>> Metode de integrare

Metode de integrare de bază

Definiția integrală, integrală definită și nedefinită, tabel de integrale, formula Newton-Leibniz, integrare pe părți, exemple de calcul a integralelor.

Integrală nedefinită

Se numește o funcție F(x) diferențiabilă într-un interval dat X antiderivată a funcției f(x), sau integrala lui f(x), dacă pentru fiecare x ∈X este valabilă următoarea egalitate:

F " (x) = f(x). (8.1)

Găsirea tuturor antiderivatelor pentru o funcție dată se numește ea integrare. Funcție integrală nedefinită f(x) pe un interval dat X se numește mulțimea tuturor funcții antiderivate pentru funcția f(x); denumire -

Dacă F(x) este o antiderivată pentru funcția f(x), atunci ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

unde C este o constantă arbitrară.

Tabelul integralelor

Direct din definiție obținem principalele proprietăți Nu integrală definităși o listă de integrale tabelare:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Lista integralelor tabelare

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Înlocuire variabilă

Pentru a integra multe funcții, utilizați metoda de înlocuire a variabilei sau substituții, permițându-vă să reduceți integralele la formă tabelară.

Dacă funcția f(z) este continuă pe [α,β], funcția z =g(x) are o derivată continuă și α ≤ g(x) ≤ β, atunci

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Mai mult, după integrarea din partea dreaptă, trebuie făcută înlocuirea z=g(x).

Pentru a dovedi, este suficient să scrieți integrala originală sub forma:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

De exemplu:

1)

2) .

Metoda de integrare pe părți

Fie u = f(x) și v = g(x) funcții care au continuu . Apoi, conform lucrării,

d(uv))= udv + vdu sau udv = d(uv) - vdu.

Pentru expresia d(uv), antiderivatul va fi evident uv, deci formula este valabilă:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Această formulă exprimă regula integrare pe părți. Conduce integrarea expresiei udv=uv"dx la integrarea expresiei vdu=vu"dx.

De exemplu, doriți să găsiți ∫xcosx dx. Să punem u = x, dv = cosxdx, deci du=dx, v=sinx. Apoi

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Regula integrării pe părți are un domeniu de aplicare mai limitat decât înlocuirea variabilelor. Dar există clase întregi de integrale, de exemplu,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax și altele, care sunt calculate precis folosind integrarea pe părți.

Integrală definită

Conceptul de integrală definită este introdus după cum urmează. Fie definită o funcție f(x) pe un interval. Să împărțim segmentul [a,b] în n părți prin puncte a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Se numește o sumă de forma f(ξ i)Δ x i suma integrală, iar limita sa la λ = maxΔx i → 0, dacă există și este finită, se numește integrală definită funcţiile f(x) ale o la b si este desemnata:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funcția f(x) în acest caz este numită integrabil pe interval, se numesc numerele a și b limitele inferioare și superioare ale integralei.

Următoarele proprietăți sunt adevărate pentru o integrală definită:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Ultima proprietate este numită teorema valorii medii.

Fie f(x) continuă pe . Apoi pe acest segment există o integrală nedefinită

∫f(x)dx = F(x) + C

si are loc formula Newton-Leibniz, legând integrala definită cu integrala nedefinită:

F(b) - F(a). (8,6)

Interpretare geometrică: integrala definită este aria unui trapez curbiliniu delimitată de sus de curba y=f(x), drepte x = a și x = b și un segment al axei Bou.

Integrale improprii

Se numesc integralele cu limite infinite și integralele funcțiilor discontinue (nemărginite). nu a ta. Integrale improprii de primul fel - acestea sunt integrale pe un interval infinit, definite după cum urmează:

(8.7)

Dacă această limită există și este finită, atunci se numește integrala improprie convergentă a lui f(x) pe intervalul [a,+ ∞), și se numește funcția f(x). integrabil pe un interval infinit[a,+ ∞). În caz contrar, se spune că integrala este nu există sau diverge.

Integrale improprii pe intervalele (-∞,b] și (-∞, + ∞) sunt definite în mod similar:

Să definim conceptul de integrală a unei funcții nemărginite. Dacă f(x) este continuă pentru toate valorile x segmentul , cu excepția punctului c, la care f(x) are o discontinuitate infinită, atunci integrala improprie a celui de-al doilea fel de f(x) variind de la a la b suma se numeste:

dacă aceste limite există și sunt finite. Desemnare:

Exemple de calcule integrale

Exemplul 3.30. Calculați ∫dx/(x+2).

Soluţie. Să notăm t = x+2, atunci dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Exemplul 3.31. Găsiți ∫ tgxdx.

Soluţie.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Fie t=cosx, atunci ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Exemplu3.32 . Găsiți ∫dx/sinx

Soluţie.

Exemplu3.33. Găsiți .

Soluţie. =

.

Exemplu3.34 . Găsiți ∫arctgxdx.

Soluţie. Să integrăm pe părți. Să notăm u=arctgx, dv=dx. Atunci du = dx/(x 2 +1), v=x, de unde ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; deoarece
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Exemplu3.35 . Calculați ∫lnxdx.

Soluţie. Aplicând formula de integrare prin părți, obținem:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Atunci ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Exemplu3.36 . Calculați ∫e x sinxdx.

Soluţie. Să notăm u = e x, dv = sinxdx, apoi du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. De asemenea, integrăm integrala ∫e x cosxdx prin părți: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Avem:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Am obținut relația ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, din care 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Exemplu 3.37. Calculați J = ∫cos(lnx)dx/x.

Soluţie. Deoarece dx/x = dlnx, atunci J= ∫cos(lnx)d(lnx). Înlocuind lnx prin t, ajungem la integrala tabelului J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Exemplu 3.38 . Calculați J = .

Soluţie. Considerând că = d(lnx), înlocuim lnx = t. Atunci J = .

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?

Dacă singura utilizare pe care o știi pentru o integrală este să folosești o croșetată în formă de pictogramă integrală pentru a obține ceva util din locurile greu accesibile, atunci bine ai venit! Aflați cum să rezolvați cele mai simple și alte integrale și de ce nu vă puteți descurca fără ea la matematică.

Studiem conceptul « integrală »

Integrarea era cunoscută încă din Egiptul Antic. Desigur, nu în forma sa modernă, dar totuși. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. Mai ales s-au distins Newton Şi Leibniz , dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.

Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de cunoștințe de bază despre elementele de bază ale analizei matematice. Avem deja informații despre , necesare înțelegerii integralelor, pe blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să avem o funcție f(x) .

Funcție integrală nedefinită f(x) această funcție este numită F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .

Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți despre cum în articolul nostru.

Un antiderivat există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderivate ale funcțiilor elementare, este convenabil să le puneți într-un tabel și să folosiți valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru elevi

Integrală definită

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei unei figuri, a masei unui corp neuniform, a distanței parcurse în timpul mișcării inegale și multe altele. Trebuie amintit că o integrală este suma unui număr infinit de termeni infinitezimali.

De exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții.

Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de graficul unei funcții? Folosind o integrală! Să împărțim trapezul curbiliniu, limitat de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinitezimale. În acest fel figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

« Integral »

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la

Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechine

Proprietățile integralei nedefinite

Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici ne vom uita la proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile în rezolvarea exemplelor.

• Derivata integralei este egala cu integrandul:

• Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

• Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Acest lucru este valabil și pentru diferența:

Proprietățile unei integrale definite

• Linearitate:

• Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt schimbate:

• La orice puncte o, bŞi Cu:

Am aflat deja că o integrală definită este limita unei sume. Dar cum să obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta există formula Newton-Leibniz:

Exemple de rezolvare a integralelor

Mai jos vom lua în considerare integrala nedefinită și exemple cu soluții. Vă sugerăm să vă dați seama de complexitatea soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați un serviciu profesionist pentru studenți și orice integrală triplă sau curbă pe o suprafață închisă va fi în puterea dumneavoastră.

Pe aceasta pagina veti gasi:

1. De fapt, tabelul de antiderivate - poate fi descărcat în format PDF și tipărit;

2. Video despre cum se utilizează acest tabel;

3. O grămadă de exemple de calculare a antiderivatei din diverse manuale și teste.

În videoclipul în sine, vom analiza multe probleme în care trebuie să calculați antiderivate ale funcțiilor, adesea destul de complexe, dar cel mai important, nu sunt funcții de putere. Toate funcțiile rezumate în tabelul propus mai sus trebuie cunoscute pe de rost, ca și derivatele. Fără ele, studiul suplimentar al integralelor și aplicarea lor pentru a rezolva probleme practice este imposibil.

Astăzi continuăm să studiem primitivele și trecem la un subiect puțin mai complex. Dacă data trecută am considerat antiderivate doar ale funcțiilor de putere și construcții ceva mai complexe, astăzi ne vom uita la trigonometrie și multe altele.

După cum am spus în ultima lecție, antiderivatele, spre deosebire de derivatele, nu sunt niciodată rezolvate „direct” folosind reguli standard. Mai mult, vestea proastă este că, spre deosebire de derivat, este posibil ca antiderivatul să nu fie luat în considerare deloc. Dacă scriem o funcție complet aleatorie și încercăm să-i găsim derivata, atunci cu o probabilitate foarte mare vom reuși, dar antiderivata nu va fi aproape niciodată calculată în acest caz. Dar există o veste bună: există o clasă destul de mare de funcții numite funcții elementare, ale căror antiderivate sunt foarte ușor de calculat. Și toate celelalte structuri mai complexe care sunt date la tot felul de teste, teste independente și examene, de fapt, sunt alcătuite din aceste funcții elementare prin adunare, scădere și alte acțiuni simple. Prototipurile unor astfel de funcții au fost mult timp calculate și compilate în tabele speciale. Aceste funcții și tabele sunt cu care vom lucra astăzi.

Dar vom începe, ca întotdeauna, cu o repetare: să ne amintim ce este un antiderivat, de ce există infinit de multe dintre ele și cum să le determinăm aspectul general. Pentru a face acest lucru, am luat în calcul două probleme simple.

Rezolvarea de exemple simple

Exemplul #1

Să observăm imediat că $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ și, în general, prezența lui $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ ne sugerează imediat că antiderivata necesară a funcției este legată de trigonometrie. Și, într-adevăr, dacă ne uităm la tabel, vom descoperi că $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nu este altceva decât $\text(arctg)x$. Deci hai sa o scriem:

Pentru a găsi, trebuie să scrieți următoarele:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Exemplul nr. 2

Vorbim aici și despre funcții trigonometrice. Dacă ne uităm la tabel, atunci, într-adevăr, iată ce se întâmplă:

Trebuie să găsim dintre întregul set de antiderivate pe cel care trece prin punctul indicat:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Să o scriem în sfârșit:

Este atât de simplu. Singura problemă este că, pentru a calcula antiderivate ale funcțiilor simple, trebuie să înveți un tabel cu antiderivate. Cu toate acestea, după ce am studiat tabelul de derivate pentru dvs., cred că aceasta nu va fi o problemă.

Rezolvarea problemelor care conțin o funcție exponențială

Pentru început, să scriem următoarele formule:

\[((e)^(x))\la ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\la \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Să vedem cum funcționează toate acestea în practică.

Exemplul #1

Dacă ne uităm la conținutul parantezelor, vom observa că în tabelul cu antiderivate nu există o astfel de expresie pentru ca $((e)^(x))$ să fie într-un pătrat, deci acest pătrat trebuie extins. Pentru a face acest lucru, folosim formulele de înmulțire abreviate:

Să găsim antiderivată pentru fiecare dintre termeni:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\la \frac(((\left(((e))) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\la \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Acum să colectăm toți termenii într-o singură expresie și să obținem antiderivata generală:

Exemplul nr. 2

De data aceasta gradul este mai mare, așa că formula de înmulțire prescurtată va fi destul de complexă. Deci, să deschidem parantezele:

Acum să încercăm să luăm antiderivatul formulei noastre din această construcție:

După cum puteți vedea, nu există nimic complicat sau supranatural în antiderivatele funcției exponențiale. Toate sunt calculate prin tabele, dar elevii atenți vor observa probabil că antiderivata $((e)^(2x))$ este mult mai aproape de simplu $((e)^(x))$ decât de $((a). )^(x ))$. Deci, poate că există o regulă mai specială care permite, cunoscând antiderivatul $((e)^(x))$, să găsească $((e)^(2x))$? Da, o astfel de regulă există. Și, în plus, este o parte integrantă a lucrului cu tabelul de antiderivate. Îl vom analiza acum folosind aceleași expresii cu care tocmai am lucrat ca exemplu.

Reguli de lucru cu tabelul de antiderivate

Să scriem din nou funcția noastră:

În cazul precedent, am folosit următoarea formulă pentru a rezolva:

\[((a)^(x))\la \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Dar acum să o facem puțin diferit: să ne amintim pe ce bază $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. După cum am spus deja, deoarece derivata $((e)^(x))$ nu este altceva decât $((e)^(x))$, prin urmare, antiderivata sa va fi egală cu același $((e) ^ (x))$. Dar problema este că avem $((e)^(2x))$ și $((e)^(-2x))$. Acum să încercăm să găsim derivata lui $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Să rescriem construcția noastră din nou:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Aceasta înseamnă că atunci când găsim antiderivată $((e)^(2x))$ obținem următoarele:

\[((e)^(2x))\la \frac(((e)^(2x)))(2)\]

După cum puteți vedea, am obținut același rezultat ca înainte, dar nu am folosit formula pentru a găsi $((a)^(x))$. Acum asta poate părea stupid: de ce să complici calculele când există o formulă standard? Cu toate acestea, în expresii ceva mai complexe veți constata că această tehnică este foarte eficientă, adică. folosind derivate pentru a găsi antiderivate.

Ca o încălzire, să găsim antiderivata lui $((e)^(2x))$ într-un mod similar:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

La calcul, construcția noastră va fi scrisă după cum urmează:

\[((e)^(-2x))\la -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\la -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Am obținut exact același rezultat, dar am luat o cale diferită. Această cale, care acum ni se pare puțin mai complicată, este cea care în viitor se va dovedi mai eficientă pentru calcularea unor antiderivate mai complexe și utilizarea tabelelor.

Fiţi atenți! Acesta este un punct foarte important: antiderivatele, ca și derivatele, pot fi numărate în multe moduri diferite. Cu toate acestea, dacă toate calculele și calculele sunt egale, atunci răspunsul va fi același. Tocmai am văzut acest lucru în exemplul $((e)^(-2x))$ - pe de o parte, am calculat această antiderivată „direct”, folosind definiția și calculând-o folosind transformări, pe de altă parte, ne-am amintit că $ ((e)^(-2x))$ poate fi reprezentat ca $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ și numai atunci am folosit antiderivată pentru funcția $( (a)^(x))$. Cu toate acestea, după toate transformările, rezultatul a fost același, așa cum era de așteptat.

Și acum că înțelegem toate acestea, este timpul să trecem la ceva mai semnificativ. Acum vom analiza două construcții simple, dar tehnica care va fi folosită atunci când le rezolvăm este un instrument mai puternic și mai util decât simpla „alergare” între antiderivatele vecine din tabel.

Rezolvarea problemelor: găsirea antiderivatei unei funcții

Exemplul #1

Să împărțim suma care se află în numărători în trei fracții separate:

Aceasta este o tranziție destul de naturală și de înțeles - majoritatea studenților nu au probleme cu ea. Să ne rescriem expresia după cum urmează:

Acum să ne amintim această formulă:

În cazul nostru vom obține următoarele:

Pentru a scăpa de toate aceste fracții cu trei etaje, vă sugerez să faceți următoarele:

Exemplul nr. 2

Spre deosebire de fracția anterioară, numitorul nu este un produs, ci o sumă. În acest caz, nu ne mai putem împărți fracția în suma mai multor fracții simple, dar trebuie să încercăm cumva să ne asigurăm că numărătorul conține aproximativ aceeași expresie ca și numitorul. În acest caz, este destul de simplu de făcut:

Această notație, care în limbajul matematic se numește „adăugarea unui zero”, ne va permite să împărțim din nou fracția în două bucăți:

Acum să găsim ceea ce căutăm:

Astea sunt toate calculele. În ciuda complexității aparent mai mari decât în ​​problema anterioară, cantitatea de calcule s-a dovedit a fi și mai mică.

Nuanțe ale soluției

Și aici se află principala dificultate a lucrului cu antiderivate tabulare, acest lucru este vizibil în special în a doua sarcină. Cert este că pentru a selecta unele elemente care sunt ușor de calculat prin tabel, trebuie să știm exact ce căutăm și tocmai în căutarea acestor elemente constă întregul calcul al antiderivatelor.

Cu alte cuvinte, nu este suficient doar să memorezi tabelul de antiderivate - trebuie să poți vedea ceva care nu există încă, ci ce a însemnat autorul și compilatorul acestei probleme. De aceea mulți matematicieni, profesori și profesori susțin constant: „Ce înseamnă luarea de antiderivate sau integrare - este doar un instrument sau este o artă adevărată?” De fapt, după părerea mea personală, integrarea nu este deloc o artă - nu este nimic sublim în ea, este doar practică și mai multă practică. Și ca să exersăm, să rezolvăm trei exemple mai serioase.

Ne antrenăm în integrare în practică

Sarcina nr. 1

Să scriem următoarele formule:

\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\la \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\la \text(arctg)x\]

Să scriem următoarele:

Problema nr. 2

Să-l rescriem după cum urmează:

Antiderivatul total va fi egal cu:

Problema nr. 3

Dificultatea acestei sarcini este că, spre deosebire de funcțiile anterioare de mai sus, nu există deloc variabilă $x$, adică. nu ne este clar ce să adunăm sau să scădem pentru a obține măcar ceva asemănător cu ceea ce este mai jos. Cu toate acestea, de fapt, această expresie este considerată chiar mai simplă decât oricare dintre expresiile anterioare, deoarece această funcție poate fi rescrisă după cum urmează:

Vă puteți întreba acum: de ce sunt aceste funcții egale? Să verificăm:

Să-l rescriem din nou:

Să ne transformăm puțin expresia:

Și când le explic toate astea studenților mei, aproape întotdeauna apare aceeași problemă: cu prima funcție totul este mai mult sau mai puțin clar, cu a doua poți să-ți dai seama și cu noroc sau practică, dar ce fel de conștiință alternativă ai trebuie să aveți pentru a rezolva al treilea exemplu? De fapt, nu te speria. Tehnica pe care am folosit-o la calcularea ultimei antiderivate se numește „descompunerea unei funcții în cea mai simplă ei”, iar aceasta este o tehnică foarte serioasă, iar acesteia i se va dedica o lecție video separată.

Între timp, îmi propun să revenim la ceea ce tocmai am studiat, și anume la funcțiile exponențiale și să complicăm oarecum problemele cu conținutul lor.

Probleme mai complexe pentru rezolvarea funcțiilor exponențiale antiderivate

Sarcina nr. 1

Să notăm următoarele:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Pentru a găsi antiderivata acestei expresii, utilizați pur și simplu formula standard - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

În cazul nostru, antiderivatul va fi astfel:

Desigur, în comparație cu designul pe care tocmai l-am rezolvat, acesta pare mai simplu.

Problema nr. 2

Din nou, este ușor de observat că această funcție poate fi împărțită cu ușurință în doi termeni separați - două fracții separate. Să rescriem:

Rămâne să găsim antiderivatul fiecăruia dintre acești termeni folosind formula descrisă mai sus:

În ciuda complexității aparente mai mari a funcțiilor exponențiale în comparație cu funcțiile de putere, volumul total de calcule și calcule s-a dovedit a fi mult mai simplu.

Desigur, pentru elevii cunoscători, ceea ce tocmai am discutat (mai ales pe fundalul a ceea ce am discutat înainte) poate părea expresii elementare. Cu toate acestea, atunci când am ales aceste două probleme pentru lecția video de astăzi, nu mi-am propus să vă spun o altă tehnică complexă și sofisticată - tot ce am vrut să vă arăt este că nu trebuie să vă fie teamă să folosiți tehnici standard de algebră pentru a transforma funcțiile originale. .

Folosind o tehnică „secretă”.

În concluzie, aș dori să privesc o altă tehnică interesantă, care, pe de o parte, depășește ceea ce am discutat în principal astăzi, dar, pe de altă parte, este, în primul rând, deloc complicată, adică. Chiar și studenții începători îl pot stăpâni și, în al doilea rând, se găsește destul de des în tot felul de teste și lucrări independente, de exemplu. cunoașterea acestuia va fi foarte utilă pe lângă cunoașterea tabelului de antiderivate.

Sarcina nr. 1

Evident, ceea ce avem în fața noastră este ceva foarte asemănător functie de putere. Ce ar trebui să facem în acest caz? Să ne gândim: $x-5$ nu este atât de diferit de $x$ - tocmai au adăugat $-5$. Hai sa o scriem asa:

\[((x)^(4))\la \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Să încercăm să găsim derivata lui $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right)))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Din aceasta rezultă:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ dreapta))^(\prime ))\]

Nu există o astfel de valoare în tabel, așa că acum am derivat această formulă noi înșine folosind formula antiderivată standard pentru o funcție de putere. Să scriem răspunsul astfel:

Problema nr. 2

Mulți studenți care se uită la prima soluție ar putea crede că totul este foarte simplu: doar înlocuiți $x$ în funcția de putere cu o expresie liniară și totul va cădea la loc. Din păcate, totul nu este atât de simplu, iar acum vom vedea asta.

Prin analogie cu prima expresie, scriem următoarele:

\[((x)^(9))\la \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Revenind la derivata noastră, putem scrie:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right)))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Urmează imediat:

Nuanțe ale soluției

Vă rugăm să rețineți: dacă nimic nu s-a schimbat în mod esențial data trecută, atunci în al doilea caz, în loc de $-10$, a apărut $-30$. Care este diferența dintre $-10$ și $-30$? Evident, cu un factor de -3$. Intrebare: de unde a venit? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că a fost luată ca rezultat al calculului derivatei unei funcții complexe - coeficientul care a fost la $x$ apare în antiderivată de mai jos. Aceasta este o regulă foarte importantă, pe care inițial nu am plănuit să o discut deloc în lecția video de astăzi, dar fără ea prezentarea antiderivatelor tabulare ar fi incompletă.

Deci hai să o facem din nou. Să fie funcția noastră principală de putere:

\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Acum, în loc de $x$, să înlocuim expresia $kx+b$. Ce se va întâmpla atunci? Trebuie să găsim următoarele:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\la \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \dreapta)\cdot k)\]

Pe ce bază susținem acest lucru? Foarte simplu. Să găsim derivata construcției scrise mai sus:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Aceasta este aceeași expresie care a existat inițial. Astfel, această formulă este, de asemenea, corectă și poate fi folosită pentru a completa tabelul de antiderivate sau este mai bine să memorați pur și simplu întregul tabel.

Concluzii din „secretul: tehnica:

• Ambele funcții pe care tocmai le-am examinat pot fi, de fapt, reduse la antiderivatele indicate în tabel prin extinderea gradelor, dar dacă putem face față mai mult sau mai puțin cumva gradului al patrulea, atunci nici nu aș considera gradul al nouălea îndrăzneț. a dezvălui.
• Dacă ar fi să extindem gradele, am ajunge cu un astfel de volum de calcule, încât o sarcină simplă ne-ar lua un timp nepotrivit de mare.
• De aceea, astfel de probleme, care conțin expresii liniare, nu trebuie rezolvate „în cap”. De îndată ce dați peste un antiderivat care diferă de cel din tabel doar prin prezența expresiei $kx+b$ în interior, amintiți-vă imediat formula scrisă mai sus, înlocuiți-o în antiderivatul dvs. de tabel și totul va ieși mult. mai rapid si mai usor.

Desigur, datorită complexității și seriozității acestei tehnici, vom reveni asupra ei de multe ori în lecțiile video viitoare, dar asta este tot pentru astăzi. Sper că această lecție îi va ajuta cu adevărat pe acei studenți care doresc să înțeleagă antiderivatele și integrarea.

Integrale principale pe care fiecare elev ar trebui să le cunoască

Integralele enumerate sunt baza, baza fundamentelor. Aceste formule trebuie cu siguranță reținute. Când calculați integrale mai complexe, va trebui să le utilizați în mod constant.

Acordați o atenție deosebită formulelor (5), (7), (9), (12), (13), (17) și (19). Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la răspunsul dvs. atunci când integrați!

Integrala unei constante

∫ A d x = A x + C (1)

Integrarea unei funcții de putere

De fapt, a fost posibil să ne limităm doar la formulele (5) și (7), dar restul integralelor din acest grup apar atât de des încât merită să le acordăm puțină atenție.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrale ale funcțiilor exponențiale și ale funcțiilor hiperbolice

Desigur, formula (8) (poate cea mai convenabilă pentru memorare) poate fi considerată ca caz special formule (9). Formulele (10) și (11) pentru integralele sinusului hiperbolic și cosinus hiperbolic sunt ușor derivate din formula (8), dar este mai bine să ne amintim pur și simplu aceste relații.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integrale de bază ale funcțiilor trigonometrice

O greșeală pe care elevii o fac adesea este aceea că confundă semnele în formulele (12) și (13). Amintindu-ne că derivata sinusului este egală cu cosinusul, din anumite motive, mulți oameni cred că integrala lui funcții sinx egal cu cosx. Acest lucru nu este adevărat! Integrala sinusului este egală cu „minus cosinus”, dar integrala cosx este egală cu „doar sinusul”:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrale care reduc la funcții trigonometrice inverse

Formula (16), care duce la arctangente, este în mod natural un caz special al formulei (17) pentru a=1. În mod similar, (18) este un caz special al lui (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Integrale mai complexe

De asemenea, este indicat să vă amintiți aceste formule. De asemenea, sunt folosite destul de des, iar producția lor este destul de obositoare.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Reguli generale de integrare

1) Integrala sumei a două funcții este egală cu suma integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrala diferenței a două funcții este egală cu diferența integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Constanta poate fi scoasă din semnul integral: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Este ușor de observat că proprietatea (26) este pur și simplu o combinație de proprietăți (25) și (27).

4) Integrală a unei funcții complexe dacă funcția interioară este liniară: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Aici F(x) este o antiderivată pentru funcția f(x). Vă rugăm să rețineți: această formulă funcționează numai atunci când funcția interioară este Ax + B.

Exemplul 1. Aflați integrala: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Să folosim formulele (25) și (26) (integrala sumei sau diferenței de funcții este egală cu suma sau diferența integralelor corespunzătoare. Se obține: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Să ne amintim că constanta poate fi scoasă din semnul integral (formula (27)). Expresia este convertită în formă

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Acum să folosim doar tabelul integralelor de bază. Va trebui să aplicăm formulele (3), (12), (8) și (1). Să integrăm funcția de putere, sinus, exponențial și constantă 1. Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la sfârșit:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

După transformări elementare obținem răspunsul final:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testați-vă prin diferențiere: luați derivata funcției rezultate și asigurați-vă că este egală cu integrandul original.

Tabel rezumativ al integralelor

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |

x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |

x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Descărcați tabelul de integrale (partea a II-a) de pe acest link

Integrarea este una dintre operațiile principale în analiza matematică. Tabelele cu antiderivate cunoscute pot fi utile, dar acum, după apariția sistemelor de algebră computerizată, își pierd semnificația. Mai jos este o listă cu cele mai comune primitive.

Tabelul integralelor de bază

O altă opțiune, compactă

Tabelul integralelor funcțiilor trigonometrice

Din funcții raționale

Din funcții iraționale

Integrale ale funcțiilor transcendentale

„C” este o constantă de integrare arbitrară, care este determinată dacă valoarea integralei în orice punct este cunoscută. Fiecare funcție are un număr infinit de antiderivate.

Majoritatea elevilor și elevilor au probleme în calcularea integralelor. Aceasta pagina contine tabele integrale din funcții trigonometrice, raționale, iraționale și transcendentale care vor ajuta la rezolvare. Tabelul derivatelor vă va ajuta și el.

Video - cum să găsiți integralele

Dacă nu înțelegi prea bine acest subiect, urmărește videoclipul, care explică totul în detaliu.