Cum se demonstrează că o funcție este pară. Proprietățile de bază ale unei funcții: paritate, neobișnuit, periodicitate, mărginire. Proprietățile de bază ale funcțiilor

Chiar și funcție.

O funcție al cărei semn nu se schimbă atunci când semnul se schimbă se numește par. x.

x egalitatea este valabilă f(–x) = f(x). Semn x nu afectează semnul y.

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa de coordonate (Fig. 1).

Exemple de funcție pare:

y=cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Explicaţie:
Să luăm funcția y = x 2 sau y = –x 2 .
Pentru orice valoare x functia este pozitiva. Semn x nu afectează semnul y. Graficul este simetric față de axa de coordonate. Aceasta este o funcție uniformă.

Funcție ciudată.

O funcție al cărei semn se schimbă atunci când semnul se schimbă se numește impar. x.

Cu alte cuvinte, pentru orice valoare x egalitatea este valabilă f(–x) = –f(x).

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine (Fig. 2).

Exemple de funcții impare:

y= păcat x

y = x 3

y = –x 3

Explicaţie:

Să luăm funcția y = – x 3 .
Toate semnificațiile la va avea semnul minus. Acesta este un semn x influențează semnul y. Dacă variabila independentă este un număr pozitiv, atunci funcția este pozitivă, dacă variabila independentă este un număr negativ, atunci funcția este negativă: f(–x) = –f(x).
Graficul funcției este simetric față de origine. Aceasta este o funcție ciudată.

Proprietățile funcțiilor pare și impare:

NOTA:

Nu toate funcțiile sunt pare sau impare. Există funcții care nu se supun unei astfel de gradații. De exemplu, funcția rădăcină la = √X nu se aplică funcțiilor pare sau impare (Fig. 3). Atunci când enumerați proprietățile unor astfel de funcții, trebuie oferită o descriere adecvată: nici par, nici impar.

Funcții periodice.

După cum știți, periodicitatea este repetarea anumitor procese la un anumit interval. Funcțiile care descriu aceste procese sunt numite funcții periodice. Adică acestea sunt funcții în ale căror grafice există elemente care se repetă la anumite intervale numerice.

Înapoi Înainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiective:

• formează conceptul de paritate și ciudat al unei funcții, învață capacitatea de a determina și de a utiliza aceste proprietăți când cercetarea funcţiei, complot;
• dezvoltarea activității creative a elevilor, gândire logică, capacitatea de a compara, de a generaliza;
• cultivați munca grea și cultura matematică; dezvolta abilitati de comunicare .

Echipament: instalație multimedia, tablă interactivă, fișe.

Forme de lucru: frontală și de grup cu elemente de căutare și activități de cercetare.

Surse de informare:

1. Algebră clasa a IX-a A.G. Mordkovich. Manual.
2. Algebră clasa a IX-a A.G. Mordkovich. Cartea cu probleme.
3. Algebră clasa a IX-a. Sarcini pentru învățarea și dezvoltarea elevilor. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

PROGRESUL LECȚIEI

1. Moment organizatoric

Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru lecție.

2. Verificarea temelor

Nr. 10.17 (caietul cu probleme de clasa a IX-a. A.G. Mordkovich).

O) la = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 la X ~ 0,4
4. f(X) >0 la X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funcția crește atunci când X € [– 2; + ∞)
6. Funcția este limitată de jos.
7. la naim = – 3, la naib nu există
8. Funcția este continuă.

(Ați folosit un algoritm de explorare a funcțiilor?) Slide.

2. Să verificăm tabelul care a fost întrebat din diapozitiv.

Completați tabelul
	Domeniul definiției	Zerourile funcției	Intervale de constanță a semnelor		Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualizarea cunoștințelor

– Sunt date funcții.
– Specificați domeniul de aplicare a definiției pentru fiecare funcție.
– Comparați valoarea fiecărei funcții pentru fiecare pereche de valori de argument: 1 și – 1; 2 și – 2.
– Pentru care dintre aceste funcții din domeniul definiției sunt valabile egalitățile f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (introduceți datele obținute în tabel) Slide

		f(1) și f(– 1)	f(2) și f(– 2)	grafică	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		și nedefinită

4. Material nou

– Efectuarea această lucrare, băieți, am identificat încă o proprietate a funcției, necunoscută pentru dvs., dar nu mai puțin importantă decât celelalte - aceasta este uniformitatea și ciudatenia funcției. Notați subiectul lecției: „Funcții pare și impare”, sarcina noastră este să învățăm să determinăm uniformitatea și neobișnuirea unei funcții, să aflăm semnificația acestei proprietăți în studiul funcțiilor și trasarea graficelor.
Deci, să găsim definițiile în manual și să citim (p. 110) . Slide

Def. 1 Funcție la = f (X), definită pe mulțimea X este numită chiar, dacă pentru orice valoare XЄ X este executat egalitatea f(–x)= f(x). Dați exemple.

Def. 2 Funcție y = f(x), definit pe setul X este numit ciudat, dacă pentru orice valoare XЄ X egalitatea f(–х)= –f(х) este valabilă. Dați exemple.

Unde am întâlnit termenii „par” și „impar”?
Care dintre aceste funcții vor fi egale, crezi? De ce? Care sunt ciudate? De ce?
Pentru orice functie a formei la= x n, Unde n– un număr întreg, se poate argumenta că funcția este impară când n– impar și funcția este par când n– chiar și.
– Vizualizați funcțiile la= și la = 2X– 3 nu sunt nici pare, nici impar, pentru că egalitățile nu sunt satisfăcute f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiul dacă o funcție este pară sau impară se numește studiul unei funcții pentru paritate. Slide

În definițiile 1 și 2 vorbeam despre valorile funcției la x și – x, prin urmare se presupune că funcția este definită și la valoarea X, și la - X.

Def 3. Dacă o mulțime numerică, împreună cu fiecare dintre elementele sale x, conține și elementul opus –x, atunci mulțimea X numită mulţime simetrică.

Exemple:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sunt mulțimi simetrice, iar , [–5;4] sunt asimetrice.

– Chiar și funcțiile au un domeniu de definiție care este o mulțime simetrică? Cele ciudate?
– Dacă D( f) este o mulțime asimetrică, atunci care este funcția?
– Astfel, dacă funcția la = f(X) – par sau impar, atunci domeniul său de definiție este D( f) este o mulțime simetrică. Este adevărată afirmația inversă: dacă domeniul de definire al unei funcții este o mulțime simetrică, atunci este par sau impar?
– Aceasta înseamnă că prezența unei mulțimi simetrice a domeniului de definiție este o condiție necesară, dar nu suficientă.
– Deci, cum examinezi o funcție pentru paritate? Să încercăm să creăm un algoritm.

Slide

Algoritm pentru studierea unei funcții pentru paritate

1. Stabiliți dacă domeniul de definire al funcției este simetric. Dacă nu, atunci funcția nu este nici pară, nici impară. Dacă da, atunci treceți la pasul 2 al algoritmului.

2. Scrie o expresie pentru f(–X).

3. Comparați f(–X).Şi f(X):

• Dacă f(–X).= f(X), atunci funcția este pară;
• Dacă f(–X).= – f(X), atunci funcția este impară;
• Dacă f(–X) ≠ f(X) Și f(–X) ≠ –f(X), atunci funcția nu este nici pară, nici impară.

Exemple:

Examinați funcția a) pentru paritate la= x 5 +; b) la= ; V) la= .

Soluţie.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), mulţime simetrică.

2) h (– x) = (– x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funcția h(x) = x 5 + impar.

b) y =,

la = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), o mulțime asimetrică, ceea ce înseamnă că funcția nu este nici pară, nici impară.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opțiunea 2

1. Mulțimea dată este simetrică: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

O); b) y = x (5 – x 2). 2. Examinați funcția pentru paritate:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. În Fig. a fost construit un grafic la = f(X), pentru toată lumea X, îndeplinind condiția X? 0.
Reprezentați grafic funcția la = f(X), Dacă la = f(X) este o funcție uniformă.

3. În Fig. a fost construit un grafic la = f(X), pentru toate x care îndeplinesc condiția x? 0.
Reprezentați grafic funcția la = f(X), Dacă la = f(X) este o funcție impară.

Evaluarea colegilor pe diapozitiv.

6. Tema pentru acasă: Nr 11.11, 11.21, 11.22;

Dovada semnificației geometrice a proprietății de paritate.

***(Atribuirea opțiunii de examinare unificată de stat).

1. Funcția impară y = f(x) este definită pe întreaga dreaptă numerică. Pentru orice valoare nenegativă a variabilei x, valoarea acestei funcții coincide cu valoarea funcției g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Aflați valoarea funcției h( X) = la X = 3.

7. Rezumând

Dependența unei variabile y de o variabilă x, în care fiecare valoare a lui x corespunde unei singure valori a lui y se numește funcție. Pentru desemnare folosiți notația y=f(x). Fiecare funcție are o serie de proprietăți de bază, cum ar fi monotonitatea, paritatea, periodicitatea și altele.

Aruncă o privire mai atentă asupra proprietății de paritate.

O funcție y=f(x) este apelată chiar dacă îndeplinește următoarele două condiții:

2. Valoarea funcției în punctul x, aparținând domeniului de definire a funcției, trebuie să fie egală cu valoarea funcției în punctul -x. Adică, pentru orice punct x, următoarea egalitate trebuie satisfăcută din domeniul de definiție al funcției: f(x) = f(-x).

Graficul unei funcții pare

Dacă trasați un grafic al unei funcții pare, aceasta va fi simetrică față de axa Oy.

De exemplu, funcția y=x^2 este pară. Să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.

Să luăm un x=3 arbitrar. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prin urmare f(x) = f(-x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că funcția este egală. Mai jos este un grafic al funcției y=x^2.

Figura arată că graficul este simetric față de axa Oy.

Graficul unei funcții impare

O funcție y=f(x) se numește impară dacă îndeplinește următoarele două condiții:

1. Domeniul de definire al unei funcții date trebuie să fie simetric față de punctul O. Adică, dacă un punct a aparține domeniului de definire al funcției, atunci punctul corespunzător -a trebuie să aparțină și domeniului definiției a functiei date.

2. Pentru orice punct x trebuie îndeplinită următoarea egalitate din domeniul de definiție al funcției: f(x) = -f(x).

Graficul unei funcții impare este simetric față de punctul O - originea coordonatelor. De exemplu, funcția y=x^3 este impară. Să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.

Să luăm un x=2 arbitrar. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Prin urmare f(x) = -f(x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că funcția este impară. Mai jos este un grafic al funcției y=x^3.

Figura arată clar că funcția impară y=x^3 este simetrică față de origine.

În iulie 2020, NASA lansează o expediție pe Marte. Nave spațiale va livra pe Marte un suport electronic cu numele tuturor participanților la expediție înregistrați.

Dacă această postare ți-a rezolvat problema sau pur și simplu ți-a plăcut, distribuie linkul către ea prietenilor tăi de pe rețelele sociale.

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune monitorizează și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.

Un alt Revelion... vreme geroasă și fulgi de zăpadă pe geamul ferestrei... Toate acestea m-au determinat să scriu din nou despre... fractali și despre ce știe Wolfram Alpha despre asta. Cu această ocazie există articol interesant, care conține exemple de structuri fractale bidimensionale. Aici ne vom uita la mai multe exemple complexe fractali tridimensionali.

Un fractal poate fi reprezentat vizual (descris) ca o figură geometrică sau un corp (însemnând că ambele sunt o mulțime, în în acest caz,, un set de puncte), ale căror detalii au aceeași formă ca și figura originală în sine. Adică, aceasta este o structură auto-similară, examinând detaliile căreia atunci când este mărită, vom vedea aceeași formă ca și fără mărire. Întrucât în ​​cazul obișnuit figură geometrică(nu un fractal), atunci când măriți, vom vedea detalii care au o formă mai simplă decât figura originală în sine. De exemplu, la o mărire suficient de mare, o parte a unei elipse arată ca un segment de linie dreaptă. Acest lucru nu se întâmplă cu fractalii: cu orice creștere a acestora, vom vedea din nou aceeași formă complexă, care se va repeta iar și iar cu fiecare creștere.

Benoit Mandelbrot, fondatorul științei fractalilor, a scris în articolul său Fractals and Art in the Name of Science: „Fractalii sunt forme geometrice, care în în egală măsură complex în detaliile lor, precum și în lor forma generala. Adică, dacă o parte a unui fractal este mărită la dimensiunea întregului, va apărea ca întreg, fie exact, fie poate cu o ușoară deformare.”

Studiu de funcții.

1) D(y) – Domeniu de definiție: mulțimea tuturor acelor valori ale variabilei x. pentru care expresiile algebrice f(x) și g(x) au sens.

Dacă o funcție este dată de o formulă, atunci domeniul de definiție constă din toate valorile variabilei independente pentru care formula are sens.

2) Proprietăți ale funcției: par/impar, periodicitate:

Funcțiile ale căror grafice sunt simetrice în raport cu modificările semnului argumentului se numesc par și impare.

O funcție impară este o funcție care își schimbă valoarea în sens opus atunci când semnul variabilei independente se schimbă (simetric față de centrul de coordonate).

O funcție pară este o funcție care nu își schimbă valoarea atunci când semnul variabilei independente se modifică (simetric față de ordonată).

Nici o funcție pară, nici o funcție impară (o funcție de formă generală) nu este o funcție care nu are simetrie. Această categorie include funcții care nu se încadrează în cele 2 categorii anterioare.

Sunt numite funcții care nu aparțin niciunei dintre categoriile de mai sus nici par, nici impar(sau funcții generale).

Funcții ciudate

Putere impară unde este un număr întreg arbitrar.

Chiar și funcții

Chiar și puterea unde este un număr întreg arbitrar.

O funcție periodică este o funcție care își repetă valorile după un anumit interval regulat de argumente, adică nu își schimbă valoarea atunci când adaugă la argument un număr fix diferit de zero (perioada funcției) pe întregul domeniu al definiţie.

3) Zerourile (rădăcinile) unei funcții sunt punctele în care aceasta devine zero.

Aflarea punctului de intersecție a graficului cu axa Oi. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați valoarea f(0). Găsiți și punctele de intersecție ale graficului cu axa Bou, de ce găsiți rădăcinile ecuației f(x) = 0 (sau asigurați-vă că nu există rădăcini).

Punctele în care graficul intersectează axa se numesc zerouri ale funcției. Pentru a găsi zerourile unei funcții, trebuie să rezolvați ecuația, adică să găsiți acele valori ale lui „x” la care funcția devine zero.

4) Intervale de constanță a semnelor, semne în ele.

Intervale în care funcția f(x) păstrează semnul.

Un interval de semn constant este un interval în fiecare punct a cărui funcție este pozitivă sau negativă.

DEASUPRA axei x.

SUB axă.

5) Continuitate (puncte de discontinuitate, natura discontinuității, asimptote).

O funcție continuă este o funcție fără „sărituri”, adică una în care mici modificări ale argumentului duc la mici modificări ale valorii funcției.

Puncte de întrerupere amovibile

Dacă limita funcţiei există, dar funcția nu este definită în acest punct sau limita nu coincide cu valoarea funcției în acest moment:

,

atunci punctul este numit punct de rupere detașabil funcții (în analiza complexă, un punct singular detașabil).

Dacă „corectăm” funcția în punctul de discontinuitate detașabilă și punem , atunci obținem o funcție care este continuă într-un punct dat. O astfel de operație asupra unei funcții este numită extinderea funcției la continuu sau redefinirea funcţiei prin continuitate, care justifică numele punctului ca punct amovibil ruptură.

Puncte de discontinuitate de primul și al doilea fel

Dacă o funcție are o discontinuitate într-un punct dat (adică limita funcției într-un punct dat este absentă sau nu coincide cu valoarea funcției într-un punct dat), atunci pentru funcțiile numerice există două opțiuni posibile asociate cu existenţa funcţiilor numerice limite unilaterale:

dacă ambele limite unilaterale există și sunt finite, atunci un astfel de punct se numește punct de discontinuitate de primul fel.

Punctele de discontinuitate amovibile sunt puncte de discontinuitate de primul fel;

dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale nu există sau nu este o valoare finită, atunci un astfel de punct se numește punct de discontinuitate de al doilea fel. Asimptot - Drept , care are proprietatea că distanța de la un punct al curbei până la acesta direct

tinde spre zero pe măsură ce punctul se îndepărtează de-a lungul ramificației până la infinit.

Vertical .

Asimptotă verticală - linie limită

De regulă, atunci când se determină asimptota verticală, ei caută nu o limită, ci două unilaterale (stânga și dreapta). Acest lucru se face pentru a determina modul în care funcția se comportă pe măsură ce se apropie de asimptota verticală din direcții diferite. De exemplu:

Orizontală Asimptot - asimptotă orizontală - specii, supuse existenţei

.

limită

Înclinat Asimptot - asimptotă orizontală - asimptotă oblică -

limite

Notă: o funcție nu poate avea mai mult de două asimptote oblice (orizontale). Notă: dacă cel puțin una dintre cele două limite menționate mai sus nu există (sau este egală cu ), atunci asimptotă oblică

la (sau) nu există. .

dacă la punctul 2.), atunci , iar limita se găsește folosind formula asimptotă orizontală, f(x 6) Găsirea intervalelor de monotonitate. Găsiți intervalele de monotonitate ale unei funcții f(x)(adică intervale de creștere și scădere). Acest lucru se face prin examinarea semnului derivatei f(x). Pentru a face acest lucru, găsiți derivata f(x)0. La intervalele în care această inegalitate este valabilă, funcția f(x)crește. Acolo unde este valabilă inegalitatea inversă f(x)0, funcţia f(x) este în scădere.

Găsirea unui extremum local. După ce am găsit intervalele de monotonitate, putem determina imediat punctele extreme locale în care o creștere este înlocuită cu o scădere, sunt situate maximele locale și unde o scădere este înlocuită cu o creștere, sunt situate minimele locale. Calculați valoarea funcției în aceste puncte. Dacă o funcție are puncte critice care nu sunt puncte extreme locale, atunci este util să se calculeze și valoarea funcției în aceste puncte.

Găsind cel mai mare și valorile cele mai mici funcții y = f(x) pe segment (continuare)

1. Găsiți derivata funcției: f(x). 2. Aflați punctele în care derivata este zero: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Determinați afilierea punctelor X 1 ,X 2 , … segment [ o; b]: lasa x 1o;b, A x 2o;b . 4. Găsiți valorile funcției în punctele selectate și la capetele segmentului: f(x 1), f(x 2),..., f(x o),f(x b), 5. Selectarea celor mai mari și mai mici valori ale funcției dintre cele găsite. Comentariu. Dacă pe segmentul [ o; b] există puncte de discontinuitate, atunci este necesar să se calculeze limitele unilaterale la ele și apoi să se țină cont de valorile lor în alegerea celor mai mari și mai mici valori ale funcției.

7) Găsirea intervalelor de convexitate și concavitate. Acest lucru se face prin examinarea semnului derivatei a doua f(x). Găsiți punctele de inflexiune la joncțiunile intervalelor convexe și concave. Calculați valoarea funcției la punctele de inflexiune. Dacă o funcție are alte puncte de continuitate (cu excepția punctelor de inflexiune) la care derivata a doua este 0 sau nu există, atunci este de asemenea util să se calculeze valoarea funcției în aceste puncte. După ce am găsit f(x), rezolvăm inegalitatea f(x)0. Pe fiecare dintre intervalele de soluție funcția va fi convexă în jos. Rezolvarea inegalității inverse f(x)0, găsim intervalele la care funcția este convexă în sus (adică concavă). Definim punctele de inflexiune ca acele puncte în care funcția își schimbă direcția de convexitate (și este continuă).

Punctul de inflexiune al unei funcții este punctul în care funcția este continuă și la trecere prin care funcția schimbă direcția de convexitate.

Condiții de existență

O condiție necesară pentru existența unui punct de inflexiune: dacă funcția este de două ori diferențiabilă într-o vecinătate perforată a punctului, atunci sau .