Cum să găsiți numitorul unei progresii geometrice infinite.
limba rusă
Formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice este foarte simplă. Atât ca semnificație, cât și ca aspect general. Dar există tot felul de probleme cu privire la formula celui de-al n-lea termen - de la foarte primitiv la destul de serios. Și în procesul cunoașterii noastre, cu siguranță le vom lua în considerare pe ambele. Ei bine, hai să ne cunoaștem?) Deci, pentru început, de faptformula
n
Iată-l: = b n 1 · b -1
qn
Formula este doar o formulă, nimic supranatural. Pare chiar mai simplu și mai compact decât o formulă similară pentru. Sensul formulei este, de asemenea, la fel de simplu ca cizmele din pâslă. formula".
Această formulă vă permite să găsiți ORICE membru al unei progresii geometrice PRIN NUMĂRUL SĂU "
După cum puteți vedea, sensul este o analogie completă cu o progresie aritmetică. Cunoaștem numărul n - putem număra și termenul sub acest număr. Pe care vrem noi. Fără a înmulți în mod repetat cu „q” de multe, de multe ori. Acesta este ideea.)
Înțeleg că la acest nivel de lucru cu progresii, toate cantitățile incluse în formulă ar trebui să vă fie deja clare, dar consider totuși de datoria mea să le descifrez pe fiecare. Doar în cazul în care.
Deci, iată-ne: 1 – b primul
termenul progresiei geometrice; – ;
q n
– numărul de membru; – b nformulaal n-lea ( a)
termenul unei progresii geometrice. b nq, b n 1 , Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - q formulaŞi
. Și toate problemele de progres se învârt în jurul acestor patru cifre cheie.„Cum se elimină?”
– Aud o întrebare curioasă... Elementar! Uite! Ce este egal cu doilea
membru al progresiei? Nicio întrebare! Scriem direct:
b 2 = b 1 ·q Și cum rămâne cu al treilea membru? Nici o problemă! Înmulțim al doilea termenAceastă formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice -.
încă o dată pe
Ca aceasta:
B 3 = b 2 q
Să ne amintim acum că al doilea termen, la rândul său, este egal cu b 1 ·q și înlocuim această expresie în egalitatea noastră:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Primim: 3 B 2
= b 1 ·q Acum să citim articolul nostru în rusă: treilea Ce este egal cu termenul este egal cu primul termen înmulțit cu q în
grade. Înțelegi? Nu încă? Bine, încă un pas. Care este al patrulea termen? Totul este la fel! Multiplica anterior
(adică al treilea termen) pe q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
Primim: 4 B 3
Total: Și din nou traducem în rusă: patrulea termenul este egal cu primul termen înmulțit cu q în treilea
Și așa mai departe. Deci cum? Ai prins modelul? Da! Pentru orice termen cu orice număr, numărul de factori identici q (adică gradul numitorului) va fi întotdeauna cu unul mai puțin decât numărul membrului doritformula.
Prin urmare, formula noastră va fi, fără variații:
b n =b n 1 · b -1
Asta e tot.)
Ei bine, hai să rezolvăm problemele, cred?)
Rezolvarea problemelor cu formuleformulaal treilea termen al unei progresii geometrice.
Să începem, ca de obicei, cu aplicarea directă a formulei. Iată o problemă tipică:
În progresie geometrică, se știe că b n 1 = 512 și Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - = -1/2. Găsiți al zecelea termen al progresiei.
Desigur, această problemă poate fi rezolvată fără nicio formulă. Direct în sensul progresiei geometrice. Dar trebuie să ne încălzim cu formula celui de-al n-lea termen, nu? Aici ne incalzim.
Datele noastre pentru aplicarea formulei sunt următoarele.
Primul membru este cunoscut. Acesta este 512.
Deci, iată-ne: 1 = 512.
Numitorul progresiei este de asemenea cunoscut: Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - = -1/2.
Tot ce rămâne este să ne dăm seama care este numărul membrului n. Nicio întrebare! Ne interesează al zecelea termen? Deci înlocuim zece în loc de n în formula generală.
Și calculați cu atenție aritmetica:
Raspuns: -1
După cum puteți vedea, al zecelea termen al progresiei s-a dovedit a fi minus. Nimic surprinzător: numitorul nostru de progres este -1/2, adică. negativ număr. Și asta ne spune că semnele progresiei noastre se alternează, da.)
Totul este simplu aici. Aici este o problemă similară, dar puțin mai complicată din punct de vedere al calculelor.
În progresie geometrică, se știe că:
Deci, iată-ne: 1 = 3
Găsiți al treisprezecelea termen al progresiei.
Totul este la fel, doar că de această dată este numitorul progresiei iraţional. Rădăcina din doi. Ei bine, e în regulă. Formula este un lucru universal; poate gestiona orice numere.
Lucrăm direct după formula:
Formula, desigur, a funcționat așa cum ar trebui, dar... aici unii oameni se blochează. Ce să faci în continuare cu rădăcina? Cum să ridici o rădăcină la a douăsprezecea putere?
Cum-cum... Trebuie să înțelegi că orice formulă, desigur, este un lucru bun, dar cunoștințele anterioare de matematică nu sunt anulate! Cum sa construiesti? Da, amintiți-vă proprietățile gradelor! Să transformăm rădăcina în grad fracționarși – conform formulei de ridicare a unui grad la un grad.
încă o dată pe
Răspuns: 192
Și asta-i tot.)
Care este principala dificultate în aplicarea directă a formulei a n-a termen? Da! Principala dificultate este lucrez cu grade!Și anume ridicarea numerelor negative, fracțiilor, rădăcinilor și construcțiilor similare la puteri. Așa că cei care au probleme cu asta, vă rugăm să repetați gradele și proprietățile lor! Altfel, vei încetini și acest subiect, da...)
Acum să rezolvăm problemele tipice de căutare unul dintre elementele formulei, dacă toate celelalte sunt date. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, rețeta este uniformă și teribil de simplă - scrie formulaformula-al-lea membru în general! Chiar în caiet de lângă stare. Și apoi, din condiții, ne dăm seama ce ne este dat și ce lipsește. Și exprimăm valoarea dorită din formulă. Toate!
De exemplu, o astfel de problemă inofensivă.
Al cincilea termen al unei progresii geometrice cu numitorul 3 este 567. Aflați primul termen al acestei progresii.
Nimic complicat. Lucrăm direct după vrajă.
Să scriem formula pentru al n-lea termen!
Iată-l: = b n 1 · b -1
Ce ni s-a dat? În primul rând, numitorul progresiei este dat: Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - = 3.
Mai mult, ni se oferă al cincilea membru: b n 5 = 567 .
Toate? Nu! Ni s-a dat și numărul n! Acesta este un cinci: n = 5.
Sper că ați înțeles deja ce este în înregistrare b n 5 = 567 doi parametri sunt ascunși simultan - acesta este al cincilea termen în sine (567) și numărul său (5). Am vorbit deja despre asta într-o lecție similară, dar cred că merită menționat și aici.)
Acum înlocuim datele noastre în formula:
567 = b n 1 ·3 5-1
Facem aritmetica, simplificăm și obținem ceva simplu ecuație liniară:
81 b n 1 = 567
Rezolvăm și obținem:
Deci, iată-ne: 1 = 7
După cum puteți vedea, nu există probleme cu găsirea primului termen. Dar când se caută numitorul Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - si numere formula Pot exista și surprize. Și, de asemenea, trebuie să fii pregătit pentru ele (surprize), da.)
De exemplu, această problemă:
Al cincilea termen al unei progresii geometrice cu numitor pozitiv este 162, iar primul termen al acestei progresii este 2. Aflați numitorul progresiei.
De această dată ni se oferă primul și al cincilea termen și ni se cere să găsim numitorul progresiei. Începem.
Scriem formulaformulaal-lea membru!
Iată-l: = b n 1 · b -1
Datele noastre inițiale vor fi următoarele:
Deci, iată-ne: 5 = 162
Deci, iată-ne: 1 = 2
q = 5
Valoare lipsă Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice -. Nicio întrebare! Să o găsim acum.) Înlocuim tot ce știm în formulă.
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
162 = 2Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 5-1
2 Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 4 = 162
termenul progresiei geometrice; 4 = 81
O ecuație simplă de gradul al patrulea. Și acum - atent!În această etapă a soluției, mulți studenți extrag imediat cu bucurie rădăcina (de gradul al patrulea) și obțin răspunsul Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice -=3 .
încă o dată pe
q4 = 81
termenul progresiei geometrice; = 3
Dar, de fapt, acesta este un răspuns neterminat. Mai precis, incomplet. De ce? Ideea este că răspunsul Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - = -3 potrivit și: (-3) 4 va fi și 81!
Acest lucru se datorează faptului că ecuația puterii x n = oîntotdeauna are două rădăcini opuse la chiarformula . Cu plus și minus:
Ambele sunt potrivite.
De exemplu, atunci când decideți (de ex. Ce este egal cu grade)
x 2 = 9
Din anumite motive, nu ești surprins de aspect două rădăcini x=±3? La fel este și aici. Și cu oricare altul chiar gradul (al patrulea, al șaselea, al zecelea etc.) va fi același. Detalii sunt în subiectul despre
Prin urmare, soluția corectă ar fi:
termenul progresiei geometrice; 4 = 81
termenul progresiei geometrice;= ±3
Bine, am rezolvat semnele. Care dintre ele este corectă - plus sau minus? Ei bine, să citim din nou declarația problemei în căutarea Informații suplimentare. Desigur, s-ar putea să nu existe, dar în această problemă astfel de informații disponibil. Condiția noastră afirmă în text simplu că o progresie este dată cu numitor pozitiv.
Prin urmare, răspunsul este evident:
termenul progresiei geometrice; = 3
Totul este simplu aici. Ce credeți că s-ar întâmpla dacă afirmația problemei ar fi așa:
Al cincilea termen al unei progresii geometrice este 162, iar primul termen al acestei progresii este 2. Aflați numitorul progresiei.
Care este diferența? Da! In stare Nimic nu se menționează semnul numitorului. Nici direct, nici indirect. Și aici problema ar avea deja doua solutii!
termenul progresiei geometrice; = 3 Şi Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - = -3
Da, da! Atât cu plus, cât și cu minus.) Matematic, acest fapt ar însemna că există două progresii, care se potrivesc condițiilor problemei. Și fiecare are propriul numitor. Doar pentru distracție, exersați și scrieți primii cinci termeni ai fiecăruia.)
Acum să exersăm să găsim numărul membrului. Această problemă este cea mai dificilă, da. Dar și mai creativ.)
Având în vedere o progresie geometrică:
3; 6; 12; 24; …
Ce număr din această progresie este numărul 768?
Primul pas este în continuare același: scrie formulaformulaal-lea membru!
Iată-l: = b n 1 · b -1
Și acum, ca de obicei, înlocuim datele pe care le cunoaștem în ele. Hm... nu merge! Unde este primul termen, unde este numitorul, unde este totul?!
Unde, unde... De ce avem nevoie de ochi? Îți bate din gene? De data aceasta progresia ne este dată direct în formular secvente. Putem vedea primul membru? Vedem! Acesta este un triplu (b 1 = 3). Dar numitorul? Nu îl vedem încă, dar este foarte ușor de numărat. Dacă, desigur, înțelegeți...
Deci numărăm. Direct după semnificația unei progresii geometrice: luăm oricare dintre termenii săi (cu excepția primului) și împărțim la cel anterior.
Cel putin asa:
termenul progresiei geometrice; = 24/12 = 2
Ce mai știm? Cunoaștem și un termen al acestei progresii, egal cu 768. Sub un număr n:
– numărul de membru; = 768
Nu-i știm numărul, dar sarcina noastră este tocmai să-l găsim.) Deci căutăm. Am descărcat deja toate datele necesare pentru înlocuire în formulă. Fără să știți.)
Aici înlocuim:
768 = 3 2q -1
Să le facem pe cele elementare - împărțiți ambele părți la trei și rescrieți ecuația în forma obișnuită: necunoscutul este în stânga, cunoscutul este în dreapta.
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
2 q -1 = 256
Aceasta este o ecuație interesantă. Trebuie să găsim „n”. Ce, neobișnuit? Da, nu mă cert. De fapt, acesta este cel mai simplu lucru. Se numește așa pentru că necunoscutul (în în acest caz, acesta este un număr formula) costă în indicator treilea
În stadiul de familiarizare cu progresia geometrică (aceasta este clasa a IX-a) ecuații exponențiale Ei nu te învață cum să decizi, da... Acesta este un subiect pentru liceu. Dar nu e nimic înfricoșător. Chiar dacă nu știți cum se rezolvă astfel de ecuații, să încercăm să ne găsim formula, ghidat de simplă logică și bun simț.
Să începem să vorbim. În stânga avem un deuce într-o oarecare măsură. Nu știm încă ce este exact acest grad, dar nu este înfricoșător. Dar știm sigur că acest grad este egal cu 256! Așa că ne amintim în ce măsură un doi ne dă 256. Îți amintești? Da! ÎN al optulea grade!
256 = 2 8
Dacă nu vă amintiți sau aveți probleme în a recunoaște gradele, atunci este în regulă și asta: doar pătratul doi, cubul, al patrulea, al cincilea și așa mai departe. Selecția, de fapt, dar la acest nivel va funcționa destul de bine.
Într-un fel sau altul, obținem:
2 q -1 = 2 8
q-1 = 8
q = 9
Deci 768 este nouălea membru al progresiei noastre. Asta e, problema rezolvată.)
Raspuns: 9
Ce? Plictisitor? Te-ai săturat de lucruri elementare? De acord. Şi eu. Să trecem la următorul nivel.)
Sarcini mai complexe.
Acum să rezolvăm probleme mai provocatoare. Nu tocmai super cool, dar care necesită puțină muncă pentru a ajunge la răspuns.
De exemplu, acesta.
Găsiți al doilea termen al unei progresii geometrice dacă al patrulea termen este -24 și al șaptelea termen este 192.
Acesta este un clasic al genului. Sunt cunoscuți doi termeni diferiți ai progresiei, dar trebuie găsit un alt termen. Mai mult, toți membrii NU sunt vecini. Ceea ce este confuz la început, da...
Ca și în, pentru a rezolva astfel de probleme vom lua în considerare două metode. Prima metodă este universală. Algebric. Funcționează perfect cu orice sursă de date. De aceea vom începe cu asta.)
Descriem fiecare termen conform formulei formulaal-lea membru!
Totul este exact la fel ca în cazul unei progresii aritmetice. Doar că de data aceasta lucrăm altul formula generala. Asta-i tot.) Dar esența este aceeași: luăm și unul câte unulÎnlocuim datele noastre inițiale în formula pentru al n-lea termen. Pentru fiecare membru - al lor.
Pentru al patrulea termen scriem:
Deci, iată-ne: 4 = b n 1 · Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 3
-24 = b n 1 · Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 3
Mânca. O ecuație este gata.
Pentru al șaptelea termen scriem:
Deci, iată-ne: 7 = b n 1 · Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 6
192 = b n 1 · Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 6
În total, avem două ecuații pentru aceeasi progresie .
Asamblam un sistem din ele:
În ciuda aspectului său amenințător, sistemul este destul de simplu. Cea mai evidentă soluție este înlocuirea simplă. Ne exprimăm b n 1 din ecuația superioară și înlocuiți-o în cea inferioară:
După ce ne-am jucat puțin cu ecuația de jos (reducerea puterilor și împărțirea la -24), obținem:
Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 3 = -8
Apropo, la aceeași ecuație se poate ajunge într-un mod mai simplu! Care? Acum vă voi arăta un alt mod secret, dar foarte frumos, puternic și util de a rezolva astfel de sisteme. Astfel de sisteme, ale căror ecuații includ doar funcționează. Cel puțin într-una. Chemat metoda diviziunii o ecuație la alta.
Deci, avem un sistem în fața noastră:
În ambele ecuații din stânga - lucru, iar în dreapta este doar un număr. Acesta este un semn foarte bun.) Să-l luăm și... împărțim, să zicem, ecuația inferioară la cea superioară! Ce înseamnă să împărțim o ecuație la alta? Foarte simplu. Să o luăm partea stângă o ecuație (inferioară) și împărțiți ea pe partea stângă o altă ecuație (superioară). Partea dreaptă este asemănătoare: partea dreaptă o singură ecuație împărțiți pe partea dreaptă altul.
Întregul proces de divizare arată astfel:
Acum, reducând tot ceea ce poate fi redus, obținem:
termenul progresiei geometrice; 3 = -8
Ce este bun la această metodă? Da, pentru că în procesul unei astfel de împărțiri totul rău și incomod poate fi redus în siguranță și rămâne o ecuație complet inofensivă! Acesta este motivul pentru care este atât de important să ai numai înmulțireaîn cel puţin una dintre ecuaţiile sistemului. Nu există înmulțire - nu există nimic de redus, da...
În general, această metodă (ca multe alte metode non-triviale de rezolvare a sistemelor) chiar merită o lecție separată. Cu siguranță mă voi uita mai detaliat. Într-o zi…
Cu toate acestea, nu contează cât de exact rezolvi sistemul, în orice caz, acum trebuie să rezolvăm ecuația rezultată:
termenul progresiei geometrice; 3 = -8
Nicio problemă: extrageți rădăcina cubului și gata!
Vă rugăm să rețineți că nu este nevoie să puneți un plus/minus aici atunci când extrageți. Avem o rădăcină de grad impar (al treilea). Și răspunsul este același, da.)
Deci, numitorul progresiei a fost găsit. Minus doi. Mare! Procesul este în desfășurare.)
Pentru primul termen (să zicem, din ecuația superioară) obținem:
Mare! Cunoaștem primul termen, cunoaștem numitorul. Și acum avem ocazia să găsim orice membru al progresiei. Inclusiv al doilea.)
Pentru al doilea termen totul este destul de simplu:
b n 2 = b n 1 · Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice -= 3·(-2) = -6
Răspuns: -6
Deci, am defalcat metoda algebrică pentru rezolvarea problemei. Dificil? Nu chiar, sunt de acord. Lung și plictisitor? Da, cu siguranță. Dar uneori puteți reduce semnificativ cantitatea de muncă. Pentru asta există metoda grafica. Bine vechi și familiar pentru noi.)
Să desenăm o problemă!
Da! Asta e corect. Din nou ne descriem progresia pe axa numerelor. Nu este necesar să urmați o riglă, nu este necesar să mențineți intervale egale între termeni (care, apropo, nu vor fi la fel, deoarece progresia este geometrică!), ci pur și simplu schematic Să ne desenăm secvența.
am prins asa:
Acum uită-te la imagine și descoperă-l. Câți factori identici „q” separă Și din nou traducem în rusă: q şaptelea membrii? Așa este, trei!
Prin urmare, avem tot dreptul să scriem:
-24·Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 3 = 192
De aici este acum ușor să găsiți q:
Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 3 = -8
Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - = -2
Este grozav, avem deja numitorul în buzunar. Acum să ne uităm din nou la imagine: câți astfel de numitori stau între doilea q patrulea membrii? Două! Prin urmare, pentru a înregistra legătura dintre acești termeni, vom construi numitorul pătrat.
Deci scriem:
b n 2 · Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 2 = -24 , unde b n 2 = -24/ Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 2
Înlocuim numitorul nostru găsit în expresia pentru b 2, numărăm și obținem:
Răspuns: -6
După cum puteți vedea, totul este mult mai simplu și mai rapid decât prin intermediul sistemului. Mai mult decât atât, aici nu a fost deloc nevoie să numărăm primul termen! Deloc.)
Iată o lumină atât de simplă și vizuală. Dar are și un dezavantaj serios. Ai ghicit? Da! Este bun doar pentru piese foarte scurte de progres. Cele la care distanțele dintre membrii care ne interesează nu sunt foarte mari. Dar în toate celelalte cazuri este deja dificil să desenezi o imagine, da... Apoi rezolvăm problema analitic, prin intermediul sistemului.) Și sistemele sunt lucruri universale. Ei pot gestiona orice numere.
O altă provocare epică:
Al doilea termen al progresiei geometrice cu 10 mai mult decât primul, iar al treilea termen este cu 30 mai mult decât al doilea. Găsiți numitorul progresiei.
Ce, cool? Deloc! Totul este la fel. Din nou traducem enunțul problemei în algebră pură.
1) Descriem fiecare termen după formula formulaal-lea membru!
Al doilea termen: b 2 = b 1 q
Al treilea termen: b 3 = b 1 q 2
2) Notăm legătura dintre membri din enunțul problemei.
Citim condiția: „Al doilea termen al progresiei geometrice este cu 10 mai mare decât primul.” Opreste-te, asta e valoros!
Deci scriem:
Deci, iată-ne: 2 = b n 1 +10
Și traducem această frază în matematică pură:
Deci, iată-ne: 3 = b n 2 +30
Avem două ecuații. Să le combinăm într-un sistem:
Sistemul pare simplu. Dar există prea mulți indici diferiți pentru litere. Să înlocuim în locul celui de-al doilea și al treilea termen expresiile lor prin primul termen și numitor! Degeaba le-am pictat?
Primim:
Dar un astfel de sistem nu mai este un cadou, da... Cum să rezolvi asta? Din păcate, nu există o vrajă secretă universală pentru rezolvarea complexului neliniară Nu există sisteme în matematică și nu pot exista. Acest lucru este fantastic! Dar primul lucru care ar trebui să-ți vină în minte atunci când încerci să spargi o nucă atât de dură este să-ți dai seama Dar nu se reduce una dintre ecuațiile sistemului la o formă frumoasă care permite, de exemplu, să exprime cu ușurință una dintre variabile în termenii alteia?
Să ne dăm seama. Prima ecuație a sistemului este clar mai simplă decât a doua. Îl vom tortura.) N-ar trebui să încercăm din prima ecuație ceva exprima prin ceva? Din moment ce vrem să găsim numitorul Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice -, atunci cel mai avantajos ar fi să ne exprimăm b n 1 prin Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice -.
Deci, să încercăm să facem această procedură cu prima ecuație, folosind cele vechi bune:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q – b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Toate! Așa ne-am exprimat inutil dă-ne variabila (b 1) prin necesar(q). Da, nu este cea mai simplă expresie pe care o avem. Un fel de fracțiune... Dar sistemul nostru este de un nivel decent, da.)
Tipic. Știm ce să facem.
Scriem ODZ (Neapărat!) :
q ≠ 1
Înmulțim totul cu numitorul (q-1) și anulăm toate fracțiile:
10 Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 2 = 10 Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - + 30(Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice --1)
Împărțim totul la zece, deschidem parantezele și colectăm totul din stânga:
Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 2 – 4 Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - + 3 = 0
Rezolvăm rezultatul și obținem două rădăcini:
Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 1 = 1
Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 2 = 3
Există un singur răspuns final: Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - = 3 .
Raspuns: 3
După cum puteți vedea, calea către rezolvarea majorității problemelor care implică formula celui de-al n-lea termen al unei progresii geometrice este întotdeauna aceeași: citiți atent condiția problemei și folosind formula celui de-al n-lea termen traducem toate informațiile utile în algebră pură.
Anume:
1) Descriem separat fiecare termen dat în problemă conform formuleiformulaal-lea membru.
2) Din condițiile problemei traducem legătura dintre membri în formă matematică. Compunem o ecuație sau un sistem de ecuații.
3) Rezolvăm ecuația rezultată sau sistemul de ecuații, găsim parametrii necunoscuți ai progresiei.
4) În cazul unui răspuns ambiguu, citim cu atenție condițiile sarcinii în căutarea unor informații suplimentare (dacă există). De asemenea, verificăm răspunsul primit cu termenii DL (dacă există).
Acum să enumerăm principalele probleme care conduc cel mai adesea la erori în procesul de rezolvare a problemelor de progresie geometrică.
1. Aritmetică elementară. Operații cu fracții și numere negative.
2. Dacă există probleme cu cel puțin unul dintre aceste trei puncte, atunci veți face inevitabil greșeli în acest subiect. Din pacate... Așa că nu fi leneș și repetă cele menționate mai sus. Și urmați linkurile - mergeți. Uneori ajută.)
Formule modificate și recurente.
Acum să ne uităm la câteva probleme tipice ale examenului cu o prezentare mai puțin familiară a afecțiunii. Da, da, ai ghicit! Acest modificat q recurent formule al n-lea termen. Am întâlnit deja astfel de formule și am lucrat progresie aritmetică. Totul este similar aici. Esența este aceeași.
De exemplu, această problemă de la OGE:
Progresia geometrică este dată de formula Iată-l: = 3 2 q . Aflați suma primului și al patrulea termen.
De data aceasta, progresia nu este ca de obicei pentru noi. Sub forma unui fel de formulă. Şi ce dacă? Această formulă este de asemenea o formulăformulaal-lea membru! Tu și cu mine știm că formula pentru al n-lea termen poate fi scrisă atât în formă generală, folosind litere, cât și pentru progresie specifică. CU specific primul termen și numitor.
În cazul nostru, ni se oferă, de fapt, o formulă generală a termenului pentru o progresie geometrică cu următorii parametri:
b n 1 = 6
termenul progresiei geometrice; = 2
Să verificăm?) Să notăm formula pentru al n-lea termen în formă generală și să o înlocuim în b n 1 q Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice -. Primim:
– numărul de membru; = b n 1 · b -1
– numărul de membru;= 6 2q -1
Simplificam folosind factorizarea si proprietatile puterilor si obtinem:
Iată-l:= 6 2q -1 = 3·2·2q -1 = 3 2q -1+1 = 3 2q
După cum puteți vedea, totul este corect. Dar scopul nostru nu este să demonstrăm derivarea unei formule specifice. Așa este, o digresiune lirică. Pur pentru înțelegere.) Scopul nostru este să rezolvăm problema după formula dată nouă în stare. Înțelegi?) Deci lucrăm direct cu formula modificată.
Numărăm primul termen. Să înlocuim formula=1 în formula generală:
b n 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Ca aceasta. Apropo, nu voi fi leneș și vă atrag din nou atenția asupra unei greșeli tipice la calculul primului termen. NU, privind formula Iată-l:= 3 2q, grăbiți-vă imediat să scrieți că primul termen este un trei! Aceasta este o greșeală gravă, da...)
Să continuăm. Să înlocuim formula=4 și numărați al patrulea termen:
Deci, iată-ne: 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
Și în final, calculăm suma necesară:
Deci, iată-ne: 1 + b n 4 = 6+48 = 54
Raspuns: 54
O altă problemă.
Progresia geometrică este specificată de condițiile:
Deci, iată-ne: 1 = -7;
– numărul de membru; +1 = 3 Iată-l:
Găsiți al patrulea termen al progresiei.
Aici progresia este dată de o formulă recurentă. Ei bine, bine.) Cum se lucrează cu această formulă – știm și noi.
Așa că acționăm. Pas cu pas.
1) Numără doi consecutiv membru al progresiei.
Primul mandat ne-a fost deja dat. Minus șapte. Dar următorul, al doilea termen poate fi calculat cu ușurință folosind formula de recurență. Dacă înțelegeți principiul funcționării sale, desigur.)
Deci numărăm al doilea termen conform cunoscutului prim:
Deci, iată-ne: 2 = 3 b n 1 = 3·(-7) = -21
2) Calculați numitorul progresiei
Nici o problemă. Drept, hai să împărțim Ce este egal cu dick on primul.
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
termenul progresiei geometrice; = -21/(-7) = 3
3) Scrieți formulaformulaal-lea membru în forma obișnuită și calculați membrul necesar.
Deci, cunoaștem primul termen și numitorul. Deci scriem:
– numărul de membru;= -7·3q -1
Deci, iată-ne: 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
Răspuns: -189
După cum puteți vedea, lucrul cu astfel de formule pentru o progresie geometrică nu este în esență diferit de cel pentru o progresie aritmetică. Este important doar să înțelegem esența generală și sensul acestor formule. Ei bine, trebuie să înțelegeți și semnificația progresiei geometrice, da.) Și atunci nu vor fi greșeli stupide.
Ei bine, hai să decidem singuri?)
Sarcini de bază pentru încălzire:
1. Având în vedere o progresie geometrică în care b n 1 = 243, a Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - = -2/3. Găsiți al șaselea termen al progresiei.
2. Termenul general al progresiei geometrice este dat de formula Iată-l: = 5∙2 q +1 . Găsiți numărul ultimului termen de trei cifre al acestei progresii.
3. Progresia geometrică este dată de condițiile:
Deci, iată-ne: 1 = -3;
– numărul de membru; +1 = 6 Iată-l:
Găsiți al cincilea termen al progresiei.
Puțin mai complicat:
4. Având în vedere o progresie geometrică:
Deci, iată-ne: 1 =2048; Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - =-0,5
Cu ce este egal al șaselea termen negativ?
Ce pare super dificil? Deloc. Logica și înțelegerea semnificației progresiei geometrice vă vor salva. Ei bine, formula pentru al n-lea termen, desigur.
5. Al treilea termen al progresiei geometrice este -14, iar al optulea termen este 112. Aflați numitorul progresiei.
6. Suma primului și celui de-al doilea termen al progresiei geometrice este 75, iar suma celui de-al doilea și al treilea termen este 150. Aflați al șaselea termen al progresiei.
Răspunsuri (în dezordine): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Asta e aproape tot. Tot ce trebuie să facem este să învățăm să numărăm suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice da descoperi progresie geometrică infinit descrescătoare si cuantumul acesteia. Un lucru foarte interesant și neobișnuit, de altfel! Mai multe despre asta în lecțiile următoare.)
Progresii aritmetice și geometrice
Informații teoretice
Informații teoretice
Progresie aritmetică |
Progresie geometrică |
|
Definiţie |
Progresie aritmetică un n este o succesiune în care fiecare membru, începând cu al doilea, este egal cu membrul anterior adăugat la același număr d (d- diferenta de progresie) |
Progresie geometrică Iată-l: este o succesiune de numere diferite de zero, al căror termen, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr. Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - (Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice -- numitorul progresiei) |
Formula de recurență |
Pentru orice natural formula |
Pentru orice natural formula |
Formula al n-lea termen |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Proprietate caracteristică |  |
|
| Suma primilor n termeni |  |
 |
Exemple de sarcini cu comentarii
Sarcina 1
În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6, a 2
Conform formulei celui de-al n-lea termen:
un 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Dupa conditie:
a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21 d .
Este necesar să găsiți diferența de progresii:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Raspuns: un 22 = -48.
Sarcina 2
Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice: -3; 6;....
Prima metodă (folosind formula n termeni)
Conform formulei pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Deoarece b 1 = -3,
A doua metodă (folosind formula recurentă)
Deoarece numitorul progresiei este -2 (q = -2), atunci:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Raspuns: b 5 = -48.
Sarcina 3
În progresie aritmetică ( a n ) a 74 = 34; un 76= 156. Găsiți al șaptezeci și cincilea termen al acestei progresii.
Pentru o progresie aritmetică, proprietatea caracteristică are forma 
.
Din aceasta rezultă:
.
Să înlocuim datele în formula:
Raspuns: 95.
Sarcina 4
În progresie aritmetică ( a n ) a n= 3n - 4. Aflați suma primilor șaptesprezece termeni.
Pentru a afla suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, se folosesc două formule:
.
Care dintre ele este mai convenabil de utilizat în acest caz?
Prin condiție, formula pentru al n-lea termen al progresiei inițiale este cunoscută ( un n) un n= 3n - 4. Puteți găsi imediat și a 1, Și un 16 fără a găsi d. Prin urmare, vom folosi prima formulă.
Raspuns: 368.
Sarcina 5
În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6; a 2= -8. Găsiți termenul douăzeci și doi al progresiei.
Conform formulei celui de-al n-lea termen:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
După condiție, dacă a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21d . Este necesar să găsiți diferența de progresii:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Raspuns: un 22 = -48.
Sarcina 6
Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei geometrice:
Găsiți termenul progresiei etichetat x.
Când rezolvăm, vom folosi formula pentru al n-lea termen b n = b 1 ∙ q n - 1 pentru progresii geometrice. Primul termen al progresiei. Pentru a găsi numitorul progresiei q, trebuie să luați oricare dintre termenii dați ai progresiei și să împărțiți la cel anterior. În exemplul nostru, putem lua și împărți prin. Obținem că q = 3. În loc de n, înlocuim 3 în formulă, deoarece este necesar să găsim al treilea termen al unei progresii geometrice date.
Înlocuind valorile găsite în formulă, obținem:
.
Raspuns: .
Sarcina 7
Din progresiile aritmetice date de formula celui de-al n-lea termen, selectați-l pe cel pentru care este îndeplinită condiția un 27 > 9:
Deoarece condiția dată trebuie îndeplinită pentru al 27-lea termen al progresiei, înlocuim 27 în loc de n în fiecare dintre cele patru progresii. În a 4-a progresie obținem:
.
Raspuns: 4.
Sarcina 8
În progresie aritmetică a 1= 3, d = -1,5. Specifica cea mai mare valoare n pentru care inegalitatea este valabilă un n > -6.
SECVENȚE NUMERICE VI
§ l48. Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare
Până acum, când vorbim despre sume, am presupus întotdeauna că numărul de termeni din aceste sume este finit (de exemplu, 2, 15, 1000 etc.). Dar la rezolvarea unor probleme (mai ales matematica superioara) trebuie să se ocupe de sumele unui număr infinit de termeni
S= o 1 + o 2 + ... + o formula + ... . (1)
Care sunt aceste sume? Prin definiție suma unui număr infinit de termeni o 1 , o 2 , ..., o formula , ... se numește limita sumei S formula primul n numere când n -> ∞ :
S=S formula = (o 1 + o 2 + ... + o formula ). (2)
Limita (2), desigur, poate exista sau nu. În consecință, ei spun că suma (1) există sau nu există.
Cum putem afla dacă suma (1) există în fiecare caz specific? Soluție generală Această problemă depășește cu mult scopul programului nostru. Cu toate acestea, există unul important caz special, pe care acum trebuie să luăm în considerare. Vom vorbi despre însumarea termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare.
Lasă o 1 , o 1 Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - , o 1 Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - 2, ... este o progresie geometrică infinit descrescătoare. Aceasta înseamnă că | Această formulă conectează cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - |< 1. Сумма первых n termenii acestei progresii sunt egali
Din teoremele de bază privind limitele variabilelor (vezi § 136) obținem:
Dar 1 = 1, a b = 0. Prin urmare
Deci, suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare este egală cu primul termen al acestei progresii împărțit la unu minus numitorul acestei progresii.
1) Suma progresiei geometrice 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... este egală cu
iar suma progresiei geometrice este 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... egal
2) Transformați o fracție periodică simplă 0,454545 ... într-una obișnuită.
Pentru a rezolva această problemă, imaginați-vă această fracție ca o sumă infinită:
Partea dreaptă a acestei egalități este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, al cărei prim termen este egal cu 45/100, iar numitorul este 1/100. De aceea
Folosind metoda descrisă, se poate obține și el regula generala conversia fracțiilor periodice simple în fracții obișnuite (vezi capitolul II, § 38):
Pentru a converti o fracție periodică simplă într-o fracție obișnuită, trebuie să faceți următoarele: puneți perioada la numărător zecimal, iar numitorul este un număr format din nouă luate de atâtea ori câte cifre există în perioada fracției zecimale.
3) Convertiți fracția periodică mixtă 0,58333 .... într-o fracție obișnuită.
Să ne imaginăm această fracție ca o sumă infinită:
În partea dreaptă a acestei egalități, toți termenii, începând de la 3/1000, formează o progresie geometrică infinit descrescătoare, al cărei prim termen este egal cu 3/1000, iar numitorul este 1/10. De aceea
Folosind metoda descrisă, se poate obține o regulă generală pentru transformarea fracțiilor periodice mixte în fracții obișnuite (vezi Capitolul II, § 38). În mod deliberat, nu o prezentăm aici. Nu este nevoie să ne amintim această regulă greoaie. Este mult mai util de știut că orice fracție periodică mixtă poate fi reprezentată ca suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare și a unui anumit număr. Și formula
pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, trebuie, desigur, să vă amintiți.
Ca exercițiu, vă sugerăm ca, pe lângă problemele nr. 995-1000 prezentate mai jos, să apelați din nou la problema nr. 301 § 38.
Exerciții
995. Ce se numește suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare?
996. Aflați sumele progresiilor geometrice infinit descrescătoare:
997. La ce valori X progresie
scade la infinit? Găsiți suma unei astfel de progresii.
998. Într-un triunghi echilateral cu latura O un nou triunghi este înscris prin conectarea punctelor medii ale laturilor sale; un nou triunghi este înscris în acest triunghi în același mod și așa mai departe la infinit.
a) suma perimetrelor tuturor acestor triunghiuri;
b) suma suprafețelor acestora.
999. Patrat cu latura O un pătrat nou este înscris prin conectarea punctelor medii ale laturilor sale; un pătrat este înscris în acest pătrat în același mod și așa mai departe la infinit. Aflați suma perimetrelor tuturor acestor pătrate și suma ariilor lor.
1000. Compuneți o progresie geometrică infinit descrescătoare, astfel încât suma ei să fie egală cu 25/4, iar suma pătratelor termenilor săi să fie egală cu 625/24.
Matematica este ceea ceoamenii controlează natura și pe ei înșiși.
Matematicianul sovietic, academicianul A.N. Kolmogorov
Progresie geometrică.
Alături de problemele privind progresiile aritmetice, problemele legate de conceptul de progresie geometrică sunt frecvente și la examenele de admitere la matematică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să cunoașteți proprietățile progresiilor geometrice și să aveți bune abilități în utilizarea lor.
Acest articol este dedicat prezentării proprietăților de bază ale progresiei geometrice. Aici sunt oferite și exemple de rezolvare a problemelor tipice., împrumutat din sarcinile examenelor de admitere la matematică.
Să notăm mai întâi proprietățile de bază ale progresiei geometrice și să ne amintim cele mai importante formule și enunțuri, asociat cu acest concept.
Definiţie. O secvență de numere se numește progresie geometrică dacă fiecare număr, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Numărul se numește numitorul unei progresii geometrice.
Pentru progresie geometricăformulele sunt valabile
, (1)
Unde . Formula (1) se numește formula termenului general al unei progresii geometrice, iar formula (2) reprezintă proprietatea principală a unei progresii geometrice: fiecare termen al progresiei coincide cu media geometrică a termenilor săi învecinați și .
Nota, că tocmai din cauza acestei proprietăți progresia în cauză se numește „geometrică”.
Formulele (1) și (2) de mai sus sunt generalizate după cum urmează:
, (3)
Pentru a calcula suma primul membrii unei progresii geometricese aplică formula
Dacă notăm , atunci
Unde . Deoarece , formula (6) este o generalizare a formulei (5).
În cazul când și progresie geometricăeste în scădere infinită. Pentru a calcula sumadintre toți termenii unei progresii geometrice infinit descrescătoare, se folosește formula
. (7)
De exemplu, folosind formula (7) putem arăta, Ce
Unde . Aceste egalități se obțin din formula (7) cu condiția ca , (prima egalitate) și , (a doua egalitate).
Teorema. Dacă, atunci
Dovada. Dacă, atunci
Teorema a fost demonstrată.
Să trecem la considerarea exemplelor de rezolvare a problemelor pe tema „Progresiune geometrică”.
Exemplul 1. Având în vedere: , și . Găsiți .
Soluţie. Dacă aplicăm formula (5), atunci
Raspuns: .
Exemplul 2. Lăsați-l să fie. Găsiți .
Soluţie. Deoarece și , folosim formulele (5), (6) și obținem un sistem de ecuații
Dacă a doua ecuație a sistemului (9) este împărțită la prima, apoi sau . De aici rezultă că . Să luăm în considerare două cazuri.
1. Dacă, atunci din prima ecuație a sistemului (9) avem.
2. Dacă , atunci .
Exemplul 3. Să , și . Găsiți .
Soluţie. Din formula (2) rezultă că sau . De când , atunci sau .
Conform conditiei. Cu toate acestea, prin urmare. Din moment ce și atunci aici avem un sistem de ecuații
Dacă a doua ecuație a sistemului este împărțită la prima, atunci sau .
Deoarece, ecuația are o rădăcină adecvată unică. În acest caz, rezultă din prima ecuație a sistemului.
Ținând cont de formula (7), obținem.
Raspuns: .
Exemplul 4. Având în vedere: și . Găsiți .
Soluţie. De atunci.
De când , atunci sau
Conform formulei (2) avem . În acest sens, din egalitatea (10) obținem sau .
Totuși, prin condiție, așadar.
Exemplul 5. Se stie ca. Găsiți .
Soluţie. Conform teoremei, avem două egalități
De când , atunci sau . Pentru că, atunci.
Raspuns: .
Exemplul 6. Având în vedere: și . Găsiți .
Soluţie.Ținând cont de formula (5), obținem
De atunci. De când , și , atunci .
Exemplul 7. Lăsați-l să fie. Găsiți .
Soluţie. După formula (1) putem scrie
Prin urmare, avem sau . Se știe că și , prin urmare și .
Raspuns: .
Exemplul 8. Aflați numitorul unei progresii geometrice descrescătoare infinite dacă
Și .
Soluţie. Din formula (7) rezultăŞi . De aici și din condițiile problemei obținem un sistem de ecuații
Dacă prima ecuație a sistemului este la pătrat, și apoi împărțiți ecuația rezultată la a doua ecuație, apoi primim
Sau .
Raspuns: .
Exemplul 9. Găsiți toate valorile pentru care șirul , , este o progresie geometrică.
Soluţie. Să , și . Conform formulei (2), care definește proprietatea principală a unei progresii geometrice, putem scrie sau .
De aici obținem ecuația pătratică, ale căror rădăcini suntȘi .
Să verificăm: dacă, apoi , și ;
dacă , atunci , și .În primul caz avem
și , iar în al doilea – și .
Răspuns: , .Exemplul 10.
, (11)
Rezolvați ecuația
unde si .
Din formula (7) rezultă, Ce Soluţie. Partea stângă a ecuației (11) este suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite, în care și , sub rezerva: și .. În acest sens, ecuația (11) ia forma sau . Rădăcină potrivită ecuație pătratică
Raspuns: .
este Exemplul 11. Psuccesiune de numere pozitive formează o progresie aritmetică , A– progresie geometrică
Soluţie., și aici. Găsiți . Deoarece succesiune aritmetică , Asta(proprietatea principală a progresiei aritmetice). Din moment ce , apoi sau . De aici rezultă,că progresia geometrică are forma. Conform formulei (2)
, apoi scriem asta . De când și , atunci. În acest caz, expresia deci din Eq.obținem o soluție unică la problema luată în considerare, adică .
Raspuns: .
Exemplul 12. Calculați Suma
. (12)
Soluţie. Înmulțiți ambele părți ale egalității (12) cu 5 și obțineți
Dacă scădem (12) din expresia rezultată succesiune aritmetică
sau .
Pentru a calcula, înlocuim valorile în formula (7) și obținem . De atunci.
Raspuns: .
Exemplele de rezolvare a problemelor prezentate aici vor fi utile solicitanților în pregătirea pentru examenele de admitere. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor, legate de progresia geometrică, poate fi folosit mijloace didactice din lista literaturii recomandate.
1. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegii / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir și Educația, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.
3. Medynsky M.M. Curs complet matematica elementara in probleme si exercitii. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. – 208 p.
Mai ai întrebări?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice, adică fiecare termen diferă de cel anterior de q ori. (Vom presupune că q ≠ 1, altfel totul este prea banal). Nu este greu să vezi asta formula generala al n-lea termen al progresiei geometrice b n = b 1 q n – 1 ; termenii cu numere b n și b m diferă de q n – m ori.Deja în Egiptul antic cunoștea nu numai aritmetica, ci și progresia geometrică. Iată, de exemplu, o problemă din papirusul Rhind: „Șapte fețe au șapte pisici; Fiecare pisică mănâncă șapte șoareci, fiecare șoarece mănâncă șapte spice de porumb și fiecare spic de orz poate crește șapte măsuri de orz. Cât de mari sunt numerele din această serie și suma lor?
 |
|
Orez. 1. Problema de progresie geometrică a Egiptului antic |
Această sarcină s-a repetat de multe ori cu diferite variații între alte popoare în alte momente. De exemplu, în scris în secolul al XIII-lea. „Cartea Abacului” de Leonardo din Pisa (Fibonacci) are o problemă în care 7 bătrâne apar în drum spre Roma (evident pelerini), fiecare având câte 7 catâri, fiecare având câte 7 pungi, fiecare dintre ele. conține 7 pâini, fiecare având 7 cuțite, fiecare având 7 teci. Problema se întreabă câte obiecte sunt.
Suma primilor n termeni ai progresiei geometrice S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Această formulă poate fi demonstrată, de exemplu, astfel: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Adăugați numărul b 1 q n la S n și obțineți:
|
De aici S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), și obținem formula necesară.
Deja pe una dintre tăblițele de lut ale Babilonului antic, datând din secolul al VI-lea. î.Hr e., conține suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Adevărat, ca și într-o serie de alte cazuri, nu știm cum a fost cunoscut acest fapt babilonienilor. .
Creșterea rapidă a progresiei geometrice într-un număr de culturi, în special indiene, este folosită în mod repetat ca simbol vizual vastitatea universului. În celebra legendă despre apariția șahului, domnitorul îi oferă inventatorului său posibilitatea de a alege singur recompensa și el cere numărul de boabe de grâu care vor fi obținute dacă unul este plasat pe primul pătrat al tablei de șah, două pe al doilea, patru pe al treilea, opt pe al patrulea și etc., de fiecare dată când numărul se dublează. Vladyka a crezut că cel mult vorbim despre câteva genți, dar a greșit. Este ușor de observat că pentru toate cele 64 de pătrate ale tablei de șah inventatorul ar trebui să primească (2 64 – 1) granule, care se exprimă ca un număr de 20 de cifre; chiar dacă s-ar semăna întreaga suprafață a Pământului, ar dura cel puțin 8 ani pentru a colecta cantitatea necesară de cereale. Această legendă este uneori interpretată ca indicând posibilitățile practic nelimitate ascunse în jocul de șah.
Este ușor de observat că acest număr are într-adevăr 20 de cifre:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (un calcul mai precis dă 1,84∙10 19). Dar mă întreb dacă poți afla cu ce cifră se termină acest număr?
O progresie geometrică poate fi crescătoare dacă numitorul este mai mare de 1, sau descrescătoare dacă este mai mică de unu. În acest din urmă caz, numărul q n pentru n suficient de mare poate deveni arbitrar mic. În timp ce progresia geometrică în creștere crește în mod neașteptat de repede, progresia geometrică în scădere scade la fel de repede.
Cu cât n este mai mare, cu atât numărul q n diferă de zero mai slab și cu atât suma n termeni ai progresiei geometrice S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) este mai apropiată de numărul S = b 1 / ( 1 – q). (De exemplu, F. Viet a argumentat astfel). Numărul S se numește suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Cu toate acestea, timp de multe secole întrebarea care este sensul însumării întregii progresii geometrice, cu numărul său infinit de termeni, nu a fost suficient de clară pentru matematicieni.
O progresie geometrică în scădere poate fi observată, de exemplu, în aporia lui Zeno „Jumătate de divizie” și „Achilles și broasca țestoasă”. În primul caz, se arată clar că întreg drumul (presupunând lungimea 1) este suma unui număr infinit de segmente 1/2, 1/4, 1/8 etc. Acesta este, desigur, cazul de la punctul de vedere al ideilor despre o sumă finită progresie geometrică infinită. Și totuși - cum poate fi asta?
|
Orez. 2. Progresie cu un coeficient de 1/2 |
În aporia despre Ahile, situația este puțin mai complicată, pentru că aici numitorul progresiei nu este 1/2, ci un alt număr. Să fie, de exemplu, Ahile să alerge cu viteza v, broasca țestoasă se mișcă cu viteza u, iar distanța inițială dintre ele este l. Ahile va parcurge această distanță în timp l/v, iar în acest timp țestoasa se va deplasa cu o distanță lu/v. Când Ahile parcurge acest segment, distanța dintre el și țestoasă va deveni egală cu l (u /v) 2 etc. Se dovedește că a ajunge din urmă cu țestoasa înseamnă a găsi suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu primul termen. l și numitorul u /v. Această sumă - segmentul pe care Ahile îl va alerga în cele din urmă la locul de întâlnire cu țestoasa - este egală cu l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Dar, din nou, cum ar trebui interpretat acest rezultat și de ce are vreun sens nu a fost foarte clar de mult timp.
|
Orez. 3. Progresie geometrică cu coeficient de 2/3 |
Arhimede a folosit suma unei progresii geometrice pentru a determina aria unui segment de parabolă. Fie acest segment al parabolei să fie delimitat de coarda AB și fie tangenta din punctul D al parabolei paralelă cu AB. Fie C mijlocul lui AB, E mijlocul lui AC, F mijlocul lui CB. Să trasăm drepte paralele cu DC prin punctele A, E, F, B; Fie tangenta trasată în punctul D să intersecteze aceste drepte în punctele K, L, M, N. Să desenăm și segmentele AD și DB. Fie ca dreapta EL să intersecteze dreapta AD în punctul G și parabola în punctul H; linia FM intersectează linia DB în punctul Q și parabola în punctul R. Conform teorie generală secțiuni conice, DC – diametrul parabolei (adică un segment paralel cu axa acesteia); ea și tangenta din punctul D pot servi drept axe de coordonate x și y, în care ecuația parabolei este scrisă ca y 2 = 2px (x este distanța de la D la orice punct cu un diametru dat, y este lungimea lui un segment paralel cu o tangentă dată de la acest punct de diametru până la un punct de pe parabolă în sine).
În virtutea ecuației parabolei, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, iar din moment ce DK = 2DL, atunci KA = 4LH. Deoarece KA = 2LG, LH = HG. Aria segmentului ADB al unei parabole este egală cu aria triunghiului ΔADB și ariile segmentelor AHD și DRB combinate. La rândul său, aria segmentului AHD este egală cu aria triunghiului AHD și a segmentelor rămase AH și HD, cu fiecare dintre ele puteți efectua aceeași operație - împărțită într-un triunghi (Δ) și cele două segmente rămase (), etc.:
Aria triunghiului ΔAHD este egală cu jumătate din aria triunghiului ΔALD (au teren comun AD, iar înălțimile diferă cu un factor de 2), care, la rândul său, este egal cu jumătate din aria triunghiului ΔAKD și, prin urmare, jumătate din aria triunghiului ΔACD. Astfel, aria triunghiului ΔAHD este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔACD. De asemenea, aria triunghiului ΔDRB este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔDFB. Deci, ariile triunghiurilor ΔAHD și ΔDRB, luate împreună, sunt egale cu un sfert din aria triunghiului ΔADB. Repetarea acestei operații atunci când este aplicată segmentelor AH, HD, DR și RB va selecta triunghiuri dintre ele, a căror zonă, luate împreună, va fi de 4 ori mai mică decât aria triunghiurilor ΔAHD și ΔDRB, luate împreună și prin urmare, de 16 ori mai puțin decât aria triunghiului ΔADB. Și așa mai departe:
Astfel, Arhimede a demonstrat că „fiecare segment cuprins între o linie dreaptă și o parabolă constituie patru treimi dintr-un triunghi având aceeași bază și înălțime egală”.
