Obiectivele lecției:

Educativ: formulați și demonstrați teorema lui Pitagora și teorema inversă a teoremei lui Pitagora. Arătați semnificația lor istorică și practică.

Dezvoltare: dezvoltarea atenției, memoriei, gândire logică elevilor, capacitatea de a raționa, compara, trage concluzii.

Educativ: pentru a cultiva interesul și dragostea pentru subiect, acuratețea, capacitatea de a asculta camarazi și profesori.

Echipament: Portretul lui Pitagora, postere cu sarcini de consolidare, manual „Geometrie” pentru clasele 7-9 (I.F. Sharygin).

Planul lecției:

eu. Moment organizatoric– 1 min.

II. Verificarea temelor – 7 min.

III. Discurs introductiv al profesorului, context istoric – 4-5 min.

IV. Formularea și demonstrarea teoremei lui Pitagora – 7 min.

V. Formularea și demonstrarea teoremei inverse la teorema lui Pitagora – 5 min.

Consolidarea materialului nou:

a) orală – 5-6 minute.
b) scris – 7-10 minute.

VII. Tema pentru acasă – 1 min.

VIII. Rezumatul lecției – 3 min.

Progresul lecției

I. Moment organizatoric.

II. Verificarea temelor.

clauza 7.1, nr. 3 (la tabla conform desenului finit).

Stare: Altitudinea unui triunghi dreptunghic împarte ipotenuza în segmente de lungime 1 și 2. Aflați catetele acestui triunghi.

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1 ; DA = b 1 ; CD = hC

Întrebare suplimentară: scrieți rapoartele într-un triunghi dreptunghic.

Secțiunea 7.1, nr. 5. Tăiat triunghi dreptunghicîn trei triunghiuri asemănătoare.

Explica.

ASN ~ ABC ~ SVN

(atrageți atenția elevilor asupra corectitudinii scrierii vârfurilor corespunzătoare ale triunghiurilor similare)

III. Discurs introductiv al profesorului, context istoric.

Adevărul va rămâne etern de îndată ce o persoană slabă îl va recunoaște!

Și acum teorema lui Pitagora este adevărată, ca în epoca lui îndepărtată.

Nu întâmplător mi-am început lecția cu cuvintele romancierului german Chamisso. Lecția noastră de astăzi este despre teorema lui Pitagora. Să scriem subiectul lecției.

În fața ta este un portret al marelui Pitagora. Născut în 576 î.Hr. După ce a trăit 80 de ani, a murit în 496 î.Hr. Cunoscut ca filozof și profesor grec antic. Era fiul negustorului Mnesarchus, care îl ducea adesea în călătorii, datorită cărora băiatul a dezvoltat curiozitatea și dorința de a învăța lucruri noi. Pitagora este o poreclă dată lui pentru elocvența sa („Pythagoras” înseamnă „persuasiv prin vorbire”). El însuși nu a scris nimic. Toate gândurile lui au fost înregistrate de studenții săi. Ca urmare a primei prelegeri pe care a ținut-o, Pitagora a dobândit 2000 de elevi, care, împreună cu soțiile și copiii lor, au format o școală uriașă și au creat un stat numit „Grecia Mare”, care se baza pe legile și regulile lui Pitagora, venerat. ca porunci divine. El a fost primul care a numit raționamentul său despre sensul vieții filozofie (filosofie). Era predispus la mistificare și comportament demonstrativ. Într-o zi, Pitagora s-a ascuns în subteran și a aflat despre tot ce se întâmpla de la mama lui. Apoi, ofilit ca un schelet, el a declarat într-o întâlnire publică că a fost în Hades și a arătat o conștientizare uimitoare a evenimentelor pământești. Pentru aceasta, locuitorii atinși l-au recunoscut drept Dumnezeu. Pitagora nu a plâns niciodată și a fost în general inaccesibil pasiunilor și entuziasmului. El credea că provine dintr-o sămânță care era mai bună decât una umană. Întreaga viață a lui Pitagora este o legendă care a ajuns până la vremea noastră și ne-a vorbit despre cel mai talentat om al lumii antice.

IV. Formularea și demonstrarea teoremei lui Pitagora.

Cunoști formularea teoremei lui Pitagora din cursul tău de algebră. Să ne amintim de ea.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Cu toate acestea, această teoremă era cunoscută cu mulți ani înainte de Pitagora. Cu 1500 de ani înainte de Pitagora, vechii egipteni știau că un triunghi cu laturile 3, 4 și 5 este dreptunghiular și au folosit această proprietate pentru a construi unghiuri drepte atunci când planifica. terenuriși construcția de clădiri. În cea mai veche lucrare chineză de matematică și astronomie care a ajuns până la noi, „Zhiu-bi”, scrisă cu 600 de ani înainte de Pitagora, printre alte propuneri referitoare la triunghiul dreptunghic, este conținută teorema lui Pitagora. Chiar și mai devreme această teoremă era cunoscută hindușilor. Astfel, Pitagora nu a descoperit această proprietate a unui triunghi dreptunghic el a fost probabil primul care a generalizat-o și a dovedit-o, care a transferat-o din domeniul practicii în domeniul științei;

CU timpuri străvechi matematicienii găsesc din ce în ce mai multe dovezi ale teoremei lui Pitagora. Sunt cunoscute peste o sută și jumătate dintre ele. Să ne amintim de demonstrația algebrică a teoremei lui Pitagora, cunoscută nouă din cursul de algebră. („Matematică. Algebră. Funcții. Analiza datelor” G.V. Dorofeev, M., „Drofa”, 2000).

Invitați elevii să-și amintească dovada desenului și să o scrie pe tablă.

(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Vechii hinduși, cărora le aparține acest raționament, de obicei nu l-au notat, ci au însoțit desenul cu un singur cuvânt: „Uite”.

Să considerăm într-o prezentare modernă una dintre dovezile aparținând lui Pitagora. La începutul lecției, ne-am amintit teorema despre relațiile într-un triunghi dreptunghic:

h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c

Să adăugăm ultimele două egalități termen cu termen:

b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2 ; a 2 + b 2 = c 2

În ciuda simplității aparente a acestei dovezi, este departe de a fi cea mai simplă. La urma urmei, pentru aceasta a fost necesar să se deseneze înălțimea într-un triunghi dreptunghic și să se ia în considerare triunghiuri similare. Vă rugăm să scrieți aceste dovezi în caiet.

V. Formularea și demonstrarea teoremei invers cu teorema lui Pitagora.

Ce teoremă se numește inversul acestei teoreme? (...dacă condiția și concluzia sunt inversate.)

Să încercăm acum să formulăm teorema inversă cu teorema lui Pitagora.

Dacă într-un triunghi cu laturile a, b și c egalitatea c 2 = a 2 + b 2 este îndeplinită, atunci acest triunghi este dreptunghic, iar unghiul drept este opus laturii c.

(Dovada teoremei inverse pe poster)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Dovedi:

ABC - dreptunghiular,

Dovada:

Considerăm un triunghi dreptunghic A 1 B 1 C 1,

unde C 1 = 90°, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

Apoi, după teorema lui Pitagora, B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2.

Adică B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC pe trei laturi ABC este dreptunghiular

C = 90°, ceea ce trebuia demonstrat.

VI. Consolidarea materialului studiat (oral).

1. Pe baza unui afiș cu desene gata făcute.

Fig. 1: găsiți AD dacă ВD = 8, ВDA = 30°.

Fig.2: găsiți CD dacă BE = 5, BAE = 45°.

Fig.3: găsiți BD dacă BC = 17, AD = 16.

2. Este un triunghi dreptunghiular dacă laturile sale sunt exprimate prin numere:

5 2 + 6 2 ? 7 2 (nu)	9 2 + 12 2 = 15 2 (da)	15 2 + 20 2 = 25 2 (da)

Cum se numesc tripletele numerelor din ultimele două cazuri? (Pitagorean).

VI. Rezolvarea problemelor (în scris).

Nr. 9. Latura unui triunghi echilateral este egală cu a. Găsiți înălțimea acestui triunghi, raza cercului circumscris și raza cercului înscris.

Nr. 14. Demonstrați că într-un triunghi dreptunghic raza cercului circumscris este egală cu mediana trasată la ipotenuză și egală cu jumătate din ipotenuză.

VII. Teme pentru acasă.

Paragraful 7.1, pp. 175-177, examinați Teorema 7.4 (teorema lui Pitagora generalizată), nr. 1 (oral), nr. 2, nr. 4.

VIII. Rezumatul lecției.

Ce nou ai învățat în clasă astăzi? …………

Pitagora a fost în primul rând un filozof. Acum vreau să vă citesc câteva dintre spusele lui, care sunt încă relevante în timpul nostru pentru tine și pentru mine.

• Nu ridica praf pe calea vieții.
• Fă doar ceea ce nu te va supăra mai târziu și nu te va forța să te pocăiești.
• Nu face niciodată ceea ce nu știi, ci învață tot ce trebuie să știi și atunci vei duce o viață liniștită.
• Nu închide ochii când vrei să dormi, fără să fi rezolvat toate acțiunile din ziua trecută.
• Învață să trăiești simplu și fără lux.

Este remarcabil faptul că proprietatea specificată în teorema lui Pitagora este o proprietate caracteristică a unui triunghi dreptunghic. Aceasta rezultă din teorema inversă la teorema lui Pitagora.

Teoremă: Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.

Formula lui Heron

Să derivăm o formulă care exprimă planul unui triunghi în termenii lungimii laturilor sale. Această formulă este asociată cu numele de Heron din Alexandria - un matematician și mecanic grec antic care a trăit probabil în secolul I d.Hr. Heron a acordat multă atenție aplicațiilor practice ale geometriei.

Teorema. Aria S a unui triunghi ale cărui laturi sunt egale cu a, b, c se calculează prin formula S=, unde p este semiperimetrul triunghiului.

Dovada.

Având în vedere: ?ABC, AB= c, BC= a, AC= b Unghiurile A și B sunt acute. CH - înălțime.

Dovedi:

Dovada:

Considerăm triunghiul ABC, în care AB=c, BC=a, AC=b. Fiecare triunghi are cel puțin două unghiuri ascuțite. Fie A și B unghiuri ascuțite ale triunghiului ABC. Atunci baza H a altitudinii CH a triunghiului se află pe latura AB. Să introducem următoarea notație: CH = h, AH=y, HB=x. prin teorema lui Pitagora a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2, de unde

Y 2 - x 2 = b 2 - a 2, sau (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, și deoarece y + x = c, atunci y- x = (b2 - a2).

Adunând ultimele două egalități, obținem:

2y = +c, de unde

y= și, prin urmare, h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=

Soluția problemei:

252 = 242 + 72, ceea ce înseamnă că triunghiul este dreptunghic și aria lui este egală cu jumătate din produsul catetelor sale, adică. S = hс * с: 2, unde с este ipotenuza, hс ​​este înălțimea trasă la ipotenuză, apoi hс = = = 6,72 (cm)

Raspuns: 6,72 cm.

Scopul etapei:

Slide numărul 4

„4” - 1 răspuns incorect

„3” - răspunsurile sunt incorecte.

Sugerez sa faci:

Slide numărul 5

Scopul etapei:

La sfârșitul lecției:

Pe tablă sunt scrise următoarele fraze:

Lecția este utilă, totul este clar.

Mai trebuie să muncești din greu.

Da, este încă greu de studiat!

Vizualizați conținutul documentului
„Proiect de lecție de matematică „Teorema inversă teoremei lui Pitagora””

Proiectul de lecție „Teorema” inversul teoremei Pitagora"

O lecție de „descoperire” de noi cunoștințe

Obiectivele lecției:

activitate: dezvoltarea la elevi a capacității de a construi independent noi metode de acțiune bazate pe metoda autoorganizarii reflexive;

educativ: extinderea bazei conceptuale prin includerea de noi elemente în ea.

Etapa de motivare activitati educative(5 min)

Salutarea reciprocă a profesorului și a elevilor, verificarea pregătirii pentru lecție, organizarea atenției și pregătirea internă, integrarea rapidă a elevilor în ritmul de afaceri prin rezolvarea problemelor folosind desene gata făcute:

Găsiți BC dacă ABCD este un romb.

ABCD este un dreptunghi. AB:AD = 3:4. Găsiți AD.

Găsiți AD.

Găsiți AB.

Găsiți soarele.

Răspunsuri la probleme bazate pe desene gata făcute:

1.BC = 3; 2.BP = 4cm; 3.AB = 3√2cm.

Etapa „descoperirii” de noi cunoștințe și metode de acțiune (15 min)

Scopul etapei: formularea temei și a obiectivelor lecției folosind dialogul introductiv (tehnica „situației problematice”).

Formulați afirmații contrare datelor și aflați dacă sunt adevărate:diapozitivul numărul 1

În acest din urmă caz, elevii pot formula o afirmație care este opusă celei date.

Instrucțiuni pentru lucrul în perechi pentru a studia demonstrația teoremei inverse teoremei lui Pitagora.

Instruiesc elevii despre metoda de activitate, despre amplasarea materialului.

Misiunea pentru cupluri: diapozitivul numărul 2

Lucru independent în perechi pentru a studia demonstrarea teoremei inverse teoremei lui Pitagora. Protecția publică a probelor.

Una dintre perechi își începe prezentarea enunțând teorema. Există o discuție activă a dovezii, în timpul căreia una sau alta opțiune este justificată cu ajutorul întrebărilor din partea profesorului și a elevilor.

Compararea demonstrației teoremei cu demonstrația profesorului

Profesorul lucrează la tablă, adresându-se elevilor care lucrează în caiete.

Dat: ABC – triunghi, AB 2 = AC 2 + BC 2

Aflați dacă ABC este dreptunghiular. Dovada:

Se consideră A 1 B 1 C 1 astfel încât ˂C = 90 0, A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC. Apoi, după teorema lui Pitagora, A 1 B 1 2 = A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2.

Deoarece A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, atunci: A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2 = AC 2 + BC 2 = AB 2, deci, AB 2 = A 1 B 1 2 și AB = A 1 B 1.

A 1 B 1 C 1 = ABC pe trei laturi, de unde ˂С = ˂С 1 = 90 0, adică ABC este dreptunghiular. Deci, dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.

Această afirmație se numește o teoremă inversă cu teorema lui Pitagora.

Vorbind în public unul dintre elevi Triunghiuri pitagoreice(informații pregătite în prealabil).

Slide numărul 3

După informații, le pun elevilor câteva întrebări.

Următoarele triunghiuri sunt triunghiuri pitagoreice?

cu ipotenuza 25 si cateta 15;

cu picioarele 5 și 4?

Etapa de consolidare primară cu pronunție în vorbire externă (10 min)

Scopul etapei: demonstrați aplicarea teoremei inverse la teorema lui Pitagora în procesul de rezolvare a problemelor.

Propun să rezolvăm problema nr. 499 a) din manual. Unul dintre elevi este invitat la tablă, rezolvă problema cu ajutorul profesorului și al elevilor, pronunțând soluția în vorbire externă. În timpul prezentării studentului invitat, pun câteva întrebări:

Cum se verifică dacă un triunghi este corect?

În ce parte va fi trasă altitudinea mai mică a triunghiului?

Ce metodă de calcul a înălțimii unui triunghi este adesea folosită în geometrie?

Folosind formula pentru calcularea ariei unui triunghi, găsiți înălțimea dorită.

Soluția problemei:

25 2 = 24 2 + 7 2, ceea ce înseamnă că triunghiul este dreptunghic și aria sa este egală cu jumătate din produsul catetelor sale, adică. S = h с * с: 2, unde с este ipotenuza, h с este înălțimea trasă la ipotenuză, apoi h с = = = 6,72 (cm)

Raspuns: 6,72 cm.

Etapa de lucru independent cu autotestare conform standardului (10 min)

Scopul etapei:îmbunătăţi activitate independentă la clasă, efectuând autotestări, învață să evalueze activitățile, să analizeze și să tragă concluzii.

Oferit munca independenta cu o propunere de a vă evalua în mod adecvat munca și de a acorda o evaluare adecvată.

Slide numărul 4

Criterii de notare: „5” - toate răspunsurile sunt corecte

„4” - 1 răspuns incorect

„3” - răspunsurile sunt incorecte.

Etapa de informare a elevilor despre teme pentru acasă, instrucțiuni privind implementarea acestuia (3 min).

Îi informez pe elevi cu privire la temele lor, le explic cum să le finalizeze și le verific înțelegerea conținutului lucrării.

Sugerez sa faci:

Slide numărul 5

Etapa de reflecție a activităților educaționale din lecție (2 min)

Scopul etapei:Învățați elevii să își evalueze disponibilitatea de a detecta ignoranța, de a găsi cauzele dificultăților și de a determina rezultatul activităților lor.

În această etapă, invit fiecare elev să aleagă doar unul dintre băieții cărora aș dori să le mulțumesc pentru cooperare și să explic cum exact s-a manifestat această cooperare.

Cuvântul de mulțumire al profesorului este definitiv. În același timp, îi aleg pe cei care au primit cel mai mic număr de complimente.

La sfârșitul lecției:

Pe tablă sunt scrise următoarele fraze:

Lecția este utilă, totul este clar.

Există un singur lucru care este puțin neclar.

Mai trebuie să muncești din greu.

Da, este încă greu de studiat!

Copiii vin și pun un semn (bifează) lângă cuvintele care li se potrivesc cel mai bine la sfârșitul lecției.

Luarea în considerare a subiectelor programa școlară Folosirea lecțiilor video este o modalitate convenabilă de a studia și stăpâni materialul. Videoclipul ajută la concentrarea atenției elevilor asupra principalelor concepte teoretice și să nu rateze detalii importante. Dacă este necesar, elevii pot oricând să asculte din nou lecția video sau să revină la mai multe subiecte.

Această lecție video pentru clasa a VIII-a îi va ajuta pe elevi să învețe subiect nouîn geometrie.

ÎN subiectul anterior Am studiat teorema lui Pitagora și i-am analizat demonstrația.

Există, de asemenea, o teoremă care este cunoscută sub numele de teorema inversă a lui Pitagora. Să aruncăm o privire mai atentă.

Teorema. Un triunghi este dreptunghic dacă are următoarea egalitate: valoarea unei laturi a triunghiului la pătrat este aceeași cu suma celorlalte două laturi la pătrat.

Dovada. Să presupunem că ni se dă un triunghi ABC, în care este valabilă egalitatea AB 2 = CA 2 + CB 2. Este necesar să se demonstreze că unghiul C este egal cu 90 de grade. Considerăm un triunghi A 1 B 1 C 1 în care unghiul C 1 este egal cu 90 de grade, latura C 1 A 1 este egală cu CA și latura B 1 C 1 este egală cu BC.

Aplicând teorema lui Pitagora, scriem raportul laturilor din triunghiul A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Prin înlocuirea expresiei cu laturi egale, obținem A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2.

Din condițiile teoremei știm că AB 2 = CA 2 + CB 2. Atunci putem scrie A 1 B 1 2 = AB 2, din care rezultă că A 1 B 1 = AB.

Am constatat că în triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1 trei laturi sunt egale: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Deci aceste triunghiuri sunt egale. Din egalitatea triunghiurilor rezultă că unghiul C egal cu unghiul C 1 și, respectiv, egal cu 90 de grade. Am stabilit că triunghiul ABC este dreptunghic și unghiul său C este de 90 de grade. Am demonstrat această teoremă.

În continuare, autorul dă un exemplu. Să presupunem că ni se dă un triunghi arbitrar. Se cunosc dimensiunile laturilor sale: 5, 4 și 3 unități. Să verificăm afirmația din teorema inversă teoremei lui Pitagora: 5 2 = 3 2 + 4 2. Afirmația este adevărată, ceea ce înseamnă că acest triunghi este dreptunghic.

În următoarele exemple, triunghiurile vor fi și triunghiuri dreptunghiulare dacă laturile lor sunt egale:

5, 12, 13 unități; egalitatea 13 2 = 5 2 + 12 2 este adevărată;

8, 15, 17 unități; egalitatea 17 2 = 8 2 + 15 2 este adevărată;

7, 24, 25 unități; egalitatea 25 2 = 7 2 + 24 2 este adevărată.

Conceptul de triunghi pitagoreic este cunoscut. Acesta este un triunghi dreptunghic ale cărui laturi sunt egale cu numere întregi. Dacă catetele triunghiului lui Pitagora sunt notate cu a și c, iar ipotenuza cu b, atunci valorile laturilor acestui triunghi pot fi scrise folosind următoarele formule:

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

unde m, n, k sunt oricare numere naturale, iar valoarea lui m este mai mare decât valoarea lui n.

Fapt interesant: un triunghi cu laturile 5, 4 și 3 este numit și triunghi egiptean un astfel de triunghi era cunoscut în Egiptul Antic.

În această lecție video am învățat teorema inversă cu teorema lui Pitagora. Am examinat dovezile în detaliu. Elevii au învățat și care triunghiuri se numesc triunghiuri pitagoreice.

Elevii se pot familiariza cu ușurință cu subiectul „Teorema inversă a lui Pitagora” cu ajutorul acestei lecții video.

Teorema lui Pitagora- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia

între laturile unui triunghi dreptunghic.

Se crede că a fost dovedit de matematicianul grec Pitagora, după care a primit numele.

Formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.

Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:

Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor,

construit pe picioare.

Formularea algebrică a teoremei lui Pitagora.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.

Adică, notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu c, iar lungimile picioarelor prin oŞi b:

Ambele formulări Teorema lui Pitagora sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu

necesită conceptul de zonă. Adică a doua afirmație poate fi verificată fără să știe nimic despre zonă și

măsurând numai lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Conversați teorema lui Pitagora.

Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci

triunghi dreptunghic.

Sau, cu alte cuvinte:

Pentru fiecare triplu de numere pozitive o, bŞi c, astfel încât

există un triunghi dreptunghic cu catete oŞi b si ipotenuza c.

Teorema lui Pitagora pentru un triunghi isoscel.

Teorema lui Pitagora pentru un triunghi echilateral.

Demonstrații ale teoremei lui Pitagora.

Pe în acest moment V literatura stiintifica Au fost înregistrate 367 de dovezi ale acestei teoreme. Probabil teorema

Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de dovezi. O asemenea diversitate

poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.

Desigur, conceptual toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai faimoase dintre ele:

dovada metoda zonei, axiomaticŞi dovezi exotice(De exemplu,

prin folosire ecuații diferențiale).

1. Demonstrarea teoremei lui Pitagora folosind triunghiuri similare.

Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezile construite

direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.

Lasă ABC există un triunghi dreptunghic cu un unghi drept C. Să tragem înălțimea de la C si denota

întemeierea ei prin H.

Triunghi ACH asemănător cu un triunghi AB C la două colțuri. La fel, triunghiul CBH asemănătoare ABC.

Prin introducerea notației:

obținem:

,

care corespunde cu -

Îndoit o 2 și b 2, obținem:

sau , care este ceea ce trebuia dovedit.

2. Demonstrarea teoremei lui Pitagora folosind metoda ariei.

Dovezile de mai jos, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toate

folosiți proprietățile ariei, ale căror demonstrații sunt mai complexe decât demonstrația teoremei lui Pitagora în sine.

• Dovada prin echicomplementaritate.

Să aranjam patru dreptunghiulare egale

triunghi așa cum se arată în figură

corect.

Patraunghi cu laturi c- pătrat,

din moment ce suma a doi colțuri ascuțite 90°, a

unghi desfășurat - 180°.

Aria întregii figuri este, pe de o parte,

aria unui pătrat cu latura ( a+b), iar pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și

Q.E.D.

3. Demonstrarea teoremei lui Pitagora prin metoda infinitezimală.

​

Privind desenul prezentat în figură și

privind schimbarea lateralăo, Putem

scrie următoarea relație pentru infinit

mic incremente lateraleCuŞi o(folosind asemănarea

triunghiuri):

Folosind metoda separării variabilelor, găsim:

O expresie mai generală pentru modificarea ipotenuzei în cazul creșterilor de ambele părți:

Integrarea ecuația datăși folosind condițiile inițiale, obținem:

Astfel ajungem la răspunsul dorit:

După cum este ușor de văzut, dependența pătratică în formula finală apare datorită liniarului

proporționalitatea dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma este raportată la independent

contribuții din creșterea diferitelor picioare.

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere

(V în acest caz, picior b). Atunci pentru constanta de integrare obținem: