Inegalități. Inegalități logaritmice. Inegalități logaritmice - Knowledge Hypermarket Inegalități logaritmice raționale
Când studiezi funcţie logaritmică Am luat în considerare în principal inegalitățile de formă
log un x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных inegalități logaritmice. Modul obișnuit de a rezolva astfel de inegalități este trecerea de la inegalitatea dată la o inegalitate mai simplă sau un sistem de inegalități care are același set de soluții.
Rezolvați logul inegalității (x + 1) ≤ 2 (1).
Soluţie.
1) Partea dreaptă a inegalității luate în considerare are sens pentru toate valorile lui x, iar partea stângă are sens pentru x + 1 > 0, adică. pentru x > -1.
2) Intervalul x > -1 se numește domeniul de definire al inegalității (1). O funcție logaritmică cu baza 10 este în creștere, prin urmare, cu condiția x + 1 > 0, inegalitatea (1) este satisfăcută dacă x + 1 ≤ 100 (deoarece 2 = log 100). Astfel, inegalitatea (1) și sistemul de inegalități
(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,
sunt echivalente, cu alte cuvinte, mulțimea soluțiilor inegalității (1) și sistemul de inegalități (2) sunt aceleași.
3) Rezolvând sistemul (2), găsim -1< х ≤ 99.
Răspuns. -1< х ≤ 99.
Rezolvați inegalitatea log 2 (x – 3) + log 2 (x – 2) ≤ 1 (3).
Soluţie.
1) Domeniul de definire a funcției logaritmice luate în considerare este setul de valori pozitive ale argumentului, prin urmare partea stângă a inegalității are sens pentru x – 3 > 0 și x – 2 > 0.
În consecință, domeniul de definire al acestei inegalități este intervalul x > 3.
2) După proprietățile logaritmului, inegalitatea (3) pentru x > 3 este echivalentă cu inegalitatea log 2 (x – 3)(x – 2) ≤ log 2 (4).
3) Funcția logaritmică cu baza 2 este în creștere. Prin urmare, pentru x > 3, inegalitatea (4) este satisfăcută dacă (x – 3)(x – 2) ≤ 2.
4) Astfel, inegalitatea originală (3) este echivalentă cu sistemul de inegalități
((x – 3)(x – 2) ≤ 2,
(x > 3.
Rezolvând prima inegalitate a acestui sistem, obținem x 2 – 5x + 4 ≤ 0, de unde 1 ≤ x ≤ 4. Combinând acest segment cu intervalul x > 3, obținem 3< х ≤ 4.
Răspuns. 3< х ≤ 4.
Rezolvați inegalitatea log 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ -4. (5)
Soluţie.
1) Domeniul de definire al inegalității se găsește din condiția x 2 + 2x – 8 > 0.
2) Inegalitatea (5) poate fi scrisă ca: 
log 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ log 1/2 16.
3) Deoarece funcția logaritmică cu baza ½ este în scădere, atunci pentru tot x din întregul domeniu de definire al inegalității obținem:
x 2 + 2x – 8 ≤ 16.
Astfel, egalitatea inițială (5) este echivalentă cu sistemul de inegalități
(x 2 + 2x – 8 > 0 sau (x 2 + 2x – 8 > 0,
(x 2 + 2x – 8 ≤ 16, (x 2 + 2x – 24 ≤ 0.
Rezolvând prima inegalitate pătratică, obținem x< -4, х >2. Rezolvând a doua inegalitate pătratică, obținem -6 ≤ x ≤ 4. În consecință, ambele inegalități ale sistemului sunt satisfăcute simultan pentru -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.
Răspuns. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Când rezolvăm inegalitățile logaritmice, folosim proprietatea de monotonitate a funcției logaritmice. De asemenea, folosim definiția logaritmului și formulele logaritmice de bază.
Să analizăm ce sunt logaritmii:
Logaritm un număr pozitiv la bază este un indicator al puterii la care trebuie ridicat pentru a ajunge.
În același timp
Identitatea logaritmică de bază:
Formule de bază pentru logaritmi:
(Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor)
(Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor)
(Formula pentru logaritmul puterii)
Formula pentru mutarea la o nouă bază:
Algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice
Putem spune că inegalitățile logaritmice sunt rezolvate folosind un algoritm specific. Trebuie să notăm intervalul de valori acceptabile (APV) ale inegalității. Reduceți inegalitatea la forma Semnul de aici poate fi orice: Este important ca în stânga și în dreapta inegalității să existe logaritmi la aceeași bază.
Și după aceea „aruncăm” logaritmii! În plus, dacă baza este un grad , semnul de inegalitate rămâne același. Dacă baza este astfel încât semnul inegalității se schimbă în sens opus.
Desigur, nu doar „aruncăm” logaritmi. Folosim proprietatea de monotonitate a unei funcții logaritmice. Dacă baza logaritmului este mai mare decât unu, funcția logaritmică crește monoton, iar atunci o valoare mai mare a lui x corespunde unei valori mai mari a expresiei.
Dacă baza este mai mare decât zero și mai mică de unu, funcția logaritmică scade monoton. O valoare mai mare a argumentului x va corespunde unei valori mai mici
Notă importantă: cel mai bine este să scrieți soluția sub forma unui lanț de tranziții echivalente.
Să trecem la practică. Ca întotdeauna, să începem cu cele mai simple inegalități.
1. Considerăm inegalitatea log 3 x > log 3 5.
Deoarece logaritmii sunt definiți numai pentru numere pozitive, este necesar ca x să fie pozitiv. Condiția x > 0 se numește intervalul de valori admisibile (APV) a acestei inegalități. Numai pentru un astfel de x are sens inegalitatea.
Ei bine, această formulare sună atrăgătoare și este ușor de reținut. Dar de ce mai putem face asta?
Suntem oameni, avem inteligență. Mintea noastră este concepută în așa fel încât tot ceea ce este logic, de înțeles și are o structură internă să fie reținut și aplicat mult mai bine decât faptele întâmplătoare și fără legătură. De aceea, este important să nu memorezi mecanic regulile ca un câine de matematică dresat, ci să acționezi conștient.
Deci, de ce încă „scădem logaritmii”?
Răspunsul este simplu: dacă baza este mai mare decât unu (ca și în cazul nostru), funcția logaritmică crește monoton, ceea ce înseamnă că unei valori mai mari a lui x îi corespunde o valoare mai mare a lui y și din inegalitatea log 3 x 1 > log 3 x 2 rezultă că x 1 > x 2. 
Vă rugăm să rețineți că am trecut la o inegalitate algebrică, iar semnul inegalității rămâne același.
Deci x > 5.
Următoarea inegalitate logaritmică este, de asemenea, simplă.
2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x
Să începem cu intervalul de valori acceptabile. Logaritmii sunt definiți numai pentru numere pozitive, deci
Rezolvând acest sistem, obținem: x > 0.
Acum să trecem de la inegalitatea logaritmică la cea algebrică - „aruncăm” logaritmii. Deoarece baza logaritmului este mai mare decât unu, semnul inegalității rămâne același.
15 + 3x > 2x.
Se obține: x > −15.
Răspuns: x > 0.
Dar ce se întâmplă dacă baza logaritmului este mai mică de unu? Este ușor de ghicit că în acest caz, la trecerea la o inegalitate algebrică, semnul inegalității se va schimba.
Să dăm un exemplu.
Să notăm ODZ. Expresiile din care se iau logaritmii trebuie să fie pozitive, adică
Rezolvând acest sistem, obținem: x > 4,5.
Deoarece , o funcție logaritmică cu o bază scade monoton. Aceasta înseamnă că o valoare mai mare a funcției corespunde unei valori mai mici a argumentului: 
Și dacă atunci
2x − 9 ≤ x.
Obținem că x ≤ 9.
Având în vedere că x > 4,5, scriem răspunsul:
În următoarea problemă inegalitatea exponenţială se reduce la pătrat. Așa că recomandăm repetarea subiectului „inegalități pătratice”.
Acum, pentru inegalități mai complexe:
4. Rezolvați inegalitatea
5. Rezolvați inegalitatea
Dacă, atunci. Suntem norocoși! Știm că baza logaritmului este mai mare decât unu pentru toate valorile lui x incluse în ODZ.
Să facem un înlocuitor
Rețineți că mai întâi rezolvăm complet inegalitatea în raport cu noua variabilă t. Și numai după aceea revenim la variabila x. Amintiți-vă acest lucru și nu greșiți la examen!
Să ne amintim de regula: dacă o ecuație sau o inegalitate conține rădăcini, fracții sau logaritmi, soluția trebuie să înceapă de la intervalul de valori acceptabile. Deoarece baza logaritmului trebuie să fie pozitivă și nu egală cu unu, obținem un sistem de condiții:
Să simplificăm acest sistem:
Acesta este intervalul de valori acceptabile ale inegalității.
Vedem că variabila este conținută în baza logaritmului. Să trecem la baza permanentă. Să ne amintim asta
ÎN în acest caz, Este convenabil să mergeți la baza 4.
Să facem un înlocuitor
Să simplificăm inegalitatea și să o rezolvăm folosind metoda intervalului:
Să revenim la variabilă x:
Am adăugat o condiție x> 0 (din ODZ).
7. Următoarea problemă poate fi rezolvată și folosind metoda intervalului
Ca întotdeauna, începem să rezolvăm o inegalitate logaritmică din intervalul de valori acceptabile. În acest caz
Această condiție trebuie îndeplinită și vom reveni asupra ei. Să ne uităm deocamdată la inegalitatea în sine. Să scriem partea stângă ca logaritm la baza 3:
Partea dreaptă poate fi, de asemenea, scrisă ca logaritm la baza 3 și apoi treceți la inegalitatea algebrică:
Vedem că condiția (adică ODZ) este acum îndeplinită automat. Ei bine, acest lucru facilitează rezolvarea inegalității.
Rezolvăm inegalitatea folosind metoda intervalului:
Răspuns:
A funcționat? Ei bine, să creștem nivelul de dificultate:
8. Rezolvați inegalitatea:
Inegalitatea este echivalentă cu sistemul:
9. Rezolvați inegalitatea:
Expresia 5 - x 2 se repetă compulsiv în enunțul problemei. Aceasta înseamnă că puteți face o înlocuire:
Din moment ce funcţie exponenţială ia doar valori pozitive, t> 0. Apoi
Inegalitatea va lua forma:
Deja mai bine. Să găsim intervalul de valori acceptabile ale inegalității. Am spus deja asta t> 0. În plus, ( t− 3) (5 9 · t − 1) > 0
Dacă această condiție este îndeplinită, atunci coeficientul va fi pozitiv.
Și expresia de sub logaritmul din partea dreaptă a inegalității trebuie să fie pozitivă, adică (625 t − 2) 2 .
Asta înseamnă 625 t− 2 ≠ 0, adică
Să notăm cu atenție ODZ
și rezolvați sistemul rezultat folosind metoda intervalului.
Aşa,
Ei bine, jumătate din bătălie este gata - am rezolvat ODZ. Rezolvăm inegalitatea în sine. Să reprezentăm suma logaritmilor din partea stângă ca logaritm al produsului.
Obiectivele lecției:
Didactic:
- Nivelul 1 – învață cum să rezolvi cele mai simple inegalități logaritmice, folosind definiția unui logaritm și proprietățile logaritmilor;
- Nivelul 2 – rezolvați inegalitățile logaritmice, alegând propria metodă de rezolvare;
- Nivelul 3 – să fie capabil să aplice cunoștințele și abilitățile în situații non-standard.
Educațional: dezvoltarea memoriei, a atenției, gândire logică, abilități de comparare, capacitatea de a generaliza și de a trage concluzii
Educațional: cultivați acuratețea, responsabilitatea pentru sarcina îndeplinită și asistența reciprocă.
Metode de predare: verbal , vizual , practic , căutare parțială , autoguvernare , controla.
Forme de organizare activitate cognitivă elevi: frontal , individual , lucra in perechi.
Echipament: trusa sarcini de testare, note justificative, foi goale pentru soluții.
Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.
Progresul lecției
1. Moment organizatoric. Se anunță tema și scopurile lecției, planul lecției: fiecărui elev i se dă o fișă de evaluare, pe care elevul o completează în timpul lecției; pentru fiecare pereche de elevi - materialele tipărite cu sarcini trebuie efectuate în perechi; foi goale de soluție; foi suport: definirea logaritmului; graficul unei funcții logaritmice, proprietățile acesteia; proprietățile logaritmilor; algoritm de rezolvare a inegalităților logaritmice.
Toate deciziile după autoevaluare sunt transmise profesorului.
Fișa de punctaj a elevului
2. Actualizarea cunoștințelor.
Instrucțiunile profesorului. Amintiți-vă definiția unui logaritm, graficul unei funcții logaritmice și proprietățile acesteia. Pentru a face acest lucru, citiți textul de la pp. 88–90, 98–101 din manualul „Algebra și începuturile analizei 10–11”, editat de Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin și alții.
Elevilor li se dau foi pe care sunt scrise: definiţia unui logaritm; prezintă un grafic al unei funcții logaritmice și proprietățile acesteia; proprietățile logaritmilor; algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice, un exemplu de rezolvare a unei inegalități logaritmice care se reduce la una pătratică.
3. Studierea materialelor noi.
Rezolvarea inegalităților logaritmice se bazează pe monotonitatea funcției logaritmice.
Algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice:
A) Aflați domeniul de definire al inegalității (expresia sublogaritmică este mai mare decât zero).
B) Reprezentați (dacă este posibil) părțile stânga și dreaptă ale inegalității ca logaritmi la aceeași bază.
C) Determinați dacă funcția logaritmică este crescătoare sau descrescătoare: dacă t>1, atunci crește; daca 0
D) Treceți la o inegalitate mai simplă (expresii sublogaritmice), ținând cont că semnul inegalității va rămâne același dacă funcția crește și se va modifica dacă scade.
Elementul de învățare #1.
Scop: consolidarea soluției la cele mai simple inegalități logaritmice
Forma de organizare a activităţii cognitive a elevilor: munca individuală.
Sarcini pentru munca independenta timp de 10 minute. Pentru fiecare inegalitate există mai multe răspunsuri posibile trebuie să îl alegeți pe cel corect și să îl verificați folosind cheia;
CHEIE: 13321, număr maxim de puncte – 6 puncte.
Elementul de învățare #2.
Scop: consolidarea soluției inegalităților logaritmice folosind proprietățile logaritmilor.
Instrucțiunile profesorului. Amintiți-vă proprietățile de bază ale logaritmilor. Pentru a face acest lucru, citiți textul manualului de la pp. 92, 103–104.
Sarcini pentru muncă independentă timp de 10 minute.
CHEIE: 2113, număr maxim de puncte – 8 puncte.
Elementul de învățare #3.
Scop: studierea soluției inegalităților logaritmice prin metoda reducerii la pătratice.
Instrucțiunile profesorului: metoda de reducere a unei inegalități la un pătratic este de a transforma inegalitatea într-o astfel de formă încât o anumită funcție logaritmică să fie notată printr-o nouă variabilă, obținând astfel o inegalitate pătratică în raport cu această variabilă.
Să folosim metoda intervalului.
Ai trecut de primul nivel de stăpânire a materialului. Acum trebuie să alegeți propria metodă de rezolvare ecuații logaritmice folosind toate cunoștințele și capacitățile tale.
Elementul de învățare #4.
Scop: consolidarea soluției la inegalitățile logaritmice prin alegerea independentă a unei metode de soluție rațională.
Sarcini pentru muncă independentă timp de 10 minute
Elementul de învățare #5.
Instrucțiunile profesorului. Bine făcut! Ai stăpânit rezolvarea ecuațiilor de al doilea nivel de complexitate. Scopul muncii dvs. ulterioare este să vă aplicați cunoștințele și abilitățile în situații mai complexe și nestandardizate.
Sarcini pentru soluție independentă:
Instrucțiunile profesorului. Este grozav dacă ai finalizat întreaga sarcină. Bine făcut!
Nota pentru întreaga lecție depinde de numărul de puncte obținute pentru toate elementele educaționale:
- dacă N ≥ 20, atunci obțineți un rating „5”,
- pentru 16 ≤ N ≤ 19 – scor „4”,
- pentru 8 ≤ N ≤ 15 – scor „3”,
- la N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).
Trimiteți lucrările de evaluare profesorului.
5. Teme pentru acasă: dacă ați obținut mai mult de 15 puncte, lucrați la greșelile dvs. (soluțiile pot fi luate de la profesor), dacă ați obținut mai mult de 15 puncte, finalizați o sarcină creativă pe tema „Inegalități logaritmice”.
La hotărâre inegalități logaritmice luăm ca bază proprietățile funcțiilor logaritmice. Și anume că funcția la=log un x la O> 1 va fi în creștere monoton, iar la 0< O< 1 - монотонно убывающей.
Să analizăm transformare necesare pentru rezolvarea inegalităţilor
log 1/5 (x - l) > - 2.
Inițial, trebuie să egalezi bazele logaritmilor, în acest caz, arată partea dreaptă sub forma unui logaritm cu necesarul bază. Să ne transformăm -2=-2 log 1/5 1/5= log 1/5 1/5 -2 = log 1/5 25, atunci indicăm inegalitatea aleasă sub forma:
log 1/5 (x- l) > log 1/5 25.
Funcţie la= log 1/5 x va fi monoton în scădere. Se pare că o valoare mai mare a acestei funcții corespunde unei valori mai mici a argumentului. Și în consecință avem, X—1 < 25. К указанному неравенству требуется добавить еще неравенство X- 1 > 0, corespunzător faptului că sub semn logaritm nu poate exista decât o valoare pozitivă. Rezultă că această inegalitate este identică cu sistemul a două inegalități liniare. Având în vedere că baza logaritmului este mai mică de unu, într-un sistem identic semnul inegalității este inversat:
După ce am rezolvat, vedem că:
1 < х < 26.
Are mare valoare nu uitați de condiția x- 1 > 0, altfel veți obține o concluzie incorectă: x< 26. Тогда бы в эти «решения» входило бы и значение х = 0, при котором левая часть первоначального неравенства не существует.
INEGALITATI LOGARITMICE ÎN UTILIZARE
Sechin Mihail Alexandrovici
Mica Academie de Științe pentru Studenții din Republica Kazahstan „Iskatel”
MBOU „Școala Gimnazială Nr. 1 Sovetskaya”, clasa a XI-a, oraș. districtul Sovetsky Sovetsky
Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesor MBOU„Școala secundară sovietică nr. 1”
districtul Sovetsky
Scopul lucrării: studiul mecanismului de rezolvare a inegalităților logaritmice C3 folosind metode nestandardizate, identificând fapte interesante logaritm
Subiectul cercetării:
3) Învață să rezolvi inegalitățile logaritmice specifice C3 folosind metode non-standard.
Rezultate:
Conţinut
Introducere…………………………………………………………………………………………….4
Capitolul 1. Istoricul problemei………………………………………………………….5
Capitolul 2. Colecția de inegalități logaritmice ………………………… 7
2.1. Tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor…………… 7
2.2. Metoda raționalizării………………………………………………………………… 15
2.3. Înlocuirea non-standard .................................................................. ............ ..... 22
2.4. Sarcini cu capcane……………………………………………………27
Concluzie……………………………………………………………………………… 30
Literatură……………………………………………………………………. 31
Introducere
Sunt în clasa a XI-a și intenționez să intru într-o universitate unde materia de bază este matematica. De aceea lucrez mult cu problemele din partea C. În sarcina C3, trebuie să rezolv o inegalitate non-standard sau un sistem de inegalități, de obicei legat de logaritmi. Când mă pregăteam pentru examen, m-am confruntat cu problema deficitului de metode și tehnici de rezolvare a inegalităților logaritmice de examen oferite în C3. Metode care sunt studiate în programa școlară pe acest subiect, nu oferiți o bază pentru rezolvarea sarcinilor C3. Profesorul de matematică mi-a sugerat să lucrez independent la temele C3, sub îndrumarea ei. În plus, m-a interesat întrebarea: întâlnim logaritmi în viața noastră?
Având în vedere acest lucru, a fost aleasă tema:
„Inegalități logaritmice în examenul de stat unificat”
Scopul lucrării: studiul mecanismului de rezolvare a problemelor C3 folosind metode non-standard, identificând fapte interesante despre logaritm.
Subiectul cercetării:
1) Găsiți informatiile necesare despre metode nestandard de rezolvare a inegalităților logaritmice.
2) Găsiți informații suplimentare despre logaritmi.
3) Învață să decizi sarcini specifice C3 folosind metode non-standard.
Rezultate:
Semnificația practică constă în extinderea aparatului de rezolvare a problemelor C3. Acest material poate fi folosit în unele lecții, pentru cluburi, activități extracurriculareîn matematică.
Produsul proiectului va fi colecția „C3 Logarithmic Inequalities with Solutions”.
Capitolul 1. Context
De-a lungul secolului al XVI-lea, numărul de calcule aproximative a crescut rapid, în primul rând în astronomie. Îmbunătățirea instrumentelor, studiul mișcărilor planetare și alte lucrări au necesitat calcule colosale, uneori mulți ani. Astronomia era în pericol real de a se îneca în calcule neîmplinite. Au apărut dificultăți în alte domenii, de exemplu, în domeniul asigurărilor, au fost necesare tabele de dobândă compusă sensuri diferite la sută. Principala dificultate a fost înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre, în special a cantităților trigonometrice.
Descoperirea logaritmilor s-a bazat pe proprietățile progresiilor care erau bine cunoscute până la sfârșitul secolului al XVI-lea. Despre legătura dintre membri progresie geometrică q, q2, q3, ... și progresie aritmetică indicatorii lor sunt 1, 2, 3,... Arhimede a vorbit în „Psalmitis”. O altă condiție prealabilă a fost extinderea conceptului de grad la exponenți negativi și fracționari. Mulți autori au subliniat că înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinilor în progresie geometrică corespund în aritmetică - în aceeași ordine - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea.
Aici a fost ideea logaritmului ca exponent.
În istoria dezvoltării doctrinei logaritmilor au trecut mai multe etape.
Etapa 1
Logaritmii au fost inventați nu mai târziu de 1594 independent de baronul scoțian Napier (1550-1617) și zece ani mai târziu de mecanicul elvețian Bürgi (1552-1632). Ambele au vrut să ofere un nou mijloc convenabil calcule aritmetice, deși au abordat această sarcină diferit. Napier a exprimat cinematic funcția logaritmică și astfel a intrat într-un nou domeniu al teoriei funcției. Bürgi a rămas pe baza luării în considerare a progresiilor discrete. Cu toate acestea, definiția logaritmului pentru ambele nu este similară cu cea modernă. Termenul „logaritm” (logaritm) îi aparține lui Napier. A apărut dintr-o combinație de cuvinte grecești: logos - „relație” și ariqmo - „număr”, care însemna „număr de relații”. Inițial, Napier a folosit un alt termen: numeri artificiales - „numere artificiale”, spre deosebire de numeri naturalts - „numere naturale”.
În 1615, într-o conversație cu Henry Briggs (1561-1631), profesor de matematică la Gresh College din Londra, Napier a sugerat să se ia zero ca logaritm al lui unu și 100 ca logaritm al lui zece sau, ceea ce înseamnă același lucru. lucru, doar 1. Așa au fost tipărite logaritmii zecimal și Primele tabele logaritmice. Mai târziu, mesele lui Briggs au fost completate de librarul și pasionatul de matematică olandez Adrian Flaccus (1600-1667). Napier și Briggs, deși au ajuns la logaritmi mai devreme decât toți ceilalți, și-au publicat tabelele mai târziu decât ceilalți - în 1620. Semnele log și Log au fost introduse în 1624 de I. Kepler. Termenul de „logaritm natural” a fost introdus de Mengoli în 1659 și urmat de N. Mercator în 1668, iar profesorul londonez John Speidel a publicat tabele de logaritmi naturali ai numerelor de la 1 la 1000 sub denumirea de „Noi logaritmi”.
Primele tabele logaritmice au fost publicate în limba rusă în 1703. Dar în toate tabele logaritmice s-au făcut erori în calcule. Primele tabele fără erori au fost publicate în 1857 la Berlin, prelucrate de matematicianul german K. Bremiker (1804-1877).
Etapa 2
Dezvoltarea ulterioară a teoriei logaritmilor este asociată cu o aplicare mai largă a geometriei analitice și calculului infinitezimal. Până în acel moment, legătura dintre pătratul unei hiperbole echilaterale și logaritmul natural. Teoria logaritmilor din această perioadă este asociată cu numele unui număr de matematicieni.
Matematicianul, astronomul și inginerul german Nikolaus Mercator într-un eseu
„Logaritmotehnica” (1668) oferă o serie care oferă expansiunea lui ln(x+1) în
puteri ale lui x:
Această expresie corespunde exact cursului gândirii sale, deși el, desigur, nu a folosit semnele d, ..., ci o simbolistică mai greoaie. Odată cu descoperirea seriei logaritmice, tehnica de calcul a logaritmilor s-a schimbat: au început să fie determinate folosind serii infinite. În prelegerile sale „Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior”, susținute în 1907-1908, F. Klein a propus utilizarea formulei ca punct de plecare pentru construirea teoriei logaritmilor.
Etapa 3
Definirea unei funcții logaritmice ca funcție inversă
exponențial, logaritmul ca exponent al unei baze date
nu a fost formulată imediat. Eseu de Leonhard Euler (1707-1783)
„Introduction to the Analysis of Infinitesimals” (1748) a servit la continuarea
dezvoltarea teoriei funcţiilor logaritmice. Astfel,
Au trecut 134 de ani de când logaritmii au fost introduși pentru prima dată
(contând din 1614), înainte ca matematicienii să ajungă la definiție
conceptul de logaritm, care stă acum la baza cursului școlar.
Capitolul 2. Colecția inegalităților logaritmice
2.1. Tranziții echivalente și metoda generalizată a intervalelor.
Tranziții echivalente
, dacă a > 1
, dacă 0 <
а <
1
Metoda intervalului generalizat
Această metodă este cea mai universală pentru rezolvarea inegalităților de aproape orice tip. Diagrama soluției arată astfel:
1. Aduceți inegalitatea într-o formă în care este funcția din partea stângă 
, iar în dreapta 0.
2. Găsiți domeniul funcției .
3. Aflați zerourile funcției , adică rezolvați ecuația 
(și rezolvarea unei ecuații este de obicei mai ușoară decât rezolvarea unei inegalități).
4. Desenați domeniul de definiție și zerourile funcției pe dreapta numerică.
5. Determinați semnele funcției pe intervalele obţinute.
6. Selectați intervale în care funcția preia valorile necesare și notați răspunsul.
Exemplul 1.
Soluţie:
Să aplicăm metoda intervalului
unde
Pentru aceste valori, toate expresiile sub semnele logaritmice sunt pozitive.
Răspuns:
Exemplul 2.
Soluţie:
1 mod . ADL este determinată de inegalitate x> 3. Luarea de logaritmi pentru astfel de xîn baza 10, obținem
Ultima inegalitate ar putea fi rezolvată prin aplicarea regulilor de expansiune, i.e. comparând factorii cu zero. Cu toate acestea, în acest caz este ușor de determinat intervalele de semn constant ale funcției
prin urmare, se poate aplica metoda intervalului.
Funcţie f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ este continuă la x> 3 și dispare în puncte x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Astfel, determinăm intervalele de semn constant ale funcției f(x):
Răspuns:
a 2-a metoda . Să aplicăm direct ideile metodei intervalului la inegalitatea originală.
Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că expresiile o b- o c și ( o - 1)(b- 1) au un singur semn. Apoi inegalitatea noastră la x> 3 este echivalent cu inegalitatea
sau
Ultima inegalitate este rezolvată folosind metoda intervalului
Răspuns:
Exemplul 3.
Soluţie:
Să aplicăm metoda intervalului
Răspuns:
Exemplul 4.
Soluţie:
Din 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 pentru toate reale x, Asta
Pentru a rezolva a doua inegalitate folosim metoda intervalului
În prima inegalitate facem înlocuirea
apoi ajungem la inegalitatea 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, care satisfac inegalitatea -0,5< y < 1.
De unde, pentru că
obținem inegalitatea
care se realizează când x, pentru care 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Acum, ținând cont de soluția celei de-a doua inegalități a sistemului, obținem în sfârșit
Răspuns:
Exemplul 5.
Soluţie:
Inegalitatea este echivalentă cu o colecție de sisteme
sau
Să folosim metoda intervalului sau
Răspuns:
Exemplul 6.
Soluţie:
Inegalitatea este egală cu sistemul
Lasă
Apoi y > 0,
și prima inegalitate
sistemul ia forma
sau, desfășurarea
trinom pătratic prin factori,
Aplicând metoda intervalului la ultima inegalitate,
vedem că soluţiile sale satisfac condiţia y> 0 va fi tot y > 4.
Astfel, inegalitatea originală este echivalentă cu sistemul:
Deci, soluțiile la inegalitate sunt toate
2.2. Metoda raționalizării.
Anterior, inegalitatea nu era rezolvată prin metoda raționalizării, nu era cunoscută. Acesta este „noul modern” metoda eficienta soluții la inegalitățile exponențiale și logaritmice” (citat din cartea lui S.I. Kolesnikova)
Și chiar dacă profesorul l-a cunoscut, a existat o teamă - expertul Unified State Exam îl cunoaște și de ce nu-l dau la școală? Au fost situații când profesorul i-a spus elevului: „De unde l-ai luat – 2”.
Acum metoda este promovată peste tot. Și pentru experți există linii directoare, asociat cu această metodă, iar în „Edițiile cele mai complete de opțiuni de model...” soluția C3 folosește această metodă.
METODA MINUNATĂ!
„Masa magică”
În alte surse
Dacă a >1 și b >1, apoi log a b >0 și (a -1)(b -1)>0;
Dacă a >1 și 0 daca 0<o<1 и b
>1, apoi log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
daca 0<o<1 и 00 și (a -1)(b -1)>0. Raționamentul efectuat este simplu, dar simplifică semnificativ soluția inegalităților logaritmice. Exemplul 4.
log x (x 2 -3)<0
Soluţie:
Exemplul 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Soluţie: Exemplul 6.
Pentru a rezolva această inegalitate, în locul numitorului, scriem (x-1-1)(x-1), iar în loc de numărător, scriem produsul (x-1)(x-3-9 + x). Exemplul 7.
Exemplul 8.
2.3. Înlocuire non-standard. Exemplul 1.
Exemplul 2.
Exemplul 3.
Exemplul 4.
Exemplul 5.
Exemplul 6.
Exemplul 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Să facem înlocuirea y=3 x -1; atunci această inegalitate va lua forma Log 4 log 0,25 Deoarece log 0,25 Să facem înlocuirea t =log 4 y și să obținem inegalitatea t 2 -2t +≥0, a cărei soluție este intervalele - Astfel, pentru a găsi valorile lui y avem o mulțime de două inegalități simple Prin urmare, inegalitatea originală este echivalentă cu mulțimea a două inegalități exponențiale, Soluția primei inegalități a acestei mulțimi este intervalul 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Exemplul 8.
Soluţie:
Inegalitatea este egală cu sistemul Soluția pentru a doua inegalitate care definește ODZ va fi setul celor x,
pentru care x > 0.
Pentru a rezolva prima inegalitate facem substituția Apoi obținem inegalitatea sau Mulțimea soluțiilor ultimei inegalități se găsește prin metodă intervale: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, primim sau Multe dintre ele x, care satisfac ultima inegalitate aparține ODZ ( x> 0), prin urmare, este o soluție a sistemului, și de aici inegalitatea inițială. Răspuns: 2.4. Sarcini cu capcane. Exemplul 1.
Soluţie. ODZ a inegalității este tot x care satisface condiția 0 Exemplul 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Răspuns. (0; 0,5)U.
Răspuns :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , apoi rescriem ultima inegalitate ca 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Soluția acestei mulțimi este intervalele 0<у≤2 и 8≤у<+.
adică agregate 
. Astfel, inegalitatea originală este satisfăcută pentru toate valorile lui x din intervalele 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Prin urmare, toți x sunt din intervalul 0
Concluzie
Nu a fost ușor să găsești metode specifice de rezolvare a problemelor C3 dintr-o mare abundență de diferite surse educaționale. Pe parcursul lucrărilor efectuate, am putut studia metode non-standard pentru rezolvarea inegalităților logaritmice complexe. Acestea sunt: tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor, metoda raționalizării , substituție non-standard , sarcini cu capcane pe ODZ. Aceste metode nu sunt incluse în programa școlară.
Folosind diferite metode, am rezolvat 27 de inegalități propuse la Examenul Unificat de Stat în partea C și anume C3. Aceste inegalități cu soluții prin metode au stat la baza colecției „C3 Inegalități logaritmice cu soluții”, care a devenit un produs de proiect al activității mele. S-a confirmat ipoteza pe care am pus-o la începutul proiectului: problemele C3 pot fi rezolvate eficient dacă cunoașteți aceste metode.
În plus, am descoperit fapte interesante despre logaritmi. A fost interesant pentru mine să fac asta. Produsele proiectului meu vor fi utile atât pentru elevi, cât și pentru profesori.
Concluzii:
Astfel, scopul proiectului a fost atins și problema a fost rezolvată. Și am primit cea mai completă și variată experiență a activităților de proiect în toate etapele de lucru. În timp ce lucram la proiect, impactul meu principal de dezvoltare a fost asupra competenței mentale, activităților legate de operații mentale logice, dezvoltarea competenței creative, inițiativa personală, responsabilitate, perseverență și activitate.
O garanție a succesului la crearea unui proiect de cercetare pt Am dobândit: experiență școlară semnificativă, capacitatea de a obține informații din diverse surse, de a le verifica fiabilitatea și de a le clasifica după importanță.
Pe lângă cunoștințele directe în materie de matematică, mi-am extins abilitățile practice în domeniul informaticii, am acumulat noi cunoștințe și experiență în domeniul psihologiei, am stabilit contacte cu colegii de clasă și am învățat să cooperez cu adulții. În cadrul activităților proiectului s-au dezvoltat abilități educaționale generale organizatorice, intelectuale și comunicative.
Literatură
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sisteme de inegalități cu o variabilă (sarcini standard C3).
2. Malkova A. G. Pregătirea pentru examenul unificat de stat la matematică.
3. Samarova S. S. Rezolvarea inegalităților logaritmice.
4. Matematică. Culegere de lucrări de formare editată de A.L. Semenov și I.V. Iascenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
