Teorema este formularea inversă a teoremei lui Pitagora. Lecția „teorema este inversul teoremei lui Pitagora”. II. Verificarea temelor

Obiectivele lecției:

Educativ: formulați și demonstrați teorema lui Pitagora și teorema inversă a teoremei lui Pitagora. Arătați semnificația lor istorică și practică.

Dezvoltare: dezvoltarea atenției, memoriei, gândire logică elevilor, capacitatea de a raționa, compara, trage concluzii.

Educativ: să cultive interesul și dragostea pentru materie, acuratețea, capacitatea de a asculta camarazii și profesorul.

Echipament: Portretul lui Pitagora, postere cu sarcini de consolidare, manual „Geometrie” pentru clasele 7-9 (I.F. Sharygin).

Planul lecției:

eu. Moment organizatoric– 1 min.

II. Examinare teme pentru acasă– 7 min.

III. Observații de deschidere profesori, istoric – 4-5 min.

IV. Formularea și demonstrarea teoremei lui Pitagora – 7 min.

V. Formularea și demonstrarea teoremei inverse la teorema lui Pitagora – 5 min.

Consolidarea materialului nou:

a) oral – 5-6 minute.
b) scris – 7-10 minute.

VII. Tema pentru acasă – 1 min.

VIII. Rezumatul lecției – 3 min.

Progresul lecției

I. Moment organizatoric.

II. Verificarea temelor.

clauza 7.1, nr. 3 (la tabla conform desenului finit).

Stare: Altitudinea unui triunghi dreptunghic împarte ipotenuza în segmente de lungime 1 și 2. Aflați catetele acestui triunghi.

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1 ; DA = b 1 ; CD = hC

Întrebare suplimentară: scrieți rapoartele într-un triunghi dreptunghic.

Secțiunea 7.1, nr. 5. Tăiat triunghi dreptunghicîn trei triunghiuri asemănătoare.

Explica.

ASN ~ ABC ~ SVN

(atrageți atenția elevilor asupra corectitudinii scrierii vârfurilor corespunzătoare ale triunghiurilor similare)

III. Discurs introductiv al profesorului, context istoric.

Adevărul va rămâne etern de îndată ce o persoană slabă îl va recunoaște!

Și acum teorema lui Pitagora este adevărată, ca în epoca lui îndepărtată.

Nu întâmplător mi-am început lecția cu cuvintele romancierului german Chamisso. Lecția noastră de astăzi este despre teorema lui Pitagora. Să scriem subiectul lecției.

În fața ta este un portret al marelui Pitagora. Născut în 576 î.Hr. După ce a trăit 80 de ani, a murit în 496 î.Hr. Cunoscut ca filozof și profesor grec antic. Era fiul negustorului Mnesarchus, care îl ducea adesea în călătorii, datorită cărora băiatul a dezvoltat curiozitatea și dorința de a învăța lucruri noi. Pitagora este o poreclă dată lui pentru elocvența sa („Pythagoras” înseamnă „persuasiv prin vorbire”). El însuși nu a scris nimic. Toate gândurile lui au fost înregistrate de studenții săi. Ca urmare a primei prelegeri pe care a ținut-o, Pitagora a dobândit 2000 de elevi, care, împreună cu soțiile și copiii lor, au format o școală uriașă și au creat un stat numit „Grecia Mare”, care se baza pe legile și regulile lui Pitagora, venerat. ca porunci divine. El a fost primul care a numit raționamentul său despre sensul vieții filozofie (filosofie). Era predispus la mistificare și comportament demonstrativ. Într-o zi, Pitagora s-a ascuns în subteran și a aflat despre tot ce se întâmpla de la mama lui. Apoi, ofilit ca un schelet, el a declarat într-o întâlnire publică că a fost în Hades și a arătat o cunoaștere uimitoare a evenimentelor pământești. Pentru aceasta, locuitorii atinși l-au recunoscut drept Dumnezeu. Pitagora nu a plâns niciodată și a fost în general inaccesibil pasiunilor și entuziasmului. El credea că provine dintr-o sămânță care era mai bună decât una umană. Întreaga viață a lui Pitagora este o legendă care a ajuns până la vremea noastră și ne-a vorbit despre cel mai talentat om al lumii antice.

IV. Formularea și demonstrarea teoremei lui Pitagora.

Cunoști formularea teoremei lui Pitagora din cursul tău de algebră. Să ne amintim de ea.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Cu toate acestea, această teoremă era cunoscută cu mulți ani înainte de Pitagora. Cu 1500 de ani înainte de Pitagora, vechii egipteni știau că un triunghi cu laturile 3, 4 și 5 este dreptunghiular și au folosit această proprietate pentru a construi unghiuri drepte atunci când planifica. terenuriși construcția de clădiri. În cea mai veche lucrare chineză de matematică și astronomie care a ajuns până la noi, „Zhiu-bi”, scrisă cu 600 de ani înainte de Pitagora, printre alte propuneri referitoare la triunghiul dreptunghic, este conținută teorema lui Pitagora. Chiar și mai devreme această teoremă era cunoscută hindușilor. Astfel, Pitagora nu a descoperit această proprietate a unui triunghi dreptunghic el a fost probabil primul care a generalizat-o și a dovedit-o, care a transferat-o din domeniul practicii în domeniul științei;

CU timpuri străvechi matematicienii găsesc din ce în ce mai multe dovezi ale teoremei lui Pitagora. Sunt cunoscute peste o sută și jumătate dintre ele. Să ne amintim de demonstrația algebrică a teoremei lui Pitagora, cunoscută nouă din cursul de algebră. („Matematică. Algebră. Funcții. Analiza datelor” G.V. Dorofeev, M., „Drofa”, 2000).

Invitați elevii să-și amintească dovada desenului și să o scrie pe tablă.

(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Vechii hinduși, cărora le aparține acest raționament, de obicei nu l-au notat, ci au însoțit desenul cu un singur cuvânt: „Uite”.

Să considerăm într-o prezentare modernă una dintre dovezile aparținând lui Pitagora. La începutul lecției, ne-am amintit teorema despre relațiile într-un triunghi dreptunghic:

h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c

Să adăugăm ultimele două egalități termen cu termen:

b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2 ; a 2 + b 2 = c 2

În ciuda simplității aparente a acestei dovezi, este departe de a fi cea mai simplă. La urma urmei, pentru aceasta a fost necesar să se deseneze înălțimea într-un triunghi dreptunghic și să se ia în considerare triunghiuri similare. Vă rugăm să scrieți aceste dovezi în caiet.

V. Formularea și demonstrarea teoremei invers cu teorema lui Pitagora.

Ce teoremă se numește inversul acestei teoreme? (...dacă condiția și concluzia sunt inversate.)

Să încercăm acum să formulăm teorema inversă cu teorema lui Pitagora.

Dacă într-un triunghi cu laturile a, b și c este valabilă egalitatea c 2 = a 2 + b 2, atunci acest triunghi este dreptunghic, iar unghiul drept este opus laturii c.

(Dovada teoremei inverse pe poster)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Dovedi:

ABC - dreptunghiular,

Dovada:

Considerăm un triunghi dreptunghic A 1 B 1 C 1,

unde C 1 = 90°, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

Apoi, după teorema lui Pitagora, B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2.

Adică B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC pe trei laturi ABC este dreptunghiular

C = 90°, ceea ce trebuia demonstrat.

VI. Consolidarea materialului studiat (oral).

1. Pe baza unui afiș cu desene gata făcute.

Fig. 1: găsiți AD dacă ВD = 8, ВDA = 30°.

Fig.2: găsiți CD dacă BE = 5, BAE = 45°.

Fig.3: găsiți BD dacă BC = 17, AD = 16.

2. Este un triunghi dreptunghiular dacă laturile sale sunt exprimate prin numere:


5 2 + 6 2 ? 7 2 (nu)	9 2 + 12 2 = 15 2 (da)	15 2 + 20 2 = 25 2 (da)

Cum se numesc tripletele numerelor din ultimele două cazuri? (Pitagorean).

VI. Rezolvarea problemelor (în scris).

Nr. 9. Latura unui triunghi echilateral este egală cu a. Găsiți înălțimea acestui triunghi, raza cercului circumscris și raza cercului înscris.

Nr. 14. Demonstrați că într-un triunghi dreptunghic raza cercului circumscris este egală cu mediana trasată la ipotenuză și egală cu jumătate din ipotenuză.

VII. Teme pentru acasă.

Paragraful 7.1, pp. 175-177, examinați Teorema 7.4 (teorema lui Pitagora generalizată), nr. 1 (oral), nr. 2, nr. 4.

VIII. Rezumatul lecției.

Ce nou ai învățat în clasă astăzi? …………

Pitagora a fost în primul rând un filozof. Acum vreau să vă citesc câteva dintre spusele lui, care sunt încă relevante în timpul nostru pentru tine și pentru mine.

Nu ridica praf pe calea vieții.
Fă doar ceea ce nu te va supăra mai târziu și nu te va forța să te pocăiești.
Nu face niciodată ceea ce nu știi, ci învață tot ce trebuie să știi și atunci vei duce o viață liniștită.
Nu închide ochii când vrei să dormi, fără să fi rezolvat toate acțiunile din ziua trecută.
Învață să trăiești simplu și fără lux.

Subiect: teorema, inversul teoremei Pitagora.

Obiectivele lecției: 1) considerăm teorema inversă cu teorema lui Pitagora; aplicarea acestuia în procesul de rezolvare a problemelor; consolidarea teoremei lui Pitagora și îmbunătățirea abilităților de rezolvare a problemelor pentru aplicarea acesteia;

2) dezvolta gândirea logică, căutarea creativă, interesul cognitiv;

3) să cultive la elevi o atitudine responsabilă față de învățare și o cultură a vorbirii matematice.

Tipul de lecție. O lecție de învățare a cunoștințelor noi.

Progresul lecției

І. Moment organizatoric

ІІ. Actualizare cunoştinţe

Lecție pentru minearam vrutîncepe cu un catren.

Da, calea cunoașterii nu este netedă

Dar știm din anii noștri de școală,

Există mai multe mistere decât răspunsuri,

Și nu există limită pentru căutare!

Deci, în ultima lecție ați învățat teorema lui Pitagora. Întrebări:

Teorema lui Pitagora este adevărată pentru ce figură?

Care triunghi se numește triunghi dreptunghic?

Prezentați teorema lui Pitagora.

Cum poate fi scrisă teorema lui Pitagora pentru fiecare triunghi?

Care triunghiuri se numesc egale?

Formulați criteriile pentru egalitatea triunghiurilor?

Acum hai să facem puțin munca independenta:

Rezolvarea problemelor folosind desene.

№1

(1 b.) Aflați: AB.

№2

(1 b.) Găsiți: VS.

№3

( 2 b.)Găsiți: AC

№4

(1 punct)Găsiți: AC

№5 Dată de: ABCDromb

(2 b.) AB = 13 cm

AC = 10 cm

Găsiți: BD

Autotest nr. 1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Studiind nou material.

Vechii egipteni au construit unghiuri drepte pe pământ în acest fel: au împărțit frânghia în 12 noduri. părţi egale, i-a legat capetele, după care frânghia a fost întinsă pe pământ astfel încât să se formeze un triunghi cu laturile de 3, 4 și 5 diviziuni. Unghiul triunghiului care se afla opus laturii cu 5 diviziuni era drept.

Puteți explica corectitudinea acestei judecăți?

Ca urmare a căutării unui răspuns la întrebare, elevii ar trebui să înțeleagă că din punct de vedere matematic se pune întrebarea: va fi triunghiul dreptunghic?

Ne punem o problemă: cum să determinăm, fără a face măsurători, dacă un triunghi cu laturile date va fi dreptunghiular. Rezolvarea acestei probleme este scopul lecției.

Notează subiectul lecției.

Teorema. Dacă suma pătratelor a două laturi ale unui triunghi este egală cu pătratul celei de-a treia laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.

Demonstrați teorema în mod independent (faceți un plan de demonstrare folosind manualul).

Din această teoremă rezultă că un triunghi cu laturile 3, 4, 5 este dreptunghic (egiptean).

În general, numere pentru care este valabilă egalitatea , se numesc tripleți pitagoreici. Iar triunghiurile ale căror lungimi ale laturilor sunt exprimate prin triplete pitagoreene (6, 8, 10) sunt triunghiuri pitagorice.

Consolidare.

Deoarece , atunci un triunghi cu laturile 12, 13, 5 nu este dreptunghic.

Deoarece , atunci un triunghi cu laturile 1, 5, 6 este dreptunghic.

№ 430 (a, b, c)

( - nu este)

Teorema lui Pitagora spune:

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei:

a 2 + b 2 = c 2,

oŞi b– picioarele formând un unghi drept.
Cu– ipotenuza triunghiului.

Formule ale teoremei lui Pitagora

a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Dovada teoremei lui Pitagora

Aria unui triunghi dreptunghic se calculează cu formula:

S = \frac(1)(2)ab

Pentru a calcula aria unui triunghi arbitrar, formula ariei este:

p– semiperimetrul. p=\frac(1)(2)(a+b+c),
r– raza cercului înscris. Pentru un dreptunghi r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Apoi echivalăm părțile drepte ale ambelor formule pentru aria triunghiului:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Teorema inversă a lui Pitagora:

Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic. Adică pentru orice triplu de numere pozitive a, bŞi c, astfel încât

a 2 + b 2 = c 2,

există un triunghi dreptunghic cu catete oŞi b si ipotenuza c.

Teorema lui Pitagora- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia dintre laturile unui triunghi dreptunghic. A fost dovedit de savantul matematician și filosof Pitagora.

Sensul teoremei Ideea este că poate fi folosit pentru a demonstra alte teoreme și pentru a rezolva probleme.

Material suplimentar:

Luarea în considerare a subiectelor programa școlară Folosirea lecțiilor video este o modalitate convenabilă de a studia și stăpâni materialul. Videoclipul ajută la concentrarea atenției elevilor asupra principalelor concepte teoretice și să nu rateze detalii importante. Dacă este necesar, elevii pot oricând să asculte din nou lecția video sau să revină la mai multe subiecte.

Această lecție video pentru clasa a VIII-a îi va ajuta pe elevi să învețe subiect nouîn geometrie.

ÎN subiectul anterior Am studiat teorema lui Pitagora și i-am analizat demonstrația.

Există, de asemenea, o teoremă care este cunoscută sub numele de teorema inversă a lui Pitagora. Să aruncăm o privire mai atentă.

Teorema. Un triunghi este dreptunghic dacă are următoarea egalitate: valoarea unei laturi a triunghiului la pătrat este aceeași cu suma celorlalte două laturi la pătrat.

Dovada. Să presupunem că ni se dă un triunghi ABC, în care este valabilă egalitatea AB 2 = CA 2 + CB 2. Este necesar să se demonstreze că unghiul C este egal cu 90 de grade. Considerăm un triunghi A 1 B 1 C 1 în care unghiul C 1 este egal cu 90 de grade, latura C 1 A 1 este egală cu CA și latura B 1 C 1 este egală cu BC.

Aplicând teorema lui Pitagora, scriem raportul laturilor din triunghiul A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Prin înlocuirea expresiei cu laturi egale, obținem A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2.

Din condițiile teoremei știm că AB 2 = CA 2 + CB 2. Atunci putem scrie A 1 B 1 2 = AB 2, din care rezultă că A 1 B 1 = AB.

Am constatat că în triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1 trei laturi sunt egale: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Deci aceste triunghiuri sunt egale. Din egalitatea triunghiurilor rezultă că unghiul C egal cu unghiul De la 1 și, în consecință, este egal cu 90 de grade. Am stabilit că triunghiul ABC este dreptunghic și unghiul său C este de 90 de grade. Am demonstrat această teoremă.

În continuare, autorul dă un exemplu. Să presupunem că ni se dă un triunghi arbitrar. Se cunosc dimensiunile laturilor sale: 5, 4 și 3 unități. Să verificăm afirmația din teorema inversă teoremei lui Pitagora: 5 2 = 3 2 + 4 2. Afirmația este adevărată, ceea ce înseamnă că acest triunghi este dreptunghic.

În următoarele exemple, triunghiurile vor fi și triunghiuri dreptunghiulare dacă laturile lor sunt egale:

5, 12, 13 unități; egalitatea 13 2 = 5 2 + 12 2 este adevărată;

8, 15, 17 unități; egalitatea 17 2 = 8 2 + 15 2 este adevărată;

7, 24, 25 unități; egalitatea 25 2 = 7 2 + 24 2 este adevărată.

Conceptul de triunghi pitagoreic este cunoscut. Acesta este un triunghi dreptunghic ale cărui laturi sunt egale cu numere întregi. Dacă catetele triunghiului lui Pitagora sunt notate cu a și c, iar ipotenuza cu b, atunci valorile laturilor acestui triunghi pot fi scrise folosind următoarele formule:

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

unde m, n, k sunt oricare numere naturale, iar valoarea lui m este mai mare decât valoarea lui n.

Fapt interesant: un triunghi cu laturile 5, 4 și 3 este numit și triunghi egiptean un astfel de triunghi era cunoscut în Egiptul Antic.

În această lecție video am învățat teorema inversă cu teorema lui Pitagora. Am examinat dovezile în detaliu. Elevii au învățat și care triunghiuri se numesc triunghiuri pitagoreice.

Elevii se pot familiariza cu ușurință cu subiectul „Teorema inversă a lui Pitagora” cu ajutorul acestei lecții video.