Cum să găsiți produsul mixt a trei vectori. Produsul încrucișat al vectorilor. Produs mixt al vectorilor. Analiza sarcinilor tipice

Produs mixt al vectorilor este un număr egal cu produsul scalar al unui vector și produsul vectorial al unui vector. Este indicat un produs mixt.

1. Modulul produsului mixt al vectorilor necoplanari este egal cu volumul paralelipipedului construit pe acești vectori. Produsul este pozitiv dacă tripletul vectorilor este dreptaci și negativ dacă tripletul este stângaci și invers.

2. Produsul mixt este zero dacă și numai dacă vectorii sunt coplanari:

vectorii sunt coplanari.

Să demonstrăm prima proprietate. Să găsim, prin definiție, un produs mixt: , unde este unghiul dintre vectorii și. Modulul produsului vectorial (prin proprietatea geometrică 1) este egal cu aria paralelogramului construit pe vectori: . De aceea. Valoarea algebrică a lungimii proiecției vectorului pe axa specificată de vector este egală în valoare absolută cu înălțimea paralelipipedului construit pe vectori (Fig. 1.47). Prin urmare, modulul produsului amestecat este egal cu volumul acestui paralelipiped:

Semnul produsului mixt este determinat de semnul cosinusului unghiului. Dacă triplul este corect, atunci produsul amestecat este pozitiv. Dacă este triplu, atunci produsul amestecat este negativ.

Să demonstrăm a doua proprietate. Egalitatea este posibilă în trei cazuri: fie (adică), fie (adică vectorul aparține planului vectorial). În fiecare caz, vectorii sunt coplanari (vezi Secțiunea 1.1).

Produsul mixt a trei vectori este un număr egal cu produsul vectorial al primilor doi vectori, înmulțit scalar cu vectorul. În vectori poate fi reprezentat astfel

Deoarece vectorii în practică sunt specificați sub formă de coordonate, produsul lor mixt este egal cu determinantul construit pe coordonatele lor Datorită faptului că produsul vectorial este anticomutativ, iar produsul scalar este comutativ, o rearanjare ciclică a vectorilor într-un produs mixt nu își modifică valoarea. Rearanjarea a doi vectori adiacenți inversează semnul

Produsul mixt al vectorilor este pozitiv dacă formează un triplu drept și negativ dacă formează un triplu stâng.

Proprietățile geometrice ale unui produs mixt 1. Volumul unui paralelipiped construit pe vectori este egal cu modulul produsului mixt al acestor secole torov.2. Volum piramida patruunghiulara egal cu o treime din modulul produsului amestecat 3. Volumul unei piramide triunghiulare este egal cu o șesime din modulul produsului mixt 4. Vectori planari dacă și numai dacă În coordonate, condiția de coplanaritate înseamnă că determinantul este egal cu zero Pentru înțelegere practică, să ne uităm la exemple. Exemplul 1.

Determinați ce triplu (dreapta sau stânga) sunt vectorii

Soluţie.

Să găsim produsul mixt al vectorilor și să aflăm după semn ce triplu de vectori formează

Vectorii formează un triplu dreptaci Vectorii formează trei drepteVectorii formează trei din stânga Acești vectori sunt dependenți liniar. Un produs mixt de trei vectori.

Produsul mixt a trei vectori este numărul

Proprietatea geometrică a unui produs mixt: Teorema 10.1.

Volumul unui paralelipiped construit pe vectori este egal cu modulul produsului mixt al acestor vectori

sau volumul unui tetraedru (piramidă) construit pe vectori este egal cu o șesime din modulul produsului mixt Dovada.

Din geometria elementară se știe că volumul unui paralelipiped este egal cu produsul dintre înălțimea și aria bazei Aria bazei unui paralelipiped S

egală cu aria unui paralelogram construit pe vectori (vezi Fig. 1). Folosind

Orez. 1. Pentru a demonstra Teorema 1. semnificația geometrică a produsului vectorial al vectorilor obținem că
Din aceasta se obtine: Daca triplul vectorilor este stanga, atunci vectorul si vectorul sunt indreptati in directii opuse, atunci sau Astfel, se dovedeste concomitent ca semnul produsului mixt determina orientarea tripletului de vectori. (trila este dreptaci iar tripla este stângaci). Să demonstrăm acum a doua parte a teoremei. Din fig. 2 este evident că volumul unei prisme triunghiulare construite pe trei vectori este egal cu jumătate din volumul unui paralelipiped construit pe acești vectori, adică

Orez. 2. La demonstrarea teoremei 1. Dar prisma este formată din trei piramide de volum egal, OABC ABCD Şi ACDE OABC ABCD Şi. Într-adevăr, volumele piramidelor sunt egale deoarece au suprafețe de bază egale ABCD BCD CDE și aceeași înălțime a scăzut de sus O

. Același lucru este valabil și pentru înălțimile și bazele piramidelor OABC și ACDE. De aici Pentru a lua în considerare un astfel de subiect în detaliu, este necesar să acoperiți mai multe secțiuni. Subiectul este direct legat de termeni precum produsul punctual și produsul vectorial. În acest articol am încercat să dăm definiție precisă

Termen

Pentru a determina care este acest termen, trebuie să luați trei vectori.

Definiția 1

Munca mixta a → , b → și d → este valoarea care este egală cu produsul scalar al lui a → × b → și d → , unde a → × b → este înmulțirea lui a → și b → . Operația de înmulțire a → , b → și d → se notează adesea a → · b → · d → . Puteți transforma formula astfel: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Înmulțirea într-un sistem de coordonate

Putem multiplica vectori dacă sunt specificați pe planul de coordonate.

Să luăm i → , j → , k →

Produsul vectorilor în acest caz particular va avea următoarea formă: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y) + a y · b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

Definiția 2

Pentru a face produsul punctualîn sistemul de coordonate este necesar să se adauge rezultatele obținute în timpul înmulțirii coordonatelor.

Din aceasta rezultă:

a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

De asemenea, putem defini un produs mixt de vectori dacă un sistem de coordonate dat specifică coordonatele vectorilor care sunt înmulțiți.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x - a x a z b x b z · b y b x a x a y z · d x a x a x a x a x a x a x a x a x d y d z

Astfel, putem concluziona că:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Definiția 3

Un produs mixt poate fi echivalat la determinantul unei matrice ale cărei rânduri sunt coordonate vectoriale. Vizual arată astfel: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Proprietăţi ale operaţiilor pe vectori Din trăsăturile care se remarcă într-un produs scalar sau vectorial, putem deriva trăsăturile care caracterizează produsul mixt. Mai jos vă prezentăm principalele proprietăți.

(λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R ;
a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
(a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1) ) → + b (2) →) · d → = a → · b (1) → · d → + a → · b (2) → · d → a → · b → · (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

Pe lângă proprietățile de mai sus, trebuie clarificat faptul că, dacă multiplicatorul este zero, atunci rezultatul înmulțirii va fi și zero.

Rezultatul înmulțirii va fi, de asemenea, zero dacă doi sau mai mulți factori sunt egali.

Într-adevăr, dacă a → = b →, atunci, urmând definiția produsului vectorial [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , deci, produsul mixt este egal cu zero, întrucât ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Dacă a → = b → sau b → = d →, atunci unghiul dintre vectorii [a → × b →] și d → este egal cu π 2. Prin definiția produsului scalar al vectorilor ([ a → × b → ], d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Proprietățile operației de înmulțire sunt cel mai adesea solicitate la rezolvarea problemelor.
Pentru a analiza acest subiect în detaliu, să luăm câteva exemple și să le descriem în detaliu.

Exemplul 1

Demonstrați egalitatea ([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →), unde λ este un număr real.

Pentru a găsi o soluție la această egalitate, partea stângă a acesteia trebuie transformată. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați a treia proprietate a unui produs mixt, care spune:

([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Am văzut că (([ a → × b → ] , b →) = 0 . Rezultă de aici că
([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ], b →) = = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)

Conform primei proprietăți, ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = λ ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) și ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) = 0. Astfel, ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) . De aceea,
([ a ⇀ × b ⇀ ], d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →)

Egalitatea a fost dovedită.

Exemplul 2

Este necesar să se demonstreze că modulul produsului mixt al trei vectori nu este mai mare decât produsul lungimilor acestora.

Soluţie

Pe baza condiției, putem prezenta exemplul sub forma unei inegalități a → × b → , d → ≤ a → · b → · d → .

Prin definiție, transformăm inegalitatea a → × b → , d → = a → × b → · d → · cos (a → × b → ^ , d →) = = a → · b → · sin (a → , b → ^) d → cos ([ a → × b → ^ ] , d)

Folosind funcții elementare, putem concluziona că 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1.

De aici putem concluziona că
(a → × b → , d →) = a → · b → · sin (a → , b →) ^ · d → · cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 d → 1 = a → b → d →

Inegalitatea a fost dovedită.

Analiza sarcinilor tipice

Pentru a determina care este produsul vectorilor, trebuie să cunoașteți coordonatele vectorilor care sunt înmulțiți. Pentru operație, puteți folosi următoarea formulă a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Exemplul 3

Într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, există 3 vectori cu următoarele coordonate: a → = (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → = (3, - 2, 5). Este necesar să se determine cu ce este egal produsul vectorilor indicați a → · b → · d →.

Pe baza teoriei prezentate mai sus, putem folosi regula că produsul mixt poate fi calculat prin determinantul matricei. Va arăta astfel: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

Exemplul 4

Este necesar să se găsească produsul vectorilor i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 · k → , unde i → , j → , k → sunt vectorii unitari ai sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Pe baza condiției că vectorii sunt localizați într-un sistem de coordonate dat, coordonatele lor pot fi derivate: i → + j → = (1, 1, 0) i → + j → - k → = (1, 1, - 1) i → + j → + 2 k → = (1, 1, 2)

Folosim formula care a fost folosită mai sus
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0

De asemenea, este posibil să se determine produsul amestecat folosind lungimea vectorului, care este deja cunoscută, și unghiul dintre ele. Să privim această teză cu un exemplu.

Exemplul 5

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular există trei vectori a →, b → și d →, care sunt perpendiculari unul pe celălalt. Sunt un triplu dreptaci și lungimile lor sunt 4, 2 și 3. Este necesar să se înmulțească vectorii.

Să notăm c → = a → × b → .

Conform regulii, rezultatul înmulțirii vectori scalari este un număr care este egal cu rezultatul înmulțirii lungimilor vectorilor utilizați cu cosinusul unghiului dintre ei. Concluzionăm că a → · b → · d → = ([ a → × b → ], d →) = c → , d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) .

Folosim lungimea vectorului d → specificată în condiția exemplu: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . Este necesar să se determine c → și c → , d → ^ . Prin condiția a →, b → ^ = π 2, a → = 4, b → = 2. Vectorul c → se găsește folosind formula: c → = [ a → × b → ] = a → · b → · sin a → , b → ^ = 4 · 2 · sin π 2 = 8
Putem concluziona că c → este perpendicular pe a → și b → . Vectorii a → , b → , c → vor fi un triplu din dreapta, deci se folosește sistemul de coordonate carteziene. Vectorii c → și d → vor fi unidirecționali, adică c → , d → ^ = 0 . Folosind rezultatele derivate, rezolvăm exemplul a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .

a → · b → · d → = 24 .

Folosim factorii a → , b → și d → .

Vectorii a → , b → și d → provin din același punct. Le folosim ca laturi pentru a construi o siluetă.

Să notăm că c → = [ a → × b → ] . Pentru acest caz putem defini produsul vectorilor ca a → · b → · d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) = c → · n p c → d → , unde n p c → d → este proiecția numerică a vectorului d → pe direcția vectorului c → = [ a → × b → ] .

Valoarea absolută n p c → d → este egală cu numărul, care este, de asemenea, egal cu înălțimea figurii pentru care vectorii a → , b → și d → sunt folosiți ca laturi. Pe baza acestui fapt, trebuie clarificat faptul că c → = [ a → × b → ] este perpendicular pe a → atât vector cât și vector conform definiției înmulțirii vectoriale. Valoarea c → = a → x b → este egală cu aria paralelipipedului construit pe vectorii a → și b → .

Concluzionăm că modulul produsului a → · b → · d → = c → · n p c → d → este egal cu rezultatul înmulțirii ariei bazei cu înălțimea figurii, care este construită pe vectorii a → , b → și d → .

Definiția 4

Valoarea absolută a produsului încrucișat este volumul paralelipipedului: V par l l e l e p i p i d a = a → · b → · d → .

Această formulăși are o semnificație geometrică.

Definiția 5

Volumul unui tetraedru, care este construit pe a →, b → și d →, este egal cu 1/6 din volumul paralelipipedului Se obține, V t e t r a e d a = 1 6 · V par l l e l e p i d a = 1 6 · a → · b → · d → .

Pentru a consolida cunoștințele, să ne uităm la câteva exemple tipice.

Exemplul 6

Este necesar să găsiți volumul unui paralelipiped, ale cărui laturi sunt A B → = (3, 6, 3), A C → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2) , specificat într-un sistem de coordonate dreptunghiular . Volumul unui paralelipiped poate fi găsit folosind formula valorii absolute. Din aceasta rezultă: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 - 3 · 3 · 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

Atunci, V par l l e l e p i p e d a = - 18 = 18 .

V p a r l l e l e p i p i d a = 18

Exemplul 7

Sistemul de coordonate conține punctele A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1). Este necesar să se determine volumul tetraedrului care se află în aceste puncte.

Să folosim formula V t e t r a e d r a = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Putem determina coordonatele vectorilor din coordonatele punctelor: A B → = (3 - 0, - 1 - 1, 5 - 0) = (3, - 2, 5) A C → = (1 - 0, 0 - 1) , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) A D → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)

În continuare, determinăm produsul mixt A B → A C → A D → prin coordonatele vectoriale: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 - 5 · (- 1) · (- 2) - (- 2) · 1 · 1 - 3 · 3 · 2 = - 7 Volumul V t et r a e d r a = 1 6 · - 7 = 7 6 .

V t e t r a e d r a = 7 6 .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Produs mixt (sau vector-scalar). trei vectori a, b, c (luați în ordinea indicată) se numesc produsul scalar al vectorului a și produsul vectorial b x c, adică numărul a(b x c), sau, ceea ce este același, (b x c)a.
Denumire: abc.

Scop. Calculatorul online este conceput pentru a calcula produsul mixt al vectorilor. Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word. În plus, un șablon de soluție este creat în Excel.

Semne de coplanaritate ale vectorilor

Trei vectori (sau număr mai mare) se numesc coplanare dacă ele, reducându-se la o origine comună, se află în același plan.
Dacă cel puțin unul dintre cei trei vectori este zero, atunci cei trei vectori sunt de asemenea considerați coplanari.

Semn de coplanaritate. Dacă sistemul a, b, c este dreptaci, atunci abc>0 ; dacă rămâne, atunci abc Semnificația geometrică a produsului mixt. Produsul mixt abc a trei vectori necoplanari a, b, c este egal cu volumul paralelipipedului construit pe vectorii a, b, c, luat cu semnul plus dacă sistemul a, b, c este dreptaci. , și cu semnul minus dacă acest sistem este stângaci.

Proprietățile unui produs mixt

Când factorii sunt rearanjați circular, produsul mixt nu se modifică atunci când doi factori sunt rearanjați, semnul este inversat: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
Rezultă din sensul geometric.
(a+b)cd=acd+bcd ( proprietate distributivă). Se extinde la orice număr de termeni.
Rezultă din definiția unui produs mixt.
(ma)bc=m(abc) ( proprietate asociativă raportat la factorul scalar).
Rezultă din definiția unui produs mixt. Aceste proprietăți fac posibilă aplicarea transformărilor produselor mixte care diferă de cele algebrice obișnuite doar prin aceea că ordinea factorilor poate fi modificată doar ținând cont de semnul produsului.
Un produs mixt care are cel puțin doi factori egali este egal cu zero: aab=0.

Exemplul nr. 1. Găsiți un produs mixt.

ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Exemplul nr. 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. Toți termenii, cu excepția celor doi extremi, sunt egali cu zero. De asemenea, bca=abc . Prin urmare (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .
Soluţie Exemplul nr. 3. Calculați produsul mixt a trei vectori a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.

. Pentru a calcula produsul mixt al vectorilor, este necesar să se găsească determinantul unui sistem compus din coordonate vectoriale. Să scriem sistemul în formă. 8.1. Definiții ale unui produs mixt, al acestuia

sens geometric Se consideră produsul vectorilor a, b

și c, compusă după cum urmează: (a xb) c. Aici primii doi vectori sunt înmulțiți vectorial, iar rezultatul lor înmulțit scalar cu al treilea vector. Un astfel de produs se numește un produs vector-scalar, sau mixt, a trei vectori. Se consideră produsul vectorilor a, Produsul amestecat reprezintă un număr.

Să aflăm semnificația geometrică a expresiei (a xb)*c. Să construim un paralelipiped ale cărui muchii sunt vectorii a, b, c și vectorul d = a x (vezi Fig. 22). Avem: (a x b) c = d c = |d | (vezi Fig. 22). pr (vezi Fig. 22). d cu , |d |=|a x b | =S, unde S este aria unui paralelogram construit pe vectorii a și b, pr= Н Pentru triplul drept al vectorilor etc. , |d |=|a x b | =S, unde S este aria unui paralelogram construit pe vectorii a și b, pr= - H pentru stânga, unde H este înălțimea paralelipipedului. Primim: ( Se consideră produsul vectorilor a, axb

)*c =S *(±H), adică (

)*c =±V, unde V este volumul paralelipipedului format din vectorii a,

1. Produsul mixt nu se modifică atunci când factorii săi sunt rearanjați ciclic, adică (a x b) c =( Se consideră produsul vectorilor a, x c) a = (c x a) b.

Într-adevăr, în acest caz nu se modifică nici volumul paralelipipedului, nici orientarea marginilor acestuia

2. Produsul mixt nu se schimbă atunci când semnele înmulțirii vectoriale și scalare sunt schimbate, adică (a xb) c =a *( b x Cu ).

Într-adevăr, (a xb) c =±V și a (b xc)=(b xc) a =±V. Luăm același semn în partea dreaptă a acestor egalități, deoarece triplele vectorilor a, b, c și b, c, a sunt de aceeași orientare.

Prin urmare, (a xb) c =a (b xc). Acest lucru vă permite să scrieți produsul mixt al vectorilor (a x b)c sub forma abc fără semne de multiplicare vectorială și scalară.

3. Produsul mixt își schimbă semnul la schimbarea locurilor oricăror doi vectori factori, adică abc = -acb, abc = -bac, abc = -cba.

Într-adevăr, o astfel de rearanjare este echivalentă cu rearanjarea factorilor dintr-un produs vectorial, schimbarea semnului produsului.

4. Produsul mixt al vectorilor nenuli a, b și c este egal cu zero ori de câte ori și numai dacă sunt coplanari.

Dacă abc =0, atunci a, b și c sunt coplanare.

Să presupunem că nu este cazul. Ar fi posibil să se construiască un paralelipiped cu volumul V ¹ 0. Dar deoarece abc =±V , am obține acel abc ¹ 0 . Aceasta contrazice condiția: abc =0 .

Dimpotrivă, fie vectorii a, b, c coplanari. Atunci vectorul d =a x Se consideră produsul vectorilor a, va fi perpendicular pe planul în care se află vectorii a, b, c și, prin urmare, d ^ c. Prin urmare, d c =0, adică abc =0.

8.3. Exprimarea unui produs mixt în termeni de coordonate

Să fie dați vectorii a =a x i +a y j+a z k, b = b x i+b y j+b z k, с =c x i+c y j+c z k. Să găsim produsul lor mixt folosind expresii în coordonate pentru produsele vectoriale și scalare:

Formula rezultată poate fi scrisă mai pe scurt:

întrucât partea dreaptă a egalității (8.1) este o expansiune a determinantului ordinul al treilea prin elemente din al treilea rând.

Deci, produsul mixt al vectorilor este egal cu determinantul de ordinul trei, compus din coordonatele vectorilor înmulțiți.

8.4.

Unele aplicații de produse mixte

Determinarea orientării relative a vectorilor în spațiu Se consideră produsul vectorilor a, Determinarea orientării relative a vectorilor a,<0 , то а , b , с - левая тройка.

iar c se bazează pe următoarele considerații. Dacă abc > 0, atunci a, b, c sunt un triplu drept; dacă abc

Stabilirea coplanarității vectorilor Se consideră produsul vectorilor a, Vectorii a,

Determinarea volumelor unui paralelipiped și a unei piramide triunghiulare

Este ușor de arătat că volumul unui paralelipiped construit pe vectorii a, Se consideră produsul vectorilor a, iar c se calculează ca V =|abc |, iar volumul unei piramide triunghiulare construite pe aceiași vectori este egal cu V =1/6*|abc |.

Exemplul 6.3.

Vârfurile piramidei sunt punctele A(1; 2; 3), B(0; -1; 1), C(2; 5; 2) și D (3; 0; -2). Aflați volumul piramidei.

Soluţie: Găsim vectorii a, Se consideră produsul vectorilor a, este:

a=AB =(-1;-3;-2), b =AC=(1;3;-1), c=AD =(2; -2; -5).

Găsim Se consideră produsul vectorilor a, si cu:

=-1 (-17)+3 (-3)-2 (-8)=17-9+16=24.

Prin urmare, V =1/6*24=4

Acest calculator online calculează produsul mixt al vectorilor. Se oferă o soluție detaliată. Pentru a calcula produsul mixt al vectorilor, selectați metoda de reprezentare a vectorilor (prin coordonate sau prin două puncte), introduceți datele în celule și faceți clic pe butonul „Calculați”.

Avertizare

Ștergeți toate celulele?

Închide Clear

Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623, etc.), zecimale (ex. 67., 102.54, etc.) sau fracții. Fracția trebuie introdusă sub forma a/b, unde a și b (b>0) sunt numere întregi sau zecimale. Exemplele 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 etc.

Produsul mixt al vectorilor (teorie)

Munca mixta trei vectori este numărul care se obține prin produsul scalar al rezultatului produsului vectorial al primilor doi vectori și al celui de-al treilea vector. Cu alte cuvinte, dacă sunt dați trei vectori a, b ABCD c, apoi pentru a obține produsul mixt al acestor vectori, mai întâi se înmulțesc primii doi vectori și vectorul rezultat [ ab] este înmulțită scalar cu vectorul c.

Produs mixt a trei vectori a, b ABCD c notată după cum urmează: abc sau cam asa ceva ( a,b,c). Apoi putem scrie:

abc=([ab],c)

Înainte de a formula o teoremă care să reprezinte semnificația geometrică a unui produs mixt, familiarizați-vă cu conceptele de triplu drept, triplu stâng, sistem de coordonate dreapta, sistem de coordonate stânga (definițiile 2, 2" și 3 pe pagina produs vectorial al vectorilor online).

Pentru certitudine, în cele ce urmează vom lua în considerare numai sistemele de coordonate drepte.

Teorema 1. Produs mixt al vectorilor ([ab],c) este egal cu volumul unui paraleliped construit pe vectori reduși la o origine comună a, b, c, luat cu semnul plus, dacă trei a, b, c dreapta și cu semnul minus dacă trei a, b, c stânga Dacă vectorii a, b, c sunt coplanare, atunci ([ ab],c) este egal cu zero.

Corolarul 1. Următoarea egalitate este valabilă:

Prin urmare, este suficient să dovedim asta

([ab],c)=([bc],o)

(3)

Din expresia (3) este clar că părțile din stânga și din dreapta sunt egale cu volumul paralelipedului. Dar semnele părților drepte și stângi coincid, deoarece triplele vectorilor abc ABCD bca au aceeasi orientare.

Egalitatea dovedită (1) ne permite să scriem produsul mixt a trei vectori a, b, c doar sub formă abc, fără a specifica care doi vectori sunt înmulțiți vectorial cu primii doi sau cu ultimii doi.

Corolarul 2. Necesar și condiție suficientă Coplanaritatea a trei vectori este egalitatea produsului lor mixt cu zero.

Demonstrarea rezultă din teorema 1. Într-adevăr, dacă vectorii sunt coplanari, atunci produsul mixt al acestor vectori este egal cu zero. În schimb, dacă produsul mixt este egal cu zero, atunci coplanaritatea acestor vectori rezultă din teorema 1 (deoarece volumul unui paraleliped construit pe vectori reduși la o origine comună este egal cu zero).

Corolarul 3. Produsul mixt a trei vectori, dintre care doi coincid, este egal cu zero.

într-adevăr. Dacă doi dintre cei trei vectori coincid, atunci ei sunt coplanari. Prin urmare, produsul mixt al acestor vectori este egal cu zero.

Produs mixt al vectorilor în coordonate carteziene

Teorema 2. Fie trei vectori a, b ABCD c definite de coordonatele lor dreptunghiulare carteziene

Dovada. Munca mixta abc egal cu produsul scalar al vectorilor [ ab] Și c. Produsul încrucișat al vectorilor [ ab] în coordonate carteziene se calculează prin formula ():

Ultima expresie poate fi scrisă folosind determinanți de ordinul doi:

este necesar și suficient ca determinantul să fie egal cu zero, ale cărui rânduri sunt umplute cu coordonatele acestor vectori, adică:

(7)

Pentru a demonstra corolarul, este suficient să luăm în considerare formula (4) și Corolarul 2.

Produs mixt de vectori cu exemple

Exemplul 1. Găsiți un produs mixt de vectori abс, Unde

Produs mixt al vectorilor a, b, c egal cu determinantul matricei L. Să calculăm determinantul matricei L, extinzând determinantul de-a lungul liniei 1:

Punctul final al vectorului o.