Ridicarea unei fracții algebrice la o putere.” Lecția „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice. Ridicarea unei fracții algebrice la o putere" Înmulțirea fracțiilor algebrice cu diferiți numitori
Putem înmulți și împărți fracții aritmetice, de exemplu:
dacă literele a, b, c și d reprezintă numere întregi aritmetice.
Se pune întrebarea dacă aceste egalități rămân valabile dacă a, b, c și d denotă: 1) orice numere aritmetice și 2) orice numere relative.
În primul rând, va trebui să luați în considerare fracțiile complexe, de exemplu:
Aceste exemple sunt deja suficiente pentru a verifica validitatea egalităților referitoare la înmulțirea și împărțirea fracțiilor, atunci când numerele a, b, c și d sunt orice aritmetică (întreg sau fracționar). Rețineți că există doar 2 egalități de bază, și anume:
Rămâne acum să ne gândim dacă aceste egalități vor rămâne valabile dacă se presupune că unele dintre numerele a, b, c și d sunt negative: dacă, de exemplu, a este un număr negativ, b, c și d sunt pozitive, atunci fracția este negativă și fracția este pozitivă; prin urmare, de exemplu, împărțirea la ar trebui să rezulte într-un număr negativ, dar vedem că, conform presupunerii noastre, expresia ar trebui să exprime un număr negativ, adică egalitatea este justificată și în acest caz. Este, de asemenea, ușor de luat în considerare și alte ipoteze pentru semnele lui a, b, c și d. Rezultatul acestei considerații este convingerea validității egalităților
iar pentru cazul în care a, b, c și d exprimă orice numere relative, adică pentru înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice, rămân în vigoare aceleași reguli ca și pentru cele aritmetice.
Acum putem efectua înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice. Cea mai mare dificultate aici este problema reducerii fracțiilor obținute după înmulțire sau împărțire. Dacă fracțiile algebrice sunt monomiale, atunci reducerea rezultatului obținut nu va prezenta dificultăți, dar dacă fracțiile sunt algebrice, atunci este necesar să se factorizeze mai întâi numărătorul și numitorul fiecăreia dintre aceste fracții.
Tema: Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice
Educația este ceea ce rămâne atunci când totul a fost deja uitat.
Laue
Obiective:
Educațional:
fixați ZUN pe subiect
efectuează controlul curent inițial al cunoștințelor
lucrați la goluri
Educațional:
promovează dezvoltarea competență comunicativă, adică capacitatea de a colabora eficient cu alte persoane.
promovează dezvoltarea competenței de cooperare, adică capacitatea de a lucra în perechi.
contribuie la dezvoltarea competenței problematice, de ex. capacitatea de a înțelege inevitabilitatea dificultăților apărute în cursul oricărei activități.
Educațional:
insufla capacitatea de a evalua în mod adecvat munca depusă de un prieten;
Când lucrați în perechi, cultivați calitățile de asistență și sprijin reciproc.
Metodic:
crearea condițiilor pentru manifestarea individualității, activitate cognitivă elevi;
arătați metodologia de desfășurare a unei lecții cu proiectarea rezultatelor activitati educativeși modalități de a le studia pe baza unei abordări bazate pe competențe.
Echipament: tabla, creta colorata. Tabelul „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice”; carduri pentru munca individuala, carduri de „memento”. Sarcina într-un minut liber.
Progresul lecției
Moment organizatoric
Planul lecției este scris pe tablă:
Încălzire orală.
Munca individuală.
Rezolvarea sarcinilor.
Lucru în pereche.
Rezumatul lecției.
Teme pentru acasă.
Profesor: Pe vremuri în Rusia se credea că, dacă o persoană era pricepută în matematică, atunci aceasta însemna cel mai înalt grad bursă. Iar capacitatea de a vedea și auzi corect este primul pas către înțelepciune. Aș dori ca toți elevii din clasa dumneavoastră să arate astăzi cât de înțelepți sunt și cât de cunoscători sunt oamenii în algebra de clasa a VII-a.
Deci, subiectul lecției este „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice.” În ultima lecție, ați început să studiați acest subiect și am discutat de ce îl studiem. Să ne amintim unde ne va fi de folos în doar câteva lecții.
Elevi: Pentru acțiuni comune cu fracții algebrice, pentru rezolvarea ecuațiilor și deci a problemelor.
Profesor: Chiar și pe vremuri în Rus' se spunea că înmulțirea este chin, iar împărțirea este necaz. Oricine putea înmulți și împărți rapid și precis era considerat un mare matematician.
Ce obiective îți vei stabili?
Elevi: Continuați să studiați subiectul, aflați cum să înmulțiți și să împărțiți rapid și precis.
Profesor: Pentru a ne atinge obiectivele, noi (deschidem planul scris pe tablă, îl rostim)
1. Încălzirea orală: (în acest moment, 3 - 4 persoane rezolvă exercițiul de reducere a fracțiilor în perechi) factorizează, completând spațiile libere
1= (y-1) (...), 5a+5b=... (a+b), xy-x=x (...), 14-2x=...
reduce fracția
Fracții, fracții, bate fracții, reduce-le, nu le cruța.
găsiți greșeala făcută la înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice
Profesor: Unde a fost făcută greșeala? De ce a fost făcută greșeala? Ce regulă nu știa elevul? Pe care l-ai cunoscut? Cum se face corect?
2. Lucru în caiet, număr din manual 488 (1) Analiză, decizie, verificare.
Profesor: Și acum vei avea ocazia să-ți arăți cunoștințele la finalizarea testului, iar pentru a te inspira să lucrezi, voi citi poezia „Pentru ca profesorul să noteze „5” în jurnal, să poți înmulți numărătorul cu numărătorul într-o clipă și pentru ca profesorul să fie mulțumit de tine, înmulți primul numitor cu al doilea "
Autoverificare, verificare reciprocă. Conform criteriilor (afișate pe tablă) B-1 (321), B-2 (132) folosind codurile corecte, evaluare în perechi. Rezultatul inițial. Evaluări.
Lucrul la greșeli în perechi elev-profesor
Dacă nu există greșeli în perechi, faceți sarcina într-un minut liber.
Simplificați expresia și găsiți-i valoarea când
5. Rezumatul lecției
La sfârșitul lecției, aș dori să știu de la dumneavoastră, ce tipuri de muncă v-au cauzat dificultăți? De ce crezi? Ce nou ai invatat? Câți dintre voi sunteți mulțumiți de munca voastră la clasă? Crezi că obiectivele stabilite la începutul lecției au fost atinse?
Profesor: Aș dori să închei lecția cu cuvintele inginerului-fizician francez Laue: „Educația este ceea ce rămâne atunci când tot ce s-a învățat a fost deja uitat”.
Sper că nu veți uita acest material, pentru ca acest lucru să nu se întâmple, trebuie să finalizați chiar și sarcinile nr. 486.487.488.
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Ajutoare și simulatoare educaționale în magazinul online Integral pentru clasa a VIII-a
Caiet de lucru algebră electronică pentru clasa a VIII-a
Manual multimedia pentru clasa a VIII-a „Algebră în 10 minute”
Factorizarea preliminară a unei fracții algebrice
Înainte de a începe să lucrați cu fracții, și anume înmulțirea și împărțirea, este indicat să factorizați numărătorul și numitorul. Acest lucru va facilita factorizarea fracției care rezultă din operația matematică.De exemplu, dată fiind o fracție:
$\frac(8x+8y)(16)$.
Să efectuăm o transformare identică, adică vom factoriza numărătorul.
$\frac(8x+8y)(16)=\frac(8(x+y))(16)$.
Sau, de exemplu, având în vedere următoarea fracție:
$\frac(x^2-y^2)(x+1)$.
Ar fi mai bine să o exprim astfel:
$\frac(x^2-y^2)(x+1)=\frac((x+y)(x-y))(x+1)$.
Nu uitați de proprietate:
$(b-a)^2=(a-b)^2$.
Înmulțirea fracțiilor algebrice cu numitori asemănători și diferiți
Înmulțirea fracțiilor algebrice se face în același mod ca și înmulțirea fracții obișnuite. Număratorii și numitorii se înmulțesc împreună.Aceasta poate fi reprezentată sub formă de formulă după cum urmează:
$\frac(a)(b)*\frac(c)(d)=\frac(ac)(bd)$
Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplul 1.
Calcula:
$\frac(5x+5y)(x-y)*\frac(x^2-y^2)(10x)$.
Să factorizăm fracția.
$\frac(5x+5y)(x-y)*\frac(x^2-y^2)(10x)=\frac(5(x+y))(x-y)*\frac((x-y)(x+ y) ))(10x)$.
Să aducem ambele fracții la un numitor comun (amintiți-vă de lecția: „Adunarea și scăderea fracțiilor”, unde existau sfaturi despre cum să selectați mai bine și mai ușor un numitor comun). Ca rezultat, obținem o fracție.
$\frac(5(x+y)(x-y)(x+y))((x-y)*10x)=\frac((x+y)^2)(2x)$
Exemplul 2.
Calcula:
$\frac(7a^3b^5)(3a-3b)*\frac(6b^2-12ab+6a^2)(49a^4b^5)$.
Să factorizăm și să reducem fracția.
$\frac(7a^3b^5)(3a-3b)*\frac(6(b^2-2ab+a^2))(49a^4b^5)=\frac(7a^3b^5*6 (b-a)^2)(3(a-b)*49a^4b^5)=\frac(2(b-a)^2)(7a(a-b))$.
Împărțirea fracțiilor algebrice cu numitori asemănători și diferiți
Împărțirea fracțiilor se efectuează în același mod ca și împărțirea fracțiilor obișnuite, adică trebuie să întoarceți fracția „divizor” și să efectuați înmulțirea.$\frac(a)(b):\frac(c)(d)=\frac(ad)(bc)$
Să ne uităm la exemple.
Exemplul 3.
Urmați acești pași:
$\frac(x^3-1)(8y):\frac(x^2+x+1)(16y^2)$.
Să factorizăm fracțiile.
$\frac(x^3-1)(8y):\frac(x^2+x+1)(16y^2)=\frac((x-1)(x^2+x+1))( 8y):\frac(x^2+x+1)(16y^2)$.
Acum inversăm fracția și înmulțim.
$\frac((x-1)(x^2+x+1)*16y^2)(8y*(x^2+x+1))=2y*(x-1)$.
Exemplul 4.
Calcula:
$\frac(a^4-b^4)(ab+2b-3a-6):\frac(b-a)(a+2)$.
Să factorizăm și să grupăm polinoamele.
$\frac(a^4-b^4)(ab+2b-3a-6):\frac(b-a)(a+2)=\frac((a^2-b^2)(a^2+ b^2))((ab+2b)-(3a+6)):\frac(b-a)(a+2)=$
$\frac((a-b)(a+b)(a^2+b^2))(b(a+2)-3(a+2)):\frac(b-a)(a+2)$.
Inversați și înmulțiți fracțiile.
$\frac((a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a+2))((a+2)(b-3)(b-a))=\frac(-(a+ b )(a^2+b^2))((b-3))$.
Această lecție va acoperi regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice, precum și exemple de aplicare a acestor reguli. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice nu este diferită de înmulțirea și împărțirea fracțiilor obișnuite. În același timp, prezența variabilelor duce la modalități ceva mai complexe de simplificare a expresiilor rezultate. În ciuda faptului că înmulțirea și împărțirea fracțiilor este mai ușoară decât adunarea și scăderea lor, studiul acestui subiect trebuie abordat extrem de responsabil, deoarece există multe capcane la care de obicei nu li se acordă atenție. Ca parte a lecției, nu vom studia doar regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor, dar vom analiza și nuanțele care pot apărea atunci când le folosim.
Subiect:Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice
Lecţie:Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice
Regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice sunt absolut similare cu regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor obișnuite. Să le reamintim:
Adică, pentru a înmulți fracțiile, este necesar să le înmulțiți numărătorii (acesta va fi numărătorul produsului) și să le înmulțiți numitorii (acesta va fi numitorul produsului).
Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu o fracție inversată, adică pentru a împărți două fracții este necesar să se înmulțească prima dintre ele (dividend) cu a doua inversată (divizor).
În ciuda simplității acestor reguli, mulți oameni greșesc într-o serie de cazuri speciale atunci când rezolvă exemple pe această temă. Să aruncăm o privire mai atentă la aceste cazuri speciale:
În toate aceste reguli am folosit următorul fapt: .
Să rezolvăm câteva exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor obișnuite pentru a ne aminti cum să folosiți aceste reguli.
Exemplul 1
Nota: La reducerea fracțiilor am folosit descompunerea numerelor în factori primi. Să ne amintim asta numere prime
acestea se numesc numere naturale, care sunt divizibile numai prin ele însele. Numerele rămase sunt apelate compozit
. Numărul nu este nici prim, nici compus. Exemple numere prime: 
.
Exemplul 2
Să luăm acum în considerare unul dintre cazurile speciale cu fracții obișnuite.
Exemplul 3
După cum puteți vedea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor obișnuite, dacă regulile sunt aplicate corect, nu este dificilă.
Să ne uităm la înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice.
Exemplul 4
Exemplul 5
Rețineți că este posibil și chiar necesar să se reducă fracțiile după înmulțire după aceleași reguli pe care le-am considerat anterior în lecțiile dedicate reducerii fracțiilor algebrice. Să ne uităm la câteva exemple simple pentru cazuri speciale.
Exemplul 6
Exemplul 7
Să ne gândim acum puțin mai mult exemple complexe la înmulțirea și împărțirea fracțiilor.
Exemplul 8
Exemplul 9
Exemplul 10
Exemplul 11
Exemplul 12
Exemplul 13
Anterior, ne-am uitat la fracții în care atât numărătorul, cât și numitorul erau monomii. Cu toate acestea, în unele cazuri este necesară înmulțirea sau împărțirea fracțiilor ai căror numărători și numitori sunt polinoame. În acest caz, regulile rămân aceleași, dar pentru a reduce este necesar să folosiți formule de înmulțire prescurtate și bracketing.
Exemplul 14
Exemplul 15
Exemplul 16
Exemplul 17
Exemplul 18
