putem obține ecuația oricărui plan care trece prin punctul . Mulțimea de planuri care trec printr-un punct dat se numește mănunchi de plane. Ecuația (4), în care coeficienții A, B și C pot lua orice valoare, se numește ecuația unui grup de plane.

Exemplul 2. Creați o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte (Fig. 82).

Soluţie. Să scriem ecuația pentru o grămadă de avioane care trec prin punct