Ecuații logaritmice și formule de inegalități. Ecuații logaritmice. Exemple de rezolvare a logaritmilor

1. Soluția este standard - să folosim regula înmulțirii cu 1:

Acum eliminam logaritmii:

Să înmulțim în cruce:

Examinare

Se potrivește!

Examinare

Și se potrivește aici! Poate m-am înșelat și rădăcinile sunt întotdeauna potrivite? Să ne uităm la următorul exemplu!

Exemplul nr. 2

Să reprezentăm triplul folosind metoda noastră preferată în formular

În stânga și în dreapta vom folosi formula pentru suma logaritmilor.

Exemplul nr. 3

Soluția este similară cu exemplul discutat anterior: să transformăm unitatea din dreapta în (permiteți-mi să vă reamintesc că - un logaritm zecimal sau un logaritm la bază) și să efectuăm operații între logaritmii din stânga și din dreapta:

Acum să eliminăm logaritmii din stânga și din dreapta:

\left((x) -2 \right)\left((x) -3 \right)=2

Examinare:

Din nou, ambii logaritmi din stânga sunt nedefiniti, deoarece sunt preluați din numere negative. Atunci nu este o rădăcină.

de atunci

Răspuns:

Sper că exemplele tocmai date vă vor îndepărta pentru totdeauna de la omiterea verificărilor atunci când rezolvați ecuații logaritmice. Este necesar!

Ecuație logaritmică cu bază variabilă

Acum aș dori să mă uit la un alt tip (puțin mai complex) de ecuații logaritmice cu tine. Acestea vor fi ecuații cu bază variabilă.

Înainte de aceasta, am luat în considerare doar cazurile în care bazele erau constante: etc. Dar nimic nu le împiedică să fie unele funcții ale, de exemplu, etc.

Dar nu te speria! Dacă, la rezolvarea inegalităților logaritmice, o bază variabilă provoacă destul de multe inconveniente, atunci Acest lucru nu are practic niciun efect asupra complexității rezolvării ecuației! Judecă singur:

Exemplul nr. 1

Procedăm ca mai înainte: aplicăm metoda „înmulțire cu unu” numărului:

Apoi ecuația inițială este transformată în forma:

voi aplica formula diferenței pătrate:

Examinare:

Ce concluzie tragem? Greşit! Numărul nu este rădăcina ecuației deoarece baza logaritmului nu poate fi un număr negativ sau egal cu unu!

Răspuns: .

După cum puteți vedea, în cazul ecuațiilor nu există nicio diferență fundamentală dacă bazele noastre sunt variabile sau nu. În acest sens, putem spune că decide ecuație logaritmică de obicei mult mai ușor decât rezolvarea unei inegalități logaritmice!

Să încercăm acum să rezolvăm un alt exemplu „ciudat”.

Exemplul nr. 2

Vom acționa ca întotdeauna - vom transforma partea dreaptă într-un logaritm, ca acesta dificil:

Atunci ecuația logaritmică inițială va fi echivalentă cu această ecuație (deși din nou logaritmică)

Voi rezolva din nou această ecuație folosind diferența de pătrate:

Să o rezolvăm mai întâi pe prima, a doua va fi rezolvată aproximativ în același mod:

Se va folosi din nou „înmulțirea cu 1”:

În mod similar pentru a doua ecuație:

Acum vine partea distractivă: verificarea. Să începem cu prima rădăcină

Baza logaritmului „mare” este egală cu

Prin urmare, nu este o rădăcină.

Să verificăm al doilea număr:

acel număr este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

Am dat în mod deliberat un exemplu destul de complex pentru a vă arăta că nu trebuie să vă fie frică de logaritmi mari și înfricoșători.

Este suficient sa stii cateva formule (pe care ti le-am dat deja mai sus) și poți găsi o cale de ieșire din orice (aproape) situație!

Ei bine, v-am oferit metodele de bază pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice (metode „fără bibelouri”), care vă vor permite să faceți față celor mai multe exemple (în primul rând la examenul de stat unificat).

Acum este timpul să arăți ce ai învățat. Încercați să rezolvați singur următoarele ecuații logaritmice, iar apoi vom compara rezultatele cu dvs.

Șapte exemple de muncă independentă

Tehnicile discutate în această lucrare, desigur, nu epuizează toate modalitățile posibile de rezolvare a ecuațiilor logaritmice.

În unele cazuri, trebuie să fim cu adevărat creativi pentru a găsi o modalitate de a găsi rădăcinile unei ecuații complicate.

Totuși, oricât de complexă ar fi ecuația inițială, ca urmare ea se va reduce la o ecuație de tipul pe care tocmai am învățat să o rezolvăm tu și cu mine!

Răspunsuri la exemple pentru munca independentă

1. O sarcină destul de simplă: să folosim proprietatea:

în scădere:

Atunci obținem:

Să verificăm:

(V-am explicat deja această tranziție mai sus)

Răspuns: 9

2. De asemenea, nimic supranatural: nu vreau să împart, așa că voi muta termenul cu „minus” la dreapta: acum am logaritmi zecimal în stânga și în dreapta și scap de ei:

verific:

expresia de sub semnul logaritmului nu poate fi negativă, deci numărul nu este rădăcina ecuației.

Examinare

Răspuns:

Aici trebuie să lucrăm puțin: este clar că voi folosi din nou formula (nu este foarte utilă?):

Ce trebuie să fac înainte de a aplica formula de adăugare a logaritmului? Da, trebuie să scap de multiplicator. Există două moduri: prima este să îl introduceți direct într-un logaritm folosind formula:

În principiu, această metodă are dreptul să existe, dar ce este rău în ea? Este rău să faci față unei expresii a formei (un „grad non-întreg” este întotdeauna neplăcut. Deci ce altceva putem face? Cum putem scăpa de un astfel de „grad non-întreg”? Să înmulțim cu ecuația noastră:

Ei bine, acum să punem ambii factori în logaritmi:

apoi voi înlocui zero cu

Și în sfârșit primesc:

Îți amintești cum se numește această formulă școlară „neiubită”? Acest diferenta de cub! Poate asta e mai clar?

Permiteți-mi să vă reamintesc că diferența de cuburi este factorizată astfel:

și iată încă una pentru orice eventualitate:

În raport cu situația noastră, aceasta va da:

Prima ecuație are o rădăcină, dar a doua nu are rădăcini (vedeți singuri!).

Vă las pe voi să verificați singur și să vă asigurați că numărul este de fapt rădăcina ecuației noastre.

Ca și în exemplul anterior, rescriem

Din nou, nu vreau scăderi (și împărțiri ulterioare) și, prin urmare, voi muta expresia rezultată la dreapta:

Acum elimin logaritmii din stânga și din dreapta:

Avem o ecuație irațională, pe care sper că știți deja să o rezolvați. Permiteți-mi doar să vă reamintesc că pătram ambele părți:

Sarcina ta acum este să te asiguri că nu este o rădăcină, ci este.

Răspuns:

Totul este transparent: aplicăm formula pentru suma logaritmilor din stânga:

apoi eliminăm logaritmii de pe ambele părți:

Examinare:

Răspuns: ;

Totul nu poate fi mai simplu: ecuația a fost deja redusă la cea mai simplă formă. Tot ce trebuie să facem este să egalăm

Să verificăm:

Dar când baza logaritmilor este egală cu:

Și nu este o rădăcină.

Răspuns:

Am lăsat acest exemplu pentru desert. Deși nici nu este nimic foarte complicat în asta.

Să ne imaginăm zero ca

Atunci tu și cu mine vom primi asta ecuație logaritmică:

Și eliminăm prima „piele” - logaritmi externi.

Să reprezentăm unitatea ca

Atunci ecuația noastră va lua forma:

Acum scoatem „a doua piele” și ajungem la miez:

Să verificăm:

Răspuns: .

3 METODE DE REZOLVARE A ECUATIILOR LOGARITMICE. NIVEL AVANSAT

Acum, după ce ați citit primul articol despre ecuații logaritmice, ați însușit cunoștințele minime necesare pentru a rezolva cele mai simple exemple.

Acum pot trece la analiza mai mult trei metode rezolvarea ecuațiilor logaritmice:

• metoda de introducere a unei noi variabile (sau înlocuire)
• metoda logaritmului
• metoda de tranziție la o nouă fundație.

Prima metodă- una dintre cele mai frecvent utilizate în practică. Rezolvă majoritatea problemelor „dificile” legate de rezolvarea ecuațiilor logaritmice (și nu numai).

A doua metodă servește la rezolvarea ecuațiilor mixte exponențial-logaritmice, reducând în cele din urmă problema la alegerea unei variabile de înlocuire bună (adică la prima metodă).

A treia metodă potrivit pentru rezolvarea unor ecuaţii în care apar logaritmi cu baze diferite.

Voi începe prin a vedea prima metodă.

Metoda de introducere a unei noi variabile (4 exemple)

După cum ați înțeles deja din nume, esența acestei metode este să introduceți o astfel de schimbare a variabilei, încât ecuația dvs. logaritmică să se transforme în mod miraculos într-una pe care o puteți rezolva cu ușurință.

Tot ce vă rămâne după rezolvarea acestei „ecuații simplificate” este de făcut "înlocuire inversă": adică a reveni de la înlocuit la înlocuit.

Să ilustrăm ceea ce tocmai am spus cu un exemplu foarte simplu:

În acest exemplu, înlocuirea se sugerează de la sine! La urma urmei, este clar că dacă înlocuim cu, atunci ecuația noastră logaritmică se va transforma într-una rațională:

O poți rezolva cu ușurință reducându-l la un pătrat:

(pentru ca numitorul să nu se reseteze accidental la zero!)

Simplificand expresia rezultata, obtinem in final:

Acum facem substituția inversă: , apoi rezultă din asta și din obținem

Acum, ca și înainte, este timpul să verificați:

Să fie la început, pentru că atunci este adevărat!

Acum, atunci, totul este corect!

Astfel, numerele sunt rădăcinile ecuației noastre originale.

Răspuns: .

Iată un alt exemplu cu o înlocuire evidentă:

De fapt, să-l înlocuim imediat

atunci ecuația noastră logaritmică inițială se va transforma într-una pătratică:

Înlocuire inversă:

Verificați singuri, asigurați-vă că în acest caz ambele numere pe care le-am găsit sunt rădăcini.

Cred că ai prins ideea principală. Nu este nou și se aplică nu numai ecuațiilor logaritmice.

Un alt lucru este că uneori este destul de dificil să „vezi” imediat înlocuitorul. Acest lucru necesită ceva experiență, care va veni la tine după un efort din partea ta.

Între timp, exersați rezolvarea următoarelor exemple:

Gata? Să verificăm ce ai:

Să rezolvăm mai întâi al doilea exemplu.

El doar îți demonstrează că nu este întotdeauna posibil să faci o înlocuire, așa cum se spune, „în față”.

În primul rând, trebuie să ne transformăm puțin ecuația: aplicăm formula pentru diferența de logaritmi în numărătorul primei fracții și luăm puterea în numărătorul celei de-a doua.

Făcând acest lucru, veți primi:

Acum înlocuirea a devenit evidentă, nu-i așa? Să reușim: .

Acum să aducem fracțiile la un numitor comun și să simplificăm.

Atunci obținem:

După rezolvarea ultimei ecuații, îi vei găsi rădăcinile: unde.

Verificați singuri și asigurați-vă că acestea sunt într-adevăr rădăcinile ecuației noastre originale.

Acum să încercăm să rezolvăm a treia ecuație.

Ei bine, în primul rând, este clar că nu ne va strica să înmulțim ambele părți ale ecuației cu. Nu există niciun rău, dar beneficiile sunt evidente.

Acum să facem un înlocuitor. Ai ghicit ce vom înlocui, nu? Așa este, să zicem. Atunci ecuația noastră va lua următoarea formă:

(ambele rădăcini ni se potrivesc!)

Acum înlocuirea inversă: , de la, de la. Ecuația noastră originală are până la patru rădăcini! Asigurați-vă de acest lucru, să înlocuim valorile obținute în ecuație. Scriem răspunsul:

Răspuns: .

Cred că acum îți este complet clară ideea de a înlocui o variabilă? Bine, atunci să nu ne oprim aici și să trecem la o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor logaritmice: metoda de tranziție la o nouă fundație.

Metoda de tranziție la o nouă bază

Să luăm în considerare următoarea ecuație:

Ce vedem? Se presupune că cei doi logaritmi sunt „opuși” unul față de celălalt. Ce ar trebuii să fac? Totul este ușor: trebuie doar să recurgem la una dintre cele două formule:

În principiu, nimic nu mă împiedică să folosesc oricare dintre aceste două formule, dar datorită structurii ecuației, îmi va fi mai convenabil să o folosesc pe prima: voi scăpa de baza variabilă a logaritmului în al doilea termen. prin inlocuirea lui cu. Acum este ușor de observat că sarcina a fost redusă la cea anterioară: alegerea unui înlocuitor. Înlocuind, obțin următoarea ecuație:

De aici. Tot ce trebuie să faceți este să înlocuiți numerele găsite în ecuația originală și să vă asigurați că sunt într-adevăr rădăcini.

Iată un alt exemplu în care are sens să treci la o nouă fundație:

Cu toate acestea, după cum puteți verifica cu ușurință, dacă tu și cu mine ne mutăm imediat la un nou fond de ten, acest lucru nu va da efectul dorit. Ce trebuie să facem în acest caz? Să simplificăm totul cât mai mult posibil și apoi orice s-ar întâmpla.
Deci, ceea ce vreau să fac este să îmi imaginez cum, cum să scot aceste puteri în fața logaritmilor și, de asemenea, să scot pătratul lui X din primul logaritm. Vom vedea mai târziu.

Amintiți-vă, poate fi mult mai dificil să vă împrietenești cu baza decât cu expresia sub semnul logaritmului!

Urmând această regulă, voi înlocui cu și cu. Atunci voi primi:

Ei bine, următorii pași vă sunt deja familiari. Înlocuiește și caută rădăcini!

Ca rezultat, veți găsi două rădăcini ale ecuației originale:

Este timpul să-ți arăt ce ai învățat!

Mai întâi încercați să rezolvați singur următoarele (nu cele mai simple) exemple:

1. Totul aici este destul de standard: voi încerca să reduc ecuația mea originală astfel încât înlocuirea să fie convenabilă. De ce am nevoie pentru asta? Mai întâi, transformați prima expresie din stânga (eliminați a patra putere a lui doi înaintea logaritmului) și eliminați puterea a doi de la baza celui de-al doilea logaritm. Atunci voi primi:

Tot ce a mai rămas este să „întoarceți” primul logaritm!

\frac(12)(\log_(2)(x))=3((\log )_(2))x

(Pentru comoditate, am mutat al doilea logaritm de la stânga la dreapta ecuației)

Problema este aproape rezolvată: puteți face o înlocuire. După reducerea la un numitor comun, obțin următoarea ecuație:

După ce ați făcut înlocuirea inversă, nu vă va fi dificil să calculați că:

Asigurați-vă că valorile rezultate sunt rădăcinile ecuației noastre.

2. Aici voi încerca, de asemenea, să-mi „potrivesc” ecuația la un înlocuitor acceptabil. Care? Poate mi se va potrivi.

Așa că să nu pierdem timpul și să începem să ne transformăm!

((\log )_(x))5((x)^(2))\cdot \log \frac(2)(5)x=1

Ei bine, acum îl puteți înlocui în siguranță! Apoi, în ceea ce privește noua variabilă, obținem următoarea ecuație:

Unde. Din nou, să vă asigurați că ambele numere sunt de fapt rădăcini vă este lăsat ca un exercițiu.

3. Aici nu este chiar imediat evident ce vom înlocui. Există o regulă de aur - Dacă nu știi ce să faci, fă ce poți! Asta voi folosi!

Acum voi „întoarce” toți logaritmii și voi aplica formula logaritmului diferenței la primul, iar logaritmul sumei la ultimele două:

Aici am folosit și faptul că (at) și proprietatea de a scoate o putere dintr-un logaritm. Ei bine, acum putem aplica un înlocuitor potrivit: . Sunt sigur că știi deja să rezolvi ecuații raționale, chiar și acest tip monstruos. Prin urmare, îmi voi permite să notez imediat rezultatul:

Rămâne de rezolvat două ecuații: . V-ați familiarizat deja cu metodele de rezolvare a acestor „aproape cele mai simple” ecuații din secțiunea anterioară. Așa că voi scrie imediat soluțiile finale:

Asigurați-vă că doar două dintre aceste numere sunt rădăcinile ecuației mele! Și anume, este și, deși nu este o rădăcină!

Acest exemplu este mai complicat, cu toate acestea, voi încerca să-l rezolv fără a apela deloc la înlocuirea variabilelor! Să o facem din nou, să facem ce putem: mai întâi, putem extinde logaritmul din stânga conform formulei pentru logaritmul unui raport și, de asemenea, să le punem pe cele două în fața logaritmului între paranteze. In final voi obtine:

Ei bine, acum aceeași formulă pe care am folosit-o deja! Deci, să scurtăm partea dreaptă! Acum sunt doar un doi acolo! Să mutăm unul la el din stânga și, în sfârșit, obținem:

Știi deja cum să rezolvi astfel de ecuații. Rădăcina se găsește fără dificultate și este egală. Vă reamintesc să verificați!

Ei bine, acum, după cum sper, ați învățat să rezolvați probleme destul de complexe pe care nu le puteți depăși „din cap”! Dar ecuațiile logaritmice pot fi și mai insidioase! Iată câteva exemple:

Aici, din păcate, soluția anterioară nu va da rezultate tangibile. De ce crezi? Da, nu mai există nicio „reciprocitate” a logaritmilor aici. Desigur, acest caz cel mai general poate fi rezolvat, dar folosim deja următoarea formulă:

Această formulă nu-i pasă dacă aveți „opusul” sau nu. Vă puteți întreba, de ce să alegeți o bază? Răspunsul meu este că nu contează. Răspunsul în cele din urmă nu va depinde de asta. În mod tradițional, se folosește fie logaritmul natural, fie zecimalul. Deși acest lucru nu este important. De exemplu, voi folosi zecimală:

Să lași un răspuns în acest formular este o rușine totală! Permiteți-mi să notez mai întâi prin definiție asta

Acum este timpul să folosiți: în paranteze - identitatea logaritmică principală, iar în exterior (până la grad) - transformați raportul într-un singur logaritm: apoi obținem în sfârșit acest „ciudat” răspuns: .

Alte simplificări, din păcate, nu ne mai sunt disponibile.

Să verificăm împreună:

Corect! Apropo, amintiți-vă încă o dată din ce rezultă penultima egalitate din lanț!

În principiu, soluția acestui exemplu se poate reduce și la trecerea la un logaritm bazat pe o nouă bază, dar ar trebui să vă fie deja frică de ce se va întâmpla în cele din urmă. Să încercăm să facem ceva mai rezonabil: să transformăm partea stângă cât mai bine posibil.

Apropo, cum crezi că am obținut ultima descompunere? Așa este, am aplicat teorema despre factorizarea unui trinom pătratic și anume:

Dacă sunt rădăcinile ecuației, atunci:

Ei bine, acum voi rescrie ecuația mea originală în această formă:

Dar suntem destul de capabili să rezolvăm o astfel de problemă!

Deci, să introducem un înlocuitor.

Atunci ecuația mea inițială va lua această formă simplă:

Rădăcinile sale sunt egale cu: , atunci

De unde vine această ecuație? nu are rădăcini.

Tot ce trebuie să faci este să verifici!

Încercați să rezolvați singur următoarea ecuație. Fă-ți timp și ai grijă, atunci norocul va fi de partea ta!

Gata? Să vedem ce avem.

De fapt, exemplul este rezolvat în doi pași:

1. Transformă

2. acum în dreapta am o expresie care este egală cu

Astfel, ecuația inițială a fost redusă la cea mai simplă:

Testul arată că acest număr este într-adevăr rădăcina ecuației.

Metoda logaritmului

Și, în final, voi discuta foarte pe scurt metodele de rezolvare a unor ecuații mixte. Desigur, nu mă angajez să acopăr toate ecuațiile mixte, ci voi arăta metode de rezolvare a celor mai simple.

De exemplu,

O astfel de ecuație poate fi rezolvată folosind metoda logaritmului. Tot ce trebuie să faci este să iei logaritmul ambelor părți.

Este clar că, deoarece avem deja un logaritm la bază, voi duce logaritmul la aceeași bază:

Acum voi elimina puterea expresiei din stânga:

și factorizați expresia folosind formula diferenței de pătrate:

Verificarea, ca întotdeauna, ține de conștiință.

Încercați să rezolvați singur ultimul exemplu din acest articol!

Să verificăm: luați logaritmul la baza ambelor părți ale ecuației:

Scot gradul din stânga și îl împart folosind formula sumei din dreapta:

Ghicim una dintre rădăcini: este o rădăcină.

În articolul despre rezolvarea ecuațiilor exponențiale, am vorbit despre cum să împărțim un polinom la un „colț” la altul.

Aici trebuie să împărțim la.

Ca rezultat obținem:

Dacă este posibil, efectuați singur verificarea (deși în acest caz, mai ales cu ultimele două rădăcini, nu va fi ușor).

ECUATII LOGARITMICE. SUPER NIVEL

Pe lângă materialul deja prezentat, vă sugerez să luăm în considerare o altă modalitate de a rezolva ecuații mixte care conțin logaritmi, dar aici voi lua în considerare ecuațiile care nu poate fi rezolvată prin metoda discutată anterior de luare a logaritmilor ambelor părți. Această metodă se numește mini-max.

Metoda mini-max

Această metodă este aplicabilă nu numai pentru rezolvarea ecuațiilor mixte, dar se dovedește a fi utilă și la rezolvarea unor inegalități.

Deci, mai întâi introducem următoarele definiții de bază care sunt necesare pentru aplicarea metodei mini-max.

Imaginile simple ilustrează aceste definiții:

Funcția din figura din stânga este monoton în creștere, iar în dreapta este monoton în scădere. Acum să trecem la funcția logaritmică, se știe că următoarele sunt adevărate:

Figura prezintă exemple de funcție logaritmică monoton crescătoare și monoton descrescătoare.

Să o descriem direct metoda mini-max. Cred că înțelegi din ce cuvinte provine acest nume?

Așa e, din cuvintele minim și maxim. Pe scurt, metoda poate fi reprezentată astfel:

Cel mai important obiectiv al nostru este să găsim această constantă pentru a reduce în continuare ecuația la două mai simple.

În acest scop, proprietățile de monotonitate ale funcției logaritmice formulate mai sus pot fi utile.

Acum să ne uităm la exemple specifice:

1. Să ne uităm mai întâi la partea stângă.

Există un logaritm cu o bază mai mică. Conform teoremei formulate mai sus, care este funcția? Este în scădere. În același timp, ceea ce înseamnă . Pe de altă parte, prin definiția unei rădăcini: . Astfel, constanta este găsită și egală. Atunci ecuația inițială este echivalentă cu sistemul:

Prima ecuație are rădăcini, iar a doua: . Astfel, rădăcina comună este egală, iar această rădăcină va fi rădăcina ecuației originale. Pentru orice eventualitate, faceți o verificare pentru a vă asigura.

Răspuns:

Să ne gândim imediat ce scrie aici?

Mă refer la structura generală. Aici scrie că suma a două pătrate este zero.

Când este posibil acest lucru?

Doar atunci când ambele numere sunt individual egale cu zero. Apoi să trecem la următorul sistem:

Prima și a doua ecuație nu au rădăcini comune, atunci ecuația originală nu are rădăcini.

Răspuns: fara solutii.

Să ne uităm mai întâi la partea dreaptă - este mai simplu. Prin definiția sinusului:

De unde și apoi Prin urmare

Acum să revenim la partea stângă: luați în considerare expresia de sub semnul logaritmului:

Încercarea de a găsi rădăcinile unei ecuații nu va duce la un rezultat pozitiv. Dar, cu toate acestea, trebuie să evaluez cumva această expresie. Desigur, știți o metodă de genul selectând un pătrat complet. O voi folosi aici.

Deoarece este o funcție crescătoare, rezultă că. Astfel,

Atunci ecuația noastră inițială este echivalentă cu următorul sistem:

Nu știu dacă sunteți familiarizat sau nu cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, așa că voi face asta: voi rezolva prima ecuație (are maxim două rădăcini), apoi voi înlocui rezultatul în al doilea:

(puteți verifica și vă asigurați că acest număr este rădăcina primei ecuații a sistemului)

Acum o voi înlocui în a doua ecuație:

Răspuns:

Ei bine, acum ți-a devenit clară tehnica utilizării metodei mini-max? Apoi încercați să rezolvați singur următorul exemplu.

Gata? Să verificăm:

Partea stângă este suma a două mărimi nenegative (unitate și modul) și, prin urmare, partea stângă nu este mai mică de unu și este egală cu una numai atunci când

În același timp, partea dreaptă este modulul (însemnând mai mare decât zero) al produsului a două cosinus (însemnând nu mai mult de unul), atunci:

Atunci ecuația inițială este echivalentă cu sistemul:

Îmi propun din nou să rezolvăm prima ecuație și să înlocuim rezultatul în a doua:

Această ecuație nu are rădăcini.

Atunci ecuația originală nu are nici rădăcini.

Răspuns: nu există soluții.

SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE. 6 METODE DE REZOLVARE A ECUATIILOR LOGARITMICE

Ecuație logaritmică- o ecuație în care variabilele necunoscute sunt în interiorul logaritmilor.

Cea mai simplă ecuație logaritmică este o ecuație de formă.

Procesul de rezolvare a oricărei ecuații logaritmice se reduce la reducerea ecuației logaritmice la forma , și trecerea de la o ecuație cu logaritmi la o ecuație fără aceștia: .

ODZ pentru o ecuație logaritmică:

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice:

1 metoda. Folosind definiția logaritmului:

Metoda 2. Folosind proprietățile logaritmului:

Metoda 3. Introducerea unei noi variabile (înlocuire):

• substituția ne permite să reducem ecuația logaritmică la o ecuație algebrică mai simplă pentru t.

Metoda 4 Tranziția la o nouă bază:

5 metoda. Logaritm:

• luați logaritmul părților din dreapta și din stânga ecuației.

6 metoda. Mini-max:

Acum vrem să auzim de la tine...

Am încercat să scriem cât mai simplu și complet posibil despre ecuațiile logaritmice.

Acum e rândul tău!

Scrieți cum apreciați articolul nostru? Ți-a plăcut de ea?

Poate știi deja cum să rezolvi ecuațiile logaritmice?

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți despre asta în comentarii.

Și mult succes la examene!

În această lecție vom trece în revistă faptele teoretice de bază despre logaritmi și vom lua în considerare rezolvarea celor mai simple ecuații logaritmice.

Să ne amintim definiția centrală - definiția unui logaritm. Implică rezolvarea unei ecuații exponențiale. Această ecuație are o singură rădăcină, se numește logaritmul lui b la baza a:

Definiţie:

Logaritmul lui b la baza a este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obține b.

Să vă reamintim identitate logaritmică de bază.

Expresia (expresia 1) este rădăcina ecuației (expresia 2). Înlocuiți valoarea x din expresia 1 în loc de x în expresia 2 și obțineți identitatea logaritmică principală:

Deci vedem că fiecare valoare este asociată cu o valoare. Notăm b cu x(), c cu y și astfel obținem o funcție logaritmică:

De exemplu:

Să ne amintim proprietățile de bază ale funcției logaritmice.

Să fim atenți încă o dată, aici, deoarece sub logaritm poate exista o expresie strict pozitivă, ca bază a logaritmului.

Orez. 1. Graficul unei funcții logaritmice cu baze diferite

Graficul funcției la este afișat cu negru. Orez. 1. Dacă argumentul crește de la zero la infinit, funcția crește de la minus la plus infinit.

Graficul funcției la este afișat cu roșu. Orez. 1.

Proprietățile acestei funcții:

Domeniul de aplicare: ;

Interval de valori: ;

Funcția este monotonă în întregul său domeniu de definire. Când crește monoton (strict), o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției. Când monoton (strict) scade, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.

Proprietățile funcției logaritmice sunt cheia pentru rezolvarea unei varietăți de ecuații logaritmice.

Să considerăm cea mai simplă ecuație logaritmică, de regulă, toate celelalte ecuații logaritmice sunt reduse la această formă.

Deoarece bazele logaritmilor și logaritmii înșiși sunt egale, funcțiile de sub logaritm sunt, de asemenea, egale, dar nu trebuie să pierdem domeniul de definiție. Doar un număr pozitiv poate apărea sub logaritm, avem:

Am aflat că funcțiile f și g sunt egale, deci este suficient să alegeți orice inegalitate pentru a respecta ODZ.

Astfel, avem un sistem mixt în care există o ecuație și o inegalitate:

De regulă, nu este necesar să se rezolve o inegalitate, este suficient să se rezolve ecuația și să se înlocuiască rădăcinile găsite în inegalitate, efectuând astfel o verificare.

Să formulăm o metodă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații logaritmice:

Egalizarea bazelor logaritmilor;

Echivalează funcții sublogaritmice;

Efectuați verificarea.

Să ne uităm la exemple specifice.

Exemplul 1 - rezolvați ecuația:

Bazele logaritmilor sunt inițial egale, avem dreptul de a echivala expresii sublogaritmice, nu uitați de ODZ, alegem primul logaritm pentru a compune inegalitatea:

Exemplul 2 - rezolvați ecuația:

Această ecuație diferă de cea anterioară prin faptul că bazele logaritmilor sunt mai mici decât unu, dar acest lucru nu afectează soluția în niciun fel:

Să găsim rădăcina și să o înlocuim în inegalitate:

Am primit o inegalitate incorectă, ceea ce înseamnă că rădăcina găsită nu satisface ODZ.

Exemplul 3 - rezolvați ecuația:

Bazele logaritmilor sunt inițial egale, avem dreptul de a echivala expresii sublogaritmice, nu uitați de ODZ, alegem al doilea logaritm pentru a compune inegalitatea:

Să găsim rădăcina și să o înlocuim în inegalitate:

Evident, doar prima rădăcină satisface DD.

Cu toții suntem familiarizați cu ecuațiile din școala primară. Acolo am învățat să rezolvăm și cele mai simple exemple și trebuie să recunoaștem că își găsesc aplicația chiar și în matematica superioară. Totul este simplu cu ecuații, inclusiv ecuații pătratice. Dacă întâmpinați probleme cu acest subiect, vă recomandăm să îl revizuiți.

Probabil că ați trecut deja și prin logaritmi. Cu toate acestea, considerăm că este important să spunem ce este pentru cei care încă nu știu. Un logaritm este echivalat cu puterea la care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul din dreapta semnului logaritmului. Să dăm un exemplu pe baza căruia totul îți va deveni clar.

Dacă ridicați 3 la a patra putere, obțineți 81. Acum înlocuiți numerele prin analogie și veți înțelege în sfârșit cum se rezolvă logaritmii. Acum nu mai rămâne decât să îmbinăm cele două concepte discutate. Inițial, situația pare extrem de complicată, dar la o examinare mai atentă greutatea cade la loc. Suntem siguri că după acest scurt articol nu veți avea probleme în această parte a examenului de stat unificat.

Astăzi există multe modalități de a rezolva astfel de structuri. Vă vom spune despre cele mai simple, mai eficiente și mai aplicabile în cazul sarcinilor de examinare unificată de stat. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice ar trebui să înceapă cu cel mai simplu exemplu. Cele mai simple ecuații logaritmice constau dintr-o funcție și o variabilă în ea.

Este important de reținut că x este în interiorul argumentului. A și b trebuie să fie numere. În acest caz, puteți exprima pur și simplu funcția în termeni de număr la o putere. Arata cam asa.

Desigur, rezolvarea unei ecuații logaritmice folosind această metodă vă va conduce la răspunsul corect. Problema pentru marea majoritate a elevilor în acest caz este că nu înțeleg ce vine de unde. Ca urmare, trebuie să suporti greșeli și să nu obții punctele dorite. Cea mai ofensivă greșeală va fi dacă amesteci literele. Pentru a rezolva ecuația în acest fel, trebuie să memorați această formulă școlară standard, deoarece este greu de înțeles.

Pentru a fi mai ușor, puteți recurge la o altă metodă - forma canonică. Ideea este extrem de simplă. Întoarceți-vă atenția asupra problemei. Amintiți-vă că litera a este un număr, nu o funcție sau variabilă. A nu este egal cu unu și mai mare decât zero. Nu există restricții cu privire la b. Acum, dintre toate formulele, să ne amintim una. B poate fi exprimat după cum urmează.

De aici rezultă că toate ecuațiile originale cu logaritmi pot fi reprezentate sub forma:

Acum putem renunța la logaritmi. Rezultatul este un design simplu, pe care l-am văzut deja mai devreme.

Comoditatea acestei formule constă în faptul că poate fi folosită într-o mare varietate de cazuri, și nu doar pentru cele mai simple modele.

Nu vă faceți griji pentru OOF!

Mulți matematicieni experimentați vor observa că nu am acordat atenție domeniului definiției. Regula se rezumă la faptul că F(x) este în mod necesar mai mare decât 0. Nu, nu am ratat acest punct. Acum vorbim despre un alt avantaj serios al formei canonice.

Nu vor fi rădăcini suplimentare aici. Dacă o variabilă va apărea doar într-un singur loc, atunci nu este necesar un domeniu. Se face automat. Pentru a verifica această judecată, încercați să rezolvați câteva exemple simple.

Cum se rezolvă ecuații logaritmice cu baze diferite

Acestea sunt deja ecuații logaritmice complexe, iar abordarea rezolvării lor trebuie să fie specială. Aici este rareori posibil să ne limităm la forma canonică notorie. Să începem povestea noastră detaliată. Avem următoarea construcție.

Atenție la fracție. Conține logaritmul. Dacă vedeți acest lucru într-o sarcină, merită să vă amintiți un truc interesant.

Ce înseamnă? Fiecare logaritm poate fi reprezentat ca câtul a doi logaritmi cu o bază convenabilă. Și această formulă are un caz special care este aplicabil cu acest exemplu (ne înțelegem dacă c=b).

Aceasta este exact fracția pe care o vedem în exemplul nostru. Astfel.

În esență, am întors fracția și am obținut o expresie mai convenabilă. Amintiți-vă de acest algoritm!

Acum este necesar ca ecuația logaritmică să nu conțină baze diferite. Să reprezentăm baza ca o fracție.

În matematică există o regulă pe baza căreia poți obține un grad dintr-o bază. Următoarele rezultate de construcție.

S-ar părea că ce ne oprește de acum să ne transformăm expresia în forma canonică și să o rezolvăm în mod elementar? Nu este atât de simplu. Nu ar trebui să existe fracții înainte de logaritm. Să reparăm această situație! O fracție poate fi folosită ca grad.

Respectiv.

Dacă bazele sunt aceleași, putem elimina logaritmii și echivalăm expresiile în sine. Astfel situația va deveni mult mai simplă decât era. Ceea ce va rămâne este o ecuație elementară pe care fiecare dintre noi a știut să o rezolve încă din clasa a VIII-a sau chiar a VII-a. Puteți face singuri calculele.

Am obținut singura rădăcină adevărată a acestei ecuații logaritmice. Exemplele de rezolvare a unei ecuații logaritmice sunt destul de simple, nu-i așa? Acum veți putea face față în mod independent chiar și celor mai complexe sarcini pentru pregătirea și promovarea examenului de stat unificat.

Care este rezultatul?

În cazul oricăror ecuații logaritmice, pornim de la o regulă foarte importantă. Este necesar să se acționeze în așa fel încât să se reducă expresia la cea mai simplă formă posibilă. În acest caz, veți avea șanse mai mari nu numai să rezolvați sarcina corect, ci și să o faceți în cel mai simplu și logic mod posibil. Exact așa lucrează întotdeauna matematicienii.

Nu vă recomandăm insistent să căutați căi dificile, mai ales în acest caz. Amintiți-vă câteva reguli simple care vă vor permite să transformați orice expresie. De exemplu, reduceți doi sau trei logaritmi la aceeași bază sau obțineți o putere din bază și câștigați pe aceasta.

De asemenea, merită să ne amintim că rezolvarea ecuațiilor logaritmice necesită o practică constantă. Treptat vei trece la structuri din ce în ce mai complexe, iar asta te va conduce la rezolvarea cu încredere a tuturor variantelor de probleme la Examenul Unificat de Stat. Pregătiți-vă din timp pentru examene și mult succes!

Acest articol conține o prezentare sistematică a metodelor de rezolvare a ecuațiilor logaritmice într-o variabilă. Acest lucru îl va ajuta pe profesor, în primul rând în sens didactic: selecția exercițiilor vă permite să creați sarcini individuale pentru elevi, ținând cont de capacitățile acestora. Aceste exerciții pot fi folosite pentru o lecție de generalizare și pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat.
Scurte informații teoretice și soluții la probleme permit elevilor să-și dezvolte în mod independent abilitățile de rezolvare a ecuațiilor logaritmice.

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

Ecuații logaritmice – ecuații care conțin o necunoscută sub semn logaritm La rezolvarea ecuațiilor logaritmice, se folosesc adesea informații teoretice:

De obicei, rezolvarea ecuațiilor logaritmice începe cu determinarea ODZ. În ecuațiile logaritmice, se recomandă transformarea tuturor logaritmilor astfel încât bazele lor să fie egale. Apoi, ecuațiile fie sunt exprimate printr-un logaritm, care este notat cu o nouă variabilă, fie ecuația este convertită într-o formă convenabilă pentru potențare.
Transformările expresiilor logaritmice nu ar trebui să conducă la o îngustare a DO, dar dacă metoda soluției aplicată restrânge DO, lăsând în considerare numerele individuale, atunci aceste numere de la sfârșitul problemei trebuie verificate prin substituție în ecuația originală, deoarece Când ODZ se îngustează, este posibilă pierderea rădăcinii.

1. Ecuații de formă– o expresie care conține un număr necunoscut și numărul .

1) utilizați definiția logaritmului: ;
2) verificați sau găsiți intervalul de valori acceptabile pentru un număr necunoscut și selectați rădăcinile (soluții) corespunzătoare.
Dacă ).

2. Ecuații de gradul întâi în raport cu un logaritm, a cărui soluție folosește proprietățile logaritmilor.

Pentru a rezolva astfel de ecuații aveți nevoie de:

1) folosind proprietățile logaritmilor, transformați ecuația;
2) rezolvați ecuația rezultată;
3) verificați sau găsiți intervalul de valori acceptabile pentru un număr necunoscut și selectați rădăcinile (soluții) corespunzătoare.
).

3. Ecuația gradului doi și superior relativ la logaritm.

Pentru a rezolva astfel de ecuații aveți nevoie de:

1. faceți o înlocuire variabilă;
2. rezolvați ecuația rezultată;
3. faceți o înlocuire inversă;
4. rezolvați ecuația rezultată;
5. verificați sau găsiți intervalul de valori acceptabile pentru un număr necunoscut și selectați rădăcinile (soluții) corespunzătoare.

4. Ecuații care conțin necunoscutul în bază și în exponent.

Pentru a rezolva astfel de ecuații aveți nevoie de:

1. luați logaritmul ecuației;
2. rezolvați ecuația rezultată;
3. faceți o verificare sau găsiți intervalul de valori acceptabile pentru un număr necunoscut și selectați-le pe cele corespunzătoare
   rădăcini (soluții).

5. Ecuații care nu au soluție.

1. Pentru a rezolva astfel de ecuații, este necesar să găsiți ecuațiile ODZ.
2. Analizați părțile stânga și dreaptă ale ecuației.
3. Trageți concluziile adecvate.

Ecuația inițială este echivalentă cu sistemul:

Demonstrați că ecuația nu are soluție.

ODZ a ecuației este determinată de inegalitatea x ≥ 0. Pe ODZ avem

Suma unui număr pozitiv și a unui număr nenegativ nu este egală cu zero, deci ecuația inițială nu are soluții.

Răspuns: nu există soluții.

Doar o rădăcină x = 0 intră în ODZ Răspuns: 0.

Vom face o înlocuire inversă.

Rădăcinile găsite aparțin ODZ.

Ecuația ODZ este mulțimea tuturor numerelor pozitive.

Din moment ce

Aceste ecuații se rezolvă în mod similar:

Sarcini pentru soluție independentă:

Literatura folosita.

1. Beschetnov V.M. Matematică. Demiurgul Moscovei 1994
2. Borodulya I.T. Funcții exponențiale și logaritmice. (sarcini și exerciții). „Iluminismul” de la Moscova 1984
3. Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Probleme de matematică. Ecuații și inegalități. Moscova „Știință” 1987
4. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric. Moscova „Ilexa” 2007
5. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V.. Probleme în algebră și principii de analiză. „Iluminismul” de la Moscova 2003

Pregătirea pentru proba finală la matematică include o secțiune importantă - „Logaritmi”. Sarcinile din acest subiect sunt incluse în mod necesar în Examenul de stat unificat. Experiența din anii trecuți arată că ecuațiile logaritmice au cauzat dificultăți pentru mulți școlari. Prin urmare, elevii cu diferite niveluri de pregătire trebuie să înțeleagă cum să găsească răspunsul corect și să le facă față rapid.

Trece testul de certificare cu succes folosind portalul educațional Shkolkovo!

Când se pregătesc pentru Examenul Unificat de Stat, absolvenții de liceu au nevoie de o sursă de încredere care să ofere cele mai complete și corecte informații pentru rezolvarea cu succes a problemelor de testare. Cu toate acestea, un manual nu este întotdeauna la îndemână, iar căutarea regulilor și formulelor necesare pe Internet necesită adesea timp.

Portalul educațional Shkolkovo vă permite să vă pregătiți pentru examenul de stat unificat oriunde și oricând. Site-ul nostru web oferă cea mai convenabilă abordare pentru repetarea și asimilarea unei cantități mari de informații despre logaritmi, precum și cu una și mai multe necunoscute. Începeți cu ecuații simple. Dacă le faci față fără dificultate, treci la altele mai complexe. Dacă întâmpinați probleme la rezolvarea unei anumite inegalități, o puteți adăuga la Favorite, astfel încât să reveniți la ea mai târziu.

Puteți găsi formulele necesare pentru a finaliza sarcina, repeta cazuri speciale și metode pentru calcularea rădăcinii unei ecuații logaritmice standard, urmărind secțiunea „Ajutor teoretic”. Profesorii Shkolkovo au colectat, sistematizat și prezentat toate materialele necesare promovării cu succes în cea mai simplă și mai înțeleasă formă.

Pentru a face față cu ușurință sarcinilor de orice complexitate, pe portalul nostru vă puteți familiariza cu rezolvarea unor ecuații logaritmice standard. Pentru a face acest lucru, accesați secțiunea „Cataloguri”. Avem un număr mare de exemple, inclusiv ecuații cu nivel de profil Unified State Examination în matematică.

Elevii din școlile din toată Rusia pot folosi portalul nostru. Pentru a începe cursurile, pur și simplu înregistrați-vă în sistem și începeți să rezolvați ecuații. Pentru a consolida rezultatele, vă sfătuim să reveniți zilnic pe site-ul Shkolkovo.