Voi rezolva ecuațiile trigonometrice ale examenului. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și a metodelor de selectare a rădăcinilor pe un interval dat. O selecție de misiuni din anii anteriori

27. Să selectăm rădăcini pe un segment dat

28. 10. Rezolvați ecuația 2sin2x =4cos x –sinx+1 Aflați rădăcinile ei pe intervalul [/2; 3/2]

29. Să selectăm rădăcini folosind un cerc

O) Rezolvați ecuația 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

b) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Soluţie

O) Deschizând parantezele și mutând toți termenii în partea stângă, obținem ecuația 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Avand in vedere ca \cos x \neq 0, termenul 2 \sin x poate fi inlocuit cu 2 tan x \cos x, se obtine ecuatia 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,

1) care prin grupare se poate reduce la forma (1-tg x)(1-2 \cos x)=0. 1-tg x=0, tan x=1,

2) x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z; 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12,

b) x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z. Folosind cercul numeric, selectați rădăcinile aparținând intervalului

\left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) Răspuns \frac\pi 4+\pi n,

b) \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3,

\frac(9\pi )4.

O) Stare Rezolvați ecuația

b)(2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0. Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului

Soluţie

O)\left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ; ODZ:

\begin(cases) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(cases)

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(matrice)\dreapta.

Să rezolvăm prima ecuație. Pentru a face acest lucru, vom face o înlocuire \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Atunci \sin^24x=1-t^2.

Primim:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0, t_1=\frac12,

t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Să rezolvăm a doua ecuație.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Folosind cercul unitar, găsim soluții care satisfac ODZ.

Semnul „+” marchează sferturile 1 și 3, în care tg x>0. Se obține: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z;

b) x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. Să găsim rădăcinile aparținând intervalului

\left(0;\,\frac(3\pi )2\right]. x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12);

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) x=\frac(17\pi )(12). \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z;

b) \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12);

\frac(17\pi )(12).

\frac(9\pi )4.

O) Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Rezolvați ecuația:

b)\cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3; Enumerați toate rădăcinile care aparțin intervalului

Soluţie

O)\left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right]. Deoarece\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Că\sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,

Aceasta înseamnă că ecuația dată este echivalentă cu ecuația \cos^2x=\cos ^22x, care, la rândul său, este echivalentă cu ecuația \cos^2x-\cos ^2 2x=0. Dar \cos ^2x-\cos ^22x=(\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)

Şi

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, deci ecuația devine(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot

(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Atunci fie 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, fie 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Rezolvând prima ecuație ca o ecuație pătratică pentru \cos x, obținem:(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Prin urmare fie \cos x=1 fie\cos x=-\frac12. Dacă \cos x=1, atunci x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Dacă\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, \cos x=-\frac12,

x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z. În mod similar, rezolvând a doua ecuație, obținem fie \cos x=-1, fie\cos x=\frac12. Dacă \cos x=-1, atunci rădăcinile x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Dacă\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, \cos x=\frac12,

x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Să combinăm soluțiile obținute: x=m\pi , m \in \mathbb Z;

b) x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

Să selectăm rădăcinile care se încadrează într-un interval dat folosind un cerc numeric. Primim: x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

\frac(17\pi )(12).

\frac(9\pi )4.

O) Stare 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).

Soluţie

O) 1. Conform formulei de reducere, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx. Domeniul de definire al ecuației va fi astfel de valori ale lui x astfel încât \cos x \neq 0 și tan x \neq -1. Să transformăm ecuația folosind formula cosinusului cu unghi dublu 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Obținem ecuația:

5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx). Rețineți că \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), deci ecuația devine: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). De aici \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx),

\cos x+\sin x =\frac65. 2. Transformați \sin x+\cos x folosind formula de reducere și formula sumei cosinusurilor: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) =

\frac65. De aici\cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. Mijloace, x-\frac\pi 4=

arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z, Mijloace, sau

-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z. De aceea

arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z, x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

b) Valorile găsite ale lui x aparțin domeniului definiției. Să aflăm mai întâi unde se încadrează rădăcinile ecuației la k=0 și t=0. Acestea vor fi numere în consecință a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5

Şi

b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.<\frac{3\sqrt 2}2<1.

1. Să demonstrăm inegalitatea auxiliară: \frac(\sqrt 2)(2)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

într-adevăr, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<1^2=1, De asemenea, rețineți că \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1.

Mijloace (1) \frac(3\sqrt 2)5

2. Din inegalităţi

0

\frac65. Prin proprietatea arccosinus obținem:<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

arccos 1 \frac\pi 4+0

De asemenea,<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< -\frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4

\frac\pi 4 Pentru k=-1 și t=-1 obținem rădăcinile ecuației a-2\pi și b-2\pi.\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).

În același timp -2\pi 2\pi

Aceasta înseamnă că aceste rădăcini aparțin intervalului dat

\left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right). Pentru alte valori ale lui k și t, rădăcinile ecuației nu aparțin intervalului dat.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

b) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

\frac(17\pi )(12).

\frac(9\pi )4.

O) Stare \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

b) Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului ;

Soluţie

O) Să transformăm ecuația:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Găsim rădăcinile aparținând segmentului folosind cercul unitar.

Intervalul indicat conține un singur număr \frac\pi 2.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

b) \frac\pi 2.

\frac(17\pi )(12).

\frac(9\pi )4.

Mijloace, \sin x \neq 1.

Împărțiți ambele părți ale ecuației cu un factor (\sin x-1), diferit de zero. Obținem ecuația \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), sau ecuație 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Aplicând formula de reducere în partea stângă și formula de reducere în partea dreaptă, obținem ecuația 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Această ecuație este prin substituție \cos x=t, Unde -1 \leqslant t \leqslant 1 reduce la pătrat: 2t^2+t-1=0, ale căror rădăcini t_1=-1 Acestea vor fi numere în consecință t_2=\frac12. Revenind la variabila x, obținem \cos x = \frac12 sau \cos x=-1, unde x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Să rezolvăm inegalitățile

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Nu există numere întregi în interval \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\dreapta].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Această inegalitate este satisfăcută de k=-1, apoi x=-\pi.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

b) -\pi .

a) Rezolvați ecuația: .

b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului.

Rezolvarea problemei

Această lecție discută un exemplu de rezolvare a unei ecuații trigonometrice, care poate fi folosit ca exemplu pentru rezolvarea problemelor de tip C1 atunci când se pregătește pentru examenul de stat unificat la matematică.

În primul rând, se determină domeniul de aplicare al funcției - toate valorile valide ale argumentului. Apoi, în timpul soluției, funcția sinus trigonometrică este convertită în cosinus folosind formula de reducere. Apoi, toți termenii ecuației sunt transferați în partea stângă, unde factorul comun este scos din paranteze. Fiecare factor este egal cu zero, ceea ce ne permite să determinăm rădăcinile ecuației. Apoi, folosind metoda spirelor, se determină rădăcinile aparținând unui anumit segment. Pentru a face acest lucru, pe cercul unitar construit, o viraj este marcată de la marginea stângă a unui segment dat la dreapta. În continuare, rădăcinile găsite pe cercul unității sunt conectate prin segmente de centrul acestuia și se determină punctele în care aceste segmente se intersectează la viraj. Aceste puncte de intersecție sunt răspunsul dorit la a doua parte a problemei.

Obiectivul lecției:

O) consolidarea capacității de a rezolva ecuații trigonometrice simple;

b) învață cum să selectezi rădăcinile ecuațiilor trigonometrice dintr-un interval dat

Progresul lecției.

a) Verificarea temelor: clasa primește teme avansate - rezolvați o ecuație și găsiți o modalitate de a selecta rădăcini dintr-un interval dat.

1) cos x= -0,5, unde xI [- ]. Răspuns:.

2) păcatul x= , unde xI . Raspuns: ; .

3) cos 2 x= -, unde xI. Răspuns:

Elevii notează soluția pe tablă, unii folosind un grafic, alții folosind metoda de selecție.

La ora aceasta ora lucrează pe cale orală.

Găsiți sensul expresiei:

a) tg – sin + cos + sin. Raspuns: 1.

b) 2arccos 0 + 3 arccos 1. Raspuns: ?

c) arcsin + arcsin. Răspuns:.

d) 5 arctg (-) – arccos (-). Răspuns:-.

– Să vă verificăm temele, să vă deschidem caietele cu temele.

Unii dintre voi au găsit soluția folosind metoda de selecție, iar alții folosind graficul.

2. Concluzie despre modalitățile de rezolvare a acestor sarcini și enunțarea problemei, adică comunicarea temei și a scopului lecției.

– a) Este dificil de rezolvat folosind selecția dacă este dat un interval mare.

– b) Metoda grafică nu oferă rezultate precise, necesită verificare și necesită mult timp.

– Prin urmare, trebuie să mai existe cel puțin o metodă, cea mai universală - să încercăm să o găsim. Deci, ce vom face astăzi în clasă? (Învățați să alegeți rădăcinile unei ecuații trigonometrice pe un interval dat.)

– Exemplul 1. (Elevul merge la tablă)

cos x= -0,5, unde xI [- ].

Întrebare: Ce determină răspunsul la această sarcină? (Din soluția generală a ecuației. Să scriem soluția în formă generală). Soluția este scrisă pe tablă

x = + 2?k, unde k R.

– Să scriem această soluție sub forma unui set:

– În opinia dumneavoastră, în ce notație a soluției este convenabil să alegeți rădăcini pe interval? (de la a doua intrare). Dar aceasta este din nou o metodă de selecție. Ce trebuie să știm pentru a obține răspunsul corect? (Trebuie să cunoașteți valorile lui k).

(Să creăm un model matematic pentru a găsi k).

Concluzie: Pentru a selecta rădăcini dintr-un interval dat atunci când rezolvați o ecuație trigonometrică, trebuie să:

1. pentru a rezolva o ecuație de forma sin x = a, cos x = a Este mai convenabil să scrieți rădăcinile ecuației ca două serii de rădăcini.
2. pentru a rezolva ecuații de forma tan x = a, ctg x = a notează formula generală pentru rădăcini.
3. creați un model matematic pentru fiecare soluție sub forma unei inegalități duble și găsiți valoarea întreagă a parametrului k sau n.
4. înlocuiți aceste valori în formula rădăcină și calculați-le.

Rezolvați exemplele nr. 2 și nr. 3 din teme folosind algoritmul rezultat. Doi elevi lucrează la tablă în același timp, urmat de verificarea lucrării.

În acest articol voi încerca să explic 2 moduri selectarea rădăcinilor într-o ecuație trigonometrică: folosind inegalitățile și folosind cercul trigonometric. Să trecem direct la un exemplu ilustrativ și ne vom da seama cum funcționează lucrurile.

A) Rezolvați ecuația sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului [-7Pi/2; -2Pi]

Să rezolvăm punctul a.

Să folosim formula de reducere pentru sinus sin(Pi/2+x) = cos(x)

Sqrt(2)cos^2x = cosx

Sqrt(2)cos^2x - cosx = 0

Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0

X1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

Sqrt(2)cosx - 1 = 0

Cosx = 1/sqrt(2)

Cosx = sqrt(2)/2

X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

X2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Să rezolvăm punctul b.

1) Selectarea rădăcinilor folosind inegalități

Aici totul se face simplu, substituim rădăcinile rezultate în intervalul dat [-7Pi/2; -2Pi], găsiți valori întregi pentru n.

7Pi/2 mai mic sau egal cu Pi/2 + Pin mai mic sau egal cu -2Pi

Împărțim imediat totul la Pi

7/2 mai mic sau egal cu 1/2 + n mai mic sau egal cu -2

7/2 - 1/2 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -2 - 1/2

4 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -5/2

Numărul întreg n din acest interval este -4 și -3. Aceasta înseamnă că rădăcinile aparținând acestui interval vor fi Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

În mod similar, mai facem două inegalități

7Pi/2 mai mic sau egal cu Pi/4 + 2Pin mai mic sau egal cu -2Pi
-15/8 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -9/8

Nu există n întreg în acest interval

7Pi/2 mai mic sau egal cu -Pi/4 + 2Pin mai mic sau egal cu -2Pi
-13/8 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -7/8

Un număr întreg n în acest interval este -1. Aceasta înseamnă că rădăcina selectată pe acest interval este -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Deci răspunsul la punctul b: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Selectarea rădăcinilor folosind un cerc trigonometric

Pentru a utiliza această metodă, trebuie să înțelegeți cum funcționează acest cerc. Voi încerca să explic într-un limbaj simplu cum înțeleg asta. Cred că în școli, la lecțiile de algebră, această temă a fost explicată de multe ori cu cuvinte inteligente de la profesor, în manuale erau formulări complexe. Personal, înțeleg asta ca un cerc care poate fi parcurs de un număr infinit de ori, acest lucru se explică prin faptul că funcțiile sinus și cosinus sunt periodice.

Să mergem în sens invers acelor de ceasornic

Să mergem de 2 ori în sens invers acelor de ceasornic

Să mergem în jur de 1 dată în sensul acelor de ceasornic (valorile vor fi negative)

Să revenim la întrebarea noastră, trebuie să selectăm rădăcini în intervalul [-7Pi/2; -2Pi]

Pentru a ajunge la numerele -7Pi/2 și -2Pi trebuie să ocoliți cercul în sens invers acelor de ceasornic de două ori. Pentru a găsi rădăcinile ecuației pe acest interval, trebuie să estimați și să înlocuiți.

Luați în considerare x = Pi/2 + Pin. Aproximativ ce ar trebui să fie n pentru ca x să fie undeva în acest interval? Inlocuim, sa zicem -2, obtinem Pi/2 - 2Pi = -3Pi/2, evident acest lucru nu este inclus in intervalul nostru, deci luam mai putin de -3, Pi/2 - 3Pi = -5Pi/2, asta este potrivit, să încercăm din nou -4 , Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, de asemenea, potrivit.

Raționând în mod similar pentru Pi/4 + 2Pin și -Pi/4 + 2Pin, găsim o altă rădăcină -9Pi/4.

Comparația a două metode.

Prima metodă (folosind inegalități) este mult mai fiabilă și mult mai ușor de înțeles, dar dacă chiar iei în serios cercul trigonometric și a doua metodă de selecție, atunci selectarea rădăcinilor va fi mult mai rapidă, poți economisi aproximativ 15 minute la examen. .